Где применим закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса, кинетическая и потенциальные энергии, мощность силы
Рассмотрим изменение импульсов тел при их взаимодействии друг с другом.
Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (то есть не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.
Импульс, равный векторной сумме импульсов тел, входящих в замкнутую систему, называется суммарным импульсом этой системы.
Таким образом, чтобы найти суммарный импульс замкнутой системы n тел, необходимо найти векторную сумму импульсов всех тел, входящих в данную систему:
p сум → = p 1 → + p 2 → + ... + p n → .
Импульс каждого из тел, входящих в замкнутую систему, может меняться в результате их взаимодействия друг с другом.
Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.
В этом заключается закон сохранения импульса, который называют также законом сохранения количества движения.
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом. В одном из своих писем он написал:
«Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает».
Рассмотрим систему, состоящую только из двух тел - шаров массами m 1 и m 2 , которые движутся прямолинейно навстречу друг другу со скоростями v 1 и v 2 . Шары обладают импульсами p 1 → = m 1 v 1 → и p 2 → = m 2 v 2 → соответственно.
Через некоторое время шары столкнутся. Во время столкновения, длящегося в течение очень короткого промежутка времени \(t\) , возникнут силы взаимодействия F 1 → и F 2 → , приложенные соответственно к первому и второму шару. В результате действия этих сил скорости шаров изменятся. Обозначим скорости шаров после соударения v 1 ′ и v 2 ′ . И импульсы шаров станут p 1 → ′ = m 1 v 1 → ′ и p 2 → ′ = m 2 v 2 → ′ соответственно.
Тогда, согласно закону сохранения импульса, имеют место равенства:
p 1 → + p 2 → = p 1 → ′ + p 2 → ′
m 1 v 1 → + m 2 v 2 → = m 1 v 1 → ′ + m 2 v 2 → ′ .
Данные равенства являются математической записью закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.
Таким образом, более точно закон сохранения импульса формулируется так:
векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы - величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Пример:
При стрельбе из пушки возникает отдача: снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Почему?
Снаряд и пушка - замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса. В результате выстрела из пушки импульс самой пушки и импульс снаряда изменятся. Но сумма импульсов пушки и находящегося в ней снаряда до выстрела останется равной сумме импульсов откатывающейся пушки и летящего снаряда после выстрела.
Обрати внимание!
В природе замкнутых систем не существует. Но если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Великий учёный Исаак Ньютон изобрёл наглядную демонстрацию закона сохранения импульса - маятник, или её ещё называют «колыбель». Это устройство представляет собой конструкцию из пяти одинаковых металлических шаров, каждый из которых крепится с помощью двух тросов к каркасу, а тот в свою очередь - к прочному основанию П-образной формы.
В результате взаимодействия тел их координаты и скорости могут непрерывно изменяться. Могут изменяться и силы, действующие между телами. К счастью, наряду с изменчивостью окружающего нас мира существует и неизменный фон, обусловленный так называемыми законами сохранения, утверждающими постоянство во времени некоторых физических величин, характеризующих систему взаимодействующих тел как целое.
Пусть
на тело массой m
в течение времени t
действует какая-то постоянная сила
.
Выясним, как произведение этой силы на
время её действия
связано с изменением состояния этого
тела.
Закон сохранения импульса обязан своим существованием такому фундаментальному свойству симметрии, как однородность пространства .
Из второго закона Ньютона (2.8) мы видим, что временная характеристика действия силы связана с изменением импульса Fdt=dP
Импульсом тела P называют произведение массы тела на скорость его движения:
(2.14)
Единица импульса - килограмм-метр в секунду (кг м/с).
Направлен импульс всегда в туже сторону, что и скорость.
В современной формулировки закон сохранения импульса гласит : при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, её полный импульс остаётся неизменным.
Докажем справедливость этого закона. Рассмотрим движение двух материальных точек, взаимодействующих только между собой (рис. 2.4).
Такую
систему можно назвать изолированной в
том смысле, что нет взаимодействия с
другими телами. По третьему закону
Ньютона, силы, действующие на эти тела,
равны по величине и противоположны по
направлению:
Используя второй закон Ньютона, это можно выразить как:
Объединяя эти выражения, получим
Перепишем данное соотношение, используя понятие импульса:
Следовательно,
Если изменение какой-либо величины равно нулю, то эта физическая величина сохраняется. Таким образом, приходим к выводу: сумма импульсов двух взаимодействующих изолированных точек остается постоянной, независимо от вида взаимодействия между ними.
(2.15)
Этот вывод можно обобщить на произвольную изолированную систему материальных точек, взаимодействующих между собой. Если система не замкнута, т.е. сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю: F ≠ 0 , закон сохранения импульса не выполняется.
Центром масс (центром инерции) системы называют точку, координаты которой заданы уравнениями:
(2.16)
где х 1 ; у 1 ; z 1 ; х 2 ; у 2 ; z 2 ; …; х N ; у N ; z N - координаты соответствующих материальных точек системы.
§2.5 Энергия. Механическая работа и мощность
Количественной мерой различных видов движения является энергия. При превращении одной формы движения в другую происходит изменение энергии. Точно также при передаче движения от одного тела к другому происходит уменьшение энергии одного тела и увеличение энергии другого тела. Такие переходы и превращения движения и, следовательно, энергии могут происходить либо в процессе работы, т.е. тогда, когда осуществляется перемещение тела при воздействии силы, либо в процессе теплообмена.
Для определения работы силы F рассмотрим криволинейную траекторию (рис. 2.5), по которой движется материальная точка из положения 1 в положение 2. Разобьем траекторию на элементарные, достаточно малые перемещения dr; этот вектор совпадает с направлением движения материаль ной точки. Модуль элементарного перемещения обозначим dS: |dr| = dS. Так как элементарное перемещение достаточно мало, то в этом случае силу F можно рассматривать неизменной и элементарную работу вычислять по формуле работы постоянной силы:
dA = F соsα dS = F соsα|dr|, (2.17)
или как скалярное произведение векторов:
(2.18)
Э
лементарная
работа
или
просто работа силы,
есть
скалярное произведение векторов силы
и элементарного перемещения.
Суммируя все элементарные работы, можно определить работу переменной силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 (см. рис. 2.5). Эта задача сводится к нахождению следующего интеграла:
(2.19)
Пусть эта зависимость представлена графически (рис.2.6), тогда искомая работа определяется на графике площадью заштрихованной фигуры.
Заметим, что в отличие от второго закона Ньютона в выражениях (2.22) и (2.23) под F совсем не обязательно понимать равнодействующую всех сил, это может быть одна сила или равнодействующая нескольких сил.
Работа может быть положительной или отрицательной. Знак элементарной работы зависит от значения соsα. Так, например, из рисунка 2.7 видно, что при перемещении по горизонтальной поверхности тела, на которое действуют силы F, F тр и mg, работа силы F положительна (α > 0), работа силы трения F тр отрицательна (α = 180°), а работа силы тяжести mg равна нулю (α = 90°). Так как тангенциальная составляющая силы F t = F соs α, то элементарная работа вычисляется как произведение F t на модуль элементарного перемещения dS:
dA = F t dS (2.20)
Таким образом, работу совершает лишь тангенциальная составляющая силы, нормальная составляющая силы (α = 90°) работы не совершает.
Быстроту совершения работы характеризуют величиной, называемой мощностью.
Мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению работы ко времени, за которое она совер шается:
(2.21)
Учитывая (2.22), получаем
(2.22)
или N = Fυcosα (2.23) Мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости.
Из
полученной формулы видно, что при
постоянной мощности двигателя сила
тяги больше тогда, когда скорость
движения меньше
.
Именно поэтому водитель автомобиля при
подъёме в гору, когда нужна наибольшая
сила тяги, переключает двигатель на
малую скорость.
Его движения , т.е. величина .
Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .
Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:
Закон сохранения импульса
Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:
Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:
Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.
При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда? |
| Решение | Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса.
Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия.
При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде: Выбирая направление оси совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось: откуда скорость вагона после попадания в него снаряда:
Переводим единицы в систему СИ: т кг. Вычислим: |
| Ответ | После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с. |
ПРИМЕР 2
| Задание | Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке . В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =3 кг получила скорость v 1 =400 м/с в прежнем направлении под углом к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда? |
| Решение | Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси .
Запишем закон сохранения импульса: Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для : Учитывая, что , а также что , находим скорость второго осколка: Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим: Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись :
Подставив в формулу численные значения, получим: |
| Ответ | Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом к горизонтальному направлению. |
ПРИМЕР 3
| Задание | Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения. |
| Решение | Так как на поезд действует (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется.
Воспользуемся законом изменения импульса: Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»: |
Импульс тела
Импульсом тела называется величина, равная произведению массы тела на его скорость.
Следует помнить, что речь идет о теле, которое можно представить как материальную точку. Импульс тела ($р$) называют также количеством движения. Понятие количества движения было введено в физику Рене Декартом (1596—1650). Термин «импульс» появился позже (impulsus в переводе с латинского означает «толчок»). Импульс является векторной величиной (как и скорость) и выражается формулой:
$p↖{→}=mυ↖{→}$
Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением скорости.
За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой $1$ кг, движущегося со скоростью $1$ м/с, следовательно, единицей импульса является $1$ кг $·$ м/с.
Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила в течение промежутка времени $∆t$, то постоянным будет и ускорение:
$a↖{→}={{υ_2}↖{→}-{υ_1}↖{→}}/{∆t}$
где, ${υ_1}↖{→}$ и ${υ_2}↖{→}$ — начальная и конечная скорости тела. Подставив это значение в выражение второго закона Ньютона, получим:
${m({υ_2}↖{→}-{υ_1}↖{→})}/{∆t}=F↖{→}$
Раскрыв скобки и воспользовавшись выражением для импульса тела, имеем:
${p_2}↖{→}-{p_1}↖{→}=F↖{→}∆t$
Здесь ${p_2}↖{→}-{p_1}↖{→}=∆p↖{→}$ — изменение импульса за время $∆t$. Тогда предыдущее уравнение примет вид:
$∆p↖{→}=F↖{→}∆t$
Выражение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$ представляет собой математическую запись второго закона Ньютона.
Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы . Поэтому изменение импульса точки равно изменению импульса силы, действующей на нее.
Выражение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$ называется уравнением движения тела . Следует заметить, что одно и то же действие — изменение импульса точки — может быть получено малой силой за большой промежуток времени и большой силой за малый промежуток времени.
Импульс системы тел. Закон изменения импульса
Импульсом (количеством движения) механической системы называется вектор, равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы:
${p_{сист}}↖{→}={p_1}↖{→}+{p_2}↖{→}+...$
Законы изменения и сохранения импульса являются следствием второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим систему, состоящую из двух тел. Силы ($F_{12}$ и $F_{21}$ на рисунке, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называются внутренними.
Пусть кроме внутренних сил на систему действуют внешние силы ${F_1}↖{→}$ и ${F_2}↖{→}$. Для каждого тела можно записать уравнение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим:
${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_{12}}↖{→}+{F_{21}}↖{→}+{F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$
Согласно третьему закону Ньютона ${F_{12}}↖{→}=-{F_{21}}↖{→}$.
Следовательно,
${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$
В левой части стоит геометрическая сумма изменений импульсов всех тел системы, равная изменению импульса самой системы — ${∆p_{сист}}↖{→}$.С учетом этого равенство ${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$ можно записать:
${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$
где $F↖{→}$ — сумма всех внешних сил, действующих на тело. Полученный результат означает, что импульс системы могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы направлено так же, как суммарная внешняя сила. В этом суть закона изменения импульса механической системы.
Внутренние силы изменить суммарный импульс системы не могут. Они лишь меняют импульсы отдельных тел системы.
Закон сохранения импульса
Из уравнения ${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$ вытекает закон сохранения импульса. Если на систему не действуют никакие внешние силы, то правая часть уравнения ${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$ обращается в ноль, что означает неизменность суммарного импульса системы:
${∆p_{сист}}↖{→}=m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=const$
Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.
Закон сохранения импульса гласит:
Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.
Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное число тел. Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма их проекций на какое-то направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление не меняется. Так, например, система тел на поверхности Земли не может считаться замкнутой из-за силы тяжести, действующей на все тела, однако сумма проекций импульсов на горизонтальное направление может оставаться неизменной (при отсутствии трения), т. к. в этом направлении сила тяжести не действует.
Реактивное движение
Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость закона сохранения импульса.
Возьмем детский резиновый шарик, надуем его и отпустим. Мы увидим, что когда воздух начнет выходить из него в одну сторону, сам шарик полетит в другую. Движение шарика является примером реактивного движения. Объясняется оно законом сохранения импульса: суммарный импульс системы «шарик плюс воздух в нем» до истечения воздуха равен нулю; он должен остаться равным нулю и во время движения; поэтому шарик движется в сторону, противоположную направлению истечения струи, и с такой скоростью, что его импульс по модулю равен импульсу воздушной струи.
Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении от него с какой- либо скоростью некоторой его части. Вследствие закона сохранения импульса направление движения тела при этом противоположно направлению движения отделившейся части.
На принципе реактивного движения основаны полеты ракет. Современная космическая ракета представляет собой очень сложный летательный аппарат. Масса ракеты складывается из массы рабочего тела (т. е. раскаленных газов, образующихся в результате сгорания топлива и выбрасываемых в виде реактивной струи) и конечной, или, как говорят, «сухой» массы ракеты, остающейся после выброса из ракеты рабочего тела.
Когда реактивная газовая струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, сама ракета устремляется в противоположную сторону. Согласно закону сохранения импульса, импульс $m_{p}υ_p$, приобретаемый ракетой, должен быть равен импульсу $m_{газ}·υ_{газ}$ выброшенных газов:
$m_{p}υ_p=m_{газ}·υ_{газ}$
Отсюда следует, что скорость ракеты
$υ_p=({m_{газ}}/{m_p})·υ_{газ}$
Из этой формулы видно, что скорость ракеты тем больше, чем больше скорость выбрасываемых газов и отношение массы рабочего тела (т. е. массы топлива) к конечной («сухой») массе ракеты.
Формула $υ_p=({m_{газ}}/{m_p})·υ_{газ}$ является приближенной. В ней не учитывается, что по мере сгорания топлива масса летящей ракеты становится все меньше и меньше. Точная формула для скорости ракеты была получена в 1897 г. К. Э. Циолковским и носит его имя.
Работа силы
Термин «работа» был введен в физику в 1826 г. французским ученым Ж. Понселе. Если в обыденной жизни работой называют лишь труд человека, то в физике и, в частности, в механике принято считать, что работу совершает сила. Физическую величину работы обычно обозначают буквой $А$.
Работа силы — это мера действия силы, зависящая от ее модуля и направления, а также от перемещения точки приложения силы. Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работа определяется равенством:
$A=F|∆r↖{→}|cosα$
где $F$ — сила, действующая на тело, $∆r↖{→}$ — перемещение, $α$ — угол между силой и перемещением.
Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения и косинуса угла между ними, т. е. скалярному произведению векторов $F↖{→}$ и $∆r↖{→}$.
Работа — величина скалярная. Если $α 0$, а если $90°
При действии на тело нескольких сил полная работа (сумма работ всех сил) равна работе результирующей силы.
Единицей работы в СИ является джоуль ($1$ Дж). $1$ Дж — это работа, которую совершает сила в $1$ Н на пути в $1$ м в направлении действия этой силы. Эта единица названа в честь английского ученого Дж. Джоуля (1818-1889): $1$ Дж = $1$ Н $·$ м. Часто применяются также килоджоули и миллиджоули: $1$ кДж $= 1 000$ Дж, $1$ мДж $= 0.001$ Дж.
Работа силы тяжести
Рассмотрим тело, скользящее по наклонной плоскости с углом наклона $α$ и высотой $Н$.
Выразим $∆x$ через $H$ и $α$:
$∆x={H}/{sinα}$
Учитывая, что сила тяжести $F_т=mg$ составляет угол ($90° - α$) с направлением перемещения, используя формулу $∆x={H}/{sin}α$, получим выражение для работы силы тяжести $A_g$:
$A_g=mg·cos(90°-α)·{H}/{sinα}=mgH$
Из этой формулы видно, что работа силы тяжести зависит от высоты и не зависит от угла наклона плоскости.
Отсюда следует, что:
- работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а лишь от начального и конечного положения тела;
- при перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, т. е. сила тяжести — консервативная сила (консервативными называются силы, обладающие таким свойством).
Работа сил реакции , равна нулю, поскольку сила реакции ($N$) направлена перпендикулярно перемещению $∆x$.
Работа силы трения
Сила трения направлена противоположно перемещению $∆x$ и составляет с ним угол $180°$, поэтому работа силы трения отрицательна:
$A_{тр}=F_{тр}∆x·cos180°=-F_{тр}·∆x$
Так как $F_{тр}=μN, N=mg·cosα, ∆x=l={H}/{sinα},$ то
$A_{тр}=μmgHctgα$
Работа силы упругости
Пусть на нерастянутую пружину длиной $l_0$ действует внешняя сила $F↖{→}$, растягивая ее на $∆l_0=x_0$. В положении $x=x_0F_{упр}=kx_0$. После прекращения действия силы $F↖{→}$ в точке $х_0$ пружина под действием силы $F_{упр}$ сжимается.
Определим работу силы упругости при изменении координаты правого конца пружины от $х_0$ до $х$. Поскольку сила упругости на этом участке изменяется линейно, в законе Гука можно использовать ее среднее значение на этом участке:
$F_{упр.ср.}={kx_0+kx}/{2}={k}/{2}(x_0+x)$
Тогда работа (с учетом того, что направления ${F_{упр.ср.}}↖{→}$ и ${∆x}↖{→}$ совпадают) равна:
$A_{упр}={k}/{2}(x_0+x)(x_0-x)={kx_0^2}/{2}-{kx^2}/{2}$
Можно показать, что вид последней формулы не зависит от угла между ${F_{упр.ср.}}↖{→}$ и ${∆x}↖{→}$. Работа сил упругости зависит лишь от деформаций пружины в начальном и конечном состояниях.
Таким образом, сила упругости, подобно силе тяжести, является консервативной силой.
Мощность силы
Мощность — физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена.
Другими словами, мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени (в СИ — за $1$ с).
Мощность определяется формулой:
где $N$ — мощность, $А$ — работа, совершенная за время $∆t$.
Подставив в формулу $N={A}/{∆t}$ вместо работы $A$ ее выражение $A=F|{∆r}↖{→}|cosα$, получим:
$N={F|{∆r}↖{→}|cosα}/{∆t}=Fυcosα$
Мощность равна произведению модулей векторов силы и скорости на косинус угла между этими векторами.
Мощность в системе СИ измеряется в ваттах (Вт). Один ватт ($1$ Вт) — это такая мощность, при которой за $1$ с совершается работа $1$ Дж: $1$ Вт $= 1$ Дж/с.
Эта единица названа в часть английского изобретателя Дж. Ватта (Уатта), построившего первую паровую машину. Сам Дж. Ватт (1736-1819) пользовался другой единицей мощности — лошадиной силой (л. с.), которую он ввел для того, чтобы можно было сравнивать работоспособности паровой машины и лошади: $1$ л.с. $= 735.5$ Вт.
В технике часто применяются более крупные единицы мощности — киловатт и мегаватт: $1$ кВт $= 1000$ Вт, $1$ МВт $= 1000000$ Вт.
Кинетическая энергия. Закон изменения кинетической энергии
Если тело или несколько взаимодействующих между собой тел (система тел) могут совершать работу, то говорят, что они обладают энергией.
Слово «энергия» (от греч. energia — действие, деятельность) нередко употребляется в быту. Так, например, людей, которые могут быстро выполнять работу, называют энергичными, обладающими большой энергией.
Энергия, которой обладает тело вследствие движения, называется кинетической энергией.
Как и в случае определения энергии вообще, о кинетической энергии можно сказать, что кинетическая энергия — это способность движущегося тела совершать работу.
Найдем кинетическую энергию тела массой $m$, движущегося со скоростью $υ$. Поскольку кинетическая энергия — это энергия, обусловленная движением, нулевым состоянием для нее является то состояние, в котором тело покоится. Найдя работу, необходимую для сообщения телу данной скорости, мы найдем его кинетическую энергию.
Для этого подсчитаем работу на участке перемещения $∆r↖{→}$ при совпадении направлений векторов силы $F↖{→}$ и перемещения $∆r↖{→}$. В этом случае работа равна
где $∆x=∆r$
Для движения точки с ускорением $α=const$ выражение для перемещения имеет вид:
$∆x=υ_1t+{at^2}/{2},$
где $υ_1$ — начальная скорость.
Подставив в уравнение $A=F·∆x$ выражение для $∆x$ из $∆x=υ_1t+{at^2}/{2}$ и воспользовавшись вторым законом Ньютона $F=ma$, получим:
$A=ma(υ_1t+{at^2}/{2})={mat}/{2}(2υ_1+at)$
Выразив ускорение через начальную $υ_1$ и конечную $υ_2$ скорости $a={υ_2-υ_1}/{t}$ и подставив в $A=ma(υ_1t+{at^2}/{2})={mat}/{2}(2υ_1+at)$ имеем:
$A={m(υ_2-υ_1)}/{2}·(2υ_1+υ_2-υ_1)$
$A={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}$
Приравняв теперь начальную скорость к нулю: $υ_1=0$, получим выражение для кинетической энергии:
$E_K={mυ}/{2}={p^2}/{2m}$
Таким образом, движущееся тело обладает кинетической энергией. Эта энергия равна работе, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость тела от нуля до значения $υ$.
Из $E_K={mυ}/{2}={p^2}/{2m}$ следует, что работа силы по перемещению тела из одного положения в другое равна изменению кинетической энергии:
$A=E_{K_2}-E_{K_1}=∆E_K$
Равенство $A=E_{K_2}-E_{K_1}=∆E_K$ выражает теорему об изменении кинетической энергии.
Изменение кинетической энергии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за это время силой, действующей на тело.
Потенциальная энергия
Потенциальной энергией называется энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела.
Поскольку энергия определяется как способность тела совершать работу, то потенциальную энергию, естественно, определяют как работу силы, зависящую только от взаимного расположения тел. Таковой является работа силы тяжести $A=mgh_1-mgh_2=mgH$ и работа силы упругости:
$A={kx_0^2}/{2}-{kx^2}/{2}$
Потенциальной энергией тела, взаимодействующего с Землей, называют величину, равную произведению массы $m$ этого тела на ускорение свободного падения $g$ и на высоту $h$ тела над поверхностью Земли:
Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют величину, равную половине произведения коэффициента упругости (жесткости) $k$ тела на квадрат деформации $∆l$:
$E_p={1}/{2}k∆l^2$
Работа консервативных сил (тяжести и упругости) с учетом $E_p=mgh$ и $E_p={1}/{2}k∆l^2$ выражается следующим образом:
$A=E_{p_1}-E_{p_2}=-(E_{p_2}-E_{p_1})=-∆E_p$
Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.
Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.
Знак «минус» в правой части уравнения $A=E_{p_1}-E_{p_2}=-(E_{p_2}-E_{p_1})=-∆E_p$ означает, что при совершении работы внутренними силами (например, падение тела на землю под действием силы тяжести в системе «камень — Земля») энергия системы убывает. Работа и изменение потенциальной энергии в системе всегда имеют противоположные знаки.
Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то физический смысл в механике имеет только изменение энергии. Поэтому выбор нулевого уровня энергии произволен и определяется исключительно соображениями удобства, например, простотой записи соответствующих уравнений.
Закон изменения и сохранения механической энергии
Полной механической энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий:
Она определяется положением тел (потенциальная энергия) и их скоростью (кинетическая энергия).
Согласно теореме о кинетической энергии,
$E_k-E_{k_1}=A_p+A_{пр},$
где $А_р$ — работа потенциальных сил, $А_{пр}$ — работа непотенциальных сил.
В свою очередь, работа потенциальных сил равна разности потенциальной энергии тела в начальном $Е_{р_1}$ и конечном $Е_р$ состояниях. Учитывая это, получим выражение для закона изменения механической энергии:
$(E_k+E_p)-(E_{k_1}+E_{p_1})=A_{пр}$
где левая часть равенства — изменение полной механической энергии, а правая — работа непотенциальных сил.
Итак, закон изменения механической энергии гласит:
Изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил.
Механическая система, в которой действуют только потенциальные силы, называется консервативной.
В консервативной системе $А_{пр} = 0$. Отсюда следует закон сохранения механической энергии:
В замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем):
$E_k+E_p=E_{k_1}+E_{p_1}$
Закон сохранения механической энергии выводится из законов механики Ньютона, которые применимы для системы материальных точек (или макрочастиц).
Однако закон сохранения механической энергии справедлив и для системы микрочастиц, где сами законы Ньютона уже не действуют.
Закон сохранения механической энергии является следствием однородности времени.
Однородность времени состоит в том, что при одинаковых начальных условиях протекание физических процессов не зависит от того, в какой момент времени эти условия созданы.
Закон сохранения полной механической энергии означает, что при изменении кинетической энергии в консервативной системе должна меняться и ее потенциальная энергия, так что их сумма остается постоянной. Это означает возможность превращения одного вида энергии в другой.
В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю (равную сумме кинетической энергии хаотического движения молекул относительно центра масс тела и потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом), электромагнитную, химическую (которая складывается из кинетической энергии движения электронов и электрической энергии их взаимодействия друг с другом и с атомными ядрами), ядерную и пр. Из сказанного видно, что деление энергии на разные виды достаточно условно.
Явления природы обычно сопровождаются превращением одного вида энергии в другой. Так, например, трение частей различных механизмов приводит к превращению механической энергии в тепло, т. е. во внутреннюю энергию. В тепловых двигателях, наоборот, происходит превращение внутренней энергии в механическую; в гальванических элементах химическая энергия превращается в электрическую и т. д.
В настоящее время понятие энергии является одним из основных понятий физики. Это понятие неразрывно связано с представлением о превращении одной формы движения в другую.
Вот как в современной физике формулируется понятие энергии:
Энергия — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы.
Простые механизмы. КПД механизмов
Простыми механизмами называются приспособления, изменяющие величину или направление приложенных к телу сил.
Они применяются для перемещения или подъема больших грузов с помощью небольших усилий. К ним относятся рычаг и его разновидности — блоки (подвижный и неподвижный), ворот, наклонная плоскость и ее разновидности — клин, винт и др.
Рычаг. Правило рычага
Рычаг представляет собой твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры.
Правило рычага гласит:
Рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам:
${F_2}/{F_1}={l_1}/{l_2}$
Из формулы ${F_2}/{F_1}={l_1}/{l_2}$, применив к ней свойство пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов), можно получить такую формулу:
Но $F_1l_1=M_1$ — момент силы, стремящейся повернуть рычаг по часовой стрелке, а $F_2l_2=M_2$ — момент силы, стремящейся повернуть рычаг против часовой стрелки. Таким образом, $M_1=M_2$, что и требовалось доказать.
Рычаг начал применяться людьми в глубокой древности. С его помощью удавалось поднимать тяжелые каменные плиты при постройке пирамид в Древнем Египте. Без рычага это было бы невозможно. Ведь, например, для возведения пирамиды Хеопса, имеющей высоту $147$ м, было использовано более двух миллионов каменных глыб, самая меньшая из которых имела массу $2.5$ тонн!
В наше время рычаги находят широкое применение как на производстве (например, подъемные краны), так и в быту (ножницы, кусачки, весы).
Неподвижный блок
Действие неподвижного блока аналогично действию рычага с равными плечами: $l_1=l_2=r$. Приложенная сила $F_1$ равна нагрузке $F_2$, и условие равновесия имеет вид:
Неподвижный блок применяют, когда нужно изменить направление силы, не меняя ее величину.
Подвижный блок
Подвижный блок действует аналогично рычагу, плечи которого составляют: $l_2={l_1}/{2}=r$. При этом условие равновесия имеет вид:
где $F_1$ — приложенная сила, $F_2$ — нагрузка. Применение подвижного блока дает выигрыш в силе в два раза.
Полиспаст (система блоков)
Обычный полиспаст состоит из $n$ подвижных и $n$ неподвижных блоков. Его применив дает выигрыш в силе в $2n$ раз:
$F_1={F_2}/{2n}$
Степенной полиспаст состоит из п подвижных и одного неподвижного блока. Применение степенного полиспаста дает выигрыш в силе в $2^n$ раз:
$F_1={F_2}/{2^n}$
Винт
Винт представляет собой наклонную плоскость, навитую на ось.
Условие равновесия сил, действующих на винт, имеет вид:
$F_1={F_2h}/{2πr}=F_2tgα, F_1={F_2h}/{2πR}$
где $F_1$ — внешняя сила, приложенная к винту и действующая на расстоянии $R$ от его оси; $F_2$ — сила, действующая в направлении оси винта; $h$ — шаг винта; $r$ — средний радиус резьбы; $α$ — угол наклона резьбы. $R$ — длина рычага (гаечного ключа), вращающего винт с силой $F_1$.
Коэффициент полезного действия
Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение полезной работы ко всей затраченной работе.
Коэффициент полезного действия часто выражают в процентах и обозначают греческой буквой $η$ («эта»):
$η={A_п}/{A_3}·100%$
где $А_п$ — полезная работа, $А_3$ — вся затраченная работа.
Полезная работа всегда составляет лишь часть полной работы, которую затрачивает человек, используя тот или иной механизм.
Часть совершенной работы тратится на преодоление сил трения. Поскольку $А_3 > А_п$, КПД всегда меньше $1$ (или $< 100%$).
Поскольку каждую из работ в этом равенстве можно выразить в виде произведения соответствующей силы на пройденный путь, то его можно переписать так: $F_1s_1≈F_2s_2$.
Отсюда следует, что, выигрывая с помощью механизма в силе, мы во столько же раз проигрываем в пути, и наоборот . Этот закон называют золотым правилом механики.
Золотое правило механики является приближенным законом, так как в нем не учитывается работа по преодолению трения и силы тяжести частей используемых приспособлений. Тем не менее оно бывает очень полезным при анализе работы любого простого механизма.
Так, например, благодаря этому правилу сразу можно сказать, что рабочему, изображенному на рисунке, при двукратном выигрыше в силе подъема груза на $10$ см придется опустить противоположный конец рычага на $20$ см.
Столкновение тел. Упругий и неупругий удары
Законы сохранения импульса и механической энергии применяются для решения задачи о движении тел после столкновения: по известным импульсам и энергиям до столкновения определяются значения этих величин после столкновения. Рассмотрим случаи упругого и неупругого ударов.
Абсолютно неупругим называется удар, после которого тела образуют единое тело, движущееся с определенной скоростью. Задача о скорости последнего решается с помощью закона сохранения импульса системы тел с массами $m_1$ и $m_2$ (если речь идет о двух телах) до и после удара:
$m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=(m_1+m_2)υ↖{→}$
Очевидно, что кинетическая энергия тел при неупругом ударе не сохраняется (например, при ${υ_1}↖{→}=-{υ_2}↖{→}$ и $m_1=m_2$ она становится равной нулю после удара).
Абсолютно упругим называется удар, при котором сохраняется не только сумма импульсов, но и сумма кинетических энергий ударяющихся тел.
Для абсолютно упругого удара справедливы уравнения
$m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=m_1{υ"_1}↖{→}+m_2{υ"_2}↖{→};$
${m_{1}υ_1^2}/{2}+{m_{2}υ_2^2}/{2}={m_1(υ"_1)^2}/{2}+{m_2(υ"_2)^2}/{2}$
где $m_1, m_2$ — массы шаров, $υ_1, υ_2$ —скорости шаров до удара, $υ"_1, υ"_2$ —скорости шаров после удара.
