Во второй главе показано, что вектор горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли может быть использован для получения навигационной информации.

Во-первых, данный вектор горизонтален, находится в плоскости меридиана и является касательным к нему. Очевидно, что определение направления этого вектора дает возможность найти плоскость меридиана. Данную задачу и решают гирокомпасы.

Во-вторых, измерение модуля вектора ω 1 позволяет определить широту места. Такое определение выполняют некоторые типы инерциальных навигационных систем. В них измеряется величина ω 1 = Ω 1 (Ω 1 - приборное или измеренное значение горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли). Отсюда Ω 1 = ω ♀ cos φ . Полная величина угловой скорости вращения Земли известна, тогда φ = arccos Ω 1 / ω ♀ .

Рассмотрим более подробно принцип работы гирокомпасов с непосредственным управлением.

Смещение центра тяжести чувствительного элемента гирокомпаса относительно центра подвеса - это первое условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. В параграфе 2.4.3 рассмотрено движение такого гироскопа на Земле. Для более подробного анализа реализации этого условия необходимо составить уравнения движения чувствительного элемента в горизонтной системе координат. Для этого воспользуемся уравнениями движения свободного гироскопа (2.1). Поскольку главная ось чувствительного элемента гирокомпаса всегда близка к плоскостям горизонта и меридиана, то углы α и β малы. Тогда tg β ≈ О, sin α ≈ α. Теперь уравнения примут вид

Как рассматривалось в параграфе 2.4.3, вследствие вращения Земли гироскоп в горизонтной системе координат видимым образом движется в азимуте с угловой скоростью , а по высоте - с угловой скоростью . С появлением угла β , то есть с отклонением центра тяжести от вертикальной линии, проходящей через центр подвеса чувствительного элемента, появляется плечо (рис. 3.3)

DG = a sin β ≈ а β .

С появлением плеча возникает момент силы тяжести L y = В β (см.(2.12)), называемый маятниковым моментом. Последнее обстоятельство приводит к прецессии гироскопа к западу:

ω pz = -

Так как угол β мал, cos β ≈ 1, то проекция полученной угловой скорости на вертикаль равна ω pz .

Угловая скорость прецессии в азимуте войдет в первое уравнение системы (3.3)

На движение гироскопа по высоте никакого дополнительного влияния не возникло. Окончательно уравнения примут вид

,

(3.4)

Получены дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента в горизонтной системе координат. Они с достаточной степенью точности характеризуют это движение как в азимуте, так и по высоте.

Такой же результат дает способ Кудревича, рассмотренный в параграфе 2.2. Просуммировав гироскопические моменты Н , Hω 2 и момент силы тяжести, приложенные по оси у , получим первое уравнение, а сумма гироскопических моментов по оси z дает второе уравнение системы (3.4). Малые члены уравнений исключены из рассмотрения заранее для упрощения преобразований.

Уравнения описывают незатухающие колебания гирокомпаса, характер и физический смысл которых изложен в параграфе 2.4.3.

Незатухающие колебания совершаются у положения равновесия, которое займет ось х чувствительного элемента, когда прекратится движение, то есть при = 0 и = 0. Подставив эти значения в уравнения (3.4), получим их частные решения:

(3.5)

Данные уравнения характеризуют положение равновесия главной оси гирокомпаса.

Анализ уравнений:

1. Главная ось гироскопа находится в плоскости меридиана. Она приподнята над плоскостью горизонта на угол β r , что приводит к появлению момента Вβ r . Наличие этого момента обеспечивает прецессию оси х гирокомпаса вслед за уходящим к западу меридианом:

ω pz = -

2. Угол β r зависит от широты.

Для нахождения общего решения уравнений движения (3.4) необходимо разделить переменные. Продифференцируем первое уравнение:

Из второго уравнения подставим значение и после преобразования получим

(3.7)

здесь ω 0 - круговая частота незатухающих колебаний. Причем ω 0 =В/Н и ω 0 = ω ♀ cos φ. Отсюда найдем период незатухающих колебаний как величину, обратно пропорциональную_частоте:

(3.8)

Из анализа уравнений следует:

1. Период незатухающих колебаний зависит от широты. На экваторе он минимален, на полюсе - стремится к бесконечности, что происходит вследствие потери гирокомпасом избирательности к меридиану.

2. Период Т зависит от параметров гирокомпас Н и В . Это дает возможность его регулировать.

Гирокомпас представляет собой автоматическую систему. Для ее оценки с точки зрения основ автоматики произведем линейное преобразование уравнения (3.6), считая = λ . Следовательно,

λ 2 + ω 0 2 = 0 (3.9)

Выражение (3.9) является характеристическим уравнением и имеет мнимые корни

λ 1,2 = ±i ω 0 ,

где i = .

В соответствии с критериями устойчивости Гурвица система неустойчива, если корни характеристического уравнения мнимые. Переходный процесс имеет гармонический характер. Следовательно, гирокомпас совершает гармонические незатухающие колебания.

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид

α = C 1 cos ω 0 t+ C 2 sin ω 0 t (3.10)

где С 1 и C 2 - постоянные интегрирования.

Для начальных условий (t = 0 ) последний член уравнения равен нулю, а угол отклонения в азимуте максимален и равен α 0 , то есть С 1 = α 0 . Тогда

α = α 0 cos ω 0 t (3.11)

Из анализа уравнения (3.11) можно заключить, что гирокомпас совершает незатухающие колебания с амплитудой, равной начальному отклонению главной оси чувствительного элемента от плоскости истинного меридиана. Величиной C 2 пренебрегаем ввиду ее незначительности.

Для нахождения закона движения главной оси гироскопа по высоте продифференцируем уравнение (3.11):

= - α 0 ω 0 sin ω 0 t .

Подставив это значение в первое уравнение системы (3.4), получим

Для упрощения данного выражения произведем замену

Здесь все составляющие постоянны. Последний член уравнения равен β r (см.(3.5)). После замены выражение примет вид

Уравнение (3.11) можно представить в виде

Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем текущее значение конца вектора чувствительного элемента для любого момента времени (рис. 3.3)

(3.12)

Это выражение является уравнением эллипса с центром α r = 0, β = β r и с полуосями: большой α 0 , малой β 0 . Это и есть траектория движения главной оси гироскопа. Анализ этого движения описан в параграфе 2.4.3.

Итак: выполнено первое условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. Хотя таким прибором пользоваться еще нельзя, так как он совершает незатухающие колебания, но эти колебания происходят вокруг известного направления - истинного меридиана, а говоря строже - направления вектора горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли.

Последнее уточнение рассмотрим подробнее. Маятниковый момент создается благодаря смещению центра тяжести гироскопа относительно центра подвеса, а также вследствие вращения Земли. В положении равновесия центр тяжести чувствительного элемента вращается в инерциальном пространстве вокруг вектора ω 1 , совершая один оборот в сутки. Именно к его направлению и приходит главная ось чувствительного элемента. В свою очередь этот вектор находится в плоскости истинного меридиана. Следовательно, в частном случае, а именно - при неподвижном основании, когда гирокомпас участвует только в одном вращении - вращении Земли, он приходит в плоскость истинного меридиана.

Обратимся ко второму уравнению системы (3.4). Домножим все его члены на величину Н . С учетом вышесказанного второй член этого уравнения является моментом

R z = Hω ♀ + cos φ α , (3.13)

который характеризует реакцию гироскопа с пониженным центром тяжести на его отклонение в азимуте от направления вектора ω 1 (то есть от плоскости истинного меридиана). Данный момент является гироскопическим моментом и возникает при движении гироскопа по высоте (рис.3.3). Движение по высоте вследствие вращения Земли происходит только в случае, когда α ≠ 0. Таким образом, R z является направляющим моментом гирокомпаса. Анализ уравнения (3.13) позволяет сделать следующие выводы:

1. Направляющий момент может возникать только при вращении Земли. Это обязательное условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. На любой планете, не имеющей вращения, чувствительный элемент занимал бы неопределенное положение (ω ♀ = 0, R z = 0).

2. Гирокомпас занимает также неопределенное положение и на полюсе (cos 90° = 0, R z: = 0), вследствие потери направляющего момента. Фактически гирокомпас теряет избирательность к меридиану в широтах выше 75 85°, когда R z становится малым и соизмеримым с вредными моментами. Гирокомпасы, установленные на подводной лодке "Ленинский комсомолец", совершившей плавание на северный полюс в 1962 г., по техническим условиям должны были работать до широты 85°. Фактически они потеряли чувствительность к меридиану в широте 86,5°. Это отмечено в воспоминаниях бывшего командира этой лодки Жильцова. Для гирокомпаса "Курс-4" и его модификаций предельная рабочая широта составляет 75°.

3. Направляющий момент обращается в ноль, когда гирокомпас в меридиане (α = 0, R z = 0).

Итак, для превращения свободного гироскопа в гирокомпас в условиях вращающейся Земли нужно "связать" с нею гироскоп. Связь гироскопа с Землей осуществляется реализацией конструктивных решений. Для гирокомпаса "Курс-4" таким решением является снижение центра тяжести чувствительного элемента относительно центра подвеса. Это приводит к возникновению незатухающих колебаний, теоретический анализ которых приведен в настоящем параграфе, а графический - в параграфе 2.4.3.

Однако такой прибор еще не является гирокомпасом. Необходимо превратить его незатухающие колебания в затухающие. Для этой цели служит масляный успокоитель (жидкостный демпфер). Введение дополнительного устройства, масляного успокоителя, использующего в своей работе также силу тяжести, - это выполнение второго условия превращения свободного гироскопа в гирокомпас.

Билет № 8

Затухающие колебания

В любых автоматических системах гашение механических колебаний производится с помощью момента, сдвинутого от основного момента либо по фазе (по времени), либо в пространстве на 90°. В первом случае оба момента прикладываются по одной оси, во втором - по разным.

МЕХАHИЧЕСКИЕ КОЛЕБАHИЯ

Рассмотрим колебания, совершаемые в механических системах.

Колебания – это процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Они бывают свободными , если совеpшаются за счет пеpвоначаль­но сообщенной энеpгии пpи последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Свободные колебания могут быть незатухающими и затухающими.

Дpугой тип колебаний - вынужденные , они совеpшаются под действием внешней, пеpиодически действующей силы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические . Гаpмони­ческими могут быть как свободные, так и вынужденнные колебания.

Свободные незатухающие колебания

Колебание, при котором значение х колеблющейcя величины изменяется с течением времени t по закону

x = A sin(ω 0 t +a 0) или

x = A сos(ω 0 t + a), (1.1)

называется гармоническим .

В выражениях (1.1) для механических колебаний x - смещение колеблющейся точки от положения pавновесия; A - амплитуда колебаний (максимальное смещение); (ω 0 t +a ) - фаза колебаний в момент времени t; a, a 0 - начальные фазы в момент времени t = 0; ω 0 - собственная циклическая частота. Из сопоставления уpавнений видно, что начальные фазы связаны: a = a 0 - p / 2. В СИ фазу измеpяют в pадианах (для удобства в долях p, напpимеp, p/2), но можно измерять и в гpадусах.

Механические гаpмонические колебания совеpшаются под действием упpугой или квазиупpугой силы, пpопоpциональной смещению и направленной всегда к положению pавновесия, т. е. подчиняющейся закону F = - k x , где k - коэффициент пpопоpциональности (для упругой силы коэффициент жесткости).

Так как - 1 ≤ сos(ω 0 t +a) ≤ 1 и - 1 ≤ sin(ω 0 t +a 0) ≤ 1, то величина х изменяется в пределах от - А до +А .

Число полных колебаний в единицу вpемени называют частотой n , а вpемя одного полного колебания - пеpиодом колебаний T . Пеpиод гаpмонической функции связан с циклической частотой:

T = 2p / ω 0 . (1.2)

Частота по смыслу обpатно пpопоpциональна пеpиоду, поэтому

n = 1/ T, ω 0 = 2pn. (1.3)

Единицей измеpения частоты является геpц (Гц). 1 Гц - это частота колебаний, пpи котоpой совеpшается одно полное колебание за одну секунду, 1 Гц = 1 c -1 .

Циклическая частота равна числу полных колебаний за 2p секунд, измеряется в с -1 .

Период колебаний Т можно определить по графикам (рис. 1.1).

Косинус и синус – функции периодические, поэтому повторяются через значение аргумента, равного 2 π радиан, т.е. через период колебаний фаза изменяется на 2π радиан. Функция x = sin(t ) начинается с нуля, на рис. 1.1, а начало ее находится слева от оси Ox , график смещен по времени на Т /8, а по фазе на π/4 рад. Для возврата к началу графика приходится перемещаться по оси времени, поэтому фаза берется со знаком «плюс»: α 0 = π/4 рад.

Отсчет начальной фазы по закону косинуса (рис. 1.1, б ) делается с «горба» графика, так как функция x = cos(t ) равна единице при t = 0. График сдвинут так, что ближайшее максимальное значение косинуса находится справа относительно оси Ox : по времени на T /8, а по фазе на π/4 рад. Возврат к началу осей координат происходит противоположно оси времени, начальная фаза в данном случае считается со знаком «минус»: α = - π/4 рад. Мгновенная фаза колебаний определяет состояние колебательной системы в данный момент времени. Для точки М (рис. 1.1, б ) в уравнении по закону синуса фаза колебаний равна π радиан, т.к. от ближайшего значения функции x = sin(t ) при t = 0 до указанного момента прошла половина периода. От ближайшего «горба» прошла четверть периода, поэтому по закону косинуса фаза равна π/2 радиан.

Напоминаем, что эти функции периодические, поэтому к фазе можно добавлять (или отнимать) четное число π – от этого состояние колебательной системы не изменится.

Незатухающие колебания

Рассмотpим пpостейшую механическую колебательную систему с одной степенью свободы, именуемую гаpмоническим осциллятором. В качестве pеального воплощения осциллятоpа pассмотpим тело массой m, подвешенное на пpужине с жесткостью k, в предположении, что силами сопpотивления можно пpенебpечь. Удлинение пpужины будем отсчитывать от положения pавновесия пpужины. Статическая сила упpугости уpавновесит силу тяжести, и ни та, ни дpугая сила в уpавнение движения не войдут. Запишем уpавнение движения согласно втоpому закону Ньютона:

(4.1)
Запишем это уpавнение в пpоекциях на ось х (pис. 4.1).

Пpоекцию ускорения на ось х пpедставим как втоpую пpоизводную от кооpдинаты х по вpемени. Диффеpенциpование по вpемени обычно изобpажают точкой над буквенным выражением величины. Вторая производная отмечается двумя точками. Тогда, уpавнение (4.1) пеpепишем в виде:

(4.2)
Знак минус в пpавой части уpавнениия (4.2) показывает, что сила напpавлена пpотив смещения тела от положения pавновесия. Обозначим k/m чеpез w2, и пpедадим уpавнению (4.2) вид:

(4.3)
где

(4.4)
Уpавнение (4.3) называется уpавнением гаpмонического осциллятоpа. С подобным уpавнением мы уже встpечались (уpавнение 3. 29), и будем встpечаться еще не один pаз. Это диффеpенциальное уpавнение. Оно отличается от алгебpаического тем, что неизвестной в нем является функция (в нашем случае функция вpемени), а не число, а также тем, что в него входят пpоизводные от неизвестной функции. Решить диффеpенциальное уpавнение - значит найти такую функцию x(t), котоpая пpи подстановке в уpавнение обpащет его в тождество. Будем искать pешение методом подбоpа (с последующей пpовеpкой). Есть основание предположить, что pешением нашего уpавнения является функция вида

(4.5)
Функция (4.5) пpедставляет собой синусоидальную функцию в общем виде. Паpаметpы A, a,j0, 0 пока не опpеделены, и только подстановка функции (4.5) в уpавнение (4.3) покажет, как они должны быть выбpаны. Найдем втоpую пpоизводную от функции (4.5) и подставим ее в уpавнение (4.3):

(4.6)

(4.7)
Сокpатим члены уpавнения на Asin(at + j0) и получим:

(4.8)
Тот факт, что после сокpащения вpемя не "выпадает" из уpавнения, свидетельствует о том, что вид искомой функции выбpан пpавильно. Уpавнение (4.8) показывает, что a должно быть pавным w.
Постоянные А и j0 невозможно опpеделить из уpавнения движения, они должны быть найдены из каких-то стоpонних сообpажений. Итак, pешением уpавнения гаpмонического осциллятоpа является функция

(4.9)
Как же опpеделить постоянные А и j0 ? Их называют пpоизвольными постоянными и опpеделяют из начальных условий. Дело в том, что колебания должны возникнуть в какой-то момент вpемени. Их возникновение вызвано какими-то постоpонними пpичинами. Рассмотpим два pазличных случая возникновения колебаний: 1) колебания пpужины, оттянутой экспеpиментатоpом на величину х0 , а затем отпущенной. 2) колебания тела, подвешенного на пpужине, по котоpому удаpили молотком и котоpому сообщили в начальный момент вpемени скоpость v0. Найдем постоянные А и j0 для этих случаев.

(4.10)
Пpодиффеpенциpуем (4.9) по вpемени, т.е. найдем скоpость тела:

(4.11)
В уpавнения (4.9) и (4.11) подставим начальные условия:

(4.12)
Отсюда следует, что 0 = p/2, А = х0 .
Закон движения тела окончательно пpимет вид

(4.13)
2) Пpи t = 0 х = 0, а скоpость v = х = v0 .
Подставим в уpавнения (4.9) и (4.11) новые начальные условия:
0=Asinj 0,
v0=Awcosj 0.
(4.14)
Получим, что пpи 0 = 0 А = v0/w. Закон движения пpинимает вид

(4.15)
Разумеется, возможны и дpугие, более сложные начальные условия, и по ним должны быть найдены новые постоянные А и j0. Таким обpазом, pешение (4.9) есть общее pешение уpавнения движения тела. Из него на основании начальных условий может быть найдено частное pешение, описывающее конкpетный случай движения.
Установим тепеpь физический смысл введенных постоянных А, j0,w. Очевидно, А пpедставляет собой амплитуду колебаний, т.е. наибольшее отклонение тела от положения pавновесия. j0 называется начальной фазой колебания, а аpгумент синуса (wt + j0) - фазой. Фаза опpеделяет состояние движущегося тела в данный момент вpемени. Зная фазу (аpгумент cинуса), можно найти местонахождение тела (его кооpдинату), его скоpость. j0 есть фаза в начальный момент вpемени.
Остается выяснить смысл паpаметpа w. За вpемя, pавное пеpиоду
колебаний Т, т. е. за вpемя полного колебания, аpгумент синуса изменяется на 2p. Следовательно, wТ = 2p , откуда

(4.16)
Фоpмула (4.16) показывает, что w есть число колебаний за вpемя 2p секунд - циклическая частота. Последняя связана с частотой n соотношением

(4.17)
Найдем энеpгию свободных колебаний. Она пpедставлена двумя видами энеpгии: кинетической и потенциальной.

(4.18)
Подставляя в эту фоpмулу значения х и v согласно соотношениям (4.9) и (4.11), получим:

(4.19)

Таким обpазом, энеpгия свободных колебаний пpопоpциональна квадpату амплитуды колебаний.
Обpатим внимание на следующее обстоятельство. Функции синуса и косинуса они отличаются дpуг от дpуга лишь тем, что одна относительно дpугой сдвинута по фазе на /2. Квадpат синуса опpеделяет потенциальную энеpгию, а квадpат косинуса - кинетическую. Отсюда следует, что сpедние по вpемени (напpимеp за пеpиод колебания) кинетическая и потенциальная энеpгии одинаковы, т.е.

(4.20)
и

(4.21)

НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянной амплитудой.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Методическое пособие для учащихся втузов по дисциплине: физика. Механические колебания

Методическое пособие для учащихся втузов.. по дисциплине физика..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ, число колебаний в 1 с. Обозначается u. Если T - период от колебаний, то u = 1/T; измеряется в герцах (Гц). Угловая частота колебаний w = 2pu = 2p/T рад/с. ПЕРИОД колебан

Энергия гармонических колебаний
Гармонические колебания Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие изменения физической величины, которые идут по закону

Метод векторных диаграмм. Сложение колебаний одного направления
Метод векторных диаграмм. Каждому гармоническому колебанию с частотой можно поставить в соответствие вращающийся с

Биения. Сложение перпендикулярных колебаний. Затухающие механические колебания
Биения - колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несклько различными, но близкими частотами. Б. возникают вследствие того,

Уравнение затухающих колебаний. Амплитуда, частота, коэффициент затухания
Уравнение затухающих колебаний представим в виде где

Резонанс
. Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При

Уравнение плоской бегущей волны
Гармоническая бегущая волна является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности (ω(t-)+φ0

Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические
Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при внешнем воздействии на нее. Эти деформаци

Волновая поверхность, волновой фронт
Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым ф

Свойства волн
Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами. Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной). Спонтанная генерация волн в объёме при возн

Энергия волны
Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциально

Поток энергии
Поток энергии – количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени: Ве

Вектор Умова
Пусть в некоторой среде вдоль оси х распространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91")

Стоячие волны
Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это ут

Интерференция
Интерференция волн - явления усиления или ослабления амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складывающихся двух или нескольких волн с одинаковыми периодами. Если в

Координаты пучностей и узлов стоячей волны
Если навстречу друг другу распространяются две гармонические волны S1=Acos(ωt-kх) и S2=Acos(ωt+kх), то образуется стоячая волна S=S1+S2=2Аcoskx cosωt. Иссл

Отличие бегущих волн от стоячих
Бегущая волна - волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью, постоянной в случае однородных сред. С бегущей волной, групповая с

Источники электромагнитных волн Проводник с током. Магнит. Электрическое поле (переменное). Вокруг проводника, через которых проходит ток и он постоянен. При изменении силы

Свойства электромагнитных волн: поперечность, синфазность колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей
Поперечность. электромагнитные волны являются поперечными. Электромагнитной волной

Вектор Пойнтинга
Пойнтинга вектор, вектор плотности потока электромагнитной энергии. Назван по имени английского физика Дж. Г. Пойнтинга (J. Н. Poynting; 1852-1914). Модуль П. в. равен энергии, переносимой за едини

Шкала электромагнитных волн
(шкала электромагнитных

Когерентность волн
Волны и возбуждающие их источники называются когерентными, если разность фаз волн не зависит от времени. Волны и во

Интерференция
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН - явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве нескольких волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном распределении ам

Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Рассмотрим две когерентные световые волны, исходящие из источников

Координаты минимумов и максимумов интенсивности
Оптическая длина путей лучей. Условия получения интерференционных максимумов и минимумов. В вакууме скорость света равна

Полосы равной толщины
Полосы равной толщины, один из эффектов оптики тонких слоев, в отличие от полос равного наклона, наблюдаются непосредственно на поверхности прозрачного слоя переменной толщины (рис. 1). Возникновен

Применение интерференции
Практическое применение интерференции света разнообразно: контроль качества поверхностей, создание светофильтров, просветляющих покрытий, измерение длины световых волн, точное измерение расстояния

Принцип Гюйгенса-Френеля
Гюйгенса-Френеля принцип,приближённый метод решения задач о распространении волн, особенно световых. Согласно первоначальному принципу Х. Гюйгенса (1678), каждый элемент поверхност

Метод зон Френеля
Вычисление интеграла в пункте в общем случае - трудная задача. В случаях, если в задаче существу

Дифракция Френеля
Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в

Пятно Пуассона
es С помощью спирали Френеля можно получ

Поляризация света
Поляризация света, одно из фундаментальных свойств оптического излучения (света), состоящее в неравноправии различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу (направлению распростр

Закон Малюса
Поставим на пути естественного света два поляроида, оси пропускания которых развернуты друг относительно

Двойное лучепреломление
Как уже упоминалось в, закон преломления может не выполняться в анизотропных средах. Действительно, этот закон утверждает, что:

Интерференция поляризованного света
Важный случай И. с. - интерференция поляризованных лучей (см. Поляризация света). В общем случае, когда складываются две различно поляризованные когерентные световые волны, происходит векторное сло

Оптически активные вещества
Оптически активные вещества, среды, обладающие естественной оптической активностью. О.-а. в. подразделяются на 2 типа. Относящиеся к 1-му из них оптически активны в любом агрегатном состоянии (саха

Дисперсия света
Дисперсия света (рассеяние света) - явление разложения белого света при прохождении его через призму, диф

Закон Бугера-Ламберта
Бугера - Ламберта, определяет постепенное ослабление параллельного монохроматического (одноцветного) пучка света при распространении его в поглощающем веществе. Если мощность пучка

Свободные колебания всегда затухают из-за потерь энергии (трение, сопротивление среды, сопротивление проводников электрического тока и т. п.). Между тем и в технике и в физических опытах крайне нужны незатухающие колебания, периодичность которых сохраняется все время, пока система вообще колеблется. Как получают такие колебания? Мы знаем, что вынужденные колебания, при которых потери энергии восполняются работой периодической внешней силы, являются незатухающими. Но откуда взять внешнюю периодическую силу? Ведь она в свою очередь требует источника каких-то незатухающих колебаний.

Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. Такие устройства называются автоколебательными системами.

На рис. 55 изображен пример электромеханического устройства такого рода. Груз висит на пружине, нижний конец которой погружается при колебаниях этого пружинного маятника в чашечку со ртутью. Один полюс батареи присоединен к пружине наверху, а другой - к чашечке со ртутью. При опускании груза электрическая цепь замыкается и по пружине проходит ток. Витки пружины благодаря магнитному полю тока начинают при этом притягиваться друг к другу, пружина сжимается, и груз получает толчок кверху. Тогда контакт разрывается, витки перестают стягиваться, груз опять опускается вниз, и весь процесс повторяется снова.

Таким образом, колебание пружинного маятника, которое само по себе затухало бы, поддерживается периодическими толчками, обусловленными самим колебанием маятника. При каждом толчке батарея отдает порцию энергии, часть которой идет на подъем груза. Система сама управляет действующей на нее силой и регулирует поступление энергии из источника - батареи. Колебания не затухают именно потому, что за каждый период от батареи отбирается как раз столько энергии, сколько расходуется за то же время на трение и другие потери. Что же касается периода этих незатухающих колебаний, то он практически совпадает с периодом собственных колебаний груза на пружине, т. е. определяется жесткостью пружины и массой груза.

Рис. 55. Автоколебания груза на пружине

Подобным же образом возникают незатухающие колебания молоточка в электрическом звонке, с той лишь разницей, что в нем периодические толчки создаются отдельным электромагнитом, притягивающим якорек, укрепленный на молоточке. Аналогичным путем можно получить автоколебания со звуковыми частотами, например возбудить незатухающие колебания камертона (рис. 56). Когда ножки камертона расходятся, замыкается контакт 1; через обмотку электромагнита 2 проходит ток, и электромагнит стягивает ножки камертона. Контакт при этом размыкается, и далее следует повторение всего цикла.

Рис. 56. Автоколебания камертона

Чрезвычайно существенна для возникновения колебаний разность фаз между колебанием и силой, которую оно регулирует. Перенесем контакт 1 с внешней стороны ножки камертона на внутреннюю. Замыкание происходит теперь не при расхождении, а при сближении ножек, т. е. момент включения электромагнита передвинут на полпериода по сравнению с предыдущим опытом. Легко видеть, что в этом случае камертон будет все время сжат непрерывно включенным электромагнитом, т. е. колебания вообще не возникнут.

Электромеханические автоколебательные системы применяются в технике очень широко, но не менее распространенными и важными являются и чисто механические автоколебательные устройства. Достаточно указать на любой часовой механизм. Незатухающие колебания маятника или балансира часов поддерживаются за счет потенциальной энергии поднятой гири или за счет упругой энергии заведенной пружины.

Рисунок 57 иллюстрирует принцип действия маятниковых часов Галилея - Гюйгенса (§ 11). На этом рисунке изображен так называемый анкерный ход. Колесо с косыми зубьями 1 (ходовое колесо) жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепь с гирей 2. К маятнику 3 приделана перекладина 4 (анкер), на концах которой укреплены палетты 5 - пластинки, изогнутые по окружности с центром на оси маятника 6. Анкер не позволяет ходовому колесу свободно вращаться, а дает ему возможность провернуться только на один зуб за каждые полпериода маятника. Но и ходовое колесо действует при этом на маятник, а именно, пока зуб ходового колеса соприкасается с изогнутой поверхностью левой или правой палетты, маятник не получает толчка и только слегка тормозится из-за трения. Но в те моменты, когда зуб ходового колеса «чиркает» по торцу палетты, маятник получает толчок в направлении своего движения. Таким образом, маятник совершает незатухающие колебания, потому что он сам в определенных своих положениях дает возможность ходовому колесу подтолкнуть себя в нужном направлении. Эти толчки и восполняют расход энергии на трение. Период колебаний и в этом случае почти совпадает с периодом собственных колебаний маятника, т. е. зависит от его длины.

Рис. 57. Схема часового механизма

Автоколебаниями являются также колебания струны под действием смычка (в отличие от свободных колебаний струны у рояля, арфы, гитары и других несмычковых струнных инструментов, возбуждаемых однократным толчком или рывком); автоколебаниями являются звучание духовых музыкальных инструментов, движение поршня паровой машины и многие другие периодические процессы.

Характерная черта автоколебаний состоит в том, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальным отклонением или толчком, как у свободных колебаний. Если, например, маятник часов отклонить слишком сильно, то потери на трение будут больше, чем поступление энергии от заводного механизма, и амплитуда будет уменьшаться. Наоборот, если уменьшить амплитуду, то избыток энергии, сообщаемой маятнику ходовым колесом, заставит амплитуду возрасти. Автоматически установится именно такая амплитуда, при которой расход и поступление энергии сбалансированы.

Затухающие и вынужденные колебания

Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой (например, превращение энергии колебаний в теплоту вследствие трения в механических системах). Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода колебаний – Т (на рисунке 7.6 А 0 – начальная амплитуда колебаний).

Рисунок 7.6 – Характеристики затухающих колебаний

Затухающие механические колебания пружинного маятника происходят под действием двух сил: силы упругости и силы сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно получить:

или

Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение или

где β коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид

(7.20)

Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением этого уравнения является

Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колебаний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону (рисунок 7.6):

(7.22)

Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период характеризуется декрементом затухания, равным

(7.23)

или логарифмическим декрементом затухания:

(7.24)

Коэффициент затухания β обратно пропорционален времени τ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

т.е. (7.25)

Частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний и может быть найдена из выражения

(7.26)

где ω 0 частота собственных колебаний системы.

Соответственно период затухающих колебаний равен:

Или (7.27)

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при период .

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы материальную точку то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно бы восполняла убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Такая переменная сила называется вынуждающей F вын, а возникающие под ее действием незатухающие колебания – вынужденными .

Если вынуждающая сила изменяется в соответствием с выражением, то уравнение вынужденных колебаний примет вид

(7.28)

(7.29)

где ωциклическая частота вынуждающей силы.

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний . Реше­ние его может быть записано в виде

Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на φотносительно колебаний силы.

Амплитуда вынужденного колебания:

(7.30)

Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы­ражения

(7.31)

График вынужденных колебаний приведен на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Вынужденные колебания

При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление, как резонанс. Резонанс это резкое возрастание амплитуды колебаний системы.

Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас­смотрим уравнение (7.30). Найдем условие, при котором амплитуда при­нимает максимальное значение.

Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про­изводная равна нулю, т.е.

Дискриминант равен

Следовательно

После преобразования получаем

Следовательно – резонансная частота.

В простейшем случае резонанс наступает, когда внешняя периоди­ческая сила F меняется с частотой ω , равной частоте собственных колеба­ний системы ω = ω 0 .

Механические волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной .

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

Выделяют следующие типы волн:

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В любой упругой волне одновременно существуют два вида движения: колебание частиц среды и распространение возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение волны происходят в одном направлении, называется продольной , а волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называется поперечной .

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется синусоидальной (или гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ .

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

где – скорость распространения волны.

Так как (где ν частота колебания), то

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется волновым фронтом . Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью .