Werte von Zahlenquadraten bis zwanzig. Abgekürzte Multiplikationsformeln
Heute lernen wir, wie man große Ausdrücke ohne Taschenrechner schnell quadriert. Mit groß meine ich Zahlen im Bereich von zehn bis hundert. Große Ausdrücke sind bei echten Problemen äußerst selten und Sie wissen bereits, wie man Werte unter zehn zählt, da es sich um eine reguläre Multiplikationstabelle handelt. Das Material der heutigen Lektion wird für einigermaßen erfahrene Schüler nützlich sein, da Anfänger die Geschwindigkeit und Wirksamkeit dieser Technik einfach nicht zu schätzen wissen.
Lassen Sie uns zunächst herausfinden, worüber wir im Allgemeinen sprechen. Ich schlage als Beispiel vor, ein beliebiges zu konstruieren numerischer Ausdruck, wie wir es normalerweise tun. Sagen wir 34. Wir erhöhen es, indem wir es mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 ist das Quadrat 34.
Das Problem dieser Methode lässt sich in zwei Punkten beschreiben:
1) es erfordert eine schriftliche Dokumentation;
2) Es ist sehr leicht, bei der Berechnung einen Fehler zu machen.
Heute lernen wir, wie man schnell und ohne Taschenrechner multipliziert, mündlich und praktisch ohne Fehler.
Also lasst uns anfangen. Um zu funktionieren, benötigen wir die Formel für das Quadrat von Summe und Differenz. Schreiben wir sie auf:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Was bringt uns das? Tatsache ist, dass jeder Wert im Bereich von 10 bis 100 als die Zahl $a$, die durch 10 teilbar ist, und die Zahl $b$, die der Rest der Division durch 10 ist, dargestellt werden kann.
Beispielsweise kann 28 wie folgt dargestellt werden:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Die restlichen Beispiele präsentieren wir auf die gleiche Weise:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Was sagt uns diese Idee? Tatsache ist, dass wir die oben beschriebenen Berechnungen auf eine Summe oder eine Differenz anwenden können. Um die Berechnungen zu verkürzen, sollten Sie natürlich für jedes Element den Ausdruck mit dem kleinsten zweiten Term wählen. Beispielsweise sollten Sie aus den Optionen 20+8$ und 30-2$ die Option 30-2$ wählen.
In ähnlicher Weise wählen wir Optionen für die verbleibenden Beispiele aus:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Warum sollten wir bei der schnellen Multiplikation danach streben, den zweiten Term zu verkürzen? Es geht um die anfänglichen Berechnungen des Quadrats der Summe und der Differenz. Tatsache ist, dass der Term $2ab$ mit einem Plus oder einem Minus bei der Lösung realer Probleme am schwierigsten zu berechnen ist. Und wenn sich der Faktor $a$, ein Vielfaches von 10, immer leicht multiplizieren lässt, dann haben viele Schüler mit dem Faktor $b$, einer Zahl zwischen eins und zehn, regelmäßig Schwierigkeiten.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Also haben wir in drei Minuten die Multiplikation von acht Beispielen durchgeführt. Das sind weniger als 25 Sekunden pro Ausdruck. In Wirklichkeit werden Sie mit ein wenig Übung sogar noch schneller zählen. Die Berechnung eines zweistelligen Ausdrucks dauert nicht länger als fünf bis sechs Sekunden.
Aber das ist nicht alles. Wem die gezeigte Technik nicht schnell genug und cool genug erscheint, dem empfehle ich noch mehr schneller Weg Multiplikation, die allerdings nicht bei allen Aufgaben funktioniert, sondern nur bei solchen, die sich von Vielfachen von 10 um eins unterscheiden. In unserer Lektion gibt es vier solcher Werte: 51, 21, 81 und 39.
Es scheint viel schneller zu sein; wir zählen sie bereits buchstäblich in ein paar Zeilen. Tatsächlich ist jedoch eine Beschleunigung möglich, und zwar wie folgt. Wir schreiben den Wert auf, der ein Vielfaches von zehn ist und dem, was wir brauchen, am nächsten kommt. Nehmen wir zum Beispiel 51. Bauen wir also zunächst fünfzig auf:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Vielfache von zehn lassen sich viel einfacher quadrieren. Und jetzt addieren wir einfach fünfzig und 51 zum ursprünglichen Ausdruck. Die Antwort wird dieselbe sein:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Und das gilt auch für alle Zahlen, die sich um eins unterscheiden.
Wenn der gesuchte Wert größer ist als der von uns gezählte Wert, addieren wir Zahlen zum resultierenden Quadrat. Wenn die gewünschte Zahl kleiner ist, wie im Fall von 39, müssen Sie beim Ausführen der Aktion den Wert vom Quadrat subtrahieren. Üben wir ohne Taschenrechner:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Wie Sie sehen, sind die Antworten in allen Fällen die gleichen. Darüber hinaus ist diese Technik auf alle benachbarten Werte anwendbar. Zum Beispiel:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
In diesem Fall müssen wir uns die Berechnungen der Summen- und Differenzquadrate nicht merken und einen Taschenrechner verwenden. Die Arbeitsgeschwindigkeit ist nicht zu loben. Denken Sie daher daran, üben Sie und wenden Sie es in der Praxis an.
Wichtige Punkte
Mit dieser Technik können Sie ganz einfach alle natürlichen Zahlen im Bereich von 10 bis 100 multiplizieren. Darüber hinaus werden alle Berechnungen mündlich, ohne Taschenrechner und sogar ohne Papier durchgeführt!
Denken Sie zunächst an die Quadrate der Werte, die ein Vielfaches von 10 sind:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]
So zählen Sie noch schneller
Aber das ist noch nicht alles! Mithilfe dieser Ausdrücke können Sie Zahlen, die an die Referenzzahlen „angrenzen“, sofort quadrieren. Wir kennen zum Beispiel 152 (Referenzwert), müssen aber 142 finden (eine benachbarte Zahl, die um eins kleiner als der Referenzwert ist). Schreiben wir es auf:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]
Bitte beachten: keine Mystik! Quadrate von Zahlen, die sich um 1 unterscheiden, erhält man eigentlich durch Multiplikation der Referenzzahlen mit sich selbst durch Subtraktion oder Addition zweier Werte:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]
Warum passiert das? Schreiben wir die Formel für das Quadrat der Summe (und Differenz) auf. Sei $n$ unser Referenzwert. Dann werden sie wie folgt berechnet:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- das ist die Formel.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- eine ähnliche Formel für Zahlen größer als 1.
Ich hoffe, dass Ihnen diese Technik bei all Ihren anspruchsvollen Mathe-Tests und Prüfungen Zeit spart. Und das ist alles für mich. Auf Wiedersehen!
Abgekürzte Multiplikationsformeln.
Studieren abgekürzter Multiplikationsformeln: das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke; Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke; Kubus der Summe und Kubus der Differenz zweier Ausdrücke; Summen und Differenzen von Würfeln zweier Ausdrücke.
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln beim Lösen von Beispielen.
Um Ausdrücke zu vereinfachen, Polynome zu faktorisieren und Polynome auf die Standardform zu reduzieren, werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet. Abgekürzte Multiplikationsformeln müssen auswendig gelernt werden.
Seien a, b R. Dann:
1. Das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke ist gleich das Quadrat des ersten Ausdrucks plus das Doppelte des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke ist gleich das Quadrat des ersten Ausdrucks minus das Doppelte des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Differenz der Quadrate zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Ausdrücke und ihrer Summe.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Würfel der Summe zwei Ausdrücke ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten plus der Potenz des zweiten Ausdrucks.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Differenzwürfel zwei Ausdrücken ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten minus der Potenz des zweiten Ausdrucks.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Summe der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe des ersten und zweiten Ausdrucks und dem unvollständigen Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Differenz der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz des ersten und des zweiten Ausdrucks mit dem unvollständigen Quadrat der Summe dieser Ausdrücke.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln beim Lösen von Beispielen.
Beispiel 1.
Berechnung
a) Mit der Formel für das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke erhalten wir
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Mit der Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke erhalten wir
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Beispiel 2.
Berechnung
Mit der Formel für die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke erhalten wir
Beispiel 3.
Vereinfachen Sie einen Ausdruck
(x - y) 2 + (x + y) 2
Verwenden wir die Formeln für das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Abgekürzte Multiplikationsformeln in einer Tabelle:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Das Quadrat einer Zahl ist das Ergebnis einer mathematischen Operation, die diese Zahl in die zweite Potenz erhebt, also diese Zahl einmal mit sich selbst multipliziert. Es ist üblich, eine solche Operation wie folgt zu bezeichnen: Z2, wobei Z unsere Zahl ist, 2 der Grad des „Quadrats“. In unserem Artikel erfahren Sie, wie Sie das Quadrat einer Zahl berechnen.
Berechnen Sie das Quadrat
Wenn die Zahl einfach und klein ist, können Sie dies leicht tun, entweder im Kopf oder mithilfe der Multiplikationstabelle, die wir alle gut kennen. Zum Beispiel:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Wenn die Zahl groß oder „riesig“ ist, können Sie entweder die Quadrattabelle verwenden, die jeder in der Schule gelernt hat, oder einen Taschenrechner. Zum Beispiel:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Um das erforderliche Ergebnis aus den beiden obigen Beispielen zu erhalten, können Sie diese Zahlen auch in einer Spalte multiplizieren.
Um das Quadrat eines beliebigen Bruchs zu erhalten, müssen Sie:
- Wandeln Sie einen Bruch (wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat oder eine Dezimalzahl ist) in einen unechten Bruch um. Wenn der Bruch korrekt ist, muss nichts umgerechnet werden.
- Multiplizieren Sie den Nenner mit dem Nenner und den Zähler mit dem Zähler des Bruchs.
Zum Beispiel:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
Bei jeder dieser Optionen ist es am einfachsten, einen Taschenrechner zu verwenden. Dazu benötigen Sie:
- Geben Sie eine Zahl auf der Tastatur ein
- Klicken Sie auf die Schaltfläche mit dem „Multiplizieren“-Zeichen
- Drücken Sie die Taste mit dem Gleichheitszeichen
Sie können auch jederzeit Internetsuchmaschinen wie Google nutzen. Dazu müssen Sie lediglich die entsprechende Suchanfrage in das Suchmaschinenfeld eingeben und erhalten ein vorgefertigtes Ergebnis.
Beispiel: Um das Quadrat der Zahl 9,17 zu berechnen, müssen Sie 9,17*9,17 oder 9,17^2 oder „9,17 zum Quadrat“ in die Suchmaschine eingeben. Bei jeder dieser Optionen liefert Ihnen die Suchmaschine das richtige Ergebnis – 84,0889.
Jetzt wissen Sie, wie Sie das Quadrat jeder Zahl berechnen, die Sie interessiert, sei es eine ganze Zahl oder ein Bruch, egal ob sie groß oder klein ist!
