Bedingte Lagrange-Extrema online. Lokale Extreme

Definition1: Eine Funktion soll ein lokales Maximum an einem Punkt haben, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jeden Punkt gilt M mit Koordinaten (x, y) Ungleichung gilt: . In diesem Fall also das Inkrement der Funktion< 0.

Definition2: Eine Funktion soll ein lokales Minimum an einem Punkt haben, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jeden Punkt gilt M mit Koordinaten (x, y) Ungleichung gilt: . In diesem Fall ist also das Inkrement der Funktion > 0.

Definition 3: Die Punkte des lokalen Minimums und Maximums werden aufgerufen Extrempunkte.

Bedingte Extreme

Beim Finden von Extrema einer Funktion vieler Variablen treten häufig Probleme im Zusammenhang mit der sogenannten auf bedingtes Extremum. Dieses Konzept lässt sich am Beispiel einer Funktion zweier Variablen erläutern.

Gegeben seien eine Funktion und eine Gerade L auf der Oberfläche 0xy. Die Aufgabe besteht darin, an die Reihe zu kommen L Finden Sie einen solchen Punkt P(x, y), bei dem der Wert einer Funktion im Vergleich zu den Werten dieser Funktion an Punkten auf der Geraden am größten oder kleinsten ist L, in der Nähe des Punktes gelegen P. Solche Punkte P werden genannt bedingte Extrempunkte Funktionen online L. Im Gegensatz zum üblichen Extrempunkt wird der Wert der Funktion am bedingten Extrempunkt mit den Werten der Funktion nicht an allen Punkten ihrer Nachbarschaft verglichen, sondern nur an denen, die auf der Geraden liegen L.

Es ist absolut klar, dass der Punkt des üblichen Extremums (man sagt auch unbedingtes Extremum) ist auch ein bedingter Extrempunkt für jede Linie, die durch diesen Punkt verläuft. Das Gegenteil ist natürlich nicht der Fall: Der bedingte Extrempunkt ist möglicherweise nicht der gewöhnliche Extrempunkt. Lassen Sie mich das, was ich gesagt habe, anhand eines einfachen Beispiels erklären. Der Graph der Funktion ist die obere Hemisphäre (Anhang 3 (Abb. 3)).

Diese Funktion hat im Ursprung ein Maximum; der Scheitelpunkt entspricht ihm M Hemisphären. Wenn die Linie L Es gibt eine Linie, die durch die Punkte geht A Und IN(ihre Gleichung x+y-1=0), dann ist das für die Punkte dieser Geraden geometrisch klar Höchster Wert Die Funktion wird an einem Punkt erreicht, der in der Mitte zwischen den Punkten liegt A Und IN. Dies ist der Punkt des bedingten Extremums (Maximums) der Funktion auf dieser Linie; es entspricht dem Punkt M 1 auf der Hemisphäre, und aus der Abbildung wird deutlich, dass hier von keinem gewöhnlichen Extremum die Rede sein kann.

Beachten Sie, dass wir im letzten Teil des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich zu finden, die Extremwerte der Funktion an der Grenze dieses Bereichs finden müssen, d.h. auf einer Zeile und lösen dadurch das Problem des bedingten Extremums.

Fahren wir nun mit der praktischen Suche nach den bedingten Extrempunkten der Funktion Z= f(x, y) fort, vorausgesetzt, dass die Variablen x und y durch die Gleichung (x, y) = 0 zusammenhängen. Wir nennen diese Beziehung die Verbindungsgleichung. Wenn y aus der Kopplungsgleichung explizit durch x ausgedrückt werden kann: y=(x), erhalten wir eine Funktion einer Variablen Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Nachdem wir den Wert x gefunden haben, bei dem diese Funktion ein Extremum erreicht, und dann aus der Verbindungsgleichung die entsprechenden y-Werte bestimmt haben, erhalten wir die gewünschten Punkte des bedingten Extremums.

Im obigen Beispiel ergibt sich also aus der Beziehungsgleichung x+y-1=0 y=1-x. Von hier

Es lässt sich leicht überprüfen, dass z sein Maximum bei x = 0,5 erreicht; aber dann ergibt sich aus der Verbindungsgleichung y = 0,5, und wir erhalten genau den Punkt P, gefunden aus geometrischen Überlegungen.

Das Problem eines bedingten Extremums kann sehr einfach gelöst werden, wenn die Verbindungsgleichung durch parametrische Gleichungen x=x(t), y=y(t) dargestellt werden kann. Wenn wir Ausdrücke für x und y in diese Funktion einsetzen, stoßen wir wieder auf das Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen zu finden.

Wenn die Kopplungsgleichung mehr als hat komplexes Aussehen und wir nicht in der Lage sind, eine Variable explizit durch eine andere auszudrücken oder sie durch parametrische Gleichungen zu ersetzen, wird die Aufgabe, ein bedingtes Extremum zu finden, schwieriger. Wir gehen weiterhin davon aus, dass im Ausdruck der Funktion z= f(x, y) die Variable (x, y) = 0 ist. Die Gesamtableitung der Funktion z= f(x, y) ist gleich:

Wobei die Ableitung y` mithilfe der Differentiationsregel ermittelt wird implizite Funktion. An den Punkten des bedingten Extremums muss die gefundene Gesamtableitung gleich Null sein; Dies ergibt eine Gleichung, die x und y in Beziehung setzt. Da sie auch die Kopplungsgleichung erfüllen müssen, erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Lassen Sie uns dieses System in ein viel bequemeres umwandeln, indem wir die erste Gleichung in Form einer Proportion schreiben und eine neue Hilfsunbekannte einführen:

(Das Minuszeichen vorne dient der Einfachheit). Von diesen Gleichungen lässt sich leicht zum folgenden System übergehen:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

die zusammen mit der Verbindungsgleichung (x, y) = 0 ein System aus drei Gleichungen mit den Unbekannten x, y und bildet.

Diese Gleichungen (*) lassen sich mithilfe der folgenden Regel am einfachsten merken: um Punkte zu finden, die Punkte des bedingten Extremums der Funktion sein können

Z= f(x, y) mit der Verbindungsgleichung (x, y) = 0, müssen Sie eine Hilfsfunktion bilden

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Wo ist eine Konstante, und erstellen Sie Gleichungen, um die Extrempunkte dieser Funktion zu finden.

Das angegebene Gleichungssystem liefert in der Regel nur die notwendigen Bedingungen, d.h. Nicht jedes Wertepaar x und y, das dieses System erfüllt, ist notwendigerweise ein bedingter Extrempunkt. Ich werde keine ausreichenden Bedingungen für die Punkte des bedingten Extremums angeben; Sehr oft lässt der spezifische Inhalt des Problems selbst darauf schließen, was der gefundene Punkt ist. Die beschriebene Technik zur Lösung von Problemen auf einem bedingten Extremum wird als Lagrange-Multiplikatormethode bezeichnet.

Die Funktion z - /(x, y) sei in einem Bereich D definiert und Mo(xo, Vo) sei ein innerer Punkt dieses Bereichs. Definition. Wenn es eine Zahl gibt, bei der für alle, die die Bedingungen erfüllen, die Ungleichung wahr ist, dann wird der Punkt Mo(xo, yo) als lokaler Maximalpunkt der Funktion /(x, y) bezeichnet; wenn für alle Dx, Du die Bedingungen | erfüllen dann heißt der Punkt Mo(xo,yo) ein dünnes lokales Minimum. Mit anderen Worten, der Punkt M0(x0, y0) ist ein Punkt des Maximums oder Minimums der Funktion f(x, y), wenn es überhaupt eine 6-Umgebung des Punktes A/o(x0, y0) gibt Punkte M(x, y) davon in der Nachbarschaft, behält das Inkrement der Funktion sein Vorzeichen. Beispiele. 1. Für den Funktionspunkt - Minimalpunkt (Abb. 17). 2. Für die Funktion ist Punkt 0(0,0) der Maximalpunkt (Abb. 18). 3. Für eine Funktion ist Punkt 0(0,0) ein lokaler Maximalpunkt. 4 Tatsächlich gibt es eine Umgebung des Punktes 0(0, 0), zum Beispiel einen Kreis mit dem Radius j (siehe Abb. 19), an jedem Punkt, der sich vom Punkt 0(0,0) unterscheidet, der Wert der Funktion /(x,y) kleiner als 1 = Wir werden nur Punkte mit striktem Maximum und Minimum von Funktionen berücksichtigen, wenn strikte Ungleichung oder strikte Ungleichung für alle Punkte M(x) y) aus einer punktierten 6-Nachbarschaft erfüllt ist des Punktes Mq. Der Wert einer Funktion am Maximalpunkt wird als Maximum bezeichnet, und der Wert der Funktion am Minimalpunkt wird als Minimum dieser Funktion bezeichnet. Die Maximal- und Minimalpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion selbst werden als ihre Extrema bezeichnet. Satz 11 (notwendige Bedingung für ein Extremum). Wenn die Extremumfunktion eine Funktion von mehreren ist Variablenkonzept Extremum einer Funktion mehrerer Variablen. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen haben an dem Punkt ein Extremum, dann verschwindet an diesem Punkt jede partielle Ableitung u entweder oder existiert nicht. An dem Punkt M0(x0, yо) soll die Funktion z = f(x) y) ein Extremum haben. Geben wir der Variablen y den Wert yo. Dann ist die Funktion z = /(x, y) eine Funktion einer Variablen x\ Da sie bei x = xo ein Extremum (Maximum oder Minimum, Abb. 20) hat, dann ist ihre Ableitung nach x = „o, | (*о,л>)" Равна нулю, либо не существует. Аналогично убеждаемся в том, что) или равна нулю, или не существует. Точки, в которых = 0 и щ = 0 либо не существуют, называются критическими точками функции z = Дх, у). Точки, в которых $£ = щ = 0, называются также стационарными точками функции. Теорема 11 выражает лишь необходимые условия экстремума, не являющиеся достаточными. Пример. Функция Рис. 18 Рис.20 иммт производные которые обращаются а нуль при . Но эта функция а тонка на имват «страмума. Действительно, функция равна нулю в точке 0(0,0) и принимает в точках М(х,у), как угодно близких к точке 0(0,0), квк положительные, so und negative Werte. Dafür wird also an Punkten an Punkten (0, y) für beliebig kleine Punkte 0(0,0) des angegebenen Typs ein Mini-Max-Punkt genannt (Abb. 21). Ausreichende Bedingungen für ein Extremum einer Funktion zweier Variablen werden durch den folgenden Satz ausgedrückt. Satz 12 (ausreichende Bedingungen für ein Extremum in zwei Variablen). Der Punkt Mo(xo»Yo) sei ein stationärer Punkt der Funktion f(x, y), und in einer Umgebung des Punktes /, einschließlich des Punktes Mo selbst, hat die Funktion f(z, y) stetige partielle Ableitungen bis einschließlich zweiter Ordnung. Dann hat die Funktion /(xo, y) im Punkt Mo(xo, V0) kein Extremum, wenn D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Das Extremum der Funktion f(x, y) kann existieren oder auch nicht. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen erforderlich. m Beschränken wir uns auf den Beweis der Aussagen 1) und 2) des Satzes. Schreiben wir die Taylor-Formel zweiter Ordnung für die Funktion /(i, y): wobei. Gemäß der Bedingung ist klar, dass das Vorzeichen des Inkrements D/ durch das Vorzeichen des Trinoms auf der rechten Seite von (1) bestimmt wird, d. h. durch das Vorzeichen des zweiten Differentials d2f. Bezeichnen wir es der Kürze halber. Dann kann Gleichheit (l) wie folgt geschrieben werden: Sei am Punkt MQ(so, V0) wir haben... Da die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion f(s, y) laut Bedingung stetig sind, dann Ungleichung (3) gilt auch in einer Umgebung des Punktes M0(s0,yo). Wenn die Bedingung erfüllt ist (am Punkt А/0 und aufgrund der Stetigkeit behält die Ableitung /,z(s,y) ihr Vorzeichen in einer Umgebung des Punktes Af0. In dem Bereich, in dem А Ф 0 ist, gilt Daraus wird deutlich, dass, wenn ЛС - В2 > 0 in einer Umgebung des Punktes M0(x0) y0), das Vorzeichen des Trinoms AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 mit dem Vorzeichen von A am Punkt übereinstimmt (also , V0) (sowie mit dem Vorzeichen von C, da für AC - B2 > 0 A und C keine unterschiedlichen Vorzeichen haben können). Da das Vorzeichen der Summe AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 am Punkt (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) das Vorzeichen der Differenz bestimmt, kommen wir zu folgendem Schluss: if für die Funktion /(s,y) at die stationäre Punktbedingung (s0, V0), dann für ausreichend kleine || Ungleichheit wird befriedigt. Somit hat die Funktion /(s, y) im Punkt (sq, V0) ein Maximum. Ist die Bedingung am stationären Punkt (s0, y0) erfüllt, dann gilt für alle hinreichend kleine |Dr| und |Du| Die Ungleichung ist wahr, was bedeutet, dass die Funktion /(s, y) im Punkt (so,yo) ein Minimum hat. Beispiele. 1. Untersuchen Sie die Funktion für ein Extremum. 4 Unter Verwendung der notwendigen Bedingungen für ein Extremum suchen wir nach stationären Punkten der Funktion. Dazu ermitteln wir die partiellen Ableitungen u und setzen sie mit Null gleich. Wir erhalten ein Gleichungssystem von wo aus - einem stationären Punkt. Wenden wir nun Satz 12 an. Wir haben: Dies bedeutet, dass es im Punkt Ml ein Extremum gibt. Denn das ist das Minimum. Wenn wir die Funktion r in die Form umwandeln, ist es leicht zu erkennen, dass die rechte Seite (“) dann minimal sein wird, wenn sie das absolute Minimum dieser Funktion ist. 2. Untersuchen Sie die Funktion auf ein Extremum, für das wir ein Gleichungssystem aufstellen, sodass der Punkt stationär ist. Da es aufgrund von Satz 12 am Punkt M kein Extremum gibt. * 3. Untersuchen Sie das Extremum der Funktion. Aus dem Gleichungssystem erhalten wir das, der Punkt ist also stationär. Darüber hinaus haben wir festgestellt, dass Satz 12 die Frage nach dem Vorhandensein oder Fehlen eines Extremums nicht beantwortet. Machen wir es so. Für eine Funktion über alle Punkte, die per Definition vom Punkt A und dem Punkt A/o(0,0) verschieden sind, hat die Funktion r ein absolutes Minimum. Durch ähnliche Berechnungen stellen wir fest, dass die Funktion an dem Punkt ein Maximum hat, aber kein Extremum an dem Punkt. Eine Funktion von n unabhängigen Variablen sei an einem Punkt differenzierbar. Der Punkt Mo wird als stationärer Punkt der Funktion bezeichnet, wenn Satz 13 gilt (bis hin zu ausreichenden Bedingungen für ein Extremum). Die Funktion sei definiert und habe in einer Umgebung der Feinfunktion Mt(xi...) stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung, was eine stationäre Feinfunktion ist, wenn die quadratische Form (das zweite Differential der Funktion f in der Feinfunktion) positiv ist Definit (negativ definit), der Minimalpunkt (bzw. Fein das Maximum) der Funktion f ist dünn. Wenn die quadratische Form (4) vorzeichenwechselnd ist, dann gibt es kein Extremum in der Fein-LG0, um zu bestimmen, ob dort wird sein. quadratische Form (4) positiv oder negativ definit, Sie können zum Beispiel das Sylvester-Kriterium für die positive (negative) Definitheit einer quadratischen Form verwenden. 15.2. Bedingtes Extremum Bisher haben wir nach lokalen Extrema einer Funktion im gesamten Definitionsbereich gesucht, wenn die Argumente der Funktion nicht an zusätzliche Bedingungen gebunden sind. Solche Extrema nennt man unbedingt. Allerdings gibt es häufig Probleme beim Auffinden sogenannter bedingter Extrema. Die Funktion z = /(x, y) sei im Bereich D definiert. Nehmen wir an, dass in diesem Bereich eine Kurve L gegeben ist und wir nur unter diesen die Extrema der Funktion f(x> y) finden müssen seiner Werte, die den Punkten der Kurve L entsprechen. Dieselben Extrema werden als bedingte Extrema der Funktion z = f(x) y) auf der Kurve L bezeichnet. Definition Sie sagen das an einem Punkt, der auf der Kurve L liegt , die Funktion f(x, y) hat ein bedingtes Maximum (Minimum), wenn die Ungleichung an allen Punkten M (s, y) y) Kurve L erfüllt ist, die zu einer Umgebung des Punktes M0(x0, V0) gehören und unterschiedlich sind vom Punkt M0 (Wenn die Kurve L durch eine Gleichung gegeben ist, dann kann das Problem, das bedingte Extremum der Funktion r - f(x,y) auf der Kurve zu finden! wie folgt formuliert werden: Finden Sie Extrema der Funktion x = /(z, y) im Bereich D, vorausgesetzt, dass beim Finden der bedingten Extrema der Funktion z = y) die Argumente von Wildebeest nicht mehr als unabhängige Variablen betrachtet werden können: Sie sind durch die miteinander verknüpft Beziehung y) = 0, die als Verbindungsgleichung bezeichnet wird. Um die Unterscheidung zwischen unbedingtem und bedingtem Extremum zu verdeutlichen, schauen wir uns ein Beispiel an, bei dem das unbedingte Maximum der Funktion (Abb. 23) gleich eins ist und am Punkt (0,0) erreicht wird. Es entspricht Punkt M – dem Scheitelpunkt des PVVboloids. Fügen wir die Verbindungsgleichung y = j hinzu. Dann wird das bedingte Maximum offensichtlich gleich sein. Es wird am Punkt (o,|) erreicht und entspricht dem Scheitelpunkt Afj der Kugel, der die Schnittlinie der Kugel mit der Ebene y = j ist. Im Fall eines unbedingten Mvximums haben wir ein Mvximum, das unter allen vpplicvt der Oberfläche gilt * = 1 - l;2 ~ y1; summvv bedingt – nur unter den vllikvt-Punkten pvraboloidv, entsprechend dem Punkt* der geraden Linie y = j, nicht der xOy-Ebene. Eine der Methoden zum Finden des bedingten Extremums einer Funktion in Anwesenheit und Zusammenhang ist wie folgt. Die Verbindungsgleichung y) - O definiere y als eindeutig differenzierbare Funktion des Arguments x: Wenn wir anstelle von y eine Funktion in die Funktion einsetzen, erhalten wir eine Funktion eines Arguments, in der die Verbindungsbedingung bereits berücksichtigt ist. Das (unbedingte) Extremum der Funktion ist das gewünschte bedingte Extremum. Beispiel. Finden Sie das Extremum einer Funktion unter der Bedingung Extremum einer Funktion mehrerer Variablen. Das Konzept eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen A Aus der Verbindungsgleichung (2") finden wir y = 1-x. Wenn wir diesen Wert y in (V) einsetzen, erhalten wir eine Funktion von ein Argument x: Untersuchen wir es auf das Extremum: woher x = 1 - kritischer Punkt; , so dass es ein bedingtes Minimum der Funktion r liefert (Abb. 24). Lassen Sie uns einen anderen Weg zur Lösung des Problems des bedingten Extremums aufzeigen, die sogenannte Lagrange-Multiplikatormethode. Es gebe einen bedingten Extrempunkt einer Funktion bei Vorhandensein einer Verbindung. Nehmen wir an, dass die Verbindungsgleichung eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion in einer bestimmten Umgebung des Punktes xx definiert. Wenn man bedenkt, dass wir erhalten, dass die Ableitung nach x der Funktion /(r, ip(x)) am Punkt xq gleich Null sein muss oder, was diesem äquivalent ist, sein muss gleich Null Differential von f(x, y) am Punkt Mo" O) Aus der Verbindungsgleichung haben wir (5). Multiplizieren wir die letzte Gleichheit mit einem noch unbestimmten numerischen Faktor A und addieren Term für Term mit Gleichheit (4), erhalten wir (Wir gehen davon aus). Aufgrund der Beliebigkeit von dx erhalten wir die Gleichungen (6) und (7), die die notwendigen Bedingungen für das unbedingte Extremum am Punkt der Funktion ausdrücken, die als bedingtes Extremum bezeichnet wird Der Punkt der Funktion /(x, y) ist notwendigerweise ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion, wobei A ein numerischer Koeffizient ist. Hieraus erhalten wir eine Regel zum Finden bedingter Extrema: um Punkte zu finden, die Punkte sein können des konventionellen Extremums einer Funktion bei Vorhandensein einer Verbindung, 1) wir bilden die Lagrange-Funktion, 2) indem wir die Ableitungen dieser Funktion mit Null gleichsetzen und die Verbindungsgleichung zu den resultierenden Gleichungen hinzufügen, erhalten wir ein System aus der drei Gleichungen, aus denen wir die Werte von A und die Koordinaten x, y möglicher Extremumpunkte ermitteln, wird die Frage nach der Existenz und Natur des bedingten Extremums anhand der Untersuchung des Vorzeichens des zweiten Differentials der Lagrange-Funktion für gelöst das betrachtete Wertesystem x0, V0, A, erhalten aus (8) unter der Bedingung, dass Wenn, dann hat die Funktion /(x,y) am Punkt (x0, V0) ein bedingtes Maximum; wenn d2F > 0 – dann ein bedingtes Minimum. Insbesondere wenn an einem stationären Punkt (xo, J/o) die Determinante D für die Funktion F(x, y) positiv ist, dann gibt es am Punkt (®o, V0) ein bedingtes Maximum der Funktion f( x, y), wenn und bedingtes Minimum der Funktion /(x, y), wenn Beispiel. Wenden wir uns noch einmal den Bedingungen des vorherigen Beispiels zu: Finden Sie das Extremum der Funktion unter der Bedingung, dass x + y = 1. Wir werden das Problem mit der Lagrange-Multiplikatormethode lösen. Lagrange-Funktion in in diesem Fall hat die Form Um stationäre Punkte zu finden, stellen wir ein System zusammen. Aus den ersten beiden Gleichungen des Systems erhalten wir, dass x = y. Dann finden wir aus der dritten Gleichung des Systems (der Verbindungsgleichung), dass x - y = j die Koordinaten des möglichen Extrempunkts sind. In diesem Fall (wird angezeigt, dass A = -1. Somit ist die Lagrange-Funktion. der bedingte Minimalpunkt der Funktion * = x2 + y2 unter der Bedingung Es gibt kein unbedingtes Extremum für die Lagrange-Funktion. P(x, y ) bedeutet noch nicht das Fehlen eines bedingten Extremums für die Funktion /(x, y) bei Vorhandensein eines Zusammenhangs. Beispiel: Finden Sie das Extremum einer Funktion unter der Bedingung y 4. Wir bilden die Lagrange-Funktion und schreiben ein System für auf Bestimmung von A und den Koordinaten möglicher Extrempunkte: Aus den ersten beiden Gleichungen erhalten wir x + y = 0 und gelangen zu dem System mit x = y = A = 0. Somit hat die entsprechende Lagrange-Funktion die Form Am Punkt (0,0) hat die Funktion F(x, y; 0) kein unbedingtes Extremum, es gibt jedoch ein bedingtes Extremum der Funktion r = xy, wenn y = x. Tatsächlich ist in diesem Fall r = x2. Von hier aus ist klar, dass es am Punkt (0,0) ein bedingtes Minimum gibt. Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren wird auf den Fall von Funktionen mit einer beliebigen Anzahl von Argumenten übertragen. Suchen wir nach dem Extremum der Funktion in der Gegenwart von Verbindungsgleichungen. Stellen wir die Lagrange-Funktion zusammen, wobei A|, Az,..., A„ unbestimmte konstante Faktoren sind. Indem wir alle partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion F auf Null setzen und die Verbindungsgleichungen (9) zu den resultierenden Gleichungen hinzufügen, erhalten wir ein System von n + m Gleichungen, aus denen wir Ab A3|..., At und die Koordinaten x bestimmen \) x2). » xn der möglichen Punkte des bedingten Extremums. Die Frage, ob es sich bei den mit der Lagrange-Methode gefundenen Punkten tatsächlich um Punkte eines bedingten Extremums handelt, lässt sich oft anhand von Überlegungen physikalischer oder geometrischer Natur klären. 15.3. Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen Es sei erforderlich, den größten (kleinsten) Wert der Funktion z = /(x, y) zu finden, stetig in einem geschlossenen begrenzten Bereich D. Nach Satz 3, in diesem Bereich gibt es ist ein Punkt (xo, V0), an dem die Funktion den größten (kleinsten) Wert annimmt. Wenn der Punkt (xo, y0) innerhalb des Bereichs D liegt, dann hat die Funktion / ein Maximum (Minimum), sodass in diesem Fall der für uns interessante Punkt unter den kritischen Punkten der Funktion /(x, y). Allerdings kann die Funktion /(x, y) an der Grenze der Region ihren größten (kleinsten) Wert erreichen. Um daher den größten (kleinsten) Wert zu finden, den die Funktion z = /(x, y) in einem begrenzten geschlossenen Bereich 2) annimmt, müssen Sie alle Maxima (Minimum) der Funktion finden, die innerhalb dieses Bereichs erreicht werden. sowie der größte (kleinste) Wert der Funktion am Rand dieses Bereichs. Die größte (kleinste) aller dieser Zahlen ist der gewünschte größte (kleinste) Wert der Funktion z = /(x,y) im Bereich 27. Lassen Sie uns zeigen, wie dies im Fall einer differenzierbaren Funktion geschieht. Prmmr. Finden Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion von Region 4. Wir finden die kritischen Punkte der Funktion innerhalb von Region D. Dazu stellen wir ein Gleichungssystem auf. Von hier aus erhalten wir x = y « 0, also Punkt 0 (0,0) ist der kritische Punkt der Funktion x. Da Finden wir nun den größten und kleinsten Wert der Funktion auf der Grenze Г der Region D. Auf einem Teil der Grenze gilt, dass y = 0 ein kritischer Punkt ist, und da = dann an diesem Punkt die Funktion z = 1 + y2 hat ein Minimum gleich eins. An den Enden des Segments Г", an Punkten (, haben wir. Unter Verwendung von Symmetrieüberlegungen erhalten wir die gleichen Ergebnisse für andere Teile der Grenze. Wir erhalten schließlich: den kleinsten Wert der Funktion z = x2+y2 in der Region „B ist gleich Null und wird am internen Punkt 0( 0, 0)-Bereich erreicht, und der Maximalwert dieser Funktion, gleich zwei, wird an vier Punkten der Grenze erreicht (Abb. 25) Abb. 25 Übungen Finden Sie den Definitionsbereich der Funktionen: Konstruieren Sie die Niveaulinien der Funktionen: 9 Finden Sie die Niveauflächen der Funktionen von drei unabhängigen Variablen: Berechnen Sie die Grenzwerte Funktionen: Finden Sie partielle Ableitungen von Funktionen und ihre totalen Differentiale: Finden Sie Ableitungen von komplexen Funktionen: 3 Finden Sie J. Extremum einer Funktion mehrerer Variablen Konzept des Extremums einer Funktion mehrerer Variablen Notwendige und ausreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen 34. Verwendung der Formel für die Ableitung von eine komplexe Funktion. Finden und Funktionen: 35. Verwenden Sie die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion zweier Variablen, finden Sie |J und Funktionen: Finden Sie implizit gegebene jj-Funktionen: 40. Finden Sie Neigung Tangente an die Kurve am Schnittpunkt mit der Geraden x = 3. 41. Finden Sie die Punkte, an denen die Tangente an die Kurve x parallel zur Ox-Achse verläuft. . Finden Sie in den folgenden Aufgaben und T: Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentenebene und der Normalen der Oberfläche: 49. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentenebenen der Oberfläche x2 + 2y2 + 3r2 = 21, parallel zur Ebene x + 4y + 6z = 0. Finden Sie die ersten drei oder vier Terme der Entwicklung mithilfe der Taylor-Formel: 50. y in der Nähe des Punktes (0, 0). Untersuchen Sie anhand der Definition eines Extremums einer Funktion die folgenden Funktionen auf Extremum:). Untersuchen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen für das Extremum einer Funktion zweier Variablen das Extremum der Funktion: 84. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion z = x2 - y2 in einem geschlossenen Kreis. 85. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion * = x2y(4-x-y) in einem durch Geraden begrenzten Dreieck x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechteckigen offenen Beckens mit der kleinsten Oberfläche, vorausgesetzt, sein Volumen ist gleich V. 87. Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechteckigen Parallelepipeds mit einer gegebenen Größe Vollflächig 5 maximale Lautstärke. Antworten 1. und | Ein Quadrat, das aus Liniensegmenten x einschließlich seiner Seiten besteht. 3. Familie konzentrischer Ringe 2= 0,1,2,... .4. Die gesamte Ebene mit Ausnahme der Punkte auf den Geraden. Teil der Ebene oberhalb der Parabel y = -x?. 8. Punkte des Kreises x. Die gesamte Ebene mit Ausnahme der Geraden x. Der Wurzelausdruck ist in zwei Fällen j * ^ oder j x ^ ^ nicht negativ, was jeweils einer unendlichen Reihe von Ungleichungen entspricht. Der Definitionsbereich sind schattierte Quadrate (Abb. 26); l, was einer unendlichen Reihe entspricht. Die Funktion ist in Punkten definiert. a) Geraden parallel zur Geraden x b) konzentrische Kreise mit dem Mittelpunkt im Ursprung. 10. a) Parabeln y) Parabeln y a) Parabeln b) Hyperbeln | .Flugzeuge xc. 13. Prim – Rotationshyperboloide mit einem Hohlraum um die Oz-Achse; wenn und zweischichtige Rotationshyperboloide um die Oz-Achse sind, werden beide Flächenfamilien durch einen Kegel getrennt; Es gibt keine Grenze, b) 0. 18. Setzen wir y = kxt, dann z lim z = -2, also für diese Funktion am Punkt (0,0) hat keine Grenze. 19. a) Punkt (0,0); b) Punkt (0,0). 20. a) Bruchlinie - Kreis x2 + y2 = 1; b) Die Bruchlinie ist die Gerade y = x. 21. a) Bruchlinien – Koordinatenachsen Ox und Oy; b) 0 (leere Menge). 22. Alle Punkte (m, n), wobei und n ganze Zahlen sind

Betrachten wir zunächst den Fall einer Funktion zweier Variablen. Das bedingte Extremum einer Funktion $z=f(x,y)$ am Punkt $M_0(x_0;y_0)$ ist das Extremum dieser Funktion, das unter der Bedingung erreicht wird, dass die Variablen $x$ und $y$ im Die Umgebung dieses Punktes erfüllt die Verbindungsgleichung $\ varphi (x,y)=0$.

Der Name „bedingtes“ Extremum rührt daher, dass den Variablen eine zusätzliche Bedingung $\varphi(x,y)=0$ auferlegt wird. Wenn eine Variable aus der Verbindungsgleichung durch eine andere ausgedrückt werden kann, reduziert sich das Problem der Bestimmung des bedingten Extremums auf das Problem der Bestimmung des üblichen Extremums einer Funktion einer Variablen. Wenn die Verbindungsgleichung beispielsweise $y=\psi(x)$ impliziert, dann erhalten wir durch Einsetzen von $y=\psi(x)$ in $z=f(x,y)$ eine Funktion einer Variablen $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. Im allgemeinen Fall ist diese Methode jedoch von geringem Nutzen, so dass die Einführung eines neuen Algorithmus erforderlich ist.

Lagrange-Multiplikatormethode für Funktionen zweier Variablen.

Die Lagrange-Multiplikatormethode besteht aus der Konstruktion einer Lagrange-Funktion, um ein bedingtes Extremum zu finden: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (der Parameter $\lambda$ wird aufgerufen der Lagrange-Multiplikator). Die notwendigen Bedingungen für das Extremum werden durch ein Gleichungssystem angegeben, aus dem die stationären Punkte bestimmt werden:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.

Eine ausreichende Bedingung, aus der man die Natur des Extremums bestimmen kann, ist das Zeichen $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Wenn an einem stationären Punkt $d^2F > 0$, dann hat die Funktion $z=f(x,y)$ an diesem Punkt ein bedingtes Minimum, aber wenn $d^2F< 0$, то условный максимум.

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Natur des Extremums zu bestimmen. Aus der Kopplungsgleichung erhalten wir: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, daher gilt an jedem stationären Punkt:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^())^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Der zweite Faktor (in Klammern) kann in dieser Form dargestellt werden:

Die Elemente der Determinante $\left| sind rot hervorgehoben. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, das ist die Hesse-Funktion der Lagrange-Funktion. Wenn $H > 0$, dann $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, d.h. wir haben ein bedingtes Minimum der Funktion $z=f(x,y)$.

Ein Hinweis zur Notation der Determinante $H$. Anzeigen Ausblenden

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

In dieser Situation ändert sich die oben formulierte Regel wie folgt: Wenn $H > 0$, dann hat die Funktion ein bedingtes Minimum, und wenn $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion zweier Variablen für ein bedingtes Extremum

Erstellen Sie die Lagrange-Funktion $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Lösen Sie das System $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
Bestimmen Sie die Art des Extremums an jedem der im vorherigen Absatz gefundenen stationären Punkte. Verwenden Sie dazu eine der folgenden Methoden:
- Bilden Sie die Determinante von $H$ und finden Sie ihr Vorzeichen heraus
- Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Kopplungsgleichung das Vorzeichen von $d^2F$

Lagrange-Multiplikatormethode für Funktionen von n Variablen

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion von $n$ Variablen $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ und $m$ Kopplungsgleichungen ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Indem wir die Lagrange-Multiplikatoren als $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ bezeichnen, erstellen wir die Lagrange-Funktion:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Die notwendigen Bedingungen für das Vorliegen eines bedingten Extremums werden durch ein Gleichungssystem gegeben, aus dem die Koordinaten stationärer Punkte und die Werte der Lagrange-Multiplikatoren ermittelt werden:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Ob eine Funktion am gefundenen Punkt ein bedingtes Minimum oder ein bedingtes Maximum hat, können Sie wie bisher anhand des Vorzeichens $d^2F$ herausfinden. Wenn am gefundenen Punkt $d^2F > 0$ ist, dann hat die Funktion ein bedingtes Minimum, aber wenn $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinante der Matrix $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, rot hervorgehoben in der Matrix $L$, ist die Hesse-Funktion der Lagrange-Funktion. Wir verwenden die folgende Regel:

Wenn die Vorzeichen der Winkelminorwerte $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ Matrizen $L$ mit dem Vorzeichen von $(-1)^m$ übereinstimmen, dann ist der untersuchte stationäre Punkt der bedingte Minimalpunkt der Funktion $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
Wenn die Vorzeichen der Winkelminorwerte $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ wechseln sich ab, und das Vorzeichen der Nebenzahl $H_(2m+1)$ stimmt mit dem Vorzeichen der Zahl $(-1)^(m+1 überein )$, dann ist der stationäre Punkt der bedingte Maximalpunkt der Funktion $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie das bedingte Extremum der Funktion $z(x,y)=x+3y$ unter der Bedingung $x^2+y^2=10$.

Die geometrische Interpretation dieses Problems lautet wie folgt: Es ist erforderlich, die größten und kleinsten Werte des Applikaten der Ebene $z=x+3y$ für die Schnittpunkte mit dem Zylinder $x^2+y zu finden ^2=10$.

Es ist etwas schwierig, eine Variable durch eine andere aus der Kopplungsgleichung auszudrücken und sie in die Funktion $z(x,y)=x+3y$ einzusetzen, daher verwenden wir die Lagrange-Methode.

Unter der Bezeichnung $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ erstellen wir die Lagrange-Funktion:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Schreiben wir ein Gleichungssystem, um die stationären Punkte der Lagrange-Funktion zu bestimmen:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (ausgerichtet)\right.$$

Wenn wir $\lambda=0$ annehmen, dann lautet die erste Gleichung: $1=0$. Der resultierende Widerspruch zeigt an, dass $\lambda\neq 0$ ist. Unter der Bedingung $\lambda\neq 0$ ergibt sich aus der ersten und zweiten Gleichung: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Wenn wir die erhaltenen Werte in die dritte Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Das System hat also zwei Lösungen: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ und $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Lassen Sie uns die Natur des Extremums an jedem stationären Punkt herausfinden: $M_1(1;3)$ und $M_2(-1;-3)$. Dazu berechnen wir die Determinante von $H$ an jedem Punkt.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Am Punkt $M_1(1;3)$ erhalten wir: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, also am Punkt Die Funktion $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ hat ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Ebenso finden wir am Punkt $M_2(-1,-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Seit $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Ich stelle fest, dass es viel praktischer ist, den Wert der Determinante $H$ in allgemeiner Form zu entwickeln, anstatt den Wert der Determinante $H$ an jedem Punkt zu berechnen. Um den Text nicht mit Details zu überladen, verstecke ich diese Methode unter einer Notiz.

Schreiben der Determinante $H$ in allgemeiner Form. Anzeigen Ausblenden

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Im Prinzip ist bereits klar, welches Vorzeichen $H$ hat. Da keiner der Punkte $M_1$ oder $M_2$ mit dem Ursprung übereinstimmt, ist $y^2+x^2>0$. Daher ist das Vorzeichen von $H$ dem Vorzeichen von $\lambda$ entgegengesetzt. Sie können die Berechnungen abschließen:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(ausgerichtet) $$

Die Frage nach der Natur des Extremums an den stationären Punkten $M_1(1;3)$ und $M_2(-1;-3)$ kann ohne Verwendung der Determinante $H$ gelöst werden. Suchen wir das Vorzeichen von $d^2F$ an jedem stationären Punkt:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Ich möchte anmerken, dass die Notation $dx^2$ genau $dx$ in der zweiten Potenz bedeutet, d. h. $\left(dx \right)^2$. Daher gilt: $dx^2+dy^2>0$, daher erhalten wir mit $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Antwort: Am Punkt $(-1;-3)$ hat die Funktion ein bedingtes Minimum, $z_(\min)=-10$. Am Punkt $(1;3)$ hat die Funktion ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=10$

Beispiel Nr. 2

Finden Sie das bedingte Extremum der Funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ unter der Bedingung $x+y=0$.

Erste Methode (Lagrange-Multiplikator-Methode)

Indem wir $\varphi(x,y)=x+y$ bezeichnen, bilden wir die Lagrange-Funktion: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(aligned) \right.

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ und $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Wir haben zwei stationäre Punkte: $M_1(0;0)$ und $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Lassen Sie uns mithilfe der Determinante $H$ die Natur des Extremums an jedem stationären Punkt herausfinden.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Am Punkt $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, daher hat die Funktion an diesem Punkt ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Wir untersuchen die Natur des Extremums an jedem Punkt mit einer anderen Methode, basierend auf dem Vorzeichen von $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Aus der Verbindungsgleichung $x+y=0$ ergibt sich: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Da $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, dann ist $M_1(0;0)$ der bedingte Minimalpunkt der Funktion $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Ebenso gilt $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Zweiter Weg

Aus der Verbindungsgleichung $x+y=0$ erhalten wir: $y=-x$. Wenn wir $y=-x$ in die Funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ einsetzen, erhalten wir eine Funktion der Variablen $x$. Bezeichnen wir diese Funktion als $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Daher haben wir das Problem, das bedingte Extremum einer Funktion zweier Variablen zu finden, auf das Problem reduziert, das Extremum einer Funktion einer Variablen zu bestimmen.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Wir haben die Punkte $M_1(0;0)$ und $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ erhalten. Weitere Forschungen sind aus dem Kurs bekannt Differentialrechnung Funktionen mit einer Variablen. Indem wir das Vorzeichen von $u_(xx)^("")$ an jedem stationären Punkt untersuchen oder die Änderung des Vorzeichens von $u_(x)^(")$ an den gefundenen Punkten überprüfen, erhalten wir die gleichen Schlussfolgerungen wie damals Zum Beispiel prüfen wir das Vorzeichen $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Da $u_(xx)^("")(M_1)>0$, dann ist $M_1$ der Minimalpunkt der Funktion $u(x)$ und $u_(\min)=u(0)=0 $ . Da $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Die Werte der Funktion $u(x)$ für eine gegebene Verbindungsbedingung stimmen mit den Werten der Funktion $z(x,y)$ überein, d.h. Die gefundenen Extrema der Funktion $u(x)$ sind die gesuchten bedingten Extrema der Funktion $z(x,y)$.

Antwort: Am Punkt $(0;0)$ hat die Funktion ein bedingtes Minimum, $z_(\min)=0$. Am Punkt $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ hat die Funktion ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel, in dem wir die Natur des Extremums verdeutlichen, indem wir das Vorzeichen von $d^2F$ bestimmen.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion $z=5xy-4$, wenn die Variablen $x$ und $y$ positiv sind und die Kopplungsgleichung $\frac(x^2)(8)+\frac( erfüllen y^2)(2) -1=0$.

Lassen Sie uns die Lagrange-Funktion zusammenstellen: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Finden wir die stationären Punkte der Lagrange-Funktion:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;

Alle weiteren Transformationen werden unter Berücksichtigung von $x > 0 durchgeführt; \; y > 0$ (dies wird in der Problemstellung angegeben). Aus der zweiten Gleichung drücken wir $\lambda=-\frac(5x)(y)$ aus und setzen den gefundenen Wert in die erste Gleichung ein: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Wenn wir $x=2y$ in die dritte Gleichung einsetzen, erhalten wir: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Da $y=1$, dann ist $x=2$, $\lambda=-10$. Wir bestimmen die Natur des Extremums am Punkt $(2;1)$ basierend auf dem Vorzeichen von $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Da $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, dann:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Im Prinzip können Sie hier sofort die Koordinaten des stationären Punktes $x=2$, $y=1$ und den Parameter $\lambda=-10$ ersetzen und erhalten:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Bei anderen Problemen kann es jedoch auf einem bedingten Extremum mehrere stationäre Punkte geben. In solchen Fällen ist es besser, $d^2F$ in allgemeiner Form darzustellen und dann die Koordinaten jedes der gefundenen stationären Punkte in den resultierenden Ausdruck einzusetzen:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Wenn wir $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ einsetzen, erhalten wir:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Da $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Antwort: Am Punkt $(2;1)$ hat die Funktion ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=6$.

Im nächsten Teil betrachten wir die Anwendung der Lagrange-Methode für Funktionen mehr Variablen.

Bedingtes Extremum.

Extrema einer Funktion mehrerer Variablen

Methode der kleinsten Quadrate.

Lokales Extremum des FNP

Die Funktion sei gegeben Und= F(P), РÎDÌR N und sei Punkt P 0 ( A 1 , A 2 , ..., ein p) –intern Punkt der Menge D.

Definition 9.4.

1) Punkt P 0 wird aufgerufen Maximalpunkt Funktionen Und= F(P), wenn es eine Umgebung dieses Punktes U(P 0) М D gibt, so dass für jeden Punkt P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , die Bedingung ist erfüllt F(P) £ F(P 0) . Bedeutung F(P 0) Funktion am Maximalpunkt aufgerufen wird Maximum der Funktion und ist bezeichnet F(P0) = max F(P) .

2) Punkt P 0 wird aufgerufen Mindestpunktzahl Funktionen Und= F(P), wenn es eine Umgebung dieses Punktes U(P 0)Ì D gibt, so dass für jeden Punkt P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , die Bedingung ist erfüllt F(P)³ F(P 0) . Bedeutung F(P 0) Funktion am Minimalpunkt aufgerufen wird minimale Funktion und ist bezeichnet F(P 0) = min F(P).

Die minimalen und maximalen Punkte einer Funktion werden aufgerufen Extrempunkte, werden die Werte der Funktion an den Extremapunkten genannt Extrema der Funktion.

Wie aus der Definition hervorgeht, sind die Ungleichungen F(P) £ F(P 0) , F(P)³ F(P 0) darf nur in einer bestimmten Umgebung des Punktes P 0 erfüllt sein und nicht im gesamten Definitionsbereich der Funktion, was bedeutet, dass die Funktion mehrere Extrema des gleichen Typs haben kann (mehrere Minima, mehrere Maxima) . Daher werden die oben definierten Extrema aufgerufen lokal(lokale) Extreme.

Satz 9.1 (notwendige Bedingung für das Extremum des FNP)

Wenn die Funktion Und= F(X 1 , X 2 , ..., x n) ein Extremum im Punkt P 0 hat, dann sind seine partiellen Ableitungen erster Ordnung an diesem Punkt entweder gleich Null oder existieren nicht.

Nachweisen. Lassen Sie am Punkt P 0 ( A 1 , A 2 , ..., ein p) Funktion Und= F(P) hat ein Extremum, beispielsweise ein Maximum. Lassen Sie uns die Argumente klären X 2 , ..., x n, setzen X 2 =A 2 ,..., x n = ein p. Dann Und= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., ein p) ist eine Funktion einer Variablen X 1 . Da diese Funktion hat X 1 = A 1 Extremum (Maximum) also F 1 ¢=0oder existiert nicht, wenn X 1 =A 1 (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums einer Funktion einer Variablen). Aber das bedeutet, dass es am Punkt P 0 – dem Extrempunkt – nicht existiert. Ebenso können wir partielle Ableitungen nach anderen Variablen betrachten. CTD.

Es werden Punkte im Definitionsbereich einer Funktion aufgerufen, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind oder nicht existieren kritische Punkte diese Funktion.

Wie aus Satz 9.1 folgt, sollten die Extrempunkte des FNP unter den kritischen Punkten der Funktion gesucht werden. Aber was eine Funktion einer Variablen betrifft, ist nicht jeder kritische Punkt ein Extrempunkt.

Satz 9.2 (ausreichende Bedingung für das Extremum des FNP)

Sei P 0 der kritische Punkt der Funktion Und= F(P) und ist das Differential zweiter Ordnung dieser Funktion. Dann

und wenn D 2 u(P 0) > 0 bei , dann ist P 0 ein Punkt Minimum Funktionen Und= F(P);

b) wenn D 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximal Funktionen Und= F(P);

c) wenn D 2 u(P 0) nicht durch Vorzeichen definiert ist, dann ist P 0 kein Extrempunkt;

Wir werden diesen Satz ohne Beweis betrachten.

Beachten Sie, dass der Satz den Fall nicht berücksichtigt D 2 u(P 0) = 0 oder existiert nicht. Dies bedeutet, dass die Frage nach dem Vorhandensein eines Extremums am Punkt P 0 unter solchen Bedingungen offen bleibt – zusätzliche Forschung ist erforderlich, beispielsweise eine Untersuchung des Inkrements der Funktion an diesem Punkt.

In vertiefenden Mathematikkursen wird dies insbesondere für die Funktion nachgewiesen z = f(X,j) zweier Variablen, deren Differential zweiter Ordnung eine Summe der Form ist

die Untersuchung des Vorhandenseins eines Extremums am kritischen Punkt P 0 kann vereinfacht werden.

Bezeichnen wir , , . Lassen Sie uns eine Determinante zusammenstellen

Es stellt sich heraus:

D 2 z> 0 am Punkt P 0, d.h. P 0 – Mindestpunkt, wenn A(P 0) > 0 und D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

wenn D(P 0)< 0, то D 2 z in der Nähe des Punktes P 0 ändert es das Vorzeichen und es gibt kein Extremum am Punkt P 0;

wenn D(Р 0) = 0, dann sind auch zusätzliche Untersuchungen der Funktion in der Nähe des kritischen Punktes Р 0 erforderlich.

Also für die Funktion z = f(X,j) von zwei Variablen haben wir den folgenden Algorithmus (nennen wir ihn „Algorithmus D“) zum Finden eines Extremums:

1) Finden Sie den Definitionsbereich D( F) Funktionen.

2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte aus D( F), für die und gleich Null sind oder nicht existieren.

3) Überprüfen Sie an jedem kritischen Punkt P 0 die ausreichenden Bedingungen für das Extremum. Finden Sie dazu , wobei , , und D(P 0) berechnen und A(P 0).Dann:

wenn D(P 0) >0, dann gibt es am Punkt P 0 ein Extremum, und wenn A(P 0) > 0 – dann ist dies das Minimum, und wenn A(P 0)< 0 – максимум;

wenn D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

Wenn D(P 0) = 0, sind zusätzliche Untersuchungen erforderlich.

4) Berechnen Sie an den gefundenen Extrempunkten den Wert der Funktion.

Beispiel 1.

Finden Sie das Extremum der Funktion z = X 3 + 8j 3 – 3xy .

Lösung. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte Koordinatenebene. Lassen Sie uns kritische Punkte finden.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Prüfen wir, ob die hinreichenden Bedingungen für das Extremum erfüllt sind. Wir werden finden

6X, = -3, = 48bei Und = 288xy – 9.

Dann ist D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – am Punkt Р 1 gibt es ein Extremum, und seitdem A(P 1) = 3 >0, dann ist dieses Extremum ein Minimum. Also min z=z(P 1) = .

Beispiel 2.

Finden Sie das Extremum der Funktion .

Lösung: D( F) =R 2 . Kritische Punkte: ; existiert nicht wann bei= 0, was bedeutet, dass P 0 (0,0) der kritische Punkt dieser Funktion ist.

2, = 0, = , = , aber D(P 0) ist nicht definiert, daher ist es unmöglich, sein Vorzeichen zu untersuchen.

Aus dem gleichen Grund ist es unmöglich, Satz 9.2 direkt anzuwenden – D 2 z existiert zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht.

Betrachten wir das Inkrement der Funktion F(X, j) am Punkt P 0 . Wenn D F =F(P) - F(P 0)>0 "P, dann ist P 0 der Minimalpunkt, aber wenn D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

In unserem Fall haben wir

D F = F(X, j) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D j) – F(0, 0) = .

Bei D X= 0,1 und D j= -0,008 erhalten wir D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 und D j= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, d.h. in der Nähe des Punktes P 0 ist keine Bedingung D erfüllt F <0 (т.е. F(X, j) < F(0, 0) und daher ist P 0 kein Maximalpunkt), noch Bedingung D F>0 (d. h. F(X, j) > F(0, 0) und dann ist P 0 kein Minimalpunkt). Dies bedeutet, dass diese Funktion per Definition eines Extremums keine Extrema hat.

Bedingtes Extremum.

Das betrachtete Extremum der Funktion wird aufgerufen bedingungslos, da den Funktionsargumenten keine Einschränkungen (Bedingungen) auferlegt werden.

Definition 9.2. Extremum der Funktion Und = F(X 1 , X 2 , ... , x n), unter der Bedingung gefunden, dass seine Argumente X 1 , X 2 , ... , x n erfüllen die Gleichungen j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, wobei P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), angerufen bedingtes Extremum .

Gleichungen j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., M, werden genannt Verbindungsgleichungen.

Schauen wir uns die Funktionen an z = f(X,j) zwei Variablen. Wenn die Verbindungsgleichung eins ist, d.h. , dann bedeutet das Finden eines bedingten Extremums, dass das Extremum nicht im gesamten Definitionsbereich der Funktion gesucht wird, sondern auf einer Kurve, die in D( F) (d. h. es werden nicht die höchsten oder niedrigsten Punkte der Oberfläche gesucht z = f(X,j) und die höchsten bzw. niedrigsten Punkte unter den Schnittpunkten dieser Fläche mit dem Zylinder, Abb. 5).

Bedingtes Extremum einer Funktion z = f(X,j) zweier Variablen kann auf folgende Weise ermittelt werden( Eliminierungsmethode). Drücken Sie aus der Gleichung eine der Variablen als Funktion einer anderen aus (z. B. schreiben Sie ) und indem Sie diesen Wert der Variablen in die Funktion einsetzen, schreiben Sie diese als Funktion einer Variablen (im betrachteten Fall). ). Finden Sie das Extremum der resultierenden Funktion einer Variablen.

Beispiel

Finden Sie das Extremum der Funktion, vorausgesetzt, dass X Und bei hängen durch die Beziehung zusammen: . Geometrisch bedeutet das Problem Folgendes: auf einer Ellipse
Flugzeug
.

Dieses Problem kann folgendermaßen gelöst werden: aus der Gleichung
wir finden
X:

unter der Vorraussetzung, dass
, reduziert auf das Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen im Intervall zu finden
.

Geometrisch bedeutet das Problem Folgendes: auf einer Ellipse , erhalten durch Überqueren des Zylinders
Flugzeug
, müssen Sie den maximalen oder minimalen Wert der Anwendung ermitteln (Abb.9). Dieses Problem kann folgendermaßen gelöst werden: aus der Gleichung
wir finden
. Wenn wir den gefundenen Wert von y in die Gleichung der Ebene einsetzen, erhalten wir eine Funktion einer Variablen X:

Somit besteht das Problem, das Extremum der Funktion zu finden
unter der Vorraussetzung, dass
, reduziert auf das Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen in einem Intervall zu finden.

Also, das Problem, ein bedingtes Extremum zu finden– Dies ist das Problem, das Extremum der Zielfunktion zu finden
, sofern die Variablen X Und bei unterliegen einer Einschränkung
, angerufen Verbindungsgleichung.

Sagen wir das so Punkt
, die Kopplungsgleichung erfüllend, ist der Punkt des lokalen bedingten Maximums (Minimums).), wenn es eine Nachbarschaft gibt
so dass für alle Punkte
, deren Koordinaten die Verbindungsgleichung erfüllen, ist die Ungleichung erfüllt.

Wenn man aus der Kopplungsgleichung einen Ausdruck für finden kann bei, indem wir diesen Ausdruck in die ursprüngliche Funktion einsetzen, verwandeln wir diese in eine komplexe Funktion einer Variablen X.

Die allgemeine Methode zur Lösung des bedingten Extremumproblems lautet Lagrange-Multiplikator-Methode. Lassen Sie uns eine Hilfsfunktion erstellen, wo ─ irgendeine Zahl. Diese Funktion wird aufgerufen Lagrange-Funktion, A ─ Lagrange-Multiplikator. Somit wurde die Aufgabe, ein bedingtes Extremum zu finden, auf das Finden lokaler Extremumpunkte für die Lagrange-Funktion reduziert. Um mögliche Extrempunkte zu finden, müssen Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten lösen x, y Und.

Dann sollten Sie die folgende hinreichende Bedingung für ein Extremum verwenden.

SATZ. Der Punkt sei ein möglicher Extrempunkt für die Lagrange-Funktion. Nehmen wir das in der Nähe des Punktes an
Es gibt stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung von Funktionen Und . Bezeichnen wir

Dann wenn
, Das
─ bedingter Extrempunkt der Funktion
mit der Kopplungsgleichung
in diesem Fall, wenn
, Das
─ bedingter Mindestpunkt, wenn
, Das
─ bedingter Maximalpunkt.

§8. Gradienten- und Richtungsableitung

Lassen Sie die Funktion
definiert in einer (offenen) Region. Berücksichtigen Sie einen beliebigen Punkt
dieser Bereich und jede gerichtete Gerade (Achse) , durch diesen Punkt gehend (Abb. 1). Lassen
- ein anderer Punkt auf dieser Achse,
– Länge des Segments dazwischen
Und
, mit einem Pluszeichen versehen, wenn die Richtung angegeben ist
stimmt mit der Richtung der Achse überein und mit einem Minuszeichen, wenn ihre Richtungen entgegengesetzt sind.

Lassen
nähert sich auf unbestimmte Zeit
. Grenze

angerufen Ableitung einer Funktion
in Richtung (oder entlang der Achse ) und wird wie folgt bezeichnet:

Diese Ableitung charakterisiert die „Änderungsrate“ der Funktion an dem Punkt
in Richtung . Insbesondere die gewöhnlichen partiellen Derivate ,können auch als Ableitungen „in Bezug auf die Richtung“ betrachtet werden.

Nehmen wir nun an, dass die Funktion
verfügt über kontinuierliche partielle Ableitungen in der betrachteten Region. Lassen Sie die Achse bildet Winkel mit den Koordinatenachsen
Und . Unter den getroffenen Annahmen ist die Richtungsableitung existiert und wird durch die Formel ausgedrückt

Wenn der Vektor
gegeben durch seine Koordinaten
, dann die Ableitung der Funktion
in Richtung des Vektors
kann mit der Formel berechnet werden:

Vektor mit Koordinaten
angerufen Farbverlaufsvektor Funktionen
am Punkt
. Der Gradientenvektor gibt die Richtung des schnellsten Anstiegs der Funktion an einem bestimmten Punkt an.