Das Hauptelement der Matrix. Aktionen mit Matrizen

Eine Matrix ist eine rechteckige Zahlentabelle bestehend aus M Linien gleicher Länge bzw N Spalten gleicher Länge.

aij- Matrixelement, das in ist ich -te Zeile und J Spalte.

Der Kürze halber kann eine Matrix beispielsweise mit einem einzelnen Großbuchstaben bezeichnet werden: A oder IN.

Im Allgemeinen eine Größenmatrix M× N schreibe es so

Beispiele:

Wenn eine Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten hat, dann heißt die Matrix Quadrat, und die Anzahl seiner Zeilen oder Spalten wird aufgerufen in Ordnung Matrizen. In den obigen Beispielen ist die zweite Matrix quadratisch – ihre Ordnung ist 3, und die vierte Matrix hat ihre Ordnung 1.

Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen nicht gleich der Anzahl der Spalten ist, wird aufgerufen rechteckig. In den Beispielen ist dies die erste und die dritte Matrix.

Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix nennen wir die Diagonale, die von der oberen linken zur unteren rechten Ecke verläuft.

Man nennt eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind dreieckig Matrix.

.

Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente, außer vielleicht denen auf der Hauptdiagonalen, gleich Null sind, heißt Diagonale Matrix. Zum Beispiel, oder.

Eine Diagonalmatrix, in der alle Diagonalelemente gleich eins sind, heißt einzel Matrix und wird mit dem Buchstaben E bezeichnet. Beispielsweise hat eine Identitätsmatrix 3. Ordnung die Form .

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(36)85.Was sind lineare Operationen auf Matrizen? Beispiele.

In allen Fällen, in denen neue mathematische Objekte eingeführt werden, ist es notwendig, sich auf die Regeln für deren Bearbeitung zu einigen und auch zu bestimmen, welche Objekte als einander gleich angesehen werden.

Die Art der Objekte spielt keine Rolle. Dies können reelle oder komplexe Zahlen, Vektoren, Matrizen, Strings oder etwas anderes sein.

Zu den Standardoperationen gehören lineare Operationen, nämlich: Multiplikation mit einer Zahl und Addition; in diesem speziellen Fall: Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl und Addieren von Matrizen.

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl wird jedes Matrixelement mit dieser Zahl multipliziert, und bei der Matrixaddition werden Elemente paarweise addiert, die sich an äquivalenten Positionen befinden.

Terminologischer Ausdruck „Linearkombination“<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Matrizen A = || A ich j|| Und B = || A ich j|| gelten als gleich, wenn sie die gleichen Abmessungen haben und ihre entsprechenden Matrixelemente paarweise gleich sind:

Matrixaddition Die Additionsoperation ist nur für Matrizen gleicher Größe definiert. Das Ergebnis der Matrixaddition A = || A ich j|| Und B = || B ich j|| ist die Matrix C = || C ich j|| , deren Elemente gleich der Summe der entsprechenden Matrixelemente sind.

Die Matrix wird mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet ( A, IN, MIT,...).

Definition 1. Rechteckige Tischansicht,

bestehend aus M Linien und N Spalten heißt Matrix.

Matrixelement, i – Zeilennummer, j – Spaltennummer.

Arten von Matrizen:

Elemente auf der Hauptdiagonale:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Determinanten 2., 3. und n-ter Ordnung

Gegeben seien zwei quadratische Matrizen:

Definition 1. Determinante der Matrix zweiter Ordnung A 1 ist eine Zahl, die mit ∆ bezeichnet wird und gleich ist , Wo

Beispiel. Berechnen Sie die Determinante 2. Ordnung:

Definition 2. Determinante 3. Ordnung einer quadratischen Matrix A 2 heißt eine Zahl der Form:

Dies ist eine Möglichkeit, die Determinante zu berechnen.

Beispiel. Berechnung

Definition 3. Wenn eine Determinante aus n Zeilen und n Spalten besteht, spricht man von einer Determinante n-ter Ordnung.

Eigenschaften von Determinanten:

Die Determinante ändert sich nicht, wenn sie transponiert wird (d. h. wenn die darin enthaltenen Zeilen und Spalten unter Beibehaltung der Reihenfolge vertauscht werden).

Wenn Sie zwei beliebige Zeilen oder zwei Spalten in der Determinante vertauschen, ändert die Determinante nur das Vorzeichen.

Der gemeinsame Faktor jeder Zeile (Spalte) kann über das Vorzeichen der Determinante hinaus genommen werden.

Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Determinante gleich Null sind, dann ist die Determinante gleich Null.

Die Determinante ist Null, wenn die Elemente zweier beliebiger Zeilen gleich oder proportional sind.

Die Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer Zeile (Spalte) addiert und mit derselben Zahl multipliziert werden.

Beispiel.

Definition 4. Die aus einer gegebenen durch Durchstreichen einer Spalte und einer Zeile gewonnene Determinante heißt unerheblich das entsprechende Element. M ij Element a ij .

Definition 5. Algebraisches Komplement Element a ij heißt Ausdruck

§3. Aktionen auf Matrizen

Lineare Operationen

1) Beim Hinzufügen von Matrizen werden deren gleichnamige Elemente hinzugefügt.

Beim Subtrahieren von Matrizen werden deren gleichnamige Elemente subtrahiert.

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl wird jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multipliziert:

3.2.Matrixmultiplikation.

Arbeiten Matrizen A zur Matrix IN Es gibt eine neue Matrix, deren Elemente gleich der Summe der Produkte der Elemente der i-ten Zeile der Matrix sind A zu den entsprechenden Elementen der j-ten Spalte der Matrix IN. Matrixprodukt A zur Matrix IN kann nur gefunden werden, wenn die Anzahl der Matrixspalten A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix IN. Andernfalls ist die Arbeit unmöglich.

Kommentar:

(gehorcht nicht der Kommutativeigenschaft)

§ 4. Inverse Matrix

Die inverse Matrix existiert nur für eine quadratische Matrix und die Matrix darf nicht singulär sein.

Definition 1. Matrix A angerufen nicht entartet, wenn die Determinante dieser Matrix ungleich Null ist

Definition 2. A-1 wird aufgerufen inverse Matrix für eine gegebene nicht singuläre quadratische Matrix A, wenn man diese Matrix mit der gegebenen multipliziert, sowohl rechts als auch links, erhält man die Identitätsmatrix.

Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix

1 Weg (mit algebraischen Additionen)

Beispiel 1:

An solchen Matrizen werden verschiedene Operationen durchgeführt: Sie multiplizieren miteinander, finden Determinanten usw. Matrix- ein Sonderfall eines Arrays: Wenn ein Array beliebig viele Dimensionen haben kann, dann wird nur ein zweidimensionales Array als Matrix bezeichnet.

In der Programmierung wird eine Matrix auch als zweidimensionales Array bezeichnet. Jedes Array im Programm hat einen Namen, als wäre es eine einzelne Variable. Um zu verdeutlichen, welche der Array-Zellen gemeint sind, wird bei der Erwähnung in einem Programm die Nummer der darin enthaltenen Zelle zusammen mit der Variablen verwendet. Sowohl eine zweidimensionale Matrix als auch ein n-dimensionales Array in einem Programm können nicht nur numerische, sondern auch symbolische, String-, Boolesche und andere Informationen enthalten, jedoch immer dieselben innerhalb des gesamten Arrays.

Matrizen werden mit den Großbuchstaben A:MxN bezeichnet, wobei A der Name der Matrix, M die Anzahl der Zeilen in der Matrix und N die Anzahl der Spalten ist. Elemente werden durch entsprechende Kleinbuchstaben dargestellt, wobei Indizes ihre Nummer in der Zeile und Spalte a (m, n) angeben.

Die gebräuchlichsten Matrizen sind rechteckige Matrizen, obwohl Mathematiker in der fernen Vergangenheit auch dreieckige Matrizen in Betracht gezogen haben. Ist die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix gleich, spricht man von einer Quadratmatrix. In diesem Fall hat M=N bereits den Namen der Matrixordnung. Eine Matrix mit nur einer Zeile wird Zeile genannt. Eine Matrix mit nur einer Spalte wird Spaltenmatrix genannt. Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, in der nur die Elemente entlang der Diagonale ungleich Null sind. Sind alle Elemente gleich Eins, heißt die Matrix Identität; sind alle Elemente gleich Null, heißt sie Null.

Wenn Sie Zeilen und Spalten in einer Matrix vertauschen, wird diese transponiert. Wenn alle Elemente durch komplexe Konjugate ersetzt werden, entsteht ein komplexes Konjugat. Darüber hinaus gibt es andere Arten von Matrizen, die durch die Bedingungen bestimmt werden, die an die Matrixelemente gestellt werden. Die meisten dieser Bedingungen gelten jedoch nur für quadratische.

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Beachten Sie, dass Matrixelemente nicht nur Zahlen sein können. Stellen wir uns vor, Sie beschreiben die Bücher, die sich in Ihrem Bücherregal befinden. Sorgen Sie dafür, dass Ihr Regal in Ordnung ist und alle Bücher an genau definierten Orten stehen. Die Tabelle, die eine Beschreibung Ihrer Bibliothek (nach Regalen und der Reihenfolge der Bücher im Regal) enthält, dient auch als Matrix. Aber eine solche Matrix wird nicht numerisch sein. Ein anderes Beispiel. Anstelle von Zahlen gibt es verschiedene Funktionen, die durch eine gewisse Abhängigkeit verbunden sind. Die resultierende Tabelle wird auch als Matrix bezeichnet. Mit anderen Worten, eine Matrix ist eine beliebige rechteckige Tabelle, aus der sie besteht homogen Elemente. Hier und weiter werden wir über Matrizen sprechen, die aus Zahlen bestehen.

Anstelle von Klammern werden zum Schreiben von Matrizen eckige Klammern oder gerade doppelte vertikale Linien verwendet

(2.1*)

Definition 2. Wenn im Ausdruck(1) m = n, dann reden sie darüber quadratische Matrix, und wenn , dann oh rechteckig.

Abhängig von den Werten von m und n werden einige spezielle Matrizentypen unterschieden:

Das wichtigste Merkmal Quadrat Matrix ist sie bestimmend oder bestimmend, das aus Matrixelementen besteht und bezeichnet wird

Offensichtlich ist D E =1; .

Definition 3. Wenn , dann die Matrix A angerufen nicht entartet oder nicht speziell.

Definition 4. Wenn detA = 0, dann die Matrix A angerufen degenerieren oder besonders.

Definition 5. Zwei Matrizen A Und B werden genannt gleich und schreibe A = B wenn sie die gleichen Abmessungen haben und ihre entsprechenden Elemente gleich sind, d. h..

Zum Beispiel sind die Matrizen und gleich, weil Sie sind gleich groß und jedes Element einer Matrix ist gleich dem entsprechenden Element der anderen Matrix. Aber die Matrizen können nicht als gleich bezeichnet werden, obwohl die Determinanten beider Matrizen gleich sind und die Größen der Matrizen gleich sind, aber nicht alle Elemente, die sich an denselben Orten befinden, gleich sind. Die Matrizen sind unterschiedlich, weil sie unterschiedliche Größen haben. Die erste Matrix ist 2x3 groß und die zweite ist 3x2. Obwohl die Anzahl der Elemente gleich ist – 6 und die Elemente selbst gleich 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind, befinden sie sich in jeder Matrix an unterschiedlichen Stellen. Aber die Matrizen sind gemäß Definition 5 gleich.

Definition 6. Wenn Sie eine bestimmte Anzahl von Matrixspalten festlegen A und die gleiche Anzahl von Zeilen, dann bilden die Elemente am Schnittpunkt der angegebenen Spalten und Zeilen eine quadratische Matrix N- Ordnung, deren Determinante angerufen unerheblich k – Matrix th. Ordnung A.

Beispiel. Schreiben Sie drei Nebenglieder zweiter Ordnung der Matrix auf

ODA. Ein rechteckiger Tisch bestehend aus T Linien und P Spalten reeller Zahlen werden aufgerufen Matrix Größe t×p. Matrizen werden durch lateinische Großbuchstaben gekennzeichnet: A, B,..., und eine Reihe von Zahlen wird durch runde oder eckige Klammern getrennt.

Die in der Tabelle enthaltenen Zahlen werden Matrixelemente genannt und in kleinen lateinischen Buchstaben mit doppeltem Index bezeichnet, wo ich- Zeilennummer, J– Nummer der Spalte, an deren Schnittpunkt sich das Element befindet. Im Allgemeinen wird die Matrix wie folgt geschrieben:

Es werden zwei Matrizen betrachtet gleich, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind.

Wenn die Anzahl der Matrixzeilen T gleich der Anzahl seiner Spalten P, dann heißt die Matrix Quadrat(sonst – rechteckig).

Größenmatrix
wird als Zeilenmatrix bezeichnet. Größenmatrix

wird als Spaltenmatrix bezeichnet.

Matrixelemente mit gleichen Indizes (
usw.), bilden Hauptdiagonale Matrizen. Die andere Diagonale wird Seitendiagonale genannt.

Die quadratische Matrix heißt Diagonale, wenn alle seine außerhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind.

Eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente gleich eins sind, heißt einzel Matrix und hat die Standardschreibweise E:

Wenn alle über (oder unter) der Hauptdiagonalen liegenden Matrixelemente gleich Null sind, spricht man von einer dreieckigen Form der Matrix:

§2. Operationen auf Matrizen

1. Matrixtransposition – eine Transformation, bei der die Zeilen der Matrix unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge als Spalten geschrieben werden. Für eine quadratische Matrix entspricht diese Transformation einer symmetrischen Abbildung um die Hauptdiagonale:

.

2. Matrizen gleicher Dimension können summiert (subtrahiert) werden. Die Summe (Differenz) von Matrizen ist eine Matrix derselben Dimension, deren jedes Element gleich der Summe (Differenz) der entsprechenden Elemente der ursprünglichen Matrizen ist:

3. Jede Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden. Das Produkt einer Matrix mit einer Zahl ist eine Matrix gleicher Ordnung, deren jedes Element gleich dem Produkt des entsprechenden Elements der ursprünglichen Matrix mit dieser Zahl ist:

.

4. Wenn die Anzahl der Spalten einer Matrix gleich der Anzahl der Zeilen einer anderen ist, können Sie die erste Matrix mit der zweiten multiplizieren. Das Produkt solcher Matrizen ist eine Matrix, deren jedes Element gleich der Summe der paarweisen Produkte der Elemente der entsprechenden Zeile der ersten Matrix und der Elemente der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix ist.

Folge. Matrixpotenzierung Zu>1 ist das Produkt der Matrix A Zu einmal. Nur für quadratische Matrizen definiert.

Beispiel.

Eigenschaften von Operationen auf Matrizen.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kA T;

   (A+B) T =A T +B T;

   (AB) T = B T A T;

Die oben aufgeführten Eigenschaften ähneln den Eigenschaften von Operationen mit Zahlen. Es gibt auch spezifische Eigenschaften von Matrizen. Dazu gehört beispielsweise die besondere Eigenschaft der Matrixmultiplikation. Wenn das Produkt AB existiert, dann das Produkt BA

Möglicherweise nicht vorhanden

Kann von AB abweichen.

Beispiel. Das Unternehmen produziert Produkte der zwei Typen A und B und verwendet drei Rohstofftypen S 1, S 2 und S 3. Die Rohstoffverbrauchsraten werden durch die Matrix N= angegeben
, Wo N ij– Menge der Rohstoffe J, ausgegeben für die Produktion einer Produktionseinheit ich. Der Produktionsplan wird durch die Matrix C=(100 200) angegeben, und die Stückkosten jeder Art von Rohmaterial werden durch die Matrix angegeben . Bestimmen Sie die für die geplante Produktion erforderlichen Rohstoffkosten und die Gesamtkosten der Rohstoffe.

Lösung. Wir definieren Rohstoffkosten als Produkt der Matrizen C und N:

Wir berechnen die Gesamtkosten der Rohstoffe als Produkt von S und P.