Das Konzept eines Extremums einer Funktion, Regeln zum Finden von Beispielen. Was sind Extrema einer Funktion: kritische Punkte von Maximum und Minimum

Definitionen:

Extremum Rufen Sie den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion für eine bestimmte Menge auf.

Extremumpunkt ist der Punkt, an dem der maximale oder minimale Wert der Funktion erreicht wird.

Maximaler Punkt ist der Punkt, an dem der Maximalwert der Funktion erreicht wird.

Mindestpunktzahl ist der Punkt, an dem der Minimalwert der Funktion erreicht wird.

Erläuterung.

In der Abbildung erreicht die Funktion in der Nähe des Punktes x = 3 ihren Maximalwert (d. h. in der Nähe dieses bestimmten Punktes gibt es keinen höheren Punkt). In der Umgebung von x = 8 hat es wieder einen Maximalwert (lassen Sie uns noch einmal klarstellen: In dieser Umgebung gibt es keinen Punkt höher). An diesen Punkten weicht der Anstieg einem Rückgang. Das sind die Höchstpunkte:

x max = 3, x max = 8.

In der Nähe des Punktes x = 5 wird der Minimalwert der Funktion erreicht (d. h. in der Nähe von x = 5 gibt es keinen Punkt darunter). An diesem Punkt weicht die Abnahme einem Anstieg. Es ist die Mindestpunktzahl:

Die Höchst- und Mindestpunktzahl beträgt Extrempunkte der Funktion, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind ihre Extreme.

Kritische und stationäre Punkte der Funktion:

Notwendige Bedingung für ein Extremum:

Ausreichende Bedingung für ein Extremum:

Auf einem Segment die Funktion j = F(X) kann entweder an kritischen Punkten oder an den Enden des Segments seinen minimalen oder maximalen Wert erreichen.

Forschungsalgorithmus kontinuierliche Funktion j = F(X) für Monotonie und Extrema:

Lektion zum Thema: „Extrempunkte von Funktionen finden. Beispiele“

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Was wir studieren werden:
1. Einleitung.
2. Mindest- und Höchstpunktzahl.

4. Wie berechnet man Extrema?
5. Beispiele.

Einführung in Function Extrema

Leute, schauen wir uns den Graphen einer bestimmten Funktion an:

Beachten Sie, dass das Verhalten unserer Funktion y=f (x) weitgehend durch zwei Punkte x1 und x2 bestimmt wird. Schauen wir uns den Graphen der Funktion an und um diese Punkte genauer an. Bis zum Punkt x2 steigt die Funktion, am Punkt x2 kommt es zu einer Wende und unmittelbar nach diesem Punkt fällt die Funktion zum Punkt x1 ab. Am Punkt x1 krümmt sich die Funktion erneut und steigt danach wieder an. Vorerst nennen wir die Punkte x1 und x2 Wendepunkte. Zeichnen wir Tangenten an diesen Punkten:

Die Tangenten an unseren Punkten verlaufen parallel zur x-Achse, das heißt Neigung Tangente gleich Null. Das bedeutet, dass die Ableitung unserer Funktion an diesen Punkten gleich Null ist.

Schauen wir uns den Graphen dieser Funktion an:

Es ist unmöglich, Tangenten an den Punkten x2 und x1 zu zeichnen. Dies bedeutet, dass die Ableitung an diesen Punkten nicht existiert. Schauen wir uns nun noch einmal unsere Punkte in den beiden Diagrammen an. Punkt x2 ist der Punkt, an dem die Funktion in einem bestimmten Bereich (in der Nähe von Punkt x2) ihren größten Wert erreicht. Punkt x1 ist der Punkt, an dem die Funktion in einem bestimmten Bereich (in der Nähe von Punkt x1) ihren kleinsten Wert erreicht.

Mindest- und Höchstpunktzahl

Definition: Der Punkt x= x0 heißt Minimalpunkt der Funktion y=f(x), wenn es eine Umgebung des Punktes x0 gibt, in der die Ungleichung gilt: f(x) ≥ f(x0).

Definition: Der Punkt x=x0 heißt Maximalpunkt der Funktion y=f(x), wenn es eine Umgebung des Punktes x0 gibt, in der die Ungleichung gilt: f(x) ≤ f(x0).

Leute, was ist ein Viertel?

Definition: Eine Umgebung eines Punktes ist eine Menge von Punkten, die unseren Punkt und diejenigen in seiner Nähe enthalten.

Wir können die Nachbarschaft selbst bestimmen. Beispielsweise können wir für einen Punkt x=2 eine Nachbarschaft in Form der Punkte 1 und 3 definieren.

Kehren wir zu unseren Diagrammen zurück, schauen wir uns Punkt x2 an, er ist größer als alle anderen Punkte aus einer bestimmten Umgebung, dann ist er per Definition ein Maximalpunkt. Schauen wir uns nun Punkt x1 an, er ist kleiner als alle anderen Punkte aus einer bestimmten Umgebung, dann ist er per Definition ein Minimalpunkt.

Leute, lasst uns die Notation vorstellen:

Y min - Mindestpunkt,
y max - Maximalpunkt.

Wichtig! Leute, verwechselt die Maximal- und Minimalpunkte nicht mit dem kleinsten und größten Wert der Funktion. Am wenigsten und Höchster Wert werden im gesamten Definitionsbereich durchsucht gegebene Funktion und die minimalen und maximalen Punkte in einer bestimmten Nachbarschaft.

Extrema der Funktion

Für Minimal- und Maximalpunkte gibt es einen gemeinsamen Begriff – Extrempunkte.

Extremum (lat. extremum – extrem) – der maximale oder minimale Wert einer Funktion auf einer bestimmten Menge. Der Punkt, an dem das Extremum erreicht wird, wird Extrempunkt genannt.

Wenn dementsprechend ein Minimum erreicht wird, wird der Extrempunkt als Minimumpunkt bezeichnet, und wenn ein Maximum erreicht wird, wird er als Maximumpunkt bezeichnet.

Wie sucht man nach Extrema einer Funktion?

Kehren wir zu unseren Charts zurück. An unseren Punkten verschwindet die Ableitung entweder (im ersten Diagramm) oder existiert nicht (im zweiten Diagramm).

Dann können wir eine wichtige Aussage treffen: Wenn die Funktion y= f(x) ein Extremum im Punkt x=x0 hat, dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt entweder Null oder existiert nicht.

Die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, werden aufgerufen stationär.

Die Punkte, an denen die Ableitung einer Funktion nicht existiert, werden aufgerufen kritisch.

Wie berechnet man Extreme?

Leute, lasst uns zum ersten Diagramm der Funktion zurückkehren:

Als wir diesen Graphen analysierten, sagten wir: Bis zum Punkt x2 nimmt die Funktion zu, am Punkt x2 erfolgt eine Wende, und nach diesem Punkt nimmt die Funktion bis zum Punkt x1 ab. Am Punkt x1 krümmt sich die Funktion erneut und steigt danach wieder an.

Basierend auf dieser Überlegung können wir schließen, dass die Funktion an Extrempunkten die Art der Monotonie ändert und daher die Ableitungsfunktion das Vorzeichen ändert. Zur Erinnerung: Wenn eine Funktion abnimmt, ist die Ableitung kleiner oder gleich Null, und wenn die Funktion zunimmt, ist die Ableitung größer oder gleich Null.

Fassen wir die gewonnenen Erkenntnisse mit folgender Aussage zusammen:

Satz: Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum: Die Funktion y=f(x) sei in einem Intervall X stetig und habe einen stationären oder kritischen Punkt x= x0 innerhalb des Intervalls. Dann:

• Wenn dieser Punkt eine Umgebung hat, in der f’(x)>0 für x x0 gilt, dann ist Punkt x0 der Minimalpunkt der Funktion y= f(x).
• Wenn dieser Punkt eine Umgebung hat, in der f'(x) für x 0 und x> x0 gilt. Wenn dieser Punkt eine Umgebung hat, in der sowohl links als auch rechts vom Punkt x0 die Vorzeichen der Ableitung gleich sind , dann gibt es im Punkt x0 kein Extremum.

Beachten Sie beim Lösen von Problemen die folgenden Regeln: Wenn die Vorzeichen von Derivaten definiert sind, dann:

Algorithmus zur Untersuchung einer stetigen Funktion y= f(x) für Monotonie und Extrema:

• Finden Sie die Ableitung von y'.
• Finden Sie stationäre Punkte (die Ableitung ist Null) und kritische Punkte (die Ableitung existiert nicht).
• Markieren Sie stationäre und kritische Punkte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung auf den resultierenden Intervallen.
• Ziehen Sie anhand der obigen Aussagen eine Schlussfolgerung über die Art der Extrempunkte.

Beispiele für das Finden von Extrempunkten

1) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie ihre Natur: y= 7+ 12*x - x 3

Lösung: Unsere Funktion ist stetig, dann verwenden wir unseren Algorithmus:
a) y"= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, bei x= ±2,

Punkt x= -2 ist der minimale Punkt der Funktion, Punkt x= 2 ist der maximale Punkt der Funktion.
Antwort: x= -2 ist der Minimalpunkt der Funktion, x= 2 ist der Maximalpunkt der Funktion.

2) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie deren Natur.

Lösung: Unsere Funktion ist kontinuierlich. Nutzen wir unseren Algorithmus:
A) b) am Punkt x= 2 die Ableitung existiert nicht, weil Sie können nicht durch Null dividieren Definitionsbereich der Funktion: , es gibt an dieser Stelle kein Extremum, weil die Umgebung des Punktes ist nicht definiert. Finden wir den Wert, bei dem die Ableitung gleich Null ist: c) Markieren Sie stationäre Punkte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung: d) Schauen Sie sich unsere Abbildung an, die die Regeln zur Bestimmung von Extrema zeigt.
Punkt x= 3 ist der Minimalpunkt der Funktion.
Antwort: x= 3 ist der Minimalpunkt der Funktion.

3) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion y= x - 2cos(x) und bestimmen Sie ihre Natur, für -π ≤ x ≤ π.

Lösung: Unsere Funktion ist stetig, verwenden wir unseren Algorithmus:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) Finden Sie die Werte, bei denen die Ableitung gleich Null ist: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
Weil -π ≤ x ≤ π, dann: x= -π/6, -5π/6,
c) Markieren Sie stationäre Punkte auf der Zahlengeraden und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung: d) Schauen Sie sich unsere Abbildung an, die die Regeln zur Bestimmung von Extrema zeigt.
Punkt x= -5π/6 ist der Maximalpunkt der Funktion.
Punkt x= -π/6 ist der Minimalpunkt der Funktion.
Antwort: x= -5π/6 ist der Maximalpunkt der Funktion, x= -π/6 ist der Minimalpunkt der Funktion.

4) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie deren Natur:

Lösung: Unsere Funktion hat nur an einem Punkt x= 0 eine Diskontinuität. Verwenden wir den Algorithmus:
A)
b) Finden Sie die Werte, bei denen die Ableitung gleich Null ist: y"= 0 bei x= ±2,
c) Markieren Sie stationäre Punkte auf der Zahlengeraden und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung:
d) Schauen Sie sich unsere Abbildung an, die die Regeln zur Bestimmung von Extrema zeigt.
Punkt x= -2 ist der Minimalpunkt der Funktion.
Punkt x= 2 ist der Minimalpunkt der Funktion.
Am Punkt x= 0 existiert die Funktion nicht.
Antwort: x= ±2 - Mindestpunkte der Funktion.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

a) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie ihre Natur: y= 5x 3 - 15x - 5.
b) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie deren Natur:
c) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie ihre Natur: y= 2sin(x) - x für π ≤ x ≤ 3π.
d) Finden Sie die Extrempunkte der Funktion und bestimmen Sie deren Natur:

Wie Sie sehen können, erfordert dieses Vorzeichen eines Extremums einer Funktion die Existenz einer Ableitung mindestens zweiter Ordnung an dem Punkt.

Beispiel.

Finden Sie die Extrema der Funktion.

Lösung.

Beginnen wir mit dem Definitionsbereich:

Lassen Sie uns die ursprüngliche Funktion unterscheiden:

x=1, das heißt, dies ist ein möglicher Extrempunkt. Wir finden die zweite Ableitung der Funktion und berechnen ihren Wert bei x = 1:

Daher gilt als zweite hinreichende Bedingung für ein Extremum: x=1- Maximalpunkt. Dann - maximale Funktion.

Grafische Illustration.

Antwort:

Die dritte hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion.

Lassen Sie die Funktion y=f(x) hat Derivate bis zu N-te Ordnung in der -Nachbarschaft des Punktes und Ableitungen bis zu n+1-te Ordnung an der Stelle selbst. Lass es sein.

Beispiel.

Finden Sie die Extrempunkte der Funktion .

Lösung.

Die ursprüngliche Funktion ist eine rationale Gesamtfunktion; ihr Definitionsbereich ist die gesamte Menge der reellen Zahlen.

Lassen Sie uns die Funktion differenzieren:

Die Ableitung geht bei Null auf Null Daher handelt es sich hierbei um mögliche Extrempunkte. Nutzen wir die dritte hinreichende Bedingung für ein Extremum.

Wir finden die zweite Ableitung und berechnen ihren Wert an Punkten möglichen Extremums (wir lassen Zwischenberechnungen weg):

Folglich ist der Maximalpunkt (für das dritte ausreichende Zeichen des Extremums, das wir haben). n=1 Und ).

Um die Art der Punkte herauszufinden Wir finden die dritte Ableitung und berechnen ihren Wert an diesen Punkten:

Daher ist der Wendepunkt der Funktion ( n=2 Und ).

Es bleibt, den Punkt zu klären. Wir finden die vierte Ableitung und berechnen ihren Wert an dieser Stelle:

Daher ist der Minimalpunkt der Funktion.

Grafische Illustration.

Antwort:

Der Maximalpunkt ist der Minimalpunkt der Funktion.

10. Extrema einer Funktion Definition eines Extremums

Die Funktion y = f(x) wird aufgerufen zunehmend (abnehmend) in einem bestimmten Intervall, wenn für x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Wenn die differenzierbare Funktion y = f(x) in einem Intervall zunimmt (abnimmt), dann ist ihre Ableitung in diesem Intervall f " (x)  0

(f " (x)  0).

Punkt X Ö angerufen lokaler Maximalpunkt (Minimum) Funktion f(x), wenn es eine Umgebung des Punktes gibt X Ö, für alle Punkte, für die die Ungleichung f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) gilt.

Es werden die Maximal- und Minimalpunkte aufgerufen Extrempunkte, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind ihre Extreme.

Extremumpunkte

Notwendige Bedingungen für ein Extremum. Wenn der Punkt X Ö ist ein Extrempunkt der Funktion f(x), dann ist entweder f " (x o) = 0, oder f (x o) existiert nicht. Solche Punkte werden aufgerufen kritisch, und die Funktion selbst ist am kritischen Punkt definiert. Die Extrema einer Funktion sollten unter ihren kritischen Punkten gesucht werden.

Die erste hinreichende Bedingung. Lassen X Ö- kritischer Punkt. Wenn f "(x) beim Durchgang durch einen Punkt X ÖÄndert das Pluszeichen in Minus, dann am Punkt X Ö Die Funktion hat ein Maximum, andernfalls hat sie ein Minimum. Wenn die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen nicht ändert, dann an dem Punkt X Ö es gibt kein Extrem.

Zweite ausreichende Bedingung. Die Funktion f(x) habe eine Ableitung f " (x) in der Nähe des Punktes X Ö und die zweite Ableitung am Punkt selbst X Ö. Wenn f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка X Ö ist der lokale minimale (maximale) Punkt der Funktion f(x). Wenn =0, müssen Sie entweder die erste ausreichende Bedingung verwenden oder höhere Ableitungen verwenden.

Auf einem Segment kann die Funktion y = f(x) ihren minimalen oder maximalen Wert entweder an kritischen Punkten oder an den Enden des Segments erreichen.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösung. Da f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 = 2 und x 2 = 3. Extrema können nur bei liegen Diese Punkte. Wenn also die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x 1 = 2 ihr Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum. Beim Durchgang durch den Punkt x 2 = 3 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von Minus zu plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 = 3 ein Minimum. Nachdem wir die Werte der Funktion an den Punkten x 1 = 2 und x 2 = 3 berechnet haben, finden wir die Extrema der Funktion: Maximum f( 2) = 14 und minimales f(3) = 13.

Mit diesem Service können Sie Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion eine Variable f(x) mit der in Word formatierten Lösung. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle steigender und fallender Funktionen finden.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

y =

auf dem Segment [ ;]

Beziehen Sie die Theorie mit ein

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Die Gleichung f" 0 (x *) = 0 ist eine notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen, d. h. am Punkt x * muss die erste Ableitung der Funktion verschwinden. Sie identifiziert stationäre Punkte x c, an denen die Funktion nicht verschwindet erhöhen oder verringern.

Ausreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Sei f 0 (x) zweimal differenzierbar bezüglich x, das zur Menge D gehört. Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist Punkt x * der lokale (globale) Minimalpunkt der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dann ist Punkt x * ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel Nr. 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment.
Lösung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f’(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment. (Der Punkt x=0 ist nicht kritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 bei x=2; f max =9 bei x=1

Beispiel Nr. 2. Ermitteln Sie mithilfe von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Lösung.
Finden Sie die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y’’=2sin(x), berechnen, was bedeutet, dass x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion sind; , was bedeutet, dass x=- π / 3 +2πk, k∈Z die Maximalpunkte der Funktion sind.

Beispiel Nr. 3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Lösung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, ermitteln Sie seinen Typ (Minimum oder Maximum). Wenn es unter den gefundenen Punkten kein x = 0 gibt, dann berechnen Sie den Wert der Funktion f(x=0).
Es ist zu beachten, dass die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines bestimmten Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Umgebung auf einer Seite des Punktes x 0 oder Auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Punkten ist es notwendig, andere Methoden zur Untersuchung von Funktionen an einem Extremum zu verwenden.

Betrachten Sie den Graphen einer stetigen Funktion y=f(x) in der Abbildung dargestellt.

Funktionswert an einem Punkt X 1 wird größer sein als die Funktionswerte an allen benachbarten Punkten sowohl links als auch rechts davon X 1 . In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X Maximal 1. Am Punkt X Funktion 3 hat offensichtlich auch ein Maximum. Wenn wir den Punkt bedenken X 2, dann ist der darin enthaltene Funktionswert kleiner als alle benachbarten Werte. In diesem Fall sagen wir, dass die Funktion den Punkt hat X Mindestens 2. Ebenso für den Punkt X 4 .

Funktion y=f(x) am Punkt X 0 hat maximal, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als ihre Werte an allen Punkten eines Intervalls, das den Punkt enthält X 0, d.h. wenn es eine solche Umgebung eines Punktes gibt X 0, was für alle gilt X≠X 0 , Zugehörigkeit zu dieser Nachbarschaft gilt die Ungleichung f(x)<f(x 0 ) .

Funktion y=f(x) Es hat Minimum am Punkt X 0 , wenn es eine solche Umgebung eines Punktes gibt X 0 , das ist für jeden etwas X≠X 0 zu dieser Nachbarschaft gehört, gilt die Ungleichung f(x)>f(x 0.

Die Punkte, an denen die Funktion ihr Maximum und Minimum erreicht, werden Extrempunkte genannt, und die Werte der Funktion an diesen Punkten werden Extrema der Funktion genannt.

Beachten wir die Tatsache, dass eine auf einem Segment definierte Funktion ihr Maximum und Minimum nur an Punkten erreichen kann, die innerhalb des betrachteten Segments liegen.

Beachten Sie, dass wenn eine Funktion an einem Punkt ein Maximum aufweist, dies nicht bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt den größten Wert im gesamten Definitionsbereich hat. In der oben besprochenen Abbildung ist die Funktion an dem Punkt X 1 hat ein Maximum, obwohl es Punkte gibt, an denen die Funktionswerte größer sind als am Punkt X 1 . Insbesondere, F(X 1) < F(X 4) d.h. Das Minimum einer Funktion ist größer als das Maximum. Aus der Definition des Maximums folgt lediglich, dass dies der größte Wert der Funktion an Punkten ist, die hinreichend nahe am Maximalpunkt liegen.

Satz 1. (Notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Wenn die differenzierbare Funktion y=f(x) hat auf den Punkt x=x 0 Extremum, dann wird seine Ableitung an diesem Punkt Null.

Nachweisen. Lassen Sie uns der Sicherheit halber auf den Punkt kommen X 0-Funktion hat ein Maximum. Dann gilt für ausreichend kleine Inkremente Δ X wir haben f(x 0 + Δ X) 0 ) , d.h. Aber dann

Übergabe dieser Ungleichungen an den Grenzwert bei Δ X→ 0 und unter Berücksichtigung der Ableitung F "(X 0) existiert, und daher hängt der Grenzwert links nicht davon ab, wie Δ X→ 0 erhalten wir: bei Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a bei Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Da F"(X 0) eine Zahl definiert, dann sind diese beiden Ungleichungen nur dann kompatibel, wenn F"(X 0) = 0.

Der bewährte Satz besagt, dass die Maximal- und Minimalpunkte nur zu den Werten des Arguments gehören können, bei denen die Ableitung Null wird.

Wir haben den Fall betrachtet, dass eine Funktion an allen Punkten eines bestimmten Segments eine Ableitung hat. Wie verhält es sich, wenn das Derivat nicht existiert? Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiele.

1. j=|X|.

   Die Funktion hat an diesem Punkt keine Ableitung X=0 (an diesem Punkt hat der Graph der Funktion keinen definierten Tangens), aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Minimum, da j(0)=0 und für alle X≠ 0j > 0.



Die Funktion hat keine Ableitung bei X=0, da es bei unendlich geht X=0. Aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Maximum.



Die Funktion hat keine Ableitung bei X=0, da bei X→0. Zu diesem Zeitpunkt hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum. Wirklich, f(x)=0 und bei X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.



Aus den gegebenen Beispielen und dem formulierten Theorem geht also klar hervor, dass eine Funktion nur in zwei Fällen ein Extremum haben kann: 1) an Punkten, an denen die Ableitung existiert und gleich Null ist; 2) an dem Punkt, an dem die Ableitung nicht existiert.

Wenn jedoch irgendwann X 0 das wissen wir f "(x 0 ) =0, dann kann man hieraus nicht auf das schließen X 0 hat die Funktion ein Extremum.

Zum Beispiel. .



Aber Punkt X=0 ist kein Extrempunkt, da links von diesem Punkt die Funktionswerte unterhalb der Achse liegen Ochse, und rechts oben.

Es werden Werte eines Arguments aus dem Definitionsbereich einer Funktion aufgerufen, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet oder nicht existiert kritische Punkte.




Aus alledem folgt, dass die Extrempunkte der Funktion zu den kritischen Punkten gehören, allerdings ist nicht jeder kritische Punkt ein Extrempunkt. Um das Extremum einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie daher alle kritischen Punkte der Funktion ermitteln und dann jeden dieser Punkte separat auf Maximum und Minimum untersuchen. Hierzu dient der folgende Satz.

Satz 2. (Ausreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Die Funktion sei in einem Intervall, das den kritischen Punkt enthält, stetig X 0 und ist an allen Punkten dieses Intervalls differenzierbar (außer vielleicht am Punkt selbst). X 0). Wenn bei der Bewegung von links nach rechts durch diesen Punkt die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, dann an diesem Punkt X = X 0-Funktion hat ein Maximum. Wenn, bei der Durchreise X 0 von links nach rechts ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, dann hat die Funktion an dieser Stelle ein Minimum.

Also, wenn

Nachweisen. Nehmen wir zunächst einmal an, dass es sich um eine Durchreise handelt X 0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, d.h. Vor allen X, nah am Punkt X 0 f "(x)> 0 für X< x 0 , f "(x)< 0 für x> x 0 . Wenden wir den Satz von Lagrange auf die Differenz an f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), wo C liegt zwischen X Und X 0 .

1. Lassen X< x 0 . Dann C< x 0 und f "(c)> 0. Deshalb f "(c)(x- x 0)< 0 und daher

   f(x) - f(x 0 )< 0, d.h. f(x)< f(x 0 ).

2. Lassen x > x 0 . Dann c>x 0 und f "(c)< 0. Bedeutet f "(c)(x- x 0)< 0. Deshalb f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Also für alle Werte X nah genug dran X 0 f(x)< f(x 0 ) . Und das bedeutet auf den Punkt gebracht X 0-Funktion hat ein Maximum.

Der zweite Teil des Minimumsatzes wird auf ähnliche Weise bewiesen.



Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Theorems in der Abbildung veranschaulichen. Lassen f "(x 1 ) =0 und für alle X, nah genug dran X 1 sind die Ungleichungen erfüllt

f "(x)< 0 um X< x 1 , f "(x)> 0 um x> x 1 .

Dann links vom Punkt X 1 Die Funktion nimmt rechts zu und ab, also wann X = X 1 Funktion geht von steigend nach fallend, das heißt, sie hat ein Maximum.

Ebenso können wir Punkte berücksichtigen X 2 und X 3 .


Alles oben Genannte kann im Bild schematisch dargestellt werden:

Regel zum Studieren der Funktion y=f(x) für Extremum

1. Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion f(x).
2. Finden Sie die erste Ableitung einer Funktion f "(x).
3. Bestimmen Sie hierfür kritische Punkte:
   1. Finden Sie die wahren Wurzeln der Gleichung f "(x)=0;
   2. Finden Sie alle Werte X für die die Ableitung f "(x) existiert nicht.
4. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt. Da das Vorzeichen der Ableitung zwischen zwei kritischen Punkten konstant bleibt, reicht es aus, das Vorzeichen der Ableitung an einem Punkt links und einem Punkt rechts vom kritischen Punkt zu bestimmen.
5. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.

Beispiele. Entdecken Sie die Funktionen für Minimum und Maximum.




MAXIMALE UND KLEINSTE WERTE EINER FUNKTION AUF EINEM Segment

Das größte Der Wert einer Funktion in einem Intervall ist der größte aller ihrer Werte in diesem Intervall und das kleinste– der kleinste aller seiner Werte.

Betrachten Sie die Funktion y=f(x) kontinuierlich auf dem Segment [ a, b]. Bekanntlich erreicht eine solche Funktion ihre Maximal- und Minimalwerte entweder am Rand des Segments oder innerhalb desselben. Wird der größte oder kleinste Wert einer Funktion an einem internen Punkt des Segments erreicht, dann ist dieser Wert das Maximum oder Minimum der Funktion, wird also an kritischen Punkten erreicht.

Somit erhalten wir Folgendes Regel zum Finden der größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment[ a, b] :

1. Finden Sie alle kritischen Punkte der Funktion im Intervall ( a, b) und berechnen Sie die Werte der Funktion an diesen Punkten.
2. Berechnen Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments, wenn x = a, x = b.
3. Wählen Sie aus allen erhaltenen Werten den größten und den kleinsten aus.