Стохастические, расходящиеся и сходящиеся процессы. Значение стохастический процесс в современном толковом словаре, бсэ

Определение

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .

Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационарные процессы. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс не стационарен, если эти условия нарушаются.

Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы. Это такие процессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распределение. Как правило, термин "временной ряд" сам по себе подразумевает, что этот ряд является одномерным (скалярным).

При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбинироваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие или компоненты, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Различают два вида компонент: систематические (это результат воздействия на временной ряд постоянно действующих факторов) и случайные (это случайный шум или ошибка, нерегулярно воздействующие на ряд).

Перечислим наиболее важные компоненты. К систематическим относятся следующие:

тенденция - соответствует медленному изменению, происходящему в некотором направлении, которое сохраняется в течение значительного промежутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным движением;

циклические колебания - это более быстрая, чем тенденция, квазипериодическая динамика, выходящая за рамки одного периода и в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Промежуток времени между двумя вершинами или впадинами считается длиною цикла. На циклические компоненты оказывают влияние трудно идентифицируемые формальными методами факторы (изменение политической ситуации, прирост или истощение ресурсов и др.). Наиболее часто цикл связан с флуктуациями экономической активности;

сезонные колебания - соответствуют изменениям, которые происходят регулярно в течение года, недели или суток, т.е. внутри одного выделенного периода. Они связаны с сезонами и ритмами человеческой активности;

календарные эффекты - это отклонения, связанные с определенными предсказуемыми календарными событиями, такими, как праздничные дни, количество рабочих дней за месяц, високосный год и т.п.

Систематические компоненты могут одновременно все присутствовать во временном ряде.

Случайные компоненты включают в себя следующие виды:

случайные флуктуации - беспорядочные движения относительно большой частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую составляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).

выбросы - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.

структурные сдвиги - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер и меняющие тенденцию.

Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные виды таких движений почти в чистом виде. Но большая часть их имеет очень сложный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания, так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуации. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное рассмотрение отдельных компонент.

Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти составляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статистическую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти составляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оценок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели является сложной задачей. В частности, из содержательного описания не всегда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд может быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные колебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных или с помощью стохастического процесса определенного вида. Компоненты временного ряда могут входить в него аддитивно или мультипликативно, либо в смешенном виде. Более того, далеко не все временные ряды имеют достаточно простую структуру, чтобы можно было разложить их на указанные составляющие. Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компоненты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факторами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных фильтров.

Еще статьи по экономике

Статистическое исследование рынка труда
Проблема рынка труда, занятости и безработицы являются одной из важнейших социально-экономических проблем нашего времени. В условиях переходной экономики эти проблемы проявляются особенно ос...

Комплексный экономический анализ производственно-хозяйственной деятельности медицинской организации
Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятий как наука представляет собой систему специальных знаний, связанных с исследованием тенденций хозяйственного развития, н...

Кооперативные уставы, их виды и содержание
Кооператив - это самодеятельная организация работников - собственников, организующих его деятельность в целях получения прибыли или реализации в своих интересах различного род...

Временные ряды . Временной ряд – это множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. Если время непрерывно, временно ряд называется непрерывным. Если время изменяется дискретно, временной ряд дискретен. Наблюдения дискретного временного ряда, сделанные в моменты времени могут быть обозначены через . В этой книге рассматриваются только дискретные временные ряды, в которых наблюдения делаются через фиксированный интервал . Когда имеется последовательных значений такого ряда, доступных для анализа, мы пишем , обозначая так наблюдения, сделанные в равноотстоящие моменты времени . Во многих случаях значения и не важны, но если необходимо точно определить времена наблюдений, нужно указать эти два значения. Если мы принимаем за начало и за единицу времени, мы можем рассматривать как наблюдение в момент времени .

Дискретные временные ряды могут появляться двумя путями.

1) Выборкой из непрерывных временных рядов, например, в ситуации, показанной на рис. 1.2, где значения непрерывных входа и выхода газовой печи считываются с интервалом 9 с.

2) Накоплением переменной в течение некоторого периода времени; примерами могут служить дождевые осадки, которые обычно накапливаются за такие периоды, как день или месяц, или выход партий продукта, накапливающегося за время цикла. Например, на рис. 2.1 показан временной ряд, состоящий из значений выхода 70 последовательных партий продукта химического процесса.

Рис. 2.1 Выход 70 последовательных партий продукта химического процесса.

Детерминированные и случайные временные ряды . Если будущие значения временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, например, такой, как

,

временной ряд называют детерминированным. Если будущие значения могут быть описаны только с помощью распределения вероятностей, временной ряд называют недетерминированным, или просто случайным. Данные о партиях продукта на рис. 2.1 – это пример случайного временного ряда. Хотя в этом ряду имеется отчетливая тенденция к чередованию «вверх-вниз», невозможно точно предсказать выход следующей партии. В этой книге мы будем исследовать именно такие случайные временные ряды.

Стохастические процессы . Статическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятности, называется стохастическим процессом. Мы часто будем называть его просто процессом, опуская слово «стохастический». Подлежащий анализу временной ряд может быть рассматриваться как одна частная реализация изучаемой системы, генерируемая скрытым вероятностным механизмом. Другими словами, анализируя временной ряд, мы рассматриваем его как реализацию стохастического процесса.

Рис. 2.2 Наблюденный временной ряд (жирная линия) и другие временные ряды, являющиеся реализациями одного и того же стохастического ряда.

Рис. 2. 3. Изолинии плотности двумерного распределения вероятности, описывающего стохастический процесс в моменты времени и , там же маргинальное распределение в момент .

Например, анализирую данные о выходе партии продукта на рис 2.1, мы можем представить себе другие множества наблюдений (другие реализации порождающего эти наблюдения стохастического процесса), которые могут быть генерированы той же самой химической системой, за те же циклов. Так, например, на рис. 2.2 показаны выходы партий продукта с по (жирная линия) вместе с другими временными рядами, которые могли бы быть получены из популяции временных рядов, определяемых тем же стохастическим процессом. Отсюда следует, что мы можем рассматривать наблюдение в данное время , скажем , как реализацию случайной величины с плотностью вероятности . с плотностью вероятности .

Слово стохастический используется математиками и физиками для описания процессов, в которых имеется элемент случайности. Оно происходит непосредственно от греческого слова «атоааизеоа». В этике Аристотеля это слово используется в смысле «способности угадывать». Математики применили это слово, очевидно, на том основании, что при необходимости угадывать появляется элемент случайности. В «Новом международном словаре» Вебстера слово стохастический определено как предположительный. Мы, таким образом, замечаем, что техническое значение этого слова не находится в точном соответствии с его лексическим (словарным) определением. В том же смысле, что и «стохастический процесс», некоторые авторы пользуются выражением «случайный процесс». В дальнейшем мы будем говорить о процессах и сигналах, которые не являются чисто случайными, но содержат в себе случайность в той или иной степени. По этой причине мы предпочитаем слово «стохастический».

Рис. 3.1-1. Сравнение типичного стохастического и предсказуемого сигналов.

На рис. 3.1-1 сравниваются простые формы колебаний стохастического и регулярного сигналов. Если повторить эксперимент по измерению стохастического сигнала, то мы получим колебания новой формы, отличной от предыдущей, но все еще проявляющей некоторое сходство в характерных чертах. Запись колебаний волн океана

является еще одним примером стохастического сигнала. Почему необходимо говорить об этих, довольно необычных, стохастических сигналах? Ответ на этот вопрос основан на том факте, что входные сигналы систем автоматики зачастую не являются полностью предсказуемыми подобно синусоиде или простейшему переходному процессу. В действительности, стохастические сигналы встречаются при исследованиях автоматических систем чаще, чем предсказуемые сигналы. Тем не менее то обстоятельство, что предсказуемые сигналы имеют большое значение до настоящего времени, не является серьезным упущением. Весьма часто можно прийти к приемлемой методике, подбирая сигналы из класса предсказуемых сигналов так, чтобы отобразить характерные особенности истинного сигнала, являющегося по своей природе стохастическим. Примером такого рода является использование нескольких соответственно подобранных синусоид с целью представить стохастические изменения моментов, обусловливающих качку, в задаче об устойчивости корабля. С другой стороны, мы встречаем такие задачи, в которых представление истинного стохастического сигнала с помощью предсказуемой функции весьма затруднительно. В качестве первого примера рассмотрим схему системы автоматического слежения за целью и управления огнем. Здесь наводящее радиолокационное устройство измеряет ошибку наведения не точно, а только приблизительно. Разность между истинной ошибкой наведения и тем, что измеряет радиолокатор, часто называют радиолокационным шумом. Обычно очень трудно аппроксимировать радиолокационный шум несколькими синусоидами или другими простыми функциями. Другим примером является плетение текстильных волокон. В процессе плетения из беспорядочно запутанных связок волокна (называемых пряжей) вытягивается нить. Толщину нити, в некотором смысле, можно рассматривать как входной сигнал при регулировании процесса плетения. Отклонения в этом процессе происходят из-за изменения числа и толщины отдельных волокон в различных переплетающихся участках пряжи. Очевидно, этот тип отклонений является по своей природе стохастическим, и его затруднительно аппроксимировать любыми регулярными функциями.

Предыдущие рассуждения показывают, что стохастические сигналы при исследовании систем регулирования играют важную роль. Пока мы говорили о стохастических сигналах как о сигналах, вызванных процессами, содержащими некоторый элемент случайности. Чтобы перейти к дальнейшему, мы должны уточнить понятия о таких сигналах. Современная физика, в особенности квантовая механика, учит, что все физические процессы при детальном исследовании

оказываются разрывными и недетерминированными. Законы классической механики заменяются статистическими законами, основанными на вероятности событий. Например, мы обычно считаем напряжение колебаний, возникающих на экране вакуумной трубки осциллографа, гладкой функцией. Однако мы знаем, что если исследовать эти колебания при помощи микроскопа, они не будут выглядеть столь гладко из-за дробового шума в трубке, сопровождающего возбуждение колебаний. После некоторого размышления нетрудно склониться к тому, что все сигналы в природе являются стохастическими. Хотя сначала мы предположили, что по сравнению с синусоидой или функцией единичного скачка стохастический сигнал является относительно абстрактным понятием, но в действительности вернее обратное: синусоида, функция единичного скачка и вообще регулярные сигналы представляют абстракцию. Однако, подобно евклидовой геометрии, - это полезная абстракция.

Стохастический сигнал не может быть представлен графически наперед заданным образом, так как он обусловлен процессом, содержащим элемент случайности. Мы не можем сказать, какова величина стохастического сигнала в будущий момент времени. О стохастическом сигнале в будущий момент времени можно сказать только какова вероятность, что его величина попадает в определенный интервал. Мы, таким образом, видим, что понятия функции для стохастического сигнала и для регулярного сигнала совершенно различны. Для регулярной переменной величины идея функции подразумевает определенную зависимость переменной от ее аргумента. С каждой величиной аргумента мы связываем одно или несколько значений переменной. В случае стохастической функции мы не можем связать единственным образом величину переменной с некоторым частным значением аргумента. Все, что мы можем сделать - это связать с частными значениями аргумента некоторые распределения вероятности. В определенном смысле все регулярные сигналы являются тем предельным случаем стохастических сигналов, когда распределения вероятности обладают высокими пиками, так что неопределенность положения переменной для частной величины аргумента равна нулю. На первый взгляд стохастическая переменная может показаться настолько неопределенной, что ее аналитическое рассмотрение невозможно. Однако мы увидим, что анализ стохастических сигналов может быть проведен с помощью функций плотности вероятности и других статистических характеристик, таких как средние величины, среднеквадратичные величины и функции корреляции. Ввиду статистической природы стохастические сигналы зачастую удобно считать элементами множества сигналов, каждый из которых обусловлен одиим и тем же процессом. Это множество сигналов называется ансамблем. Понятие ансамбля для стохастических сигналов соответствует понятию населения в статистике. Характеристики стохастического сигнала

относятся обычно к ансамблю, а не к частному сигналу ансамбля. Таким образом, когда мы говорим об определенных свойствах стохастического сигнала, то обычно подразумеваем, что этими свойствами обладает ансамбль. Вообще невозможно считать, что отдельный стохастический сигнал имеет произвольные свойства (с возможным исключением несущественных свойств). В следующем параграфе мы обсудим важное исключение из этого общего правила.

Это процесс, поведение которого не является детерминированным , и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. Однако, по М. Кацу и Э. Нельсону , любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет случайным процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).

Стохастичность в математике

Использование термина стохастичность в математике относят к работам Владислава Борцкевича , который использовал его в значении выдвигать гипотезы , которое, в свою очередь, отсылает нас к древнегреческим философам, а также к работе Я. Бернулли Ars Conjectandi (лат. искусство загадывать) .

Область исследований случайных в математике , особенно в теории вероятностей , играет большую роль.

Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию