Время корреляции случайного процесса. Корреляционной функции случайного процесса

Предметом корреляционного анализа является изучение вероятностных зависимостей между случайными величинами.

Величины являются независимы­ми если закон распределения каждой из них не зависит от значе­ния, которое приняла другая. Такими величинами можно считать, например, предел выносливости материала детали и теоретический коэффициент концентрации напряжений в опасном сечении детали.

Величины являются связанными вероятностными или стохастическими зависимостями, если известному значению одной ве­личины соответствует не конкретное значение, а закон распределе­ния другой. Вероятностные зависимости имеют место, когда вели­чины зависят не только от общих для них, но и от разных случайных факторов.

Полная информация о вероятностной связи двух случайных величин представляется совместной плотностью распределения f(x,у) или условными плотностями распределения f(x/y), f(y/x), т. е. плотностями распределения случайных величин X и Y при задании конкретных значений у и х соответственно.

Совместная плотность и условные плотности распределения связаны следующими соотношениями:

Основными характеристиками вероятностных зависимостей яв­ляются корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент двух случайных величин X и У – это математическое ожидание произ­ведения центрированных случайных величин:

для дискретных

для непрерывных

где m x и m y – математические ожидания величин X и Y; р ij – ве­роятность отдельных значений x i и у i .

Корреляционный момент одновременно характеризует связь между случайными величинами и их рассеяние. По своей размер­ности он соответствует дисперсии для независимой случайной величины. Для выделения характеристики связи между случайными величинами переходят к коэффициенту корреляции характеризует степень тесноты зависимости и может изменяться в пределах -1 ≤ ρ ≤ 1.

;

где S x и S y – средние квадратические отклонения случайных величин.

Значения ρ = 1 и ρ = –1 свидетельствуют о функциональной зависи­мости, значение ρ = 0 свидетельствует о некоррелированности слу­чайных величин

Рассматривают корреляцию как между величинами, так и между событиями, а также множественную корреляцию, характеризую­щую связь между многими величинами и событиями.

При более анализе вероятностной связи определяют условные математические ожидания случайных величин m y / x и m х/у, т. е. математические ожидания случайных величин У и X при заданных конкретных значениях х и у соответственно.

Зависимость условного математического ожидания т у/х от х называют регрессией У по X. Зависимость т х/у от у соответствует регрессии X по Y.

Для нормально распределенных величин Y и X уравнение регрессии имеет вид:

для регрессии У по Х

для регрессии X по У

Важнейшей областью применения корреляционного анализа к задачам надежности является обработка и обобщение результатов эксплуатационных наблюдений. Результаты наблюдения случайных величин У и X представляют парными значениями у i , x i i -го наблюдения, где i=1, 2 . . . п; п – число наблюдений.

Оценку r коэффициента корреляции ρ определяют по формуле

где , – оценки математических ожиданий т х и т у соответствен­но, т. е. средние из п наблюдений значений

s x , s y - оценки средних квадратических отклонений S x и S y соот­ветственно:

Обозначив оценку условных математических ожиданий т y / x , т х / у соответственно через и , уравнения эмпирической регрес­сии У по X и X по Y записывают в следующем виде:

Как правило, практическую ценность имеет лишь одна из ре­грессий.

При коэффициенте корреляции r=1 уравнения регрессий тождественны.

Вопрос №63 Оценка статистических параметров с помощью доверительных интервалов

Если значение испытываемого параметра оценивается одним числом, то оно называется точечным. Но в большинстве задач нужно найти не только наиболее достоверное численное значение, но и оценить степень достоверности.

Нужно знать: какую ошибку вызывает замена истинного параметра а его точечной оценкой ; с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не превысят известные заранее установленные пределы.

Для этой цели в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Если для параметра а получена из опыта несмещенная оценка , и поставлена задача оценить возможную при этом ошибку, то необходимо назначить некоторую достаточно большую вероятность β (например β = 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.), такую, что событие с вероятностью β можно было бы считать практически достоверным.

В этом случае можно найти такое значение ε, для которого P (| - a | < ε) = β.

Рис. 3.1.1 Схема доверительного интервала.

В этом случае диапазон практически возможных ошибок, возникающих при замене а на не будет превышать ± ε. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью α = 1 – β. Событие противоположное и неизвестное с вероятностью β будет попадать в интервал I β = ( - ε; + ε). Вероятность β можно толковать, как вероятность того, что случайный интервал I β накроет точку а (рис. 3.1.1).

Вероятность β принято называть доверительной вероятностью, а интервал I β принято называть доверительным интервалом. На рис. 3.1.1 рассматривается симметричный доверительный интервал. В общем случае это требование не является обязательным.

Доверительный интервал значений параметра a можно рассматривать как интервал значений a , совместных с опытными данными и не противоречащих им.

Выбирая доверительную вероятность β, близкую к единице, мы хотим иметь уверенность в том, что событие с такой вероятностью произойдет при осуществлении определенного комплекса условий.

Это равносильно тому, что противоположное событие не произойдет, что мы пренебрегаем вероятностью события, равною α = 1 – β. Укажем, что назначение границы а пренебрежимо малых вероятностей не являются математической задачей. Назначение такой границы находится вне теории вероятностей и определяется в каждой области степенью ответственности и характером решаемых задач.

Но установление слишком большого запаса прочности приводит к неоправданному и большому удорожанию стоимости строительства.

65 Вопрос №65 Стационарный случайный процесс.

Стационарная случайная функция – случайная функция, все вероятностные характеристики которой не зависят от аргумента. Стационарные случайные функции описывают стационарные процессы работы машин, нестационарные функции – нестационарные процессы, частности переходные: пуск, останов, изменение режима. Аргументом является время.

Условия стационарности случайных функций:

1. постоянство математического ожидания;

2. постоянство дисперсии;

3. корреляционная функция должна зависеть только от разности аргументов, но не от их значений.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; случайные шумы в радиоприемнике и др.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго, при исследовании в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. При исследовании стационарного случайного процесса на любом участке времени должны получаться одни и те же характеристики.

Корреляционная функция стационарных случайных процессов есть четная функция.

Для стационарных случайных процессов эффективен спектральный анализ, т.е. рассмотрение в виде спектров гармоник или рядов Фурье. Дополнительно вводят функцию спектральной плотности случайной функции, характеризующую распределение дисперсий по частотам спектра.

Дисперсия:

Корреляционная функция:

K x (τ) =

Спектральная плотность:

S x () =

Стационарные процессы могут быть эргодическими и неэргодическими. Эргодические – если среднее значение стационарной случайной функции на достаточно длительном участке приближенно равно среднему значению для отдельных реализаций. Для них характеристики определяют как среднее по времени.

Вопрос №66 Показатели надежности технических объектов: единичный, комплексный, расчетный, экспериментальный, эксплуатационный, экстраполированный.

Показатель надежности – количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

Единичный показатель надежности – показатель надежности, характеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта.

Комплексный показатель надежности – показатель надежности, характеризующий несколько свойств, составляющих надежность объекта.

Расчетный показатель надежности – показатель надежности, значения которого определяются расчетным методом.

Экспериментальный показатель надежности – показатель надежности, точечная или интервальная оценка которого определяется по данным испытаний.

Эксплуатационный показатель надежности – показатель надежности, точечная или интервальная оценка которого определяется по данным эксплуатации.

Экстраполированный показатель надежности – показатель надежности, точечная или интервальная оценка которого определяется на основании результатов расчетов, испытаний и (или) эксплуатационных данных путем экстраполирования на другую продолжительность эксплуатации и другие условия эксплуатации.

Вопрос №68 Показатели долговечности технических объектов и автомобилей.

Гамма-процентный ресурс – суммарная наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью g, выраженной в процентах.

Средний ресурс – математическое ожидание ресурса.

Гамма-процентный срок службы – календарная продолжительность эксплуатации, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью g, выраженной в процентах

Средний срок службы – математическое ожидание срока службы.

Примечание. При использовании показателей долговечности следует указывать начало отсчета и вид действий после наступления предельного состояния (например гамма-процентный ресурс от второго капитального ремонта до списания). Показатели долговечности, отсчитываемые от ввода объекта в эксплуатацию до окончательного снятия с эксплуатации, называются гамма-процентный полный ресурс (срок службы), средний полный ресурс (срок службы)

71 71 Задачи и методы прогнозирования надёжности автомобилей

Различают три этапа прогнозирования: ретроспекцию, диагностику и прогноз. На первом этапе устанавливают динамику изменения параметров машины в прошлом, на втором этапе определяют техническое состояние элементов в настоящем, на третьем этапе прогнозируют изменение параметров состояния элементов в будущем.

Основные задачи прогнозирования надежности автомобилей могут быть сформулированы следующим образом:

а) Предсказание закономерности изменения надежности автомобилей в связи с перспективами развития производства, внедрением новых материалов, повышением прочности деталей.

б) Оценка надежности проектируемой автомобилей до того, как они будут изготовлены. Эта задача возникает на стадии проектирования.

в) Прогнозирование надежности конкретного автомобиля (либо его узла, агрегата) на основании результатов изменения его параметров.

г) Прогнозирование надежности некоторой совокупности автомобилей по результатам исследования ограниченного числа опытных образцов. С задачами такого типа приходится сталкиваться на этапе производства.

д) Прогнозирование надежности автомобилей в необычных условиях эксплуатации (например, при температуре и влажности окружающей среды выше допустимой, сложных дорожных условиях и так далее).

Методы прогнозирования надежности автомобилей выбирают с учетом задач прогнозирования, количества и качества исходной информации, характера реального процесса изменения показателя надежности (прогнозируемого параметра).

Современные методы прогнозирования могут быть разделены на три основные группы:а) методы экспертных оценок;б) методы моделирования, включающие физические, физико- математические и информационные модели;в) статистические методы.

Методы прогнозирования, основанные на экспертных оценках, заключаются в обобщении, статистической обработке и анализе мнений специалистов относительно перспектив развития данной области.

Методы моделирования базируются на основных положениях теории подобия. На основании подобия показателей модификации А, уровень надежности которой исследован ранее, и некоторых свойств модификации Б того же автомобиля либо его узла, прогнозируются показатели надежности Б на определенный период времени.

Статистические методы прогнозирования основаны на экстраполяции и интерполяции прогнозируемых параметров надежности, полученных в результате предварительных исследований. В основу метода положены закономерности изменения параметров надежности автомобилей во времени

Вопрос №74 Математические методы прогнозирования. Построение математических моделей надежности.

При прогнозировании надежности трансмиссии возможно использование следующих моделей: 1) «слабейшего» звена; 2) зависимых ресурсов элементов деталей; 3) независимых ресурсов элементов деталей. Ресурс i-го элемента определяется из соотношения:

x i = R i /r i ,

где R i – количественное значение критерия i-го элемента, при котором происходит его отказ;

r i – средняя величина приращения количественной оценки критерия i-го элемента за единицу ресурса.

Величины R i и r i могут быть случайными с определенными законами распределения или постоянными.

Для варианта, когда R i постоянны, а r i переменны и имеют функциональную связь с одной и той же случайной величиной, рассмотрим ситуацию, когда между величинами r i соблюдается линейная функциональная связь, что приводит к модели «слабейшего» звена. В этом случае надежность системы соответствует надежности «слабейшего» звена.

Модель зависимых ресурсов реализуется при нагружении по схеме, когда имеется наличие разброса условий эксплуатации для массовых машин или неопределенности условий эксплуатации уникальных машин. Модель независимых ресурсов имеет место при нагружении по схеме с конкретными условиями эксплуатации.

Выражение для расчета надежности системы с независимыми ресурсами элементами.

Вопрос №79 Схематизация нагружения системы, деталей и элементов (на примере трансмиссии).

Под трансмиссией будем подразумевать привод машины в целом или отдельную, достаточно сложную его часть, которую по тем или иным причинам необходимо выделить. Нагруженность трансмиссии определяется силовой и скоростной составляющими. Силовую составляющую характеризует крутящий момент, а скоростную – угловая скорость вращения, которая определяет количество циклов нагружения деталей трансмиссии или скорость скольжения контактных поверхностей.

В зависимости от типа детали схематизация крутящего момента с целью получения нагруженности детали может быть различной. Например, нагруженность зубчатых колес и подшипников определяется текущим значением моментов, а валов на кручение – величиной его амплитуды.

Исходя из условий эксплуатации, нагруженность трансмиссии может быт представлена в виде следующих схем.

1. Каждому режиму соответствует одномерная кривая распределения.

2. Для каждого режима имеем n одномерных кривых распределения (n - количество условий эксплуатации машины). Вероятность эксплуатации в каждом из условий конкретна.

3. Для каждого режима имеем одно двухмерное распределение текущего и среднего значений крутящего момента.

Схема 1 может быть использована для машин массового производства при совершенно одинаковых условиях эксплуатации или для уникальной машины при конкретных условиях ее эксплуатации.

Схема 2 качественно не отличается от схемы 1, однако в ряде случаев для расчета целесообразно, чтобы каждому условию эксплуатации соответствовала нагрузочная кривая.

Схема 3 может характеризовать нагруженность трансмиссии уникальной машины, конкретные условия эксплуатации которой неизвестны, но известен диапазон условий.

82 Вопрос №82 Системный подход к прогнозированию ресурса деталей

Автомобиль должен рассматриваться как сложная система, образующаяся с точки зрения надежности последовательно соединяющихся его агрегатов, деталей, элементов.

Ресурс элемента:

T i = R i /r i ,

где R i - количественное значение критерия предельного состояния i-го элемента, при котором происходит его отказ;

г i - средняя величина приращения количественной оценки критерия

предельного состояния i -го элемента за единицу ресурса.

R i и r­ i могут быть случайными или постоянными и возможны

следующие варианты:

1. R i - случайные, r­ i - случайные;

2. R i - случайные, r­ i - постоянные;

3. R i - постоянные, r­ i - случайные;

4. R i - постоянные, r­ i - постоянные.

Для первых трех вариантов, считаем R i независимыми между собой случайными величинами.

1.а) r­ i - независимые

Надежность системы считается перемножением ВБР

б) r­ i - случайные и связаны вероятностью

f (r i / r j) = f (r i , r j)/ f (r j);

f (r j / r i) = f (r i , r j)/ f (r i).

Если r i и r j зависят друг от друга, то и ресурсы также будут зависеть друг от

друга и для расчета применяется модель зависимости ресурсов элементов. Т.к. связь вероятностная, то применяется метод условных функций.

в) r i - случайные и связаны функционально.

В данном случае свободные величины зависят друг от друга, также зависят между собой и ресурсы. Только в силу функциональной зависимости связь будет сильнее, чем в других случаях.

2. модель независимых ресурсов элементов.

ВБР системы равна сумме ВБР всех элементов.

3. возможны такие же случаи как в 1, только в случаях б) и в) будет усиление зависимых ресурсов из-за постоянства R i . В случае в) r i - функциональная связь,

возможна ситуация, когда применяется модель "слабейшего" звена.

R 1 ,R 2 –постоянные;

r 1 ,r 2 – случайные;

r 1 = 1,5 ∙ r 2 ;

R 1 = T ∙ r 1 ;

R 2 = T ∙ r 2 ;

Если при других двух конкретных значениях r 1 , r 2 будет соблюдено

такое же соотношение по ресурсу Т 1 >Т 2 , то элемент 2 будет "слабейшим"

звеном, т.е. он определяет надежность этой системы.

Применение модели "слабейшего" звена:

Если в системе есть элемент, у которого критерий R значительно меньше, чем этот критерий у всех других элементов, а нагружены все элементы примерно одинаково;

Если критерий R у всех элементов примерно одинаков, а нагруженность одного элемента значительно выше, чем всех других элементов.

Вопрос №83Определение ресурса деталей (валов, или зубчатых колес, или подшипников опор агрегатов трансмиссии) по экспериментальным нагрузочным режимам.

Определение ресурса подшипников качения.

Для определения долговечности подшипников качения агрегатов трансмиссии и ходовой части необходимо выполнить несколько видов расчета: на статическую прочность, на контактную усталость, на износ.

Модель отказа:

где f(R) – плотность распределения ресурса;

, – плотность и функция распределения ресурса для i-го вида разрушительного процесса;

n – число видов расчета.

Наибольшее распространение получил расчет подшипников качения на контактную усталость:

R = а р С д mρ No 50 [β -1 ,

где С д – динамическая грузоподъемность;

No 50 – число циклов кривой усталости, соответствующее 50% вероятности неразрушения подшипника при нагрузке С д;

m ρ – показатель степени (шариковые = 3, роликовые = 3,33);

Частота нагружения подшипника при движении на k-ой передаче;

Плостность распределения приведенной нагрузки при движении на k-ой передаче в i-ых условиях эксплуатации.

Основные особенности расчета.

1. Так как для кривой усталости подшипников вместо предела выносливости вводится С д (соответствует вероятности неразрушения 90% при 10 6 циклов), то необходимо перейти к кривой усталости, соответствующей 50% неразрушения. Учитывая, что плотность распределения при нагрузке на подшипник С д подчиняется закону Вейбулла, то No 50 = 4,7 ∙ 10 6 циклов.

2. Интегрирование в формуле производится от нуля, а параметры кривой усталости - m ρ , No 50 и С д – не корректируются. Поэтому, при условии = const, перестановка операций суммирования и интегрирования не влияет на величину R. Следовательно, расчеты по обобщенному нагрузочному режиму и по отдельным нагрузочным режимам тождественны. Если величины существенно отличаются, то расчет среднего ресурса R ik производится раздельно для каждой передачи:

R ik = а р С д mρ No [β -1 ,

формула может быть записана:

R = [ -1 ,

Р = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K б ∙ K T ∙ K м;

где F r , F a – радиальная и осевая нагрузки;

K v – коэффициент вращения;

K б – коэффициент вращения;

K Т – температурный коэффициен;

K м – коэффициент материала;

K Fr , K Fa – коэффициент радиальной и осевой нагрузок.

4. Зависимость между крутящим моментом на валу М и приведенной нагрузкой на подшипник:

Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K б ∙ K T ∙ K м ∙ M;

где К Р – коэффициент преобразования;

K R , K A – коэффициенты преобразования момента в суммарную радиальную и осевую нагрузки на подшипник.

Частота нагружения подшипника соответствует частоте его вращения.

1000 U Σα (2πr ω)

где U Σα – общее передаточное число трансмиссии от вала до ведущих колес автомобиля при включенной k-ой передаче.

5. Расчет плотности распределения ресурса подшипника и его параметров производится методом статического моделирования.

Вопрос №12 Удельная материалоемкость автомобилей.

При определении материалоемкости автомобиля используется масса снаря­женного шасси. Целесообразность ис­пользования при оценке материалоем­кости автомобиля массы шасси объяс­няется широким развитием производ­ства специализированных автомобилей с кузовами различных типов или дру­гих надстроек разной массы, устанав­ливаемых на шасси одного и того же базового автомобиля. Именно поэтому в фирменных проспектах и каталогах для зарубежных грузовых автомоби­лей, как правило, приводятся значения массы снаряженного шасси, а не ав­томобиля. При этом в массу снаряжен­ного шасси многие зарубежные фирмы не включают массу снаряжения и до­полнительного оборудования, а степень заправки топливом в различных стан­дартах указывается разная.

Для объективной оценки материало­емкости автомобилей различных моде­лей они обязательно должны быть приведены к единой комплектации. При этом грузоподъемность шасси определяется как разность между по­лной конструктивной массой автомоби­ля и массой снаряженного шасси.

Основным показателем материало­емкости автомобиля является удельная масса шасси:

m уд = (m сн.шас – m з.сн)/[(m к.а – m сн.шас)Р];

где m сн.шас – масса снаряженного шасси,

m з.сн – масса заправки и снаряжения,

m к.а – полная конструктивная масса автомобиля,

Р – установленный ресурс до капитального ремонта.

Для автомобиля-тягача учитывается полная масса автопоезда:

m уд = (m сн.шас – m з.сн)/[(m к.а – m сн.шас)КР];

где К – коэффициент коррекции показателей для автомобилей-тягачей, предназначенных для работы в составе автопоезда

К = m a /m к.а;

где m a – полная масса автопоезда.

Похожая информация.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т.е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, вводят понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса .

Корреляционной (или автокорреляционной) функцией случайного процесса называют неслучайную функцию двух аргументов, которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени)иравна математическому ожиданию произведения двух случайных величини соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционную функцию для центрированной случайной составляющей называют центрированной и определяют из соотношения

(1.58)

Часто функцию называют ковариационной, а – автокорреляционной .

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс , если его -мерные функции распределения и плотности вероятности при любомне зависят от положения начала отсчета времени . Это означает, что два процессаиимеют одинаковые статистические свойства для любого, т. е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс – это своего рода аналог установившегося процесса в динамических системах.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс ,математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция зависит только от одной переменной - разности аргументов :

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называюткорреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n -мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколь-нибудь существенно измениться.

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее значение по множеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализаций случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени .

Другое понятие о среднем значении – это среднее значение по времени , которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении достаточно длительного времени. Среднее значение по времени обозначаютпрямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле

, (1.62)

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс.

Вообще для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени различны, однако для так называемых эргодических стационарных случайных процессов среднее значение по множеству совпадает со средним значением по времени:

В соответствии с эргодической теоремой для стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определить как среднее по времени одной реализации

(1.64)

где - любая реализация случайного процесса.

Центрированная корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса

Из выражения (1.65), можно заметить, что дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции :

Помехи в системах связи описываются методами теории случайных процессов.

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

На рис. 1.19 показана совокупность нескольких (трех) реализаций случайного процесса , , . Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени в первом эксперименте получим конкретное значение , во втором – , в третьем – .

Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайный процесс в фиксированный момент времени Тогда в каждом эксперименте принимает одно значение , причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени и , то в каждом эксперименте будем получать два значения и . При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к системе двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин .

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

, .

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения . Чем больше , тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение (СКО) , имеющее ту же размерность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя дальность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а Ско – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются очень важными характеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две случайные величины , рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между и . Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени и и называетсякорреляционной функцией: .

Стационарные случайные процессы. Многие процессы в системах управления протекают однородно во времени. Их основные характеристики не изменяются. Такие процессы называютсястационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс называется стационарным, если любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: , .

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности моментов времени:

Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Часто корреляционные функции процессов в системах связи имеют вид, показанный на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Корреляционные функции процессов

Интервал времени , на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называетсяинтервалом или временем корреляции случайного процесса. Обычно или . Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по времени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

.

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что линейная система задана импульсной переходной характеристикой . Тогда выходной сигнал в момент времени определяется интегралом Дюамеля:

,

где – процесс на входе системы. Для нахождения корреляционной функции запишем и после перемножения найдем математическое ожидание

06 Лекция.doc

Лекция 6. Корреляционные функции случайных процессов
План.

1.Понятие корреляционной функции случайного процесса.

2.Стационарность в узком и в широком смыслах..

3.Среднее значение по множеству.

4.Среднее значение по времени.

5.Эргодические случайные процессы.
Математическое ожидание и дисперсия являются важными характерис-тиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хорошо видно из рис. 6.1, где показаны реализации двух случайных процессов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих одинаковые значения математического ожидания и дис-персии. Штриховыми линиями на рис. 6.1. показаны значения 3  x (t ) для случайных процессов.
Процесс, изображенный на рис. 6.1, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис. 6.1, б обла-дает сильной изменчивостью от сечения к сечению. Поэтому статисти-ческая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого уста-новить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т. е. учесть связь между значениями случай-ного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случай-ного процесса.

^ Корреляционной функцией случайного процесса X (t ) называют не-случайную функцию двух аргументов R x (t 1 , t 2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t 1 и t 2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X (t 1 ) и X (t 2 ) соответствующих сечений случайного процесса:

Где  2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) -двумерная плотность вероятности.

Часто пользуются иным выражением корреляционной функции, .записанной не для самого случайного процесса X (t ), а для центрированной случайной составляющей X (t ). Корреляционную функцию в этом случае называют центрированной и определяютиз соотношения

(6.2)

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изме-няются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в уз-ком смысле и стационарность в широком смысле.

^ Стационарным в узком смысле называют случайный процесс X (t ), если его n -мерные функции распределения и плотность вероятности при любом п не зависят от положения начала отсчета времени t , т. е.

Это означает, что два процесса, X (t ) и X (t + ), имеют одинаковые статистические свойства для любого  , т. е. статистические характерис-тики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс - это своего рода аналог установивше-гося процесса в детерминированных системах.

^ Стационарным в широком смысле называют случайный процесс X (t ), математическое ожидание которого.постоянно:

А корреляционная функция зависит только от одной переменной - раз-ности аргументов  =t 2 -t 1:

(6.5)

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле,. вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик слу-чайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, кото-рая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью опре-деляют его n -мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смыс-ле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успе-вают сколь-нибудь существенно измениться. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будут рассматриваться случайные процессы, стационарные в широком смысл.

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее зна-чение по множеству (или математическое ожидание), которое опреде-ляется на основе наблюдения над множеством реализации случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множе-ству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описываю-щим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени.

Другое понятие о среднем значении - это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса x { f ) на протяжении достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле

(6.7)

Если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализации множества, определяющих случайный процесс.

Вообще для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени различны, однако для так называемых эргодических стационарных случайных процессов среднее значение по множеству совпадает со средним значением по времени:

(6.8)

Равенство (6.8) вытекает из эргодической теоремы, в которой для некоторых стационарных случайных процессов доказано, что любая статистическая харак-теристика, полученная усреднением по множеству, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с характеристикой, усредненной по времени. Эргодическая теорема доказана не для всех стационарных процессов, поэтому в тех случаях, где она еще не доказана, говорят об эргодической гипотезе.

Следует заметить, что не всякий стационарный процесс является эргодическим.

На рис. 6.2. изображен, например, график стационарного неэргодического процесса, для которого равенство (6.8) не выполняется. Один и тот же случай-ный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним ста-тистическим характеристикам и не эргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что условия эргодичности для математического ожидания и корреляционной функции выполняются.

Физический смысл эргодической теоремы (или гипотезы) глубок и имеет большое практическое значение. Для определения статистических свойств эргодических стационарных процессов, если трудно осуществить одновременное на-блюдение за множеством подобных систем в произвольно выбранный момент вре-мени, например при наличии одного опытного образца, его можно заменить дли-тельным наблюдением за одной системой. Собственно говоря, этот факт лежит в основе экспериментального определения корреляционной функции стационар-ного случайного процесса по одной реализации. Наоборот, при наличии большой партии изделий массовой продукции для аналогичных исследований можно про-вести одновременное наблюдение за всеми образцами партии или их достаточно представительной выборкой.

Как видно из (6.5), корреляционная функция представляет собой среднее по множеству. В соответствии с эргодической теоремой для стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения x (t ) и x (t + ), т. е.

(6.9)

Где x (t )- любая реализация случайного процесса.

Центрированная корреляционная функция эргодического стацио-нарного случайного процесса

(6.10

Между корреляционными функциями R x ( ) и R 0 x ( ) существует следующая связь:

R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию D x [см. (19)] определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса, т. е.

(6.12)

Сравнивая выражения (6.10) и (6.11), можно заметить, что диспер-сия стационарного случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции:

(6.13)

Учитывая (6.12), можно установить связь между дисперсией и кор-реляционной функцией R x ( ), т. е.

Из (6.14) и (6.15) видно, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно постоянно и среднее квадратическое отклонение:

Статистические свойства связи двух случайных процессов X (t ) и G (t ) можно характеризовать взаимной корреляционной функцией R xg (t 1 , t 2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов t 1 , t 2 равна

Согласно эргодической теореме, вместо (6.18) можно записать

(6.19)

Где x (t ) и g (t ) - любые реализации стационарных случайных процес-сов X (t ) и G (t ) соответственно.

Взаимная корреляционная функция R xg (  характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов X (t ) и G (t ) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени т. Значение R xg (0) характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из (6.19) следует,что

(6.20)

Если случайные процессы Х(t) и G (t ) статистическине связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех т равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Центрированная корреляционная функция R ° x (  для неслучайных функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция R x (  может вычисляться и для неслучайных (регулярных) функций. Заметим, однако, что когда говорят о корреляционной функции регулярной функции x (t ), то под этим понимают просто результат формального применения к регулярной функции x (t ) опе-рации, выражаемой интегралом (6.13).