Эквипотенциальные поверхности и поле заряженного проводника. Определение расположения эквипотенциален и построение силовых линий электрических полей

Графическое изображение полей, можно составить не только с линиями напряженности, но и с помощью разности потенциалов. Если объединить в электрическом поле точки с равными потенциалами, то мы получим поверхности равного потенциала или как еще их называют эквипотенциальные поверхности. В пересечении с плоскостью чертежа эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии. Изображая эквипотенциальные линии, которые соответствуют различным значениям потенциала, мы получаем наглядную картину, которая отражает, как изменяется потенциал конкретного поля. Перемещение вдоль эквипотенциальной поверхности заряда работы не требует, так как все точки поля по такой поверхности имеют равный потенциал и сила, которая действует на заряд, всегда перпендикулярна перемещению.

Следовательно, линии напряженности всегда перпендикулярны поверхностям с равными потенциалами.

Наиболее наглядная картина поля будет представлена, если изображать эквипотенциальные линии с равными изменениями потенциала, например в 10 В, 20В, 30 В и т.д. В таком случае скорость изменения потенциала будет обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными линиями. То есть густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряженности поля (чем выше напряженность поля, тем теснее изображаются линии). Зная эквипотенциальные линии, можно построить линии напряженности рассматриваемого поля и наоборот.

Следовательно, изображения полей с помощью эквипотенциальных линий и линий напряженности равнозначны.

Нумерация эквипотенциальных линий на чертеже

Довольно часто эквипотенциальные линии на чертеже нумеруют. Для того, чтобы указать разность потенциалов на чертеже, произвольную линию обозначают цифрой 0, возле всех остальных линий расставляют цифры 1,2,3 и т.д. Эти цифры указывают разность потенциалов в вольтах избранной эквипотенциальной линии и линии, которую выбрали нулевой. При этом отмечаем, что выбор нулевой линии не важен, так как физический смысл имеет только разность потенциалов для двух поверхностей, и она не зависит от выбора нуля.

Поле точечного заряда с положительным зарядом

Рассмотрим как пример поле точечного заряда, который имеет положительный заряд. Линиями поля точечного заряда являются радиальные прямые, следовательно, эквипотенциальные поверхности - это система концентрических сфер. Линии поля перпендикуляры поверхностям сфер в каждой точке поля. Эквипотенциальными линиями же служат концентрические окружности. Для положительного заряда рисунок 1 представляет эквипотенциальные линии. Для отрицательного заряда рисунок 2 представляет эквипотенциальные линии.

Что очевидно из формулы, которая определяет потенциал поля точечного заряда при нормировке потенциала на бесконечность ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q}{r}\left(1\right).\]

Система параллельных плоскостей, которые находятся на равных расстояниях друг от друга, является эквипотенциальными поверхностями однородного электрического поля.

Пример 1

Задание: Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет вид:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

где $a,b$ -- постоянные больше нуля. Какова форма имеют эквипотенциальных поверхностей?

Эквипотенциальные поверхности, как мы знаем, -- это поверхности, в которых в любых точках потенциалы равны. Зная вышесказанное, изучим уравнение, которое предложено в условиях задачи. Разделим правую и левую части уравнения $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ на $\varphi $, получим:

\[{\frac{a}{\varphi }x}^2+{\frac{a}{\varphi }y}^2+\frac{b}{\varphi }z^2=1\ \left(1.1\right).\]

Запишем уравнение (1.1) в каноническом виде:

\[\frac{x^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\right)}^2}+\frac{z^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{b}}\right)}^2}=1\ (1.2)\]

Из уравнения $(1.2)\ $ видно, что заданной фигурой является эллипсоид вращения. Его полуоси

\[\sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi}{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi}{b}}.\]

Ответ: Эквипотенциальная поверхность заданного поля -- эллипсоид вращения с полуосями ($\sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi }{b}}$).

Пример 2

Задание: Потенциал поля, имеет вид:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

где $a,b$ -- $const$ больше нуля. Что представляют собой эквипотенциальные поверхности?

Рассмотрим случай при $\varphi >0$. Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на $\varphi ,$ получим:

\[\frac{a}{\varphi }x^2+{\frac{a}{\varphi }y}^2-\frac{b}{\varphi }z^2=1\ \left(2.1\right).\]

\[\frac{x^2}{\frac{\varphi }{a}}+\frac{y^2}{\frac{\varphi }{a}}-\frac{z^2}{\frac{\varphi }{b}}=1\ \left(2.2\right).\]

В (2.2) мы получили каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Его полуоси равны ($\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\left(действительная\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\varphi }{a}}\left(действительная\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\varphi }{b}}(мнимая\ полуось)$).

Рассмотрим случай, когда $\varphi

Представим $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на минус модуль $\varphi ,$ получим:

\[-\frac{a}{\left|\varphi \right|}x^2-{\frac{a}{\left|\varphi \right|}y}^2+\frac{b}{\left|\varphi \right|}z^2=1\ \left(2.3\right).\]

Перепишем уравнение (1.1) в виде:

\[-\frac{x^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}-\frac{y^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}+\frac{z^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{b}}=1\ \left(2.4\right).\]

Мы получили каноническое уравнение двуполостного гиперболоида, его полуоси:

($\sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}\left(мнимая\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}\left(мнимая\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{b}}(\ действительная\ полуось)$).

Рассмотрим случай, когда $\varphi =0.$ Тогда уравнение поля имеет вид:

Перепишем уравнение (2.5) в виде:

\[\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}-\frac{z^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2}=0\left(2.6\right).\]

Мы получили каноническое уравнение прямого круглого конуса, который опирается на эллипс с полуосями $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$;$\ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$).

Ответ: В качестве эквипотенциальных поверхностей для заданного уравнения потенциала мы получили: при $\varphi >0$ -- однополостной гиперболоид, при $\varphi

Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые линии – это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического поля (рис. 1.5). Густота силовых линий (число силовых линий, проходящих через единицу площади) пропор­ци­о­нальна напряженности электрического поля.

Эквипотенциальные поверхности (экви­по­тенциали) – поверхности равного потен­циала. Это поверхности (линии), при движении по которым потенциал не меняется. Иначе, разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциали равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям и направлены в сторону убывания потенциала. Это следует из уравнения (1.10).

Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора, если заряд положительный, и противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий, как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния (
) до заряда. Эквипотенциали электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда.

На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно найдется равный ему по модулю заряд другого знака.

1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.

Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора электрического поля через плоскую поверхность площади
называется величина:

, (1.16)

где – напряженность электрического поля, которая предполагается постоянной в пределах площадки
;
– угол между направлением вектораи единичного вектора нормалик площадке
(рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать, используя понятие скалярного произведения векторов:

. (1.15,а)

В случае, когда поверхность не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части
, которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхностьS i очень мала (
), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают
. Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхностьопределяется выражением:

. (1.17)

В качестве примера рассмотрим сферу радиуса , центром которой служит положительный точечный заряд , и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же

.

Площадь сферы
,

тогда


.

Величина
и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем
. Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:
.

Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется
не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величинуследует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится система зарядов, равняется
, где
 алгебраическая сумма этих зарядов.

Математически теорему можно записать в виде

. (1.18)

Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор постоянен и параллелен вектору, то поток через такую поверхность. Преобразуя первый интеграл, мы сначала воспользовались тем, что векторыипараллельны, а значит
. Затем вынесли величинуза знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы. Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.

Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.

Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля . Эквипотенци­аль­ны­ми поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.

Пусть заряд единицы длины нити равен . Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхностивыберем цилиндр радиусаи длины, ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через основания

Однако,
, поскольку в любой точке на основаниях цилиндра
. Это значит, что
в этих точках. Поток через боковую поверхность
. По теореме Гаусса этот полный поток равен
. Таким образом, получили

.

Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда :
. Учитывая, что
, получим

,

, (1.19)

т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию (
).

Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях иот нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусамии). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в):
. Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Пример 1.3. Рассчитать напряжен­ность электрического поля равномерно заряженной плоскости. Определить раз­ность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Электрическое поле равно­мер­но заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому сразу можно сделать вывод о том, что густота линий, а, сле­до­вательно, и напряженность электри­ческого поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности пред­став­ляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен . Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м 2 ].

Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля
. Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен
, поэтому
. По теореме Гаусса получим:

.

Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра , найдем через поверхностную плотность заряда:
. Тогда, откуда:

. (1.20)

Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.

Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям и, лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим осьвертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности
. Воспользуемся уравнением (1.9):

.

Постоянную величину (поле однородно) можно вынести из под знака интеграла:
. Интегрируя, получаем: . Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями
. Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле:

. (1.21)

Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить, что величина  не расстояние между точками 1 и 2, а расстояние между эквипотен­ци­альными плоскостями, которым эти точки принадлежат.

Пример 1.4. Рассчитать напря­жен­ность электрического поля двух параллельных плоскостей, однородно заряженных с поверхностными плотностями зарядов
и
.

Решение. Воспользуемся резуль­та­том примера 1.3 и принципом суперпо­зи­ции. Согласно этому принципу резуль­тиру­ющее электрическое поле в любой точке пространства
, гдеи- напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектораинаправлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля. Во внешнем пространстве вектораинаправлены в разные стороны, поэтому(рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.

Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен , а радиус сферы –.

Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.

Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса
, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферуS :
. Сумма зарядов внутри сферырадиусаравна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса
. Тогда по теореме Гаусса:
. Поскольку
, то
. Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.

Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса
, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу:
. Сумма зарядов внутри сферы равна полному зарядузаряженной сферы радиуса. Тогда по теореме Гаусса:
. Учитывая, что
, получим:

.

Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области
, поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Константа
, поскольку
при
. Таким образом, во внешнем пространстве (
):
.

Точки на поверхности заряженной сферы (
) будут иметь потенциал
.

Рассмотрим область
. В этой области
, поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:


. В силу непрерывности функции
константадолжна быть равна значению потенциала на поверхности заряженной сферы:
. Таким образом, потенциал во всех точках внутри сферы:
.

Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением . Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.

При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:

Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине.

Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциаловмежду двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:

С другой стороны работу можно представить в виде:

, тогда

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру получим:

т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми:они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность (рис. 3.4).

Это соотношение верно только для электростатического поля. Впоследствии мы с вами выясним, что поле движущихся зарядов не является потенциальным, и для него это соотношение не выполняется.

Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.

Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.

Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.

Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал ().

Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.

Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.

Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.

Р
ассмотрим эквипотенциальную поверхность:

(так как точки лежат на эквипотенциальной поверхности).

– скалярное произведение

Линии напряженности электростатического поля пронизывают эквипотенциальную поверхность под углом 90 0 , тогда угол между векторами
равен 90 градусам, а их скалярное произведение равно 0.

Уравнение эквипотенциальной линии

Рассмотрим силовую линию:

Н
апряженность электростатического поля направлена по касательной к силовой линии (см. определение силовой линии), также направлен и элемент пути, поэтому угол между этими двумя векторами равен нулю.

или

Уравнение силовой линии

Градиент потенциала

Градиент потенциала – это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.

Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.

Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.

В определении градиента существенны два положения:

Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.

Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.

Для декартовой системы координат:

Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:

;
;

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х , взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z .

;
;
.

В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид.

Эквипотенциальные поверхности это такие поверхности каждая из точек, которых обладают одинаковым потенциалом. То есть на эквипотенциальной поверхности электрический потенциал имеет неизменное значение. Такой поверхностью является поверхности проводников, так как их потенциал одинаков.

Представим себе такую поверхность, для двух точек которой разность потенциалов будет равна нулю. Это и будет эквипотенциальная поверхность. Поскольку потенциал на ней одинаков. Если рассматривать эквипотенциальную поверхность в двухмерном пространстве, допустим на чертеже, то она будет иметь форму лини. Работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда вдоль этой лини будет равна нулю.

Одним из свойств эквипотенциальных поверхностей является то, что они всегда перпендикулярны силовым линиям поля. Это свойство можно сформулировать и наоборот. Любая поверхность, которая перпендикулярна во всех точках к линиям электрического поля и называется эквипотенциальной.

Также такие поверхности никогда не пересекаются между собой. Так как это означало бы различие потенциала в пределах одной поверхности, что противоречит определению. Еще они всегда замкнуты. Поверхности равного потенциала не могут начаться и уйти в бесконечность, не имея при этом четких границ.

Как правило, на чертежах нет необходимости изображать поверхности целиком. Чаще изображают перпендикулярное сечение к эквипотенциальным поверхностям. Таким образом, они вырождаются в линии. Этого оказывается вполне достаточно для оценки распределения данного поля. При изображении графически поверхности располагают с одинаковым интервалом. То есть между двумя соседними поверхностям соблюдается одинаковый, шаг скажем в один вольт. Тогда по густоте линий образованных сечением эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряжённости электрического поля.

Для примера рассмотрим поле, создаваемое точечным электрическим зарядом. Силовые линии такого поля радиальные. То есть они начинаются в центре заряда и направлены на бесконечность, если заряд положительный. Или направлены к заряду, если он отрицательный. Эквипотенциальные поверхности такого поля будут иметь форму сфер с центром в заряде и расходящихся от него. Если же изобразить двухмерное сечение, то тогда эквипотенциальные лини будут в виде концентрических окружностей, центр которых также расположен в заряде.

Рисунок 1 — эквипотенциальные лини точечного заряда

Для однородного поля такого как, например поле между обкладками электрического конденсатора поверхности равного потенциала будут иметь форму плоскостей. Эти плоскости расположены параллельно друг другу на одинаковом расстоянии. Правда на краях обкладок картина поля исказится вследствие краевого эффекта. Но мы представим себе, что обкладки бесконечно длинные.

Рисунок 2 — эквипотенциальные линии однородного поля

Чтобы изобразить эквипотенциальные лини для поля, создаваемого двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами не достаточно применить принцип суперпозиции. Так как в этом случае при наложении двух изображений точечных зарядов будут точки пересечения линий поля. А этого быть не может, так как поле не может быть направлено сразу в две разные стороны. В этом случае задачу необходимо решить аналитически.

Рисунок 3 — Картина поля двух электрических зарядов