Значение дифракционной решетки. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифракционной решеткой называют спектральный прибор, который является системой некоторого количества щелей, разделенных непрозрачными промежутками.
Очень часто на практике используют одномерную дифракционную решетку, состоящую из параллельных щелей одинаковой ширины, находящихся в одной плоскости, которые разделяют равными по ширине непрозрачными промежутками. Такую решетку изготавливают при помощи специальной делительной машины, которая наносит на пластине из стекла параллельные штрихи. Количество таких штрихов может быть более чем тысяча на один миллиметр.
Лучшими считаются отражательные дифракционные решетки. Это совокупность участков, которые отражают свет с участками, которые свет отражают. Такие решетки представляют собой отшлифованную металлическую пластину, на которой рассеивающие свет штрихи нанесены резцом.
Картина дифракции на решетке — это результат взаимной интерференции волн, которые идут ото всех щелей. Следовательно, при помощи дифракционной решетки реализуется многолучевая интерференция когерентных пучков света, которые подверглись дифракции и которые идут от всех щелей.
Допустим, что на дифракционной решетке ширина щели будет a, ширина непрозрачного участка — b, тогда величина:
называется периодом (постоянной) дифракционной решетки.
Картина дифракции на одномерной дифракционной решетке
Представим, что нормально к плоскости дифракционной решетки падает монохроматическая волна. Вследствие того, что щели расположены на равных расстояниях друг от друга, то разности хода лучей (), которые идут от пары соседних щелей, для избранного направления будут одинаковы для всей данной дифракционной решетки:
Главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:
Помимо главных минимумов, в результате взаимной интерференции лучей света, которые посылает пара щелей, в некоторых направлениях они гасят друг друга, это значит, что появляются дополнительные минимумы. Они возникают в направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условие дополнительных минимумов записывают как:
где N - число щелей дифракционной решетки; k’ принимает любые целые значения кроме 0, . Если решетка имеет N щелей, то между двумя главными максимумами находятся дополнительный минимум, которые разделяют вторичные максимумы.
Условием главных максимумов для дифракционной решетки служит выражение:
Так как величина синуса не может быть больше единицы, то количество главных максимумов:
Если через решетку пропускать белый свет, то все максимумы (кроме центрального m=0), будут разложены в спектр. При этом фиолетовая область данного спектра будет обращена к центру картины дифракции. Данное свойство дифракционной решетки применяется для изучения состава спектра света. Если известен период решетки, то вычисление длины волны света можно свести к нахождению угла , который соответствует направлению на максимум.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Каков максимальный порядок спектра, который можно получить при помощи дифракционной решетки с постоянной м, если на нее перпендикулярно поверхности падает монохроматический пучок света с длиной волны м? |
| Решение | В качестве основы для решения задачи используем формулу, которая является условием наблюдения главных максимумов для дифракционной картины, полученной при прохождении света сквозь дифракционную решетку:
Максимальным значением является единица, поэтому: Из (1.2) выразим , получим: Проведем вычисления:
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Через дифракционную решетку пропускают монохроматический свет с длиной волны . На расстоянии L от решетки поставлен экран. На него при помощи линзы, находящейся около решетки, создают проекцию дифракционной картины. При этом первый максимум дифракции находится на расстоянии l от центрального. Каково количество штрихов на единицу длины дифракционной решетки (N), если свет падает на нее нормально? |
| Решение | Сделаем рисунок. |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифракционная решетка - это простейший спектральный прибор, состоящий из системы щелей (прозрачных для света участков), и непрозрачных промежутков, которые сравнимы с длиной волны.
Одномерная дифракционная решетка, состоит из параллельных щелей одинаковой ширины, которые лежат в одной плоскости, разделяемых одинаковыми по ширине непрозрачными для света промежутками. Лучшими считаются отражательные дифракционные решетки. Они состоят из совокупности участков, отражающих свет и участков, которые свет рассеивают. Данные решетки представляют собой отшлифованные металлические пластины, на которые рассеивающие свет штрихи нанесены резцом.
Картиной дифракции на решетке — является результат взаимной интерференции волн, идущих ото всех щелей. С помощью дифракционной решетки реализуется многолучевая интерференция когерентных пучков света, подвергшихся дифракции и которые идут от всех щелей.
Характеристикой дифракционной решетки служит ее период. Периодом дифракционной решетки (d) (ее постоянной) называют величину, равную:
где a — ширина щели; b — ширина непрозрачного участка.
Дифракция на одномерной дифракционной решетке
Допустим, что перпендикулярно к плоскости дифракционной решетки падает световая волна с длиной . Так как щели у решетки расположены на равных расстояниях друг от друга, то разности хода лучей (), идущих от двух соседних щелей, для направления будут одинаковы для всей рассматриваемой дифракционной решетки:
Главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:
Кроме главных минимумов, в результате взаимной интерференции лучей света, которые идут от двух щелей, в некоторых направлениях лучи гасят друг друга. В результате возникают дополнительные минимумы интенсивности. Они появляются в тех направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условием дополнительных минимумов является формула:
где N - количество щелей дифракционной решетки; — целые значения кроме 0, В том случае, если решетка имеет N щелей, то между двумя главными максимумами находятся дополнительный минимум, которые разделяют вторичные максимумы.
Условием главных максимумов для дифракционной решетки является:
Величина синуса не может быть больше единицы, то количество главных максимумов:
Примеры решения задач по теме «Дифракционная решетка»
ПРИМЕР 1
| Задание | На дифракционную решетку, перпендикулярно ее поверхности падает монохроматический пучок света с длиной волны . На плоский экран картина дифракции проецируется при помощи линзы. Расстояние между двумя максимумами интенсивности первого порядка составляет l. Какова постоянная дифракционной решетки, если линза размещена в непосредственной близости от решетки и расстояние от нее до экрана равно L. Считайте, что |
| Решение | В качестве основы для решения задачи используем формулу, которая связывает постоянную дифракционной решетки, длину волны света и угол отклонения лучей, который соответствует дифракционному максимуму номер m:
По условию задачи Так как угол отклонения лучей можно считать малым (), то примем, что: Из рис.1 следует, что:
Подставим в формулу (1.1) выражение (1.3) и учтем, что , получим:
Из (1.4) выразим период решетки: |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Используя условия примера 1, и результат решения, найдите количество максимумов, которое даст рассматриваемая решетка. |
| Решение | Для того чтобы определить максимальный угол отклонения лучей света в нашей задаче найдем число максимумов, которое может дать наша дифракционная решетка. Для этого используем формулу:
где положим, что при . Тогда, получим: |
Решетка сбоку выглядит подобным образом.
Применение также находят отражательные решетки , которые получены нанесением алмазным резцом на полированную поверхность металла тонких штрихов. Отпечатки на желатине или пластике после такой гравировки называют репликами , но такие дифракционные решетки обычно низкого качества, поэтому применение их ограничено. Хорошими отражательными решетками считаются такие, у которых полная длина составляет около 150 мм , при общем количестве штрихов - 600 шт/мм.
Основные характеристики дифракционной решетки - это общее число штрихов N, густота штриховки n (количество штрихов, приходящееся на 1 мм) и период (постоянная) решетки d, который можно найти как d = 1/n.
Решетка освещена одним фронтом волны и ее N прозрачных штрихов принято рассматривать в качестве N когерентных источников .
Если вспомнить явление интерференции от многих одинаковых источников света, то интенсивность света выражается согласно закономерности:
где i 0 - интенсивность световой волны, которая прошла через одну щель
Исходя из понятия максимальной интенсивности волны , полученного из условия:
β = mπ при m = 0, 1, 2… и т.д.
.
Перейдем от вспомогательного угла β к пространственному углу наблюдения Θ, и тогда:
(π d sinΘ)/ λ = m π,
Главные максимумы появляются при условии:
sinΘ м = m λ/ d, при m = 0, 1, 2… и т.д.
Интенсивность света в главных максимумах можно найти согласно формуле:
I м = N 2 i 0 .
Поэтому нужно изготавливать решетки с малым периодом d, тогда существует возможность получения больших углов рассеяния лучей и широкой дифракционной картины.
Например:
На продолжении предыдущего примера рассмотрим случай, когда в первом максимуме красные лучи (λ кр = 760 нм) отклонятся на угол Θ к = 27 °, а фиолетовые (λ ф = 400 нм) отклонятся на угол Θ ф = 14 °.
Видно, что при помощи дифракционной решетки существует возможность измерения длины волны того или другого цвета . Для этого просто нужно знать период решетки и измерить угол, но который отклонился луч, соответствующим необходимому свету.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифракционная решетка - это простейший спектральный прибор. Она содержит систему щелей, которые разделяют непрозрачные промежутки.
Дифракционные решетки подразделяют на одномерные и многомерные. Одномерная дифракционная решетка состоит из параллельных прозрачных для света участков одинаковой ширины, которые располагаются в одной плоскости. Прозрачные участки разделяют непрозрачные промежутки. При помощи данных решеток наблюдения проводят в проходящем свете.
Существуют отражающие дифракционные решетки. Такая решетка представляет собой, например, полированную (зеркальную) металлическую пластинку, на которую нанесены штрихи при помощи резца. В результате получают участки, которые отражают свет и участки, которые свет рассеивают. Наблюдение при помощи такой решетки проводят в отраженном свете.
Картина дифракции на решетке — это результат взаимной интерференции волн, которые идут ото всех щелей. Следовательно, при помощи дифракционной решетки реализуется многолучевая интерференция когерентных пучков света, которые подверглись дифракции и которые идут от всех щелей.
Период дифракционной решетки
Если ширину щели на решетки обозначим a, ширину непрозрачного участка - b, тогда сумма данных двух параметров - это период решетки (d):
Период дифракционной решетки иногда называют еще постоянной дифракционной решетки. Период дифракционной решетки можно определить как расстояние, через которое происходит повтор штрихов на решетке.
Постоянную дифракционной решетки можно найти, если известно количество штрихов (N), которые имеет решетка на 1 мм своей длины:
Период дифракционной решетки входит в формулы, которые описывают картину дифракции на ней. Так, если монохроматическая волна падает на одномерную дифракционную решетку перпендикулярно к ее плоскости, то главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:
где - угол между нормалью к решетке и направлением распространения дифрагированных лучей.
Кроме главных минимумов, в результате взаимной интерференции световых лучей, которые посылает пара щелей, в некоторых направлениях они гасят друг друга, в результате появляются дополнительные минимумы интенсивности. Они возникают в направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условие дополнительных минимумов записывают как:
где N - число щелей дифракционной решетки; принимает любые целые значения кроме 0, Если решетка имеет N щелей, то между двумя главными максимумами находятся дополнительный минимум, которые разделяют вторичные максимумы.
Условием главных максимумов для дифракционной решетки служит выражение:
Величина синуса не может превышать единицу, следовательно, число главных максимумов (m):
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Сквозь дифракционную решетку проходит пучок света, имеющий длину волны . На расстоянии L от решетки размещается экран, на который при помощи линзы формируют картину дифракции. Получают, что первый максимум дифракции расположен на расстоянии x от центрального (рис.1). Каков период дифракционной решетки (d)? |
| Решение | Сделаем рисунок.
В основу решения задачи положим условие для главных максимумов картины дифракции: По условию задачи речь идет о первом главном максимуме, то . Из рис.1 получим, что:
Из выражений (1.2) и (1.1) имеем:
Выразим искомый период решетки, получаем:
|
| Ответ |
Продолжая рассуждения для пяти, шести щелей и т. д., можно установить следующее правило: при наличии щелей между двумя соседними максимумами образуется минимумов; разность хода лучей от двух соседних щелей для максимумов должна равняться целому числу X, а для минимумов - Дифракционный спектр от щелей имеет вид, показанный на рис Дополнительные максимумы, расположенные между двумя соседними минимумами, создают на экране весьма слабую освещенность (фон).
Основная часть энергии световой волны, прошедшей через дифракционную решетку, перераспределяется между главными максимумами, образующимися в направлениях где 3, называется «порядком» максимума.
Очевидно, чем больше число щелей тем большее количество световой энергии пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем, следовательно, более интенсивными и более острыми будут максимумы.
Если свет, падающий на дифракционную решетку, состоит из двух монохроматических излучений с длинами волн и их главные максимумы расположатся в различных местах экрана. Для очень близких друг к другу длин волн (одноцветные излучения) максимумы на экране могут получиться настолько близко друг к другу, что сольются в одну общую светлую полосу (рис. IV.27, б). Если же вершина одного максимума совпадает или находится дальше (а) ближайшего минимума второй волны, то по распределению освещенности на экране можно уверенно установить наличие двух волн (или, как говорят, «разрешить» эти волны).
Выведем условие разрешимости двух волн: максимум (т. е. максимум порядка) волны получится, согласно формуле (1.21), под углом удовлетворяющим условию Предельное условие разрешимости требует, чтобы под этим же углом получился
минимум волны ближайшей к его максимуму (рис. IV.27, в). Согласно сказанному выше, для получения ближайшего минимума к разности хода следует прибавить дополнительно Таким образом, условие совпадения углов под которыми получаются максимум и минимум приводит к соотношению
Если больше, чем произведение числа щелей на порядок спектра то максимумы не будут разрешаться. Очевидно, если два максимума не разрешаются в спектре порядка, то они могут быть разрешены в спектре более высоких порядков. Согласно выражению (1.22), чем больше число интерферирующих между собой пучков и чем больше разность хода А между ними тем более близкие волны могут быть разрешены.
У дифракционной решетки т. е. число щелей, велико, но порядок спектра который можно использовать для измерительных целей, мал; у интерферометра Майкельсона, наоборот, число интерферирующих пучков равно двум, но разность хода между ними, зависящая от расстояний до зеркал (см. рис. IV. 14), велика, поэтому порядок наблюдаемого спектра измеряется очень большими числами.
Угловое расстояние между двумя соседними максимумами двух близких волн зависит от порядка спектра и периода решетки
Период решетки можно заменить на число щелей приходящихся на единицу длины решетки:
Выше предполагалось, что лучи, падающие на дифракционную решетку, перпендикулярны ее плоскости. При наклонном падении лучей (см. рис. IV.22, б) нулевой максимум будет смещен и получится в направлении Допустим, что максимум порядка получается в направлении т. е. разность хода лучей и равна Тогда Так как при малых углы
Близки друг к другу по величине, то следовательно,
где есть угловое отклонение максимума от нулевого. Сравним эту формулу с выражением (1.21), которую запишем в виде так как то угловое отклонение при наклонном падении оказывается больше, чем при перпендикулярном падении лучей. Это соответствует уменьшению периода решетки в а раз. Следовательно, при больших углах падения а можно получить дифракционные спектры от коротковолнового (например, рентгеновского) излучения и измерить их длины волн.
Если плоская световая волна проходит не через щели, а через круглые отверстия малого диаметра (рис. IV.28), то дифракционный спектр (на плоском экране, расположенном в фокальной плоскости линзы) представляет собой систему чередующихся темных и светлых колец. Первое темное кольцо получается под углом удовлетворяющим условию
У второго темного кольца На долю центрального светлого круга, называемого пятном Эйри, приходится около 85% всей мощности излучения, прошедшей через отверстие и линзу; остальные 15% распределяются между светлыми кольцами, окружающими это пятно. Размеры пятна Эйри зависят от и фокусного расстояния линзы.
Дифракционные решетки, которые рассматривались выше, состояли из чередующихся «щелей», полностью пропускающих световую волну, и «непрозрачных полосок», которые полностью поглощают или отражают падающее на них излучение. Можно сказать, что в таких решетках коэффициент пропускания световой волны имеет только два значения: на протяжении щели он равен единице, а на протяжении непрозрачной полоски - нулю. Поэтому на границе межд щелью и полоской коэффициент пропускания скачкообразно изменяется от единицы до нуля.
Однако можно изготовить дифракционные решетки и с другим распределением коэффициента пропускания. Например, если на прозрачную пластинку (или пленку) нанести поглощающий слой с периодически изменяющейся толщиной, то вместо чередования совершенно
прозрачных щелей и совершенно непрозрачных полосок можно получить дифракционную решетку с плавным изменением коэффициента пропускания (в направлении, перпендикулярном щелям или полоскам). Особый интерес представляют решетки, у которых коэффициент пропускания изменяется по синусоидальному закону. Дифракционный спектр таких решеток состоит не из множества максимумов (как это показано для обычных решеток на рис. IV.26), а только из центрального максимума и двух симметрично расположенных максимумов первого порядка
Для сферической волны можно изготовить дифракционные решетки, состоящие из множества концентрических кольцевых щелей, разделенных непрозрачными кольцами. Можно, например, на стеклянную пластинку (или на прозрачную пленку) нанести тушью концентрические кольца; при этом центральный круг, охватывающий центр этих колец, может быть либо прозрачным, либо затушеванным. Такие дифракционные решетки называются «зонными пластинками» или решетками. У дифракционных решеток, состоящих из прямолинейных щелей и полосок, для получения отчетливой интерференционной картины было необходимо постоянство ширины щели и периода решетки; у зонных пластинок для этой цели должны быть рассчитаны необходимые радиусы и толщины колец. Зонные решетки также могут быть изготовлены с плавным, например синусоидальным, изменением коэффициента пропускания вдоль радиуса.
