Что волновая функция. Волновая функция и ее статистический смысл. Виды волновой функции и ее коллапс

Исходя из представления о наличии у электрона волновых свойств. Шредингер в 1925 г. предположил, что состояние движущегося в атоме электрона должно описываться известным в физике уравнением стоячей электромагнитной волны. Подставив в это уравнение вместо длины волны ее значение из уравнения де Бройля , он получил новое уравнение, связывающее энергию электрона с пространственными координатами и так называемой волновой функцией , соответствующей в этом уравнении амплитуде трехмерного волнового процесса.

Особенно важное значение для характеристики состояния электрона имеет волновая функция . Подобно амплитуде любого волнового процесса, она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако величина всегда положительна. При этом она обладает замечательным свойством: чем больше значение в данной области пространства, тем выше вероятность того, что электрон проявит здесь свое действие, т. е. что его существование будет обнаружено в каком-либо физическом процессе.

Более точным будет следующее утверждение: вероятность обнаружения электрона в некотором малом объеме выражается произведением . Таким образом, сама величина выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства.

Рис. 5. Электронное облако атома водорода.

Для уяснения физического смысла квадрата волновой функции рассмотрим рис. 5, на котором изображен некоторый объем вблизи ядра атома водорода. Плотность размещения точек на рис. 5 пропорциональна значению в соответствующем месте: чем больше величина , тем гуще расположены точки. Если бы электрон обладал свойствами материальной точки, то рис. 5 можно было бы получить, многократно наблюдая атом водорода и каждый раз отмечая местонахождение электрона: плотность размещения точек на рисунке была бы тем больше, чем чаще обнаруживается электрон в соответствующей области пространства или, иначе говоря, чем больше вероятность обнаружения его в этой области.

Мы знаем, однако, что представление об электроне как о материальной точке не соответствует его истинной физической природе. Поэтому рис. 5 правильнее рассматривать как схематическое изображение электрона, «размазанного» по всему объему атома в виде так называемого электронного облака: чем плотнее расположены точки в том или ином месте, тем больше здесь плотность электронного облака. Иначе говоря, плотность электронного облака пропорциональна квадрату волновой функции.

Представление о состоянии электрона как о некотором облаке электрического заряда оказывается очень удобным, хорошо передает основные особенности поведения электрона в атомах и молекулах и будет часто использоваться в последующем изложении. При этом, однако, следует иметь в виду, что электронное облако не имеет определенных, резко очерченных границ: даже на большом расстоянии от ядра существует некоторая, хотя и очень малая, вероятность обнаружения электрона. Поэтому под электронным облаком условно будем понимать область пространства вблизи ядра атома, в которой сосредоточена преобладающая часть (например, ) заряда и массы электрона. Более точное определение этой области пространства дано на стр. 75.

Волнова́я фу́нкция , или пси-фу́нкция ψ {\displaystyle \psi } - комплекснозначная функция , используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы . Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx}

где | x ⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ {\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle } - координатный базисный вектор, а Ψ (x , t) = ⟨ x | ψ (t) ⟩ {\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle } - волновая функция в координатном представлении.

Нормированность волновой функции

Волновая функция Ψ {\displaystyle \Psi } по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 {\displaystyle {\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dV}=1}

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции , заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} и Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}} при любых комплексных c 1 {\displaystyle c_{1}} и c 2 {\displaystyle c_{2}} .

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}} .

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента c n {\displaystyle {c}_{n}} определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ n {\displaystyle {\Psi }_{n}} .

Поэтому для нормированных волновых функций ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1} .

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

Волновая функция в различных представлениях используется состояния в различных представлениях - будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ функция, позволяющая найти вероятность того, что квантовая система находится в некотором состоянии s в момент времени t. Обычно пишется: (s) или (s, t). Волновая функция используется в уравнении ШРЕДИНГЕРА … Научно-технический энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ Современная энциклопедия

Волновая функция - ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в квантовой механике основная величина (в общем случае комплексная), описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих эту систему физических величин. Квадрат модуля волновой… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - (вектор состояния) в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих ее физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен вероятности данного… … Большой Энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - в квантовой механике (амплитуда вероятности, вектор состояния), величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (эл на, протона, атома, молекулы) и вообще любой квант. системы. Описание состояния микрообъекта с помощью В. ф. имеет… … Физическая энциклопедия

волновая функция - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN wave function … Справочник технического переводчика

волновая функция - (амплитуда вероятности, вектор состояния), в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен… … Энциклопедический словарь

волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave function vok. Wellenfunktion, f rus. волновая функция, f; волнообразная функция, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: angl. wave function rus. волновая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - комплексная функция, описывающая состояние квантовомех. системы и позволяющая находить вероятности и ср. значения характеризуемых ею физ. величин. Квадрат модуля В. ф. равен вероятности данного состояния, поэтому В.ф. наз. также амплитудой… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

• , Б. К. Новосадов. Монография посвящена последовательному изложению квантовой теории молекулярных систем, а также решению волновых уравнений в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике молекул.… Купить за 882 грн (только Украина)
• Методы математической физики молекулярных систем , Новосадов Б.К.. Монография посвящена последовательному изложению квантовой теории молекулярных систем, а также решению волновых уравнений в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике молекул.…

> Волновая функция

Читайте о волновой функции и теории вероятностей квантовой механики: суть уравнения Шредингера, состояние квантовой частицы, гармонический осциллятор, схема.

Речь идет об амплитуде вероятности в квантовой механике, описывающей квантовое состояние частицы и ее поведение.

Задача обучения

• Объединить волновую функцию и плотность вероятности определения частички.

Основные пункты

• |ψ| 2 (x) соответствует плотности вероятности определения частички в конкретном месте и моменте.
• Законы квантовой механики характеризуют эволюцию волновой функции. Уравнение Шредингера объясняет ее наименование.
• Волновая функция должна удовлетворять множество математических ограничений для вычислений и физической интерпретации.

Термины

• Уравнение Шредингера – частичный дифференциал, характеризующий изменение состояния физической системы. Его сформулировал в 1925 году Эрвин Шредингер.
• Гармонический осциллятор – система, которая при смещении от изначальной позиции, испытывает влияние силы F, пропорциональной смещению х.

В пределах квантовой механики волновая функция отображает амплитуду вероятности, характеризующую квантовое состояние частички и ее поведение. Обычно значение – комплексное число. Наиболее распространенными символами волновой функции выступают ψ (x) или Ψ(x). Хотя ψ – комплексное число, |ψ| 2 – вещественное и соответствует плотности вероятности нахождения частицы в конкретном месте и времени.

Здесь отображены траектории гармонического осциллятора в классической (А-В) и квантовой (C- H) механиках. В квантовой шар обладает волновой функцией, отображенной с реальной частью в синем и мнимой в красном. Траектории C- F – примеры стоячих волн. Каждая такая частота будет пропорциональной возможному уровню энергии осциллятора

Законы квантовой механики эволюционируют со временем. Волновая функция напоминает другие, вроде волн в воде или струне. Дело в том, что формула Шредингера выступает типом волнового уравнения в математике. Это приводит к двойственности волновых частиц.

Волновая функция обязана соответствовать ограничениям:

• всегда конечная.
• всегда непрерывная и непрерывно дифференцируемая.
• удовлетворяет соответствующее условие нормировки, чтобы частичка существовала со 100% определенностью.

Если требования не удовлетворены, то волновую функцию нельзя интерпретировать в качестве амплитуды вероятности. Если мы проигнорируем эти позиции и воспользуемся волновой функцией, чтобы определить наблюдения квантовой системы, то не получим конечных и определенных значений.

Для описания корпускулярно-волновых свойств электрона в квантовой механике используют волновую функцию, которая обозначается греческой буквой пси (Т). Главные свойства волновой функции таковы:

• в любой точке пространства с координатами х, у, z она имеет определенные знак и амплитуду: ЧДд:, у , г);
• квадрат модуля волновой функции | ЧДх, y,z) | 2 равен вероятности нахождения частицы в единице объема, т.е. плотности вероятности.

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от ядра атома изображают несколькими способами. Часто ее характеризуют числом точек в единице объема (рис. 9.1, а). Точечное изображение плотности вероятности напоминает облако. Говоря об электронном облаке, следует иметь в виду, что электрон - это частица, проявляющая одновременно и корпускулярные, и волновые

Рис. 9.1.

свойства. Область вероятности обнаружения электрона не имеет четких границ. Однако можно выделить пространство, где вероятность его обнаружения велика или даже максимальна.

На рис. 9.1, а штриховой линией обозначена сферическая поверхность, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%. На рис. 9.1, б приведено контурное изображение электронной плотности в атоме водорода. Ближайший к ядру контур охватывает область пространства, в которой вероятность обнаружения электрона 10%, вероятность же обнаружения электрона внутри второго от ядра контура составляет 20%, внутри третьего - 30% и т.д. На рис. 9.1, в электронное облако изображено в виде сферической поверхности, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%.

Наконец, на рис. 9.1, г и б двумя способами показана вероятность обнаружения электрона Is на разных расстояниях г от ядра: вверху показан «разрез» этой вероятности, проходящий через ядро, а внизу - сама функция 4лг 2 |У| 2 .

Уравнение Шрёдингсра. Это фундаментальное уравнение квантовой механики было сформулировано австрийским физиком Э. Шрёдингером в 1926 г. Оно связывает полную энергию частицы Е, равную сумме потенциальной и кинетической энергий, потенциальную энергию?„, массу частицы т и волновую функцию 4*. Для одной частицы, например электрона массой т е, оно имеет следующий вид :

С математической точки зрения это уравнение с тремя неизвестными: У, Е и?„. Решить его, т.е. найти эти неизвестные, можно, если решать его совместно с двумя другими уравнениями (для нахождения трех неизвестных требуется три уравнения). В качестве таких уравнений используют уравнения для потенциальной энергии и граничных условий.

Уравнение потенциальной энергии не содержит волно- вую функцию У. Оно описывает взаимодействие заряженных частиц по закону Кулона. При взаимодействии одного электрона с ядром, имеющим заряд +z, потенциальная энергия равна

где г = У* 2 + у 2 + z 2 .

Это случай так называемого одноэлектронного атома. В более сложных системах, когда заряженных частиц много, уравнение потенциальной энергии состоит из суммы таких же кулоновских членов.

Уравнением граничных условий является выражение

Оно означает, что волновая функция электрона стремится к нулю на больших расстояниях от ядра атома.

Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти волновую функцию электрона? = (х, у , z) как функцию координат. Это распределение называется орбиталью.

Орбиталь - это заданная в пространстве волновая функция.

Система уравнений, включающая уравнения Шрёдингера, потенциальной энергии и граничных условий, имеет не одно, а много решений. Каждое из решений одновременно включает 4 х = (х, у , г) и Е , т.е. описывает электронное облако и соответствующую ему полную энергию. Каждое из решений определяется квантовыми числами.

Физический смысл квантовых чисел можно понять, рассмотрев колебания струны, в результате которых образуется стоячая волна (рис. 9.2).

Длина стоячей волны X и длина струны b связаны уравнением

Длина стоячей волны может иметь лишь строго определенные значения, отвечающие числу п, которое принимает только целочисленные неотрицательные значения 1,2,3 и т.д. Как очевидно из рис. 9.2, число максимумов амплитуды колебаний, т.е. форма стоячей волны, однозначно определяется значением п.

Поскольку электронная волна в атоме представляет собой более сложный процесс, чем стоячая волна струны, значения волновой функции электрона определяются не одним, а че-

Рис. 9.2.

тырьмя числами, которые называются квантовыми числами и обозначаются буквами п, /, т и s. Данному набору квантовых чисел п, /, т одновременно отвечают определенная волновая функция Ч"лДл, и полная энергия E„j. Квантовое число т при Е не указывают, так как в отсутствие внешнего поля энергия электрона от т не зависит. Квантовое число s не влияет ни на 4* п хт, ни на E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*p
• Символы --, --- означают вторые частные производные от fir1 дуг 8z2 Ч"-функции. Это производные от первых производных. Смысл первой производной совпадает с тангенсом угла наклона функции Ч" от аргумента х, уили z на графиках? = j(x), Т =/2(у), Ч" =/:!(z).