Arten von Sets. Die einfachsten Operationen an ihnen. Vielzahl. Operationen festlegen

Problem 1

Vergleichen Sie die Elemente der Mengen in der ersten und zweiten Zeile. Gibt es ein Element in der ersten Zeile, das nicht in der zweiten Zeile ist? Gibt es in der zweiten Zeile ein Element, das nicht in der ersten Zeile ist?

Lösung
Es gibt keine Elemente in der ersten Reihe, die nicht in der zweiten Reihe sind

In der zweiten Zeile gibt es keine Elemente, die nicht in der ersten Zeile enthalten sind

Problem 2

Vergleichen Sie die Sätze in der ersten und zweiten Reihe. Welche Zeile hat ein zusätzliches Element?

Problem 3

Ist die Gleichheit richtig geschrieben? Warum?

Lösung
A) Rechts. Diese Gleichungen haben die gleichen Elemente, nur in einer anderen Reihenfolge.

B) Nicht wahr. Auf der linken Seite der Gleichung befindet sich ein Dreieck, auf der rechten jedoch nicht.

V) Rechts. Die linke Seite ist nicht gleich der rechten, weil ihre Elemente unterschiedlich sind.

Problem 4

Sei A = (0; 1; 2). Welche der Mengen B - (2; 0; 1), C = ( 1; 0), D = ( 3; 2; 1; 0) sind gleich der Menge A und welche nicht gleich? Machen Sie sich Notizen und erklären Sie diese.

Lösung
A = B: Diese Mengen haben die gleichen Elemente, jedoch in unterschiedlicher Reihenfolge geschrieben.

C ist nicht gleich A: Menge C fehlt Element 2, das Menge A hat.

D ist nicht gleich A: Menge A fehlt Element 3, das Menge D hat.

Problem 5

D = ( ein; ; 5 ). Konstruieren Sie eine Menge A, die gleich der Menge D ist, und eine Menge B, die nicht gleich der Menge D ist.

Problem 6

a) Stellen Sie alle Mengen zusammen, die der Menge (O; /\) entsprechen;
b) Stellen Sie alle Mengen zusammen, die der Menge (a; b; c) entsprechen.

Lösung
a) (O; /\), (/\; O).

b) (a; b; c), (a; c; b), (c; a; b), (b; a; c).

Problem 7

Wie viele Elemente enthält es:

a) viele Tage in der Woche;
b) viele Schreibtische in der ersten Reihe;
c) viele Buchstaben des russischen Alphabets;
d) die Katze Murka hat viele Schwänze;
e) Petya hat viele Nasen;
f) viele Pferde grasen auf dem Mond?

Lösung
a) Satz Wochentage = 7;

b) Satz Schreibtische in der ersten Reihe = 3;

c) Buchstabensatz des russischen Alphabets = 33;

d) die Anzahl der Schwänze der Katze Murka = 1;

e) Petja hat viele Nasen = 1;

f) viele Pferde grasen auf dem Mond = 0.

Aufgabe 8

a) Gibt es in Ihrem Schulgarten tropische Palmen? Wie viele Palmen gibt es im Schulgarten?
b) Wie viele sechsbeinige Pferde, zweijährige Kinder im Klassenzimmer und Krokodile gibt es in der Moskwa?
c) Überlegen Sie sich mehrere Beispiele für eine leere Menge.

Lösung
a) Im Schulgarten wachsen keine Palmen. Leeres Set Ø

b) Leere Menge. Ö

c) Zwei-Meter-Fliegen, Holzhandschuhe.

Problem 9

Finden Sie die richtige Bezeichnung für die leere Menge und streichen Sie den Rest durch:

Aufgabe 10

a) Wie oft ist 56 größer als 8?
b) Wie oft ist 8 kleiner als 56?
c) Wie viele Einheiten sind 56 größer als 8?
d) Wie viel ist 8 weniger als 56?

Lösung
a) 56 ist 7-mal größer als 8.

b) 8 ist 7-mal kleiner als 56.

c) 56 ist größer als 8 mal 48 Einheiten.

d) 8 ist kleiner als 56 mal 48 Einheiten.

Aufgabe 11

a) Ein Hut kostet einen Rubel und ein Mantel kostet das Neunfache. Wie viel kosten Mantel und Hut zusammen?
b) Die Masse der Wassermelone beträgt b kg und die Masse des Kürbisses beträgt 2 kg weniger. Wie groß ist die Gesamtmasse von Wassermelone und Kürbis?
c) Der Eimer enthält einen Liter Wasser und die Pfanne enthält siebenmal weniger. Um wie viel ist das Volumen des Eimers größer als das Volumen der Pfanne?
d) Es waren (d m Stoff in dem Stück. Aus diesem Stoff wurden 8 identische Kleider genäht, wobei für jedes Kleid n m verwendet wurden. Wie viele Meter Stoff waren noch in dem Stück übrig?

Lösung
a) (a * 9) + a

b) (b - 2) + b

c) c - (c: 7)

d) d -(8 * n)

Aufgabe 12

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Die Seite verwendet Probleme und Aufgaben aus dem Buch von L. G. Peterson „Mathematics. 3. Klasse. Teil 1." 2008
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In der Mathematik tauchen häufig eine Reihe von Schwierigkeiten und Fragen auf, und viele der Antworten sind nicht immer klar. Das Thema der Kardinalität von Mengen bildete keine Ausnahme. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um nichts anderes als einen numerischen Ausdruck der Anzahl der Objekte. Im Allgemeinen ist eine Menge ein Axiom; sie hat keine Definition. Es basiert auf beliebigen Objekten bzw. einer Menge davon, die leer, endlich oder unendlich sein können. Darüber hinaus enthält es ganze Zahlen oder natürliche Zahlen, Matrizen, Folgen, Segmente und Linien.

Über vorhandene Variablen

Eine Null- oder leere Menge ohne Eigenwert wird als Kardinalitätselement betrachtet, da es sich um eine Teilmenge handelt. Die Sammlung aller Teilmengen einer nichtleeren Menge S ist eine Menge von Mengen. Somit gilt die Menge der Kardinalität einer gegebenen Menge als viele, denkbare, aber einheitliche. Diese Menge wird Potenzmenge von S genannt und mit P(S) bezeichnet. Wenn S N Elemente enthält, dann enthält P(S) 2^n Teilmengen, da eine Teilmenge P(S) entweder ∅ oder eine Teilmenge ist, die r Elemente von S, r = 1, 2, 3, ... enthält. Bestehend aus von Die gesamte unendliche Menge M wird Potenzgröße genannt und symbolisch mit P(M) bezeichnet.

Dieses Wissensgebiet wurde von George Cantor (1845-1918) entwickelt. Heute wird es in fast allen Bereichen der Mathematik verwendet und dient als deren grundlegender Bestandteil. In der Mengenlehre werden Elemente in Listenform dargestellt und durch Typen (leere Menge, Singleton, endliche und unendliche Mengen, gleich und äquivalent, universell), Vereinigung, Schnittmenge, Differenz und Zahlenkomplement spezifiziert. IN Alltagsleben Oft spricht man von einer Ansammlung von Gegenständen wie einem Schlüsselhaufen, einem Vogelschwarm, einem Kartenspiel usw. In der Mathematik der 5. Klasse und darüber hinaus gibt es natürliche, ganze Zahlen, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.

Folgende Sets kommen in Betracht:

ganze Zahlen;
Buchstaben des Alphabets;
Primärkoeffizienten;
Dreiecke mit unterschiedliche Bedeutungen Seiten

Es ist ersichtlich, dass diese angegebenen Beispiele wohldefinierte Mengen von Objekten darstellen. Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an:

fünf der berühmtesten Wissenschaftler der Welt;
Sieben schöne Mädchen in der Gesellschaft;
drei beste Chirurgen.

Bei diesen Kardinalitätsbeispielen handelt es sich nicht um klar definierte Objektsammlungen, da die Kriterien für „berühmteste“, „schönste“, „beste“ von Person zu Person unterschiedlich sind.

Sets

Dieser Wert stellt eine klar definierte Anzahl unterschiedlicher Objekte dar. Vorausgesetzt, dass:

eine Wortmenge ist ein Synonym, ein Aggregat, eine Klasse und enthält Elemente;
Objekte, Mitglieder sind gleichwertige Begriffe;
Mengen werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet;
Elemente der Menge werden durch die Kleinbuchstaben a, b, c dargestellt.

Wenn „a“ ein Element einer Menge A ist, dann sagt man, dass „a“ zu A gehört. Bezeichnen wir den Ausdruck „gehört“ mit dem griechischen Symbol „∈“ (Epsilon). Somit stellt sich heraus, dass a ∈ A. Wenn „b“ ein Element ist, das nicht zu A gehört, wird es als b ∉ A dargestellt. Einige wichtige Mengen, die in der Mathematik der 5. Klasse verwendet werden, werden mit den folgenden drei Methoden dargestellt:

Anwendungen;
Register oder tabellarisch;
Regel zum Erstellen einer Struktur.

Bei näherer Betrachtung basiert das Antragsformular auf Folgendem. In diesem Fall erfolgt eine klare Beschreibung der Elemente der Menge. Sie sind alle in geschweifte Klammern eingeschlossen. Zum Beispiel:

die Menge der ungeraden Zahlen kleiner als 7 wird als (kleiner als 7) geschrieben;
eine Menge von Zahlen größer als 30 und kleiner als 55;
die Anzahl der Schüler in der Klasse, die mehr wiegen als der Lehrer.

In der Registrierungsform (tabellarisch) werden die Elemente einer Menge in Klammern () aufgelistet und durch Kommas getrennt. Zum Beispiel:

N bezeichne die Menge der ersten fünf natürlichen Zahlen. Daher ist N = → Registerform
Eine Menge aller Vokale des englischen Alphabets. Daher ist V = (a, e, i, o, u, y) → Registerform
Die Menge aller ungeraden Zahlen ist kleiner als 9. Daher ist X = (1, 3, 5, 7) → Hauptbuchform
Eine Reihe aller Buchstaben im Wort „Mathematik“. Daher Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Registrierungsform
W ist die Menge der letzten vier Monate des Jahres. Daher ist W = (September, Oktober, November, Dezember) → registrieren.

Es ist zu beachten, dass die Reihenfolge, in der die Elemente aufgeführt sind, keine Rolle spielt, sie jedoch nicht wiederholt werden sollten. Die etablierte Konstruktionsform, in einem bestimmten Fall eine Regel, Formel oder ein Operator, wird in ein Klammerpaar geschrieben, damit die Menge korrekt definiert ist. Im Set-Builder-Formular müssen alle Elemente die gleiche Eigenschaft haben, um Mitglied des betreffenden Werts zu werden.

Bei dieser Form der Mengendarstellung wird ein Element einer Menge mit dem Symbol „x“ oder einer anderen Variablen gefolgt von einem Doppelpunkt beschrieben (zur Notation wird „:“ oder „|“ verwendet). Sei beispielsweise P die Menge der abzählbaren Zahlen größer als 12. P wird in der Mengenerstellungsform als - (abzählbare Zahl und größer als 12) geschrieben. Es wird auf eine bestimmte Weise gelesen. Das heißt: „P ist die Menge der Elemente von x, sodass x eine abzählbare Zahl und größer als 12 ist.“

Gelöstes Beispiel mit drei Mengendarstellungsmethoden: Anzahl der ganzen Zahlen zwischen -2 und 3. Nachfolgend finden Sie Beispiele für verschiedene Arten von Mengen:

Eine leere oder Nullmenge, die kein Element enthält und mit dem Symbol ∅ bezeichnet und als Phi gelesen wird. In Listenform wird ∅ geschrieben (). Eine endliche Menge ist leer, weil die Anzahl der Elemente 0 ist. Beispielsweise ist die Menge der ganzzahligen Werte kleiner als 0.
Offensichtlich sollten sie nicht existieren<0. Следовательно, это пустое множество.
Eine Menge, die nur eine Variable enthält, wird als Singleton-Menge bezeichnet. Es ist weder einfach noch zusammengesetzt.

Endliche Menge

Eine Menge, die eine bestimmte Anzahl von Elementen enthält, wird als endliche oder unendliche Menge bezeichnet. „Leer“ bezieht sich auf das Erste. Zum Beispiel eine Reihe aller Farben des Regenbogens.

Eine unendliche Zahl ist eine Menge. Die darin enthaltenen Elemente können nicht aufgelistet werden. Das heißt, die Menge ähnlicher Variablen wird als unendliche Menge bezeichnet. Beispiele:

die Potenz der Menge aller Punkte in der Ebene;
die Menge aller Primzahlen.

Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass nicht alle Potenzen einer Menge in Listenform ausgedrückt werden können. Zum Beispiel reelle Zahlen, da ihre Elemente keinem bestimmten Muster entsprechen.

Die Kardinalzahl einer Menge ist die Anzahl der verschiedenen Elemente in einer gegebenen Menge A. Sie wird mit n(A) bezeichnet.

Zum Beispiel:

A (x: x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
B = Buchstabengruppe im Wort ALGEBRA.

Äquivalente Mengen für den Mengenvergleich

Zwei Kardinalitäten einer Menge A und B sind solche, wenn ihre Kardinalzahl gleich ist. Das Symbol zur Angabe einer äquivalenten Menge ist „↔“. Zum Beispiel: A ↔ B.

Gleiche Mengen: zwei Kardinalitäten einer Menge A und B, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Jeder Koeffizient von A ist eine Variable von B, und jeder von B ist ein spezifizierter Wert von A. Daher ist A = B. Die verschiedenen Arten von Mengenvereinigungen in der Kardinalität und ihre Definitionen werden anhand der angegebenen Beispiele erläutert.

Die Essenz von Endlichkeit und Unendlichkeit

Was sind die Unterschiede zwischen der Kardinalität einer endlichen und einer unendlichen Menge?

Der erste Wert hat den folgenden Namen, wenn er entweder leer ist oder eine endliche Anzahl von Elementen hat. In einer endlichen Menge kann eine Variable angegeben werden, wenn ihre Anzahl begrenzt ist. Verwenden Sie beispielsweise die natürliche Zahl 1, 2, 3. Und der Auflistungsprozess endet bei irgendeinem N. Die Anzahl der verschiedenen Elemente, die in einer endlichen Menge S gezählt werden, wird mit n (S) bezeichnet. Es wird auch Ordnung oder Kardinal genannt. Symbolisch gekennzeichnet nach dem Standardprinzip. Wenn also die Menge S das russische Alphabet ist, dann enthält sie 33 Elemente. Es ist auch wichtig zu bedenken, dass ein Element in einer Menge nicht mehr als einmal vorkommt.

Unendliche Zahl in Menge

Eine Menge heißt unendlich, wenn ihre Elemente nicht aufgezählt werden können. Wenn es eine unbegrenzte (d. h. überzählbare) natürliche Zahl 1, 2, 3, 4 für jedes n hat. Eine Menge, die nicht endlich ist, heißt unendlich. Wir können nun Beispiele für die betreffenden Zahlenwerte diskutieren. Endwertoptionen:

Sei Q = (natürliche Zahlen kleiner als 25). Dann ist Q eine endliche Menge und n(P) = 24.
Sei R = (Ganzzahlen zwischen 5 und 45). Dann ist R eine endliche Menge und n(R) = 38.
Sei S = (Zahlen, deren Modul 9 ist). Dann ist S = (-9, 9) eine endliche Menge und n(S) = 2.
Set aller Menschen.
Anzahl aller Vögel.

Beispiele für eine unendliche Menge:

Anzahl der vorhandenen Punkte auf der Ebene;
die Anzahl aller Punkte im Liniensegment;
die Menge der durch 3 teilbaren positiven ganzen Zahlen ist unendlich;
alle ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen.

Aus den obigen Überlegungen geht also klar hervor, wie zwischen endlichen und unendlichen Mengen unterschieden werden kann.

Potenzmengenkontinuum

Wenn Sie die Menge mit anderen vorhandenen Werten vergleichen, wird der Menge eine Addition hinzugefügt. Wenn ξ eine Universalmenge und A eine Teilmenge von ξ ist, dann ist das Komplement von A die Anzahl aller Elemente von ξ, die keine Elemente von A sind. Symbolisch wird das Komplement von A bezüglich ξ als A bezeichnet. Für Beispiel: 2, 4, 5, 6 sind die einzigen Elemente ξ, die nicht zu A gehören. Daher ist A"= (2, 4, 5, 6)

Eine Menge mit Kardinalitätskontinuum weist folgende Merkmale auf:

das Komplement der universellen Größe ist der betreffende leere Wert;
diese Nullmengenvariable ist universell;
Menge und ihr Komplement sind disjunkt.

Zum Beispiel:

Die Anzahl der natürlichen Zahlen sei eine universelle Menge und A eine gerade Zahl. Dann ist A "(x: x eine ungerade Menge mit den gleichen Ziffern).
Sei ξ = die Menge der Buchstaben im Alphabet. A = Konsonantenmenge. Dann ist A "= Anzahl der Vokale.
Das Komplement der Universalmenge ist die Leermenge. Kann mit ξ bezeichnet werden. Dann ist ξ "= die Menge derjenigen Elemente, die nicht in ξ enthalten sind. Die leere Menge wird mit φ geschrieben und bezeichnet. Daher ist ξ = φ. Somit ist das Komplement zur universellen Menge leer.

In der Mathematik wird mit „Kontinuum“ manchmal eine reelle Linie bezeichnet. Und allgemeiner, um solche Objekte zu beschreiben:

Kontinuum (in der Mengenlehre) – eine reelle Linie oder die entsprechende Kardinalzahl;
linear – jede geordnete Menge, die bestimmte Eigenschaften einer realen Linie teilt;
Kontinuum (in der Topologie) ist ein nicht leerer kompakter zusammenhängender metrischer Raum (manchmal Hausdorff);
die Vermutung, dass keine unendlichen Mengen größer als die ganzen Zahlen, aber kleiner als die reellen Zahlen sind;
Die Kontinuumskardinalität ist eine Kardinalzahl, die die Größe der Menge der reellen Zahlen angibt.

Im Wesentlichen ein Kontinuum (Dimension), Theorien oder Modelle, die allmähliche Übergänge von einem Zustand in einen anderen ohne abrupte Änderungen erklären.

Probleme der Vereinigung und Schnittmenge

Es ist bekannt, dass der Schnittpunkt zweier oder mehrerer Mengen die Menge ist, die alle Elemente enthält, die diesen Werten gemeinsam sind. Textaufgaben zu Mengen werden gelöst, um grundlegende Ideen zur Verwendung der Eigenschaften der Vereinigung und Schnittmenge von Mengen zu gewinnen. Die gelösten grundlegenden Textaufgaben zu Mengen sehen so aus:

Seien A und B zwei endliche Mengen. Sie sind so, dass n (A) = 20, n (B) = 28 und n (A ∪ B) = 36, n (A ∩ B) gefunden wird.

Beziehungen in Mengen mithilfe eines Venn-Diagramms:

Die Vereinigung zweier Mengen kann durch einen schattierten Bereich dargestellt werden, der A ∪ B darstellt. A ∪ B, wenn A und B disjunkte Mengen sind.
Der Schnittpunkt zweier Mengen kann durch ein Venn-Diagramm dargestellt werden. Der schattierte Bereich stellt A ∩ B dar.
Der Unterschied zwischen den beiden Mengen kann durch Venn-Diagramme dargestellt werden. Der schattierte Bereich steht für A - B.
Beziehung zwischen drei Mengen mithilfe eines Venn-Diagramms. Wenn ξ eine universelle Größe darstellt, dann sind A, B, C drei Teilmengen. Hier überlappen sich alle drei Sätze.

Verallgemeinerung von Informationen über eine Menge

Die Kardinalität einer Menge ist definiert als die Gesamtzahl der einzelnen Elemente in der Menge. Und der zuletzt angegebene Wert wird als Anzahl aller Teilmengen beschrieben. Bei der Untersuchung solcher Fragestellungen sind Methoden, Methoden und Lösungen erforderlich. Für die Potenz einer Menge gibt es beispielsweise folgende Beispiele:

Sei A = (0,1,2,3)| | = 4, wobei | A | stellt die Kardinalität der Menge A dar.

Jetzt können Sie Ihr Power-Set finden. Auch das ist ganz einfach. Wie bereits gesagt, wird die Potenzmenge aus allen Teilmengen einer gegebenen Größe gebildet. Sie müssen also grundsätzlich alle Variablen, Elemente und anderen Werte von A definieren, die (), (0), (1), (2), (3), (0,1), (0,2), (0,3 ), (1,2), (1,3), (2,3), (0,1,2), (0,1,3), (1,2,3), (0 ,2,3 ), (0,1,2,3).

Nun berechnet die Potenz P = ((), (0), (1), (2), (3), (0.1), (0.2), (0.3), (1.2), ( 1,3), ( 2,3), (0,1,2), (0,1,3), (1,2,3), (0,2,3), (0,1,2, 3)), was hat 16 Elemente. Somit ist die Kardinalität der Menge A = 16. Offensichtlich ist dies eine langwierige und umständliche Methode zur Lösung dieses Problems. Es gibt jedoch eine einfache Formel, mit der Sie die Anzahl der Elemente in einer Kardinalitätsmenge einer bestimmten Menge direkt ermitteln können. | P | = 2 ^ N, wobei N die Anzahl der Elemente in einem A ist. Diese Formel kann mit einfacher Kombinatorik erhalten werden. Die Frage lautet also 2^11, da die Anzahl der Elemente in Menge A 11 beträgt.

Eine Menge ist also jede numerisch ausgedrückte Größe, die jedes mögliche Objekt sein kann. Zum Beispiel Autos, Menschen, Zahlen. In seiner mathematischen Bedeutung ist dieses Konzept umfassender und allgemeiner. Wenn in der Anfangsphase Zahlen und Lösungsmöglichkeiten geklärt werden, sind in der mittleren und höheren Phase die Bedingungen und Aufgaben komplizierter. Im Wesentlichen wird die Macht einer Mengenvereinigung durch die Zugehörigkeit des Objekts zu einer Gruppe bestimmt. Das heißt, ein Element gehört zu einer Klasse, verfügt aber über eine oder mehrere Variablen.

Die Menge ist eines der Grundkonzepte der modernen Mathematik und wird in fast allen ihren Zweigen verwendet.

Bei vielen Fragestellungen ist es notwendig, eine bestimmte Menge von Elementen als Ganzes zu betrachten. So klassifiziert ein Biologe, der die Flora und Fauna eines bestimmten Gebiets untersucht, alle Individuen nach Arten, Arten nach Gattungen usw. Jede Art ist eine bestimmte Ansammlung von Lebewesen, die als Ganzes betrachtet werden.

Zur mathematischen Beschreibung solcher Sammlungen wurde der Begriff einer Menge eingeführt. Laut einem der Begründer der Mengenlehre, dem deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845-1918), „besteht eine Menge aus vielen Dingen, die wir als eins betrachten.“ Natürlich können diese Wörter nicht als mathematisch strenge Definition einer Menge betrachtet werden; eine solche Definition existiert nicht, da der Begriff einer Menge der Ausgangsbegriff ist, auf dessen Grundlage andere Konzepte der Mathematik aufgebaut werden. Aber aus diesen Worten geht klar hervor, dass wir über die Menge der natürlichen Zahlen sprechen können, die Menge der Dreiecke in der Ebene.

Mengen, die aus endlich vielen Elementen bestehen, heißen endlich, andere Mengen heißen unendlich. Beispielsweise ist die Menge der Wale im Ozean endlich, aber die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich. Endliche Mengen können durch Auflisten ihrer Elemente definiert werden (die Menge der Schüler in einer bestimmten Klasse wird beispielsweise durch eine Liste im Klassenbuch angegeben). Wenn die Menge aus Elementen besteht, dann schreiben Sie: . Unendliche Mengen können nicht durch eine Liste ihrer Elemente definiert werden. Sie werden normalerweise durch Angabe einer Eigenschaft angegeben, die alle Elemente einer bestimmten Menge haben, aber keine Elemente, die nicht zu dieser Menge gehören. Diese Eigenschaft heißt charakteristisch für die betrachtete Menge. Wenn es sich um eine Kurzbezeichnung für den Satz „ein Element hat die Eigenschaft“ handelt, dann wird die Menge aller Elemente, die die Eigenschaft haben, wie folgt bezeichnet: . Zum Beispiel aufzeichnen bedeutet die Menge der Wurzeln der Gleichung, d.h. ein Haufen . Es kann vorkommen, dass es kein Element gibt, das die Eigenschaft besitzt (z. B. gibt es keine ungerade Zahl, die durch 2 teilbar ist). In diesem Fall gibt es kein einziges Element in der Menge. Eine Menge, die kein einziges Element enthält, heißt leer. Darauf wird durch das Schild hingewiesen.

Wenn das Element zur Menge gehört, dann schreiben Sie: , andernfalls schreiben Sie: oder . Mengen, die aus gleichen Elementen bestehen, werden als gleich (koinzident) bezeichnet. Beispielsweise sind die Menge der gleichseitigen Dreiecke und die Menge der gleichwinkligen Dreiecke gleich, da es sich um dieselben Dreiecke handelt: Wenn alle Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann sind alle seine Winkel gleich; umgekehrt folgt aus der Gleichheit aller drei Winkel eines Dreiecks die Gleichheit aller drei seiner Seiten. Es ist offensichtlich, dass zwei endliche Mengen gleich sind und sich beispielsweise nur in der Reihenfolge ihrer Elemente voneinander unterscheiden .

Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Man sagt, dass die Menge der Quadrate Teil der Menge der Rechtecke ist oder, wie man in der Mathematik sagt, eine Teilmenge der Menge der Rechtecke ist. Wenn die Menge eine Teilmenge der Menge ist, dann schreiben Sie: oder. Für jede Menge sind die Einschlüsse und wahr.

Aus diesen Mengen ist es möglich, mithilfe der Operationen Schnittmenge, Vereinigung und Subtraktion neue Mengen zu konstruieren. Der Schnittpunkt von Mengen ist ihr gemeinsamer Teil, d.h. Menge von Elementen, die sowohl zu , als auch gehören. Diese Menge wird bezeichnet mit: . Beispielsweise ist der Schnittpunkt zweier geometrischer Figuren ihr gemeinsamer Teil, der Schnittpunkt einer Menge von Rauten mit einer Menge von Rechtecken ist eine Menge von Quadraten usw.

Eine Mengenvereinigung ist eine Menge, die aus Elementen besteht, die zu mindestens einer dieser Mengen gehören. In verschiedenen Klassifikationsfragen werden Mengen als Vereinigung paarweise disjunkter Teilmengen dargestellt. Beispielsweise ist die Menge der Polygone die Vereinigung der Menge der Dreiecke, Vierecke, ..., -Ecke.

Wenn Sie die Operationen Vereinigung und Schnittmenge auf Teilmengen einer bestimmten Menge anwenden, erhalten Sie wieder Teilmengen derselben Menge. Diese Operationen haben viele ähnliche Eigenschaften wie die Operationen zum Addieren und Multiplizieren von Zahlen. Beispielsweise haben der Schnittpunkt und die Vereinigung von Mengen die Eigenschaften der Kommutativität und der Assoziativität, der Schnittpunkt ist relativ zur Vereinigung distributiv, d. h. für beliebige Mengen und die Beziehung ist wahr usw. Aber gleichzeitig haben Operationen an Mengen eine Reihe von Eigenschaften, die keine Entsprechungen bei Operationen an Zahlen haben. Beispielsweise gilt für jede Menge, dass die Gleichungen und wahr sind, das zweite Gesetz der Distributivität wahr ist usw.

Mithilfe der Eigenschaften von Operationen auf Mengen können Sie Ausdrücke transformieren, die Mengen enthalten, genauso wie Sie die Eigenschaften von Operationen auf Zahlen verwenden können, um Ausdrücke in der gewöhnlichen Algebra zu transformieren. Die so entstehende Algebra wird Boolesche Algebra genannt, benannt nach dem englischen Mathematiker und Logiker J. Boole (1815-1864), der sie im Zusammenhang mit Problemen der mathematischen Logik untersuchte. Boolesche Algebren finden zahlreiche Anwendungen, insbesondere in der Theorie elektrischer Netzwerke.

Das Hauptmerkmal einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente (z. B. enthält die Eckpunktmenge eines Quadrats 4 Elemente). Wenn die Mengen die gleiche Anzahl an Elementen haben, zum Beispiel wenn , , dann können die Elemente dieser Mengen zur Bildung von Paaren verwendet werden , und jedes Element aus sowie jedes Element aus ist in einem und nur einem Paar enthalten. Sie sagen, dass in diesem Fall eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Elementen der Mengen hergestellt wird. Und umgekehrt: Wenn zwischen zwei endlichen Mengen eine Eins-zu-eins-Entsprechung hergestellt werden kann, dann haben sie die gleiche Anzahl von Elementen.

G. Cantor schlug vor, unendliche Mengen auf ähnliche Weise miteinander zu vergleichen. Man sagt, dass die Mengen und die gleiche Kardinalität haben, wenn eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihnen hergestellt werden kann. Durch den Vergleich von Zahlenmengen auf diese Weise zeigte Cantor, dass es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen gibt, obwohl die Menge der natürlichen Zahlen nur ein Teil der Menge der rationalen Zahlen ist Zahlen. Somit verliert in der Theorie der unendlichen Mengen die Aussage, dass „der Teil kleiner als das Ganze“ ist, ihre Gültigkeit.

Mengen, die die gleiche Kardinalität wie die Menge der natürlichen Zahlen haben, heißen abzählbar. Somit ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar. Das wichtigste Beispiel einer überzählbaren Menge ist die Menge aller reellen Zahlen (oder, was dasselbe ist, die Menge der Punkte auf einer Geraden). Da eine gerade Linie kontinuierlich ist, wird eine solche unzählbare Kraft als Kontinuumskraft bezeichnet (vom lateinischen Kontinuum – „kontinuierlich“). Die Kraft des Kontinuums hat die Punktmenge eines Quadrats, eines Würfels, einer Ebene und des gesamten Raums.

Seit vielen Jahren lösen Mathematiker das Problem: Gibt es eine Menge, deren Kardinalität zwischen zählbarer Kardinalität und Kontinuumskardinalität liegt? In den 60er Jahren unseres Jahrhunderts haben der amerikanische Mathematiker P. Cohen und der tschechische Mathematiker P. Wopenka fast gleichzeitig und unabhängig voneinander bewiesen, dass sowohl die Existenz einer solchen Menge als auch ihre Abwesenheit nicht im Widerspruch zu den anderen Axiomen der Mengenlehre stehen (ebenso wie die Die Akzeptanz des Parallelenaxioms oder die Ablehnung dieses Axioms stehen nicht im Widerspruch zu den anderen Axiomen der Geometrie.

Ein Haufen ist eine Sammlung von Objekten, die als Ganzes betrachtet werden. Das Konzept der Menge wird als grundlegend angesehen, d. h. es ist nicht auf andere Konzepte reduzierbar. Die Objekte, aus denen eine bestimmte Menge besteht, werden ihre Elemente genannt. Grundlegende Beziehung zwischen Elementen A und die Menge, die es enthält A wie folgt bezeichnet ( A ist ein Element der Menge A; oder A gehört A, oder A enthält A). Wenn A ist kein Element der Menge A, dann schreiben sie ( A nicht enthalten A, A beinhaltet nicht A). Eine Menge kann durch Angabe aller ihrer Elemente angegeben werden. In diesem Fall werden geschweifte Klammern verwendet. Also ( A, B, C) bezeichnet die Menge der drei Elemente. Eine ähnliche Notation wird bei unendlichen Mengen verwendet, wobei ungeschriebene Elemente durch Auslassungspunkte ersetzt werden. Somit wird die Menge der natürlichen Zahlen mit (1, 2, 3, ...) und die Menge der geraden Zahlen (2, 4, 6, ...) bezeichnet, und die Auslassungspunkte bedeuten im ersten Fall alle natürlichen Zahlen , und im zweiten - nur gerade

Zwei Sets A Und B werden genannt gleich, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen, d.h. A gehört B und umgekehrt jedes Element B gehört A. Dann schreiben sie A = B. Somit wird eine Menge eindeutig durch ihre Elemente bestimmt und hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der diese Elemente geschrieben werden. Zum Beispiel ein Satz aus drei Elementen A, B, C ermöglicht sechs Aufnahmearten:

{A, B, C} = {A, C, B} = {B, A, C} = {B, C, A} = {C, A, B} = {C, B, A}.

Aus Gründen der formalen Vereinfachung wird auch die sogenannte „leere Menge“ eingeführt, also eine Menge, die kein einziges Element enthält. Es wird manchmal mit dem Symbol 0 bezeichnet (die Übereinstimmung mit der Bezeichnung der Zahl Null führt nicht zu Verwirrung, da die Bedeutung des Symbols jedes Mal klar ist).

Wenn jedes Element der Menge A in vielen enthalten B, Das A eine Teilmenge genannt B, A B wird als Obermenge bezeichnet A. Sie schreiben ( A enthalten B oder A Enthalten in B, B enthält A). Offensichtlich, wenn und dann A = B. Die leere Menge wird per Definition als Teilmenge einer beliebigen Menge betrachtet.

Wenn jedes Element der Menge A enthalten B, aber viele B enthält mindestens ein Element, das nicht in enthalten ist A, also wenn und , dann A angerufen eigene Teilmenge B, A B - eigene Obermenge A. In diesem Fall schreiben sie . Beispielsweise bedeuten die Notationen und dasselbe, nämlich dass die Menge A nicht leer.

Wir stellen außerdem fest, dass wir das Element unterscheiden müssen A und setze ( A), enthaltend A als einziges Element. Dieser Unterschied ist nicht nur dadurch bedingt, dass das Element und die Menge eine unterschiedliche Rolle spielen (die Beziehung ist nicht symmetrisch), sondern auch durch die Notwendigkeit, Widersprüche zu vermeiden. Also, lass es A = {A, B) enthält zwei Elemente. Betrachten Sie die Menge ( A), das als einziges Element die Menge enthält A. Dann A enthält zwei Elemente, während ( A) ist nur ein Element und daher ist eine Identifizierung dieser beiden Mengen unmöglich. Daher wird empfohlen, die Aufnahme zu verwenden und die Aufnahme nicht zu verwenden.

Definition. Eine Menge ist eine Sammlung einiger Objekte, die nach einem bestimmten Merkmal zusammengefasst sind.

Die Elemente, aus denen eine Menge besteht, werden normalerweise mit kleinen lateinischen Buchstaben und die Menge selbst mit einem lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. Das ∈-Zeichen wird verwendet, um anzuzeigen, dass ein Element zu einer Menge gehört. Die Notation a∈A bedeutet, dass das Element a zur Menge A gehört. Wenn ein Objekt x kein Element der Menge A ist, schreiben Sie x∉A. Wenn A beispielsweise eine Menge gerader Zahlen ist, dann ist 2∈A und 1∉A. Die Mengen A und B gelten als gleich (schreiben Sie A = B), wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen.

Wenn eine Menge endlich viele Elemente enthält, heißt sie endlich; andernfalls heißt die Menge unendlich. Wenn die Menge A endlich ist, ist das Symbol |A| gibt die Anzahl seiner Elemente an. Eine Menge, die kein einziges Element enthält, heißt leer und wird mit dem Symbol ∅ bezeichnet. Offensichtlich |∅|=0.

Beispiel. Sei A die Menge der reellen Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Die Menge A ist endlich, |A|≤2. Wenn die Diskriminante D = p 2 -4q negativ ist, ist die Menge A leer. Die Menge der reellen Lösungen der quadratischen Ungleichung x 2 +px+q≤0 ist endlich, wenn D≤0, und unendlich, wenn D>0.

Eine endliche Menge kann durch Auflisten aller ihrer Elemente definiert werden,

oder ihre Eigenschaften werden beschrieben. Wenn die Menge A aus den Elementen x, y, z besteht, schreiben Sie A =(x, y, z,). Beispielsweise ist A = (0, 2, 4, 6, 8) die Menge der geraden Dezimalziffern oder die Menge der natürlichen Zahlen, die die Bedingung x + 2 = 1 erfüllen.

Lassen Sie uns das Konzept einer indizierten Mengenfamilie vorstellen, das später verwendet wird. Sei I eine Menge, wobei jedes Element i einer eindeutig definierten Menge A i zugeordnet ist. Die Elemente einer Menge I werden Indizes genannt, und die Sammlung von Mengen A i wird eine indizierte Mengenfamilie genannt und mit (A i) i ∈ I bezeichnet.

Sie sagen, dass eine Menge B eine Teilmenge einer Menge A ist und schreiben B⊂A, wenn jedes Element der Menge B ein Element der Menge A ist. Beispielsweise ist die Menge der natürlichen Zahlen N eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen Z, und diese wiederum ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen Q, also N⊂Z und Z⊂Q, oder kurz N⊂Z⊂Q. Es ist leicht zu erkennen, dass, wenn B⊂A und A⊂B, die Mengen A und B aus denselben Elementen bestehen und daher A=B ist, andernfalls . Neben der Bezeichnung B⊂A wird auch A⊃B verwendet, was die gleiche Bedeutung hat.

Teilmengen einer Menge A, die nicht ∅ und A sind, heißen eigentlich. Die leere Menge und die Menge A werden aufgerufen unechte Teilmengen Menge A. Die Menge aller Teilmengen der Menge A heißt seine Boolescher Wert, oder um viele Grad, und wird mit P(A) oder 2 A bezeichnet.

Beispiel. Sei A = (a, b, c). Dann besteht die Menge 2 A aus folgenden Elementen:

(∅), (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c).

Wenn eine Menge A endlich ist und n Elemente enthält, dann hat diese Menge 2 n Teilmengen, also |2 A |=2 | A | .

Alle Mengenoperationen können mit Euler-Venn-Diagrammen dargestellt werden. Wenn eine universelle Menge, die alle anderen Mengen als Teilmengen enthält, mit U bezeichnet und als die gesamte Ebene dargestellt wird, dann kann jede Menge als Teil der Ebene dargestellt werden, d. h. in Form einer Figur, die in einem Flugzeug liegt.

Durch Vereinigung oder Summe Mengen A und B ist eine Menge C, die aus Elementen der Menge A oder Elementen der Menge B oder Elementen beider dieser Mengen besteht, d. h. . Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist A∪B = (1, 2, 3, 4).

Nach Schnittmenge oder Produkt zwei Mengen A und B, so nennt man eine Menge C, die aus Elementen besteht, die gleichzeitig zu beiden Mengen gehören, also . Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist A∩B = (2, 3).

Durch Differenz Zwei Mengen A und B sind eine Menge, die nur aus den Elementen besteht, die in A enthalten und gleichzeitig nicht in B enthalten sind, d.h.

Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist A\B = (1).

Ist A insbesondere eine Teilmenge von U, so wird die Differenz U\A bezeichnet und aufgerufen Zusatz setzt A.

Symmetrische Differenz (Ringsumme) Mengen A und B heißt eine Menge, d.h. . Wenn beispielsweise A = (1, 2, 3) und B = (2, 3, 4), dann ist AΔB = (1, 4).

Gesetze der Mengenalgebra:

1. Kommutativgesetz: .

2. Vereinsrecht: .

3. Verteilungsrecht:

4. Gesetze der Idempotenz: , insbesondere

5. Gesetze der Absorption:

6. De Morgans Gesetze (Dualität):

7. Doppelkomplementgesetz:

8. Gesetz der Inklusion:

9. Gesetz der Gleichheit:

Beispiel 1. Schauen wir uns das erste Gesetz von De Morgan an. Zeigen wir das zunächst . Tun wir mal so. Dann ist x∉A∩B, also gehört x nicht zu mindestens einer der Mengen A und B. Also ist x∉A oder x∉B, also oder .

Das bedeutet es. Wir haben gezeigt, dass ein beliebiges Element einer Menge ein Element einer Menge ist. Somit, . Rückwärtsschalten wird auf ähnliche Weise bewiesen. Es reicht aus, alle Schritte des vorherigen Arguments in umgekehrter Reihenfolge zu wiederholen.

Beispiel 2. Beweisen Sie Einschlüsse

Lösung. Am einfachsten geht das mit dem Euler-Venn-Diagramm

Aus jedem Elementpaar a und b (nicht unbedingt unterschiedlich) können Sie ein neues Element erstellen - geordnetes Paar(a,b). Geordnete Paare (a,b) und (c,d) gelten als gleich und schreiben (a,b) = (c,d), wenn a = c und b = d. Insbesondere gilt (a,b) = (b,a) nur, wenn a=b. Die Elemente a und b heißen die Koordinaten des geordneten Paares (a,b).

Direktes (kartesisches) Produkt Die Mengen A und B sind die Menge aller geordneten Paare (a,b), wobei a∈A und b∈B. Das direkte Produkt der Mengen A und B wird mit A×B bezeichnet. In Übereinstimmung mit der Definition, die wir haben

A×B = ((a,b)| a∈A, b∈B). Das Werk heißt Kartesisches Quadrat.

Beispiel 3. Gegebene Mengen A = (1; 2); B = (2; 3). Finden .

Lösung.

Somit gehorcht das kartesische Produkt nicht dem Kommutativgesetz.

Beispiel 4. Aus welchen Elementen bestehen die Mengen?

Lösung. Schreiben wir die Mengen A auf; IN; C, Auflistung ihrer Elemente:

A = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); C = (2). Dann können wir wie Paare geordnete Tripletts, Quadrupel und im Allgemeinen geordnete Mengen von Elementen beliebiger Länge betrachten. Eine geordnete Menge von Elementen der Länge n wird mit (a 1 , a 2 , a n ) bezeichnet. Für solche Mengen wird auch der Name Tupel der Länge n verwendet. Es sind auch Tupel der Länge 1 erlaubt – das sind einfach Einzelelementmengen. Tupel (a 1 , a 2 , a n ) und (b 1 , b 2 , b n ) gelten als gleich, wenn a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .

Analog zum Produkt zweier Mengen definieren wir das direkte Produkt der Mengen A 1 , A 2 , A n als die Menge aller Tupel (a 1 , a 2 , a n), so dass a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . Das direkte Produkt wird mit A 1 × A 2 × A n bezeichnet.

Das Konzept eines direkten Produkts kann auf den Fall einer beliebigen Familie von Mengen (A i) i ∈ I verallgemeinert werden. Nennen wir ein I-Tupel eine Menge von Elementen (A i) i ∈ I, so dass a i ∈A i für jedes i∈I gilt. Das direkte Produkt einer Mengenfamilie (A i) i ∈ I ist die Menge, die aus allen I-Tupeln besteht. Um diese Menge zu bezeichnen, werden das Symbol Π i ∈ I A i und seine Variationen verwendet, ähnlich denen, die zur Bezeichnung des Schnittpunkts und der Vereinigung einer Mengenfamilie verwendet werden.

Wenn eine Menge A mit sich selbst multipliziert wird, wird das Produkt als (kartesische) Potenz bezeichnet und die Exponentialschreibweise verwendet. Gemäß der Definition gilt also A × A = A 2, A × A × A = A 3 usw. Es wird angenommen, dass A 1 = A und A 0 = ∅.

Aus den Definitionen ergeben sich unmittelbar folgende Beziehungen: (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(A\B) × C = (A × C)\(B × C).

1. Sudoplatov S.V., Ovchinnikova E.V. Elemente der diskreten Mathematik. M.:INFRA-M, Nowosibirsk, 2002.

2. Aseev G.G., Abramov O.M., Sitnikov D.E. Diskrete Mathematik. Charkow, „Torsing“, 2003.

3. Nefedov V.N., Osipova V.A. Diskreter Mathematikkurs. M.: Nauka, 1973.

4. Lawrow I.A., Maksimova L.L. Probleme der Mengenlehre, der mathematischen Logik und der Algorithmentheorie. M.:FIZMATLIT, 2001.