Kurz gesagt: Eine Summe von Unterräumen wird als direkte Summe bezeichnet, wenn die Zerlegung eines beliebigen Vektors der Summe in Unterräume eindeutig ist.

Die direkte Summe der Unterräume ist keine Art von neuer Betriebüber Unterräume. Dies ist einfach eine Eigenschaft der zuvor eingeführten Summe von Unterräumen.

Wenn die Summe der Teilräume direkt ist, dann besteht der Schnittpunkt dieser Teilräume aus einem – Null – Vektor.

Kriterium für die direkte Summe von Unterräumen

Für Teilräume eines endlichdimensionalen linearen Raums gelten die folgenden Aussagen sind gleichwertig:

1) Die Summe der Unterräume ist direkt

2) Die Menge der Unterraumbasen ist linear unabhängig

3) Die Menge der Basen der Unterräume bildet die Grundlage der Summe der Unterräume https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Es gibt einen Vektor aus der Summe, für den die Entwicklung in Unterräumen eindeutig ist.

6) Ein beliebiges System von Vektoren ungleich Null, von denen einer aus jedem linearen Unterraum entnommen wird, ist linear unabhängig

7) Der Schnittpunkt linearer Unterräume ist nur ein Nullvektor: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> heißt zusätzlich Unterraum zu L, wenn . Offensichtlich ist L ein zusätzlicher Unterraum zu .

Im übertragenen Sinne „ergänzt“ der zusätzliche Unterraum sozusagen den Unterraum zum Komplettraum.

Satz über die Existenz eines zusätzlichen Unterraums

Für jeden Unterraum des linearen Raums https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> ist ein Vektor des Raums V. Die Menge H , bestehend aus allen Vektoren der Form , wobei https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Leiten Sie den Unterraum

Der Unterraum L in der Definition einer linearen Mannigfaltigkeit wird als richtender Unterraum der linearen Mannigfaltigkeit H bezeichnet.

Faktorraum

Sei V ein linearer Raum über dem Feld P, L sein Unterraum. Der Quotientenraum eines linearen Raums V über einem Unterraum L (bezeichnet mit V/L) ist eine Menge bestehend aus Äquivalenzklassen H. Diese Klassen entsprechen allen linearen Mannigfaltigkeiten, die aus dem Unterraum L erhalten werden: .

Die Regel definiert das äußere Gesetz der Zusammensetzung auf V/L (Multiplikation des Elements H aus V/L mit der Zahl (oder dem Element des Hauptkörpers P) α, Regel). - inneres Zusammensetzungsgesetz (Addition zweier Elemente – H1 und H2 – aus V/L).

2.4. Unterraum der Lösungen eines homogenen SLAE

Unterräume, die durch ein homogenes System linearer algebraischer Gleichungen definiert sind

Dies ist eine Menge von Lösungen eines homogenen Systems lineare Gleichungen, wobei A die Koeffizientenmatrix der linearen Gleichungen des Systems ist.

Vorlesung Nr. 5. Abschnitt 3. Unterräume des euklidischen (einheitlichen) linearen Raums

3.1. Orthogonales Komplement zum Unterraum

Vektor orthogonal zum Unterraum

Sei L – linearer Unterraum Euklidischer (einheitlicher) Raum. Ein Vektor x heißt orthogonal zu einem Unterraum L, wenn er zu jedem Vektor aus diesem Unterraum orthogonal ist. Bezeichnung: .

Orthogonales Komplement zum Unterraum

Sei L ein linearer Unterraum des euklidischen Raums. Gesamtheit alle Vektoren https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

Satz über das orthogonale Komplement als Unterraum

Das orthogonale Komplement eines Unterraums ist ein linearer Unterraum desselben Raums.

3.2. Orthographische Projektion, orthographische Komponente

Orthogonale Projektion eines Vektors auf einen Unterraum

Sei L ein linearer Unterraum des euklidischen (einheitlichen) Raums https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> in der Form eine Summe: , wobei https ://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Vektor G heißt orthogonale Projektion des Vektors F zum Unterraum L, Vektor H wird als orthogonale Komponente bezeichnet.

Orthogonale Vektorkomponente

Die orthogonale Komponente des Vektors f relativ zum Unterraum L des euklidischen (einheitlichen) Raums https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, wobei .gif" width="43" height="27 src="> als Vektor bezeichnet wird H in der Erweiterung, wo https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Schräg zum Unterraum

Vektor F in der Zersetzung https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Satz über die Summe eines Unterraums und seines orthogonalen Komplements

Wenn es sich um einen linearen Unterraum des Raums handelt, dann bildet die direkte Summe dieses linearen Unterraums und seines orthogonalen Komplements den gesamten Raum: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18" > ein linearer Unterraum des Raumes ist, dann existiert für jeden Vektor eine und darüber hinaus eindeutige Darstellung F als Summe: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Abstand vom Vektor zum Unterraum

Abstand vom Vektor zum Unterraum

Der Abstand von einem Vektor zu einem Unterraum ist die Länge der Senkrechten, die von diesem Vektor auf den Unterraum fällt (d. h. die Länge der orthogonalen Komponente des Vektors relativ zu diesem Unterraum).

Vorlesung Nr. 6. Abschnitt 4. Bilineare und quadratische Formen.

4.1. Lineare Form

4.2. Bilineare Form

4.1. Lineare Form

Lineare Funktion (lineare Form)

Sei ein linearer Raum über dem Feld. Funktion F, die Abbildung eines Vektors aus dem Leerzeichen auf eine Zahl (Feldelement https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21">), heißt linear , Wenn:

1) für alle Vektoren https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> für eine beliebige Zahl A(Feldelement) und ein beliebiger Vektor

Schreiben einer beliebigen linearen Form auf einer (willkürlichen) Basis e sieht so aus:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - Zahlen (Elemente Felder P) je nach Basis e und natürlich aus der Form f.

Beachten Sie dies bei der Wahl einer anderen Basis e A 1", A 2", …, A N".

Lineare Matrix

Matrix A von linearer Form F in der Basis heißt eine aus Zahlen bestehende Zeilenmatrix - das Ergebnis der Wirkung einer linearen Form auf die Vektoren dieser Basis:

A = ( A 1, A 2, …, A n) = .

Seien X = die Koordinaten des Vektors X in der Basis e, A – Matrix linearer Form F auf der gleichen Grundlage. Dann der Wert F(X) ist gleich dem Produkt aus Matrix A und Spalte X:

F(X) = A·X.

Satz über die Änderung einer Matrix linearer Form beim Übergang von einer Basis zur anderen

Beim Übergang von Basis zu Basis https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) ändert sich die Matrix der linearen Form wie folgt:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> – linearer Raum über dem Feld. (numerisch) Funktion A zwei Vektorargumente https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">wird als bilineare Form bezeichnet, wenn sie in jedem Argument linear ist:

2)

4)

- beliebige Vektoren des Raumes L, - eine beliebige Zahl (Feldelement P).

Aufnahme einer beliebigen bilinearen Form https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

Wo ( X 1, X 2, …, X n) und ( j 1, j 2, …, j n) – Koordinaten in der Basis e Vektoren x bzw. y, A 11, A 12, …, A 1n, …, A nn – eine Menge von n2 Zahlen (Elemente des Feldes P).

Beachten Sie, dass die Zahlen A 11, A 12, …, A 1n, …, A nn hängen von der Basis ab e und natürlich von der Form selbst A. Bei der Wahl einer anderen Basis e „Der entsprechende Zahlensatz wird im Allgemeinen unterschiedlich sein: A 11", A 12", …, A nn".

Bilineare Matrix

Gegeben sei eine bilineare Form und eine (willkürliche) Basis e .

Schreiben wir die Wirkung der Bilinearform auf dieser Basis auf:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">in der Basis e Die folgende Matrix heißt:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">zu einem (geordneten) Paar von Basisvektoren ( e ich, e J). Auf diese Weise:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> ist eine Matrix einer eindeutigen bilinearen Form in einer gegebenen (festen) Raumbasis.

Satz über die Änderung einer Matrix einer bilinearen Form beim Übergang von einer Basis zur anderen

Beim Umzug von der Basis zur Basis (Übergangsmatrix https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Rang der bilinearen Form

Der Rang einer bilinearen Form ist der Rang ihrer Matrix auf willkürlicher Basis.

(nicht) Entartete bilineare Form

Eine bilineare Form heißt entartet, wenn und nicht entartet, wenn https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> als symmetrisch bezeichnet wird, wenn für . Eine bilineare Form wird als schiefsymmetrisch (oder schiefsymmetrisch) bezeichnet, wenn für https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src="> gilt.

Kommentar:

Die Matrix einer schiefsymmetrischen bilinearen Form (in jeder Basis) ist schiefsymmetrisch: , für alle ich, J. Insbesondere für alle ich Gleichheit DIV_ADBLOCK81">

4.3. Quadratische Form

Bilineare und quadratische Formen im beliebigen linearen Raum

4.3. Quadratische Form

Quadratische Form

Gegeben sei eine symmetrische bilineare Form https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Betrachten wir die Wirkung dieser bilinearen Form nur weiter Paare übereinstimmender Vektoren, d.h. e. A(X, X). Wir erhalten eine Funktion, die jeden Vektor zuordnet X lineare Raumzahl (Element des Hauptkörpers P) F(X) = A(X, X). Funktion F(X) = heißt die quadratische Form, die der gegebenen symmetrischen bilinearen Form entspricht https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> heißt die entsprechende symmetrische bilineare Form.

Satz der polaren bilinearen Form

Polarbilineare Form für alle quadratische Form eindeutig definiert.

Quadratische Matrix

Eine Matrix quadratischer Form ist eine Matrix ihrer polaren bilinearen Form.

Rang der quadratischen Form

Der Rang einer quadratischen Form ist der Rang ihrer Matrix auf willkürlicher Basis.

(nicht) entartete quadratische Form

Eine quadratische Form heißt entartet, wenn https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src=">.

Eigenschaften einer Matrix quadratischer Form

1) Die Matrix quadratischer Form ist symmetrisch

2) Jede quadratische symmetrische Matrix ist eine Matrix der einzigen quadratischen Form in einer gegebenen Basis

3) Beim Bewegen von der Basis zur Basis (Übergangsmatrix https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Sei eine beliebige feste Basis. Lassen Sie die quadratische Form F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src="> und ein beliebiger Vektor X hat Koordinaten in derselben Basis ( X 1, X 2, …, X N). Dann das Ergebnis der Wirkung der quadratischen Form auf den Vektor X kann geschrieben werden als

F(X) = ,

oder in kompakterer Form:

F(X) =

wo X = - Vektorkoordinatenspalte X in der Basis e

4.4. Kanonische Form der quadratischen Form

Kanonische Form der quadratischen Form

Die kanonische Form einer quadratischen Form ist ihre Notation, die nur die Quadrate der Variablen enthält:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (von denen einige Null sein können) werden kanonische Koeffizienten der quadratischen Form genannt.

Offensichtlich stimmt die Anzahl der Koeffizienten ungleich Null in der kanonischen Form einer quadratischen Form mit ihrem Rang überein.

Kanonische Basis der quadratischen Form

F(X) = A(X, X),

wenn die Aufzeichnung dieser Form in dieser Basis kanonisch ist, also nur die Quadrate der Variablen enthält:

„Matrixsprache“ klingt so:

Die Basis wird als kanonische Basis der quadratischen Form bezeichnet F(X) = A(X, X),

wenn die Matrix Ae dieser Form in dieser Basis eine Diagonalform hat:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Berechnen Sie den Koeffizienten (≠ 0), wenn diese Variable quadriert wird:

DIV_ADBLOCK83">

Kommentar.

Wenn Sie die geschriebene Summe quadrieren und mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammern multiplizieren, sind das Ergebnis alle Terme, die die Variable enthalten X 1, in die Notation der quadratischen Form einbezogen. Gleichzeitig werden (und zwar ziemlich viele) Begriffe auftauchen, die in der ursprünglichen Aufzeichnung der quadratischen Form nicht enthalten waren. Aber alle „neuen“ Begriffe enthalten keine Variable X 1.

Somit nimmt das Schreiben der quadratischen Form die folgende Form an:

Klammern". Nachdem wir eine Variablenänderung vorgenommen haben, bezeichnen wir die „erste Klammer" mit X 1", der zweite - durch X 2" usw. erhalten wir die folgende Notation der quadratischen Form, deren Terme nur die Quadrate der Variablen enthalten:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

Als Ergebnis dieser Ersetzung wurde der Begriff aijxixj, enthält das Produkt von Variablen xi Und xj, wird in zwei Terme umgewandelt, die bereits die Quadrate der Variablen enthalten xi" Und xj":

DIV_ADBLOCK84">

Satz über die Existenz einer orthonormalen kanonischen Basis (Reduktion auf die Hauptachsen).

Für jede quadratische Form im euklidischen Raum gibt es eine Orthonormalbasis, in der sie eine kanonische Form hat.

Jacobi-Formeln

Wenn in einer Matrix quadratischer Form F(X) an erster Stelle stehen https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , dann gibt es eine Basis e, in dem die Matrix quadratischer Form eine Diagonalform hat

Darüber hinaus die kanonischen Koeffizienten λ ich quadratische Form sind mit Winkelminoren Δ verbunden ich die folgenden Beziehungen: ,

die aufgerufen werden Jacobi-Formeln.

Vorlesung Nr. 8. Abschnitt 4. Bilineare und quadratische Formen.

Bilineare und quadratische Formen

im realen (realen) linearen Raum.

4.5. Quadratische Trägheitsindizes

Quadratische Trägheitsindizes

Lassen Sie die quadratische Form F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Die Anzahl der positiven Koeffizienten ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in diese Sequenz.

4.6. Bestimmte und alternierende quadratische Formen

Bestimmte quadratische Form

Eine quadratische Form heißt positiv (negativ) definit, wenn sie auf allen Vektoren ungleich Null nur positive (negative) Werte annimmt: ( F(X) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Solche Formen werden vorzeichenbestimmt genannt.

Abwechselnde quadratische Form

Eine quadratische Form, für die es Vektoren https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> gibt, so dass F(X) = > 0 und F(j) = < 0 называется знакопеременной.

Kriterium für das Vorzeichen einer quadratischen Form

Eine quadratische Form ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn ihr positiver (bzw. negativer) Trägheitsindex mit der Raumdimension übereinstimmt.

Das heißt, in jeder kanonischen Form einer positiv (negativ) definiten quadratischen Form im n-dimensionalen Raum

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Winkelminorformen positiv sind.

Eine quadratische Form ist genau dann negativ definit, wenn sich die Vorzeichen ihrer eckigen Nebenformen abwechseln, und Kurzcodes">

Algebraische Projektion eines Vektors auf jeder Achse ist gleich dem Produkt aus der Länge des Vektors und dem Kosinus des Winkels zwischen der Achse und dem Vektor:

Pr a b = |b|cos(a,b) oder

Dabei ist a b das Skalarprodukt von Vektoren, |a| - Modul des Vektors a.

Anweisungen. Um die Projektion des Vektors Пp a b in zu finden Onlinemodus Es ist notwendig, die Koordinaten der Vektoren a und b anzugeben. In diesem Fall kann der Vektor in der Ebene (zwei Koordinaten) und im Raum (drei Koordinaten) angegeben werden. Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert. Wenn Vektoren durch die Koordinaten von Punkten angegeben werden, müssen Sie diesen Rechner verwenden.

Gegeben:
zwei Vektorkoordinaten
drei Vektorkoordinaten
A: ; ;
B: ; ;

Klassifizierung von Vektorprojektionen

Arten von Projektionen per Definition Vektorprojektion

Arten von Projektionen nach dem Koordinatensystem

Vektorprojektionseigenschaften

1. Die geometrische Projektion eines Vektors ist ein Vektor (hat eine Richtung).
2. Die algebraische Projektion eines Vektors ist eine Zahl.

Vektorprojektionssätze

Satz 1. Die Projektion der Summe der Vektoren auf eine beliebige Achse ist gleich der Projektion der Summanden der Vektoren auf dieselbe Achse.

Satz 2. Die algebraische Projektion eines Vektors auf eine beliebige Achse ist gleich dem Produkt aus der Länge des Vektors und dem Kosinus des Winkels zwischen der Achse und dem Vektor:

Pr a b = |b|cos(a,b)

Arten von Vektorprojektionen

1. Projektion auf die OX-Achse.
2. Projektion auf die OY-Achse.
3. Projektion auf einen Vektor.

Projektion auf der OX-Achse	Projektion auf der OY-Achse	Projektion auf Vektor
Wenn die Richtung des Vektors A’B’ mit der Richtung der OX-Achse übereinstimmt, dann hat die Projektion des Vektors A’B’ ein positives Vorzeichen.	Wenn die Richtung des Vektors A’B’ mit der Richtung der OY-Achse übereinstimmt, dann hat die Projektion des Vektors A’B’ ein positives Vorzeichen.	Wenn die Richtung des Vektors A’B’ mit der Richtung des Vektors NM übereinstimmt, dann hat die Projektion des Vektors A’B’ ein positives Vorzeichen.
Wenn die Richtung des Vektors der Richtung der OX-Achse entgegengesetzt ist, dann hat die Projektion des Vektors A’B’ ein negatives Vorzeichen.	Wenn die Richtung des Vektors A’B’ der Richtung der OY-Achse entgegengesetzt ist, dann hat die Projektion des Vektors A’B’ ein negatives Vorzeichen.	Wenn die Richtung des Vektors A’B’ der Richtung des Vektors NM entgegengesetzt ist, dann hat die Projektion des Vektors A’B’ ein negatives Vorzeichen.
Wenn der Vektor AB parallel zur OX-Achse ist, ist die Projektion des Vektors A’B’ gleich dem Absolutwert des Vektors AB.	Wenn der Vektor AB parallel zur OY-Achse ist, ist die Projektion des Vektors A’B’ gleich dem Absolutwert des Vektors AB.	Wenn der Vektor AB parallel zum Vektor NM ist, ist die Projektion des Vektors A’B’ gleich dem Absolutwert des Vektors AB.
Wenn der Vektor AB senkrecht zur Achse OX steht, ist die Projektion A’B’ gleich Null (Nullvektor).	Wenn der Vektor AB senkrecht zur OY-Achse steht, ist die Projektion A’B’ gleich Null (Nullvektor).	Wenn der Vektor AB senkrecht zum Vektor NM steht, ist die Projektion A’B’ gleich Null (Nullvektor).

1. Frage: Kann die Projektion eines Vektors ein negatives Vorzeichen haben? Antwort: Ja, der Projektionsvektor kann ein negativer Wert sein. In diesem Fall hat der Vektor die entgegengesetzte Richtung (siehe, wie die OX-Achse und der AB-Vektor gerichtet sind)
2. Frage: Kann die Projektion eines Vektors mit dem Absolutwert des Vektors übereinstimmen? Antwort: Ja, das kann es. In diesem Fall sind die Vektoren parallel (oder liegen auf derselben Geraden).
3. Frage: Kann die Projektion eines Vektors gleich Null sein (Nullvektor)? Antwort: Ja, das kann es. In diesem Fall steht der Vektor senkrecht zur entsprechenden Achse (Vektor).

Beispiel 1. Der Vektor (Abb. 1) bildet mit der OX-Achse einen Winkel von 60° (er wird durch Vektor a angegeben). Wenn OE eine Skaleneinheit ist, dann ist |b|=4, also .

Tatsächlich ist die Länge des Vektors (geometrische Projektion b) gleich 2 und die Richtung stimmt mit der Richtung der OX-Achse überein.

Beispiel 2. Der Vektor (Abb. 2) bildet mit der OX-Achse (mit Vektor a) einen Winkel (a,b) = 120 °. Länge |b| Vektor b ist gleich 4, also pr a b=4·cos120 o = -2.

Tatsächlich beträgt die Länge des Vektors 2 und die Richtung ist entgegengesetzt zur Richtung der Achse.