Wie erkennt man, ob eine Funktion stetig ist? So untersuchen Sie eine Funktion auf Stetigkeit

Satz. Lassen Sie die Funktion x=φ(t) kontinuierlich an einem Punkt A, und die Funktion y=f(x) kontinuierlich an einem Punkt b=φ(a). Dann die komplexe Funktion y=f[φ(t)]=F(t) kontinuierlich an einem Punkt A.

Lassen x=φ(t) Und y=f(x)- die einfachsten Elementarfunktionen mit vielen Werten (X) Funktionen x=φ(t) ist der Umfang der Funktion y=f(x). Wie wir wissen, sind Elementarfunktionen an jedem Punkt des gegebenen Definitionsbereichs stetig. Daher ist nach dem vorherigen Satz die komplexe Funktion y=f(φ(t)), also die Überlagerung zweier Elementarfunktionen, ist stetig. Beispielsweise ist eine Funktion an jedem Punkt stetig x ≠ 0, als komplexe Funktion zweier Elementarfunktionen x=t -1 Und y=Sünde x. Funktioniert auch y=ln sin x kontinuierlich an jedem Punkt der Intervalle (2kπ,(2k+1)π), k ∈ Z (Sünde x>0).

Definition. Die Funktion y = f(x) sei am Punkt x0 und in einigen seiner Umgebungen definiert. Die Funktion y = f(x) wird aufgerufen kontinuierlich im Punkt x0, Wenn:

1. existiert
2. Dieser Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0:

Bei der Definition des Grenzwerts wurde betont, dass f(x) nicht am Punkt x0 definiert werden darf, und wenn es an diesem Punkt definiert wird, dann ist der Wert von f(x0) in keiner Weise an der Bestimmung des Grenzwerts beteiligt. Bei der Bestimmung der Kontinuität ist es von grundlegender Bedeutung, dass f(x0) existiert, und dieser Wert muss gleich lim f(x) sein.

Definition. Die Funktion y = f(x) sei am Punkt x0 und in einigen seiner Umgebungen definiert. Eine Funktion f(x) heißt stetig an einem Punkt x0, wenn es für alle ε>0 eine positive Zahl δ gibt, so dass für alle x in der δ-Umgebung des Punktes x0 (also |x-x0|) gilt
Dabei wird berücksichtigt, dass der Wert des Grenzwertes gleich f(x0) sein muss, daher entfällt im Vergleich zur Definition des Grenzwertes die Bedingung der Punktion der δ-Umgebung 0
Lassen Sie uns eine weitere (zur vorherigen äquivalente) Definition in Bezug auf Inkremente geben. Bezeichnen wir Δх = x - x0; wir nennen diesen Wert das Inkrement des Arguments. Da x->x0, dann Δx->0, d. h. Δx - b.m. (unendliche) Menge. Bezeichnen wir Δу = f(x)-f(x0), wir nennen diesen Wert das Inkrement der Funktion, da |Δу| sollte (für ausreichend kleines |Δх|) kleiner als eine beliebige Zahl ε>0 sein, dann ist Δу- auch b.m. Wert also

Definition. Die Funktion y = f(x) sei am Punkt x0 und in einigen seiner Umgebungen definiert. Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich im Punkt x0, wenn ein infinitesimales Inkrement im Argument einem infinitesimalen Inkrement in der Funktion entspricht.

Definition. Die Funktion f(x), die im Punkt x0 nicht stetig ist, diskontinuierlich genannt an dieser Stelle.

Definition. Eine Funktion f(x) heißt stetig auf einer Menge X, wenn sie an jedem Punkt dieser Menge stetig ist.

Satz über die Stetigkeit einer Summe, eines Produkts, eines Quotienten

Satz über den Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer stetigen Funktion

Satz über die Stetigkeit der Superposition stetiger Funktionen

Die Funktion f(x) sei in einem Intervall definiert und in diesem Intervall monoton. Dann kann f(x) auf diesem Segment nur Unstetigkeitspunkte erster Art haben.

Zwischenwertsatz. Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist und an zwei Punkten a und b (a ist kleiner als b) ungleiche Werte annimmt A = f(a) ≠ B = f(b), dann für jede Zahl C zwischen A und B gibt es einen Punkt c ∈, an dem der Wert der Funktion gleich C ist: f(c) = C.

Satz über die Beschränktheit einer stetigen Funktion auf einem Intervall. Wenn eine Funktion f(x) auf einem Intervall stetig ist, dann ist sie auf dieses Intervall beschränkt.

Satz über das Erreichen von Minimal- und Maximalwerten. Wenn die Funktion f(x) in einem Intervall stetig ist, erreicht sie in diesem Intervall ihre untere und obere Grenze.

Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion. Die Funktion y=f(x) sei stetig und im Intervall [a,b] streng steigend (fallend). Dann gibt es auf dem Segment eine Umkehrfunktion x = g(y), ebenfalls monoton steigend (fallend) und stetig.

Betrachten wir zwei Funktionen, deren Diagramme in Abb. dargestellt sind. 1 und 2. Der Graph der ersten Funktion kann gezeichnet werden, ohne den Bleistift vom Papier zu nehmen. Diese Funktion kann als kontinuierlich bezeichnet werden. Es ist unmöglich, einen Graphen einer anderen Funktion wie diesen zu zeichnen. Sie besteht aus zwei kontinuierlichen Teilen und weist an einem Punkt eine Diskontinuität auf. Wir nennen die Funktion diskontinuierlich.

Eine solche visuelle Definition von Kontinuität kann in keiner Weise zur Mathematik passen, da sie völlig nichtmathematische Konzepte von „Bleistift“ und „Papier“ enthält. Die genaue mathematische Definition der Kontinuität wird auf der Grundlage des Grenzbegriffs gegeben und lautet wie folgt.

Eine Funktion sei auf einem Segment definiert und sei ein Punkt dieses Segments. Eine Funktion heißt an einem Punkt stetig, wenn die Werte der Funktion dazu tendieren (nur vom Segment aus betrachtet), d.h. Wenn

. (1)

Eine Funktion heißt auf einem Segment stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.

Wenn die Gleichung (1) an einem Punkt nicht erfüllt ist, heißt die Funktion an dem Punkt unstetig.

Wie wir sehen, wird mathematisch die Kontinuitätseigenschaft einer Funktion auf einem Segment durch die lokale Kontinuitätseigenschaft an einem Punkt bestimmt.

Der Wert wird als Inkrement des Arguments bezeichnet, die Differenz zwischen den Werten der Funktion wird als Inkrement der Funktion bezeichnet und mit bezeichnet. Offensichtlich tendiert das Inkrement, wie das Argument tendiert, gegen Null: .

Schreiben wir Gleichheit (1) in der äquivalenten Form um

.

Mit der eingeführten Notation lässt es sich wie folgt umschreiben:

Wenn die Funktion also stetig ist, tendiert das Inkrement der Funktion gegen Null, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert. Man sagt es auch anders: Ein kleiner Zuwachs im Argument entspricht einem kleinen Zuwachs in der Funktion. In Abb. Abbildung 3 zeigt einen Graphen einer an einem Punkt stetigen Funktion; das Inkrement entspricht dem Inkrement der Funktion. In Abb. 4 Inkrement entspricht einem solchen Inkrement der Funktion, das, egal wie klein es ist, nicht weniger als die Hälfte der Länge des Segments beträgt; Die Funktion ist im Punkt unstetig.

Unsere Vorstellung von einer stetigen Funktion als einer Funktion, deren Graph gezeichnet werden kann, ohne den Bleistift vom Papier zu nehmen, wird durch die Eigenschaften stetiger Funktionen, die in der mathematischen Analyse nachgewiesen wurden, perfekt bestätigt. Beachten wir zum Beispiel solche Eigenschaften.

1. Wenn eine auf einem Segment stetige Funktion an den Enden des Segments Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen annimmt, nimmt sie an einem Punkt dieses Segments einen Wert gleich Null an.

2. Eine auf dem Segment stetige Funktion nimmt alle Zwischenwerte zwischen den Werten an den Endpunkten an, d.h. zwischen und .

3. Wenn eine Funktion auf einem Abschnitt stetig ist, dann erreicht sie auf diesem Abschnitt ihren maximalen und ihren minimalen Wert, d. h. wenn der kleinste und a der größte Wert der Funktion auf dem Segment ist, dann gibt es auf diesem Segment Punkte und solche wie und.

Die geometrische Bedeutung der ersten dieser Aussagen ist völlig klar: Wenn eine kontinuierliche Kurve von einer Seite einer Achse zur anderen verläuft, dann schneidet sie diese Achse (Abb. 5). Eine unstetige Funktion hat diese Eigenschaft nicht, was durch den Graphen der Funktion in Abb. bestätigt wird. 2 sowie die Eigenschaften 2 und 3. In Abb. 2-Funktion nimmt keinen Wert an, obwohl er zwischen und eingeschlossen ist. In Abb. In Abb. 6 zeigt ein Beispiel einer unstetigen Funktion (Bruchteil einer Zahl), die ihren größten Wert nicht erreicht.

Addition, Subtraktion und Multiplikation stetiger Funktionen auf demselben Segment führen wiederum zu stetigen Funktionen. Bei der Division zweier stetiger Funktionen ist das Ergebnis eine stetige Funktion, wenn der Nenner überall ungleich Null ist.

Die Mathematik kam zum Konzept einer stetigen Funktion, indem sie zunächst verschiedene Bewegungsgesetze untersuchte. Raum und Zeit sind kontinuierlich, und die Abhängigkeit beispielsweise eines Weges von der Zeit, ausgedrückt durch ein Gesetz, ist ein Beispiel für eine kontinuierliche Funktion.

Kontinuierliche Funktionen werden zur Beschreibung von Zuständen und Prozessen in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen verwendet. Die Wissenschaften, die sie untersuchen – die Theorie der Elastizität, Hydrodynamik und Aerodynamik – sind unter einem Namen vereint – „Kontinuumsmechanik“.

1. Einleitung.

2. Bestimmung der Stetigkeit einer Funktion.

3. Klassifizierung von Haltepunkten

4. Eigenschaften stetiger Funktionen.

5. Die wirtschaftliche Bedeutung von Kontinuität.

6. Fazit.

10.1. Einführung

Immer wenn wir die unvermeidlichen Veränderungen in der Welt um uns herum im Laufe der Zeit bewerten, versuchen wir, die laufenden Prozesse zu analysieren, um ihre wichtigsten Merkmale hervorzuheben. Eine der ersten Fragen, die sich auf diesem Weg stellen, ist: Wie es treten Veränderungen auf, die für dieses Phänomen charakteristisch sind - ständig oder diskret, d.h. krampfhaft. Fällt der Wechselkurs ab oder bricht er gleichmäßig zusammen, gibt es eine allmähliche Entwicklung oder einen revolutionären Sprung? Um qualitative und quantitative Einschätzungen des Geschehens zu vereinheitlichen, sollte man vom spezifischen Inhalt abstrahieren und das Problem im Hinblick auf die funktionale Abhängigkeit untersuchen. Dies kann durch die Grenzwerttheorie erfolgen, die wir in der letzten Vorlesung besprochen haben.

10.2. Definition der Stetigkeit einer Funktion

Die Stetigkeit einer Funktion hängt intuitiv mit der Tatsache zusammen, dass ihr Graph eine kontinuierliche Kurve ist, die nirgendwo bricht. Wir zeichnen einen Graphen einer solchen Funktion, ohne den Stift vom Papier zu nehmen. Wenn eine Funktion in einer Tabelle angegeben ist, kann ihre Kontinuität streng genommen nicht beurteilt werden, da für einen bestimmten Tabellenschritt das Verhalten der Funktion in Intervallen nicht definiert ist.

In der Realität tritt mit Kontinuität der folgende Umstand ein: wenn die Parameter, die die Situation charakterisieren Ein wenig dann ändern Ein wenig die Situation wird sich ändern. Wichtig ist hier nicht, dass sich die Situation ändert, sondern dass sie sich „ein wenig“ ändert.

Formulieren wir den Begriff der Kontinuität in der Sprache der Inkremente. Lassen Sie ein Phänomen durch eine Funktion und einen Punkt beschreiben A gehört zum Definitionsbereich der Funktion. Der Unterschied heißt Argumentinkrement am Punkt A, Unterschied - Funktionsinkrement am Punkt A.

Definition 10.1.Funktion kontinuierlich an einem Punkt a, wenn es an dieser Stelle definiert ist und ein infinitesimales Inkrement im Argument einem infinitesimalen Inkrement in der Funktion entspricht:

Beispiel 10.1. Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion an dem Punkt.

Lösung. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen und die Inkremente D darauf markieren X und D j(Abb. 10.1).

Die Grafik zeigt, dass das Inkrement D umso kleiner ist X, desto weniger D j. Lassen Sie uns dies analytisch zeigen. Das Inkrement des Arguments ist gleich, dann ist das Inkrement der Funktion an dieser Stelle gleich

Daraus ist klar, dass wenn, dann und:

.

Lassen Sie uns die Stetigkeit einer Funktion noch einmal definieren.

Definition 10.2.Die Funktion wird aufgerufen kontinuierlich an Punkt a wenn:

1) es ist am Punkt a und einigen seiner Umgebungen definiert;

2) einseitige Grenzen existieren und einander gleich sind:

;

3) Grenze der Funktion bei x® a ist an dieser Stelle gleich dem Wert der Funktion:

.

Wenn mindestens eine dieser Bedingungen verletzt ist, wird die Funktion als durchlaufen bezeichnet Lücke.

Diese Definition dient zur Herstellung der Kontinuität an einem Punkt. Wenn wir seinem Algorithmus folgen und die Übereinstimmungen und Diskrepanzen zwischen den Anforderungen der Definition und einem konkreten Beispiel beachten, können wir schlussfolgern, dass die Funktion an einem Punkt stetig ist.

In Definition 2 kommt die Idee der Nähe deutlich zum Vorschein, als wir das Konzept der Grenze eingeführt haben. Mit einer unbegrenzten Annäherung an das Argument X auf den Grenzwert A, kontinuierlich an einem Punkt A Funktion F(X) kommt dem Grenzwert beliebig nahe F(A).

10.3. Klassifizierung von Bruchstellen

Die Punkte, an denen die Kontinuitätsbedingungen einer Funktion verletzt werden, werden aufgerufen Bruchstellen diese Funktion. Wenn X 0 ist der Bruchpunkt der Funktion; mindestens eine der Bedingungen für die Kontinuität der Funktion ist nicht erfüllt. Betrachten Sie das folgende Beispiel.

1. Die Funktion wird in einer bestimmten Umgebung des Punktes definiert A, aber nicht an der Stelle selbst definiert A. Beispielsweise ist die Funktion am Punkt nicht definiert A=2, erfährt daher eine Diskontinuität (siehe Abb. 10.2).

Reis. 10.2 Abb. 10.3

2. Die Funktion ist an einem Punkt definiert A und in einigen seiner Umgebungen existieren seine einseitigen Grenzen, sind aber einander nicht gleich: , dann erfährt die Funktion eine Diskontinuität. Zum Beispiel die Funktion

ist am Punkt definiert, erfährt aber an der Funktion eine Diskontinuität (siehe Abb. 10.3), weil

Und ().

3. Die Funktion ist an einem Punkt definiert A und in einer Umgebung davon gibt es eine Grenze der Funktion bei , aber diese Grenze ist nicht gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt A:

.

Zum Beispiel die Funktion (siehe Abb. 10.4)

Hier ist der Bruchpunkt:

,

Alle Unstetigkeitsstellen werden in entfernbare Unstetigkeitsstellen, Unstetigkeitsstellen erster und zweiter Art, unterteilt.

Definition 10.1. Der Bruchpunkt wird Punkt genannt reparierbare Lücke , wenn es an dieser Stelle links und rechts endliche Grenzen der Funktion gibt, die einander gleich sind:

.

Der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert, ist jedoch nicht gleich dem Wert der Funktion am Grenzpunkt (wenn die Funktion am Grenzpunkt definiert ist) oder die Funktion am Grenzpunkt ist nicht definiert.

In Abb. 10.4 An der Stelle werden die Kontinuitätsbedingungen verletzt und die Funktion weist eine Diskontinuität auf. Punkt im Diagramm (0; 1) ausgehöhlt. Diese Lücke lässt sich jedoch leicht schließen – es reicht aus, diese Funktion neu zu definieren und sie an dieser Stelle auf ihren Grenzwert zu setzen, d.h. setzen . Daher werden solche Lücken als entfernbar bezeichnet.

Definition 10.2. Die Sollbruchstelle heißt Unstetigkeitsstelle 1. Art , wenn an dieser Stelle links und rechts endliche Grenzen der Funktion existieren, diese aber einander nicht gleich sind:

.

An diesem Punkt soll die Funktion erfahren sein Sprung.

In Abb. 10.3 Die Funktion weist im Punkt eine Unstetigkeit 1. Art auf. Die linken und rechten Grenzen sind an dieser Stelle gleich:

Und .

Der Sprung der Funktion am Unstetigkeitspunkt ist gleich.

Es ist unmöglich, eine solche Funktion als stetig zu definieren. Der Graph besteht aus zwei durch einen Sprung getrennten Halblinien.

Definition 10.3. Die Sollbruchstelle heißt Unstetigkeitsstelle 2. Art , wenn mindestens einer der einseitigen Grenzen der Funktion (links oder rechts) nicht existiert oder gleich unendlich ist.

In Abbildung 10.3 weist die Funktion an einem Punkt eine Unstetigkeit 2. Art auf. Die betrachtete Funktion at ist unendlich groß und hat weder rechts noch links einen endlichen Grenzwert. Daher besteht an dieser Stelle keine Notwendigkeit, von Kontinuität zu sprechen.

Beispiel 10.2. Erstellen Sie ein Diagramm und bestimmen Sie die Art der Bruchpunkte:

Lösung. Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen F(X) (Abbildung 10.5).

Die Abbildung zeigt, dass die ursprüngliche Funktion drei Diskontinuitätspunkte hat: , X 2 = 1,
X 3 = 3. Betrachten wir sie der Reihe nach.

Deshalb hat der Punkt Bruch der 2. Art.

a) Die Funktion ist an dieser Stelle definiert: F(1) = –1.

B) , ,

diese. am Punkt X 2 = 1 verfügbar reparierbare Lücke. Durch Neudefinition des Funktionswerts an dieser Stelle: F(1) = 5, die Diskontinuität wird beseitigt und die Funktion an diesem Punkt wird stetig.

a) Die Funktion ist an dieser Stelle definiert: F(3) = 1.

Also, auf den Punkt gebracht X 1 = 3 verfügbar Bruch der 1. Art. Die Funktion erfährt an dieser Stelle einen Sprung gleich D j= –2–1 = –3.

10.4. Eigenschaften stetiger Funktionen

Unter Berücksichtigung der entsprechenden Eigenschaften von Grenzwerten kommen wir zu dem Schluss, dass auch Funktionen, die das Ergebnis arithmetischer Operationen an am selben Punkt stetigen Funktionen sind, stetig sind. Notiz:

1) wenn die Funktionen und im Punkt stetig sind A, dann sind die Funktionen , und (sofern ) an dieser Stelle ebenfalls stetig;

2) wenn die Funktion im Punkt stetig ist A und die Funktion im Punkt stetig ist, dann ist die komplexe Funktion im Punkt stetig A Und

,

diese. Das Grenzwertzeichen kann unter das Vorzeichen einer stetigen Funktion gestellt werden.

Sie sagen, dass Eine Funktion ist auf einer Menge stetig, wenn sie an jedem Punkt dieser Menge stetig ist. Der Graph einer solchen Funktion ist eine durchgehende Linie, die mit einem Federstrich durchgestrichen werden kann.

Alle großen Elementarfunktionen sind an allen Stellen, an denen sie definiert sind, stetig.

Funktionen, kontinuierlich auf dem Segment haben eine Reihe wichtiger charakteristischer Eigenschaften. Lassen Sie uns Sätze formulieren, die einige dieser Eigenschaften ausdrücken.

Satz 10.1 (Satz von Weierstrass ). Wenn eine Funktion auf einem Segment stetig ist, erreicht sie auf diesem Segment ihre minimalen und maximalen Werte.

Satz 10.2 (Satz von Cauchy ). Wenn eine Funktion in einem Intervall stetig ist, dann liegen in diesem Intervall alle Zwischenwerte zwischen dem kleinsten und dem größten Wert.

Aus dem Satz von Cauchy folgt die folgende wichtige Eigenschaft.

Satz 10.3. Wenn eine Funktion auf einem Segment stetig ist und an den Enden des Segments Werte unterschiedlichen Vorzeichens annimmt, dann gibt es zwischen a und b einen Punkt c, an dem die Funktion verschwindet:.

Die geometrische Bedeutung dieses Theorems liegt auf der Hand: Wenn der Graph einer stetigen Funktion von der unteren Halbebene zur oberen Halbebene (oder umgekehrt) verläuft, dann schneidet er zumindest an einem Punkt die Achse Ochse(Abb. 10.6).

Beispiel 10.3. Berechnen Sie ungefähr die Wurzel der Gleichung

, (d. h. ungefähr ersetzen) Polynom des entsprechenden Grades.

Dies ist eine für die Praxis sehr wichtige Eigenschaft kontinuierlicher Funktionen. Stetige Funktionen werden beispielsweise sehr oft durch Tabellen (Beobachtungs- oder experimentelle Daten) spezifiziert. Dann können Sie mit einer Methode die tabellarische Funktion durch ein Polynom ersetzen. Gemäß Satz 10.3 kann dies immer mit ausreichend hoher Genauigkeit erfolgen. Das Arbeiten mit einer analytisch definierten Funktion (insbesondere einem Polynom) ist viel einfacher.

10.5. Ökonomische Bedeutung von Kontinuität

Die meisten in der Volkswirtschaftslehre verwendeten Funktionen sind kontinuierlich, und dies ermöglicht es, recht aussagekräftige Aussagen zum ökonomischen Inhalt zu treffen.

Betrachten Sie zur Veranschaulichung das folgende Beispiel.

Steuersatz N hat ungefähr die gleiche Grafik wie in Abb. 10.7a.

An den Enden der Intervalle ist es diskontinuierlich und diese Diskontinuitäten sind von der 1. Art. Allerdings ist die Höhe der Einkommensteuer selbst P(Abb. 10.7b) ist eine kontinuierliche Funktion des Jahreseinkommens Q. Daraus folgt insbesondere, dass sich, wenn sich die Jahreseinkommen zweier Personen nur unwesentlich unterscheiden, auch die Differenz der zu zahlenden Einkommensteuerbeträge unwesentlich unterscheiden muss. Interessant ist, dass der Umstand von der überwiegenden Mehrheit der Menschen als völlig natürlich wahrgenommen wird, worüber sie nicht einmal nachdenken.

10.6. Abschluss

Gönnen wir uns zum Schluss einen kleinen Rückzug.

So lässt sich die traurige Beobachtung der Alten anschaulich ausdrücken:

Sic transit Gloria mundi...

(So vergeht die irdische Herrlichkeit …)

Feierabend -

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Funktionsbegriff

Das Konzept der Funktion.. alles fließt und alles verändert sich Heraklit.. Tabelle x x x x y y y y..

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