Beispiellösungen für Potenzfunktionen. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Graph Demonstrationsmaterial Unterrichtsvorlesung Funktionsbegriff. Funktionseigenschaften. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Graph

). Für echte Basiswerte X und Indikator A in der Regel werden nur die realen Werte des S. f. berücksichtigt. xa. Es gibt sie, zumindest für alle x > 0; Wenn A - rationale Zahl mit ungeradem Nenner, dann existieren sie auch für alle x 0; wenn der Nenner eine rationale Zahl ist A sogar, oder wenn irrational, dann xa hat in keiner Weise eine wirkliche Bedeutung x 0. Wann x = 0-Power-Funktion xa für alle gleich Null A> 0 und wann nicht definiert eine 0; 0° hat keine spezifische Bedeutung. S. f. (im realen Bereich) ist eindeutig, außer in den Fällen, in denen A - eine rationale Zahl, dargestellt durch einen irreduziblen Bruch mit geradem Nenner: In diesen Fällen ist sie zweistellig und ihre Werte gelten für denselben Wert des Arguments X> 0 sind im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt. Normalerweise wird dann nur der nichtnegative oder arithmetische Wert des Sf berücksichtigt. Für X> 0 S. f. - erhöhen, wenn A> 0 und abnehmend, wenn A x = 0, bei 0 a xa)" = Axt a-1 . Weiter,

Funktionen des Formulars y = cx a, Wo Mit- konstanter Koeffizient, spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik und ihren Anwendungen; bei A= 1 diese Funktionen drücken direkte Proportionalität aus (ihre Graphen sind Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, siehe Abb. 1), bei a =-1 – umgekehrte Proportionalität (Graphen sind gleichseitige Hyperbeln mit einem Zentrum im Ursprung und Koordinatenachsen als Asymptoten, siehe Abb. 2). Viele Gesetze der Physik werden mathematisch durch Funktionen der Form ausgedrückt y = cx a(siehe Abb. 3); Zum Beispiel, y = cx 2 drückt das Gesetz der gleichmäßig beschleunigten oder gleichmäßig verzögerten Bewegung aus ( y - Weg, X - Zeit, 2 C- Beschleunigung; Anfangsweg und Geschwindigkeit sind Null).

Im komplexen Bereich von S. f. z a ist für alle definiert z≠ 0 nach der Formel:

Wo k= 0, ± 1, ± 2,.... Wenn A - ganz, dann S. f. z a ist eindeutig:

Wenn A - rational (a = p/q, Wo R Und Q sind relativ einfach), dann ist der S. f. z a akzeptiert Q unterschiedliche Bedeutungen:

wobei ε k = - Wurzeln des Grades Q aus der Einheit: k = 0, 1, …, q - 1. Wenn A - irrational, dann S. f. z a - unendlich: Multiplikator ε α2κ π ι akzeptiert für verschiedene k unterschiedliche Bedeutungen. Für komplexe Werte von a gilt der S. f. z a wird durch die gleiche Formel (*) bestimmt. Zum Beispiel,

also insbesondere k = 0, ± 1, ± 2,....

Unter der Hauptbedeutung ( z a) 0 S. f. seine Bedeutung wird verstanden k = 0 wenn -πz ≤ π (oder 0 ≤ arg z z a) = |z a|e ia arg z, (ich) 0 =e -π/2 usw.

Groß Sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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1. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Graph;

2. Transformationen:

Parallelübertragung;

Symmetrie um Koordinatenachsen;

Symmetrie über den Ursprung;

Symmetrie um die Gerade y = x;

Dehnung und Stauchung entlang der Koordinatenachsen.

3. Exponentialfunktion, ihre Eigenschaften und Graph, ähnliche Transformationen;

4. Logarithmische Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Diagramm;

5. Trigonometrische Funktion, ihre Eigenschaften und Graph, ähnliche Transformationen (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Funktion: y = x\n – seine Eigenschaften und sein Diagramm.

Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Graph

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x usw. Alle diese Funktionen sind Spezialfälle der Potenzfunktion, also der Funktion y = xp, wobei p eine gegebene reelle Zahl ist.
Die Eigenschaften und der Graph einer Potenzfunktion hängen maßgeblich von den Eigenschaften einer Potenz mit reellem Exponenten und insbesondere von deren Werten ab X Und P Abschluss macht Sinn xp. Fahren wir mit einer ähnlichen Betrachtung verschiedener Fälle fort, je nachdem
Exponent P.

1. Index p = 2n- eine gerade natürliche Zahl.

y = x2n, Wo N- eine natürliche Zahl, hat folgende Eigenschaften:

• Definitionsbereich – alle reellen Zahlen, also die Menge R;
• Wertemenge – nicht negative Zahlen, d. h. y ist größer oder gleich 0;
• Funktion y = x2n sogar, weil x 2n = (-x) 2n
• Die Funktion nimmt im Intervall ab X< 0 und im Intervall zunehmend x > 0.

Graph einer Funktion y = x2n hat die gleiche Form wie beispielsweise der Graph einer Funktion y = x 4.

2. Indikator p = 2n - 1- ungerade natürliche Zahl

In diesem Fall die Potenzfunktion y = x2n-1, wobei eine natürliche Zahl ist, hat die folgenden Eigenschaften:

• Definitionsbereich - Menge R;
• Wertemenge - Menge R;
• Funktion y = x2n-1 seltsam, weil (- x) 2n-1= x2n-1;
• die Funktion nimmt auf der gesamten reellen Achse zu.

Graph einer Funktion y = x2n-1 y = x 3.

3. Indikator p = -2n, Wo N- natürliche Zahl.

In diesem Fall die Potenzfunktion y = x -2n = 1/x 2n hat die folgenden Eigenschaften:

• Wertemenge - positive Zahlen y>0;
• Funktion y = 1/x 2n sogar, weil 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• Die Funktion wächst im Intervall x0.

Graph der Funktion y = 1/x 2n hat die gleiche Form wie beispielsweise der Graph der Funktion y = 1/x 2.

4. Indikator p = -(2n-1), Wo N- natürliche Zahl.
In diesem Fall die Potenzfunktion y = x -(2n-1) hat die folgenden Eigenschaften:

• Definitionsbereich - Menge R, außer x = 0;
• Wertemenge – Menge R, außer y = 0;
• Funktion y = x -(2n-1) seltsam, weil (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
• Die Funktion nimmt in Intervallen ab X< 0 Und x > 0.

Graph einer Funktion y = x -(2n-1) hat die gleiche Form wie beispielsweise der Graph einer Funktion y = 1/x 3.

Zur Vereinfachung der Betrachtung einer Potenzfunktion betrachten wir vier separate Fälle: eine Potenzfunktion mit einem natürlichen Exponenten, eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten, eine Potenzfunktion mit rationaler Indikator und eine Potenzfunktion mit einem irrationalen Exponenten.

Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten

Lassen Sie uns zunächst das Konzept eines Grades mit einem natürlichen Exponenten einführen.

Definition 1

Die Potenz einer reellen Zahl $a$ mit natürlichem Exponenten $n$ ist eine Zahl, die dem Produkt von $n$ Faktoren entspricht, von denen jeder der Zahl $a$ entspricht.

Bild 1.

$a$ ist die Basis des Abschlusses.

$n$ ist der Exponent.

Betrachten wir nun eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten, ihre Eigenschaften und ihren Graphen.

Definition 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ heißt Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten.

Zur weiteren Vereinfachung betrachten wir getrennt eine Potenzfunktion mit einem geraden Exponenten $f\left(x\right)=x^(2n)$ und eine Potenzfunktion mit einem ungeraden Exponenten $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem natürlichen geraden Exponenten

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ – die Funktion ist gerade.

Wertebereich – $\

Die Funktion nimmt mit $x\in (-\infty ,0)$ ab und steigt mit $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

Die Funktion ist über den gesamten Definitionsbereich konvex.

Verhalten an den Enden der Domäne:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Diagramm (Abb. 2).

Abbildung 2. Diagramm der Funktion $f\left(x\right)=x^(2n)$

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem natürlichen ungeraden Exponenten

Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ – die Funktion ist ungerade.

$f(x)$ ist über den gesamten Definitionsbereich stetig.

Der Bereich besteht ausschließlich aus reellen Zahlen.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu.

$f\left(x\right)0$, für $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Die Funktion ist konkav für $x\in (-\infty ,0)$ und konvex für $x\in (0,+\infty)$.

Diagramm (Abb. 3).

Abbildung 3. Diagramm der Funktion $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Lassen Sie uns zunächst das Konzept eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten einführen.

Definition 3

Die Potenz einer reellen Zahl $a$ mit ganzzahligem Exponenten $n$ wird durch die Formel bestimmt:

Figur 4.

Betrachten wir nun eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten, ihre Eigenschaften und ihren Graphen.

Definition 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ wird als Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten bezeichnet.

Ist der Grad größer als Null, dann handelt es sich um eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten. Wir haben es oben bereits besprochen. Für $n=0$ erhalten wir lineare Funktion$y=1$. Wir überlassen die Betrachtung dem Leser. Es bleiben noch die Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten zu betrachten

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten

Der Definitionsbereich ist $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ist der Exponent gerade, dann ist die Funktion gerade; ist er ungerade, dann ist die Funktion ungerade.

$f(x)$ ist über den gesamten Definitionsbereich stetig.

Umfang:

Wenn der Exponent gerade ist, dann $(0,+\infty)$; wenn er ungerade ist, dann $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Für einen ungeraden Exponenten nimmt die Funktion als $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ab. Wenn der Exponent gerade ist, nimmt die Funktion als $x\in (0,+\infty)$ ab. und wächst als $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ über den gesamten Definitionsbereich

Erinnern wir uns an die Eigenschaften und Graphen von Potenzfunktionen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten.

Für gerades n:

Beispielfunktion:

Alle Graphen solcher Funktionen durchlaufen zwei Fixpunkte: (1;1), (-1;1). Die Besonderheit dieser Art von Funktionen ist ihre Parität; die Diagramme sind symmetrisch zur Operationsverstärkerachse.

Reis. 1. Graph einer Funktion

Für ungerades n:

Beispielfunktion:

Alle Graphen solcher Funktionen durchlaufen zwei Fixpunkte: (1;1), (-1;-1). Die Besonderheit solcher Funktionen besteht darin, dass sie ungerade sind; die Graphen sind symmetrisch zum Ursprung.

Reis. 2. Graph einer Funktion

Erinnern wir uns an die grundlegende Definition.

Die Potenz einer nichtnegativen Zahl a mit einem rationalen positiven Exponenten wird Zahl genannt.

Die Potenz einer positiven Zahl a mit einem rationalen negativen Exponenten wird Zahl genannt.

Für die Gleichheit:

Zum Beispiel: ; - Der Ausdruck existiert per Definition nicht mit einem negativen rationalen Exponenten; existiert, weil der Exponent eine ganze Zahl ist,

Kommen wir nun zur Betrachtung von Potenzfunktionen mit einem rationalen negativen Exponenten.

Zum Beispiel:

Um einen Graphen dieser Funktion darzustellen, können Sie eine Tabelle erstellen. Wir machen es anders: Zuerst erstellen und studieren wir den Graphen des Nenners – er ist uns bekannt (Abbildung 3).

Reis. 3. Graph einer Funktion

Der Graph der Nennerfunktion verläuft durch einen Fixpunkt (1;1). Beim Zeichnen der Originalfunktion angegebenen Punkt bleibt, wenn auch die Wurzel gegen Null geht, strebt die Funktion gegen Unendlich. Und umgekehrt: Wenn x gegen Unendlich geht, tendiert die Funktion gegen Null (Abbildung 4).

Reis. 4. Funktionsgraph

Betrachten wir eine weitere Funktion aus der untersuchten Funktionsfamilie.

Es ist per Definition wichtig

Betrachten wir den Graphen der Funktion im Nenner: Der Graph dieser Funktion ist uns bekannt, er wächst in seinem Definitionsbereich und geht durch den Punkt (1;1) (Abbildung 5).

Reis. 5. Graph einer Funktion

Beim Zeichnen des Graphen der ursprünglichen Funktion bleibt der Punkt (1;1) erhalten, während die Wurzel ebenfalls gegen Null tendiert, die Funktion tendiert gegen Unendlich. Und umgekehrt: Wenn x gegen Unendlich geht, tendiert die Funktion gegen Null (Abbildung 6).

Reis. 6. Graph einer Funktion

Die betrachteten Beispiele helfen zu verstehen, wie der Graph verläuft und welche Eigenschaften die untersuchte Funktion hat – eine Funktion mit einem negativen rationalen Exponenten.

Die Funktionsgraphen dieser Familie gehen durch den Punkt (1;1), die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab.

Funktionsumfang:

Die Funktion wird nicht von oben begrenzt, sondern von unten. Die Funktion hat weder den größten noch den kleinsten Wert.

Die Funktion ist stetig und nimmt alle positiven Werte von Null bis plus Unendlich an.

Die Funktion ist nach unten konvex (Abbildung 15.7)

Auf der Kurve werden die Punkte A und B genommen, durch sie wird ein Segment gezogen, die gesamte Kurve liegt unterhalb des Segments, diese Bedingung ist für zwei beliebige Punkte auf der Kurve erfüllt, daher ist die Funktion nach unten konvex. Reis. 7.

Reis. 7. Konvexität der Funktion

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Funktionen dieser Familie nach unten durch Null begrenzt sind, aber nicht den kleinsten Wert haben.

Beispiel 1 – Finden Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion in einem Intervall und nehmen Sie im Intervall zu.)