Videolektion „Abschluss mit rationaler Indikator»enthält visuelles Lehrmaterial für die Durchführung einer Unterrichtsstunde zu diesem Thema. Das Video-Tutorial enthält Informationen zum Konzept eines Abschlusses mit rationalem Exponenten, zu den Eigenschaften solcher Abschlüsse sowie Beispiele, die den Einsatz von Lehrmaterial zur Lösung praktischer Probleme beschreiben. Die Aufgabe dieser Videolektion besteht darin, das Lehrmaterial visuell und anschaulich darzustellen, den Schülern dessen Entwicklung und Auswendiglernen zu erleichtern und die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mithilfe der erlernten Konzepte zu lösen.

Die Hauptvorteile der Videolektion sind die Möglichkeit, visuelle Transformationen und Berechnungen durchzuführen sowie Animationseffekte zu verwenden, um die Lerneffizienz zu verbessern. Die Sprachbegleitung trägt zur Entwicklung einer korrekten mathematischen Sprache bei und ermöglicht es außerdem, die Erklärungen des Lehrers zu ersetzen und ihm so Freiräume für die individuelle Arbeit zu geben.

Das Video-Tutorial beginnt mit einer Einführung in das Thema. Wenn man das Studium eines neuen Themas mit zuvor untersuchtem Material verknüpft, empfiehlt es sich, sich daran zu erinnern, dass n √a ansonsten mit a 1/n für natürliches n und positives a bezeichnet wird. Diese Darstellung der n-Wurzel wird auf dem Bildschirm angezeigt. Darüber hinaus wird vorgeschlagen, zu überlegen, was der Ausdruck a m ​​/ n bedeutet, wobei a eine positive Zahl und m / n ein Bruchteil ist. Die Definition des im Kasten hervorgehobenen Grades wird mit einem rationalen Exponenten als a m/n = n √ a m angegeben. Es wird darauf hingewiesen, dass n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl sein kann.

Nachdem der Grad mit einem rationalen Exponenten bestimmt wurde, wird seine Bedeutung anhand von Beispielen offenbart: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Es wird auch ein Beispiel gezeigt, bei dem eine durch eine Dezimalzahl dargestellte Potenz in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt wird, der als Wurzel dargestellt wird: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 und ein Beispiel aus negativer Wert Grad: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Separat wird ein Merkmal eines bestimmten Falls angezeigt, wenn die Basis des Grades Null ist. Es ist zu beachten, dass dieser Grad nur bei einem positiven gebrochenen Exponenten sinnvoll ist. In diesem Fall ist sein Wert gleich Null: 0 m/n =0.

Ein weiteres Merkmal des Grades mit einem rationalen Exponenten ist, dass der Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht mit einem gebrochenen Exponenten betrachtet werden kann. Beispiele für eine falsche Notation des Grades sind: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Im weiteren Verlauf der Videolektion werden die Eigenschaften eines Grades mit rationalem Exponenten betrachtet. Es ist zu beachten, dass die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten auch für einen Grad mit einem rationalen Exponenten gelten. Es wird vorgeschlagen, eine Liste von Eigenschaften abzurufen, die auch in gültig sind dieser Fall:

1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen werden ihre Indikatoren addiert: a p a q \u003d a p + q.
2. Die Division von Graden mit gleichen Basen wird auf einen Grad mit einer gegebenen Basis und der Differenz in den Exponenten reduziert: a p:a q =a p-q .
3. Wenn wir die Potenz auf eine bestimmte Potenz erhöhen, erhalten wir als Ergebnis die Potenz mit der gegebenen Basis und dem Produkt der Exponenten: (a p) q =a pq .

Alle diese Eigenschaften gelten für Potenzen mit rationalen Exponenten p, q und positiver Basis a>0. Auch Gradtransformationen bleiben beim Öffnen von Klammern erhalten:

1. (ab) p =a p b p – die Potenzierung eines Produkts zweier Zahlen mit einem rationalen Exponenten wird auf ein Produkt von Zahlen reduziert, die jeweils auf eine bestimmte Potenz gesteigert werden.
2. (a/b) p =a p /b p – Potenzierung mit einem rationalen Exponenten eines Bruchs wird auf einen Bruch reduziert, dessen Zähler und Nenner mit der gegebenen Potenz erhöht werden.

Das Video-Tutorial diskutiert die Lösung von Beispielen, die die betrachteten Eigenschaften von Graden mit einem rationalen Exponenten verwenden. Im ersten Beispiel wird vorgeschlagen, den Wert eines Ausdrucks zu ermitteln, der die Variablen x in einer gebrochenen Potenz enthält: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Trotz der Komplexität des Ausdrucks lässt er sich mithilfe der Gradeigenschaften ganz einfach lösen. Die Lösung der Aufgabe beginnt mit einer Vereinfachung des Ausdrucks, die die Regel nutzt, einen Grad mit einem rationalen Exponenten zu potenzieren, sowie Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren. Nachdem man den gegebenen Wert x=8 in den vereinfachten Ausdruck x 1/3 +48 eingesetzt hat, erhält man leicht den Wert - 50.

Im zweiten Beispiel gilt es, einen Bruch zu reduzieren, dessen Zähler und Nenner Potenzen mit einem rationalen Exponenten enthalten. Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades wählen wir den Faktor x 1/3 aus der Differenz aus, der dann im Zähler und Nenner reduziert wird, und unter Verwendung der Quadratdifferenzformel wird der Zähler in Faktoren zerlegt, was zu weiteren Reduzierungen des Grades führt gleiche Faktoren im Zähler und Nenner. Das Ergebnis solcher Transformationen ist ein kurzer Bruch x 1/4 +3.

Anstelle der Erläuterung des neuen Unterrichtsthemas durch den Lehrer kann die Videolektion „Abschluss mit rationalem Indikator“ verwendet werden. Dieses Handbuch enthält auch volle Information für das studentische Selbststudium. Das Material kann im Fernunterricht nützlich sein.

Grad mit rationalem Exponenten

Khasyanova T.G.,

Mathematiklehrer

Das präsentierte Material wird für Mathematiklehrer beim Studium des Themas „Abschluss mit einem rationalen Indikator“ nützlich sein.

Der Zweck des präsentierten Materials: Offenlegung meiner Erfahrungen bei der Durchführung einer Unterrichtsstunde zum Thema „Abschluss mit einem rationalen Indikator“ Arbeitsprogramm Disziplin "Mathematik".

Die Methodik des Unterrichts entspricht seiner Art – einem Unterricht zum Studium und zur primären Festigung neuen Wissens. Die Grundkenntnisse und Fertigkeiten wurden auf Basis der zuvor gesammelten Erfahrungen aktualisiert; primäres Auswendiglernen, Konsolidieren und Anwenden neuer Informationen. Die Festigung und Anwendung des neuen Materials erfolgte in Form der Lösung von Problemen unterschiedlicher Komplexität, die ich getestet habe, was zu einem positiven Ergebnis bei der Beherrschung des Themas führte.

Zu Beginn des Unterrichts setze ich den Schülern folgende Ziele: Bildung, Entwicklung, Bildung. Im Unterricht habe ich verwendet verschiedene Wege Aktivitäten: frontal, individuell, Dampfbad, unabhängig, Test. Die Aufgaben waren differenziert und ermöglichten es, in jeder Unterrichtsphase den Grad der Wissensaneignung zu erkennen. Umfang und Komplexität der Aufgaben entsprechen den Altersmerkmalen der Studierenden. Meiner Erfahrung nach - Hausaufgaben, ähnlich den im Unterricht gelösten Aufgaben, ermöglicht es Ihnen, die erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten sicher zu festigen. Am Ende der Unterrichtsstunde wurde eine Reflexion durchgeführt und die Arbeit der einzelnen Schüler bewertet.

Die Ziele wurden erreicht. Die Studierenden untersuchten das Konzept und die Eigenschaften eines Abschlusses mit einem rationalen Exponenten und lernten, diese Eigenschaften zur Lösung praktischer Probleme zu nutzen. Hinter unabhängige Arbeit Die Noten werden in der nächsten Unterrichtsstunde bekannt gegeben.

Ich glaube, dass die von mir zur Durchführung des Mathematikunterrichts verwendete Methodik von Mathematiklehrern angewendet werden kann.

Unterrichtsthema: Abschluss mit einem rationalen Indikator

Der Zweck der Lektion:

Ermittlung des Niveaus der Beherrschung eines Komplexes von Kenntnissen und Fähigkeiten durch Studierende und darauf aufbauend deren Anwendung bestimmte Entscheidungen den Bildungsprozess zu verbessern.

Lernziele:

Anleitungen: bei den Studierenden neues Wissen über grundlegende Konzepte, Regeln, Gesetze zur Bestimmung des Abschlusses mit einem rationalen Indikator zu bilden, die Fähigkeit, Wissen unter Standardbedingungen, unter veränderten und nicht standardmäßigen Bedingungen selbstständig anzuwenden;

Entwicklung: logisch denken und kreative Fähigkeiten verwirklichen;

Pädagogen: Interesse an Mathematik wecken, Wortschatz mit neuen Begriffen auffüllen, bekommen Weitere Informationenüber die Welt um uns herum. Kultivieren Sie Geduld, Ausdauer und die Fähigkeit, Schwierigkeiten zu überwinden.

Zeit organisieren

Aktualisierung des Grundwissens

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert und die Basis bleibt gleich:

Zum Beispiel,

2. Beim Teilen von Potenzen mit gleichen Basen werden die Exponenten subtrahiert und die Basis bleibt gleich:

Zum Beispiel,

3. Bei der Potenzierung eines Grades werden die Exponenten multipliziert und die Basis bleibt gleich:

Zum Beispiel,

4. Der Grad des Produkts ist gleich dem Produkt der Potenzen der Faktoren:

Zum Beispiel,

5. Der Grad des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Potenzen von Dividende und Divisor:

Zum Beispiel,

Lösungsübungen

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Lösung:

In diesem Fall kann keine der Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten explizit angewendet werden, da dies bei allen Graden der Fall ist verschiedene Gründe. Schreiben wir einige Abschlüsse in einer anderen Form:

(Der Grad des Produkts ist gleich dem Produkt der Faktorgrade);

(Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert und die Basis bleibt gleich; bei der Potenzierung eines Grades werden die Exponenten multipliziert, aber die Basis bleibt gleich.)

Dann erhalten wir:

IN dieses Beispiel Es wurden die ersten vier Eigenschaften des Grades mit natürlichem Exponenten verwendet.

Arithmetische Quadratwurzel
ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat istA,
. Bei
- Ausdruck
nicht definiert, weil Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich einer negativen Zahl istA.

Mathematische Diktate(8-10 Min.)

Möglichkeit

II. Möglichkeit

1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks

A)

B)

1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks

A)

B)

2. Berechnen

A)

B)

IN)

2. Berechnen

A)

B)

V)

Selbsttest(auf dem Reversbrett):

Antwortmatrix:

№ Option/Aufgabe

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Variante 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

B)

V)

Option 2

a) 1.5

B)

A)

B)

um 4

II. Bildung neuen Wissens

Betrachten Sie die Bedeutung des Ausdrucks wo - positive Zahl– Bruchzahl und m-Ganzzahl, n-natürlich (n>1)

Definition: Grad der Zahl a›0 mit rationalem ExponentenR = , M-ganz, N- natürlich ( N›1) eine Nummer wird angerufen.

So:

Zum Beispiel:

Anmerkungen:

1. Für jedes positive a und jedes rationale r die Zahl positiv.

2. Wann
rationaler Grad ZahlenAnicht definiert.

Ausdrücke wie
ergibt keinen Sinn.

3.Wenn gebrochene positive Zahl
.

Wenn gebrochen also eine negative Zahl -Es ist nicht sinnvoll.

Zum Beispiel: - Es ist nicht sinnvoll.

Betrachten Sie die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten.

Sei a>0, в>0; r, s – beliebige rationale Zahlen. Dann hat ein Grad mit einem beliebigen rationalen Exponenten die folgenden Eigenschaften:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidierung. Bildung neuer Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Aufgabenkarten werden in Kleingruppen in Form eines Tests bearbeitet.

Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

Warum werden Abschlüsse benötigt? Wo brauchen Sie sie? Warum müssen Sie Zeit damit verbringen, sie zu studieren?

Erfahren Sie alles über Abschlüsse, wozu sie dienen und wie Sie Ihr Wissen einsetzen können Alltagsleben Lesen Sie diesen Artikel.

Und natürlich bringt Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen der OGE oder dem Einheitlichen Staatsexamen und dem Eintritt in die Universität Ihrer Träume näher.

Los geht's!)

Wichtiger Hinweis! Wenn Sie anstelle von Formeln Kauderwelsch sehen, leeren Sie Ihren Cache. Drücken Sie dazu STRG+F5 (unter Windows) oder Cmd+R (auf Mac).

ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in sehr kurzer Zeit in menschlicher Sprache erklären einfache Beispiele. Vorsichtig sein. Beispiele sind elementar, erklären aber Wichtiges.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen bereits alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Genau, 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Das gleiche Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zunächst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, diese schneller zu „zählen“. In unserem Fall stellten sie fest, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl Flaschen Cola hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht es auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.

Und noch eins, schöneres:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks haben sich faule Mathematiker ausgedacht? Rechts - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl auf die fünfte Potenz erhöhen müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei hoch fünf hoch sind. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Warum heißt übrigens der zweite Grad? Quadrat Zahlen und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel Nr. 1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool befindet sich in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte unbedingt schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu ermitteln, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach mit dem Finger abzählen, dass der Boden des Beckens Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Es ist ganz einfach... Aber wo hast du so eine Fliese gesehen? Die Fliese wird eher Zentimeter für Zentimeter sein und dann wird man sich mit dem „Zählen mit dem Finger“ quälen. Dann muss man multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite ebenfalls Fliesen anbringen. Multipliziert man mit, erhält man Kacheln ().

Ist Ihnen aufgefallen, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik verwenden. (Wenn Sie nur zwei Zahlen haben, müssen Sie diese natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn Sie viele davon haben, ist die Potenzierung viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen . Für die Prüfung ist das sehr wichtig).
Also wird dreißig hoch im zweiten Grad () sein. Oder man kann sagen, dass es dreißig im Quadrat sein werden. Mit anderen Worten: Die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel Nr. 2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie: Zählen Sie anhand des Zahlenquadrats, wie viele Felder sich auf dem Schachbrett befinden ... Auf der einen Seite der Zellen und auch auf der anderen. Um ihre Zahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren oder ... wenn Ihnen das auffällt Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, dann kann man eine Acht quadrieren. Holen Sie sich Zellen. () So?

Beispiel Nr. 3 aus dem wirklichen Leben

Nun die Potenz bzw. die dritte Potenz einer Zahl. Derselbe Pool. Jetzt müssen Sie jedoch herausfinden, wie viel Wasser in dieses Becken gegossen werden muss. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumina und Flüssigkeiten werden übrigens in gemessen Kubikmeter. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Boden von einem Meter Größe und einem Meter Tiefe und versuchen Sie zu berechnen, wie viele Würfel Meter für Meter insgesamt in Ihr Becken gelangen.

Zeigen Sie einfach mit dem Finger und zählen Sie! Eins, zwei, drei, vier ... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig ... Wie viel ist daraus geworden? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul und haben bemerkt, dass man zur Berechnung des Beckenvolumens dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools einem Würfel ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und listig Mathematiker sind, wenn sie es zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss nutzen können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, erledigen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur Merken Sie sich die Gradtabelle. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel Nr. 4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen zu Beginn eines jeden Jahres verdoppelt sich. Wie viel Geld werden Sie in Jahren haben? Wenn Sie jetzt sitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und ... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zweimal zwei ... im zweiten Jahr - was passiert ist, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Stopp! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich nun vor, Sie haben eine Konkurrenz und derjenige, der schneller rechnet, wird diese Millionen bekommen ... Lohnt es sich Ihrer Meinung nach, sich an die Zahlengrade zu erinnern?

Beispiel Nr. 5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million zwei weitere. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld werden Sie in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mit sich selbst mal multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch die vierte Potenz oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Werfen wir einen weiteren Blick darauf, was Sie mit Abschlüssen alles machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht durcheinander zu kommen

Definieren wir also zunächst die Konzepte. Wie denkst du, Was ist Exponent?? Es ist ganz einfach: Dies ist die Zahl, die in der Potenz der Zahl „an der Spitze“ steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, zur gleichen Zeit, was eine solche Basis des Abschlusses? Noch einfacher ist die Zahl unten, an der Basis.

Zur Sicherheit hier ein Bild.

Nun, im Allgemeinen, um es zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis „“ und einem Indikator „“ wird als „im Grad“ gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: Weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die beim Zählen von Gegenständen verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Gegenstände zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was sind Ihrer Meinung nach diese Zahlen?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem Minuszeichen versehen) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen – dann gibt es nichts. Und was bedeuten negative („Minus“) Zahlen? Sie wurden jedoch in erster Linie erfunden, um Schulden zu kennzeichnen: Wenn Sie auf Ihrem Telefon ein Guthaben in Rubel haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, meinen Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht über genügend natürliche Zahlen verfügten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. zu messen. Und sie haben es sich ausgedacht Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, ein unendlicher Dezimalbruch. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Definieren wir das Konzept des Grades, dessen Exponent eine natürliche Zahl (also eine ganze Zahl und positiv) ist.

1. Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
3. Eine Zahl zu würfeln bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Um eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen, muss man die Zahl mit sich selbst multiplizieren:
.

Abschlusseigenschaften

Woher kamen diese Eigenschaften? Ich werde es dir jetzt zeigen.

Mal sehen, was ist Und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss sein gleiche Gründe!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das sollte man auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wie bei der vorherigen Eigenschaft wenden wir uns nun der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann man dies als „Einklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das stimmt nicht wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bisher haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Doch was soll die Grundlage sein?

In Grad von natürlicher Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede beliebige Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Grad positiver und negativer Zahlen haben werden.

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? A? ? Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Ein Minus mal ein Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit multiplizieren, ergibt sich.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier sind die Antworten: In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Auch in Beispiel 5 ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie groß die Basis ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht dieselbe, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Was sehen wir hier, wenn wir nicht auf den achten Grad achten? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz der Quadrate! Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Würden sie getauscht, könnte die Regel gelten.

Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Die Begriffe haben auf magische Weise den Ort gewechselt. Dieses „Phänomen“ gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Vorzeichen in Klammern frei ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

ganz Wir benennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen „“ versehen) und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es unterscheidet sich nicht von natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorherigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Kraft mit einer Basis. Nehmen Sie zum Beispiel und multiplizieren Sie mit:

Also haben wir die Zahl mit multipliziert und das Ergebnis erhalten: Mit welcher Zahl muss man multiplizieren, damit sich nichts ändert? Genau, weiter. Bedeutet.

Das Gleiche können wir auch mit einer beliebigen Zahl machen:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Doch von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da – das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss es in jedem Grad gleich sein – egal wie viel man Null mit sich selbst multipliziert, man erhält immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie wie jede Zahl bis zum Grad Null gleich sein. Was ist also dran? Die Mathematiker entschieden sich, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null auf die Nullpotenz zu erhöhen. Das heißt, wir können jetzt nicht nur durch Null dividieren, sondern es auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen zählen neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Formulieren wir also die Regel:

Eine Zahl in negativer Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl in positiver Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

I. Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Nummer, nicht null, zu einer negativen Potenz umgekehrt zur gleichen Zahl in einer positiven Potenz: .

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Nun, wie immer, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Analyse der Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles vorbereitet sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie sie nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung problemlos damit umgehen können!

Erweitern wir den Kreis der als Exponenten „geeigneten“ Zahlen weiter.

Nun überlegen Sie Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: Alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und darüber hinaus ganze Zahlen sind.

Um zu verstehen, was ist „Bruchgrad“ Betrachten wir einen Bruch:

Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung:

Denken Sie jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um sie zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des th-Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des th-Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Sonderfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Mit der Power-to-Power-Regel lässt sich die Antwort leicht finden:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich lässt sich nicht aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.

Keiner!

Denken Sie an die Regel: Jede gerade Potenz ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, aus negativen Zahlen Wurzeln geraden Grades zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner in eine gebrochene Potenz gebracht werden können, das heißt, der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Wie sieht es mit Ausdruck aus?

Aber hier entsteht ein Problem.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, verkürzte Brüche dargestellt werden, oder.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dass es sich nur um zwei verschiedene Datensätze derselben Nummer handelt.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Probleme: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis erhalten!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, denken Sie darüber nach nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Wenn also:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit einem rationalen Exponenten sind sehr nützlich für die Transformation von Ausdrücken mit Wurzeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für das Training

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit rationalem Exponenten, mit Ausnahme von

Tatsächlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Bei der Untersuchung von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- Dies ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d. , nämlich die Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- Es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.

WOHIN WIR SICHER SIND, WERDEN SIE GEHEN! (Wenn Sie lernen, solche Beispiele zu lösen :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse der Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Erhöhung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

Schauen Sie sich nun die Partitur an. Erinnert er dich an irgendetwas? Wir erinnern uns an die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Quadratdifferenz:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antworten: .

2. Wir bringen Brüche in Exponenten in die gleiche Form: entweder beide dezimal oder beide gewöhnlich. Wir erhalten zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition des Abschlusses

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl auf die natürliche Potenz n zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Erektion auf null Leistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, denn einerseits ist dies in jedem Grad der Fall, und andererseits ist dies jede Zahl im Th-Grad.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Nummer:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Abschlusseigenschaften

Um die Lösung von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Lassen Sie uns sie beweisen.

Mal sehen: Was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen auf der gleichen Grundlage stehen. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das sollte ich auf keinen Fall schreiben.

Wie bei der vorherigen Eigenschaft wenden wir uns nun der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es wie folgt um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann man dies als „Einklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das schafft man nie in Gänze:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das stimmt nicht wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bisher haben wir nur besprochen, was sein sollte Index Grad. Doch was soll die Grundlage sein? In Grad von natürlich Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede beliebige Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Grad positiver und negativer Zahlen haben werden.

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? A? ?

Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Ein Minus mal ein Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Sie können diese einfachen Regeln formulieren:

1. selbst Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null zu jeder Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

Auch in Beispiel 5 ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie groß die Basis ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht dieselbe, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier gilt es herauszufinden, was weniger ist: oder? Wenn wir uns daran erinnern, wird klar, dass dies die Grundlage ist weniger als Null. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition des Grades:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition der Grade auf und teilen sie ineinander auf, teilen sie in Paare auf und erhalten:

Bevor wir die letzte Regel analysieren, lösen wir einige Beispiele.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Was sehen wir hier, wenn wir nicht auf den achten Grad achten? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz der Quadrate!

Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 angewendet werden. Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Wenn man es mit multipliziert, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt sieht es so aus:

Die Begriffe haben auf magische Weise den Ort gewechselt. Dieses „Phänomen“ gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Vorzeichen in Klammern frei ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig! Es kann nicht dadurch ersetzt werden, dass nur ein für uns bedenkliches Minus geändert wird!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Nun also die letzte Regel:

Wie wollen wir es beweisen? Natürlich wie immer: Erweitern wir den Gradbegriff und vereinfachen wir:

Nun öffnen wir die Klammern. Wie viele Buchstaben wird es geben? mal durch Multiplikatoren – wie sieht das aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es handelt sich per Definition um eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Zusätzlich zu den Gradangaben für das Durchschnittsniveau analysieren wir den Grad mit einem irrationalen Indikator. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d. h , irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen).

Bei der Untersuchung von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad Null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, d bestimmte „Vorbereitung einer Zahl“, nämlich einer Zahl; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Indikator - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen vierdimensionalen Raum vorzustellen). Es handelt sich vielmehr um ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Denken Sie an die Formel für die Differenz der Quadrate. Antworten: .
2. Wir bringen Brüche in die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad wird als Ausdruck der Form bezeichnet: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und gebrochene Zahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine unendliche Wurzel ist.

Abschlusseigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf selbst Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

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Von ganzzahligen Exponenten der Zahl a bietet sich der Übergang zu einem rationalen Exponenten an. Im Folgenden definieren wir einen Grad mit einem rationalen Exponenten und tun dies so, dass alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten erhalten bleiben. Dies ist notwendig, da ganze Zahlen Teil rationaler Zahlen sind.

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht und jede Bruchzahl positiv oder negativ dargestellt werden kann gemeinsamer Bruch. Wir haben im vorherigen Absatz den Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl eine Bedeutung geben A mit einem Bruch m/n, Wo M ist eine ganze Zahl und N- natürlich. Lass es uns tun.

Betrachten Sie einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Eigenschaft des Abschlusses in einem Abschluss gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit berücksichtigen und wie wir die Wurzel des n-ten Grades bestimmt haben, ist es logisch, dies zu akzeptieren, sofern die Daten vorliegen M, N Und A Der Ausdruck macht Sinn.

Es ist leicht zu überprüfen, ob alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten für as gültig sind (dies geschieht im Abschnitt über die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: falls angegeben M, N Und A Ausdruck macht Sinn, dann die Kraft der Zahl A mit einem Bruch m/n Wurzel genannt N Grad der A in dem Umfang M.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, unter was M, N Und A Der Ausdruck macht Sinn. Abhängig von den auferlegten Einschränkungen M, N Und A Es gibt zwei Hauptansätze.

1. Der einfachste Weg besteht darin, eine Einschränkung zu verhängen A, akzeptieren a≥0 für positiv M Und a>0 für negativ M(weil um m≤0 Grad 0 m unentschlossen). Dann erhalten wir die folgende Definition des Grades mit gebrochenem Exponenten.

Definition.

Grad einer positiven Zahl A mit einem Bruch m/n , Wo M ist ein Ganzes, und N ist eine natürliche Zahl, die Wurzel genannt wird N-th aus der Mitte A in dem Umfang M, also, .

Der gebrochene Grad Null wird ebenfalls definiert, mit der einzigen Einschränkung, dass der Exponent positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n , Wo M ist eine positive ganze Zahl und N ist eine natürliche Zahl, definiert als .
Wenn der Grad nicht definiert ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Nuance gibt: für etwas Negatives A und einige M Und N Der Ausdruck macht Sinn, und wir haben diese Fälle durch die Einführung der Bedingung verworfen a≥0. Es macht zum Beispiel Sinn zu schreiben oder , und die obige Definition zwingt uns zu sagen, dass Grade mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind sind bedeutungslos, da die Basis nicht negativ sein darf.

2. Ein anderer Ansatz zur Bestimmung des Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht in der getrennten Betrachtung gerader und ungerader Exponenten der Wurzel. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: die Potenz einer Zahl A, dessen Indikator ein reduzierter gewöhnlicher Bruch ist, wird als Potenz einer Zahl betrachtet A, dessen Indikator der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird weiter unten erläutert). Das heißt, wenn m/n ist ein irreduzibler Bruch, dann für jede natürliche Zahl k Abschluss wird vorläufig durch ersetzt.

Für sogar N und positiv M Der Ausdruck ist für jedes Nicht-Negativ sinnvoll A(sogar Wurzel von negative Zahl macht keinen Sinn), mit negativ M Nummer A muss immer noch von Null verschieden sein (sonst handelt es sich um eine Division durch Null). Und für seltsam N und positiv M Nummer A kann alles sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert) und für negativ M Nummer A muss von Null verschieden sein (damit keine Division durch Null erfolgt).

Die obige Argumentation führt uns zu einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Lassen m/n- irreduzibler Bruch M ist ein Ganzes, und N- natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren gewöhnlichen Bruch wird der Grad durch ersetzt. Grad von A mit irreduziblem gebrochenem Exponenten m/n- es ist für

o jede reelle Zahl A, eine positive ganze Zahl M und seltsam natürlich N, Zum Beispiel, ;

o jede reelle Zahl ungleich Null A, eine ganze Zahl negativ M und seltsam N, z.B, ;

o jede nicht negative Zahl A, eine positive ganze Zahl M und selbst N, Zum Beispiel, ;

o irgendetwas Positives A, eine ganze Zahl negativ M und selbst N, z.B, ;

o In anderen Fällen ist der Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht definiert, da beispielsweise Grade nicht definiert sind .a-Einträgen geben wir keine Bedeutung, wir definieren den Nullgrad für positive gebrochene Exponenten m/n Wie Für negative gebrochene Exponenten ist der Grad der Zahl Null nicht definiert.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Abschnitts darauf achten, dass der gebrochene Exponent in der Form geschrieben werden kann Dezimalbruch oder eine gemischte Zahl, zum Beispiel, . Um die Werte solcher Ausdrücke zu berechnen, müssen Sie den Exponenten als gewöhnlichen Bruch schreiben und dann die Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten verwenden. Für diese Beispiele haben wir Und

In diesem Artikel werden wir verstehen, was ist Grad von. Hier geben wir Definitionen des Grades einer Zahl und betrachten dabei im Detail alle möglichen Exponenten des Grades, beginnend mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem irrationalen. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

Seitennavigation.

Grad mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Kubik einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Nehmen wir mit Blick auf die Zukunft an, dass die Definition des Grades von a mit dem natürlichen Exponenten n für a gegeben ist, das wir nennen werden Basis des Abschlusses, und n , die wir nennen werden Exponent. Beachten Sie auch, dass der Grad mit einem natürlichen Indikator durch das Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie daher eine Vorstellung von der Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz der Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n , dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere wird die Zahl a selbst als Grad von a mit einem Exponenten von 1 bezeichnet, also a 1 =a.

Es lohnt sich sofort, die Regeln für das Lesen von Abschlüssen zu erwähnen. Die universelle Lesart für den Eintrag a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch solche Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz der Zahl a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz von 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt das Quadrat einer Zahl 7 2 wird beispielsweise als „Sieben zum Quadrat“ oder „Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahl Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden oder man sagt „Würfel der Zahl 5“.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Abschlüsse mit physikalischen Indikatoren. Beginnen wir mit der Potenz von 5 7 , wobei 5 die Basis der Potenz und 7 der Exponent ist. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis des Grades 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen des Grades, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Indikatoren an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in den Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist die Potenz von −2 mit dem natürlichen Exponenten 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für den Grad von a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Notation des Grades der Form a n .

Eines der Probleme, die Umkehrung der Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten, ist das Problem, die Basis des Grades aus einem bekannten Wert des Grades und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht und jede Bruchzahl als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz den Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher die Bedeutung des Grades der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n angeben. Dabei ist m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.

Betrachten Sie einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Eigenschaft des Abschlusses in einem Abschluss gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie definiert haben, berücksichtigen, ist es logisch, dies zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es ist leicht zu überprüfen, ob alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten für as gültig sind (dies geschieht im Abschnitt über die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn für gegebenes m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist, dann ist die Potenz der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n die Wurzel des n-ten Grades von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, für welche m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg, a einzuschränken, besteht darin, a≥0 für positives m und a>0 für negatives m anzunehmen (da m≤0 keine Potenz von 0 m hat). Dann erhalten wir die folgende Definition des Grades mit gebrochenem Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die Wurzel des n-ten der Zahl a hoch m, also .

Der gebrochene Grad Null wird ebenfalls definiert, mit der einzigen Einschränkung, dass der Exponent positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht definiert ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Nuance gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Es macht zum Beispiel Sinn zu schreiben oder , und die obige Definition zwingt uns zu sagen, dass Grade mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind sind bedeutungslos, da die Basis nicht negativ sein darf.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung des Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, den geraden und ungeraden Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Der Grad der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Grad der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird weiter unten erläutert). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m ist der Ausdruck für jedes nicht negative a sinnvoll (die Wurzel eines geraden Grades aus einer negativen Zahl macht keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a immer noch ungleich Null sein (andernfalls Division). durch Null wird auftreten). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a alles sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt). null).

Die obige Argumentation führt uns zu einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren gewöhnlichen Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz von a mit einem irreduziblen Bruchexponenten m/n ist für



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m / n machen würden, würden wir auf Situationen wie die folgenden stoßen: Da 6/10=3/5 , dann ist die Gleichheit , Aber , A .