Formeln geometrischer Körper. So ermitteln Sie das Volumen in Kubikmetern

Allgemeine Überprüfung. Stereometrieformeln!

Guten Tag, Liebe Freunde! In diesem Artikel habe ich mich dafür entschieden allgemeine Überprüfung Stereometrie-Aufgaben, die stattfinden werden Einheitliches Staatsexamen in Mathematik e. Es muss gesagt werden, dass die Aufgaben dieser Gruppe recht vielfältig, aber nicht schwierig sind. Dies sind Probleme zum Finden geometrischer Größen: Längen, Winkel, Flächen, Volumina.

Betrachtet werden: Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, zusammengesetztes Polyeder, Zylinder, Kegel, Kugel. Die traurige Tatsache ist, dass einige Absolventen solche Probleme nicht einmal während der Prüfung selbst angehen, obwohl mehr als 50 % davon einfach, fast mündlich, gelöst werden.

Der Rest erfordert wenig Aufwand, Wissen und spezielle Techniken. In zukünftigen Artikeln werden wir uns mit diesen Aufgaben befassen. Verpassen Sie es nicht und abonnieren Sie Blog-Updates.

Um die Lösung zu finden, müssen Sie es wissen Formeln für Oberflächen und Volumina Parallelepiped, Pyramide, Prisma, Zylinder, Kegel und Kugel. Es gibt keine schwierigen Probleme, sie werden alle in 2-3 Schritten gelöst, es ist wichtig zu „sehen“, welche Formel angewendet werden muss.

Nachfolgend finden Sie alle notwendigen Formeln:

Ball oder Kugel. Als Kugel wird eine sphärische oder sphärische Oberfläche (manchmal auch einfach Kugel) bezeichnet Ort Punkte im Raum, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind – dem Mittelpunkt des Balls.

Ballvolumen gleich dem Volumen einer Pyramide, deren Grundfläche die gleiche Fläche wie die Oberfläche der Kugel hat und deren Höhe dem Radius der Kugel entspricht

Das Volumen der Kugel ist eineinhalb Mal kleiner als das Volumen des sie umgebenden Zylinders.

Einen Kreiskegel erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel dreht, weshalb ein Kreiskegel auch Rotationskegel genannt wird. Siehe auch Oberfläche eines Kreiskegels

Volumen eines runden Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus Grundfläche S und Höhe H:

(H ist die Höhe der Würfelkante)

Ein Parallelepiped ist ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist. Das Parallelepiped hat sechs Flächen und alle davon sind Parallelogramme. Ein Parallelepiped, dessen vier Seitenflächen Rechtecke sind, wird als gerades Parallelepiped bezeichnet. Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen sechs Flächen alle Rechtecke sind, heißt rechteckig.

Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds gleich dem Produkt aus der Fläche der Grundfläche und der Höhe:

(S ist die Fläche der Basis der Pyramide, h ist die Höhe der Pyramide)

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche – die Basis der Pyramide – ein beliebiges Polygon ist, und der Rest – Seitenflächen – Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze, die Spitze der Pyramide genannt wird.

Ein zur Basis der Pyramide paralleler Abschnitt teilt die Pyramide in zwei Teile. Der Teil der Pyramide zwischen ihrer Basis und diesem Abschnitt ist ein Pyramidenstumpf.

Volumen eines Pyramidenstumpfes gleich einem Drittel des Produkts aus der Höhe h(OS) durch die Summe der Flächen der oberen Basis S1 (abcde), untere Basis eines Pyramidenstumpfes S2 (ABCDE) und das durchschnittliche Verhältnis zwischen ihnen.

1.

V=

n – Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Polygons – Basen regelmäßige Pyramide
a – Seite eines regelmäßigen Vielecks – Basis einer regelmäßigen Pyramide
h - Höhe einer regelmäßigen Pyramide

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche – die Basis der Pyramide – ein regelmäßiges Dreieck ist, und der Rest – die Seitenflächen – gleiche Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze. Die Höhe nimmt von oben bis zur Mitte der Basis ab.

Lautstärke korrekt Dreieckige Pyramide gleich einem Drittel des Flächenprodukts regelmäßiges Dreieck, was die Grundlage ist S (ABC) zur Höhe h(OS)

a - Seite eines regelmäßigen Dreiecks - Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide
h - Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Herleitung der Formel für das Volumen eines Tetraeders

Das Volumen eines Tetraeders wird mit der klassischen Formel für das Volumen einer Pyramide berechnet. Es ist notwendig, die Höhe des Tetraeders durch die Fläche eines regelmäßigen (gleichseitigen) Dreiecks zu ersetzen.

Volumen eines Tetraeders- ist gleich dem Bruch im Zähler, dessen Quadratwurzel aus zwei im Nenner zwölf ist, multipliziert mit der dritten Potenz der Kantenlänge des Tetraeders

(h ist die Länge der Seite der Raute)

Umfang P beträgt ungefähr das Dreifache und ein Siebtel der Länge des Kreisdurchmessers. Das genaue Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser wird durch den griechischen Buchstaben angegeben π

Als Ergebnis wird der Umfang des Kreises bzw. Umfangs anhand der Formel berechnet

π r n

(r - Bogenradius, n - Zentralwinkel Bögen in Grad.)

Und die alten Ägypter verwendeten Methoden zur Berechnung der Flächen verschiedener Figuren, ähnlich unseren Methoden.

In meinen Büchern „Anfänge“ Der berühmte antike griechische Mathematiker Euklid beschrieb es ganz große Nummer Methoden zur Berechnung der Flächen vieler geometrische Formen. Die ersten Manuskripte in Russland mit geometrischen Informationen wurden im 16. Jahrhundert verfasst. Sie beschreiben die Regeln zum Finden der Flächen von Figuren unterschiedlicher Form.

Heute mit der Hilfe moderne Methoden Sie können die Fläche jeder Figur mit großer Genauigkeit ermitteln.

Betrachten wir eine der einfachsten Figuren – ein Rechteck – und die Formel zur Bestimmung seiner Fläche.

Rechteckflächenformel

Betrachten wir eine Figur (Abb. 1), die aus 8$ Quadraten mit einer Seitenlänge von 1$ cm besteht. Die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1$ cm wird Quadratzentimeter genannt und mit $1\ cm^2 geschrieben $.

Die Fläche dieser Figur (Abb. 1) beträgt $8\cm^2$.

Die Fläche einer Figur, die in mehrere Quadrate mit einer Seitenlänge von $1\ cm$ (zum Beispiel $p$) unterteilt werden kann, ist gleich $p\ cm^2$.

Mit anderen Worten, die Fläche der Figur entspricht so vielen $cm^2$, in wie viele Quadrate mit der Seitenlänge $1\ cm$ diese Figur geteilt werden kann.

Betrachten wir ein Rechteck (Abb. 2), das aus 3$ Streifen besteht, die jeweils in 5$ Quadrate mit einer Seitenlänge von 1\ cm$ unterteilt sind. Das gesamte Rechteck besteht aus $5\cdot 3=15$ solcher Quadrate und seine Fläche beträgt $15\cm^2$.

Bild 1.

Figur 2.

Die Fläche von Figuren wird üblicherweise mit dem Buchstaben $S$ bezeichnet.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu ermitteln, müssen Sie seine Länge mit seiner Breite multiplizieren.

Wenn wir seine Länge mit dem Buchstaben $a$ und seine Breite mit dem Buchstaben $b$ bezeichnen, dann sieht die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​wie folgt aus:

Definition 1

Die Figuren heißen gleich wenn bei der Überlagerung die Figuren übereinstimmen. Gleiche Zahlen haben gleiche Flächen und gleiche Umfänge.

Die Fläche einer Figur lässt sich als Summe der Flächen ihrer Teile ermitteln.

Beispiel 1

In Abbildung $3$ wird beispielsweise das Rechteck $ABCD$ durch die Linie $KLMN$ in zwei Teile geteilt. Die Fläche eines Teils beträgt $12\ cm^2$ und die des anderen Teils beträgt $9\ cm^2$. Dann ist die Fläche des Rechtecks ​​$ABCD$ gleich $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Finden Sie die Fläche des Rechtecks ​​​​mit der Formel:

Wie Sie sehen, sind die mit beiden Methoden ermittelten Flächen gleich.

Figur 3.

Figur 4.

Das Segment $AC$ teilt das Rechteck in zwei Teile gleiches Dreieck: $ABC$ und $ADC$. Das bedeutet, dass die Fläche jedes Dreiecks der Hälfte der Fläche des gesamten Rechtecks ​​entspricht.

Definition 2

Ein Rechteck mit gleichen Seiten heißt Quadrat.

Wenn wir die Seite eines Quadrats mit dem Buchstaben $a$ bezeichnen, dann wird die Fläche des Quadrats durch die Formel ermittelt:

Daher der Name Quadrat der Zahl $a$.

Beispiel 2

Wenn zum Beispiel die Seitenlänge eines Quadrats $5$ cm beträgt, dann beträgt seine Fläche:

Bände

Mit der Entwicklung des Handels und des Baugewerbes in den Tagen der alten Zivilisationen entstand die Notwendigkeit, Volumen zu finden. In der Mathematik gibt es einen Zweig der Geometrie, der sich mit der Untersuchung räumlicher Figuren befasst, die Stereometrie. Erwähnungen dieses separaten Zweigs der Mathematik wurden bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. gefunden.

Antike Mathematiker entwickelten eine Methode zur Berechnung des Volumens einfacher Figuren – eines Würfels und eines Parallelepipeds. Alle Gebäude jener Zeit hatten diese Form. Später wurden jedoch Methoden gefunden, um das Volumen von Figuren mit komplexeren Formen zu berechnen.

Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds

Füllt man die Form mit nassem Sand und dreht sie dann um, erhält man eine dreidimensionale Figur, die sich durch Volumen auszeichnet. Wenn Sie mehrere solcher Figuren mit derselben Form herstellen, erhalten Sie Figuren mit demselben Volumen. Wenn Sie die Form mit Wasser füllen, sind auch das Wasservolumen und das Volumen der Sandfigur gleich.

Abbildung 5.

Sie können das Volumen zweier Gefäße vergleichen, indem Sie eines mit Wasser füllen und es in das zweite Gefäß gießen. Ist das zweite Gefäß vollständig gefüllt, haben die Gefäße gleiche Volumina. Bleibt Wasser im ersten, dann ist das Volumen des ersten Gefäßes größer als das Volumen des zweiten. Wenn es beim Eingießen von Wasser aus dem ersten Gefäß nicht möglich ist, das zweite Gefäß vollständig zu füllen, ist das Volumen des ersten Gefäßes geringer als das Volumen des zweiten.

Das Volumen wird mit den folgenden Einheiten gemessen:

$mm^3$ – Kubikmillimeter,

$cm^3$ – Kubikzentimeter,

$dm^3$ – Kubikdezimeter,

$m^3$ – Kubikmeter,

$km^3$ – Kubikkilometer.

Messen Sie alle erforderlichen Abstände in Metern. Das Volumen vieler dreidimensionaler Figuren lässt sich leicht mit den entsprechenden Formeln berechnen. Allerdings müssen alle in Formeln eingesetzten Werte in Metern gemessen werden. Stellen Sie daher vor dem Einsetzen von Werten in die Formel sicher, dass diese alle in Metern gemessen werden oder dass Sie andere Maßeinheiten in Meter umgerechnet haben.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Um das Volumen rechteckiger Figuren (Quader, Würfel) zu berechnen, verwenden Sie die Formel: Volumen = L × B × H(Länge mal Breite mal Höhe). Diese Formel kann als Produkt der Oberfläche einer der Flächen der Figur und der Kante senkrecht zu dieser Fläche betrachtet werden.

• Berechnen wir zum Beispiel das Volumen eines Raumes mit einer Länge von 4 m, einer Breite von 3 m und einer Höhe von 2,5 m. Dazu multiplizieren Sie einfach die Länge mit der Breite und mit der Höhe:
  • 4 × 3 × 2,5
  • = 12 × 2,5
  • = 30. Das Volumen dieses Raumes beträgt 30 m3.
• Würfel – volumetrische Figur, in dem alle Seiten gleich sind. Somit kann die Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels wie folgt geschrieben werden: Volumen = L 3 (oder W 3 oder H 3).

Um das Volumen von Figuren in Form eines Zylinders zu berechnen, verwenden Sie die Formel: Pi× R 2 × H. Zur Berechnung des Volumens eines Zylinders kommt es darauf an, die Fläche der kreisförmigen Grundfläche mit der Höhe (oder Länge) des Zylinders zu multiplizieren. Finden Sie die Fläche der kreisförmigen Grundfläche, indem Sie pi (3.14) mit dem Quadrat des Kreisradius (R) multiplizieren (Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu jedem Punkt, der auf diesem Kreis liegt). Dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Höhe des Zylinders (H) und Sie erhalten das Volumen des Zylinders. Alle Werte werden in Metern gemessen.

• Berechnen wir zum Beispiel das Volumen eines Brunnens mit einem Durchmesser von 1,5 m und einer Tiefe von 10 m. Teilen Sie den Durchmesser durch 2, um den Radius zu erhalten: 1,5/2 = 0,75 m.
  • (3.14) × 0,75 2 × 10
  • = (3,14) × 0,5625 × 10
  • = 17,66. Das Volumen des Brunnens beträgt 17,66 m 3.

Um das Volumen einer Kugel zu berechnen, verwenden Sie die Formel: 4/3 x Pi× R 3 . Das heißt, Sie müssen nur den Radius (R) der Kugel kennen.

• Berechnen wir zum Beispiel das Volumen Heißluftballon mit einem Durchmesser von 10 m. Teilen Sie den Durchmesser durch 2, um den Radius zu erhalten: 10/2=5 m.
  • 4/3 x pi × (5) 3
  • = 4/3 x (3,14) × 125
  • = 4,189 × 125
  • = 523,6. Das Volumen des Ballons beträgt 523,6 m 3.

Um das Volumen kegelförmiger Figuren zu berechnen, verwenden Sie die Formel: 1/3 x Pi× R 2 × H. Das Volumen eines Kegels ist gleich 1/3 des Volumens eines Zylinders, der die gleiche Höhe und den gleichen Radius hat.

• Berechnen wir zum Beispiel das Volumen einer Eistüte mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 15 cm. Umgerechnet in Meter erhalten wir: 0,03 m bzw. 0,15 m.
  • 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
  • = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
  • = 1/3 × 0,0004239
  • = 0,000141. Das Volumen einer Eistüte beträgt 0,000141 m3.

Um das Volumen der Zahlen zu berechnen, tun Sie dies nicht richtige Form Verwenden Sie mehrere Formeln. Versuchen Sie dazu, die Figur in mehrere Figuren mit der richtigen Form aufzuteilen. Ermitteln Sie dann das Volumen jeder dieser Figuren und addieren Sie die Ergebnisse.

• Berechnen wir zum Beispiel das Volumen eines kleinen Getreidespeichers. Das Lager hat einen zylindrischen Körper mit einer Höhe von 12 m und einem Radius von 1,5 m. Das Lager hat außerdem ein konisches Dach mit einer Höhe von 1 m. Durch getrennte Berechnung des Dachvolumens und des Körpervolumens erhalten wir kann das Gesamtvolumen des Getreidespeichers ermitteln:
  • pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
  • (3.14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 x (3.14) × 1,5 2 × 1
  • = (3.14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3.14) × 2,25 × 1
  • = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87,178. Das Volumen des Getreidespeichers ist gleich 87,178 m 3.

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