Wie nennt man die Erzeugende eines Kegels? Kegel (geometrische Figur)

Kegel. Frustum

Konische Oberfläche ist die Fläche, die von allen geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt einer gegebenen Kurve und einen Punkt außerhalb der Kurve verlaufen (Abb. 32).

Diese Kurve heißt Führung , gerade - Bildung , Punkt - Spitze konische Oberfläche.

Gerade kreisförmige konische Oberfläche ist die Fläche, die von allen geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt eines bestimmten Kreises verlaufen, und einem Punkt auf einer geraden Linie, die senkrecht zur Kreisebene steht und durch deren Mittelpunkt verläuft. Im Folgenden nennen wir diese Fläche kurz konische Oberfläche (Abb. 33).

Kegel (gerader kreisförmiger Kegel ) wird genannt geometrischer Körper, begrenzt durch eine konische Fläche und eine Ebene, die parallel zur Ebene des Führungskreises verläuft (Abb. 34).

Reis. 32 Abb. 33 Abb. 34

Ein Kegel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Achse entsteht, die einen der Schenkel des Dreiecks enthält.

Den Kreis, der einen Kegel umschließt, nennt man ihn Basis . Der Scheitelpunkt einer Kegelfläche wird aufgerufen Spitze Kegel Das Segment, das die Spitze eines Kegels mit der Mitte seiner Basis verbindet, heißt Höhe Kegel Die Segmente, die eine konische Oberfläche bilden, werden genannt Bildung Kegel Achse eines Kegels ist eine gerade Linie, die durch die Spitze des Kegels und die Mitte seiner Basis verläuft. Axialschnitt nennt man den Abschnitt, der durch die Achse des Kegels verläuft. Seitenflächenentwicklung Ein Kegel wird als Sektor bezeichnet, dessen Radius gleich der Länge der Mantellinie des Kegels und die Länge des Bogens des Sektors gleich dem Umfang der Kegelbasis ist.

Die richtigen Formeln für einen Kegel sind:

Wo R– Basisradius;

H- Höhe;

l– Länge der Erzeugenden;

S-Basis- Grundfläche;

S-Seite

S voll

V– Volumen des Kegels.

Kegelstumpf wird der Teil des Kegels genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis des Kegels eingeschlossen ist (Abb. 35).

Ein Kegelstumpf kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um eine Achse entsteht, die die Seite des Trapezes enthält, die senkrecht zu den Basen steht.

Die beiden Kreise, die einen Kegel umschließen, heißen sein Gründe dafür . Höhe eines Kegelstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Basen. Die Segmente, die die konische Oberfläche eines Kegelstumpfes bilden, werden genannt Bildung . Eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft, heißt Achse Kegelstumpf. Axialschnitt nennt man den Abschnitt, der durch die Achse eines Kegelstumpfes verläuft.

Für einen Kegelstumpf lauten die richtigen Formeln:

(8)

Wo R– Radius der unteren Basis;

R– Radius der oberen Basis;

H– Höhe, l – Länge der Erzeugenden;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

S voll– Gesamtfläche;

V– Volumen eines Kegelstumpfes.

Beispiel 1. Der zur Grundfläche parallele Querschnitt des Kegels teilt die Höhe im Verhältnis 1:3, gerechnet von oben. Finden Sie die Mantelfläche eines Kegelstumpfes, wenn der Radius der Basis und die Höhe des Kegels 9 cm und 12 cm betragen.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 36).

Um die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes zu berechnen, verwenden wir Formel (8). Lassen Sie uns die Radien der Basen ermitteln Ungefähr 1 A Und Ungefähr 1 V und formen AB.

Betrachten Sie ähnliche Dreiecke SO2B Und SO 1 A, Ähnlichkeitskoeffizient also

Von hier

Seit damals

Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich:

Antwort: .

Beispiel 2. Ein Viertelkreis mit Radius wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis und die Höhe des Kegels.

Lösung. Der Quadrant des Kreises ist die Abwicklung der Mantelfläche des Kegels. Bezeichnen wir R– Radius seiner Basis, H - Höhe. Berechnen wir die Mantelfläche mit der Formel: . Sie entspricht der Fläche eines Viertelkreises: . Wir erhalten eine Gleichung mit zwei Unbekannten R Und l(einen Kegel bilden). IN in diesem Fall Der Generator ist gleich dem Radius des Viertelkreises R, was bedeutet, dass wir die folgende Gleichung erhalten: , woraus wir den Radius der Basis und des Generators kennen und so die Höhe des Kegels ermitteln:

Antwort: 2cm, .

Beispiel 3. Ein rechteckiges Trapez mit einem spitzen Winkel von 45°, einer kleineren Grundfläche von 3 cm und einer geneigten Seite gleich , dreht sich um eine Seite senkrecht zu den Grundflächen. Finden Sie das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 37).

Durch die Drehung erhalten wir einen Kegelstumpf; um sein Volumen zu ermitteln, berechnen wir den Radius der größeren Basis und die Höhe. Im Trapez O 1 O 2 AB wir werden dirigieren AC^O 1 B. B gilt: Das bedeutet, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist A.C.=B.C.=3 cm.

Antwort:

Beispiel 4. Ein Dreieck mit den Seitenlängen 13 cm, 37 cm und 40 cm dreht sich um eine äußere Achse, die parallel zur größeren Seite verläuft und sich in einem Abstand von 3 cm von dieser befindet (die Achse liegt in der Ebene des Dreiecks). Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 38).

Die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers besteht aus den Mantelflächen zweier Kegelstümpfe und der Mantelfläche eines Zylinders. Um diese Flächen zu berechnen, ist es notwendig, die Radien der Grundflächen der Kegel und des Zylinders zu kennen ( SEI Und O.C.), Kegel bildend ( B.C. Und A.C.) und Zylinderhöhe ( AB). Das einzige Unbekannte ist CO. Dies ist der Abstand von der Seite des Dreiecks zur Drehachse. Wir werden finden Gleichstrom. Die Fläche des Dreiecks ABC auf einer Seite ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Seite AB und der darauf bezogenen Höhe Gleichstrom Da wir hingegen alle Seiten des Dreiecks kennen, berechnen wir dessen Fläche mithilfe der Heron-Formel.

Reis. 1. Gegenstände aus dem Leben, die die Form eines Kegelstumpfes haben

Woher kommen Ihrer Meinung nach neue Formen in der Geometrie? Alles ist ganz einfach: Ein Mensch stößt im Leben auf ähnliche Gegenstände und denkt sich einen Namen dafür aus. Betrachten wir einen Stand, auf dem Löwen in einem Zirkus sitzen, ein Stück Karotte, das wir erhalten, wenn wir nur einen Teil davon schneiden, einen aktiven Vulkan und zum Beispiel das Licht einer Taschenlampe (siehe Abb. 1).

Reis. 2. Geometrische Formen

Wir sehen, dass alle diese Figuren eine ähnliche Form haben – sowohl unten als auch oben sind sie durch Kreise begrenzt, verjüngen sich jedoch nach oben (siehe Abb. 2).

Reis. 3. Schneiden Sie die Spitze des Kegels ab

Es sieht aus wie ein Kegel. Das Oberteil fehlt einfach. Stellen wir uns vor, wir nehmen einen Kegel und schneiden mit einem Schlag eines scharfen Schwertes den oberen Teil davon ab (siehe Abb. 3).

Reis. 4. Kegelstumpf

Das Ergebnis ist genau unsere Figur, man nennt sie Kegelstumpf (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Schnitt parallel zur Kegelbasis

Es sei ein Kegel gegeben. Lass uns ein Flugzeug zeichnen parallel zur Ebene die Basis dieses Kegels und schneidet den Kegel (siehe Abb. 5).

Dadurch wird der Kegel in zwei Körper geteilt: Einer davon ist ein kleinerer Kegel und der zweite wird Kegelstumpf genannt (siehe Abb. 6).

Reis. 6. Die resultierenden Körper mit Parallelschnitt

Somit ist ein Kegelstumpf ein Teil eines Kegels, der zwischen seiner Basis und einer zur Basis parallelen Ebene eingeschlossen ist. Wie ein Kegel kann auch ein Kegelstumpf an seiner Basis einen Kreis haben; in diesem Fall spricht man von einem Kreis. Wenn der ursprüngliche Kegel gerade war, heißt der Kegelstumpf gerade. Wie bei Kegeln werden wir ausschließlich gerade kreisförmige Kegelstümpfe betrachten, es sei denn, es wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es sich um einen indirekten Kegelstumpf handelt oder seine Grundflächen keine Kreise sind.

Reis. 7. Drehung eines rechteckigen Trapezes

Unser globales Thema- Körper der Revolution. Der Kegelstumpf ist keine Ausnahme! Erinnern wir uns daran, dass wir überlegt haben, einen Kegel zu erhalten rechtwinkliges Dreieck und es um das Bein gedreht? Wenn der resultierende Kegel von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten wird, bleibt das Dreieck ein rechteckiges Trapez. Seine Drehung um die kleinere Seite ergibt einen Kegelstumpf. Beachten wir noch einmal, dass es sich natürlich nur um einen geraden Kreiskegel handelt (siehe Abb. 7).

Reis. 8. Basen eines Kegelstumpfes

Lassen Sie uns ein paar Kommentare abgeben. Base voller Kegel und der im Kegelschnitt durch die Ebene erhaltene Kreis wird als Basis des Kegelstumpfes (unten und oben) bezeichnet (siehe Abb. 8).

Reis. 9. Generatoren eines Kegelstumpfes

Die Segmente der Generatoren eines vollständigen Kegels, die zwischen den Grundflächen eines Kegelstumpfes eingeschlossen sind, werden Generatoren eines Kegelstumpfes genannt. Da alle Generatoren des ursprünglichen Kegels gleich sind und alle Generatoren des abgeschnittenen Kegels gleich sind, sind auch die Generatoren des abgeschnittenen Kegels gleich (verwechseln Sie nicht den abgeschnittenen und den abgeschnittenen Kegel!). Dies impliziert, dass der axiale Abschnitt des Trapezes gleichschenklig ist (siehe Abb. 9).

Der in einem Kegelstumpf eingeschlossene Abschnitt der Rotationsachse wird als Kegelstumpfachse bezeichnet. Dieses Segment verbindet natürlich die Mittelpunkte seiner Basen (siehe Abb. 10).

Reis. 10. Achse eines Kegelstumpfes

Die Höhe eines Kegelstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt einer der Grundflächen zur anderen Grundfläche gezogen wird. Am häufigsten wird die Höhe eines Kegelstumpfes als seine Achse angesehen.

Reis. 11. Axialschnitt eines Kegelstumpfes

Der axiale Abschnitt eines Kegelstumpfes ist der Abschnitt, der durch seine Achse verläuft. Es hat die Form eines Trapezes; etwas später werden wir beweisen, dass es gleichschenklig ist (siehe Abb. 11).

Reis. 12. Kegel mit eingeführten Notationen

Finden wir die Fläche der Mantelfläche des Kegelstumpfes. Die Grundflächen des Kegelstumpfes sollen die Radien und haben und die Erzeugende sei gleich (siehe Abb. 12).

Reis. 13. Bezeichnung der Generatrix des abgeschnittenen Kegels

Ermitteln wir die Fläche der Seitenfläche des Kegelstumpfes als Differenz zwischen den Flächen der Seitenflächen des ursprünglichen Kegels und der abgeschnittenen. Bezeichnen wir dazu den abgeschnittenen Kegel mit der Generatrix (siehe Abb. 13).

Dann sind Sie genau richtig.

Reis. 14. Ähnliche Dreiecke

Es bleibt nur noch, sich auszudrücken.

Beachten Sie, dass aus der Ähnlichkeit von Dreiecken, woher (siehe Abb. 14).

Es wäre möglich, eine Division durch die Differenz der Radien auszudrücken, aber wir brauchen das nicht, weil das gesuchte Produkt in dem gesuchten Ausdruck erscheint. Durch Ersetzen haben wir schließlich: .

Es ist nun einfach, eine Formel für die Gesamtoberfläche zu erhalten. Dazu addieren Sie einfach die Fläche der beiden Kreise der Basen: .

Reis. 15. Illustration des Problems

Ein Kegelstumpf entsteht durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um seine Höhe. Die Mittellinie des Trapezes ist gleich und die große laterale Seite ist gleich (siehe Abb. 15). Finden Sie die Mantelfläche des resultierenden Kegelstumpfes.

Lösung

Aus der Formel wissen wir das .

Die Erzeugende des Kegels ist die größere Seite des ursprünglichen Trapezes, das heißt, die Radien des Kegels sind die Grundflächen des Trapezes. Wir können sie nicht finden. Aber wir brauchen es nicht: Wir brauchen nur ihre Summe, und die Summe der Grundflächen eines Trapezes ist doppelt so groß Mittellinie, das heißt, es ist gleich . Dann .

Bitte beachten Sie, dass wir, als wir über den Kegel sprachen, Parallelen zwischen ihm und der Pyramide gezogen haben – die Formeln waren ähnlich. Auch hier gilt das Gleiche, denn ein Kegelstumpf ist einem Pyramidenstumpf sehr ähnlich, daher sind die Formeln für die Flächen der Seiten- und Gesamtflächen eines Kegelstumpfs und einer Pyramide (und bald wird es Formeln für das Volumen geben) ähnlich.

Reis. 1. Illustration des Problems

Die Radien der Grundflächen des Kegelstumpfes sind gleich und und die Erzeugende ist gleich. Ermitteln Sie die Höhe des Kegelstumpfes und die Fläche seines axialen Abschnitts (siehe Abb. 1).

Erhalten durch die Kombination aller von einem Punkt ausgehenden Strahlen ( Gipfel Kegel) und durch eine ebene Fläche verlaufend. Manchmal ist ein Kegel ein Teil eines solchen Körpers, der durch die Kombination aller Segmente erhalten wird, die den Scheitelpunkt und die Punkte einer ebenen Fläche verbinden (letztere wird in diesem Fall so genannt). Basis Kegel, und der Kegel heißt lehnend auf dieser Grundlage). Dies ist der Fall, der im Folgenden betrachtet wird, sofern nicht anders angegeben. Wenn die Grundfläche des Kegels ein Vieleck ist, wird der Kegel zu einer Pyramide.

"== Verwandte Definitionen ==

Das Segment, das den Scheitelpunkt und den Rand der Basis verbindet, wird aufgerufen Erzeugende des Kegels.
Die Vereinigung der Generatoren eines Kegels heißt Generatrix(oder Seite) Kegeloberfläche. Die Formfläche des Kegels ist eine Kegelfläche.
Ein senkrecht vom Scheitelpunkt zur Ebene der Basis fallendes Segment (sowie die Länge eines solchen Segments) wird aufgerufen Kegelhöhe.
Wenn die Basis des Kegels ein Symmetriezentrum hat (z. B. ein Kreis oder eine Ellipse) und orthographische Projektion Fällt der Scheitelpunkt des Kegels auf der Grundebene mit diesem Mittelpunkt zusammen, so heißt der Kegel Direkte. In diesem Fall wird die gerade Linie genannt, die die Oberseite und die Mitte der Basis verbindet Kegelachse.
Schräg (geneigt) Kegel – ein Kegel, dessen orthogonale Projektion der Spitze auf die Basis nicht mit seinem Symmetriezentrum übereinstimmt.
Kreisförmiger Kegel- ein Kegel, dessen Basis ein Kreis ist.
Gerade kreisförmiger Kegel (oft einfach als Kegel bezeichnet) kann durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Linie erhalten werden, die das Bein enthält (diese Linie stellt die Achse des Kegels dar).
Ein auf einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel ruhender Kegel wird jeweils genannt elliptisch, parabolisch Und hyperbolischer Kegel(die letzten beiden haben unendliches Volumen).
Der Teil des Kegels, der zwischen der Basis und einer zur Basis parallelen Ebene liegt und sich zwischen der Spitze und der Basis befindet, wird genannt Kegelstumpf.

Eigenschaften

Wenn die Grundfläche endlich ist, ist auch das Volumen des Kegels endlich und gleich einem Drittel des Produkts aus Höhe und Grundfläche. Somit haben alle Kegel, die auf einer bestimmten Basis ruhen und deren Spitze auf einer bestimmten Ebene parallel zur Basis liegt, das gleiche Volumen, da ihre Höhen gleich sind.
Der Schwerpunkt jedes Kegels mit endlichem Volumen liegt auf einem Viertel der Höhe von der Basis.
Der Raumwinkel am Scheitelpunkt eines geraden Kreiskegels ist gleich

Wo - Öffnungswinkel Kegel (d. h. der doppelte Winkel zwischen der Kegelachse und einer geraden Linie auf seiner Mantelfläche).

Die Mantelfläche eines solchen Kegels ist gleich

Wo ist der Radius der Basis, ist die Länge der Erzeugenden.

Das Volumen eines Kreiskegels ist gleich

Der Schnittpunkt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel ist einer der Kegelschnitte (in nicht entarteten Fällen eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nach Lage der Schnittebene).

Verallgemeinerungen

In der algebraischen Geometrie Kegel ist eine beliebige Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper, für den für jeden

siehe auch

Kegel (Topologie)

Wikimedia-Stiftung. 2010.

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- (griech. geodaisia, von ge Erde und daio ich teile, teile), die Wissenschaft der Positionsbestimmung von Objekten Erdoberfläche, über die Größe, Form und das Gravitationsfeld der Erde und anderer Planeten. Dies ist ein Zweig der angewandten Mathematik, der eng mit der Geometrie verwandt ist,... ... Colliers Enzyklopädie

Reis. 1. Gegenstände aus dem Leben, die die Form eines Kegelstumpfes haben

Reis. 2. Geometrische Formen

Wir sehen, dass alle diese Figuren eine ähnliche Form haben – sowohl unten als auch oben sind sie durch Kreise begrenzt, verjüngen sich jedoch nach oben (siehe Abb. 2).

Reis. 3. Schneiden Sie die Spitze des Kegels ab

Es sieht aus wie ein Kegel. Das Oberteil fehlt einfach. Stellen wir uns vor, wir nehmen einen Kegel und schneiden mit einem Schlag eines scharfen Schwertes den oberen Teil davon ab (siehe Abb. 3).

Reis. 4. Kegelstumpf

Das Ergebnis ist genau unsere Figur, man nennt sie Kegelstumpf (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Schnitt parallel zur Kegelbasis

Es sei ein Kegel gegeben. Zeichnen wir eine Ebene parallel zur Ebene der Basis dieses Kegels und schneidet den Kegel (siehe Abb. 5).

Dadurch wird der Kegel in zwei Körper geteilt: Einer davon ist ein kleinerer Kegel und der zweite wird Kegelstumpf genannt (siehe Abb. 6).

Reis. 6. Die resultierenden Körper mit Parallelschnitt

Reis. 7. Drehung eines rechteckigen Trapezes

Unser globales Thema sind Körper der Revolution. Der Kegelstumpf ist keine Ausnahme! Erinnern wir uns daran, dass wir, um einen Kegel zu erhalten, ein rechtwinkliges Dreieck betrachteten und es um ein Bein drehten? Wenn der resultierende Kegel von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten wird, bleibt das Dreieck ein rechteckiges Trapez. Seine Drehung um die kleinere Seite ergibt einen Kegelstumpf. Beachten wir noch einmal, dass es sich natürlich nur um einen geraden Kreiskegel handelt (siehe Abb. 7).

Reis. 8. Basen eines Kegelstumpfes

Lassen Sie uns ein paar Kommentare abgeben. Die Basis eines vollständigen Kegels und der Kreis, der sich aus einem Schnitt des Kegels durch eine Ebene ergibt, werden Basis eines Kegelstumpfes (unten und oben) genannt (siehe Abb. 8).

Reis. 9. Generatoren eines Kegelstumpfes

Der in einem Kegelstumpf eingeschlossene Abschnitt der Rotationsachse wird als Kegelstumpfachse bezeichnet. Dieses Segment verbindet natürlich die Mittelpunkte seiner Basen (siehe Abb. 10).

Reis. 10. Achse eines Kegelstumpfes

Reis. 11. Axialschnitt eines Kegelstumpfes

Reis. 12. Kegel mit eingeführten Notationen

Finden wir die Fläche der Mantelfläche des Kegelstumpfes. Die Grundflächen des Kegelstumpfes sollen die Radien und haben und die Erzeugende sei gleich (siehe Abb. 12).

Reis. 13. Bezeichnung der Generatrix des abgeschnittenen Kegels

Dann sind Sie genau richtig.

Reis. 14. Ähnliche Dreiecke

Es bleibt nur noch, sich auszudrücken.

Beachten Sie, dass aus der Ähnlichkeit von Dreiecken, woher (siehe Abb. 14).

Es ist nun einfach, eine Formel für die Gesamtoberfläche zu erhalten. Dazu addieren Sie einfach die Fläche der beiden Kreise der Basen: .

Reis. 15. Illustration des Problems

Lösung

Aus der Formel wissen wir das .

Reis. 1. Illustration des Problems

Die Radien der Grundflächen des Kegelstumpfes sind gleich und und die Erzeugende ist gleich. Ermitteln Sie die Höhe des Kegelstumpfes und die Fläche seines axialen Abschnitts (siehe Abb. 1).

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man vom Kegel einen kleineren Kegel mit einer zur Grundfläche parallelen Ebene abschneidet (Abb. 8.10). Ein Kegelstumpf hat zwei Basen: „unten“ – die Basis des ursprünglichen Kegels – und „oben“ – die Basis des abgeschnittenen Kegels. Nach dem Satz über den Kegelschnitt sind die Basen eines Kegelstumpfs ähnlich .

Die Höhe eines Kegelstumpfes ist die Senkrechte, die von einem Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen Basis gezogen wird. Alle diese Senkrechten sind gleich (siehe Abschnitt 3.5). Als Höhe wird auch ihre Länge bezeichnet, also der Abstand zwischen den Ebenen der Grundflächen.

Aus dem Rotationskegel ergibt sich der Rotationskegelstumpf (Abb. 8.11). Daher sind seine Grundflächen und alle dazu parallelen Abschnitte Kreise, deren Mittelpunkte auf derselben Geraden liegen – auf der Achse. Ein Rotationskegelstumpf entsteht durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um seine Seite senkrecht zu den Grundflächen oder durch Drehen

gleichschenkliges Trapez um die Symmetrieachse (Abb. 8.12).

Mantelfläche eines Rotationskegelstumpfes

Dies ist der Teil der Mantelfläche des Rotationskegels, von dem es abgeleitet ist. Die Oberfläche eines Rotationskegelstumpfes (oder seines Vollflächig) besteht aus seinen Basen und seiner Mantelfläche.

8.5. Bilder von Revolutionskegeln und Revolutionskegelstümpfen.

So wird ein gerader Kreiskegel gezeichnet. Zeichnen Sie zunächst eine Ellipse, die den Kreis der Basis darstellt (Abb. 8.13). Dann finden sie den Mittelpunkt der Basis – Punkt O und zeichnen ein vertikales Segment PO, das die Höhe des Kegels darstellt. Zeichnen Sie vom Punkt P aus Tangentenlinien (Referenzlinien) zur Ellipse (praktisch geschieht dies mit dem Auge, indem Sie ein Lineal verwenden) und wählen Sie die Segmente RA und PB dieser Linien vom Punkt P zu den Tangentenpunkten A und B aus. Bitte beachten Sie das Segment AB ist nicht der Durchmesser des Basiskegels und das Dreieck ARV ist nicht der axiale Abschnitt des Kegels. Der axiale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck APC: Segment AC verläuft durch Punkt O. Unsichtbare Linien werden mit Strichen gezeichnet; Das Segment OP wird oft nicht gezeichnet, sondern nur gedanklich umrissen, um die Spitze des Kegels P direkt über dem Mittelpunkt der Basis – Punkt O – darzustellen.

Bei der Darstellung eines Rotationskegelstumpfes ist es zweckmäßig, zunächst den Kegel zu zeichnen, aus dem der Kegelstumpf entsteht (Abb. 8.14).

8.6. Konische Abschnitte. Das haben wir bereits gesagt Seitenfläche Der Rotationszylinder schneidet die Ebene entlang einer Ellipse (Abschnitt 6.4). Auch der Schnitt der Mantelfläche eines Rotationskegels durch eine Ebene, die seine Basis nicht schneidet, ist eine Ellipse (Abb. 8.15). Daher wird eine Ellipse als Kegelschnitt bezeichnet.

Zu den Kegelschnitten zählen auch andere bekannte Kurven – Hyperbeln und Parabeln. Betrachten wir einen unbeschränkten Kegel, der durch Verlängerung der Mantelfläche des Rotationskegels entsteht (Abb. 8.16). Schneiden wir es mit einer Ebene a, die nicht durch den Scheitelpunkt geht. Wenn a alle Generatoren des Kegels schneidet, dann erhalten wir im Schnitt, wie bereits gesagt, eine Ellipse (Abb. 8.15).

Durch Drehen der OS-Ebene können Sie sicherstellen, dass sie alle Erzeugenden des Kegels K schneidet, mit Ausnahme einer (zu der das OS parallel ist). Dann erhalten wir im Querschnitt eine Parabel (Abb. 8.17). Schließlich drehen wir die Ebene OS weiter und bringen sie in eine solche Position, dass a, der einen Teil der Generatoren des Kegels K schneidet, die unendliche Anzahl seiner anderen Generatoren nicht schneidet und zu zwei von ihnen parallel ist (Abb. 8.18). ). Dann erhalten wir im Schnitt des Kegels K mit der Ebene a eine Kurve, die Hyperbel genannt wird (genauer gesagt, einer ihrer „Zweige“). Somit ist eine Hyperbel, die der Graph einer Funktion ist, ein Sonderfall einer Hyperbel – eine gleichseitige Hyperbel, genauso wie ein Kreis ein Sonderfall einer Ellipse ist.

Aus gleichseitigen Hyperbeln lassen sich durch Projektion beliebige Hyperbeln gewinnen, so wie man durch Parallelprojektion eines Kreises eine Ellipse erhält.

Um beide Zweige der Hyperbel zu erhalten, ist es notwendig, einen Abschnitt eines Kegels zu nehmen, der zwei „Hohlräume“ aufweist, d. h. einen Kegel, der nicht aus Strahlen, sondern aus geraden Linien besteht, die die Erzeugenden der Seitenflächen des Kegels enthalten Revolution (Abb. 8.19).

Kegelschnitte wurden von antiken griechischen Geometern untersucht und ihre Theorie war einer der Höhepunkte der antiken Geometrie. Die umfassendste Untersuchung von Kegelschnitten in der Antike wurde von Apollonius von Perge (III. Jahrhundert v. Chr.) durchgeführt.

Es gibt eine Reihe wichtiger Eigenschaften, die Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln zu einer Klasse zusammenfassen. Sie erschöpfen beispielsweise die „nicht entarteten“, also nicht auf einen Punkt, eine Linie oder ein Linienpaar reduzierbaren Kurven, die auf einer Ebene definiert sind Kartesischen Koordinaten Gleichungen der Form

Kegelschnitte spielen in der Natur eine wichtige Rolle: Körper bewegen sich in Gravitationsfeldern auf elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Bahnen (denken Sie an die Keplerschen Gesetze). Die bemerkenswerten Eigenschaften von Kegelschnitten werden häufig in Wissenschaft und Technik genutzt, beispielsweise bei der Herstellung bestimmter optischer Instrumente oder Suchscheinwerfer (die Oberfläche des Spiegels in einem Suchscheinwerfer wird durch Drehen des Parabelbogens um die Parabelachse erhalten). ). Als Schattengrenzen runder Lampenschirme sind konische Abschnitte zu beobachten (Abb. 8.20).