Die Fläche der Seiten- und Gesamtfläche des Kegels. So finden Sie die Erzeugende eines Kegels

Heute erklären wir Ihnen, wie Sie die Mantellinie eines Kegels finden, die bei Geometrieaufgaben in der Schule häufig benötigt wird.

Das Konzept einer Kegelerzeugenden

Ein rechter Kegel ist eine Figur, die man erhält, indem man ein rechtwinkliges Dreieck um eines seiner Beine dreht. Die Basis des Kegels bildet einen Kreis. Der vertikale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck, der horizontale Abschnitt ist ein Kreis. Die Höhe eines Kegels ist das Segment, das die Spitze des Kegels mit der Mitte der Basis verbindet. Die Erzeugende eines Kegels ist ein Segment, das den Scheitelpunkt des Kegels mit einem beliebigen Punkt auf der Linie des Grundkreises verbindet.

Da ein Kegel durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks gebildet wird, stellt sich heraus, dass der erste Schenkel eines solchen Dreiecks die Höhe, der zweite der Radius des an der Basis liegenden Kreises und die Hypotenuse die Erzeugende des Kegels ist. Es ist nicht schwer zu erraten, dass der Satz des Pythagoras für die Berechnung der Länge des Generators nützlich ist. Und nun mehr darüber, wie man die Länge der Mantellinie des Kegels ermittelt.

Den Generator finden

Der einfachste Weg zu verstehen, wie man einen Generator findet, finden Sie unter konkretes Beispiel. Angenommen, die folgenden Bedingungen des Problems sind gegeben: Die Höhe beträgt 9 cm, der Durchmesser des Grundkreises beträgt 18 cm. Es ist notwendig, eine Erzeugende zu finden.

Die Höhe des Kegels (9 cm) ist also einer der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks, mit dessen Hilfe dieser Kegel geformt wurde. Der zweite Schenkel ist der Radius des Grundkreises. Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser. Wir teilen also den uns gegebenen Durchmesser in zwei Hälften und erhalten die Länge des Radius: 18:2 = 9. Der Radius beträgt 9.

Jetzt ist es sehr einfach, die Erzeugende des Kegels zu finden. Da es sich um die Hypotenuse handelt, beträgt ihre Länge das Quadrat gleich der Summe Quadrate der Beine, also die Summe der Quadrate von Radius und Höhe. Also ist das Quadrat der Länge der Erzeugenden = 64 (das Quadrat der Länge des Radius) + 64 (das Quadrat der Länge der Höhe) = 64x2 = 128. Jetzt extrahieren wir Quadratwurzel aus 128. Als Ergebnis erhalten wir acht Wurzeln aus zwei. Dies wird die Erzeugende des Kegels sein.

Wie Sie sehen, ist daran nichts Kompliziertes. Wir haben zum Beispiel genommen einfache Bedingungen Aufgaben, aber in einem Schulkurs können sie schwieriger sein. Denken Sie daran, dass Sie zur Berechnung der Länge der Erzeugenden den Radius des Kreises und die Höhe des Kegels ermitteln müssen. Wenn man diese Daten kennt, ist es leicht, die Länge der Generatrix zu ermitteln.

Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der Strukturen im Raum und die Beziehungen zwischen ihnen untersucht. Es besteht wiederum aus Abschnitten, und einer davon ist die Stereometrie. Dabei werden die Eigenschaften dreidimensionaler Figuren im Raum untersucht: Würfel, Pyramide, Kugel, Kegel, Zylinder usw.

Ein Kegel ist ein Körper im euklidischen Raum, der durch eine konische Oberfläche und die Ebene begrenzt wird, auf der die Enden seiner Generatoren liegen. Seine Entstehung erfolgt während der Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um eines seiner Beine, daher gehört es zu den Rotationskörpern.

Bestandteile eines Kegels

Unterscheiden die folgenden Typen Kegel: schräg (oder geneigt) und gerade. Schräg ist eine Achse, deren Achse die Mitte ihrer Basis nicht im rechten Winkel schneidet. Aus diesem Grund stimmt die Höhe eines solchen Kegels nicht mit der Achse überein, da es sich um ein Segment handelt, das von der Oberseite des Körpers in einem Winkel von 90° zur Ebene seiner Basis abgesenkt ist.

Der Kegel, dessen Achse senkrecht zu seiner Basis steht, heißt gerade. Achse und Höhe dabei geometrischer Körper fallen aufgrund der Tatsache zusammen, dass der Scheitelpunkt darin über der Mitte des Basisdurchmessers liegt.

Der Kegel besteht aus folgenden Elementen:

Der Kreis, der seine Basis ist.
Seitenfläche.
Ein Punkt, der nicht in der Ebene der Grundfläche liegt und als Scheitelpunkt des Kegels bezeichnet wird.
Segmente, die die Punkte des Kreises der Basis eines geometrischen Körpers und seines Scheitelpunkts verbinden.

Alle diese Segmente sind Generatoren des Kegels. Sie sind zur Basis des geometrischen Körpers und im Gehäuse geneigt gerader Kegel ihre Projektionen sind gleich, da der Scheitelpunkt von den Punkten des Grundkreises gleich weit entfernt ist. Daraus können wir schließen, dass in einem regelmäßigen (geraden) Kegel die Generatoren gleich sind, das heißt, sie haben die gleiche Länge und bilden die gleichen Winkel mit der Achse (oder Höhe) und der Basis.

Da bei einem schrägen (oder geneigten) Rotationskörper der Scheitelpunkt relativ zur Mitte der Basisebene verschoben ist, haben die Generatoren in einem solchen Körper unterschiedliche Längen und Projektionen, da jeder von ihnen einen anderen Abstand von zwei beliebigen Punkten hat der Kreis der Basis. Darüber hinaus sind auch die Winkel zwischen ihnen und die Höhe des Kegels unterschiedlich.

Länge der Erzeugenden in einem geraden Kegel

Wie bereits geschrieben, ist die Höhe in einem rechtwinkligen geometrischen Rotationskörper senkrecht zur Ebene der Grundfläche. Dadurch entstehen im Kegel Mantellinie, Höhe und Radius der Grundfläche rechtwinkliges Dreieck.

Das heißt, wenn Sie den Basisradius und die Basishöhe kennen, können Sie mithilfe der Formel aus dem Satz des Pythagoras die Länge der Erzeugenden berechnen, die gleich der Summe der Quadrate des Basisradius und der Basishöhe ist:

l 2 = r 2 + h 2 oder l = √r 2 + h 2

wobei l der Generator ist;

r - Radius;

h - Höhe.

Generator in einem geneigten Kegel

Aufgrund der Tatsache, dass in einem schiefen oder geneigten Kegel die Generatoren nicht die gleiche Länge haben, ist eine Berechnung ohne zusätzliche Konstruktionen und Berechnungen nicht möglich.

Zunächst müssen Sie Höhe, Achslänge und Basisradius kennen.

r 1 = √k 2 - h 2

wobei r 1 der Teil des Radius zwischen der Achse und der Höhe ist;

k - Achsenlänge;

h - Höhe.

Durch Addition des Radius (r) und seines zwischen Achse und Höhe liegenden Teils (r 1) erhält man die vollständige erzeugte Erzeugende des Kegels, seine Höhe und einen Teil des Durchmessers:

wobei R der Schenkel eines Dreiecks ist, das durch die Höhe, den Generator und einen Teil des Durchmessers der Basis gebildet wird;

r - Radius der Basis;

r 1 - Teil des Radius zwischen der Achse und der Höhe.

Mit der gleichen Formel aus dem Satz des Pythagoras können Sie die Länge der Erzeugenden des Kegels ermitteln:

l = √h 2 + R 2

oder, ohne R separat zu berechnen, kombinieren Sie die beiden Formeln zu einer:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Unabhängig davon, ob der Kegel gerade oder schräg ist und um welche Eingabedaten es sich handelt, laufen alle Methoden zum Ermitteln der Länge der Erzeugenden immer auf ein Ergebnis hinaus – die Verwendung des Satzes des Pythagoras.

Kegelabschnitt

Axial ist eine Ebene, die entlang ihrer Achse oder Höhe verläuft. In einem geraden Kegel ist ein solcher Abschnitt ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Höhe des Dreiecks die Höhe des Körpers ist, seine Seiten die Generatoren sind und die Basis der Durchmesser der Basis ist. Bei einem gleichseitigen geometrischen Körper ist der axiale Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck, da bei diesem Kegel der Durchmesser der Basis und der Erzeugenden gleich sind.

Die Ebene des Axialschnitts in einem geraden Kegel ist die Ebene seiner Symmetrie. Der Grund dafür ist, dass seine Spitze über der Mitte seiner Basis liegt, das heißt, die Ebene des Axialschnitts teilt den Kegel in zwei identische Teile.

Da bei einem geneigten volumetrischen Körper Höhe und Achse nicht zusammenfallen, darf die axiale Schnittebene die Höhe nicht enthalten. Wenn in einem solchen Kegel viele Axialschnitte konstruiert werden können, da hierfür nur eine Bedingung erfüllt sein muss – er darf nur durch die Achse verlaufen, dann kann nur der Axialschnitt der Ebene gezeichnet werden, zu der die Höhe dieses Kegels gehört eins, weil die Zahl der Bedingungen zunimmt und bekanntlich zwei Geraden (zusammen) nur zu einer Ebene gehören können.

Querschnittsfläche

Der zuvor erwähnte axiale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck. Darauf aufbauend lässt sich seine Fläche mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks berechnen:

S = 1/2 * d * h oder S = 1/2 * 2r * h

wobei S die Querschnittsfläche ist;

d – Basisdurchmesser;

r - Radius;

h - Höhe.

Bei einem schiefen oder geneigten Kegel ist der Querschnitt entlang der Achse ebenfalls ein Dreieck, sodass die Querschnittsfläche darin auf ähnliche Weise berechnet wird.

Volumen

Da ist der Kegel voluminöse Figur im dreidimensionalen Raum, dann kann sein Volumen berechnet werden. Das Volumen eines Kegels ist eine Zahl, die diesen Körper in einer Volumeneinheit, also in m3, charakterisiert. Bei der Berechnung kommt es nicht darauf an, ob er gerade oder schräg (oblique) ist, da sich die Formeln für diese beiden Körperarten nicht unterscheiden.

Wie bereits erwähnt, entsteht ein rechtwinkliger Kegel durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks entlang eines seiner Schenkel. Ein geneigter oder schräger Kegel wird anders geformt, da seine Höhe von der Mitte der Ebene der Körperbasis weg verschoben ist. Solche Strukturunterschiede haben jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Berechnung seines Volumens.

Volumenberechnung

Jeder Kegel sieht so aus:

V = 1/3 * π * h * r 2

wobei V das Volumen des Kegels ist;

h - Höhe;

r - Radius;

π ist eine Konstante von 3,14.

Um die Höhe eines Körpers zu berechnen, müssen Sie den Radius der Basis und die Länge seiner Erzeugenden kennen. Da Radius, Höhe und Generator zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengefasst werden, kann die Höhe mit der Formel aus dem Satz des Pythagoras berechnet werden (a 2 + b 2 = c 2 oder in unserem Fall h 2 + r 2 = l 2, wobei l ist der Generator). Die Höhe wird berechnet, indem die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein gezogen wird:

a = √c 2 - b 2

Das heißt, die Höhe des Kegels ist gleich dem Wert, den man erhält, wenn man die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Länge der Erzeugenden und dem Quadrat des Radius der Basis zieht:

h = √l 2 - r 2

Indem Sie die Höhe mit dieser Methode berechnen und den Radius seiner Basis kennen, können Sie das Volumen des Kegels berechnen. Dabei spielt der Generator eine wichtige Rolle, da er als Hilfselement bei den Berechnungen dient.

Wenn die Höhe eines Körpers und die Länge seiner Erzeugenden bekannt sind, kann man in ähnlicher Weise den Radius seiner Grundfläche ermitteln, indem man die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Erzeugenden und dem Quadrat der Höhe zieht:

r = √l 2 - h 2

Berechnen Sie dann mit der gleichen Formel wie oben das Volumen des Kegels.

Volumen eines geneigten Kegels

Da die Formel für das Volumen eines Kegels für alle Arten von Rotationskörpern gleich ist, besteht der Unterschied in ihrer Berechnung in der Suche nach der Höhe.

Um die Höhe eines geneigten Kegels herauszufinden, müssen die Eingabedaten die Länge der Erzeugenden, den Radius der Basis und den Abstand zwischen der Mitte der Basis und dem Schnittpunkt der Höhe des Körpers mit der Ebene umfassen seiner Basis. Wenn Sie dies wissen, können Sie leicht den Teil des Basisdurchmessers berechnen, der die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks bildet (gebildet durch die Höhe, die Erzeugende und die Ebene der Basis). Berechnen Sie dann erneut unter Verwendung des Satzes des Pythagoras die Höhe des Kegels und anschließend sein Volumen.

Wir wissen, was ein Kegel ist. Versuchen wir, seine Oberfläche zu ermitteln. Warum müssen Sie ein solches Problem lösen? Sie müssen beispielsweise verstehen, wie viel Der Test wird funktionieren für die Herstellung einer Waffeltüte? Oder wie viele Steine braucht man, um das Dach einer gemauerten Burg zu bauen?

Die Messung der Mantelfläche eines Kegels ist einfach nicht möglich. Aber stellen wir uns das gleiche Horn vor, das in Stoff gehüllt ist. Um die Fläche eines Stoffstücks zu ermitteln, müssen Sie es ausschneiden und auf dem Tisch auslegen. Das Ergebnis ist eine flache Figur, deren Fläche wir ermitteln können.

Reis. 1. Schnitt eines Kegels entlang der Mantellinie

Machen wir dasselbe mit dem Kegel. Lass es uns „schneiden“. Seitenfläche zum Beispiel entlang einer beliebigen Generatrix (siehe Abb. 1).

Lassen Sie uns nun die Seitenfläche auf eine Ebene „abwickeln“. Wir bekommen einen Sektor. Der Mittelpunkt dieses Sektors ist die Spitze des Kegels, der Radius des Sektors ist gleich der Erzeugenden des Kegels und die Länge seines Bogens stimmt mit dem Umfang der Basis des Kegels überein. Dieser Sektor wird als Entwicklung der Mantelfläche des Kegels bezeichnet (siehe Abb. 2).

Reis. 2. Entwicklung der Seitenfläche

Reis. 3. Winkelmessung im Bogenmaß

Versuchen wir, anhand der verfügbaren Daten die Fläche des Sektors zu ermitteln. Lassen Sie uns zunächst die Notation einführen: Der Winkel am Scheitelpunkt des Sektors sei im Bogenmaß angegeben (siehe Abb. 3).

Bei Problemen müssen wir uns oft mit dem Winkel am oberen Ende des Sweeps auseinandersetzen. Versuchen wir zunächst, die Frage zu beantworten: Kann dieser Winkel nicht mehr als 360 Grad betragen? Das heißt, würde sich nicht herausstellen, dass sich der Sweep überlappen würde? Natürlich nicht. Lassen Sie uns dies mathematisch beweisen. Lassen Sie den Scan sich selbst „überlagern“. Dies bedeutet die Länge des Sweep-Bogens länger Kreisradius. Aber wie bereits erwähnt, ist die Länge des Sweep-Bogens die Länge des Kreises mit dem Radius. Und der Radius der Kegelbasis ist natürlich kleiner als die Erzeugende, weil zum Beispiel der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks kleiner ist als die Hypotenuse

Dann erinnern wir uns an zwei Formeln aus dem Planimetriekurs: Bogenlänge. Branchengebiet: .

In unserem Fall übernimmt der Generator die Rolle , und die Länge des Bogens ist gleich dem Umfang der Kegelbasis, das heißt. Wir haben:

Schließlich erhalten wir: .

Neben der Fläche der Mantelfläche findet man auch die Fläche Vollflächig. Dazu muss die Fläche der Basis zur Fläche der Mantelfläche addiert werden. Aber die Basis ist ein Kreis mit einem Radius, dessen Fläche gemäß der Formel gleich ist.

Endlich haben wir: , Wo ist der Radius der Basis des Zylinders, ist die Generatrix.

Lassen Sie uns ein paar Probleme mit den angegebenen Formeln lösen.

Reis. 4. Erforderlicher Winkel

Beispiel 1. Die Entwicklung der Mantelfläche des Kegels ist ein Sektor mit einem Winkel an der Spitze. Finden Sie diesen Winkel, wenn die Höhe des Kegels 4 cm und der Radius der Basis 3 cm beträgt (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Rechtwinkliges Dreieck, das einen Kegel bildet

Durch die erste Aktion ermitteln wir nach dem Satz des Pythagoras den Generator: 5 cm (siehe Abb. 5). Als nächstes wissen wir das .

Beispiel 2. Die axiale Querschnittsfläche des Kegels ist gleich, die Höhe ist gleich. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche (siehe Abb. 6).

Die in der Schule untersuchten Rotationskörper sind Zylinder, Kegel und Kugel.

Wenn Sie bei einer Aufgabe im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik das Volumen eines Kegels oder die Fläche einer Kugel berechnen müssen, können Sie sich glücklich schätzen.

Wenden Sie Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders, Kegels und einer Kugel an. Alle davon sind in unserer Tabelle. Auswendig lernen. Hier beginnt das Wissen über Stereometrie.

Manchmal ist es gut, die Ansicht von oben zu zeichnen. Oder, wie in diesem Problem, von unten.

2. Wie oft wird das Volumen eines Kegels um das Richtige herum beschrieben? viereckige Pyramide, ist größer als das Volumen des Kegels, der in diese Pyramide eingeschrieben ist?

Es ist ganz einfach: Zeichnen Sie die Ansicht von unten. Wir sehen, dass der Radius des größeren Kreises um ein Vielfaches größer ist als der Radius des kleineren. Die Höhe beider Kegel ist gleich. Daher ist das Volumen des größeren Kegels doppelt so groß.

Noch eins wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass in den Problemen von Teil B Optionen für das einheitliche Staatsexamen In der Mathematik wird die Antwort als ganze Zahl oder endliche Zahl geschrieben Dezimal. Daher sollte Ihre Antwort in Teil B kein oder enthalten. Es besteht auch keine Notwendigkeit, den ungefähren Wert der Zahl zu ersetzen! Es muss unbedingt schrumpfen! Zu diesem Zweck wird bei einigen Problemen die Aufgabe beispielsweise wie folgt formuliert: „Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Zylinders geteilt durch.“

Wo sonst werden die Formeln für Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern verwendet? Natürlich in Aufgabe C2 (16). Wir werden Ihnen auch davon erzählen.