Brüche. Dezimalzahlen. Beiträge mit dem Schlagwort „Umwandeln eines Bruchs in eine Dezimalzahl“

Dezimalzahlen- Dies sind die gleichen gewöhnlichen Brüche, jedoch in der sogenannten Dezimalschreibweise. Für Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000 usw. wird die Dezimalschreibweise verwendet. Anstelle von Brüchen 1/10; 1/100; 1/1000; ... schreibe 0,1; 0,01; 0,001;... .

Zum Beispiel 0,7 ( Null Komma sieben) ist ein Bruch 7/10; 5,43 ( fünf Komma dreiundvierzig) ist ein gemischter Bruch 5 43/100 (oder, was dasselbe ist, ein unechter Bruch 543/100).

Es kann vorkommen, dass unmittelbar nach dem Dezimalpunkt eine oder mehrere Nullen stehen: 1,03 ist der Bruch 1 3/100; 17,0087 ist der Bruch 17 87/10000. Allgemeine Regel ist das: im Nenner gemeinsamer Bruch Es müssen so viele Nullen vorhanden sein, wie Nachkommastellen im Dezimalbruch vorhanden sind.

Ein Dezimalbruch kann mit einer oder mehreren Nullen enden. Es stellt sich heraus, dass diese Nullen „zusätzlich“ sind – sie können einfach entfernt werden: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Finden Sie heraus, warum das so ist?

Bei der Division durch „runde“ Zahlen – 10, 100, 1000, ... – entstehen natürlicherweise Dezimalzahlen. Verstehen Sie unbedingt die folgenden Beispiele:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Erkennen Sie hier ein Muster? Versuchen Sie es zu formulieren. Was passiert, wenn Sie einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 multiplizieren?

Um einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie ihn auf einen „runden“ Nenner reduzieren:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 usw.

Das Addieren von Dezimalzahlen ist viel einfacher als das Addieren von Brüchen. Die Addition erfolgt wie bei gewöhnlichen Zahlen – entsprechend den entsprechenden Ziffern. Beim Hinzufügen in einer Spalte müssen die Begriffe so geschrieben werden, dass ihre Kommas auf derselben Vertikalen stehen. Das Komma der Summe liegt ebenfalls auf derselben Vertikalen. Die Subtraktion von Dezimalbrüchen erfolgt genauso.

Wenn beim Addieren oder Subtrahieren in einem der Brüche die Anzahl der Nachkommastellen geringer ist als im anderen, muss am Ende dieses Bruchs die erforderliche Anzahl von Nullen hinzugefügt werden. Sie können diese Nullen nicht hinzufügen, sondern sie sich einfach in Ihrem Kopf vorstellen.

Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen sollten diese wiederum als gewöhnliche Zahlen multipliziert werden (das Schreiben eines Kommas unter den Dezimalpunkt ist nicht mehr erforderlich). Im resultierenden Ergebnis müssen Sie die Anzahl der Ziffern, die der Gesamtzahl der Dezimalstellen in beiden Faktoren entspricht, durch ein Komma trennen.

Beim Dividieren von Dezimalbrüchen können Sie den Dezimalpunkt im Dividenden und Divisor gleichzeitig um die gleiche Anzahl Stellen nach rechts verschieben: Der Quotient ändert sich dadurch nicht:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Erklären Sie, warum das so ist?

Zeichnen Sie ein 10x10 großes Quadrat. Übermalen Sie einen Teil davon mit folgendem Wert: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 Fläche des gesamten Quadrats.
Was ist 2,43 Quadrat? Zeichne es in ein Bild.
Teilen Sie die Zahl 37 durch 10; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 und schreiben Sie das Ergebnis als Dezimalbruch. Teilen Sie die gleichen Zahlen durch 100 und 1000.
Multiplizieren Sie die Zahlen 4,6 mit 10; 6,52; 23.095; 0,01999. Multiplizieren Sie dieselben Zahlen mit 100 und 1000.
Stellen Sie die Dezimalzahl als Bruch dar und reduzieren Sie sie:
a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
Stellen Sie es sich in der Form vor gemischte Fraktion: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
Einen Bruch als Dezimalzahl ausdrücken:
a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
Finden Sie die Summe: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
Stellen Sie sich eins als die Summe zweier Dezimalstellen vor. Finden Sie zwanzig weitere Möglichkeiten dieser Darstellung.
Finden Sie den Unterschied: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35,24–34,9975.
Finden Sie das Produkt: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

Um eine rationale Zahl m/n als Dezimalbruch zu schreiben, müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. In diesem Fall wird der Quotient als endlicher oder unendlicher Dezimalbruch geschrieben.

Schreiben Sie diese Zahl als Dezimalbruch.

Lösung. Teilen Sie den Zähler jedes Bruchs durch seinen Nenner in eine Spalte: A) dividiere 6 durch 25; B) dividiere 2 durch 3; V) Teilen Sie 1 durch 2 und addieren Sie dann den resultierenden Bruch zu eins – dem ganzzahligen Teil dieser gemischten Zahl.

Irreduzible gewöhnliche Brüche, deren Nenner keine anderen Primfaktoren enthalten als 2 Und 5 werden als letzter Dezimalbruch geschrieben.

IN Beispiel 1 im Fall von A) Nenner 25=5·5; im Fall von V) Der Nenner ist 2, also erhalten wir die letzten Dezimalstellen 0,24 und 1,5. Im Fall von B) Der Nenner ist 3, daher kann das Ergebnis nicht als endliche Dezimalzahl geschrieben werden.

Ist es ohne lange Division möglich, einen solchen gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner keine anderen Teiler als 2 und 5 enthält, in einen Dezimalbruch umzuwandeln? Lass es uns herausfinden! Welcher Bruch heißt Dezimalzahl und wird ohne Bruchstrich geschrieben? Antwort: Bruch mit Nenner 10; 100; 1000 usw. Und jede dieser Zahlen ist ein Produkt gleich Anzahl der Zweier und Fünfer. Tatsächlich: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 usw.

Folglich muss der Nenner eines irreduziblen gewöhnlichen Bruchs als Produkt von „Zweier“ und „Fünfer“ dargestellt und dann mit 2 und (oder) 5 multipliziert werden, damit die „Zweier“ und „Fünfer“ gleich werden. Dann ist der Nenner des Bruchs gleich 10 oder 100 oder 1000 usw. Um sicherzustellen, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, multiplizieren wir den Zähler des Bruchs mit derselben Zahl, mit der wir den Nenner multipliziert haben.

Drücken Sie die folgenden gemeinsamen Brüche als Dezimalzahlen aus:

Lösung. Jeder dieser Brüche ist irreduzibel. Erweitern wir den Nenner jedes Bruchs zu Primfaktoren.

20=2·2·5. Fazit: Ein „A“ fehlt.

8=2·2·2. Fazit: Es fehlen drei „A“.

25=5·5. Fazit: Es fehlen zwei „Zweier“.

Kommentar. In der Praxis verwenden sie oft keine Faktorisierung des Nenners, sondern stellen einfach die Frage: Mit wie viel soll der Nenner multipliziert werden, damit das Ergebnis Eins mit Nullen ist (10 oder 100 oder 1000 usw.). Und dann wird der Zähler mit derselben Zahl multipliziert.

Also für den Fall A)(Beispiel 2) Aus der Zahl 20 können Sie durch Multiplikation mit 5 100 erhalten, daher müssen Sie Zähler und Nenner mit 5 multiplizieren.

Im Fall von B)(Beispiel 2) Aus der Zahl 8 erhält man nicht die Zahl 100, sondern durch Multiplikation mit 125 die Zahl 1000. Sowohl der Zähler (3) als auch der Nenner (8) des Bruchs werden mit 125 multipliziert.

Im Fall von V)(Beispiel 2) Aus 25 erhält man 100, wenn man mit 4 multipliziert. Das bedeutet, dass der Zähler 8 mit 4 multipliziert werden muss.

Ein unendlicher Dezimalbruch, bei dem sich eine oder mehrere Ziffern immer in derselben Reihenfolge wiederholen, wird aufgerufen periodisch als Dezimalzahl. Die Menge der sich wiederholenden Ziffern wird als Periode dieses Bruchs bezeichnet. Der Kürze halber wird der Punkt eines Bruchs einmal geschrieben und in Klammern gesetzt.

Im Fall von B)(Beispiel 1) Es gibt nur eine sich wiederholende Ziffer und ist gleich 6. Daher wird unser Ergebnis 0,66... wie folgt geschrieben: 0,(6) . Sie lauten: Nullpunkt, sechs im Punkt.

Wenn zwischen dem Dezimalpunkt und dem ersten Punkt eine oder mehrere sich nicht wiederholende Ziffern stehen, wird ein solcher periodischer Bruch als gemischter periodischer Bruch bezeichnet.

Ein irreduzibler gemeinsamer Bruch, dessen Nenner ist zusammen mit anderen Multiplikatoren enthält einen Multiplikator 2 oder 5 , wird gemischt periodischer Bruch.

Schreiben Sie die Zahlen als Dezimalbruch:

Jede rationale Zahl kann als unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden.

Schreiben Sie die Zahlen als unendlichen periodischen Bruch.

Brüche geschrieben in der Form 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 wird als Dezimalzahl bezeichnet. Tatsächlich sind Dezimalzahlen eine vereinfachte Darstellung gewöhnlicher Brüche. Diese Notation lässt sich bequem für alle Brüche verwenden, deren Nenner 10, 100, 1000 usw. sind.

Schauen wir uns Beispiele an (0,5 wird als null Komma fünf gelesen);

(0,15 gelesen als Null Komma fünfzehn);

(5.3 lautet: fünf Punkt drei).

Bitte beachten Sie, dass in der Notation eines Dezimalbruchs ein Komma den ganzzahligen Teil einer Zahl vom Bruchteil trennt, der ganzzahlige Teil eines echten Bruchs ist 0. Die Notation des Bruchteils eines Dezimalbruchs enthält so viele Ziffern wie Es gibt Nullen in der Notation des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Schauen wir uns ein Beispiel an: , , .

In manchen Fällen kann es notwendig sein, eine natürliche Zahl als eine Dezimalzahl zu behandeln, deren Bruchteil Null ist. Es ist üblich zu schreiben, dass 5 = 5,0; 245 = 245,0 und so weiter. Beachten Sie, dass in der Dezimalschreibweise einer natürlichen Zahl die Einheit der niedrigstwertigen Ziffer zehnmal kleiner ist als die Einheit der benachbarten höchstwertigen Ziffer. Das Schreiben von Dezimalbrüchen hat die gleiche Eigenschaft. Daher gibt es unmittelbar nach dem Dezimalpunkt eine Zehntelstelle, dann eine Hundertstelstelle, dann eine Tausendstelstelle und so weiter. Unten sind die Namen der Ziffern der Zahl 31.85431 aufgeführt, die ersten beiden Spalten sind der ganzzahlige Teil, die restlichen Spalten sind der Bruchteil.

Dieser Bruch wird als einunddreißig Komma fünfundachtzigtausendvierhunderteinunddreißighunderttausendstel gelesen.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Die erste Möglichkeit besteht darin, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln und eine Addition durchzuführen.

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, ist diese Methode sehr umständlich und es ist besser, die zweite Methode zu verwenden, die korrekter ist, ohne Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie:

die Anzahl der Nachkommastellen in den Termen ausgleichen;
Schreiben Sie die Begriffe so untereinander, dass jede Ziffer des zweiten Begriffs unter der entsprechenden Ziffer des ersten Begriffs steht.
Addieren Sie die resultierenden Zahlen auf die gleiche Weise, wie Sie natürliche Zahlen addieren.
Setzen Sie in der resultierenden Summe unter den Kommas in den Begriffen ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

Gleichen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Minuend und Subtrahend aus.
Schreiben Sie den Subtrahend so unter den Minuenden, dass jede Ziffer des Subtrahends unter der entsprechenden Ziffer des Minuenden steht.
Führen Sie die Subtraktion auf die gleiche Weise durch, wie natürliche Zahlen subtrahiert werden.
Setzen Sie in der resultierenden Differenz unter den Kommas im Minuend und Subtrahend ein Komma.

Schauen wir uns Beispiele an:

In den oben besprochenen Beispielen ist ersichtlich, dass die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Stück für Stück durchgeführt wurde, also auf die gleiche Weise, wie wir ähnliche Operationen mit natürlichen Zahlen durchgeführt haben. Dies ist der Hauptvorteil der dezimalen Schreibweise von Brüchen.

Dezimalzahlen multiplizieren

Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch jeweils um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschieben. Wenn also das Komma um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschoben wird, erhöht sich der Bruch entsprechend um das 10-, 100-, 1000-fache usw. Um zwei Dezimalbrüche zu multiplizieren, müssen Sie:

Multiplizieren Sie sie als natürliche Zahlen und ignorieren Sie Kommas.
Trennen Sie im resultierenden Produkt rechts so viele Ziffern durch ein Komma, wie nach den Kommas in beiden Faktoren zusammen vorhanden sind.

Es gibt Fälle, in denen ein Werk weniger Ziffern enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen; diese werden links vor diesem Werk hinzugefügt erforderliche Menge Nullen ein und verschieben Sie dann das Komma um die erforderliche Anzahl von Stellen nach links.

Schauen wir uns Beispiele an: 2 * 4 = 8, dann 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, dann 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Es gibt Fälle, in denen einer der Multiplikatoren gleich 0,1 ist; 0,01; 0,001 usw. ist es bequemer, die folgende Regel zu verwenden.

Eine Dezimalzahl mit 0,1 multiplizieren; 0,01; 0,001 usw. In diesem Dezimalbruch müssen Sie den Dezimalpunkt jeweils um 1, 2, 3 usw. nach links verschieben.

Schauen wir uns Beispiele an: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Die Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen gelten auch für Dezimalbrüche.

ab = ba- kommutative Eigenschaft der Multiplikation;
(ab) c = a (bc)- die assoziative Eigenschaft der Multiplikation;
a (b + c) = ab + ac ist eine Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Dezimaldivision

Es ist bekannt, dass man eine natürliche Zahl dividieren kann A zu einer natürlichen Zahl B bedeutet, eine solche natürliche Zahl zu finden C, was bei Multiplikation mit B gibt eine Zahl an A. Diese Regel bleibt wahr, wenn mindestens eine der Zahlen a, b, c ist ein Dezimalbruch.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Sie müssen 43,52 durch 17 mit einer Ecke dividieren und dabei das Komma ignorieren. In diesem Fall sollte das Komma im Quotienten unmittelbar vor der ersten Ziffer nach dem Komma im Dividenden stehen.

Es gibt Fälle, in denen der Dividend kleiner als der Divisor ist und der ganzzahlige Teil des Quotienten gleich Null ist. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Schauen wir uns ein weiteres interessantes Beispiel an.

Der Divisionsvorgang wurde gestoppt, weil die Ziffern des Dividenden aufgebraucht sind und der Rest keine Null hat. Es ist bekannt, dass sich ein Dezimalbruch nicht ändert, wenn ihm rechts beliebig viele Nullen hinzugefügt werden. Dann wird klar, dass die Zahlen der Dividende kein Ende nehmen können.

Um einen Dezimalbruch durch 10, 100, 1000 usw. zu dividieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch um 1, 2, 3 usw. Stellen nach links verschieben. Schauen wir uns ein Beispiel an: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Wenn Dividende und Divisor gleichzeitig um das 10-, 100-, 1000-fache usw. erhöht werden, ändert sich der Quotient nicht.

Betrachten Sie ein Beispiel: 39,44: 1,6 = 24,65, erhöhen Sie den Dividenden und den Divisor um das Zehnfache. 394,4: 16 = 24,65 Es ist fair anzumerken, dass die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl im zweiten Beispiel einfacher ist.

Um einen Dezimalbruch durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

Verschieben Sie die Kommas im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie nach dem Dezimalpunkt im Divisor enthalten sind.
durch eine natürliche Zahl dividieren.

Betrachten wir ein Beispiel: 23,6: 0,02. Beachten Sie, dass der Divisor zwei Dezimalstellen hat. Daher multiplizieren wir beide Zahlen mit 100 und erhalten 2360: 2 = 1180. Teilen Sie das Ergebnis durch 100 und erhalten Sie die Antwort 11,80 oder 23,6: 0, 02 = 11.8.

Vergleich von Dezimalzahlen

Es gibt zwei Möglichkeiten, Dezimalzahlen zu vergleichen. Methode eins: Sie müssen zwei Dezimalbrüche 4,321 und 4,32 vergleichen, die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen und anfangen, Stelle für Stelle, Zehntel mit Zehntel, Hundertstel mit Hundertstel usw. zu vergleichen. Am Ende erhalten wir 4,321 > 4,320.

Die zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche zu vergleichen, besteht darin, das obige Beispiel mit 1000 zu multiplizieren und 4321 > 4320 zu vergleichen. Welche Methode bequemer ist, entscheidet jeder für sich.

Dieser Artikel ist über Dezimalstellen. Hier werden wir die Dezimalschreibweise von Bruchzahlen verstehen, das Konzept eines Dezimalbruchs vorstellen und Beispiele für Dezimalbrüche geben. Als nächstes sprechen wir über die Ziffern von Dezimalbrüchen und geben die Namen der Ziffern an. Danach konzentrieren wir uns auf unendliche Dezimalbrüche, sprechen wir über periodische und nichtperiodische Brüche. Als nächstes listen wir die Grundoperationen mit Dezimalbrüchen auf. Lassen Sie uns abschließend die Position von Dezimalbrüchen auf dem Koordinatenstrahl bestimmen.

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Dezimalschreibweise einer Bruchzahl

Dezimalzahlen lesen

Lassen Sie uns ein paar Worte zu den Regeln zum Lesen von Dezimalbrüchen sagen.

Dezimalbrüche, die echten gewöhnlichen Brüchen entsprechen, werden auf die gleiche Weise wie diese gewöhnlichen Brüche gelesen, nur dass zunächst „null ganze Zahl“ hinzugefügt wird. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 0,12 dem gemeinsamen Bruch 12/100 (gelesen „zwölf Hundertstel“), daher wird 0,12 als „Nullpunkt zwölf Hundertstel“ gelesen.

Dezimalbrüche, die gemischten Zahlen entsprechen, werden genauso gelesen wie diese gemischten Zahlen. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 56,002 einer gemischten Zahl, sodass der Dezimalbruch 56,002 als „sechsundfünfzig Komma zweitausendstel“ gelesen wird.

Stellen in Dezimalstellen

Sowohl beim Schreiben von Dezimalbrüchen als auch beim Schreiben natürlicher Zahlen hängt die Bedeutung jeder Ziffer von ihrer Position ab. Tatsächlich bedeutet die Zahl 3 im Dezimalbruch 0,3 drei Zehntel, im Dezimalbruch 0,0003 drei Zehntausendstel und im Dezimalbruch 30.000,152 drei Zehntausende. Wir können also darüber reden Nachkommastellen sowie über die Ziffern in natürlichen Zahlen.

Die Namen der Ziffern im Dezimalbruch bis zum Dezimalpunkt stimmen vollständig mit den Namen der Ziffern in natürlichen Zahlen überein. Und die Namen der Nachkommastellen sind aus der folgenden Tabelle ersichtlich.

Beispielsweise befindet sich im Dezimalbruch 37,051 die Ziffer 3 an der Zehnerstelle, 7 an der Einerstelle, 0 an der Zehntelstelle, 5 an der Hundertstelstelle und 1 an der Tausendstelstelle.

Auch bei Dezimalbrüchen unterscheiden sich die Stellen in der Rangfolge. Wenn wir uns beim Schreiben eines Dezimalbruchs von Ziffer zu Ziffer von links nach rechts bewegen, bewegen wir uns von Senioren Zu Nachwuchsränge. Beispielsweise ist die Hunderterstelle älter als die Zehntelstelle und die Millionenstelle niedriger als die Hundertstelstelle. In einem gegebenen letzten Dezimalbruch können wir über die Haupt- und Nebenziffern sprechen. Zum Beispiel im Dezimalbruch 604,9387 Senior (höchster) der Ort ist der Hunderterplatz, und Junior (niedrigster)- Zehntausendstelziffer.

Bei Dezimalbrüchen erfolgt die Zerlegung in Ziffern. Es ähnelt der Erweiterung um Ziffern natürlicher Zahlen. Beispielsweise lautet die Zerlegung von 45,6072 in Dezimalstellen wie folgt: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Und die Eigenschaften der Addition aus der Zerlegung eines Dezimalbruchs in Ziffern ermöglichen es Ihnen, zu anderen Darstellungen dieses Dezimalbruchs überzugehen, zum Beispiel 45,6072=45+0,6072 oder 45,6072=40,6+5,007+0,0002 oder 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Endende Dezimalstellen

Bisher haben wir nur von Dezimalbrüchen gesprochen, in deren Schreibweise endlich viele Nachkommastellen stehen. Solche Brüche werden endliche Dezimalzahlen genannt.

Definition.

Endende Dezimalzahlen- Dies sind Dezimalbrüche, deren Datensätze eine endliche Anzahl von Zeichen (Ziffern) enthalten.

Hier sind einige Beispiele für letzte Dezimalbrüche: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Allerdings kann nicht jeder Bruch als letzte Dezimalzahl dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch 5/13 nicht durch einen gleichen Bruch mit einem der Nenner 10, 100, ... ersetzt werden und daher nicht in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt werden. Wir werden im Theorieteil mehr darüber sprechen und gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Unendliche Dezimalzahlen: Periodische Brüche und nichtperiodische Brüche

Wenn Sie einen Dezimalbruch nach dem Dezimalpunkt schreiben, können Sie davon ausgehen, dass es eine unendliche Anzahl von Ziffern gibt. In diesem Fall betrachten wir die sogenannten unendlichen Dezimalbrüche.

Definition.

Unendliche Dezimalzahlen- Das sind Dezimalbrüche, die unendlich viele Ziffern enthalten.

Es ist klar, dass wir unendliche Dezimalbrüche nicht in vollständiger Form aufschreiben können, deshalb beschränken wir uns bei ihrer Aufzeichnung auf nur eine bestimmte endliche Anzahl von Nachkommastellen und setzen Auslassungspunkte, die eine unendlich fortlaufende Folge von Ziffern anzeigen. Hier sind einige Beispiele für unendliche Dezimalbrüche: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Schaut man sich die letzten beiden unendlichen Dezimalbrüche genau an, dann ist im Bruch 2,111111111... die sich endlos wiederholende Zahl 1 deutlich zu erkennen und im Bruch 69,74152152152... ab der dritten Dezimalstelle eine sich wiederholende Zahlengruppe 1, 5 und 2 sind deutlich zu erkennen. Solche unendlichen Dezimalbrüche nennt man periodisch.

Definition.

Periodische Dezimalstellen(oder einfach periodische Brüche) sind endlose Dezimalbrüche, bei deren Aufzeichnung ab einer bestimmten Dezimalstelle eine Zahl oder Zahlengruppe endlos wiederholt wird, was man nennt Periode des Bruchs.

Beispielsweise ist die Periode des periodischen Bruchs 2.111111111... die Ziffer 1 und die Periode des Bruchs 69.74152152152... ist eine Zifferngruppe der Form 152.

Für unendliche periodische Dezimalbrüche wird eine spezielle Schreibweise verwendet. Der Kürze halber haben wir vereinbart, den Punkt einmal aufzuschreiben und ihn in Klammern zu setzen. Beispielsweise wird der periodische Bruch 2.111111111... als 2,(1) und der periodische Bruch 69.74152152152... als 69.74(152) geschrieben.

Es ist zu beachten, dass Sie für denselben periodischen Dezimalbruch unterschiedliche Perioden angeben können. Beispielsweise kann der periodische Dezimalbruch 0,73333... als Bruch 0,7(3) mit einer Periode von 3 und auch als Bruch 0,7(33) mit einer Periode von 33 betrachtet werden, und so weiter 0,7(333), 0,7 (3333), ... Sie können den periodischen Bruch 0,73333 auch so betrachten: 0,733(3), oder so 0,73(333) usw. Um Mehrdeutigkeiten und Diskrepanzen zu vermeiden, vereinbaren wir hier, als Periode eines Dezimalbruchs die kürzeste aller möglichen Folgen sich wiederholender Ziffern zu betrachten, und zwar beginnend mit der Position, die dem Dezimalpunkt am nächsten liegt. Das heißt, die Periode des Dezimalbruchs 0,73333... wird als Folge einer Ziffer 3 betrachtet, und die Periodizität beginnt an der zweiten Stelle nach dem Dezimalpunkt, also 0,73333...=0,7(3). Ein weiteres Beispiel: Der periodische Bruch 4,7412121212... hat eine Periode von 12, die Periodizität beginnt ab der dritten Nachkommastelle, also 4,7412121212...=4,74(12).

Unendliche dezimale periodische Brüche erhält man, indem man gewöhnliche Brüche, deren Nenner andere Primfaktoren als 2 und 5 enthalten, in Dezimalbrüche umwandelt.

Hier sind periodische Brüche mit einer Periode von 9 zu erwähnen. Lassen Sie uns Beispiele für solche Brüche geben: 6.43(9) , 27,(9) . Diese Brüche sind eine andere Schreibweise für periodische Brüche mit der Periode 0 und werden normalerweise durch periodische Brüche mit der Periode 0 ersetzt. Dazu wird die Periode 9 durch die Periode 0 ersetzt und der Wert der nächsthöheren Ziffer um eins erhöht. Beispielsweise wird ein Bruch mit Periode 9 der Form 7,24(9) durch einen periodischen Bruch mit Periode 0 der Form 7,25(0) oder einen gleichen letzten Dezimalbruch 7,25 ersetzt. Ein weiteres Beispiel: 4,(9)=5,(0)=5. Die Gleichheit eines Bruchs mit Periode 9 und seines entsprechenden Bruchs mit Periode 0 lässt sich leicht feststellen, nachdem diese Dezimalbrüche durch gleiche gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Schauen wir uns abschließend die unendlichen Dezimalbrüche genauer an, die keine sich endlos wiederholende Ziffernfolge enthalten. Sie werden als nichtperiodisch bezeichnet.

Definition.

Einmalige Dezimalstellen(oder einfach nichtperiodische Brüche) sind unendliche Dezimalbrüche ohne Punkt.

Manchmal haben nichtperiodische Brüche eine ähnliche Form wie periodische Brüche, zum Beispiel ist 8,02002000200002... ein nichtperiodischer Bruch. In diesen Fällen sollten Sie besonders darauf achten, den Unterschied zu bemerken.

Beachten Sie, dass nichtperiodische Brüche nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können; unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche stellen irrationale Zahlen dar.

Operationen mit Dezimalzahlen

Eine der Operationen mit Dezimalbrüchen ist der Vergleich, außerdem werden die vier Grundrechenarten definiert Operationen mit Dezimalzahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Betrachten wir jede der Aktionen mit Dezimalbrüchen separat.

Vergleich von Dezimalzahlen basiert im Wesentlichen auf dem Vergleich gewöhnlicher Brüche, die den verglichenen Dezimalbrüchen entsprechen. Die Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche ist jedoch ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess, und unendliche nichtperiodische Brüche können nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Daher ist es zweckmäßig, einen ortsweisen Vergleich von Dezimalbrüchen durchzuführen. Der ortsweise Vergleich von Dezimalbrüchen ähnelt dem Vergleich natürlicher Zahlen. Für detailliertere Informationen empfehlen wir das Studium des Artikels: Vergleich von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispiele, Lösungen.

Kommen wir zum nächsten Schritt – Dezimalzahlen multiplizieren. Die Multiplikation endlicher Dezimalbrüche erfolgt auf ähnliche Weise wie die Subtraktion von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispielen und Lösungen für die Multiplikation mit einer Spalte natürlicher Zahlen. Bei periodischen Brüchen kann die Multiplikation auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Die Multiplikation unendlicher nichtperiodischer Dezimalbrüche nach ihrer Rundung reduziert sich wiederum auf die Multiplikation endlicher Dezimalbrüche. Wir empfehlen zum weiteren Studium das Material im Artikel: Multiplikation von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispiele, Lösungen.

Dezimalzahlen auf einem Koordinatenstrahl

Zwischen Punkten und Dezimalstellen besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung.

Lassen Sie uns herausfinden, wie Punkte auf dem Koordinatenstrahl konstruiert werden, die einem bestimmten Dezimalbruch entsprechen.

Wir können endliche Dezimalbrüche und unendliche periodische Dezimalbrüche durch gleiche gewöhnliche Brüche ersetzen und dann die entsprechenden gewöhnlichen Brüche auf dem Koordinatenstrahl konstruieren. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 1,4 dem gemeinsamen Bruch 14/10, sodass der Punkt mit der Koordinate 1,4 vom Ursprung in positiver Richtung um 14 Segmente entfernt ist, die einem Zehntel eines Einheitssegments entsprechen.

Dezimalbrüche können auf einem Koordinatenstrahl markiert werden, beginnend mit der Zerlegung eines bestimmten Dezimalbruchs in Ziffern. Lassen Sie uns zum Beispiel einen Punkt mit der Koordinate 16,3007 erstellen, da 16,3007=16+0,3+0,0007, dann in dieser Punkt Sie können dorthin gelangen, indem Sie nacheinander vom Ursprung aus 16 Einheitssegmente ablegen, 3 Segmente, deren Länge einem Zehntel eines Einheitssegments entspricht, und 7 Segmente, deren Länge einem Zehntausendstel eines Einheitssegments entspricht.

Diese Art zu bauen Dezimal Zahlen Auf dem Koordinatenstrahl können Sie dem Punkt, der dem unendlichen Dezimalbruch entspricht, so nahe kommen, wie Sie möchten.

Manchmal ist es möglich, den Punkt, der einem unendlichen Dezimalbruch entspricht, genau darzustellen. Zum Beispiel, , dann entspricht dieser unendliche Dezimalbruch 1,41421... einem Punkt auf dem Koordinatenstrahl, der vom Koordinatenursprung um die Länge der Diagonale eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1 Einheitssegment entfernt ist.

Der umgekehrte Prozess zum Erhalten des Dezimalbruchs, der einem bestimmten Punkt auf einem Koordinatenstrahl entspricht, ist der sogenannte Dezimale Messung eines Segments. Lassen Sie uns herausfinden, wie es gemacht wird.

Unsere Aufgabe sei es, vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie zu gelangen (oder uns ihm unendlich zu nähern, wenn wir ihn nicht erreichen können). Mit der dezimalen Messung eines Segments können wir nacheinander vom Ursprung aus eine beliebige Anzahl von Einheitssegmenten ablegen, dann Segmente, deren Länge einem Zehntel einer Einheit entspricht, dann Segmente, deren Länge einem Hundertstel einer Einheit entspricht usw. Indem wir die Anzahl der beiseite gelegten Segmente jeder Länge aufzeichnen, erhalten wir den Dezimalbruch, der einem bestimmten Punkt auf dem Koordinatenstrahl entspricht.

Um beispielsweise zum Punkt M in der obigen Abbildung zu gelangen, müssen Sie 1 Einheitssegment und 4 Segmente beiseite legen, deren Länge einem Zehntel einer Einheit entspricht. Somit entspricht Punkt M dem Dezimalbruch 1,4.

Es ist klar, dass die Punkte des Koordinatenstrahls, die bei der Dezimalmessung nicht erreicht werden können, unendlichen Dezimalbrüchen entsprechen.

Referenzliste.

Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: Abb. ISBN 5-346-00699-0.
Mathematik. 6. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [N. Ya. Vilenkin und andere]. - 22. Aufl., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Wir haben bereits gesagt, dass es Brüche gibt normal Und Dezimal. An dieser Moment Wir haben uns ein wenig mit Brüchen beschäftigt. Wir haben gelernt, dass es regelmäßige und unechte Brüche gibt. Wir haben auch gelernt, dass gewöhnliche Brüche reduziert, addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden können. Und wir haben auch gelernt, dass es sogenannte gemischte Zahlen gibt, die aus einem ganzzahligen und einem gebrochenen Teil bestehen.

Wir haben die gemeinsamen Brüche noch nicht vollständig erforscht. Es gibt viele Feinheiten und Details, über die gesprochen werden sollte, aber heute beginnen wir mit dem Studium Dezimal Brüche, da gewöhnliche und dezimale Brüche oft kombiniert werden müssen. Das heißt, beim Lösen von Problemen müssen Sie beide Arten von Brüchen verwenden.

Diese Lektion mag kompliziert und verwirrend erscheinen. Es ist ganz normal. Solche Lektionen erfordern, dass sie studiert werden und nicht nur oberflächlich überflogen werden.

Unterrichtsinhalte

Mengen in gebrochener Form ausdrücken

Manchmal ist es praktisch, etwas in Bruchform darzustellen. Ein Zehntel Dezimeter wird beispielsweise so geschrieben:

Dieser Ausdruck bedeutet, dass ein Dezimeter in zehn Teile geteilt wurde und aus diesen zehn Teilen ein Teil genommen wurde:

Wie Sie in der Abbildung sehen können, ist ein Zehntel Dezimeter ein Zentimeter.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Zeigen Sie 6 cm und weitere 3 mm in Zentimetern in gebrochener Form an.

Sie müssen also 6 cm und 3 mm in Zentimetern ausdrücken, jedoch in gebrochener Form. Wir haben bereits 6 ganze Zentimeter:

aber es sind noch 3 Millimeter übrig. Wie werden diese 3 Millimeter angezeigt, und zwar in Zentimetern? Fraktionen kommen zur Rettung. 3 Millimeter ist der dritte Teil eines Zentimeters. Und der dritte Teil eines Zentimeters wird als cm geschrieben

Ein Bruch bedeutet, dass ein Zentimeter in zehn gleiche Teile geteilt wurde und aus diesen zehn Teilen drei Teile genommen wurden (drei von zehn).

Als Ergebnis haben wir sechs ganze Zentimeter und drei Zehntel Zentimeter:

In diesem Fall gibt 6 die Anzahl ganzer Zentimeter und der Bruch die Anzahl gebrochener Zentimeter an. Dieser Bruch wird gelesen als „sechs Komma drei Zentimeter“.

Brüche, deren Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 enthält, können ohne Nenner geschrieben werden. Schreiben Sie zuerst den ganzen Teil und dann den Zähler des Bruchteils. Der ganzzahlige Teil wird durch ein Komma vom Zähler des Bruchteils getrennt.

Schreiben wir es zum Beispiel ohne Nenner. Dazu schreiben wir zunächst den gesamten Teil auf. Der ganzzahlige Teil ist die Zahl 6. Zuerst schreiben wir diese Zahl auf:

Der gesamte Teil wird aufgezeichnet. Unmittelbar nachdem wir den gesamten Teil geschrieben haben, setzen wir ein Komma:

Und jetzt schreiben wir den Zähler des Bruchteils auf. Bei einer gemischten Zahl ist der Zähler des Bruchteils die Zahl 3. Wir schreiben eine Drei nach dem Komma:

Jede Zahl, die in dieser Form dargestellt wird, wird aufgerufen Dezimal.

Daher können Sie 6 cm und weitere 3 mm mit einem Dezimalbruch in Zentimetern anzeigen:

6,3 cm

Es wird so aussehen:

Tatsächlich sind Dezimalzahlen dasselbe wie gewöhnliche Brüche und gemischte Zahlen. Die Besonderheit solcher Brüche besteht darin, dass der Nenner ihres Bruchteils die Zahlen 10, 100, 1000 oder 10000 enthält.

Ein Dezimalbruch besteht wie eine gemischte Zahl aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Beispielsweise ist in einer gemischten Zahl der ganzzahlige Teil 6 und der Bruchteil .

Im Dezimalbruch 6,3 ist der ganzzahlige Teil die Zahl 6 und der Bruchteil der Zähler des Bruchs, also die Zahl 3.

Es kommt auch vor, dass gewöhnliche Brüche im Nenner, deren Zahlen 10, 100, 1000 sind, ohne einen ganzzahligen Teil angegeben sind. Beispielsweise wird ein Bruch ohne einen ganzen Teil angegeben. Um einen solchen Bruch als Dezimalzahl zu schreiben, schreiben Sie zuerst 0, setzen Sie dann ein Komma und schreiben Sie den Zähler des Bruchs. Ein Bruch ohne Nenner wird wie folgt geschrieben:

Liest sich wie „Null Komma fünf“.

Gemischte Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Wenn wir gemischte Zahlen ohne Nenner schreiben, wandeln wir sie dadurch in Dezimalbrüche um. Bei der Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen müssen Sie einige Dinge wissen, über die wir jetzt sprechen werden.

Nachdem der ganze Teil aufgeschrieben wurde, ist es notwendig, die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils zu zählen, da die Anzahl der Nullen des Bruchteils und die Anzahl der Nachkommastellen im Dezimalbruch gleich sein müssen Dasselbe. Was bedeutet das? Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Anfangs

Und Sie könnten sofort den Zähler des Bruchteils aufschreiben und der Dezimalbruch ist fertig, aber Sie müssen unbedingt die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils zählen.

Wir zählen also die Anzahl der Nullen im Bruchteil einer gemischten Zahl. Der Nenner des Bruchteils hat eine Null. Das bedeutet, dass es in einem Dezimalbruch eine Ziffer nach dem Dezimalpunkt gibt und diese Ziffer der Zähler des Bruchteils der gemischten Zahl ist, also der Zahl 2

Wenn man sie also in einen Dezimalbruch umwandelt, erhält man aus einer gemischten Zahl den Wert 3,2.

Dieser Dezimalbruch liest sich so:

„Drei Komma zwei“

„Zehntel“, weil die Zahl 10 im Bruchteil einer gemischten Zahl steht.

Beispiel 2. Wandeln Sie eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl um.

Schreiben Sie den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Und Sie könnten sofort den Zähler des Bruchteils aufschreiben und den Dezimalbruch 5,3 erhalten, aber die Regel besagt, dass nach dem Komma so viele Ziffern stehen sollten, wie Nullen im Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl sind. Und wir sehen, dass der Nenner des Bruchteils zwei Nullen hat. Das bedeutet, dass unser Dezimalbruch zwei Nachkommastellen haben muss, nicht eine.

In solchen Fällen muss der Zähler des Bruchteils leicht geändert werden: Fügen Sie vor dem Zähler, also vor der Zahl 3, eine Null hinzu

Jetzt können Sie diese gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umwandeln. Schreiben Sie den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Und notieren Sie den Zähler des Bruchteils:

Der Dezimalbruch 5,03 liest sich wie folgt:

„Fünf Komma drei“

„Hunderter“, weil der Nenner des Bruchteils einer gemischten Zahl die Zahl 100 enthält.

Beispiel 3. Wandeln Sie eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl um.

Aus früheren Beispielen haben wir gelernt, dass zur erfolgreichen Umwandlung einer gemischten Zahl in eine Dezimalzahl die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchs und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich sein müssen.

Bevor eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umgewandelt wird, muss ihr Bruchteil leicht geändert werden, um sicherzustellen, dass die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils übereinstimmen Dasselbe.

Zunächst betrachten wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils. Wir sehen, dass es drei Nullen gibt:

Unsere Aufgabe besteht darin, drei Ziffern im Zähler des Bruchteils zu organisieren. Wir haben bereits eine Ziffer – das ist die Zahl 2. Es müssen noch zwei weitere Ziffern hinzugefügt werden. Es werden zwei Nullen sein. Fügen Sie sie vor der Zahl 2 hinzu. Dadurch ist die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich:

Jetzt können Sie damit beginnen, diese gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Zuerst schreiben wir den gesamten Teil auf und setzen ein Komma:

und notieren Sie sofort den Zähler des Bruchteils

3,002

Wir sehen, dass die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl gleich sind.

Der Dezimalbruch 3,002 liest sich wie folgt:

„Drei Komma zweitausendstel“

„Tausendstel“, weil der Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl die Zahl 1000 enthält.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000 oder 10000 können auch in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Da ein gewöhnlicher Bruch keinen ganzzahligen Teil hat, schreiben Sie zuerst 0 auf, setzen Sie dann ein Komma und notieren Sie den Zähler des Bruchteils.

Auch hier müssen die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich sein. Daher sollten Sie vorsichtig sein.

Beispiel 1.

Der ganze Teil fehlt, also schreiben wir zuerst 0 und setzen ein Komma:

Nun schauen wir uns die Anzahl der Nullen im Nenner an. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Und der Zähler hat eine Ziffer. Dies bedeutet, dass Sie den Dezimalbruch sicher fortsetzen können, indem Sie die Zahl 5 nach dem Dezimalpunkt schreiben

Im resultierenden Dezimalbruch 0,5 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Der Dezimalbruch 0,5 wird wie folgt gelesen:

„Null Komma fünf“

Beispiel 2. Wandeln Sie einen Bruch in eine Dezimalzahl um.

Ein ganzer Teil fehlt. Zuerst schreiben wir 0 und setzen ein Komma:

Nun schauen wir uns die Anzahl der Nullen im Nenner an. Wir sehen, dass es zwei Nullen gibt. Und der Zähler hat nur eine Ziffer. Um die Anzahl der Ziffern und die Anzahl der Nullen anzugleichen, fügen Sie vor der Zahl 2 eine Null in den Zähler ein. Dann nimmt der Bruch die Form an. Jetzt sind die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich. So können Sie den Dezimalbruch fortsetzen:

Im resultierenden Dezimalbruch 0,02 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Der Dezimalbruch 0,02 wird wie folgt gelesen:

„Null Komma zwei.“

Beispiel 3. Wandeln Sie einen Bruch in eine Dezimalzahl um.

Schreiben Sie 0 und setzen Sie ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs. Wir sehen, dass es fünf Nullen gibt und der Zähler nur eine Ziffer enthält. Um die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich zu machen, müssen Sie vor der Zahl 5 vier Nullen im Zähler hinzufügen:

Jetzt sind die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich. Wir können also mit dem Dezimalbruch fortfahren. Schreiben Sie den Zähler des Bruchs nach dem Dezimalpunkt

Im resultierenden Dezimalbruch 0,00005 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Der Dezimalbruch 0,00005 wird wie folgt gelesen:

„Null Komma fünfhunderttausendstel.“

Unechte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist. Es gibt unechte Brüche, deren Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 oder 10000 sind. Solche Brüche können in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Vor der Umwandlung in einen Dezimalbruch müssen solche Brüche jedoch in den ganzen Teil zerlegt werden.

Beispiel 1.

Der Bruch ist ein unechter Bruch. Um einen solchen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, müssen Sie zunächst den ganzen Teil davon auswählen. Erinnern wir uns daran, wie man den ganzen Teil unechter Brüche isoliert. Wenn Sie es vergessen haben, empfehlen wir Ihnen, dorthin zurückzukehren und es zu studieren.

Markieren wir also den ganzen Teil im unechten Bruch. Denken Sie daran, dass ein Bruch eine Division bedeutet in diesem Fall Division der Zahl 112 durch die Zahl 10

Schauen wir uns dieses Bild an und stellen wir eine neue gemischte Zahl zusammen, wie einen Kinderbaukasten. Die Nummer 11 wird sein ganzer Teil, die Zahl 2 ist der Zähler des Bruchteils, die Zahl 10 ist der Nenner des Bruchteils.

Wir haben eine gemischte Nummer. Wandeln wir es in einen Dezimalbruch um. Und wir wissen bereits, wie man solche Zahlen in Dezimalbrüche umwandelt. Schreiben Sie zunächst den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Und der Zähler des Bruchteils hat eine Ziffer. Das bedeutet, dass die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils und die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils gleich sind. Dies gibt uns die Möglichkeit, den Zähler des Nachkommateils sofort nach dem Komma aufzuschreiben:

Im resultierenden Dezimalbruch 11.2 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Das bedeutet, dass ein unechter Bruch bei der Umwandlung in eine Dezimalzahl 11,2 ergibt.

Der Dezimalbruch 11,2 liest sich wie folgt:

„Elf Komma zwei.“

Beispiel 2. Wandeln Sie unechten Bruch in eine Dezimalzahl um.

Es handelt sich um einen unechten Bruch, da der Zähler größer als der Nenner ist. Er kann aber in einen Dezimalbruch umgewandelt werden, da der Nenner die Zahl 100 enthält.

Wählen wir zunächst den ganzen Teil dieses Bruchs aus. Teilen Sie dazu 450 durch 100 mit einer Ecke:

Sammeln wir eine neue gemischte Zahl – wir erhalten . Und wir wissen bereits, wie man gemischte Zahlen in Dezimalbrüche umwandelt.

Schreiben Sie den gesamten Teil auf und setzen Sie ein Komma:

Nun zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils und die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils. Wir sehen, dass die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich sind. Dies gibt uns die Möglichkeit, den Zähler des Nachkommateils sofort nach dem Komma aufzuschreiben:

Im resultierenden Dezimalbruch 4,50 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Dies bedeutet, dass der Bruch korrekt übersetzt wird.

Das bedeutet, dass ein unechter Bruch bei der Umwandlung in eine Dezimalzahl 4,50 ergibt.

Wenn beim Lösen von Problemen am Ende des Dezimalbruchs Nullen stehen, können diese verworfen werden. Lassen wir auch die Null in unserer Antwort weg. Dann bekommen wir 4,5

Dies ist einer von interessante Funktionen Dezimalbrüche. Es liegt darin, dass die Nullen, die am Ende eines Bruchs stehen, diesem Bruch kein Gewicht verleihen. Mit anderen Worten: Die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 sind gleich. Setzen wir zwischen ihnen ein Gleichheitszeichen:

4,50 = 4,5

Es stellt sich die Frage: Warum passiert das? Immerhin sieht es nach 4,50 und 4,5 aus verschiedene Brüche. Das ganze Geheimnis liegt in der Grundeigenschaft von Brüchen, die wir zuvor untersucht haben. Wir werden versuchen zu beweisen, warum die Dezimalbrüche 4,50 und 4,5 gleich sind, aber nachdem wir uns mit dem nächsten Thema befasst haben, das „Umwandlung eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl“ heißt.

Konvertieren einer Dezimalzahl in eine gemischte Zahl

Jeder Dezimalbruch kann wieder in eine gemischte Zahl umgewandelt werden. Dazu reicht es aus, Dezimalbrüche lesen zu können. Lassen Sie uns zum Beispiel 6,3 in eine gemischte Zahl umwandeln. 6,3 ist sechs Komma drei. Zuerst schreiben wir sechs ganze Zahlen auf:

und neben drei Zehnteln:

Beispiel 2. Wandeln Sie die Dezimalzahl 3,002 in eine gemischte Zahl um

3,002 sind drei ganze und zwei Tausendstel. Zuerst schreiben wir drei ganze Zahlen auf

und daneben schreiben wir zwei Tausendstel:

Beispiel 3. Wandeln Sie die Dezimalzahl 4,50 in eine gemischte Zahl um

4,50 ist vier Komma fünfzig. Schreiben Sie vier ganze Zahlen auf

und die nächsten fünfzig Hundertstel:

Erinnern wir uns übrigens an das letzte Beispiel aus dem vorherigen Thema. Wir sagten, dass die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 gleich sind. Wir haben auch gesagt, dass die Null verworfen werden kann. Versuchen wir zu beweisen, dass die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 gleich sind. Dazu wandeln wir beide Dezimalbrüche in gemischte Zahlen um.

Bei der Umwandlung in eine gemischte Zahl wird die Dezimalzahl 4,50 zu und die Dezimalzahl 4,5

Wir haben zwei gemischte Zahlen und . Lassen Sie uns diese gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Jetzt haben wir zwei Brüche und . Es ist an der Zeit, sich an die Grundeigenschaft eines Bruchs zu erinnern, die besagt, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, wenn man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (oder dividiert).

Teilen wir den ersten Bruch durch 10

Wir haben , und das ist der zweite Bruch. Das bedeutet, dass beide einander gleich sind und den gleichen Wert haben:

Versuchen Sie, mit einem Taschenrechner zuerst 450 durch 100 und dann 45 durch 10 zu dividieren. Das wird eine lustige Sache.

Einen Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln

Jeder Dezimalbruch kann wieder in einen Bruch umgewandelt werden. Auch hierfür reicht es aus, Dezimalbrüche lesen zu können. Lassen Sie uns zum Beispiel 0,3 in einen gemeinsamen Bruch umwandeln. 0,3 ist null Komma drei. Zuerst schreiben wir null ganze Zahlen auf:

und daneben drei Zehntel 0. Null wird traditionell nicht aufgeschrieben, daher lautet die endgültige Antwort nicht 0, sondern einfach .

Beispiel 2. Wandeln Sie den Dezimalbruch 0,02 in einen Bruch um.

0,02 ist null Komma zwei. Wir schreiben keine Null auf, also schreiben wir sofort zwei Hundertstel auf

Beispiel 3. Wandeln Sie 0,00005 in einen Bruch um

0,00005 ist null Komma fünf. Wir schreiben nicht Null auf, also schreiben wir sofort fünfhunderttausendstel auf

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