Faktorisierung großer Zahlen. Eine Zahl in Primfaktoren zerlegen

(außer 0 und 1) haben mindestens zwei Teiler: 1 und sich selbst. Zahlen, die keine anderen Teiler haben, werden aufgerufen einfach Zahlen. Zahlen, die andere Teiler haben, heißen zusammengesetzt(oder Komplex) Zahlen. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Unten sind Primzahlen, nicht mehr als 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Multiplikation- eine der vier Grundrechenarten, eine binäre mathematische Operation, bei der ein Argument genauso oft hinzugefügt wird wie das andere. In der Arithmetik ist Multiplikation eine Kurzform der Addition einer bestimmten Anzahl identischer Terme.

Zum Beispiel, die Notation 5*3 bedeutet „drei Fünfer addieren“, also 5+5+5. Das Ergebnis der Multiplikation heißt arbeiten, und die zu multiplizierenden Zahlen sind Multiplikatoren oder Faktoren. Der erste Faktor wird manchmal als „ Multiplikand».

Jede zusammengesetzte Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden. Mit jeder Methode erhält man die gleiche Entwicklung, wenn man nicht die Reihenfolge berücksichtigt, in der die Faktoren geschrieben werden.

Faktorisieren einer Zahl (Faktorisierung).

Faktorisierung (Faktorisierung)- Aufzählung von Teilern – ein Algorithmus zur Faktorisierung oder zum Testen der Primalität einer Zahl durch vollständige Aufzählung aller möglichen potenziellen Teiler.

Diese., in einfacher Sprache Als Faktorisierung bezeichnet man in der Wissenschaftssprache den Prozess der Faktorisierung von Zahlen.

Die Reihenfolge der Aktionen bei der Berücksichtigung von Primfaktoren:

1. Prüfen Sie, ob die vorgeschlagene Zahl eine Primzahl ist.

2. Wenn nicht, wählen wir anhand der Teilungszeichen einen Teiler aus Primzahlen aus, beginnend mit der kleinsten (2, 3, 5 ...).

3. Wir wiederholen diese Aktion, bis sich herausstellt, dass der Quotient eine Primzahl ist.

Die Faktorisierung von Polynomen ist eine Identitätstransformation, bei der ein Polynom in das Produkt mehrerer Faktoren – Polynome oder Monome – umgewandelt wird.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Polynome zu faktorisieren.

Methode 1. Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen.

Diese Transformation basiert auf dem Verteilungsgesetz der Multiplikation: ac + bc = c(a + b). Der Kern der Transformation besteht darin, den gemeinsamen Faktor der beiden betrachteten Komponenten zu isolieren und aus Klammern zu „nehmen“.

Lassen Sie uns das Polynom 28x 3 – 35x 4 faktorisieren.

Lösung.

1. Finden Sie einen gemeinsamen Teiler für die Elemente 28x3 und 35x4. Für 28 und 35 sind es 7; für x 3 und x 4 – x 3. Mit anderen Worten, unser gemeinsamer Faktor ist 7x 3.

2. Wir stellen jedes der Elemente als Produkt von Faktoren dar, von denen einer
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Wir entfernen den gemeinsamen Faktor aus Klammern
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Methode 2. Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Die „Meisterschaft“ bei der Verwendung dieser Methode besteht darin, eine der abgekürzten Multiplikationsformeln im Ausdruck zu beachten.

Lassen Sie uns das Polynom x 6 – 1 faktorisieren.

Lösung.

1. Wir können die Quadratdifferenzformel auf diesen Ausdruck anwenden. Stellen Sie sich dazu x 6 als (x 3) 2 und 1 als 1 2 vor, d. h. 1. Der Ausdruck hat die Form:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Wir können die Formel für die Summe und Differenz von Würfeln auf den resultierenden Ausdruck anwenden:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Also,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Methode 3. Gruppierung. Die Gruppierungsmethode besteht darin, die Komponenten eines Polynoms so zu kombinieren, dass problemlos Operationen an ihnen durchgeführt werden können (Addition, Subtraktion, Subtraktion eines gemeinsamen Faktors).

Faktorisieren wir das Polynom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Lösung.

1. Gruppieren wir die Komponenten auf diese Weise: 1. mit 2. und 3. mit 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Im resultierenden Ausdruck nehmen wir die gemeinsamen Faktoren aus Klammern heraus: x 2 im ersten Fall und 5 im zweiten.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor x – 3 aus der Klammer und erhalten:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Also,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

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Faktorisieren Sie das Polynom a 2 – 7ab + 12b 2 .

Lösung.

1. Stellen wir das Monom 7ab als die Summe 3ab + 4ab dar. Der Ausdruck hat die Form:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Öffnen wir die Klammern und erhalten:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Gruppieren wir die Komponenten des Polynoms auf diese Weise: 1. mit 2. und 3. mit 4. Wir bekommen:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren aus Klammern heraus:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Nehmen wir den gemeinsamen Faktor (a – 3b) aus der Klammer:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Also,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

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Die Konzepte „Polynom“ und „Faktorisierung eines Polynoms“ kommen in der Algebra sehr häufig vor, da man sie kennen muss, um Berechnungen mit großen Zahlen problemlos durchführen zu können mehrstellige Zahlen. In diesem Artikel werden verschiedene Zerlegungsmethoden beschrieben. Alle von ihnen sind recht einfach zu verwenden; Sie müssen nur für jeden konkreten Fall die richtige auswählen.

Das Konzept eines Polynoms

Ein Polynom ist eine Summe von Monomen, also Ausdrücken, die nur die Operation der Multiplikation enthalten.

Beispielsweise ist 2 * x * y ein Monom, aber 2 * x * y + 25 ist ein Polynom, das aus 2 Monomen besteht: 2 * x * y und 25. Solche Polynome werden Binome genannt.

Manchmal muss ein Ausdruck zur Vereinfachung der Lösung von Beispielen mit mehrwertigen Werten transformiert werden, beispielsweise in eine bestimmte Anzahl von Faktoren zerlegt werden, d. h. Zahlen oder Ausdrücke, zwischen denen die Multiplikationsaktion durchgeführt wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Polynom zu faktorisieren. Es lohnt sich, darüber nachzudenken, beginnend mit dem primitivsten, das in der Grundschule verwendet wird.

Gruppierung (in allgemeiner Form erfassen)

Die Formel zum Faktorisieren eines Polynoms mithilfe der Gruppierungsmethode sieht im Allgemeinen wie folgt aus:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Es ist notwendig, die Monome so zu gruppieren, dass jede Gruppe einen gemeinsamen Faktor hat. In der ersten Klammer ist dies der Faktor c und in der zweiten - d. Dies muss durchgeführt werden, um es dann aus der Halterung zu bewegen und so die Berechnungen zu vereinfachen.

Zerlegungsalgorithmus anhand eines konkreten Beispiels

Das einfachste Beispiel für die Faktorisierung eines Polynoms mithilfe der Gruppierungsmethode ist unten aufgeführt:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

In der ersten Klammer müssen Sie die Terme mit dem Faktor a nehmen, der häufig vorkommt, und in der zweiten Klammer mit dem Faktor b. Achten Sie im fertigen Ausdruck auf die Zeichen + und –. Wir stellten vor das Monom das Zeichen, das drin war anfänglicher Ausdruck. Das heißt, Sie müssen nicht mit dem Ausdruck 25a, sondern mit dem Ausdruck -25 arbeiten. Das Minuszeichen scheint mit dem Ausdruck dahinter „geklebt“ zu sein und wird bei der Berechnung immer berücksichtigt.

Im nächsten Schritt müssen Sie den Multiplikator, der üblich ist, aus Klammern herausnehmen. Genau hierfür dient die Gruppierung. Außerhalb der Klammer zu stehen bedeutet, vor der Klammer alle Faktoren zu schreiben (ohne das Multiplikationszeichen), die sich in allen Termen in der Klammer genau wiederholen. Stehen nicht 2, sondern 3 oder mehr Terme in einer Klammer, muss in jedem von ihnen der gemeinsame Faktor enthalten sein, sonst kann er nicht aus der Klammer herausgenommen werden.

In unserem Fall stehen nur 2 Begriffe in Klammern. Der Gesamtmultiplikator ist sofort sichtbar. In der ersten Klammer ist es a, in der zweiten b. Hier müssen Sie auf die digitalen Koeffizienten achten. In der ersten Klammer sind beide Koeffizienten (10 und 25) Vielfache von 5. Das bedeutet, dass nicht nur a, sondern auch 5a aus der Klammer genommen werden kann. Schreiben Sie vor der Klammer 5a und dividieren Sie dann jeden der Terme in Klammern durch den herausgenommenen gemeinsamen Faktor. Schreiben Sie auch den Quotienten in Klammern, wobei Sie die Zeichen + und - nicht vergessen. Machen Sie dasselbe mit der zweiten Klammer und nehmen Sie aus 7b, sowie 14 und 35 Vielfaches von 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Wir haben zwei Begriffe: 5a(2c - 5) und 7b(2c - 5). Jeder von ihnen enthält einen gemeinsamen Faktor (der gesamte Ausdruck in Klammern ist hier derselbe, es handelt sich also um einen gemeinsamen Faktor): 2c - 5. Er muss auch aus der Klammer entfernt werden, d. h. die Terme 5a und 7b bleiben übrig in der zweiten Klammer:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Der vollständige Ausdruck lautet also:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Somit wird das Polynom 10ac + 14bc – 25a – 35b in 2 Faktoren zerlegt: (2c – 5) und (5a + 7b). Das Multiplikationszeichen dazwischen kann beim Schreiben weggelassen werden

Manchmal gibt es Ausdrücke dieser Art: 5a 2 + 50a 3, hier kann man aus Klammern nicht nur a oder 5a, sondern sogar 5a 2 setzen. Sie sollten immer versuchen, den größten gemeinsamen Faktor aus der Klammer herauszunehmen. Wenn wir in unserem Fall jeden Term durch einen gemeinsamen Faktor dividieren, erhalten wir:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(Bei der Berechnung des Quotienten mehrerer Potenzen gleicher Basen bleibt die Basis erhalten und der Exponent wird subtrahiert). Somit bleibt die Einheit in der Klammer (vergessen Sie auf keinen Fall, eine zu schreiben, wenn Sie einen der Terme aus der Klammer nehmen) und der Divisionsquotient: 10a. Es stellt sich heraus, dass:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Quadratische Formeln

Zur Vereinfachung der Berechnung wurden mehrere Formeln abgeleitet. Diese werden abgekürzte Multiplikationsformeln genannt und häufig verwendet. Diese Formeln helfen bei der Faktorisierung von Polynomen, die Grade enthalten. Das ist noch einer effektiver Weg Faktorisierung. Hier sind sie also:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - eine Formel namens „Quadrat der Summe“, da durch die Zerlegung in ein Quadrat die Summe der in Klammern eingeschlossenen Zahlen gebildet wird, d. h. der Wert dieser Summe wird zweimal mit sich selbst multipliziert und ist daher a Multiplikator.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Die Formel für das Quadrat der Differenz ähnelt der vorherigen. Das Ergebnis ist die in Klammern eingeschlossene Differenz, die in der Quadratpotenz enthalten ist.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- Dies ist eine Formel für die Differenz von Quadraten, da das Polynom zunächst aus 2 Quadraten von Zahlen oder Ausdrücken besteht, zwischen denen eine Subtraktion durchgeführt wird. Vielleicht wird es von den drei genannten am häufigsten verwendet.

Beispiele für Berechnungen mit quadratischen Formeln

Die Berechnungen für sie sind recht einfach. Zum Beispiel:

25x 2 + 20xy + 4y 2 - Verwenden Sie die Formel „Quadrat der Summe“.
25x 2 ist das Quadrat von 5x. 20xy ist das Doppelprodukt von 2*(5x*2y) und 4y 2 ist das Quadrat von 2y.
Somit ist 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Dieses Polynom wird in zwei Faktoren zerlegt (die Faktoren sind gleich, daher wird es als Ausdruck mit quadratischer Potenz geschrieben).

Aktionen, die die Quadratdifferenzformel verwenden, werden auf ähnliche Weise ausgeführt. Die verbleibende Formel ist die Quadratdifferenz. Beispiele für diese Formel sind sehr einfach zu definieren und unter anderen Ausdrücken zu finden. Zum Beispiel:

25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Da 25a 2 = (5a) 2 und 400 = 20 2
36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Da 36x 2 = (6x) 2 und 25y 2 = (5y 2)
c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Da 169b 2 = (13b) 2

Es ist wichtig, dass jeder der Terme ein Quadrat eines Ausdrucks ist. Dann muss dieses Polynom mithilfe der Quadratdifferenzformel faktorisiert werden. Hierzu ist es nicht erforderlich, dass der zweite Grad über der Zahl liegt. Es gibt Polynome, die große Grade enthalten, aber dennoch zu diesen Formeln passen.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

IN in diesem Beispiel und 8 kann als (a 4) 2 dargestellt werden, also das Quadrat eines bestimmten Ausdrucks. 25 ist 5 2 und 10a ist 4 - Dies ist das Doppelprodukt der Terme 2 * a 4 * 5. Das heißt, dieser Ausdruck kann trotz des Vorhandenseins von Graden mit großen Exponenten in zwei Faktoren zerlegt werden, um anschließend mit ihnen zu arbeiten.

Würfelformeln

Für die Faktorisierung von Polynomen, die Würfel enthalten, gibt es die gleichen Formeln. Sie sind etwas komplizierter als die mit Quadraten:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- Diese Formel wird Würfelsumme genannt, da das Polynom in seiner ursprünglichen Form die Summe zweier Ausdrücke oder Zahlen ist, die in einem Würfel eingeschlossen sind.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - Eine mit der vorherigen identische Formel wird als Kubikdifferenz bezeichnet.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - Würfel einer Summe, als Ergebnis von Berechnungen wird die Summe von Zahlen oder Ausdrücken in Klammern gesetzt und dreimal mit sich selbst multipliziert, also in einem Würfel angeordnet
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Die in Analogie zur vorherigen zusammengestellte Formel, bei der nur einige Vorzeichen mathematischer Operationen (Plus und Minus) geändert werden, wird als „Differenzwürfel“ bezeichnet.

Die letzten beiden Formeln werden zum Zweck der Faktorisierung eines Polynoms praktisch nicht verwendet, da sie komplex sind und es selten genug ist, Polynome zu finden, die genau dieser Struktur vollständig entsprechen, sodass sie mit diesen Formeln faktorisiert werden können. Sie müssen sie jedoch trotzdem kennen, da sie für die Schauspielerei erforderlich sind umgekehrte Richtung- beim Öffnen von Klammern.

Beispiele zu Würfelformeln

Schauen wir uns ein Beispiel an: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Hier werden recht einfache Zahlen verwendet, sodass Sie sofort erkennen können, dass 64a 3 (4a) 3 und 8b 3 (2b) 3 ist. Somit wird dieses Polynom gemäß der Formel Differenz von Würfeln in 2 Faktoren entwickelt. Aktionen, die die Formel für die Würfelsumme verwenden, werden analog ausgeführt.

Es ist wichtig zu verstehen, dass nicht alle Polynome auf mindestens eine Weise entwickelt werden können. Es gibt aber Ausdrücke, die größere Potenzen enthalten als ein Quadrat oder eine Kubikzahl, die aber auch zu abgekürzten Multiplikationsformen erweitert werden können. Zum Beispiel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Dieses Beispiel enthält bis zum 12. Grad. Aber selbst es kann mit der Würfelsummenformel faktorisiert werden. Dazu müssen Sie sich x 12 als (x 4) 3 vorstellen, also als Würfel eines Ausdrucks. Jetzt müssen Sie es anstelle von a in die Formel einsetzen. Nun, der Ausdruck 125y 3 ist eine Kubikzahl von 5y. Als nächstes müssen Sie das Produkt anhand der Formel zusammenstellen und Berechnungen durchführen.

Zunächst oder im Zweifelsfall können Sie dies jederzeit durch inverse Multiplikation überprüfen. Sie müssen lediglich die Klammern im resultierenden Ausdruck öffnen und Aktionen mit ähnlichen Begriffen ausführen. Diese Methode gilt für alle aufgeführten Reduktionsmethoden: sowohl für die Arbeit mit einem gemeinsamen Faktor und einer Gruppierung als auch für die Arbeit mit Formeln von Kubikzahlen und quadratischen Potenzen.

Schauen wir uns an konkrete Beispiele, wie man ein Polynom faktorisiert.

Wir werden die Polynome gemäß entwickeln.

Faktorpolynome:

Lassen Sie uns prüfen, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt. ja, es entspricht 7cd. Nehmen wir es mal aus der Klammer:

Der Ausdruck in Klammern besteht aus zwei Begriffen. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor mehr, der Ausdruck ist keine Formel für die Summe der Würfel, was bedeutet, dass die Zerlegung abgeschlossen ist.

Lassen Sie uns prüfen, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt. Nein. Das Polynom besteht aus drei Termen, also prüfen wir, ob es eine Formel für ein vollständiges Quadrat gibt. Zwei Terme sind die Quadrate der Ausdrücke: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², der dritte Term ist gleich dem Doppelprodukt dieser Ausdrücke: 2∙5x∙3y=30xy. Das bedeutet, dass dieses Polynom ein perfektes Quadrat ist. Da das Doppelprodukt ein Minuszeichen hat, lautet es:

Wir prüfen, ob es möglich ist, den gemeinsamen Faktor aus Klammern herauszunehmen. Es gibt einen gemeinsamen Faktor, er ist gleich a. Nehmen wir es mal aus der Klammer:

In Klammern stehen zwei Begriffe. Wir prüfen, ob es eine Formel für die Quadratdifferenz oder die Kubikdifferenz gibt. a² ist das Quadrat von a, 1=1². Das bedeutet, dass der Ausdruck in Klammern mit der Quadratdifferenzformel geschrieben werden kann:

Es gibt einen gemeinsamen Faktor, er ist gleich 5. Nehmen wir ihn aus der Klammer:

In Klammern stehen drei Begriffe. Wir prüfen, ob der Ausdruck ein perfektes Quadrat ist. Zwei Terme sind Quadrate: 16=4² und a² – das Quadrat von a, der dritte Term ist gleich dem Doppelprodukt von 4 und a: 2∙4∙a=8a. Daher ist es ein perfektes Quadrat. Da alle Terme ein „+“-Zeichen haben, ist der Ausdruck in Klammern das perfekte Quadrat der Summe:

Wir nehmen den allgemeinen Multiplikator -2x aus der Klammer:

In Klammern steht die Summe zweier Terme. Wir prüfen, ob dieser Ausdruck eine Summe von Kubikzahlen ist. 64=4³, x³- Würfel x. Das bedeutet, dass das Binomial mit der Formel erweitert werden kann:

Es gibt einen gemeinsamen Multiplikator. Da das Polynom jedoch aus 4 Termen besteht, werden wir zuerst und nur dann den gemeinsamen Faktor aus den Klammern herausnehmen. Gruppieren wir den ersten Term mit dem vierten und den zweiten mit dem dritten:

Aus der ersten Klammer entnehmen wir den gemeinsamen Faktor 4a, aus der zweiten - 8b:

Einen gemeinsamen Multiplikator gibt es noch nicht. Um es zu erhalten, entfernen wir das „-“ aus der zweiten Klammer und jedes Zeichen in der Klammer ändert sich in das Gegenteil:

Nehmen wir nun den gemeinsamen Faktor (1-3a) aus der Klammer:

In der zweiten Klammer steht ein gemeinsamer Faktor 4 (dies ist derselbe Faktor, den wir zu Beginn des Beispiels nicht aus Klammern gesetzt haben):

Da das Polynom aus vier Termen besteht, führen wir eine Gruppierung durch. Gruppieren wir den ersten Term mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten:

In der ersten Klammer gibt es keinen gemeinsamen Faktor, aber eine Formel für die Differenz der Quadrate, in der zweiten Klammer ist der gemeinsame Faktor -5:

Es ist ein gemeinsamer Multiplikator erschienen (4m-3n). Nehmen wir es aus der Gleichung heraus.

Was Faktorisierung? Dies ist eine Möglichkeit, ein unbequemes und komplexes Beispiel in ein einfaches und niedliches Beispiel zu verwandeln.) Eine sehr wirkungsvolle Technik! Es findet sich in jedem Schritt sowohl der Grund- als auch der höheren Mathematik.

Solche Transformationen werden in der mathematischen Sprache identische Transformationen von Ausdrücken genannt. Für diejenigen, die es nicht wissen, schauen Sie sich den Link an. Es gibt dort sehr wenig Einfaches und Nützliches.) Die Bedeutung jeder Identitätstransformation ist die Aufzeichnung des Ausdrucks in einer anderen Form unter Beibehaltung seines Wesens.

Bedeutung Faktorisierung extrem einfach und klar. Schon der Name selbst. Sie vergessen vielleicht (oder wissen nicht), was ein Multiplikator ist, aber können Sie herausfinden, dass dieses Wort vom Wort „multiplizieren“ stammt?) Factoring bedeutet: stellen einen Ausdruck in Form der Multiplikation von etwas mit etwas dar. Mögen mir die Mathematik und die russische Sprache verzeihen...) Das ist alles.

Beispielsweise müssen Sie die Zahl 12 erweitern. Sie können sicher schreiben:

Daher haben wir die Zahl 12 als Multiplikation von 3 mit 4 dargestellt. Bitte beachten Sie, dass die Zahlen auf der rechten Seite (3 und 4) völlig anders sind als auf der linken Seite (1 und 2). Aber wir verstehen vollkommen gut, dass 12 und 3 4 Dasselbe. Die Essenz der Zahl 12 aus der Transformation hat sich nicht geändert.

Kann man 12 anders zerlegen? Leicht!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Die Zerlegungsmöglichkeiten sind endlos.

Das Faktorisieren von Zahlen ist eine nützliche Sache. Es hilft zum Beispiel sehr, wenn man mit Wurzeln arbeitet. Aber die Faktorisierung algebraischer Ausdrücke ist nicht nur nützlich, sie ist es auch notwendig! Nur zum Beispiel:

Vereinfachen:

Wer nicht weiß, wie man einen Ausdruck faktorisiert, bleibt außen vor. Wer weiß wie – vereinfacht und erhält:

Der Effekt ist erstaunlich, oder?) Die Lösung ist übrigens ganz einfach. Sie werden es unten selbst sehen. Oder zum Beispiel diese Aufgabe:

Löse die Gleichung:

x 5 - x 4 = 0

Es wird übrigens im Kopf entschieden. Faktorisierung verwenden. Wir werden dieses Beispiel unten lösen. Antwort: x 1 = 0; x 2 = 1.

Oder dasselbe, aber für die Älteren):

Löse die Gleichung:

In diesen Beispielen habe ich gezeigt Hauptzweck Faktorisierung: Vereinfachen von Bruchausdrücken und Lösen einiger Arten von Gleichungen. Hier ist eine Faustregel, die Sie sich merken sollten:

Wenn wir einen gruseligen Bruchausdruck vor uns haben, können wir versuchen, Zähler und Nenner zu faktorisieren. Sehr oft wird der Bruch gekürzt und vereinfacht.

Wenn wir eine Gleichung vor uns haben, bei der rechts eine Null steht und links – ich verstehe nicht was –, können wir versuchen, die linke Seite zu faktorisieren. Manchmal hilft es).

Grundlegende Methoden der Faktorisierung.

Hier sind sie, die beliebtesten Methoden:

4. Entwicklung eines quadratischen Trinoms.

Diese Methoden müssen beachtet werden. Genau in dieser Reihenfolge. Komplexe Beispiele werden überprüft für alle mögliche Wege Zersetzung. Und es ist besser, der Reihe nach nachzuschauen, um nicht durcheinander zu kommen... Also fangen wir der Reihe nach an.)

1. Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern.

Ein einfacher und zuverlässiger Weg. Von ihm kommt nichts Schlimmes! Es passiert entweder gut oder gar nicht. Deshalb steht er an erster Stelle. Lass es uns herausfinden.

Jeder kennt (glaube ich!) die Regel:

a(b+c) = ab+ac

Oder allgemeiner:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Alle Gleichheiten funktionieren sowohl von links nach rechts als auch umgekehrt, von rechts nach links. Du kannst schreiben:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Das ist der springende Punkt, wenn man den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnimmt.

Auf der linken Seite A - gemeinsamer Multiplikator für alle Begriffe. Multipliziert mit allem, was existiert). Rechts ist das Meiste A ist bereits lokalisiert außerhalb der Klammern.

Wir werden die praktische Anwendung der Methode anhand von Beispielen betrachten. Zunächst ist die Option einfach, sogar primitiv.) Aber zu dieser Option werde ich beachten ( Grün) Sehr wichtige Punkte für jede Faktorisierung.

Faktorisieren:

ah+9x

Welche allgemein erscheint der Multiplikator in beiden Termen? X, natürlich! Wir werden es aus Klammern streichen. Lass uns das machen. Wir schreiben sofort X außerhalb der Klammern:

ax+9x=x(

Und in Klammern schreiben wir das Ergebnis der Division jeder Term auf genau diesem X. In Ordnung:

Das ist alles. Natürlich ist es nicht nötig, es so ausführlich zu beschreiben, das geschieht im Kopf. Aber es ist ratsam zu verstehen, was was ist. Wir halten im Gedächtnis fest:

Wir schreiben den gemeinsamen Faktor außerhalb der Klammern. In Klammern schreiben wir die Ergebnisse der Division aller Terme durch diesen gemeinsamen Faktor. In Ordnung.

Deshalb haben wir den Ausdruck erweitert ah+9x durch Multiplikatoren. Habe es in Multiplikation von x mit umgewandelt (a+9). Ich stelle fest, dass es im ursprünglichen Ausdruck auch eine Multiplikation gab, sogar zwei: a·x und 9·x. Aber es wurde nicht faktorisiert! Denn neben der Multiplikation enthielt dieser Ausdruck auch die Addition, das „+“-Zeichen! Und im Ausdruck x(a+9) Es gibt nichts als Multiplikation!

Wie so!? - Ich höre die empörte Stimme des Volkes - Und in Klammern!?)

Ja, in den Klammern steht ein Zusatz. Der Trick besteht jedoch darin, dass die Klammern zwar nicht geöffnet werden, wir sie aber berücksichtigen wie ein Buchstabe. Und wir machen alle Aktionen komplett mit Klammern, wie mit einem Buchstaben. In diesem Sinne, im Ausdruck x(a+9) Es gibt nichts außer Multiplikation. Das ist der springende Punkt der Faktorisierung.

Kann man übrigens irgendwie überprüfen, ob wir alles richtig gemacht haben? Leicht! Es reicht aus, das, was Sie ausgegeben haben, (x) mit Klammern zu multiplizieren und zu sehen, ob es funktioniert hat Original Ausdruck? Wenn es funktioniert, ist alles super!)

x(a+9)=ax+9x

Passiert.)

In diesem primitiven Beispiel gibt es keine Probleme. Aber wenn es mehrere Begriffe gibt, und sogar mit verschiedene Zeichen... Kurz gesagt, jeder dritte Schüler vermasselt. Daher:

Überprüfen Sie ggf. die Faktorisierung durch inverse Multiplikation.

Faktorisieren:

3ax+9x

Wir suchen nach einem gemeinsamen Faktor. Nun, mit X ist alles klar, es kann herausgenommen werden. Ist da mehr allgemein Faktor? Ja! Das ist eine Drei. Sie können den Ausdruck so schreiben:

3ax+3 3x

Hier ist sofort klar, dass es einen gemeinsamen Faktor geben wird 3x. Hier nehmen wir es heraus:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Verteilen.

Was passiert, wenn Sie es herausnehmen? nur x? Nichts Besonderes:

3ax+9x=x(3a+9)

Auch hier handelt es sich um eine Faktorisierung. Aber in diesem faszinierenden Prozess ist es üblich, alles bis zum Äußersten zu geben, solange sich die Gelegenheit bietet. Hier gibt es in Klammern die Möglichkeit, eine Drei zu setzen. Es wird sich herausstellen:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Das Gleiche, nur mit einer zusätzlichen Aktion.) Denken Sie daran:

Wenn wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen, versuchen wir ihn herauszunehmen maximal gemeinsamer Faktor.

Sollen wir den Spaß fortsetzen?)

Faktorisieren Sie den Ausdruck:

3akh+9х-8а-24

Was werden wir mitnehmen? Drei, X? Nein... Das geht nicht. Ich erinnere Sie daran, dass Sie nur herausnehmen können allgemein Multiplikator also insgesamt Begriffe des Ausdrucks. Deshalb ist er allgemein. Einen solchen Multiplikator gibt es hier nicht... Was, man muss ihn nicht erweitern!? Na ja, wir waren so glücklich... Treffen:

2. Gruppierung.

Eigentlich ist es schwierig, die Gruppe zu benennen auf unabhängige Weise Faktorisierung. Es ist eher eine Möglichkeit rauszukommen komplexes Beispiel.) Wir müssen die Begriffe gruppieren, damit alles klappt. Dies kann nur anhand eines Beispiels gezeigt werden. Wir haben also den Ausdruck:

3akh+9х-8а-24

Es ist ersichtlich, dass es einige gebräuchliche Buchstaben und Zahlen gibt. Aber... Allgemein Es gibt keinen Multiplikator für alle Begriffe. Lasst uns nicht den Mut verlieren und Brechen Sie den Ausdruck in Stücke. Gruppierung. Damit jedes Stück eine Gemeinsamkeit hat, gibt es etwas zum Mitnehmen. Wie brechen wir es? Ja, wir haben nur Klammern gesetzt.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass Klammern überall und wie Sie möchten platziert werden können. Nur die Essenz des Beispiels hat sich nicht geändert. Sie können beispielsweise Folgendes tun:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Bitte achten Sie auf die zweiten Klammern! Vor ihnen steht ein Minuszeichen und 8a Und 24 positiv geworden! Wenn wir zur Kontrolle die Klammern wieder öffnen, ändern sich die Vorzeichen und wir erhalten Original Ausdruck. Diese. Das Wesen des Ausdrucks aus den Klammern hat sich nicht geändert.

Wenn Sie jedoch nur Klammern eingefügt haben, ohne den Vorzeichenwechsel zu berücksichtigen, sieht dies beispielsweise so aus:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

es wäre ein Fehler. Rechts - schon andere Ausdruck. Öffnen Sie die Klammern und alles wird sichtbar. Sie müssen sich nicht weiter entscheiden, ja...)

Aber kehren wir zur Faktorisierung zurück. Schauen wir uns die ersten Klammern an (3ax+9x) und wir denken, gibt es etwas, das wir herausnehmen können? Nun, wir haben dieses Beispiel oben gelöst, wir können es nehmen 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Schauen wir uns die zweiten Klammern an, wir können dort eine Acht hinzufügen:

(8a+24)=8(a+3)

Unser gesamter Ausdruck wird sein:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorisiert? Nein. Das Ergebnis der Zersetzung sollte sein nur Multiplikation aber bei uns verdirbt das Minuszeichen alles. Aber... Beide Begriffe haben etwas gemeinsam! Das (a+3). Nicht umsonst habe ich gesagt, dass die gesamten Klammern sozusagen ein Buchstabe sind. Das bedeutet, dass diese Halterungen aus Halterungen entnommen werden können. Ja, genau so klingt es.)

Wir gehen wie oben beschrieben vor. Wir schreiben den gemeinsamen Faktor (a+3), in die zweite Klammer schreiben wir die Ergebnisse der Division der Terme durch (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Alle! Auf der rechten Seite gibt es nichts außer Multiplikation! Dies bedeutet, dass die Faktorisierung erfolgreich abgeschlossen wurde!) Hier ist es:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Lassen Sie uns kurz das Wesentliche der Gruppe wiederholen.

Wenn der Ausdruck dies nicht tut allgemein Multiplikator für alle Terme teilen wir den Ausdruck in Klammern auf, so dass innerhalb der Klammern der gemeinsame Faktor steht War. Wir nehmen es heraus und sehen, was passiert. Wenn Sie Glück haben und in den Klammern noch absolut identische Ausdrücke stehen, verschieben wir diese Klammern aus den Klammern.

Ich möchte hinzufügen, dass das Gruppieren ein kreativer Prozess ist. Es klappt nicht immer gleich beim ersten Mal. Macht nichts. Manchmal muss man Begriffe austauschen und verschiedene Gruppierungsoptionen in Betracht ziehen, bis man eine erfolgreiche Lösung gefunden hat. Hier kommt es vor allem darauf an, nicht den Mut zu verlieren!)

Beispiele.

Nachdem Sie Ihr Wissen bereichert haben, können Sie nun knifflige Beispiele lösen.) Zu Beginn der Lektion gab es drei davon...

Vereinfachen:

Im Wesentlichen haben wir dieses Beispiel bereits gelöst. Ohne unser Wissen.) Ich erinnere Sie daran: Wenn uns ein schrecklicher Bruch gegeben wird, versuchen wir, Zähler und Nenner zu faktorisieren. Weitere Vereinfachungsmöglichkeiten einfach nein.

Nun ja, der Nenner wird hier nicht erweitert, sondern der Zähler... Wir haben den Zähler bereits während der Lektion erweitert! So:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Das Ergebnis der Entwicklung schreiben wir in den Zähler des Bruchs:

Gemäß der Regel zum Reduzieren von Brüchen (der Haupteigenschaft eines Bruchs) können wir (gleichzeitig!) Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl oder denselben Ausdruck dividieren. Bruchteil davon ändert sich nicht. Also dividieren wir Zähler und Nenner durch den Ausdruck (3x-8). Und hier und da werden wir welche bekommen. Das Endergebnis der Vereinfachung:

Ich möchte besonders betonen: Die Reduzierung eines Bruchs ist neben der Multiplikation von Ausdrücken genau dann möglich, wenn im Zähler und im Nenner es gibt nichts. Deshalb erfolgt die Transformation der Summe (Differenz) in Multiplikation so wichtig für die Vereinfachung. Natürlich, wenn die Ausdrücke anders, dann wird nichts reduziert. Es wird passieren. Aber Faktorisierung gibt eine Chance. Diese Chance ohne Zersetzung gibt es einfach nicht.

Beispiel mit Gleichung:

Löse die Gleichung:

x 5 - x 4 = 0

Wir entfernen den gemeinsamen Faktor x 4 außerhalb der Klammern. Wir bekommen:

x 4 (x-1)=0

Wir erkennen, dass das Produkt der Faktoren gleich Null ist dann und nur dann, wenn einer von ihnen gleich Null. Wenn Sie Zweifel haben, besorgen Sie mir ein paar Zahlen ungleich Null, deren Multiplikation Null ergibt.) Also schreiben wir zunächst den ersten Faktor:

Bei einer solchen Gleichheit geht uns der zweite Faktor nichts an. Jeder kann es sein, aber am Ende wird es immer noch Null sein. Welche Zahl hoch vierfach ergibt Null? Nur Null! Und kein anderer... Deshalb:

Wir haben den ersten Faktor herausgefunden und eine Wurzel gefunden. Schauen wir uns den zweiten Faktor an. Jetzt ist uns der erste Faktor egal.):

Hier haben wir eine Lösung gefunden: x 1 = 0; x 2 = 1. Jede dieser Wurzeln passt zu unserer Gleichung.

Sehr wichtiger Hinweis. Bitte beachten Sie, dass wir die Gleichung gelöst haben Stück für Stück! Jeder Faktor war gleich Null, unabhängig von anderen Faktoren.Übrigens, wenn es in einer solchen Gleichung nicht wie bei uns zwei Faktoren gibt, sondern drei, fünf, so viele Sie möchten, werden wir sie lösen genau so. Stück für Stück. Zum Beispiel:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Jeder, der die Klammern öffnet und alles multipliziert, bleibt für immer an dieser Gleichung hängen.) Ein richtiger Schüler wird sofort erkennen, dass links außer der Multiplikation nichts und rechts eine Null steht. Und er wird (in Gedanken!) beginnen, alle Klammern gleichzusetzen, um sie auf Null zu bringen. Und er wird (in 10 Sekunden!) die richtige Lösung finden: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Cool, oder?) Eine so elegante Lösung ist möglich, wenn die linke Seite der Gleichung gilt faktorisiert. Hast du den Hinweis verstanden?)

Nun, ein letztes Beispiel für die Älteren):

Löse die Gleichung:

Es ist dem vorherigen etwas ähnlich, finden Sie nicht?) Natürlich. Es ist an der Zeit, sich daran zu erinnern, dass in der Algebra der siebten Klasse Sinus, Logarithmen und alles andere unter den Buchstaben verborgen sein können! Faktorisieren funktioniert in der gesamten Mathematik.

Wir entfernen den gemeinsamen Faktor LG 4 x außerhalb der Klammern. Wir bekommen:

log 4 x=0

Das ist eine Wurzel. Schauen wir uns den zweiten Faktor an.

Hier ist die endgültige Antwort: x 1 = 1; x 2 = 10.

Ich hoffe, Sie haben die Macht der Faktorisierung bei der Vereinfachung von Brüchen und beim Lösen von Gleichungen erkannt.)

In dieser Lektion haben wir etwas über gemeinsames Factoring und Gruppieren gelernt. Es bleibt noch, die Formeln für die abgekürzte Multiplikation und das quadratische Trinom zu verstehen.

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