Zahlen- und Buchstabenausdrücke als Unterrichtsfach in der Grundschule. Numerische Ausdrücke. Vergleichen numerischer Ausdrücke

2. Mathematischer Ausdruck und seine Bedeutung.

3. Lösen von Problemen basierend auf der Aufstellung einer Gleichung.

Die Algebra ersetzt Zahlenwerte quantitativer Merkmale von Mengen oder Mengen durch Buchstabensymbole. Im Allgemeinen ersetzt die Algebra auch die Vorzeichen bestimmter Operationen (Addition, Multiplikation usw.) durch verallgemeinerte Symbole algebraischer Operationen und berücksichtigt nicht die spezifischen Ergebnisse dieser Operationen (Antworten), sondern deren Eigenschaften.

Methodisch geht man davon aus, dass Algebra-Elemente im Kurs die Hauptrolle spielen Grundschulklassen Der Zweck der Mathematik besteht darin, zur Bildung allgemeiner Vorstellungen von Kindern über den Begriff „Menge“ und die Bedeutung arithmetischer Operationen beizutragen.

Heutzutage gibt es zwei radikal gegensätzliche Trends bei der Bestimmung des Umfangs des algebraischen Materials in einem Mathematikkurs der Grundschule. Ein Trend ist mit der frühen Algebraisierung des Mathematikkurses der Grundschule verbunden, der bereits ab der ersten Klasse mit algebraischem Material gesättigt ist; Ein weiterer Trend ist mit der Einführung von algebraischem Material in den Mathematikunterricht der Grundschule in dessen Abschlussphase, am Ende der 4. Klasse, verbunden. Vertreter des ersten Trends können als Autoren alternativer Lehrbücher des L.V.-Systems angesehen werden. Zankova (I.I. Arginskaya), Systeme V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina usw.), das System „Schule 2100“ (L.G. Peterson), das System „Schule des 21. Jahrhunderts“ (V.N. Rudnitskaya). Der Autor des alternativen Lehrbuchs des „Harmony“-Systems, N.B., kann als Vertreter des zweiten Trends angesehen werden. Istomin.

Das Lehrbuch der traditionellen Schule kann als Vertreter der „mittleren“ Ansichten angesehen werden – es enthält ziemlich viel algebraisches Material, da es sich auf die Verwendung des Mathematiklehrbuchs von N.Ya. konzentriert. Vilenkina in den Klassen 5-6 der Sekundarschule, führt Kinder jedoch ab der 2. Klasse in algebraische Konzepte ein, verteilt den Stoff über drei Jahre und hat in den letzten 20 Jahren die Liste der algebraischen Konzepte praktisch nicht erweitert.

Der obligatorische Mindestinhalt des Mathematikunterrichts für die Primarstufe (letzte Ausgabe 2001) enthält kein algebraisches Material. Sie erwähnen nicht die Fähigkeit von Grundschulabsolventen, mit algebraischen Konzepten zu arbeiten, und die Anforderungen an ihren Vorbereitungsstand nach Abschluss der Grundschulausbildung.

Mathematischer Ausdruck und seine Bedeutung

Eine Folge von Buchstaben und Zahlen, die durch Aktionszeichen verbunden sind, wird als mathematischer Ausdruck bezeichnet.

Es ist notwendig, einen mathematischen Ausdruck von Gleichheit und Ungleichheit zu unterscheiden, die in der Schrift Gleichheits- und Ungleichheitszeichen verwenden.

Zum Beispiel:

3 + 2 - mathematischer Ausdruck;

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - mathematische Ausdrücke;

a + b; 7 - s; 23 - und 4 - mathematische Ausdrücke.

Eine Notation wie 3 + 4 = 7 ist kein mathematischer Ausdruck, sondern eine Gleichheit.

Datensatztyp 5< 6 или 3 + а >7 - sind keine mathematischen Ausdrücke, sondern Ungleichungen.

Numerische Ausdrücke

Mathematische Ausdrücke, die nur Zahlen und Aktionssymbole enthalten, werden numerische Ausdrücke genannt.

In der 1. Klasse werden diese Konzepte im jeweiligen Lehrbuch nicht verwendet. In der 2. Klasse werden die Kinder an explizite numerische Ausdrücke (mit Namen) herangeführt.

Die einfachsten numerischen Ausdrücke enthalten nur Additions- und Subtraktionszeichen, zum Beispiel: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 usw. Nachdem wir die obigen Schritte ausgeführt haben, erhalten wir den Wert des Ausdrucks. Beispiel: 30 - 5 + 7 = 32, wobei 32 der Wert des Ausdrucks ist.

Einige Ausdrücke, die Kinder in Mathematikkursen der Grundschule lernen, haben ihre eigenen Namen: 4 + 5 - Summe;

6 - 5 - Differenz;

7 6 - Produkt; 63: 7 - Quotient.

Diese Ausdrücke haben Namen für jede Komponente: Komponenten der Summe – Summanden; Komponenten der Differenz - Minuend und Subtrahend; Bestandteile des Produkts sind Faktoren; Die Komponenten der Division sind der Dividend und der Divisor. Die Namen der Werte dieser Ausdrücke stimmen mit dem Namen des Ausdrucks überein, zum Beispiel: Der Wert des Betrags wird „Summe“ genannt; die Bedeutung eines Quotienten wird „Quotient“ genannt usw.

Die nächste Art numerischer Ausdrücke sind Ausdrücke, die Operationen der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Klammern enthalten. Die Kinder lernen sie in der 1. Klasse kennen. Mit diesem Ausdruckstyp ist die Regel für die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen in Ausdrücken mit Klammern verbunden: Die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt.

Darauf folgen numerische Ausdrücke, die zweistufige Operationen ohne Klammern (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) enthalten. Mit diesem Ausdruckstyp ist die Regel für die Reihenfolge der Operationen in Ausdrücken verbunden, die alle arithmetischen Operationen ohne Klammern enthalten: Die Operationen Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion ausgeführt.

Die letzte Art numerischer Ausdrücke sind Ausdrücke, die zweistufige Operationen mit Klammern enthalten. Mit diesem Ausdruckstyp ist die Regel für die Reihenfolge der Operationen in Ausdrücken verbunden, die alle arithmetischen Operationen und Klammern enthalten: Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt, dann werden die Operationen der Multiplikation und Division ausgeführt, dann die Operationen der Addition und Subtraktion.

Formel

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division – arithmetische Operationen (bzw Rechenoperationen). Diese Rechenoperationen entsprechen den Vorzeichen der Rechenoperationen:

+ (lesen " Plus") - Zeichen der Additionsoperation,

- (lesen " Minus") ist das Vorzeichen der Subtraktionsoperation,

∙ (lesen " multiplizieren") ist das Vorzeichen der Multiplikationsoperation,

: (lesen " teilen") ist das Vorzeichen der Divisionsoperation.

Ein Datensatz, der aus Zahlen besteht, die durch Rechenzeichen miteinander verbunden sind, wird aufgerufen numerischer Ausdruck. Ein numerischer Ausdruck kann auch Klammern enthalten, beispielsweise der Eintrag 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) ist ein numerischer Ausdruck.

Das Ergebnis der Ausführung von Aktionen an Zahlen im numerischen Ausdruck wird aufgerufen der Wert eines numerischen Ausdrucks. Das Ausführen dieser Aktionen wird als Berechnen des Werts eines numerischen Ausdrucks bezeichnet. Bevor Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks schreiben, geben Sie ein Gleichheitszeichen"=". Tabelle 1 zeigt Beispiele für numerische Ausdrücke und ihre Bedeutung.

Ein Eintrag bestehend aus Zahlen und Kleinbuchstaben Lateinisches Alphabet, durch Zeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden heißt wörtlicher Ausdruck. Dieser Eintrag kann Klammern enthalten. Zum Beispiel aufzeichnen ein +b - 3 ∙C ist ein wörtlicher Ausdruck. Anstelle von Buchstaben können Sie auch verschiedene Zahlen in einen Buchstabenausdruck einsetzen. In diesem Fall kann sich die Bedeutung der Buchstaben ändern, sodass die Buchstaben im Buchstabenausdruck auch aufgerufen werden Variablen.

Indem sie Zahlen anstelle von Buchstaben in den wörtlichen Ausdruck einsetzen und den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen, finden sie die Bedeutung eines Literalausdrucks für gegebene Buchstabenwerte(für gegebene Werte von Variablen). Tabelle 2 zeigt Beispiele für Buchstabenausdrücke.

Ein wörtlicher Ausdruck hat möglicherweise keine Bedeutung, wenn das Ersetzen der Werte der Buchstaben zu einem numerischen Ausdruck führt, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann. Dieser numerische Ausdruck heißt falsch für natürliche Zahlen. Es wird auch gesagt, dass die Bedeutung eines solchen Ausdrucks „ nicht definiert" für natürliche Zahlen und der Ausdruck selbst "Es ist nicht sinnvoll". Zum Beispiel der wörtliche Ausdruck a-b spielt keine Rolle, wenn a = 10 und b = 17. Tatsächlich kann bei natürlichen Zahlen der Minuend nicht kleiner sein als der Subtrahend. Wenn Sie beispielsweise nur 10 Äpfel haben (a = 10), können Sie nicht 17 davon verschenken (b = 17)!

Tabelle 2 (Spalte 2) zeigt ein Beispiel für einen Literalausdruck. Füllen Sie analog die Tabelle vollständig aus.

Für natürliche Zahlen lautet der Ausdruck 10 -17 falsch (ergibt keinen Sinn), d.h. Die Differenz 10 -17 kann nicht als natürliche Zahl ausgedrückt werden. Ein weiteres Beispiel: Man kann nicht durch Null dividieren, also ist für jede natürliche Zahl b der Quotient b: 0 nicht definiert.

Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Beziehungen werden oft in wörtlicher Form (d. h. in Form eines wörtlichen Ausdrucks) geschrieben. In diesen Fällen wird der Literalausdruck aufgerufen Formel. Zum Beispiel, wenn die Seiten eines Siebenecks gleich sind A,B,C,D,e,F,G, dann die Formel (wörtlicher Ausdruck) zur Berechnung seines Umfangs P hat die Form:

p =ein +b+c +d+e+f+G

Mit a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, der Umfang des Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Mit a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 ist der Umfang des anderen Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Block 1. Wortschatz

Erstellen Sie ein Wörterbuch mit neuen Begriffen und Definitionen aus dem Absatz. Schreiben Sie dazu Wörter aus der Liste der Begriffe unten in die leeren Zellen. Geben Sie in der Tabelle (am Ende des Blocks) die Nummern der Begriffe entsprechend den Nummern der Frames an. Es wird empfohlen, den Absatz noch einmal sorgfältig durchzulesen, bevor Sie die Zellen des Wörterbuchs ausfüllen.

Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

2. Zeichen „+“ (Plus), „-“ (Minus), „∙“ (multiplizieren, „ : " (teilen).

3. Ein Datensatz bestehend aus Zahlen, die durch Vorzeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden sind und auch Klammern enthalten können.

4. Das Ergebnis der Ausführung von Aktionen an Zahlen im numerischen Ausdruck.

5. Das Vorzeichen vor dem Wert eines numerischen Ausdrucks.

6. Ein Datensatz bestehend aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets, die durch Zeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden sind (es können auch Klammern vorhanden sein).

7. Gemeinsamen Namen Buchstaben im wörtlichen Ausdruck.

8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks, der durch Ersetzen von Variablen in einen Literalausdruck erhalten wird.

9. Ein numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann.

10. Ein numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen ermittelt werden kann.

11. Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Beziehungen, in Briefform geschrieben.

12. Ein Alphabet, dessen Kleinbuchstaben zum Schreiben alphabetischer Ausdrücke verwendet werden.

Block 2. Übereinstimmung

Ordnen Sie die Aufgabe in der linken Spalte der Lösung in der rechten Spalte zu. Schreiben Sie Ihre Antwort in der Form: 1a, 2d, 3b...

Block 3. Facettentest. Numerische und alphabetische Ausdrücke

Facettentests ersetzen Problemsammlungen in der Mathematik, unterscheiden sich jedoch von diesen dadurch, dass sie am Computer gelöst werden können, die Lösungen überprüft werden können und das Ergebnis der Arbeit sofort ermittelt werden kann. Dieser Test enthält 70 Probleme. Man kann aber Probleme nach Wahl lösen; hierfür gibt es eine Bewertungstabelle, die darauf hinweist einfache Aufgaben und schwieriger. Unten ist der Test.

Gegeben sei ein Dreieck mit Seiten C,D,M, ausgedrückt in cm
Gegeben sei ein Viereck mit Seiten B,C,D,M, ausgedrückt in m
Die Geschwindigkeit des Autos in km/h beträgt B, Die Reisezeit in Stunden beträgt D
Die vom Touristen zurückgelegte Strecke in M Stunden ist Mit km
Die vom Touristen zurückgelegte Strecke, wenn er sich mit hoher Geschwindigkeit fortbewegt M km/h ist B km
Die Summe zweier Zahlen ist um 15 größer als die zweite Zahl
Die Differenz ist geringer als die um 7 reduzierte Differenz
Ein Passagierschiff verfügt über zwei Decks mit der gleichen Anzahl an Passagiersitzen. In jeder der Reihen des Decks M Sitzplätze, Reihen an Deck an N mehr als Sitzplätze in einer Reihe
Petja ist m Jahre alt, Mascha ist n Jahre alt und Katja ist k Jahre jünger als Petja und Mascha zusammen
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

Die Bedeutung dieses Ausdrucks
Der wörtliche Ausdruck für den Umfang ist
Umfang ausgedrückt in Zentimetern
Formel für die Distanz, die ein Auto zurücklegt
Formel für Geschwindigkeit v, Touristenbewegung
Formel für Zeit t, Touristenbewegung
Vom Auto zurückgelegte Strecke in Kilometern
Touristengeschwindigkeit in Kilometern pro Stunde
Touristische Reisezeit in Stunden
Die erste Zahl ist...
Der Subtrahend ist gleich...
Ausdruck für die größte Zahl Passagiere, die das Linienschiff transportieren kann k Flüge
Die größte Anzahl an Passagieren, die ein Flugzeug befördern kann k Flüge
Buchstabenausdruck für Katyas Alter
Katyas Alter
Die Koordinate von Punkt B, wenn die Koordinate von Punkt C ist T
Die Koordinate von Punkt D, wenn die Koordinate von Punkt C ist T
Die Koordinate von Punkt A, wenn die Koordinate von Punkt C ist T
Länge des Segments BD auf der Zahlengeraden
Länge des Segments CA auf der Zahlengeraden
Länge des Segments DA auf der Zahlengeraden

Ausdrücke sind die Grundlage der Mathematik. Dieses Konzept ist ziemlich weit gefasst. Großer Teil Womit man sich in der Mathematik auseinandersetzen muss – Beispiele, Gleichungen und sogar Brüche – sind Ausdrücke. Ein charakteristisches Merkmal des Ausdrucks ist die Präsenz mathematische Operationen. Sie wird durch bestimmte Zeichen (Multiplikation, Division, Subtraktion oder Addition) angezeigt. Die Reihenfolge der Durchführung mathematischer Operationen wird bei Bedarf mit Klammern korrigiert. Mathe zu betreiben bedeutet, die Bedeutung eines Ausdrucks herauszufinden.

Was ist kein Ausdruck

Nicht jeder mathematische Notation können als Ausdrücke klassifiziert werden. Ob mathematische Operationen in der Gleichung vorhanden sind oder nicht, spielt keine Rolle. Beispielsweise ist a=5 eine Gleichheit und kein Ausdruck, aber 8+6*2=20 kann auch nicht als Ausdruck betrachtet werden, obwohl es Multiplikation und Addition enthält. Auch dieses Beispiel gehört zur Kategorie der Gleichheiten. Die Begriffe Ausdruck und Gleichheit schließen sich nicht aus, der erste ist Teil des zweiten. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Ausdrücke:
5+7=24:2Sie können diese Gleichung vereinfachen:
5+7=12Ein Ausdruck geht immer davon aus, dass die mathematischen Operationen, die er darstellt, ausgeführt werden können. 9+:-7 ist kein Ausdruck, obwohl es hier Anzeichen für mathematische Operationen gibt, da es unmöglich ist, diese Aktionen auszuführen. Es gibt auch mathematische Beispiele, die formal Ausdrücke sind, aber keine Bedeutung haben. Ein Beispiel für einen solchen Ausdruck:
46:(5-2-3)Die Zahl 46 muss durch das Ergebnis der Aktionen in Klammern dividiert werden und es gleich Null. Eine Division durch Null ist nicht möglich; eine solche Aktion gilt in der Mathematik als verboten.

Numerische und algebraische Ausdrücke

Es gibt zwei Arten von mathematischen Ausdrücken. Wenn ein Ausdruck nur Zahlen und Symbole mathematischer Operationen enthält, wird ein solcher Ausdruck als numerischer Ausdruck bezeichnet. Enthält der Ausdruck neben Zahlen durch Buchstaben bezeichnete Variablen oder sind überhaupt keine Zahlen vorhanden, besteht der Ausdruck nur aus Variablen und Symbolen mathematischer Operationen, spricht man von algebraischem. Der grundlegende Unterschied zwischen einem numerischen und einem algebraischen Wert ist, dass ein numerischer Ausdruck nur einen Wert hat. Beispielsweise ist der Wert des numerischen Ausdrucks 56–2*3 immer gleich 50; es kann nichts geändert werden. Ein algebraischer Ausdruck kann viele Bedeutungen haben, da ein Buchstabe durch eine beliebige Zahl ersetzt werden kann. Wenn wir also im Ausdruck b–7 b durch 9 ersetzen, ist der Wert des Ausdrucks 2, und wenn er 200 ist, beträgt er 193.

In diesem Artikel wird erläutert, wie Sie die Werte mathematischer Ausdrücke ermitteln. Beginnen wir mit einfachen numerischen Ausdrücken und betrachten dann Fälle mit zunehmender Komplexität. Am Ende präsentieren wir einen Ausdruck, der Buchstabensymbole, Klammern, Wurzeln, spezielle mathematische Symbole, Grade, Funktionen usw. enthält. Traditionsgemäß werden wir die gesamte Theorie mit zahlreichen und detaillierten Beispielen erläutern.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wie finde ich den Wert eines numerischen Ausdrucks?

Numerische Ausdrücke helfen unter anderem dabei, den Zustand eines Problems in mathematischer Sprache zu beschreiben. Im Allgemeinen können mathematische Ausdrücke entweder sehr einfach sein und aus einem Zahlenpaar und arithmetischen Symbolen bestehen, oder sehr komplex sein und Funktionen, Potenzen, Wurzeln, Klammern usw. enthalten. Im Rahmen einer Aufgabe ist es oft notwendig, die Bedeutung eines bestimmten Ausdrucks herauszufinden. Wie das geht, wird weiter unten besprochen.

Die einfachsten Fälle

Dies sind Fälle, in denen der Ausdruck nur Zahlen und Rechenoperationen enthält. Um die Werte solcher Ausdrücke erfolgreich zu finden, benötigen Sie Kenntnisse über die Reihenfolge der Ausführung arithmetischer Operationen ohne Klammern sowie die Fähigkeit, Operationen mit verschiedenen Zahlen auszuführen.

Wenn der Ausdruck nur Zahlen und Rechenzeichen „+“, „·“, „-“, „÷“ enthält, werden die Aktionen von links nach rechts in der folgenden Reihenfolge ausgeführt: zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel 1: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Sie müssen die Werte des Ausdrucks 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 finden.

Machen wir zunächst die Multiplikation und Division. Wir bekommen:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Nun führen wir die Subtraktion durch und erhalten das Endergebnis:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Beispiel 2: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Zuerst führen wir die Umrechnung, Division und Multiplikation von Brüchen durch:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Lassen Sie uns nun etwas addieren und subtrahieren. Lassen Sie uns die Brüche gruppieren und auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Der benötigte Wert wurde gefunden.

Ausdrücke mit Klammern

Wenn ein Ausdruck Klammern enthält, definieren diese die Reihenfolge der Operationen in diesem Ausdruck. Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt, dann alle anderen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel 3: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks 0,5 · (0,76 - 0,06) ermitteln.

Der Ausdruck enthält Klammern, daher führen wir zuerst die Subtraktionsoperation in Klammern durch und erst dann die Multiplikation.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Die Bedeutung von Ausdrücken, die Klammern in Klammern enthalten, wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt.

Beispiel 4: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Wir werden Aktionen beginnend mit den innersten Klammern ausführen und zu den äußeren übergehen.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Beim Ermitteln der Bedeutung von Ausdrücken mit Klammern kommt es vor allem darauf an, die Reihenfolge der Aktionen einzuhalten.

Ausdrücke mit Wurzeln

Mathematische Ausdrücke, deren Werte wir finden müssen, können Wurzelzeichen enthalten. Darüber hinaus kann der Ausdruck selbst unter dem Wurzelzeichen stehen. Was ist in diesem Fall zu tun? Zuerst müssen Sie den Wert des Ausdrucks unter der Wurzel ermitteln und dann die Wurzel aus der als Ergebnis erhaltenen Zahl extrahieren. Wenn möglich, ist es besser, Wurzeln in numerischen Ausdrücken zu entfernen und von durch zu ersetzen numerische Werte.

Beispiel 5: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks mit Wurzeln - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Zuerst berechnen wir die Wurzelausdrücke.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Jetzt können Sie den Wert des gesamten Ausdrucks berechnen.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Um die Bedeutung eines Ausdrucks mit Wurzeln zu finden, ist oft zunächst die Konvertierung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich. Lassen Sie uns dies anhand eines weiteren Beispiels erklären.

Beispiel 6: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Was ist 3 + 1 3 - 1 - 1

Wie Sie sehen, haben wir keine Möglichkeit, die Wurzel durch einen genauen Wert zu ersetzen, was den Zählvorgang erschwert. Allerdings in in diesem Fall Sie können die abgekürzte Multiplikationsformel anwenden.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Auf diese Weise:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ausdrücke mit Kräften

Wenn ein Ausdruck Potenzen enthält, müssen deren Werte berechnet werden, bevor mit allen anderen Aktionen fortgefahren wird. Es kommt vor, dass der Exponent oder die Basis des Grades selbst Ausdrücke sind. In diesem Fall wird zunächst der Wert dieser Ausdrücke berechnet und dann der Wert des Grades.

Beispiel 7: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden wir den Wert des Ausdrucks 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Beginnen wir mit der Berechnung der Reihe nach.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Es bleibt nur noch die Additionsoperation durchzuführen und die Bedeutung des Ausdrucks herauszufinden:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Oft empfiehlt es sich auch, einen Ausdruck mithilfe der Eigenschaften eines Grades zu vereinfachen.

Beispiel 8: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des folgenden Ausdrucks: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Die Exponenten sind wiederum so, dass ihre genauen Zahlenwerte nicht ermittelt werden können. Vereinfachen wir den ursprünglichen Ausdruck, um seinen Wert zu ermitteln.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Ausdrücke mit Brüchen

Wenn ein Ausdruck Brüche enthält, müssen bei der Berechnung eines solchen Ausdrucks alle darin enthaltenen Brüche in der Form dargestellt werden gewöhnliche Brüche und berechnen Sie deren Werte.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs Ausdrücke enthalten, werden zunächst die Werte dieser Ausdrücke berechnet und der Endwert des Bruchs selbst aufgeschrieben. Arithmetische Operationen werden in der Standardreihenfolge ausgeführt. Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel 9: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden wir den Wert des Ausdrucks, der Brüche enthält: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Wie Sie sehen, gibt es im ursprünglichen Ausdruck drei Brüche. Berechnen wir zunächst ihre Werte.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Schreiben wir unseren Ausdruck um und berechnen seinen Wert:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Beim Ermitteln der Bedeutung von Ausdrücken ist es oft sinnvoll, Brüche zu kürzen. Es gibt eine unausgesprochene Regel: Bevor man seinen Wert ermittelt, ist es am besten, jeden Ausdruck maximal zu vereinfachen und alle Berechnungen auf die einfachsten Fälle zu reduzieren.

Beispiel 10: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Ausdruck 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Wir können die Wurzel aus fünf nicht vollständig extrahieren, aber wir können den ursprünglichen Ausdruck durch Transformationen vereinfachen.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Der ursprüngliche Ausdruck hat die Form:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Berechnen wir den Wert dieses Ausdrucks:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Ausdrücke mit Logarithmen

Wenn in einem Ausdruck Logarithmen vorhanden sind, wird ihr Wert nach Möglichkeit von Anfang an berechnet. Beispielsweise können Sie im Ausdruck log 2 4 + 2 · 4 sofort den Wert dieses Logarithmus anstelle von log 2 4 aufschreiben und dann alle Aktionen ausführen. Wir erhalten: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Numerische Ausdrücke finden sich auch unter dem Logarithmuszeichen selbst und an seiner Basis. In diesem Fall gilt es zunächst, ihre Bedeutung herauszufinden. Nehmen wir den Ausdruck log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Wir haben:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Wenn es unmöglich ist, den genauen Wert des Logarithmus zu berechnen, hilft die Vereinfachung des Ausdrucks, seinen Wert zu ermitteln.

Beispiel 11: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden wir den Wert des Ausdrucks log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Durch die Eigenschaft von Logarithmen:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Wenn wir erneut die Eigenschaften von Logarithmen verwenden, erhalten wir für den letzten Bruch im Ausdruck:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Jetzt können Sie mit der Berechnung des Werts des ursprünglichen Ausdrucks fortfahren.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Es kommt vor, dass der Ausdruck die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sowie deren Umkehrfunktionen enthält. Der Wert wird berechnet, bevor alle anderen arithmetischen Operationen ausgeführt werden. Ansonsten wird der Ausdruck vereinfacht.

Beispiel 12: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Zuerst berechnen wir die Werte der im Ausdruck enthaltenen trigonometrischen Funktionen.

Sünde - 5 π 2 = - 1

Wir setzen die Werte in den Ausdruck ein und berechnen seinen Wert:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Der Ausdruckswert wurde gefunden.

Oftmals, um die Bedeutung eines Ausdrucks herauszufinden trigonometrische Funktionen, muss es zunächst konvertiert werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 13: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Wir müssen den Wert des Ausdrucks cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 finden.

Zur Konvertierung verwenden wir trigonometrische Formeln Kosinus des Doppelwinkels und Kosinus der Summe.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Allgemeiner Fall eines numerischen Ausdrucks

Allgemein trigonometrischer Ausdruck kann alle oben beschriebenen Elemente enthalten: Klammern, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Funktionen. Lassen Sie uns formulieren allgemeine Regel die Bedeutung solcher Ausdrücke herausfinden.

So ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks

Wurzeln, Potenzen, Logarithmen usw. werden durch ihre Werte ersetzt.
Die Aktionen in Klammern werden ausgeführt.
Die restlichen Aktionen werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt. Zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 14: Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Der Ausdruck ist ziemlich komplex und umständlich. Es war kein Zufall, dass wir ein solches Beispiel ausgewählt haben und versucht haben, alle oben beschriebenen Fälle darin unterzubringen. Wie findet man die Bedeutung eines solchen Ausdrucks?

Es ist bekannt, dass bei der Berechnung des Wertes einer komplexen Bruchform die Werte des Zählers und des Nenners des Bruchs zunächst jeweils getrennt ermittelt werden. Wir werden diesen Ausdruck nacheinander umwandeln und vereinfachen.

Berechnen wir zunächst den Wert des Wurzelausdrucks 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Dazu müssen Sie den Wert des Sinus und den Ausdruck ermitteln, der das Argument der trigonometrischen Funktion ist.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Jetzt können Sie den Wert des Sinus herausfinden:

Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = Sünde π 6 + 2 π = Sünde π 6 = 1 2.

Wir berechnen den Wert des Wurzelausdrucks:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Mit dem Nenner des Bruchs ist alles einfacher:

Jetzt können wir den Wert des ganzen Bruchs schreiben:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Unter Berücksichtigung dessen schreiben wir den gesamten Ausdruck:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Endergebnis:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In diesem Fall konnten wir rechnen genaue Werte Wurzeln, Logarithmen, Sinus usw. Wenn dies nicht möglich ist, können Sie versuchen, sie durch mathematische Transformationen zu beseitigen.

Berechnung von Ausdruckswerten mit rationalen Methoden

Numerische Werte müssen konsistent und genau berechnet werden. Dieser Prozess kann durch verschiedene Eigenschaften von Operationen mit Zahlen rationalisiert und beschleunigt werden. Beispielsweise ist bekannt, dass ein Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaft können wir sofort sagen, dass der Ausdruck 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 gleich Null ist. Gleichzeitig ist es überhaupt nicht notwendig, die Aktionen in der im obigen Artikel beschriebenen Reihenfolge auszuführen.

Es ist auch praktisch, die Eigenschaft der Subtraktion gleicher Zahlen zu nutzen. Ohne irgendwelche Aktionen auszuführen, können Sie anordnen, dass der Wert des Ausdrucks 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 ebenfalls Null ist.

Eine weitere Technik zur Beschleunigung des Prozesses ist die Verwendung von Identitätstransformationen wie das Gruppieren von Begriffen und Faktoren und das Setzen des gemeinsamen Faktors aus Klammern. Ein rationaler Ansatz zur Berechnung von Ausdrücken mit Brüchen besteht darin, dieselben Ausdrücke im Zähler und Nenner zu reduzieren.

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Ohne die Operationen in Klammern auszuführen, aber indem wir den Bruch reduzieren, können wir sagen, dass der Wert des Ausdrucks 1 3 ist.

Ermitteln der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Der Wert eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen wird für bestimmte gegebene Werte von Buchstaben und Variablen ermittelt.

Ermitteln der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Um den Wert eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen zu ermitteln, müssen Sie die angegebenen Werte von Buchstaben und Variablen in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen und dann den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen.

Beispiel 15: Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 0, 5 x - y bei x = 2, 4 und y = 5.

Wir setzen die Werte der Variablen in den Ausdruck ein und berechnen:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Manchmal können Sie einen Ausdruck so umwandeln, dass Sie seinen Wert unabhängig von den Werten der darin enthaltenen Buchstaben und Variablen erhalten. Dazu müssen Sie nach Möglichkeit Buchstaben und Variablen im Ausdruck entfernen, indem Sie identische Transformationen, Eigenschaften arithmetischer Operationen und alle möglichen anderen Methoden verwenden.

Beispielsweise hat der Ausdruck x + 3 - x offensichtlich den Wert 3, und Sie müssen den Wert nicht kennen, um diesen Wert zu berechnen. Variable x. Der Wert dieses Ausdrucks ist für alle Werte der Variablen x aus ihrem zulässigen Wertebereich gleich drei.

Noch ein Beispiel. Der Wert des Ausdrucks x x ist für alle positiven x gleich eins.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Wie finde ich den Umfang eines Rechtecks, dessen Seiten 3 cm und 5 cm betragen (Abb. 67)?

Um diese Frage zu beantworten, können Sie Folgendes schreiben: 2 * 3 + 2 * 5.

Dieser Rekord ist numerischer Ausdruck.

Lassen Sie uns noch ein paar Beispiele für numerische Ausdrücke geben: 12: 4 − 1, (5 + 17) + 11, (19 − 7) * 3. Diese Ausdrücke bestehen aus Zahlen, Rechenzeichen und Klammern.

Beachten Sie, dass nicht jede Eingabe aus Zahlen, Rechenzeichen und Klammern ein numerischer Ausdruck ist. Beispielsweise ist der Eintrag +) +3 − (2) ein bedeutungsloser Zeichensatz.

Nachdem wir das Problem des Umfangs eines Rechtecks vollständig gelöst haben, erhalten wir die Antwort 16 cm. In solchen Fällen sagt man, dass die Zahl 16 ist der Wert des Ausdrucks 2 * 3 + 2 * 5 .

Wie groß ist der Umfang eines Rechtecks, dessen Seitenlänge 3 cm und 1 cm beträgt? Die Antwort wird der Ausdruck 2 * 3 + 2 * a sein.

Die Notation 2 * 3 + 2 * a stellt dar wörtlicher Ausdruck.

Hier sind einige weitere Beispiele für Literalausdrücke: (a + b) + 11, 5 + 3 * x, n: 2 − k * 5. Diese Ausdrücke bestehen aus Zahlen, Buchstaben, Rechenzeichen und Klammern.

In alphabetischen Ausdrücken wird das Multiplikationszeichen in der Regel nur zwischen Zahlen geschrieben. In anderen Fällen wird darauf verzichtet. Anstelle von 5 * y, m * n, 2 * (a + b) schreiben sie beispielsweise 5 y, mn, 2 (a + b).

Die Seiten des Rechtecks seien gleich a cm und b cm. In diesem Fall sieht der wörtliche Ausdruck zum Ermitteln seines Umfangs wie folgt aus: 2 a + 2 b.

Ersetzen wir in diesem Ausdruck die Zahlen 3 und 5 anstelle der Buchstaben a bzw. b. Wir erhalten den numerischen Ausdruck 2 * 3 + 2 * 5, den wir bereits aufgeschrieben haben, um den Umfang des Rechtecks zu ermitteln. Wenn wir anstelle von a und b beispielsweise die Zahlen 4 und 9 einsetzen, erhalten wir den numerischen Ausdruck 2 * 4 + 2 * 9. Im Allgemeinen kann man aus einem Literalausdruck eine unendliche Anzahl numerischer Ausdrücke erhalten.

Bezeichnen wir den Umfang des Rechtecks mit dem Buchstaben P. Dann die Gleichheit

P = 2 a + 2 b

kann verwendet werden, um den Umfang zu ermitteln beliebig Rechteck. Solche Gleichheiten heißen Formeln.

Wenn beispielsweise die Seite eines Quadrats a ist, wird sein Umfang nach der Formel berechnet:

P=4a

Gleichwertigkeit

s = vt

Dabei ist s die zurückgelegte Strecke, v die Bewegungsgeschwindigkeit und t die Zeit, in der der Weg s zurückgelegt wird Pfadformel.

Beispiel 1 . Der Bauer packte die im Garten gesammelten Äpfel in fünf Kisten zu je 1 kg und B-Kisten zu je 20 kg. Wie viele Kilogramm Äpfel hat der Bauer gesammelt? Berechnen Sie den Wert des resultierenden Ausdrucks, wenn a = 18, b = 9.

Fünf Kisten enthalten 5 kg Äpfel, und Kisten B enthalten 20 kg Äpfel. Insgesamt sammelte der Landwirt (5 a + 20 b) kg Äpfel.

Wenn a = 18, b = 9, dann erhalten wir: 5 * 18 + 20 * 9 = 90 + 180 = 270 (kg).

Antwort: (5 a + 20 b) kg, 270 kg.

Beispiel 2 . Ermitteln Sie mithilfe der Wegformel die Geschwindigkeit, mit der der Zug in 6 Stunden 324 km zurückgelegt hat.

Da s = vt, dann ist v = s: t. Dann können wir v = 324: 6 = 54 (km/h) schreiben.

Antwort: 54 km/h.

Beispiel 3 . Pinocchio kaufte m Brötchen für 2 Soldi und einen Kuchen für 5 Soldi. Lassen Sie uns eine Formel zur Berechnung der Anschaffungskosten erstellen und diese Kosten ermitteln, wenn:

1) m = 4;

2) m = 12.

Für m Brötchen zahlte Buratino 2 m Soldi.

Wenn wir die Anschaffungskosten mit dem Buchstaben k bezeichnen, erhalten wir die Formel k = 2 m + 5.

1) Wenn m = 4, dann k = 2 * 4 + 5 = 13;

2) wenn m = 12, dann k = 2 * 12 + 5 = 29.

Antwort: k = 2 m + 5, 13 Soldaten, 29 Soldaten.