Grundlegende Konzepte und Definitionen von Vektoren. Vektoren für Dummies. Aktionen mit Vektoren. Vektorkoordinaten. Die einfachsten Probleme mit Vektoren. Das Konzept eines Vektors in der klassischen Geometrie

1. Was ist ein Vektor?

2. Addition von Vektoren.

3. Gleichheit der Vektoren.

4. Das Skalarprodukt zweier Vektoren und seine Eigenschaften.

5. Eigenschaften von Operationen an Vektoren.

6. Beweise und Problemlösung.

Eines der Grundkonzepte der modernen Mathematik ist der Vektor und seine Verallgemeinerung – der Tensor. Die Entwicklung des Vektorkonzepts erfolgte dank der weit verbreiteten Verwendung dieses Konzepts in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Mechanik und auch in der Technologie.

Das Ende des vergangenen und der Beginn des aktuellen Jahrhunderts waren geprägt von der weit verbreiteten Entwicklung der Vektorrechnung und ihrer Anwendungen. Es entstanden Vektoralgebra und Vektoranalysis sowie die allgemeine Theorie des Vektorraums. Diese Theorien wurden zur Konstruktion der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorien verwendet, die in der modernen Physik eine äußerst wichtige Rolle spielen.

Je nach Bedarf neues Programm In der Mathematik hat sich das Konzept eines Vektors zu einem der Leitkonzepte im schulischen Mathematikunterricht entwickelt.

Was ist ein Vektor? Seltsamerweise bereitet die Beantwortung dieser Frage gewisse Schwierigkeiten. Es gibt verschiedene Ansätze zur Definition des Konzepts eines Vektors; Und selbst wenn wir uns hier nur auf den interessantesten elementargeometrischen Ansatz zum Konzept eines Vektors beschränken, dann wird es ihn auch geben verschiedene Ansichten zu diesem Konzept. Unabhängig von der Definition ist ein Vektor natürlich – aus elementargeometrischer Sicht – ein geometrisches Objekt, das durch Richtung (d. h. eine gegebene Linie mit Genauigkeit bis hin zur Parallelität und der Richtung darauf) und Länge gekennzeichnet ist. Eine solche Definition ist zu allgemein und ruft keine spezifischen geometrischen Vorstellungen hervor. Gemäß dieser allgemeinen Definition kann ein paralleler Übertrag als Vektor betrachtet werden. Tatsächlich könnte man die folgende Definition akzeptieren: „Jede parallele Übertragung wird als Vektor bezeichnet.“ Diese Definition ist logisch einwandfrei und auf ihrer Grundlage kann die gesamte Theorie der Wirkungen auf Vektoren aufgebaut und Anwendungen dieser Theorie entwickelt werden. Diese Definition kann uns jedoch trotz ihrer völligen Spezifität auch hier nicht befriedigen, da uns die Idee eines Vektors als geometrische Transformation nicht ausreichend klar und weit von den physikalischen Konzepten vektorieller Größen entfernt erscheint.

Also, Vektor ist die Schar aller zueinander parallelen, gleich gerichteten und gleich langen Segmente (Abb. 1).

Ein Vektor wird in Zeichnungen durch ein Segment mit einem Pfeil dargestellt (d. h. es wird nicht die gesamte Familie von Segmenten dargestellt, die einen Vektor darstellen, sondern nur eines dieser Segmente). Zur Kennzeichnung von Vektoren in Büchern und Artikeln werden fette lateinische Buchstaben verwendet. a, b, c und so weiter und in Notizbüchern und an der Tafel - lateinische Buchstaben mit einem Bindestrich oben , Der gleiche Buchstabe, aber nicht fett, sondern hell (und im Notizbuch und an der Tafel derselbe Buchstabe ohne Bindestrich) bezeichnet die Länge des Vektors. Die Länge wird manchmal auch durch vertikale Striche angegeben – als Modul (Absolutwert) einer Zahl. Somit ist die Länge des Vektors A bezeichnet durch A oder ich A Ich und in handschriftlichem Text die Länge des Vektors A bezeichnet durch A oder ich A I. Im Zusammenhang mit der Darstellung von Vektoren in Form von Segmenten (Abb. 2) ist zu beachten, dass die Enden des den Vektor darstellenden Segments ungleich sind: von einem Ende des Segments zum anderen.

Es wird zwischen dem Anfang und dem Ende eines Vektors (genauer gesagt eines Segments, das einen Vektor darstellt) unterschieden.

Sehr oft wird der Begriff eines Vektors anders definiert: Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment. In diesem Fall wird vereinbart, dass Vektoren (d. h. gerichtete Segmente) mit derselben Länge und derselben Richtung (Abb. 3) als gleich angesehen werden.

Vektoren heißen gleichgerichtet, wenn ihre Halblinien gleich gerichtet sind.

Vektoraddition.

Alles, was gesagt wurde, macht den Begriff eines Vektors noch nicht ausreichend aussagekräftig und nützlich. Das Konzept eines Vektors erhält eine größere Bedeutung und umfassendere Anwendungsmöglichkeiten, wenn wir eine Art „geometrische Arithmetik“ einführen – die Vektorarithmetik, die es uns ermöglicht, Vektoren zu addieren, zu subtrahieren und eine ganze Reihe anderer Operationen an ihnen durchzuführen. Beachten wir in diesem Zusammenhang, dass der Zahlbegriff erst mit der Einführung arithmetischer Operationen und nicht an sich interessant wird.

Summe der Vektoren A Und V mit Koordinaten eine 1, eine 2 und eine 1, eine 2 wird als Vektor bezeichnet Mit mit Koordinaten a 1 + in 1 und 2 + in 2, diese. A(a 1; a 2) + V(in 1;in 2) = Mit(a 1 + in 1; a 2 + in 2).
Folge:
Um zu beweisen, dass die Addition von Vektoren auf einer Ebene kommutativ ist, muss ein Beispiel betrachtet werden. A Und V – Vektoren (Abb. 5).
Lassen

1. Konstruieren Sie ein Parallelogramm OASV: AM II OV, VN II OA.

Um die Assoziativität zu beweisen, zeichnen wir einen Vektor von einem beliebigen Punkt O aus OA = ein, vom Punkt Ein Vektor AB = in und vom Punkt in – Vektor BC = s. Dann haben wir: AB + BC = AC.
woraus folgt die Gleichheit ein + (in + c) = (a + b)+ s. Beachten Sie, dass der obige Beweis überhaupt keine Zeichnung verwendet. Dies ist (mit etwas Geschick) typisch für die Lösung von Problemen mithilfe von Vektoren. Lassen Sie uns nun auf den Fall eingehen, dass die Vektoren vorhanden sind A Und V sind in entgegengesetzte Richtungen gerichtet und haben die gleiche Länge; solche Vektoren heißen entgegengesetzt. Unsere Vektoradditionsregel führt dazu, dass die Summe zweier entgegengesetzter Vektoren einen „Vektor“ mit einer Länge von Null und keiner Richtung darstellt; Dieser „Vektor“ wird durch ein „Segment der Länge Null“ dargestellt, d. h. Punkt. Dies ist aber auch ein Vektor, der Null heißt und mit dem Symbol 0 bezeichnet wird.

Gleichheit der Vektoren.

Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie durch Parallelverschiebung kombiniert werden. Dies bedeutet, dass es eine parallele Übersetzung gibt, die den Anfang und das Ende eines Vektors jeweils zum Anfang und Ende eines anderen Vektors führt.

Aus diese Definition Gleichheit der Vektoren bedeutet, dass verschiedene Vektoren die gleiche Richtung haben und im Absolutwert gleich sind.

Und umgekehrt: Wenn die Vektoren gleich gerichtet und im Absolutwert gleich sind, dann sind sie gleich.

Lassen Sie die Vektoren tatsächlich AB Und MIT D – gleichgerichtete Vektoren, gleich im Absolutwert (Abb. 6). Eine Parallelverschiebung, die Punkt C nach Punkt A verschiebt, kombiniert die Halblinie CD mit der Halblinie AB, da sie gleich gerichtet sind. Und da die Segmente AB und CD gleich sind, wird Punkt D mit Punkt B kombiniert, d. h. durch Parallelverschiebung wird der Vektor verschoben CD zum Vektor AB. Das bedeutet, dass die Vektoren AB Und MIT D gleich sind, wie zum Nachweis erforderlich.

In diesem Artikel geben wir die Definition eines Vektors aus geometrischer Sicht sowie die wichtigsten damit verbundenen Konzepte. Auf einer Ebene und im Raum ist ein Vektor ein vollwertiges geometrisches Objekt, das heißt, er hat sehr reale Umrisse, die Sie in den bereitgestellten grafischen Abbildungen sehen werden.

Definition.

Vektor ist ein gerichtetes gerades Segment.

Das heißt, wir nehmen ein Segment auf einer Ebene oder im Raum als Vektor und betrachten einen seiner Randpunkte als Anfang und den anderen als Ende.

Um Vektoren zu kennzeichnen, verwenden wir beispielsweise lateinische Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber. Wenn die Randpunkte des Anfangs und Endes des Segments angegeben sind, zum Beispiel A und B, dann bezeichnen wir den Vektor als .

Definition.

Nullvektor ist ein beliebiger Punkt auf einer Ebene oder einem Raum.

Definition.

Vektorlänge ist eine nicht negative Zahl, die der Länge des Segments AB entspricht.

Wir bezeichnen die Länge des Vektors als .

Da die Bezeichnung für die Länge eines Vektors genau mit dem Vorzeichen des Moduls übereinstimmt, kann man hören, dass die Länge des Vektors Modul des Vektors genannt wird. Wir empfehlen jedoch die Verwendung des Begriffs „Vektorlänge“. Die Länge des Nullvektors ist Null.

Definition.

Die beiden Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie entweder auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen.

Definition.

Die beiden Vektoren werden aufgerufen nichtkollinear, wenn sie nicht auf derselben Geraden oder parallelen Geraden liegen.

Der Nullvektor ist mit jedem anderen Vektor kollinear.

Definition.

Co-Regie, wenn ihre Richtungen übereinstimmen und bezeichnen.

Definition.

Zwei kollinearer Vektor und Ruf an entgegengesetzt gerichtet, wenn ihre Richtungen entgegengesetzt sind und bezeichnen.

Definition.

Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich, wenn sie gleichgerichtet sind und ihre Längen gleich sind.

Definition.

Die beiden Vektoren werden aufgerufen Gegenteil, wenn sie entgegengesetzt gerichtet und gleich lang sind.

Das Konzept gleicher Vektoren gibt uns die Möglichkeit, Vektoren ohne Bezug auf bestimmte Punkte zu betrachten. Mit anderen Worten: Wir haben die Möglichkeit, einen Vektor durch einen gleichen Vektor zu ersetzen, der von jedem Punkt aus aufgetragen wird.

Es gebe zwei beliebige Vektoren in einer Ebene oder im Raum. Zeichnen wir die Vektoren und von einem Punkt O der Ebene oder des Raums aus. Die Strahlen OA und OB bilden einen Winkel.

In diesem Artikel beginnen wir mit der Diskussion eines „Zauberstabs“, der es Ihnen ermöglicht, viele Geometrieprobleme auf einfache Arithmetik zu reduzieren. Dieser „Stab“ kann Ihnen das Leben erheblich erleichtern, insbesondere wenn Sie unsicher sind, räumliche Figuren, Abschnitte usw. zu konstruieren. All dies erfordert eine gewisse Vorstellungskraft und praktische Fähigkeiten. Die Methode, die wir hier betrachten werden, ermöglicht es Ihnen, von allen Arten geometrischer Konstruktionen und Überlegungen fast vollständig zu abstrahieren. Die Methode wird aufgerufen „Koordinatenmethode“. In diesem Artikel gehen wir auf folgende Fragen ein:

1. Koordinatenebene
2. Punkte und Vektoren auf der Ebene
3. Konstruieren eines Vektors aus zwei Punkten
4. Vektorlänge (Abstand zwischen zwei Punkten).
5. Koordinaten der Segmentmitte
6. Skalarprodukt von Vektoren
7. Winkel zwischen zwei Vektoren

Ich denke, Sie haben bereits erraten, warum die Koordinatenmethode so heißt? Richtig, es hat diesen Namen bekommen, weil es nicht mit geometrischen Objekten arbeitet, sondern mit deren numerischen Eigenschaften (Koordinaten). Und die Transformation selbst, die uns den Übergang von der Geometrie zur Algebra ermöglicht, besteht in der Einführung eines Koordinatensystems. Wenn die ursprüngliche Figur flach war, sind die Koordinaten zweidimensional, und wenn die Figur dreidimensional ist, sind die Koordinaten dreidimensional. In diesem Artikel betrachten wir nur den zweidimensionalen Fall. Und das Hauptziel des Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie einige grundlegende Techniken der Koordinatenmethode anwenden (sie erweisen sich manchmal als nützlich bei der Lösung von Problemen zur Planimetrie in Teil B des Einheitlichen Staatsexamens). Die nächsten beiden Abschnitte zu diesem Thema sind der Diskussion von Methoden zur Lösung des Problems C2 (dem Problem der Stereometrie) gewidmet.

Wo wäre es logisch, mit der Diskussion der Koordinatenmethode zu beginnen? Wahrscheinlich aus dem Konzept eines Koordinatensystems. Denken Sie daran, als Sie ihr zum ersten Mal begegnet sind. Mir kommt es so vor, als hätte man in der 7. Klasse von der Existenz erfahren lineare Funktion, Zum Beispiel. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie es Punkt für Punkt aufgebaut haben. Erinnerst du dich? Sie haben eine beliebige Zahl gewählt, diese in die Formel eingesetzt und auf diese Weise berechnet. Zum Beispiel wenn, dann, wenn, dann usw. Was haben Sie am Ende herausgefunden? Und Sie haben Punkte mit Koordinaten erhalten: und. Als nächstes haben Sie ein „Kreuz“ (Koordinatensystem) gezeichnet, darauf einen Maßstab gewählt (wie viele Zellen Sie als Einheitssegment haben werden) und die erhaltenen Punkte darauf markiert, die Sie dann mit einer geraden Linie verbunden haben; Linie ist der Graph der Funktion.

Hier gibt es ein paar Punkte, die Ihnen etwas genauer erklärt werden sollten:

1. Sie wählen aus Bequemlichkeitsgründen ein einzelnes Segment, damit alles schön und kompakt in die Zeichnung passt.

2. Es wird akzeptiert, dass die Achse von links nach rechts und von unten nach oben verläuft

3. Sie schneiden sich im rechten Winkel und der Punkt ihres Schnittpunkts wird Ursprung genannt. Dies wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet.

4. Wenn Sie beispielsweise die Koordinaten eines Punktes schreiben, steht links in Klammern die Koordinate des Punktes entlang der Achse und rechts entlang der Achse. Insbesondere bedeutet es an dieser Stelle einfach das

5. Um einen beliebigen Punkt auf der Koordinatenachse anzugeben, müssen Sie seine Koordinaten (2 Zahlen) angeben.

6. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

7. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

8. Die Achse wird x-Achse genannt

9. Die Achse wird y-Achse genannt

Machen wir nun den nächsten Schritt: Markieren Sie zwei Punkte. Verbinden wir diese beiden Punkte mit einem Segment. Und wir werden den Pfeil so platzieren, als würden wir ein Segment von Punkt zu Punkt zeichnen: das heißt, wir machen unser Segment gerichtet!

Erinnern Sie sich, wie ein anderes Richtungssegment genannt wird? Das ist richtig, es heißt Vektor!

Wenn wir also Punkt für Punkt verbinden, und der Anfang wird Punkt A sein, und das Ende wird Punkt B sein, dann erhalten wir einen Vektor. Du hast diese Konstruktion auch in der 8. Klasse gemacht, erinnerst du dich?

Es stellt sich heraus, dass Vektoren wie Punkte durch zwei Zahlen bezeichnet werden können: Diese Zahlen werden Vektorkoordinaten genannt. Frage: Glauben Sie, dass es ausreicht, die Koordinaten des Anfangs und Endes eines Vektors zu kennen, um seine Koordinaten zu ermitteln? Es stellt sich heraus, ja! Und das geht ganz einfach:

Da also in einem Vektor der Punkt der Anfang und der Punkt das Ende ist, hat der Vektor die folgenden Koordinaten:

Wenn zum Beispiel, dann die Koordinaten des Vektors

Machen wir nun das Gegenteil und ermitteln die Koordinaten des Vektors. Was müssen wir dafür ändern? Ja, Sie müssen Anfang und Ende vertauschen: Jetzt befindet sich der Anfang des Vektors am Punkt und das Ende am Punkt. Dann:

Schauen Sie genau hin, was ist der Unterschied zwischen Vektoren und? Der einzige Unterschied besteht in den Vorzeichen in den Koordinaten. Sie sind Gegensätze. Diese Tatsache wird normalerweise so geschrieben:

Manchmal, wenn nicht genau angegeben ist, welcher Punkt der Anfang und welcher das Ende des Vektors ist, werden Vektoren nicht mit zwei Großbuchstaben, sondern mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel: usw.

Jetzt ein wenig üben selbst und finden Sie die Koordinaten der folgenden Vektoren:

Untersuchung:

Lösen Sie nun ein etwas schwierigeres Problem:

Ein Vektor mit einem Startpunkt an einem Punkt hat ein Co-or-di-na-you. Finden Sie die abs-cis-su-Punkte.

Trotzdem ist es ganz prosaisch: Seien die Koordinaten des Punktes. Dann

Ich habe das System basierend auf der Definition der Vektorkoordinaten zusammengestellt. Dann hat der Punkt Koordinaten. Uns interessiert die Abszisse. Dann

Antwort:

Was kann man sonst noch mit Vektoren machen? Ja, fast alles ist das Gleiche wie bei gewöhnlichen Zahlen (außer dass man nicht dividieren, sondern auf zwei Arten multiplizieren kann, von denen wir hier etwas später noch eine besprechen werden).

1. Vektoren können einander hinzugefügt werden
2. Vektoren können voneinander subtrahiert werden
3. Vektoren können mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert (oder dividiert) werden
4. Vektoren können miteinander multipliziert werden

Alle diese Operationen haben eine sehr klare geometrische Darstellung. Zum Beispiel die Dreiecks- (oder Parallelogramm-)Regel für Addition und Subtraktion:

Ein Vektor dehnt oder zieht sich zusammen oder ändert die Richtung, wenn er mit einer Zahl multipliziert oder dividiert wird:

Allerdings wird uns hier die Frage interessieren, was mit den Koordinaten passiert.

1. Wenn wir zwei Vektoren addieren (subtrahieren), addieren (subtrahieren) wir ihre Koordinaten Element für Element. Also:

2. Beim Multiplizieren (Dividieren) eines Vektors mit einer Zahl werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert (dividiert):

Zum Beispiel:

· Finden Sie die Menge an Co-oder-Di-Nat-Century-to-Ra.

Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten jedes der Vektoren ermitteln. Sie haben beide den gleichen Ursprung – den Ursprungspunkt. Ihre Enden sind unterschiedlich. Dann, . Berechnen wir nun die Koordinaten des Vektors. Dann ist die Summe der Koordinaten des resultierenden Vektors gleich.

Antwort:

Lösen Sie nun selbst folgendes Problem:

· Finden Sie die Summe der Vektorkoordinaten

Wir überprüfen:

Betrachten wir nun das folgende Problem: Wir haben zwei Punkte auf der Koordinatenebene. Wie finde ich den Abstand zwischen ihnen? Lassen Sie den ersten Punkt sein und den zweiten. Bezeichnen wir den Abstand zwischen ihnen mit. Zur Verdeutlichung machen wir folgende Zeichnung:

Was ich getan habe? Zuerst habe ich mich verbunden Punkte und,a Außerdem habe ich von einem Punkt aus eine Linie parallel zur Achse gezeichnet, und von einem Punkt aus habe ich eine Linie parallel zur Achse gezeichnet. Haben sie sich an einem Punkt gekreuzt und eine bemerkenswerte Figur gebildet? Was ist das Besondere an ihr? Ja, Sie und ich wissen fast alles darüber rechtwinkliges Dreieck. Na ja, auf jeden Fall der Satz des Pythagoras. Das erforderliche Segment ist die Hypotenuse dieses Dreiecks und die Segmente sind die Schenkel. Wie lauten die Koordinaten des Punktes? Ja, sie sind aus dem Bild leicht zu finden: Da die Segmente parallel zu den Achsen sind und dementsprechend ihre Längen leicht zu finden sind: Wenn wir die Längen der Segmente mit bzw. bezeichnen, dann

Lassen Sie uns nun den Satz des Pythagoras verwenden. Wir kennen die Länge der Beine, wir finden die Hypotenuse:

Somit ist der Abstand zwischen zwei Punkten die Wurzel der Summe der quadrierten Differenzen der Koordinaten. Oder – der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge des sie verbindenden Segments. Es ist leicht zu erkennen, dass der Abstand zwischen Punkten nicht von der Richtung abhängt. Dann:

Daraus ziehen wir drei Schlussfolgerungen:

Lassen Sie uns ein wenig üben, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet:

Wenn zum Beispiel, dann ist der Abstand zwischen und gleich

Oder gehen wir einen anderen Weg: Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Und ermitteln Sie die Länge des Vektors:

Wie Sie sehen, ist es dasselbe!

Üben Sie nun selbst ein wenig:

Aufgabe: Finden Sie den Abstand zwischen den angegebenen Punkten:

Wir überprüfen:

Hier sind ein paar weitere Probleme, die dieselbe Formel verwenden, obwohl sie etwas anders klingen:

1. Ermitteln Sie das Quadrat der Länge des Augenlids.

2. Ermitteln Sie das Quadrat der Länge des Augenlids

Ich denke, Sie haben sie ohne Schwierigkeiten gemeistert? Wir überprüfen:

1. Und das dient der Aufmerksamkeit) Die Koordinaten der Vektoren haben wir bereits früher gefunden: . Dann hat der Vektor Koordinaten. Das Quadrat seiner Länge ist gleich:

2. Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Dann ist das Quadrat seiner Länge

Nichts Kompliziertes, oder? Einfache Arithmetik, mehr nicht.

Die folgenden Probleme lassen sich nicht eindeutig einordnen; es geht vielmehr um allgemeine Gelehrsamkeit und die Fähigkeit, einfache Bilder zu zeichnen.

1. Finden Sie den Sinus des Winkels aus dem Schnitt, der den Punkt mit der Abszissenachse verbindet.

Und

Wie gehen wir hier vor? Wir müssen den Sinus des Winkels zwischen und der Achse ermitteln. Wo können wir nach Sinus suchen? Genau, in einem rechtwinkligen Dreieck. Was müssen wir also tun? Baue dieses Dreieck!

Da die Koordinaten des Punktes und sind, ist das Segment gleich und das Segment. Wir müssen den Sinus des Winkels finden. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse ist

Was bleibt uns noch zu tun? Finden Sie die Hypotenuse. Sie können dies auf zwei Arten tun: mit dem Satz des Pythagoras (die Beine sind bekannt!) oder mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten (eigentlich dasselbe wie bei der ersten Methode!). Ich gehe den zweiten Weg:

Antwort:

Die nächste Aufgabe wird Ihnen noch einfacher erscheinen. Sie befindet sich auf den Koordinaten des Punktes.

Aufgabe 2. Von diesem Punkt aus wird der Per-Pen-Di-Ku-Lyar auf die Ab-Ciss-Achse abgesenkt. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Machen wir eine Zeichnung:

Die Basis einer Senkrechten ist der Punkt, an dem sie die x-Achse (Achse) schneidet, für mich ist das ein Punkt. Die Abbildung zeigt, dass es Koordinaten hat: . Uns interessiert die Abszisse, also die „x“-Komponente. Sie ist gleich.

Antwort: .

Aufgabe 3. Ermitteln Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems die Summe der Abstände vom Punkt zu den Koordinatenachsen.

Die Aufgabe ist im Allgemeinen einfach, wenn man weiß, wie groß der Abstand eines Punktes zu den Achsen ist. Du weisst? Ich hoffe, aber ich möchte Sie trotzdem daran erinnern:

Habe ich in meiner Zeichnung oben bereits eine solche Senkrechte gezeichnet? Auf welcher Achse liegt es? Zur Achse. Und wie lang ist es dann? Sie ist gleich. Zeichnen Sie nun selbst eine Senkrechte zur Achse und ermitteln Sie deren Länge. Es wird gleich sein, oder? Dann ist ihre Summe gleich.

Antwort: .

Aufgabe 4. Finden Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 2 die Ordinate eines Punktes, der symmetrisch zum Punkt relativ zur Abszissenachse ist.

Ich denke, Ihnen ist intuitiv klar, was Symmetrie ist? Viele Objekte haben es: viele Gebäude, Tische, Flugzeuge, viele geometrische Figuren: Kugel, Zylinder, Quadrat, Raute usw. Unter Symmetrie lässt sich grob gesagt Folgendes verstehen: Eine Figur besteht aus zwei (oder mehr) identischen Hälften. Diese Symmetrie wird Axialsymmetrie genannt. Was ist dann eine Achse? Dies ist genau die Linie, entlang derer die Figur relativ gesehen in gleiche Hälften „geschnitten“ werden kann (in diesem Bild ist die Symmetrieachse gerade):

Kommen wir nun zurück zu unserer Aufgabe. Wir wissen, dass wir nach einem Punkt suchen, der symmetrisch zur Achse ist. Dann ist diese Achse die Symmetrieachse. Das bedeutet, dass wir einen Punkt so markieren müssen, dass die Achse das Segment in zwei gleiche Teile schneidet. Versuchen Sie, einen solchen Punkt selbst zu markieren. Vergleichen Sie nun mit meiner Lösung:

Hat es bei Ihnen genauso geklappt? Bußgeld! Uns interessiert die Ordinate des gefundenen Punktes. Es ist gleich

Antwort:

Sagen Sie mir nun, nachdem ich ein paar Sekunden nachgedacht habe, was die Abszisse eines Punktes sein wird, der symmetrisch zu Punkt A relativ zur Ordinate ist. Wie ist deine Antwort? Korrekte Antwort: .

Im Allgemeinen kann die Regel so geschrieben werden:

Ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt relativ zur Abszissenachse hat die Koordinaten:

Ein Punkt, der relativ zur Ordinatenachse symmetrisch zu einem Punkt ist, hat Koordinaten:

Nun, jetzt ist es völlig beängstigend Aufgabe: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der relativ zum Ursprung symmetrisch zum Punkt ist. Denken Sie zuerst selbst nach und schauen Sie sich dann meine Zeichnung an!

Antwort:

Jetzt Parallelogrammproblem:

Aufgabe 5: Die Punkte erscheinen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finden Sie or-di-zu diesem Punkt.

Sie können dieses Problem auf zwei Arten lösen: Logik und die Koordinatenmethode. Ich verwende zuerst die Koordinatenmethode und erkläre Ihnen dann, wie Sie es anders lösen können.

Es ist ganz klar, dass die Abszisse des Punktes gleich ist. (es liegt auf der Senkrechten, die vom Punkt zur Abszissenachse gezogen wird). Wir müssen die Ordinate finden. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass unsere Figur ein Parallelogramm ist, das bedeutet das. Ermitteln wir die Länge des Segments mithilfe der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Wir senken die Senkrechte ab, die den Punkt mit der Achse verbindet. Den Schnittpunkt bezeichne ich mit einem Buchstaben.

Die Länge des Segments ist gleich. (Finden Sie selbst das Problem, bei dem wir diesen Punkt besprochen haben), dann ermitteln wir die Länge des Segments mithilfe des Satzes des Pythagoras:

Die Länge eines Segments stimmt genau mit seiner Ordinate überein.

Antwort: .

Eine andere Lösung (ich gebe nur ein Bild, das es veranschaulicht)

Lösungsfortschritt:

1. Verhalten

2. Finden Sie die Koordinaten des Punktes und die Länge

3. Beweisen Sie das.

Noch eine Segmentlängenproblem:

Die Punkte erscheinen über den Dreiecken. Finden Sie die Länge seiner Mittellinie parallel.

Erinnern Sie sich, was es ist? Mittellinie Dreieck? Dann ist diese Aufgabe für Sie elementar. Wenn Sie sich nicht erinnern, erinnere ich Sie daran: Die Mittellinie eines Dreiecks ist die Linie, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Es ist parallel zur Basis und gleich der Hälfte davon.

Die Basis ist ein Segment. Wir mussten vorher nach der Länge suchen, sie ist gleich. Dann ist die Länge der Mittellinie halb so groß und gleich.

Antwort: .

Kommentar: Dieses Problem kann auf andere Weise gelöst werden, auf die wir etwas später zurückkommen werden.

In der Zwischenzeit sind hier ein paar Aufgaben für Sie, üben Sie sie, sie sind sehr einfach, aber sie helfen Ihnen, die Koordinatenmethode besser zu nutzen!

1. Die Punkte erscheinen oben auf den Trapezen. Finden Sie die Länge seiner Mittellinie.

2. Punkte und Erscheinungen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finden Sie or-di-zu diesem Punkt.

3. Ermitteln Sie die Länge des Schnitts, verbinden Sie den Punkt und

4. Finden Sie den Bereich hinter der farbigen Figur auf der Koordinatenebene.

5. Ein Kreis mit einem Mittelpunkt in na-cha-le ko-or-di-nat geht durch den Punkt. Finden Sie ihr Radio.

6. Find-di-te ra-di-us des Kreises, beschreibe-san-noy über den rechten Winkel-no-ka, die Spitzen von etwas haben einen Co-oder -di-na-du bist so verantwortlich

Lösungen:

1. Es ist bekannt, dass die Mittellinie eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe seiner Basen ist. Die Basis ist gleich und die Basis. Dann

Antwort:

2. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, Folgendes zu beachten (Parallelogrammregel). Die Berechnung der Koordinaten von Vektoren ist nicht schwierig: . Beim Hinzufügen von Vektoren werden die Koordinaten hinzugefügt. Dann hat es Koordinaten. Der Punkt hat auch diese Koordinaten, da der Ursprung des Vektors der Punkt mit den Koordinaten ist. Uns interessiert die Ordinate. Sie ist gleich.

Antwort:

3. Wir handeln sofort nach der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Antwort:

4. Schauen Sie sich das Bild an und sagen Sie mir, zwischen welchen beiden Figuren der schattierte Bereich „eingeklemmt“ ist? Es liegt zwischen zwei Quadraten. Dann ist die Fläche der gewünschten Figur gleich der Fläche des großen Quadrats minus der Fläche des kleinen. Die Seite eines kleinen Quadrats ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge beträgt

Dann beträgt die Fläche des kleinen Quadrats

Dasselbe machen wir mit einem großen Quadrat: Seine Seite ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist gleich

Dann beträgt die Fläche des großen Quadrats

Die Fläche der gewünschten Figur ermitteln wir mit der Formel:

Antwort:

5. Wenn ein Kreis den Ursprung als Mittelpunkt hat und durch einen Punkt verläuft, dann ist sein Radius genau gleich der Länge des Segments (machen Sie eine Zeichnung und Sie werden verstehen, warum das offensichtlich ist). Lassen Sie uns die Länge dieses Segments ermitteln:

Antwort:

6. Es ist bekannt, dass der Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises gleich der Hälfte seiner Diagonale ist. Lassen Sie uns die Länge einer der beiden Diagonalen ermitteln (schließlich sind sie in einem Rechteck gleich!)

Antwort:

Na, hast du alles verkraftet? Es war nicht sehr schwer, es herauszufinden, oder? Hier gibt es nur eine Regel: Machen Sie sich ein visuelles Bild und „lesen“ Sie einfach alle Daten daraus.

Wir haben nur noch sehr wenig übrig. Es gibt im wahrsten Sinne des Wortes zwei weitere Punkte, die ich besprechen möchte.

Versuchen wir, dieses einfache Problem zu lösen. Lassen Sie zwei Punkte und gegeben werden. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments. Die Lösung dieses Problems lautet wie folgt: Sei der Punkt der gewünschte Mittelpunkt, dann hat er Koordinaten:

Also: Koordinaten der Segmentmitte = arithmetisches Mittel der entsprechenden Koordinaten der Segmentenden.

Diese Regel ist sehr einfach und bereitet den Studierenden in der Regel keine Schwierigkeiten. Mal sehen, bei welchen Problemen und wie es verwendet wird:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point und

2. Die Punkte scheinen die Spitze der Welt zu sein. Find-di-te or-di-na-tu-Punkte pro-re-se-che-niya seines Dia-go-na-ley.

3. Finde-di-te abs-cis-su Mittelpunkt des Kreises, beschreibe-san-noy über das rechteckige-no-ka, die Spitzen von etwas haben Co-oder-di-na-du so-verantwortlich-aber.

Lösungen:

1. Das erste Problem ist einfach ein Klassiker. Wir fahren sofort fort, die Mitte des Segments zu bestimmen. Es hat Koordinaten. Die Ordinate ist gleich.

Antwort:

2. Es ist leicht zu erkennen, dass dieses Viereck ein Parallelogramm (sogar eine Raute!) ist. Sie können dies selbst beweisen, indem Sie die Längen der Seiten berechnen und miteinander vergleichen. Was weiß ich über Parallelogramme? Seine Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt! Ja! Was ist also der Schnittpunkt der Diagonalen? Dies ist die Mitte einer der Diagonalen! Ich werde insbesondere die Diagonale wählen. Dann hat der Punkt Koordinaten. Die Ordinate des Punktes ist gleich.

Antwort:

3. Womit fällt der Mittelpunkt des um das Rechteck umschriebenen Kreises zusammen? Es fällt mit dem Schnittpunkt seiner Diagonalen zusammen. Was wissen Sie über die Diagonalen eines Rechtecks? Sie sind gleich und der Schnittpunkt teilt sie in zwei Hälften. Die Aufgabe wurde auf die vorherige reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die Diagonale. Wenn dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, dann ist der Mittelpunkt. Ich suche Koordinaten: Die Abszisse ist gleich.

Antwort:

Üben Sie jetzt ein wenig alleine. Ich gebe Ihnen nur die Antworten auf jedes Problem, damit Sie sich selbst testen können.

1. Find-di-te ra-di-us des Kreises, beschreibe-san-noy über das Dreieck-no-ka, die Spitzen von etwas haben ein Co-oder-di-no-Mister

2. Finden Sie-di-te oder-di-auf-diesem Mittelpunkt des Kreises, beschreiben Sie-san-noy über das Dreieck-no-ka, dessen Spitzen Koordinaten haben

3. Welche Art von ra-di-u-sa sollte ein Kreis haben, dessen Mittelpunkt an einem Punkt liegt, so dass er die Ab-Ziss-Achse berührt?

4. Finden-di-diese oder-di-auf-dem-Punkt der Neu-Se-ce-tion der Achse und vom-Schnitt, verbinden-den-Punkt und

Antworten:

War alles erfolgreich? Ich hoffe wirklich darauf! Jetzt – der letzte Stoß. Seien Sie jetzt besonders vorsichtig. Das Material, das ich jetzt erklären werde, steht nicht nur in direktem Zusammenhang mit einfachen Problemen der Koordinatenmethode aus Teil B, sondern ist auch überall in Problem C2 zu finden.

Welche meiner Versprechen habe ich noch nicht gehalten? Erinnern Sie sich, welche Operationen für Vektoren ich versprochen habe und welche ich letztendlich eingeführt habe? Bist du sicher, dass ich nichts vergessen habe? Vergessen! Ich habe vergessen zu erklären, was Vektormultiplikation bedeutet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, einen Vektor mit einem Vektor zu multiplizieren. Abhängig von der gewählten Methode erhalten wir Objekte unterschiedlicher Natur:

Das Kreuzprodukt ist recht geschickt gemacht. Wie das geht und warum es nötig ist, besprechen wir im nächsten Artikel. Und in diesem Fall konzentrieren wir uns auf das Skalarprodukt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen:

Wie Sie vermutet haben, sollte das Ergebnis dasselbe sein! Schauen wir uns also zunächst die erste Methode an:

Skalarprodukt über Koordinaten

Finden Sie: - allgemein akzeptierte Notation für Skalarprodukt

Die Berechnungsformel lautet wie folgt:

Also Skalarprodukt= Summe der Produkte von Vektorkoordinaten!

Beispiel:

Find-di-te

Lösung:

Lassen Sie uns die Koordinaten jedes der Vektoren ermitteln:

Wir berechnen das Skalarprodukt nach der Formel:

Antwort:

Sehen Sie, absolut nichts Kompliziertes!

Nun, probieren Sie es jetzt selbst aus:

· Finden Sie ein skalares Pro-iz-ve-de-nie von Jahrhunderten und

Hast du es geschafft? Vielleicht ist Ihnen ein kleiner Haken aufgefallen? Lass uns das Prüfen:

Vektorkoordinaten, wie im vorherigen Problem! Antwort: .

Neben der Koordinateneins gibt es noch eine andere Möglichkeit, das Skalarprodukt zu berechnen, nämlich durch die Längen der Vektoren und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren und.

Das heißt, das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Warum brauchen wir diese zweite Formel, wenn wir die erste haben, die viel einfacher ist, zumindest keine Kosinuswerte enthält? Und es wird benötigt, damit Sie und ich aus der ersten und zweiten Formel ableiten können, wie man den Winkel zwischen Vektoren ermittelt!

Denken Sie dann an die Formel für die Länge des Vektors!

Wenn ich diese Daten dann in die Skalarproduktformel einsetze, erhalte ich:

Aber auf der anderen Seite:

Was haben Sie und ich also bekommen? Wir haben jetzt eine Formel, mit der wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können! Manchmal wird es der Kürze halber auch so geschrieben:

Das heißt, der Algorithmus zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren lautet wie folgt:

1. Berechnen Sie das Skalarprodukt durch Koordinaten
2. Finden Sie die Längen der Vektoren und multiplizieren Sie sie
3. Teilen Sie das Ergebnis von Punkt 1 durch das Ergebnis von Punkt 2

Üben wir anhand von Beispielen:

1. Finden Sie den Winkel zwischen den Augenlidern und. Geben Sie die Antwort in grad-du-sah.

2. Finden Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems den Kosinus zwischen den Vektoren

Machen wir Folgendes: Ich helfe Ihnen bei der Lösung des ersten Problems und versuche, das zweite selbst zu lösen! Zustimmen? Dann fangen wir an!

1. Diese Vektoren sind unsere alten Freunde. Wir haben ihr Skalarprodukt bereits berechnet und es war gleich. Ihre Koordinaten sind: , . Dann ermitteln wir ihre Längen:

Dann suchen wir nach dem Kosinus zwischen den Vektoren:

Was ist der Kosinus des Winkels? Das ist die Ecke.

Antwort:

Nun lösen Sie das zweite Problem selbst und vergleichen Sie dann! Ich gebe nur eine ganz kurze Lösung:

2. hat Koordinaten, hat Koordinaten.

Sei dann der Winkel zwischen den Vektoren und

Antwort:

Es ist zu beachten, dass sich die Probleme direkt auf Vektoren und die Koordinatenmethode in Teil B beziehen Prüfungsarbeit sehr selten. Die allermeisten C2-Probleme lassen sich jedoch leicht durch die Einführung eines Koordinatensystems lösen. Sie können diesen Artikel also als Grundlage betrachten, auf deren Grundlage wir ziemlich clevere Konstruktionen erstellen werden, die wir zur Lösung komplexer Probleme benötigen.

KOORDINATEN UND VEKTOREN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Sie und ich studieren weiterhin die Koordinatenmethode. Im letzten Teil haben wir eine Reihe wichtiger Formeln abgeleitet, die Ihnen Folgendes ermöglichen:

1. Finden Sie Vektorkoordinaten
2. Finden Sie die Länge eines Vektors (alternativ: den Abstand zwischen zwei Punkten)
3. Vektoren addieren und subtrahieren. Multiplizieren Sie sie mit einer reellen Zahl
4. Finden Sie den Mittelpunkt eines Segments
5. Berechnen Sie das Skalarprodukt von Vektoren
6. Finden Sie den Winkel zwischen Vektoren

Natürlich passt die gesamte Koordinatenmethode nicht in diese 6 Punkte. Es liegt einer Wissenschaft wie der analytischen Geometrie zugrunde, mit der Sie an der Universität vertraut werden. Ich möchte lediglich eine Grundlage schaffen, die es Ihnen ermöglicht, Probleme in einem einzigen Staat zu lösen. Prüfung. Wir haben uns mit den Aufgaben von Teil B befasst. Jetzt ist es an der Zeit, auf ein ganz neues Level zu wechseln! Dieser Artikel widmet sich einer Methode zur Lösung derjenigen C2-Probleme, bei denen es sinnvoll wäre, auf die Koordinatenmethode umzusteigen. Diese Angemessenheit wird dadurch bestimmt, was im Problem gefunden werden muss und welche Zahl angegeben wird. Daher würde ich die Koordinatenmethode verwenden, wenn die Fragen lauten:

1. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen
2. Finden Sie den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
3. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Geraden
4. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene
5. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie
6. Ermitteln Sie den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene
7. Finden Sie den Abstand zwischen zwei Linien

Handelt es sich bei der in der Problemstellung angegebenen Figur um einen Rotationskörper (Kugel, Zylinder, Kegel...)

Geeignete Zahlen für die Koordinatenmethode sind:

1. Rechteckiges Parallelepiped
2. Pyramide (dreieckig, viereckig, sechseckig)

Auch aus meiner Erfahrung Es ist ungeeignet, die Koordinatenmethode dafür zu verwenden:

1. Querschnittsflächen finden
2. Berechnung von Körpervolumina

Es sollte jedoch sofort festgestellt werden, dass die drei „ungünstigen“ Situationen für die Koordinatenmethode in der Praxis eher selten sind. Bei den meisten Aufgaben kann es Ihr Retter sein, insbesondere wenn Sie sich nicht besonders gut mit dreidimensionalen Konstruktionen auskennen (die manchmal recht kompliziert sein können).

Was sind die Zahlen, die ich oben aufgeführt habe? Sie sind nicht mehr flach, wie zum Beispiel ein Quadrat, ein Dreieck, ein Kreis, sondern voluminös! Dementsprechend müssen wir kein zweidimensionales, sondern ein dreidimensionales Koordinatensystem betrachten. Die Konstruktion ist recht einfach: Zusätzlich zur Abszissen- und Ordinatenachse führen wir eine weitere Achse ein, die Applikatenachse. Die Abbildung zeigt schematisch ihre relative Lage:

Sie stehen alle senkrecht zueinander und schneiden sich in einem Punkt, den wir Koordinatenursprung nennen. Wie zuvor bezeichnen wir die Abszissenachse, die Ordinatenachse mit - und die eingeführte Anwendungsachse mit -.

Wurde früher jeder Punkt auf der Ebene durch zwei Zahlen charakterisiert – die Abszisse und die Ordinate, so wird jeder Punkt im Raum bereits durch drei Zahlen beschrieben – die Abszisse, die Ordinate und die Applikate. Zum Beispiel:

Dementsprechend ist die Abszisse eines Punktes gleich, die Ordinate ist , und das Applikat ist .

Manchmal wird die Abszisse eines Punktes auch als Projektion eines Punktes auf die Abszissenachse bezeichnet, die Ordinate – die Projektion eines Punktes auf die Ordinatenachse und das Applikat – die Projektion eines Punktes auf die Applikatachse. Wenn dementsprechend ein Punkt gegeben ist, dann ein Punkt mit Koordinaten:

nennt man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

nennt man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Es stellt sich natürlich die Frage: Sind alle für den zweidimensionalen Fall abgeleiteten Formeln im Raum gültig? Die Antwort lautet: Ja, sie sind fair und sehen gleich aus. Für ein kleines Detail. Ich denke, Sie haben bereits erraten, um welches es sich handelt. In allen Formeln müssen wir einen weiteren Term hinzufügen, der für die Anwendungsachse verantwortlich ist. Nämlich.

1. Wenn zwei Punkte gegeben sind: , dann:

• Vektorkoordinaten:
• Abstand zwischen zwei Punkten (oder Vektorlänge)
• Der Mittelpunkt des Segments hat Koordinaten

2. Wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann:

• Ihr Skalarprodukt ist gleich:
• Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist gleich:

Allerdings ist der Weltraum nicht so einfach. Wie Sie wissen, führt das Hinzufügen einer weiteren Koordinate zu einer erheblichen Vielfalt im Spektrum der in diesem Raum „lebenden“ Figuren. Und für die weitere Erzählung muss ich grob gesagt eine „Verallgemeinerung“ der geraden Linie einführen. Diese „Verallgemeinerung“ wird ein Flugzeug sein. Was wissen Sie über Flugzeug? Versuchen Sie, die Frage zu beantworten: Was ist ein Flugzeug? Das ist sehr schwer zu sagen. Wir alle stellen uns jedoch intuitiv vor, wie es aussieht:

Grob gesagt handelt es sich hierbei um eine Art endloses „Blatt“, das im Weltraum steckt. Unter „Unendlichkeit“ ist zu verstehen, dass sich die Ebene in alle Richtungen erstreckt, das heißt, ihre Fläche ist gleich unendlich. Allerdings vermittelt diese „praxisnahe“ Erklärung nicht den geringsten Einblick in die Struktur des Flugzeugs. Und sie wird sich für uns interessieren.

Erinnern wir uns an eines der Grundaxiome der Geometrie:

• Eine Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte auf einer Ebene, und zwar nur durch einen:

Oder sein Analogon im Weltraum:

Natürlich erinnern Sie sich, wie man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten herleitet, das ist überhaupt nicht schwierig: Wenn der erste Punkt Koordinaten hat: und der zweite, dann lautet die Gleichung der Geraden wie folgt:

Das hast du in der 7. Klasse gelernt. Im Raum sieht die Gleichung einer Geraden so aus: Gegeben sind uns zwei Punkte mit Koordinaten: , dann hat die Gleichung der durch sie verlaufenden Geraden die Form:

Beispielsweise verläuft eine Linie durch Punkte:

Wie ist das zu verstehen? Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten dem folgenden System genügen:

Die Gleichung einer Geraden wird uns nicht besonders interessieren, aber wir müssen auf das sehr wichtige Konzept des Richtungsvektors einer Geraden achten. - jeder Vektor ungleich Null, der auf einer bestimmten Linie oder parallel dazu liegt.

Beispielsweise sind beide Vektoren Richtungsvektoren einer Geraden. Sei ein Punkt, der auf einer Linie liegt, und sei sein Richtungsvektor. Dann kann die Geradengleichung in folgender Form geschrieben werden:

Auch hier wird mich die Gleichung einer geraden Linie nicht besonders interessieren, aber Sie müssen sich unbedingt daran erinnern, was ein Richtungsvektor ist! Noch einmal: Dies ist JEDER Vektor ungleich Null, der auf einer Linie oder parallel dazu liegt.

Zurückziehen Gleichung einer Ebene basierend auf drei gegebenen Punkten ist nicht mehr so ​​trivial, und in der Regel wird dieses Thema im Kurs nicht thematisiert weiterführende Schule. Aber vergeblich! Diese Technik ist von entscheidender Bedeutung, wenn wir zur Lösung komplexer Probleme auf die Koordinatenmethode zurückgreifen. Ich gehe jedoch davon aus, dass Sie Lust haben, etwas Neues zu lernen? Darüber hinaus können Sie Ihren Lehrer an der Universität beeindrucken, wenn sich herausstellt, dass Sie bereits wissen, wie man eine Technik anwendet, die normalerweise in einem Kurs für analytische Geometrie erlernt wird. Also lasst uns anfangen.

Die Gleichung einer Ebene unterscheidet sich nicht allzu sehr von der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene, sie hat nämlich die Form:

einige Zahlen (nicht alle gleich Null) und Variablen, zum Beispiel: usw. Wie Sie sehen, unterscheidet sich die Gleichung einer Ebene nicht sehr von der Gleichung einer Geraden (lineare Funktion). Erinnern Sie sich jedoch daran, was Sie und ich gestritten haben? Wir sagten: Wenn wir drei Punkte haben, die nicht auf derselben Linie liegen, dann kann die Gleichung der Ebene aus ihnen eindeutig rekonstruiert werden. Aber wie? Ich werde versuchen, es dir zu erklären.

Da die Gleichung der Ebene lautet:

Und die Punkte gehören zu dieser Ebene. Wenn wir dann die Koordinaten jedes Punktes in die Gleichung der Ebene einsetzen, sollten wir die richtige Identität erhalten:

Es müssen also drei Gleichungen mit Unbekannten gelöst werden! Dilemma! Sie können jedoch immer davon ausgehen (dazu müssen Sie dividieren). Somit erhalten wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wir werden ein solches System jedoch nicht lösen, sondern den daraus folgenden mysteriösen Ausdruck aufschreiben:

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Stoppen! Was ist das? Ein sehr ungewöhnliches Modul! Das Objekt, das Sie vor sich sehen, hat jedoch nichts mit dem Modul zu tun. Dieses Objekt wird als Determinante dritter Ordnung bezeichnet. Wenn Sie sich von nun an mit der Methode der Koordinaten in einer Ebene befassen, werden Sie sehr oft auf dieselben Determinanten stoßen. Was ist eine Determinante dritter Ordnung? Seltsamerweise ist es nur eine Zahl. Es bleibt abzuwarten, welche konkrete Zahl wir mit der Determinante vergleichen werden.

Schreiben wir zunächst die Determinante dritter Ordnung in einer allgemeineren Form:

Wo sind einige Zahlen? Darüber hinaus meinen wir mit dem ersten Index die Zeilennummer und mit dem Index die Spaltennummer. Dies bedeutet beispielsweise, dass sich diese Zahl am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der dritten Spalte befindet. Stellen wir uns die folgende Frage: Wie genau berechnen wir eine solche Determinante? Das heißt, welche konkrete Zahl werden wir damit vergleichen? Für die Determinante dritter Ordnung gibt es eine heuristische (visuelle) Dreiecksregel, die wie folgt aussieht:

1. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale (von der oberen linken Ecke nach unten rechts). Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden. Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden Hauptdiagonale
2. Das Produkt der Elemente der Nebendiagonale (von der oberen rechten Ecke nach unten links). Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Nebendiagonale bilden. Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Nebendiagonale bilden sekundäre Diagonale
3. Dann ist die Determinante gleich der Differenz zwischen den im Schritt und erhaltenen Werten

Wenn wir das alles in Zahlen aufschreiben, erhalten wir folgenden Ausdruck:

Allerdings müssen Sie sich die Berechnungsmethode in dieser Form nicht merken; es reicht aus, nur die Dreiecke im Kopf zu behalten und die Vorstellung davon, was sich zu was addiert und was dann von was abgezogen wird.

Lassen Sie uns die Dreiecksmethode anhand eines Beispiels veranschaulichen:

1. Berechnen Sie die Determinante:

Lassen Sie uns herausfinden, was wir addieren und was wir subtrahieren:

Begriffe mit Plus:

Dies ist die Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das erste Dreieck, „senkrecht zur Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Zweites Dreieck, „senkrecht zur Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Addieren Sie drei Zahlen:

Begriffe, die mit einem Minus versehen sind

Dies ist eine Seitendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das erste Dreieck, „senkrecht zur Nebendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das zweite Dreieck „senkrecht zur Nebendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Addieren Sie drei Zahlen:

Jetzt muss nur noch die Summe der „Plus“-Terme von der Summe der „Minus“-Terme abgezogen werden:

Auf diese Weise,

Wie Sie sehen, ist die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung weder kompliziert noch übernatürlich. Es ist nur wichtig, sich an Dreiecke zu erinnern und keine Rechenfehler zu machen. Versuchen Sie nun, es selbst zu berechnen:

Wir überprüfen:

1. Das erste Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
2. Zweites Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
3. Summe der Terme mit Plus:
4. Das erste Dreieck senkrecht zur Nebendiagonale:
5. Zweites Dreieck senkrecht zur Seitendiagonale:
6. Summe der Terme mit Minus:
7. Die Summe der Terme mit Plus minus die Summe der Terme mit Minus:

Hier noch ein paar Determinanten, berechnen Sie deren Werte selbst und vergleichen Sie sie mit den Antworten:

Antworten:

Na, ist alles zusammengefallen? Super, dann kann es weitergehen! Wenn es Schwierigkeiten gibt, dann ist mein Rat: Im Internet gibt es viele Programme zur Online-Berechnung der Determinante. Sie müssen sich lediglich Ihre eigene Determinante ausdenken, diese selbst berechnen und sie dann mit den Berechnungen des Programms vergleichen. Und so weiter, bis die Ergebnisse übereinstimmen. Ich bin mir sicher, dass dieser Moment nicht lange auf sich warten lässt!

Kehren wir nun zu der Determinante zurück, die ich aufgeschrieben habe, als ich über die Gleichung einer Ebene sprach, die durch drei geht vergebene Punkte:

Sie müssen lediglich den Wert direkt berechnen (mit der Dreiecksmethode) und das Ergebnis auf Null setzen. Da es sich hierbei um Variablen handelt, erhalten Sie natürlich einen Ausdruck, der von ihnen abhängt. Dieser Ausdruck ist die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft, die nicht auf derselben Geraden liegen!

Lassen Sie uns dies anhand eines einfachen Beispiels veranschaulichen:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch die Punkte verläuft

Für diese drei Punkte stellen wir eine Determinante zusammen:

Vereinfachen wir:

Jetzt berechnen wir es direkt mit der Dreiecksregel:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ rechts|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Somit lautet die Gleichung der durch die Punkte verlaufenden Ebene:

Versuchen Sie nun, ein Problem selbst zu lösen, und dann besprechen wir es:

2. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte verläuft

Lassen Sie uns nun die Lösung besprechen:

Erstellen wir eine Determinante:

Und berechnen Sie seinen Wert:

Dann hat die Gleichung der Ebene die Form:

Oder reduzieren wir um:

Nun zwei Aufgaben zur Selbstkontrolle:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft:

Antworten:

Passte alles zusammen? Auch hier, wenn es bestimmte Schwierigkeiten gibt, dann lautet mein Rat: Nehmen Sie drei Punkte aus Ihrem Kopf (mit hoher Wahrscheinlichkeit werden sie nicht auf derselben geraden Linie liegen) und bauen Sie auf ihrer Grundlage ein Flugzeug. Und dann überprüfen Sie sich online. Zum Beispiel auf der Website:

Mit Hilfe von Determinanten werden wir jedoch nicht nur eine Gleichung der Ebene konstruieren. Denken Sie daran, ich habe Ihnen gesagt, dass für Vektoren nicht nur das Skalarprodukt definiert ist. Es gibt auch ein Vektorprodukt sowie ein gemischtes Produkt. Und wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl ist, dann ist das Vektorprodukt zweier Vektoren ein Vektor, und dieser Vektor steht senkrecht zu den gegebenen:

Darüber hinaus entspricht sein Modul der Fläche eines Parallelogramms, das aus den Vektoren und aufgebaut ist. Wir benötigen diesen Vektor, um den Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu berechnen. Wie können wir zählen? Vektorprodukt Vektoren und wenn ihre Koordinaten angegeben sind? Dabei kommt uns wieder die Determinante dritter Ordnung zu Hilfe. Bevor ich jedoch zum Algorithmus zur Berechnung des Vektorprodukts übergehe, muss ich noch einen kleinen Exkurs machen.

Dieser Exkurs betrifft Basisvektoren.

Sie sind in der Abbildung schematisch dargestellt:

Warum werden sie Ihrer Meinung nach einfach genannt? Die Sache ist die :

Oder im Bild:

Die Gültigkeit dieser Formel liegt auf der Hand, denn:

Vektorgrafiken

Jetzt kann ich mit der Einführung des Kreuzprodukts beginnen:

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der nach folgender Regel berechnet wird:

Lassen Sie uns nun einige Beispiele für die Berechnung des Kreuzprodukts geben:

Beispiel 1: Finden Sie das Kreuzprodukt von Vektoren:

Lösung: Ich erstelle eine Determinante:

Und ich berechne es:

Nachdem ich nun die Basisvektoren beschrieben habe, kehre ich zur üblichen Vektorschreibweise zurück:

Auf diese Weise:

Probieren Sie es jetzt aus.

Bereit? Wir überprüfen:

Und traditionell zwei Aufgaben zur Steuerung:

1. Finden Sie das Vektorprodukt der folgenden Vektoren:
2. Finden Sie das Vektorprodukt der folgenden Vektoren:

Antworten:

Gemischtes Produkt aus drei Vektoren

Die letzte Konstruktion, die ich brauche, ist das gemischte Produkt aus drei Vektoren. Es ist wie ein Skalar eine Zahl. Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen. - durch eine Determinante, - durch ein Mischprodukt.

Gegeben seien nämlich drei Vektoren:

Dann kann das gemischte Produkt aus drei Vektoren, bezeichnet mit, wie folgt berechnet werden:

1. - das heißt, das gemischte Produkt ist das Skalarprodukt eines Vektors und das Vektorprodukt zweier anderer Vektoren

Das gemischte Produkt dreier Vektoren ist beispielsweise:

Versuchen Sie es selbst mit dem Vektorprodukt zu berechnen und stellen Sie sicher, dass die Ergebnisse übereinstimmen!

Und noch einmal zwei Beispiele für eigenständige Lösungen:

Antworten:

Auswählen eines Koordinatensystems

Nun verfügen wir über alle notwendigen Wissensgrundlagen, um komplexe stereometrische Geometrieprobleme zu lösen. Bevor ich jedoch direkt zu Beispielen und Algorithmen zu deren Lösung übergehe, halte ich es für sinnvoll, auf die folgende Frage einzugehen: Wie genau Wählen Sie ein Koordinatensystem für eine bestimmte Figur. Schließlich ist es die Wahl relative Position Koordinatensysteme und Formen im Raum bestimmen letztendlich, wie umständlich die Berechnungen sein werden.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir in diesem Abschnitt die folgenden Zahlen betrachten:

1. Rechteckiges Parallelepiped
2. Gerades Prisma (dreieckig, sechseckig...)
3. Pyramide (dreieckig, viereckig)
4. Tetraeder (identisch mit dreieckiger Pyramide)

Für einen rechteckigen Parallelepiped oder Würfel empfehle ich Ihnen folgende Konstruktion:

Das heißt, ich werde die Figur „in die Ecke“ stellen. Der Würfel und das Parallelepiped sind sehr gute Figuren. Für sie können Sie die Koordinaten ihrer Eckpunkte immer leicht finden. Wenn zum Beispiel (wie im Bild gezeigt)

dann sind die Koordinaten der Eckpunkte wie folgt:

Natürlich müssen Sie sich das nicht merken, aber es ist ratsam, sich daran zu erinnern, wie Sie einen Würfel oder ein rechteckiges Parallelepiped am besten positionieren.

Gerades Prisma

Das Prisma ist eine schädlichere Figur. Es kann auf unterschiedliche Weise im Raum positioniert werden. Die folgende Option erscheint mir jedoch am akzeptabelsten:

Dreieckiges Prisma:

Das heißt, wir platzieren eine der Seiten des Dreiecks vollständig auf der Achse und einer der Eckpunkte fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen.

Sechseckiges Prisma:

Das heißt, einer der Scheitelpunkte fällt mit dem Ursprung zusammen und eine der Seiten liegt auf der Achse.

Viereckige und sechseckige Pyramide:

Die Situation ist ähnlich wie bei einem Würfel: Wir richten zwei Seiten der Basis an den Koordinatenachsen aus und richten einen der Eckpunkte am Koordinatenursprung aus. Die einzige kleine Schwierigkeit wird darin bestehen, die Koordinaten des Punktes zu berechnen.

Für eine sechseckige Pyramide - ähnlich wie für sechseckiges Prisma. Die Hauptaufgabe wird wieder darin bestehen, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden.

Tetraeder (dreieckige Pyramide)

Die Situation ist der Situation, die ich für ein dreieckiges Prisma angegeben habe, sehr ähnlich: Ein Scheitelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen, eine Seite liegt auf der Koordinatenachse.

Nun sind Sie und ich endlich kurz davor, Probleme zu lösen. Aus dem, was ich ganz am Anfang des Artikels gesagt habe, könnte man die folgende Schlussfolgerung ziehen: Die meisten C2-Probleme sind in zwei Kategorien unterteilt: Winkelprobleme und Distanzprobleme. Zunächst werden wir uns mit den Problemen der Winkelfindung befassen. Sie werden wiederum in die folgenden Kategorien unterteilt (mit zunehmender Komplexität):

Probleme beim Finden von Winkeln

1. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden
2. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Ebenen

Schauen wir uns diese Probleme der Reihe nach an: Beginnen wir damit, den Winkel zwischen zwei Geraden zu ermitteln. Denken Sie daran, haben Sie und ich nicht schon einmal ähnliche Beispiele gelöst? Erinnern Sie sich, wir hatten bereits etwas Ähnliches ... Wir suchten nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren. Ich möchte Sie daran erinnern, wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann wird der Winkel zwischen ihnen aus der Beziehung ermittelt:

Unser Ziel ist es nun, den Winkel zwischen zwei Geraden zu finden. Schauen wir uns das „flache Bild“ an:

Wie viele Winkel haben wir erhalten, als sich zwei Geraden kreuzten? Nur ein paar Dinge. Allerdings sind nur zwei davon ungleich, während die anderen senkrecht zu ihnen stehen (und daher mit ihnen zusammenfallen). Welchen Winkel sollten wir also als Winkel zwischen zwei Geraden betrachten: oder? Hier gilt die Regel: Der Winkel zwischen zwei Geraden beträgt immer nicht mehr als Grad. Das heißt, aus zwei Winkeln wählen wir immer den Winkel mit dem kleinsten Gradmaß. Das heißt, in diesem Bild ist der Winkel zwischen zwei Geraden gleich. Um sich nicht jedes Mal die Mühe zu machen, den kleinsten von zwei Winkeln zu finden, schlugen schlaue Mathematiker die Verwendung eines Moduls vor. Somit wird der Winkel zwischen zwei Geraden durch die Formel bestimmt:

Als aufmerksamer Leser dürfte sich für Sie die Frage gestellt haben: Woher genau nehmen wir genau diese Zahlen, die wir zur Berechnung des Cosinus eines Winkels benötigen? Antwort: Wir werden sie aus den Richtungsvektoren der Linien ableiten! Somit lautet der Algorithmus zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden wie folgt:

1. Wir wenden Formel 1 an.

Oder genauer:

1. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Geraden
2. Gesucht werden die Koordinaten des Richtungsvektors der zweiten Geraden
3. Wir berechnen den Modul ihres Skalarprodukts
4. Wir suchen nach der Länge des ersten Vektors
5. Wir suchen nach der Länge des zweiten Vektors
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse von Punkt 4 mit den Ergebnissen von Punkt 5
7. Wir dividieren das Ergebnis von Punkt 3 durch das Ergebnis von Punkt 6. Wir erhalten den Kosinus des Winkels zwischen den Geraden
8. Wenn dieses Ergebnis es uns ermöglicht, den Winkel genau zu berechnen, suchen wir danach
9. Ansonsten schreiben wir durch Arkuskosinus

Nun ist es an der Zeit, zu den Problemen überzugehen: Ich werde die Lösung für die ersten beiden im Detail demonstrieren, die Lösung für ein anderes werde ich in vorstellen in Kürze, und für die letzten beiden Aufgaben werde ich nur Antworten geben; Sie müssen alle Berechnungen dafür selbst durchführen.

Aufgaben:

1. Ermitteln Sie im rechten Tet-Ra-Ed-Re den Winkel zwischen der Höhe des Tet-Ra-Ed-Ra und der Mittelseite.

2. Im rechten sechseckigen Pi-ra-mi-de sind die hundert os-no-va-niyas gleich und die Seitenkanten sind gleich, ermitteln Sie den Winkel zwischen den Linien und.

3. Die Längen aller Kanten des rechten Vier-Kohle-Pi-Ra-Mi-Dy sind einander gleich. Finden Sie den Winkel zwischen den geraden Linien und wenn Sie aus dem Schnitt kommen - Sie sind mit dem gegebenen pi-ra-mi-dy, ist der Punkt se-re-di-auf seinen bo-co-zweiten Rippen

4. Auf der Kante des Würfels befindet sich ein Punkt, sodass Sie den Winkel zwischen den Geraden und ermitteln können

5. Punkt – auf den Kanten des Würfels Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden und.

Es ist kein Zufall, dass ich die Aufgaben in dieser Reihenfolge angeordnet habe. Während Sie noch nicht mit der Koordinatenmethode vertraut sind, werde ich selbst die „problematischsten“ Figuren analysieren und Sie mit dem einfachsten Würfel befassen! Nach und nach müssen Sie lernen, mit allen Figuren umzugehen; ich werde die Komplexität der Aufgaben von Thema zu Thema steigern.

Beginnen wir mit der Lösung von Problemen:

1. Zeichnen Sie ein Tetraeder und platzieren Sie es im Koordinatensystem, wie ich zuvor vorgeschlagen habe. Da das Tetraeder regelmäßig ist, sind alle seine Flächen (einschließlich der Grundfläche) regelmäßige Dreiecke. Da uns die Länge der Seite nicht gegeben ist, kann ich davon ausgehen, dass sie gleich ist. Ich denke, Sie verstehen, dass der Winkel nicht wirklich davon abhängt, wie weit unser Tetraeder „gestreckt“ ist? Ich werde auch die Höhe und den Mittelwert im Tetraeder einzeichnen. Unterwegs werde ich seine Basis zeichnen (sie wird auch für uns nützlich sein).

Ich muss den Winkel zwischen und finden. Was wissen wir? Wir kennen nur die Koordinate des Punktes. Das bedeutet, dass wir die Koordinaten der Punkte finden müssen. Nun denken wir: Ein Punkt ist der Schnittpunkt der Höhen (oder Winkelhalbierenden oder Mediane) des Dreiecks. Und ein Punkt ist ein angesprochener Punkt. Der Punkt ist die Mitte des Segments. Dann müssen wir endlich Folgendes finden: die Koordinaten der Punkte: .

Beginnen wir mit dem Einfachsten: den Koordinaten eines Punktes. Schauen Sie sich die Abbildung an: Es ist klar, dass das Applikat eines Punktes gleich Null ist (der Punkt liegt auf der Ebene). Seine Ordinate ist gleich (da es sich um den Median handelt). Es ist schwieriger, seine Abszisse zu finden. Dies lässt sich jedoch leicht anhand des Satzes des Pythagoras bewerkstelligen: Betrachten Sie ein Dreieck. Seine Hypotenuse ist gleich und einer seiner Schenkel ist gleich Dann:

Endlich haben wir: .

Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes ermitteln. Es ist klar, dass sein Applikat wieder gleich Null ist und seine Ordinate die gleiche ist wie die eines Punktes. Finden wir seine Abszisse. Dies geschieht recht trivial, wenn Sie sich daran erinnern Die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks werden durch den Schnittpunkt proportional geteilt, von oben gezählt. Da: ist die erforderliche Abszisse des Punktes, die der Länge des Segments entspricht, gleich: . Somit sind die Koordinaten des Punktes:

Lassen Sie uns die Koordinaten des Punktes ermitteln. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes übereinstimmen. Und das Applikat entspricht der Länge des Segments. - Dies ist einer der Schenkel des Dreiecks. Die Hypotenuse eines Dreiecks ist ein Segment – ​​ein Bein. Es wird aus Gründen gesucht, die ich fett hervorgehoben habe:

Der Punkt ist die Mitte des Segments. Dann müssen wir uns die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments merken:

Das war's, jetzt können wir nach den Koordinaten der Richtungsvektoren suchen:

Nun, alles ist fertig: Wir ersetzen alle Daten in der Formel:

Auf diese Weise,

Antwort:

Sie sollten sich vor solch „angsteinflößenden“ Antworten nicht einschüchtern lassen: Bei C2-Aufgaben ist dies gängige Praxis. Ich würde mich lieber über die „schöne“ Antwort in diesem Teil überraschen lassen. Außerdem habe ich, wie Sie bemerkt haben, praktisch nichts anderes als den Satz des Pythagoras und die Höheneigenschaft eines gleichseitigen Dreiecks herangezogen. Das heißt, um das stereometrische Problem zu lösen, habe ich ein Minimum an Stereometrie verwendet. Der Gewinn darin wird teilweise durch recht umständliche Berechnungen „zunichte gemacht“. Aber sie sind ziemlich algorithmisch!

2. Lassen Sie uns eine regelmäßige sechseckige Pyramide zusammen mit dem Koordinatensystem sowie ihrer Basis darstellen:

Wir müssen den Winkel zwischen den Linien und finden. Unsere Aufgabe besteht also darin, die Koordinaten der Punkte zu finden: . Die Koordinaten der letzten drei ermitteln wir mithilfe einer kleinen Zeichnung und die Koordinate des Scheitelpunkts ermitteln wir durch die Koordinate des Punktes. Es gibt noch viel zu tun, aber wir müssen anfangen!

a) Koordinate: Es ist klar, dass ihr Applikat und ihre Ordinate gleich Null sind. Finden wir die Abszisse. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck. Leider kennen wir darin nur die Hypotenuse, die gleich ist. Wir werden versuchen, das Bein zu finden (denn es ist klar, dass wir mit der doppelten Länge des Beins die Abszisse des Punktes erhalten). Wie können wir danach suchen? Erinnern wir uns, was für eine Figur wir am Fuß der Pyramide haben? Dies ist ein regelmäßiges Sechseck. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Wir müssen einen solchen Blickwinkel finden. Irgendwelche Ideen? Es gibt viele Ideen, aber es gibt eine Formel:

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks beträgt .

Somit ist die Summe der Winkel eines regelmäßigen Sechsecks gleich Grad. Dann ist jeder der Winkel gleich:

Schauen wir uns das Bild noch einmal an. Es ist klar, dass das Segment die Winkelhalbierende ist. Dann ist der Winkel gleich Grad. Dann:

Woher dann.

Hat also Koordinaten

b) Jetzt können wir leicht die Koordinate des Punktes finden: .

c) Finden Sie die Koordinaten des Punktes. Da seine Abszisse mit der Länge des Segments übereinstimmt, ist es gleich. Auch das Finden der Ordinate ist nicht sehr schwierig: Wenn wir die Punkte verbinden und den Schnittpunkt der Geraden bezeichnen, sagen wir mit. (Do-it-yourself-einfache Konstruktion). Dann ist die Ordinate von Punkt B gleich der Summe der Längen der Segmente. Schauen wir uns das Dreieck noch einmal an. Dann

Dann seit Dann hat der Punkt Koordinaten

d) Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes ermitteln. Betrachten Sie das Rechteck und beweisen Sie, dass die Koordinaten des Punktes also sind:

e) Es müssen noch die Koordinaten des Scheitelpunkts ermittelt werden. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes übereinstimmen. Lassen Sie uns die Anwendung finden. Seit damals. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Je nach Problemstellung eine Seitenkante. Das ist die Hypotenuse meines Dreiecks. Dann beträgt die Höhe der Pyramide ein Bein.

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Nun, das war's, ich habe die Koordinaten aller Punkte, die mich interessieren. Ich suche die Koordinaten der Richtungsvektoren von Geraden:

Wir suchen den Winkel zwischen diesen Vektoren:

Antwort:

Auch bei der Lösung dieses Problems habe ich außer der Formel für die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks und der Definition des Kosinus und Sinus eines rechtwinkligen Dreiecks keine ausgefeilten Techniken verwendet.

3. Da uns wiederum die Längen der Kanten in der Pyramide nicht bekannt sind, betrachte ich sie als gleich eins. Da also ALLE Kanten und nicht nur die Seitenkanten einander gleich sind, befindet sich an der Basis der Pyramide und mir ein Quadrat, und die Seitenflächen sind regelmäßige Dreiecke. Zeichnen wir eine solche Pyramide sowie ihre Basis auf einer Ebene und notieren wir uns dabei alle im Text der Aufgabe angegebenen Daten:

Wir suchen den Winkel zwischen und. Ich werde sehr kurze Berechnungen durchführen, wenn ich nach den Koordinaten der Punkte suche. Sie müssen sie „entschlüsseln“:

b) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten:

c) Ich werde die Länge des Segments mithilfe des Satzes des Pythagoras in einem Dreieck ermitteln. Ich kann es mit dem Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden.

Koordinaten:

d) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten sind

e) Vektorkoordinaten

f) Vektorkoordinaten

g) Auf der Suche nach dem Winkel:

Ein Würfel ist die einfachste Figur. Ich bin sicher, dass Sie es selbst herausfinden werden. Die Antworten auf die Aufgaben 4 und 5 lauten wie folgt:

Ermitteln des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene

Nun, die Zeit der einfachen Rätsel ist vorbei! Jetzt werden die Beispiele noch komplizierter. Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu ermitteln, gehen wir wie folgt vor:

1. Aus drei Punkten konstruieren wir eine Gleichung der Ebene
   ,
   unter Verwendung einer Determinante dritter Ordnung.
2. Anhand zweier Punkte suchen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden:
3. Wir wenden die Formel an, um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen:

Wie Sie sehen, ist diese Formel derjenigen sehr ähnlich, mit der wir Winkel zwischen zwei Geraden ermittelt haben. Die Struktur auf der rechten Seite ist einfach die gleiche, und auf der linken Seite suchen wir jetzt nach dem Sinus, nicht wie zuvor nach dem Cosinus. Nun, eine unangenehme Aktion wurde hinzugefügt – die Suche nach der Gleichung der Ebene.

Lasst uns nicht zögern Lösungsbeispiele:

1. Das Haupt-aber-va-ni-em-Direktprisma-wir sind ein gleich-armes Dreieck. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

2. Finden Sie in einem rechteckigen Par-ral-le-le-pi-pe-de von Westen den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

3. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

4. Finden Sie im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit dem os-no-va-ni-em der bekannten Rippen eine Ecke, ob-ra-zo-van -flach in der Basis und gerade, die durch das Grau verläuft Rippen und

5. Die Längen aller Kanten eines rechten Vierecks pi-ra-mi-dy mit einem Scheitelpunkt sind einander gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene, wenn der Punkt auf der Seite der Pi-Ra-Mi-Dy-Kante liegt.

Auch hier werde ich die ersten beiden Probleme ausführlich und das dritte kurz lösen und die letzten beiden Ihnen überlassen, sie selbst zu lösen. Außerdem musstest du dich bereits mit dem dreieckigen und auseinandersetzen viereckige Pyramiden, aber mit Prismen - noch nicht.

Lösungen:

1. Lassen Sie uns ein Prisma sowie seine Basis darstellen. Kombinieren wir es mit dem Koordinatensystem und notieren wir alle Daten, die in der Problemstellung angegeben sind:

Ich entschuldige mich für die Nichteinhaltung der Proportionen, aber für die Lösung des Problems ist das eigentlich nicht so wichtig. Die Ebene ist einfach die „Rückwand“ meines Prismas. Es reicht aus, einfach zu vermuten, dass die Gleichung einer solchen Ebene die Form hat:

Dies kann jedoch direkt gezeigt werden:

Wählen wir drei beliebige Punkte auf dieser Ebene: zum Beispiel .

Erstellen wir die Gleichung der Ebene:

Übung für Sie: Berechnen Sie diese Determinante selbst. Warst du erfolgreich? Dann sieht die Gleichung der Ebene so aus:

Oder einfach

Auf diese Weise,

Um das Beispiel zu lösen, muss ich die Koordinaten des Richtungsvektors der geraden Linie ermitteln. Da der Punkt mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, stimmen die Koordinaten des Vektors einfach mit den Koordinaten des Punktes überein. Dazu ermitteln wir zunächst die Koordinaten des Punktes.

Betrachten Sie dazu ein Dreieck. Zeichnen wir die Höhe (auch Median und Winkelhalbierende genannt) vom Scheitelpunkt aus. Da die Ordinate des Punktes gleich ist. Um die Abszisse dieses Punktes zu finden, müssen wir die Länge des Segments berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Ein Punkt ist ein „erhabener“ Punkt:

Dann sind die Vektorkoordinaten:

Antwort:

Wie Sie sehen, gibt es bei der Lösung solcher Probleme nichts grundsätzlich Schwieriges. Tatsächlich wird der Vorgang durch die „Geradheit“ einer Figur wie eines Prismas noch etwas vereinfacht. Kommen wir nun zum nächsten Beispiel:

2. Zeichnen Sie ein Parallelepiped, zeichnen Sie eine Ebene und eine gerade Linie darin und zeichnen Sie auch separat seine untere Basis:

Zuerst finden wir die Gleichung der Ebene: Die Koordinaten der drei darin liegenden Punkte:

(Die ersten beiden Koordinaten werden auf offensichtliche Weise ermittelt, und die letzte Koordinate kann vom Punkt aus leicht aus dem Bild ermittelt werden.) Dann stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Wir berechnen:

Wir suchen die Koordinaten des Leitvektors: Es ist klar, dass seine Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes übereinstimmen, nicht wahr? Wie finde ich Koordinaten? Dies sind die Koordinaten des Punktes, erhöht entlang der Anwendungsachse um eins! . Dann suchen wir den gewünschten Winkel:

Antwort:

3. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide und zeichnen Sie dann eine Ebene und eine gerade Linie darin.

Hier ist es sogar problematisch, eine Ebene zu zeichnen, ganz zu schweigen von der Lösung dieses Problems, aber der Koordinatenmethode ist das egal! Seine Vielseitigkeit ist sein Hauptvorteil!

Das Flugzeug durchquert drei Punkte: . Wir suchen ihre Koordinaten:

1) . Finden Sie die Koordinaten der letzten beiden Punkte selbst heraus. Dazu müssen Sie das Problem der sechseckigen Pyramide lösen!

2) Wir konstruieren die Gleichung der Ebene:

Wir suchen die Koordinaten des Vektors: . (Siehe noch einmal das Dreieckspyramidenproblem!)

3) Auf der Suche nach einem Blickwinkel:

Antwort:

Wie Sie sehen, gibt es bei diesen Aufgaben nichts übernatürlich Schwieriges. Nur mit den Wurzeln muss man sehr vorsichtig sein. Ich werde nur Antworten auf die letzten beiden Probleme geben:

Wie Sie sehen, ist die Technik zur Lösung von Problemen überall gleich: Die Hauptaufgabe besteht darin, die Koordinaten der Scheitelpunkte zu finden und sie in bestimmte Formeln einzusetzen. Wir müssen noch eine weitere Klasse von Problemen zur Winkelberechnung betrachten, nämlich:

Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen

Der Lösungsalgorithmus sieht wie folgt aus:

1. Anhand von drei Punkten suchen wir nach der Gleichung der ersten Ebene:
2. Mithilfe der anderen drei Punkte suchen wir nach der Gleichung der zweiten Ebene:
3. Wir wenden die Formel an:

Wie Sie sehen, ist die Formel den beiden vorherigen sehr ähnlich, mit deren Hilfe wir nach Winkeln zwischen Geraden und zwischen einer Geraden und einer Ebene gesucht haben. Es wird Ihnen also nicht schwerfallen, sich daran zu erinnern. Kommen wir zur Analyse der Aufgaben:

1. Die Seite der Basis des rechten dreieckigen Prismas ist gleich und die Diagonale der Seitenfläche ist gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Ebene und der Ebene der Prismenachse.

2. Finden Sie in den rechten vier Ecken pi-ra-mi-de, deren Kanten alle gleich sind, den Sinus des Winkels zwischen der Ebene und dem ebenen Knochen, der durch den Punkt per-pen-di-ku- geht. lyar-aber gerade.

3. Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma sind die Seiten der Grundfläche gleich und die Seitenkanten sind gleich. Es gibt einen Punkt am Rand von-me-che-on, also. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und

4. Bei einem rechtwinkligen viereckigen Prisma sind die Seiten der Grundfläche gleich und die Seitenkanten sind gleich. Es gibt einen Punkt an der Kante vom Punkt, sodass der Winkel zwischen den Ebenen und ermittelt wird.

5. Ermitteln Sie in einem Würfel den Co-Sinus des Winkels zwischen den Ebenen und

Problemlösungen:

1. Ich zeichne das Richtige (an der Basis befindet sich ein gleichseitiges Dreieck) dreieckiges Prisma und markieren Sie darauf die Ebenen, die in der Problemstellung vorkommen:

Wir müssen die Gleichungen zweier Ebenen finden: Die Gleichung der Basis ist trivial: Sie können die entsprechende Determinante aus drei Punkten zusammenstellen, aber ich werde die Gleichung gleich zusammenstellen:

Finden wir nun die Gleichung. Punkt hat Koordinaten. Punkt – Da es sich um den Median und die Höhe des Dreiecks handelt, kann er mithilfe des Satzes des Pythagoras leicht im Dreieck gefunden werden. Dann hat der Punkt Koordinaten: Finden wir die Anwendung des Punktes. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck

Dann erhalten wir die folgenden Koordinaten: Wir stellen die Gleichung der Ebene auf.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Ebenen:

Antwort:

2. Eine Zeichnung erstellen:

Am schwierigsten ist es zu verstehen, was für eine mysteriöse Ebene es ist, die senkrecht durch den Punkt verläuft. Nun, die Hauptsache ist, was ist das? Hauptsache Aufmerksamkeit! Tatsächlich ist die Linie senkrecht. Die Gerade steht auch senkrecht. Dann steht die durch diese beiden Geraden verlaufende Ebene senkrecht zur Geraden und geht übrigens durch den Punkt. Diese Ebene verläuft auch durch die Spitze der Pyramide. Dann das gewünschte Flugzeug - Und das Flugzeug wurde uns bereits gegeben. Wir suchen die Koordinaten der Punkte.

Wir finden die Koordinate des Punktes durch den Punkt. Aus dem kleinen Bild lässt sich leicht ableiten, dass die Koordinaten des Punktes wie folgt aussehen werden: Was bleibt nun noch zu finden, um die Koordinaten der Spitze der Pyramide zu finden? Sie müssen auch seine Höhe berechnen. Dies geschieht mit dem gleichen Satz des Pythagoras: Beweisen Sie zunächst das (trivialerweise anhand kleiner Dreiecke, die an der Basis ein Quadrat bilden). Denn aufgrund der Bedingung haben wir:

Jetzt ist alles fertig: Scheitelpunktkoordinaten:

Wir stellen die Gleichung der Ebene zusammen:

Sie sind bereits Experte in der Berechnung von Determinanten. Ohne Schwierigkeiten erhalten Sie:

Oder anders (wenn wir beide Seiten mit der Wurzel aus zwei multiplizieren)

Finden wir nun die Gleichung der Ebene:

(Sie haben nicht vergessen, wie wir die Gleichung einer Ebene erhalten, oder? Wenn Sie nicht verstehen, woher dieses Minus eins kommt, dann kehren Sie zur Definition der Gleichung einer Ebene zurück! Es stellte sich einfach immer vorher heraus mein Flugzeug gehörte zum Koordinatenursprung!)

Wir berechnen die Determinante:

(Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Gleichung der Ebene mit der Gleichung der durch die Punkte verlaufenden Geraden übereinstimmt! Denken Sie darüber nach, warum!)

Berechnen wir nun den Winkel:

Wir müssen den Sinus finden:

Antwort:

3. Knifflige Frage: Was ist Ihrer Meinung nach ein rechteckiges Prisma? Das ist nur ein Parallelepiped, das Sie gut kennen! Lass uns gleich eine Zeichnung anfertigen! Sie müssen die Basis nicht einmal separat abbilden, sie nützt hier wenig:

Die Ebene wird, wie bereits erwähnt, in Form einer Gleichung geschrieben:

Jetzt erstellen wir ein Flugzeug

Wir erstellen sofort die Gleichung der Ebene:

Auf der Suche nach einem Blickwinkel:

Nun die Antworten auf die letzten beiden Probleme:

Nun ist es an der Zeit, eine kleine Pause zu machen, denn Sie und ich sind großartig und haben großartige Arbeit geleistet!

Koordinaten und Vektoren. Fortgeschrittenes Level

In diesem Artikel besprechen wir mit Ihnen eine weitere Klasse von Problemen, die mit der Koordinatenmethode gelöst werden können: Entfernungsberechnungsprobleme. Wir werden nämlich die folgenden Fälle betrachten:

1. Berechnung des Abstands zwischen sich schneidenden Linien.

Ich habe diese Aufgaben nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Es stellt sich heraus, dass es am einfachsten zu finden ist Abstand vom Punkt zur Ebene, und das Schwierigste ist, es zu finden Abstand zwischen sich kreuzenden Linien. Obwohl natürlich nichts unmöglich ist! Lassen Sie uns nicht zögern und uns sofort mit der ersten Klasse von Problemen befassen:

Berechnen des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene

Was brauchen wir, um dieses Problem zu lösen?

1. Punktkoordinaten

Sobald wir also alle notwendigen Daten erhalten haben, wenden wir die Formel an:

Sie sollten bereits aus den vorherigen Problemen wissen, die ich im letzten Teil besprochen habe, wie wir die Gleichung einer Ebene konstruieren. Kommen wir gleich zu den Aufgaben. Das Schema ist wie folgt: 1, 2 – Ich helfe Ihnen bei der Entscheidung, und im Detail, 3, 4 – nur die Antwort, Sie führen die Lösung selbst durch und vergleichen. Lasst uns beginnen!

Aufgaben:

1. Gegeben sei ein Würfel. Die Kantenlänge des Würfels ist gleich. Finden Sie den Abstand vom Se-Re-Di-Na vom Schnitt zum Flugzeug

2. Bei der richtigen Vier-Kohlen-Pi-ra-mi-ja ist die Seite der Seite gleich der Basis. Finden Sie den Abstand vom Punkt zur Ebene, wo - se-re-di-an den Kanten.

3. Im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit dem os-no-va-ni-em ist die Seitenkante gleich und das Hundert-ro-auf dem os-no-vania ist gleich. Finden Sie den Abstand von oben zur Ebene.

4. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.

Lösungen:

1. Zeichnen Sie einen Würfel mit einzelnen Kanten, konstruieren Sie ein Segment und eine Ebene und bezeichnen Sie die Mitte des Segments mit einem Buchstaben

.

Beginnen wir zunächst mit dem Einfachen: Finden Sie die Koordinaten des Punktes. Seitdem (merken Sie sich die Koordinaten der Segmentmitte!)

Jetzt stellen wir die Gleichung der Ebene aus drei Punkten zusammen

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Jetzt kann ich anfangen, die Entfernung zu ermitteln:

2. Wir beginnen wieder mit einer Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren!

Bei einer Pyramide wäre es sinnvoll, ihre Basis separat zu zeichnen.

Selbst die Tatsache, dass ich mit der Pfote wie ein Huhn zeichne, wird uns nicht davon abhalten, dieses Problem mit Leichtigkeit zu lösen!

Jetzt ist es einfach, die Koordinaten eines Punktes zu finden

Da die Koordinaten des Punktes also

2. Da die Koordinaten von Punkt a die Mitte des Segments sind, dann

Ohne Probleme können wir die Koordinaten von zwei weiteren Punkten auf der Ebene ermitteln. Wir erstellen eine Gleichung für die Ebene und vereinfachen sie:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Da der Punkt die Koordinaten hat: , berechnen wir die Entfernung:

Antwort (sehr selten!):

Na, hast du es herausgefunden? Mir scheint, dass hier alles genauso technisch ist wie in den Beispielen, die wir uns im vorherigen Teil angesehen haben. Ich bin also sicher, dass es Ihnen nicht schwer fallen wird, die verbleibenden beiden Probleme zu lösen, wenn Sie dieses Material beherrschen. Ich gebe Ihnen nur die Antworten:

Berechnen des Abstands von einer Geraden zu einer Ebene

Tatsächlich gibt es hier nichts Neues. Wie können eine Gerade und eine Ebene relativ zueinander positioniert werden? Sie haben nur eine Möglichkeit: sich zu schneiden, oder eine Gerade verläuft parallel zur Ebene. Wie groß ist Ihrer Meinung nach der Abstand einer Geraden zu der Ebene, die diese Gerade schneidet? Es scheint mir, dass hier klar ist, dass ein solcher Abstand gleich Null ist. Uninteressanter Fall.

Der zweite Fall ist schwieriger: Hier ist der Abstand bereits ungleich Null. Da die Linie jedoch parallel zur Ebene verläuft, ist jeder Punkt der Linie von dieser Ebene gleich weit entfernt:

Auf diese Weise:

Das bedeutet, dass meine Aufgabe auf die vorherige reduziert wurde: Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer geraden Linie, suchen nach der Gleichung der Ebene und berechnen den Abstand vom Punkt zur Ebene. Tatsächlich sind solche Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen äußerst selten. Es ist mir gelungen, nur ein Problem zu finden, und die darin enthaltenen Daten waren so beschaffen, dass die Koordinatenmethode darauf nicht sehr anwendbar war!

Kommen wir nun zu einer anderen, viel wichtigeren Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands eines Punktes zu einer Linie

Was brauchen wir?

1. Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf einer Linie liegt

3. Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden

Welche Formel verwenden wir?

Was der Nenner dieses Bruchs bedeutet, sollte Ihnen klar sein: Dies ist die Länge des Richtungsvektors der Geraden. Das ist ein sehr kniffliger Zähler! Der Ausdruck bedeutet den Modul (Länge) des Vektorprodukts von Vektoren und wie man das Vektorprodukt berechnet, haben wir im vorherigen Teil der Arbeit untersucht. Frischen Sie Ihr Wissen auf, wir werden es jetzt dringend brauchen!

Somit sieht der Algorithmus zur Lösung von Problemen wie folgt aus:

1. Wir suchen die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden, zu dem wir die Entfernung suchen:

3. Konstruieren Sie einen Vektor

4. Konstruieren Sie einen Richtungsvektor einer Geraden

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt

6. Wir suchen nach der Länge des resultierenden Vektors:

7. Berechnen Sie die Entfernung:

Wir haben noch viel zu tun und die Beispiele werden ziemlich komplex sein! Konzentrieren Sie sich jetzt auf alle Ihre Aufmerksamkeit!

1. Gegeben sei ein rechtwinkliges dreieckiges Pi-ra-mi-da mit einer Spitze. Das Hundert-Ro-auf der Basis des Pi-Ra-Mi-Dy ist gleich, du bist gleich. Finden Sie den Abstand von der grauen Kante zur geraden Linie, wo die Punkte und die grauen Kanten sind und vom Veterinärpunkt.

2. Die Längen der Rippen und des geradlinigen No-Go-Par-ral-le-le-pi-pe-da sind entsprechend gleich und ermitteln Sie den Abstand von der Spitze zur geraden Linie

3. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Ermitteln Sie den Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie

Lösungen:

1. Wir erstellen eine übersichtliche Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren:

Wir haben viel zu tun! Zunächst möchte ich in Worten beschreiben, wonach wir suchen werden und in welcher Reihenfolge:

1. Koordinaten von Punkten und

2. Punktkoordinaten

3. Koordinaten von Punkten und

4. Koordinaten von Vektoren und

5. Ihr Kreuzprodukt

6. Vektorlänge

7. Länge des Vektorprodukts

8. Entfernung von bis

Nun, wir haben noch viel Arbeit vor uns! Lasst uns mit hochgekrempelten Ärmeln an die Sache herangehen!

1. Um die Koordinaten der Höhe der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Koordinaten des Punktes kennen. Seine Ordinate ist gleich seiner Abszisse und entspricht der Länge des Segments ein gleichseitiges Dreieck, es wird im Verhältnis geteilt, gezählt vom Scheitelpunkt, von hier aus. Endlich haben wir die Koordinaten:

Punktkoordinaten

2. - Mitte des Segments

3. - Mitte des Segments

Mittelpunkt des Segments

4.Koordinaten

Vektorkoordinaten

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt:

6. Vektorlänge: Der einfachste Weg zum Ersetzen besteht darin, dass das Segment die Mittellinie des Dreiecks ist, was bedeutet, dass es der Hälfte der Basis entspricht. Also.

7. Berechnen Sie die Länge des Vektorprodukts:

8. Schließlich ermitteln wir den Abstand:

Uff, das ist es! Ich sage Ihnen ganz ehrlich: Die Lösung dieses Problems mit herkömmlichen Methoden (durch Konstruktion) wäre viel schneller. Aber hier habe ich alles auf einen vorgefertigten Algorithmus reduziert! Ich denke, der Lösungsalgorithmus ist Ihnen klar? Daher bitte ich Sie, die verbleibenden beiden Probleme selbst zu lösen. Vergleichen wir die Antworten?

Ich wiederhole es noch einmal: Es ist einfacher (schneller), diese Probleme durch Konstruktionen zu lösen, als auf die Koordinatenmethode zurückzugreifen. Ich habe diese Lösung nur gezeigt, um es Ihnen zu zeigen universelle Methode, was es Ihnen ermöglicht, „nichts fertig zu bauen“.

Betrachten Sie abschließend die letzte Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands zwischen sich schneidenden Linien

Hier ähnelt der Algorithmus zur Lösung von Problemen dem vorherigen. Was wir haben:

3. Jeder Vektor, der die Punkte der ersten und zweiten Linie verbindet:

Wie finden wir den Abstand zwischen Linien?

Die Formel lautet wie folgt:

Der Zähler ist der Modul des gemischten Produkts (wir haben ihn im vorherigen Teil eingeführt) und der Nenner ist, wie in der vorherigen Formel (der Modul des Vektorprodukts der Richtungsvektoren der Geraden, deren Abstand wir haben sind auf der Suche nach).

Ich werde Sie daran erinnern

Dann Die Formel für den Abstand kann umgeschrieben werden als:

Dies ist eine Determinante dividiert durch eine Determinante! Obwohl ich hier ehrlich gesagt keine Zeit für Witze habe! Diese Formel ist tatsächlich sehr umständlich und führt zu recht komplexen Berechnungen. Wenn ich Sie wäre, würde ich nur als letzten Ausweg darauf zurückgreifen!

Versuchen wir, einige Probleme mit der oben genannten Methode zu lösen:

1. Ermitteln Sie in einem rechtwinkligen dreieckigen Prisma, dessen Kanten alle gleich sind, den Abstand zwischen den Geraden und.

2. Bei einem geraden dreieckigen Prisma sind alle Kanten der Basis gleich dem durch den Körper verlaufenden Rippenabschnitt und die Se-Re-Di-Well-Rippen sind ein Quadrat. Finden Sie den Abstand zwischen den Geraden und

Ich entscheide über das Erste, und basierend darauf entscheiden Sie über das Zweite!

1. Ich zeichne ein Prisma und markiere gerade Linien und

Koordinaten von Punkt C: dann

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Vektorkoordinaten

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Wir berechnen das Vektorprodukt zwischen Vektoren und

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Jetzt berechnen wir seine Länge:

Antwort:

Versuchen Sie nun, die zweite Aufgabe sorgfältig zu erledigen. Die Antwort darauf wird sein: .

Koordinaten und Vektoren. Kurzbeschreibung und Grundformeln

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment. - der Anfang des Vektors, - das Ende des Vektors.
Ein Vektor wird mit oder bezeichnet.

Absoluter Wert Vektor – die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Bezeichnet als.

Vektorkoordinaten:

,
Wo sind die Enden des Vektors \displaystyle a ?

Summe der Vektoren: .

Produkt von Vektoren:

Skalarprodukt von Vektoren:

Das Skalarprodukt von Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Absolutwerte und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

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Endlich habe ich dieses umfangreiche und lang erwartete Thema in die Hände bekommen. analytische Geometrie. Zunächst ein wenig zu diesem Abschnitt der höheren Mathematik ... Sicher erinnern Sie sich jetzt an einen Schulgeometriekurs mit zahlreichen Theoremen, deren Beweisen, Zeichnungen usw. Was zu verbergen ist, ist für einen erheblichen Teil der Studierenden ein ungeliebtes und oft unklares Thema. Seltsamerweise scheint die analytische Geometrie interessanter und zugänglicher zu sein. Was bedeutet das Adjektiv „analytisch“? Mir fallen sofort zwei klischeehafte mathematische Ausdrücke ein: „grafische Lösungsmethode“ und „analytische Lösungsmethode“. Grafische Methode, ist natürlich mit der Erstellung von Grafiken und Zeichnungen verbunden. Analytisch Dasselbe Methode beinhaltet das Lösen von Problemen hauptsächlich durch algebraische Operationen. In dieser Hinsicht ist der Algorithmus zur Lösung fast aller Probleme der analytischen Geometrie einfach und transparent; oft reicht es aus, die notwendigen Formeln sorgfältig anzuwenden – und die Antwort ist fertig! Nein, natürlich geht es ohne Zeichnungen überhaupt nicht und außerdem für besseres Verstehen Ich werde versuchen, mehr Material als nötig bereitzustellen.

Der neu eröffnete Geometrieunterricht erhebt keinen Anspruch auf theoretische Vollständigkeit, sondern ist auf die Lösung praktischer Probleme ausgerichtet. Ich werde in meinen Vorträgen nur das einbringen, was aus meiner Sicht wichtig ist in der Praxis. Wenn Sie umfassendere Hilfe zu einem Unterabschnitt benötigen, empfehle ich die folgende leicht zugängliche Literatur:

1) Eine Sache, mit der, kein Scherz, mehrere Generationen vertraut sind: Schulbuch zur Geometrie, Autoren - L.S. Atanasyan und Company. Dieser Kleiderbügel für die Schulumkleidekabine wurde bereits 20 (!) nachgedruckt, was natürlich nicht die Grenze darstellt.

2) Geometrie in 2 Bänden. Autoren L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Das ist Literatur für die Oberstufe, die Sie brauchen werden erster Band. Selten angetroffene Aufgaben fallen mir möglicherweise aus den Augen Lernprogramm wird unschätzbare Hilfe leisten.

Beide Bücher können kostenlos online heruntergeladen werden. Darüber hinaus können Sie mein Archiv mit vorgefertigten Lösungen nutzen, die Sie auf der Seite finden Laden Sie Beispiele in höherer Mathematik herunter.

Unter den Tools schlage ich wieder meine eigene Entwicklung vor - Softwarepaket in der analytischen Geometrie, was das Leben erheblich vereinfacht und viel Zeit spart.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit grundlegenden geometrischen Konzepten und Figuren vertraut ist: Punkt, Linie, Ebene, Dreieck, Parallelogramm, Parallelepiped, Würfel usw. Es ist ratsam, sich an einige Theoreme zu erinnern, zumindest an den Satz des Pythagoras, hallo an Wiederholer)

Und nun betrachten wir nacheinander: das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten. Ich empfehle weiterzulesen der wichtigste Artikel Skalarprodukt von Vektoren, und auch Vektor und gemischtes Produkt von Vektoren. Auch eine lokale Aufgabe – die Aufteilung eines Segments in diesem Sinne – wird nicht überflüssig sein. Basierend auf den oben genannten Informationen können Sie es meistern Gleichung einer Geraden in einer Ebene Mit einfachste Lösungsbeispiele, was es ermöglichen wird lernen, Geometrieprobleme zu lösen. Die folgenden Artikel sind ebenfalls nützlich: Gleichung einer Ebene im Raum, Gleichungen einer Linie im Raum, Grundprobleme einer Geraden und einer Ebene, weitere Abschnitte der analytischen Geometrie. Selbstverständlich werden dabei auch Standardaufgaben berücksichtigt.

Vektorkonzept. Kostenloser Vektor

Wiederholen wir zunächst die Schuldefinition eines Vektors. Vektor angerufen gerichtet ein Segment, dessen Anfang und Ende angegeben sind:

In diesem Fall ist der Anfang des Segments der Punkt, das Ende des Segments ist der Punkt. Der Vektor selbst wird mit bezeichnet. Richtung ist wichtig, wenn man den Pfeil an das andere Ende des Segments bewegt, erhält man einen Vektor, und dieser ist bereits vorhanden völlig anderer Vektor. Es ist praktisch, das Konzept eines Vektors mit der Bewegung eines physischen Körpers gleichzusetzen: Sie müssen zustimmen, dass das Betreten der Türen eines Instituts oder das Verlassen der Türen eines Instituts völlig verschiedene Dinge sind.

Es ist zweckmäßig, einzelne Punkte einer Ebene oder eines Raumes als sogenannte Punkte zu betrachten Nullvektor. Bei einem solchen Vektor fallen Ende und Anfang zusammen.

!!! Notiz: Hier und weiter können Sie davon ausgehen, dass die Vektoren in derselben Ebene liegen, oder Sie können davon ausgehen, dass sie sich im Raum befinden – die Essenz des präsentierten Materials gilt sowohl für die Ebene als auch für den Raum.

Bezeichnungen: Vielen fiel sofort der Stock ohne Pfeil in der Bezeichnung auf und meinten, oben ist ja auch ein Pfeil! Man kann es zwar mit einem Pfeil schreiben: , aber es ist auch möglich der Eintrag, den ich in Zukunft verwenden werde. Warum? Anscheinend hat sich diese Angewohnheit aus praktischen Gründen entwickelt; meine Schützen in der Schule und an der Universität erwiesen sich als zu unterschiedlich groß und zottelig. In der Bildungsliteratur gibt man sich manchmal überhaupt nicht mit der Keilschrift auseinander, sondern hebt die Buchstaben fett hervor: und deutet damit an, dass es sich um einen Vektor handelt.

Das war Stilistik, und nun geht es um die Möglichkeiten, Vektoren zu schreiben:

1) Vektoren können in zwei lateinischen Großbuchstaben geschrieben werden:
usw. In diesem Fall der erste Buchstabe Notwendig bezeichnet den Anfangspunkt des Vektors und der zweite Buchstabe bezeichnet den Endpunkt des Vektors.

2) Vektoren werden auch in kleinen lateinischen Buchstaben geschrieben:
Insbesondere kann unser Vektor der Kürze halber durch einen kleinen lateinischen Buchstaben umbenannt werden.

Länge oder Modul Ein Vektor ungleich Null wird als Länge des Segments bezeichnet. Die Länge des Nullvektors ist Null. Logisch.

Die Länge des Vektors wird durch das Modulzeichen angegeben: ,

Wir werden etwas später lernen, wie man die Länge eines Vektors ermittelt (oder wir werden es wiederholen, je nachdem, wer).

Dies waren grundlegende Informationen über Vektoren, die allen Schulkindern bekannt waren. In der analytischen Geometrie ist das sogenannte kostenloser Vektor.

Einfach gesagt - Der Vektor kann von jedem Punkt aus aufgezeichnet werden:

Wir sind es gewohnt, solche Vektoren gleich zu nennen (die Definition gleicher Vektoren wird weiter unten gegeben), aber aus rein mathematischer Sicht sind sie der GLEICHE VEKTOR oder kostenloser Vektor. Warum kostenlos? Denn im Zuge der Lösung von Problemen können Sie diesen oder jenen „Schul“-Vektor an JEDEM Punkt der Ebene oder des Raums „anbringen“, den Sie benötigen. Das ist eine sehr coole Funktion! Stellen Sie sich ein gerichtetes Segment beliebiger Länge und Richtung vor – es kann unendlich oft und an jedem Punkt im Raum „geklont“ werden, tatsächlich existiert es ÜBERALL. Es gibt so einen Studentenspruch: Der Vektor ist jedem Dozenten scheißegal. Schließlich ist es nicht nur ein witziger Reim, sondern fast alles stimmt – da kann auch ein gerichteter Abschnitt eingefügt werden. Aber beeilen Sie sich nicht, sich zu freuen, es sind oft die Schüler selbst, die darunter leiden =)

Also, kostenloser Vektor- Das ein Haufen identische gerichtete Segmente. Die am Anfang des Absatzes angegebene Schuldefinition eines Vektors: „Ein gerichtetes Segment wird als Vektor bezeichnet ...“ impliziert Spezifisch ein gerichtetes Segment aus einer gegebenen Menge, das an einen bestimmten Punkt in der Ebene oder im Raum gebunden ist.

Es ist zu beachten, dass das Konzept eines freien Vektors aus physikalischer Sicht im Allgemeinen falsch ist und der Anwendungspunkt von Bedeutung ist. Tatsächlich hat ein direkter Schlag mit der gleichen Kraft auf die Nase oder die Stirn, der ausreicht, um mein dummes Beispiel zu entwickeln, unterschiedliche Konsequenzen. Jedoch, unfrei Vektoren finden sich auch im Verlauf von Vyshmat (gehen Sie nicht dorthin :)).

Aktionen mit Vektoren. Kollinearität von Vektoren

Ein Schulgeometriekurs behandelt eine Reihe von Aktionen und Regeln mit Vektoren: Addition nach der Dreiecksregel, Addition nach der Parallelogrammregel, Vektordifferenzregel, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, Skalarprodukt von Vektoren usw. Als Ausgangspunkt wiederholen wir zwei Regeln, die für die Lösung von Problemen der analytischen Geometrie besonders relevant sind.

Die Regel zum Addieren von Vektoren mithilfe der Dreiecksregel

Betrachten Sie zwei beliebige Vektoren ungleich Null und:

Sie müssen die Summe dieser Vektoren ermitteln. Da alle Vektoren als frei gelten, lassen wir den Vektor beiseite Ende Vektor:

Die Summe der Vektoren ist der Vektor. Für ein besseres Verständnis der Regel empfiehlt sich die Angabe physikalische Bedeutung: Lassen Sie einen Körper entlang eines Vektors wandern und dann entlang eines Vektors. Dann ist die Summe der Vektoren der Vektor des resultierenden Pfades mit dem Anfang am Ausgangspunkt und dem Ende am Ankunftspunkt. Eine ähnliche Regel wird für die Summe beliebig vieler Vektoren formuliert. Wie man so schön sagt, kann der Körper sehr geneigt im Zickzack oder vielleicht auf Autopilot entlang des resultierenden Vektors der Summe seinen Weg gehen.

Übrigens, wenn der Vektor verschoben wird gestartet Vektor, dann erhalten wir das Äquivalent Parallelogrammregel Addition von Vektoren.

Zunächst zur Kollinearität von Vektoren. Die beiden Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen. Grob gesagt sprechen wir von parallelen Vektoren. Für sie wird jedoch immer das Adjektiv „kollinear“ verwendet.

Stellen Sie sich zwei kollineare Vektoren vor. Wenn die Pfeile dieser Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, werden solche Vektoren aufgerufen Co-Regie. Wenn die Pfeile in unterschiedliche Richtungen zeigen, sind die Vektoren gleich entgegengesetzte Richtungen.

Bezeichnungen: Kollinearität von Vektoren wird mit dem üblichen Parallelitätssymbol geschrieben: , wobei eine Detaillierung möglich ist: (Vektoren sind gleichgerichtet) oder (Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet).

Die Arbeit Ein Nicht-Null-Vektor auf einer Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind gemeinsam auf und entgegengesetzt gerichtet.

Die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl lässt sich anhand eines Bildes leichter verstehen:

Schauen wir es uns genauer an:

1 Richtung. Wenn der Multiplikator negativ ist, dann der Vektor ändert die Richtung zum Gegenteil.

2) Länge. Wenn der Multiplikator in oder enthalten ist, dann die Länge des Vektors nimmt ab. Somit ist die Länge des Vektors halb so lang wie der Vektor. Wenn der Modul des Multiplikators größer als eins ist, dann ist die Länge des Vektors erhöht sich rechtzeitig.

3) Bitte beachten Sie das alle Vektoren sind kollinear, während ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt wird, zum Beispiel . Das Gegenteil ist auch der Fall: Wenn ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt werden kann, dann sind solche Vektoren notwendigerweise kollinear. Auf diese Weise: Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren, erhalten wir eine Kollinearität(relativ zum Original) Vektor.

4) Die Vektoren sind gleichgerichtet. Vektoren und werden ebenfalls mitgesteuert. Jeder Vektor der ersten Gruppe ist in Bezug auf jeden Vektor der zweiten Gruppe entgegengesetzt gerichtet.

Welche Vektoren sind gleich?

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in die gleiche Richtung weisen und die gleiche Länge haben. Beachten Sie, dass Kodirektionalität Kollinearität von Vektoren impliziert. Die Definition wäre ungenau (redundant), wenn wir sagen würden: „Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie kollinear und gleichgerichtet sind und die gleiche Länge haben.“

Aus der Sicht des Konzepts eines freien Vektors sind gleiche Vektoren dieselben Vektoren, wie im vorherigen Absatz erläutert.

Vektorkoordinaten in der Ebene und im Raum

Der erste Punkt besteht darin, Vektoren in der Ebene zu betrachten. Lassen Sie uns ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem darstellen und es ausgehend vom Koordinatenursprung zeichnen einzel Vektoren und :

Vektoren und senkrecht. Orthogonal = Senkrecht. Ich empfehle Ihnen, sich langsam an die Begriffe zu gewöhnen: Anstelle von Parallelität und Rechtwinkligkeit verwenden wir die Wörter entsprechend Kollinearität Und Orthogonalität.

Bezeichnung: Die Orthogonalität von Vektoren wird mit dem üblichen Rechtwinkligkeitssymbol geschrieben, zum Beispiel: .

Die betrachteten Vektoren werden aufgerufen Koordinatenvektoren oder Orte. Diese Vektoren bilden sich Basis auf der Oberfläche. Was eine Basis ist, ist meiner Meinung nach für viele intuitiv klar; genauere Informationen finden sich im Artikel Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren In einfachen Worten definieren die Basis und der Ursprung der Koordinaten das gesamte System – dies ist eine Art Fundament, auf dem ein volles und reiches geometrisches Leben brodelt.

Manchmal wird die konstruierte Basis aufgerufen orthonormal Basis der Ebene: „ortho“ – da die Koordinatenvektoren orthogonal sind, bedeutet das Adjektiv „normalisiert“ Einheit, d. h. die Längen der Basisvektoren sind gleich eins.

Bezeichnung: Die Basis wird normalerweise in Klammern geschrieben, in denen in strenger Reihenfolge Basisvektoren werden aufgelistet, zum Beispiel: . Koordinatenvektoren es ist verboten neu anordnen.

Beliebig Ebenenvektor der einzige Weg ausgedrückt als:
, Wo - Zahlen die aufgerufen werden Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage. Und der Ausdruck selbst angerufen Vektorzerlegungnach Basis .

Abendessen serviert:

Beginnen wir mit dem ersten Buchstaben des Alphabets: . Die Zeichnung zeigt deutlich, dass bei der Zerlegung eines Vektors in eine Basis die gerade besprochenen verwendet werden:
1) die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl: und ;
2) Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel: .

Zeichnen Sie nun gedanklich den Vektor von jedem anderen Punkt der Ebene aus. Es sei völlig offensichtlich, dass sein Verfall ihn „unerbittlich verfolgen“ werde. Hier ist sie, die Freiheit des Vektors – der Vektor „trägt alles mit sich“. Diese Eigenschaft gilt natürlich für jeden Vektor. Es ist lustig, dass die (freien) Basisvektoren selbst nicht vom Ursprung aus gezeichnet werden müssen; einer kann beispielsweise unten links und der andere oben rechts gezeichnet werden, und es ändert sich nichts! Das müssen Sie zwar nicht tun, da der Lehrer auch Originalität zeigt und Ihnen an einer unerwarteten Stelle einen „Credit“ auszahlt.

Vektoren veranschaulichen genau die Regel für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: Der Vektor ist mit dem Basisvektor gleichgerichtet, der Vektor ist dem Basisvektor entgegengesetzt gerichtet. Für diese Vektoren ist eine der Koordinaten gleich Null, man kann es akribisch so schreiben:


Und die Basisvektoren sind übrigens so: (tatsächlich werden sie durch sich selbst ausgedrückt).

Und endlich: , . Was ist übrigens Vektorsubtraktion und warum habe ich nicht über die Subtraktionsregel gesprochen? Irgendwo in der linearen Algebra, ich weiß nicht mehr, wo, habe ich festgestellt, dass die Subtraktion ein Sonderfall der Addition ist. Somit lassen sich die Entwicklungen der Vektoren „de“ und „e“ leicht als Summe schreiben: , . Verfolgen Sie die Zeichnung, um zu sehen, wie deutlich die gute alte Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel in diesen Situationen funktioniert.

Die betrachtete Zerlegung des Formulars manchmal auch Vektorzerlegung genannt im Ortssystem(d. h. in einem System von Einheitsvektoren). Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, einen Vektor zu schreiben; die folgende Option ist üblich:

Oder mit einem Gleichheitszeichen:

Die Basisvektoren selbst werden wie folgt geschrieben: und

Das heißt, die Koordinaten des Vektors werden in Klammern angegeben. IN praktische Probleme Alle drei Aufnahmemöglichkeiten werden genutzt.

Ich habe gezweifelt, ob ich etwas sagen soll, aber ich sage es trotzdem: Vektorkoordinaten können nicht neu angeordnet werden. Streng an erster Stelle wir schreiben die Koordinate auf, die dem Einheitsvektor entspricht, streng an zweiter Stelle Wir notieren die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht. Tatsächlich sind und zwei verschiedene Vektoren.

Wir haben die Koordinaten im Flugzeug herausgefunden. Schauen wir uns nun Vektoren im dreidimensionalen Raum an, hier ist fast alles gleich! Es wird lediglich eine weitere Koordinate hinzugefügt. Es ist schwierig, dreidimensionale Zeichnungen zu erstellen, daher beschränke ich mich auf einen Vektor, den ich der Einfachheit halber vom Ursprung beiseite lege:

Beliebig 3D-Raumvektor der einzige Weg über eine orthonormale Basis erweitern:
, wo sind die Koordinaten des Vektors (Zahl) in dieser Basis.

Beispiel aus dem Bild: . Sehen wir uns hier an, wie die Vektorregeln funktionieren. Zuerst wird der Vektor mit einer Zahl multipliziert: (roter Pfeil), (grüner Pfeil) und (himbeerfarbener Pfeil). Zweitens ist hier ein Beispiel für die Addition mehrerer, in diesem Fall drei, Vektoren: . Der Summenvektor beginnt am anfänglichen Ausgangspunkt (Anfang des Vektors) und endet am endgültigen Ankunftspunkt (Ende des Vektors).

Alle Vektoren des dreidimensionalen Raums sind natürlich auch frei; versuchen Sie, den Vektor gedanklich von jedem anderen Punkt zu entfernen, und Sie werden verstehen, dass seine Zerlegung „bei ihm bleiben wird“.

Ähnlich wie bei der flachen Hülle, zusätzlich zum Schreiben Weit verbreitet sind Versionen mit Klammern: entweder .

Fehlen in der Erweiterung ein (oder zwei) Koordinatenvektoren, werden an ihrer Stelle Nullen eingefügt. Beispiele:
Vektor (akribisch ) - Lass uns schreiben ;
Vektor (akribisch ) - Lass uns schreiben ;
Vektor (akribisch ) - Lass uns schreiben .

Die Basisvektoren werden wie folgt geschrieben:

Dies ist vielleicht das gesamte theoretische Mindestwissen, das zur Lösung von Problemen der analytischen Geometrie erforderlich ist. Da es möglicherweise viele Begriffe und Definitionen gibt, empfehle ich Dummies, sie noch einmal zu lesen und zu verstehen diese Information noch einmal. Und es wird für jeden Leser nützlich sein, von Zeit zu Zeit auf die Grundlektion zurückzugreifen, um den Stoff besser zu verarbeiten. Kollinearität, Orthogonalität, Orthonormalbasis, Vektorzerlegung – diese und andere Konzepte werden in Zukunft häufig verwendet. Ich möchte darauf hinweisen, dass die Materialien der Website nicht ausreichen, um eine theoretische Prüfung oder ein Kolloquium in Geometrie zu bestehen, da ich alle Theoreme sorgfältig (und ohne Beweise) verschlüssele – zum Nachteil von wissenschaftlicher Stil Präsentation, aber ein Plus für Ihr Verständnis des Themas. Um detaillierte theoretische Informationen zu erhalten, wenden Sie sich bitte an Professor Atanasyan.

Und wir kommen zum praktischen Teil:

Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie.
Aktionen mit Vektoren in Koordinaten

Es ist sehr empfehlenswert zu lernen, wie man die zu berücksichtigenden Aufgaben und Formeln vollautomatisch löst sich einprägen, Sie müssen sich nicht einmal absichtlich daran erinnern, sie werden es sich selbst merken =) Dies ist sehr wichtig, da andere Probleme der analytischen Geometrie auf den einfachsten Elementarbeispielen basieren und es nervig sein wird, zusätzliche Zeit damit zu verbringen, Bauern zu essen . Es ist nicht nötig, die oberen Knöpfe Ihres Hemdes zu schließen; viele Dinge sind Ihnen aus der Schule bekannt.

Die Präsentation des Materials erfolgt parallel – sowohl für die Ebene als auch für den Weltraum. Aus dem Grund, dass alle Formeln... Sie werden es selbst sehen.

Wie finde ich einen Vektor aus zwei Punkten?

Sind zwei Punkte der Ebene und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Sind zwei Punkte im Raum und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Also, aus den Koordinaten des Endes des Vektors Sie müssen die entsprechenden Koordinaten subtrahieren Anfang des Vektors.

Übung: Schreiben Sie für dieselben Punkte die Formeln zum Ermitteln der Koordinaten des Vektors auf. Formeln am Ende der Lektion.

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Punkte der Ebene und . Finden Sie Vektorkoordinaten

Lösung: nach der entsprechenden Formel:

Alternativ könnte auch folgender Eintrag verwendet werden:

Ästheten werden so entscheiden:

Persönlich bin ich an die erste Version der Aufnahme gewöhnt.

Antwort:

Gemäß der Bedingung war es nicht notwendig, eine Zeichnung zu erstellen (was typisch für Probleme der analytischen Geometrie ist), aber um einige Punkte für Dummies zu klären, werde ich nicht faul sein:

Du musst es auf jeden Fall verstehen Unterschied zwischen Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten:

Punktkoordinaten– Dies sind gewöhnliche Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Ich denke, dass jeder von der 5. bis 6. Klasse weiß, wie man Punkte auf einer Koordinatenebene darstellt. Jeder Punkt hat einen festen Platz auf der Ebene und kann nirgendwo verschoben werden.

Die Koordinaten des Vektors– das ist in diesem Fall seine Erweiterung entsprechend der Basis. Jeder Vektor ist frei, daher können wir ihn bei Bedarf oder Bedarf leicht von einem anderen Punkt auf der Ebene entfernen (um Verwirrung zu vermeiden, indem wir ihn beispielsweise mit umbenennen). Interessant ist, dass man für Vektoren überhaupt keine Achsen oder ein rechtwinkliges Koordinatensystem erstellen muss, sondern nur eine Basis, in diesem Fall eine Orthonormalbasis der Ebene.

Die Aufzeichnungen der Koordinaten von Punkten und Koordinaten von Vektoren scheinen ähnlich zu sein: , und Bedeutung von Koordinaten absolut anders, und Sie sollten sich dieses Unterschieds bewusst sein. Dieser Unterschied Das gilt natürlich auch für den Weltraum.

Meine Damen und Herren, füllen wir unsere Hände:

Beispiel 2

a) Punkte und werden vergeben. Finden Sie Vektoren und .
b) Es werden Punkte vergeben Und . Finden Sie Vektoren und .
c) Punkte und werden vergeben. Finden Sie Vektoren und .
d) Es werden Punkte vergeben. Finden Sie Vektoren .

Vielleicht reicht das. Dies sind Beispiele, über die Sie selbst entscheiden können. Versuchen Sie, sie nicht zu vernachlässigen, es wird sich auszahlen ;-). Es ist nicht erforderlich, Zeichnungen anzufertigen. Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Was ist bei der Lösung analytischer Geometrieprobleme wichtig? Es ist wichtig, ÄUSSERST VORSICHTIG zu sein, um den meisterhaften Fehler „Zwei plus zwei ist gleich Null“ zu vermeiden. Ich entschuldige mich sofort, wenn ich irgendwo einen Fehler gemacht habe =)

Wie finde ich die Länge eines Segments?

Die Länge wird, wie bereits erwähnt, durch das Modulzeichen angegeben.

Sind zwei Punkte der Ebene gegeben und , dann kann die Länge des Segments mit der Formel berechnet werden

Sind zwei Punkte im Raum und gegeben, so kann die Länge des Segments mit der Formel berechnet werden

Notiz: Die Formeln bleiben korrekt, wenn die entsprechenden Koordinaten vertauscht werden: und , aber die erste Option ist standardmäßiger

Beispiel 3

Lösung: nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Zur Verdeutlichung werde ich eine Zeichnung anfertigen

Liniensegment - das ist kein Vektor, und natürlich können Sie es nicht irgendwohin verschieben. Zusätzlich, wenn Sie maßstabsgetreu zeichnen: 1 Einheit. = 1 cm (zwei Notizbuchzellen), dann kann die resultierende Antwort mit einem normalen Lineal überprüft werden, indem die Länge des Segments direkt gemessen wird.

Ja, die Lösung ist kurz, aber es sind noch ein paar mehr drin wichtige Punkte das möchte ich klarstellen:

Zuerst geben wir in der Antwort die Dimension „Einheiten“ ein. Der Zustand sagt nicht, WAS es ist, Millimeter, Zentimeter, Meter oder Kilometer. Daher wäre eine mathematisch korrekte Lösung die allgemeine Formulierung: „Einheiten“ – abgekürzt als „Einheiten“.

Zweitens wiederholen wir den Schulstoff, der nicht nur für die betrachtete Aufgabe nützlich ist:

beachten wichtige Technik – Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel. Als Ergebnis der Berechnungen haben wir ein Ergebnis und ein guter mathematischer Stil besteht darin, den Faktor unter der Wurzel zu entfernen (wenn möglich). Im Detail sieht der Prozess so aus: . Natürlich wäre es kein Fehler, die Antwort so zu belassen, aber es wäre auf jeden Fall ein Manko und ein gewichtiges Argument für Streitereien seitens des Lehrers.

Hier sind weitere häufige Fälle:

Oft reicht es an der Wurzel große Nummer, Zum Beispiel . Was ist in solchen Fällen zu tun? Mit dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl durch 4 teilbar ist: . Ja, es war völlig geteilt, also: . Oder lässt sich die Zahl vielleicht noch einmal durch 4 teilen? . Auf diese Weise: . Die letzte Ziffer der Zahl ist ungerade, daher wird eine dritte Division durch 4 offensichtlich nicht funktionieren. Versuchen wir, durch neun zu dividieren: . Ergebend:
Bereit.

Abschluss: wenn wir unter der Wurzel eine Zahl bekommen, die sich nicht als Ganzes extrahieren lässt, dann versuchen wir, den Faktor unter der Wurzel zu entfernen – mit einem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl teilbar ist durch: 4, 9, 16, 25, 36, 49 usw.

Bei der Lösung verschiedener Probleme stößt man oft auf Wurzeln. Versuchen Sie immer, Faktoren unter der Wurzel zu extrahieren, um eine schlechtere Note und unnötige Probleme bei der Fertigstellung Ihrer Lösungen auf der Grundlage der Kommentare des Lehrers zu vermeiden.

Wiederholen wir auch das Quadrat der Wurzeln und anderer Potenzen:

Regeln für Operationen mit Abschlüssen in allgemeiner Form finden Sie in Schulbuch in der Algebra, aber ich denke, anhand der gegebenen Beispiele ist bereits alles oder fast alles klar.

Aufgabe zur eigenständigen Lösung mit einem Segment im Raum:

Beispiel 4

Punkte und werden vergeben. Finden Sie die Länge des Segments.

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Wie finde ich die Länge eines Vektors?

Wenn ein ebener Vektor angegeben ist, wird seine Länge nach der Formel berechnet.

Ist ein Raumvektor gegeben, so wird seine Länge nach der Formel berechnet .

Diese Formeln (sowie die Formeln für die Länge eines Segments) lassen sich leicht mithilfe des bekannten Satzes des Pythagoras ableiten.

Lesezeit 8 Minuten

Moderne Psychologie und die Psychiatrie beschränkt sich längst nicht mehr nur auf die klassische Wissenschaftliche Theorien. Seit Jahrhunderten gibt es Streitigkeiten und Diskussionen über die Wahrheit und Objektivität populärer Konzepte; es werden ständig psychologische Forschungen betrieben, deren Ziel es ist, zum einzig richtigen Ergebnis zu gelangen. Aber darüber hinaus treten zunehmend neue Alternativbewegungen auf, bekannte Theorien werden modifiziert und die Lehren der Weltgeister in Psychologie und Psychiatrie, wie etwa der professionelle Psychoanalyse Sigmund Freud oder seines ebenso berühmten Kollegen Carl Gustav Jung, werden transformiert . In diesem Artikel werden wir speziell über eine solche neue Bewegung sprechen, die eine echte Revolution in der russischen Psychologie bewirkt hat und als System-Vektor-Psychologie bezeichnet wird. Sie erfahren, was es ist, was die Grundidee dieser Richtung ist, können sich außerdem mit jedem der 8 vorgestellten Vektoren im Detail vertraut machen und sogar selbstständig Ihren eigenen Persönlichkeitstyp bestimmen.

Ideen der Systemvektorpsychologie

Zunächst ist anzumerken, dass die Systemvektorpsychologie in modernen wissenschaftlichen Kreisen keine allgemein akzeptierte Richtung ist. Einige besonders leidenschaftliche Anhänger klassischer Ideen nennen diese Richtung sogar „Netzwerkpseudowissenschaft“. Aber wie jede andere Theorie hat auch das psychologische Konzept der acht Vektoren nicht nur die Möglichkeit der Existenz, es hat es sogar geschafft, eine eigene Armee von Anhängern zu gewinnen. Wie der Begründer der Systemvektortheorie V.K. Tolkachev sagte:

Das Universum ist groß genug und unerschöpflich, was es ermöglicht, darin eine Bestätigung jeder Theorie zu finden. ©

Die Systemvektorpsychologie ist nicht von Grund auf entstanden. Als Grundlage dienten die Theorien von Sigmund Freud, die anschließend von Wladimir Ganzen verfeinert und von seinem Schüler Viktor Tolkachev vervollständigt wurden.

Im Jahr 1908 erfuhr die Welt den Artikel „Charakter und Analerotik“ des Psychoanalytikers Freud, in dem der Psychoanalytiker zu dem Schluss kam, dass Charaktereigenschaften in direktem Zusammenhang mit den erogenen Zonen einer Person stehen. Die Veröffentlichung erregte große Resonanz und es traten zahlreiche Anhänger der Freudschen Idee auf. Einer von ihnen war Ende des 20. Jahrhunderts Viktor Konstantinowitsch Tolkachev, ein Psychologe aus St. Petersburg. Er entwickelte eine Typologie von Zeichen, die Bereichen wie Augen, Mund, Nase und Ohren zugeordnet sind. Laut V. K. Tolkachev wurde er durch das Buch „Systembeschreibungen in der Psychologie“ des Akademikers Vladimir Aleksandrovich Hansen zur Entwicklung und Verfeinerung der Theorie von Sigmund Freud inspiriert.

Der Ursprung und die Entwicklung der Lehren von Viktor Tolkachev

V.K. Tolkachev entwickelte ein ganzheitliches psychologisches Konzept zur Bestimmung des Persönlichkeitstyps mithilfe von Vektoren. Mit Hilfe des Konzepts des „Vektors“ und einer detaillierten Analyse von 8 charakteristischen Typen wurde eine Theorie namens „Angewandte System-Vektor-Psychoanalyse“ geboren. Tolkachev führt seit mehr als 30 Jahren verschiedene Schulungen, Seminare und Vorträge zu diesem Thema durch. Dank eines seiner ersten Schüler, Mikhail Borodyansky, wurde ein spezieller Test entwickelt, der das individuelle Potenzial jedes der Vektoren bewertete und es ermöglichte, den Persönlichkeitstyp eines Charakters in Bezug auf die System-Vektorpsychologie von acht Vektoren zu bestimmen (Tolkachev). -Borodyansky-Test). Mittlerweile gibt es viele Anhänger des Vektorsystems, die weiterhin psychologische Schulungen und Seminare durchführen. Der bekannteste Online-Coach in diesem Bereich ist Yuri Burlan.

Was ist die Essenz der Systemvektorpsychologie?

Im Laufe der Entwicklung der Psychologie als Wissenschaft wurden viele verschiedene Persönlichkeitstypologien entwickelt. Dies sind Typologien nach Jung oder nach Gannushkin; Erich Fromm hat seine Klassifizierung vorgeschlagen. Es wurden mehrere Tests entwickelt, um den psychologischen Typ einer Person zu bestimmen, beispielsweise der Szondi-Test oder der allgemeine 16Persönlichkeitstest. Tatsächlich schlug V.K. Tolkachev, wie viele seiner Vorgänger, seine eigene Version der Identifizierung eines Persönlichkeitstyps vor.

Die Systemvektorpsychologie ist nicht als Industrie positioniert klassische Psychologie oder ein bestimmter Trend, sondern als eigenständige Wissenschaft des Studiums der Persönlichkeitstypologie. Ein Vektor ist eine Symbiose aus physiologischen und psychologischen Eigenschaften, wie zum Beispiel Charakter, Temperament, Gesundheit, Gewohnheiten eines Individuums und anderen ähnlichen Eigenschaften. Im Wesentlichen ist der Vektor das Lustzentrum. Vektoren sind mit einer bestimmten Öffnung im menschlichen Körper verbunden, die auch eine erogene Zone ist. Jede Persönlichkeit kann mehrere Vektoren haben (von 1 bis 8, in der Praxis die meisten). Große anzahl der verfügbaren Vektoren ist die Zahl 5).

Das Vorhandensein eines Vektors bestimmt die Anzahl und den Grad der menschlichen Bestrebungen und Bedürfnisse nach Selbstverwirklichung, die auf die Erlangung von Vergnügen abzielen. Die Unfähigkeit, den bestehenden Vektor umzusetzen, führt laut den Entwicklern der Theorie zu Depressionen und einem Gefühl der Unzufriedenheit, was es einem Menschen unmöglich macht, eine innere Harmonie mit seinem „Ich“ zu erreichen.

Vektorstadien (Quartel) der Persönlichkeitsentwicklung

Die Systemvektorpsychologie identifiziert 8 Hauptvektoren in der Persönlichkeitstypologie. Nämlich: visuelle, Haut-, Ton-, Muskel-, orale, olfaktorische, urethrale und anale Vektoren. Sie befinden sich in vier Hauptquartellen (Stufen), die den Lebensstil eines Menschen prägen.

Prinzip der Vektoranordnung:

• Informationsphase. Antwort mit Ton ( Innenteil Quartel) und visuelle (äußerer Teil) Vektoren. In dieser Phase findet der Prozess der Entwicklung und Selbsterkenntnis des Einzelnen statt.
• Energiestufe. Die oralen (äußerer Teil) und olfaktorischen (innerer Teil) Vektoren reagieren. Der Zweck dieser Phase besteht darin, den Platz des Einzelnen im sozialen System vorab festzulegen und eine klare Hierarchie aufzubauen.
• Temporäre Bühne. Die Vektoren Anal (Innenraum des Quarts) und Harnröhre (Außenraum) reagieren. Zeitliche Einteilung des Lebens in Phasen: Vergangenheit und Zukunft. In dieser Phase werden die Erfahrungen vergangener Generationen aufgenommen und verarbeitet, ebenso wie der Wunsch nach Fortschritt und Entwicklung der Gesellschaft.
• Raumbühne. Die Vektoren Muskel (innerer Teil) und Haut (äußerer Teil des Quartilraums) reagieren. Die für die physische Hülle verantwortliche Ebene ist die Arbeitsverwirklichung eines Menschen, der Nutzen körperliche Stärke usw.

Eigenschaften von Vektoren

Eine detailliertere Vektorcharakteristik sieht so aus:

1. Hautvektor. Menschen mit einer deutlichen Ausprägung dieses Typs sind ausgeprägte Extrovertierte. Sie verwirklichen sich auf der räumlichen Ebene. Das Hauptaugenmerk der Lederarbeiter liegt auf dem Schutz von Territorien.
2. Muskelvektor. Introvertierte. Die Art des Denkens ist praktisch und visuell wirksam. Die Hauptrichtung ist die Jagd, die Teilnahme an Feindseligkeiten.
3. Analer Vektor. Introvertierte mit Systemdenken. Charakteristische Aktivitäten für Besitzer des Analvektors sind der Schutz des Zuhauses sowie das Sammeln und Weitergeben von Informationen früherer Generationen.
4. Harnröhrenvektor. Hundertprozentig extrovertiert. Sie haben unkonventionelles Denken. Geborene Taktik. Der Lebenszweck von Menschen mit einem ausgeprägten Harnröhrenvektor besteht darin, Führer, Oberbefehlshaber und Manager zu sein.
5. Visueller Vektor. Extrovertierte mit einer fantasievollen Art von Intelligenz. Sie befinden sich im Informationsstadium der Entwicklung. Haupttätigkeit: Schutz von Territorien (tagsüber).
6. Klangvektor. Absolute Introvertierte mit einer abstrakten Denkweise. Aktivität: Revierschutz bei Nacht.
7. Oraler Vektor. Vertreter dieses Typs sind überwiegend Extrovertierte. Sie verfügen über eine inhärente verbale Denkweise. Hauptbeschäftigung: Organisation von Veranstaltungen (in Friedenszeiten), Warnung vor Gefahren (bei Feindseligkeiten).
8. Geruchsvektor. Introvertierte, die sich durch eine intuitive Denkweise auszeichnen, bevorzugen nonverbale Methoden der Informationsvermittlung. Hauptrichtung: Aufklärung, Ausarbeitung von Strategien.

Die Systemvektorpsychologie unterteilt Vektoren in sozusagen wichtigere Vektoren und solche, die für die Persönlichkeitsentwicklung von geringerem Wert sind. Olfaktorische, urethrale und Schallvektoren sind dominant; sie dominieren gegenüber anderen Vektoren. Diese drei Vektoren überschneiden sich nicht mit anderen bestehenden und können auch nicht durch externe Maßnahmen beseitigt werden soziale Faktoren, wie Bildung oder Sozialsystem.

Jeder Einzelne bestimmt selbst, welche Vektoren für den Psychotyp seiner Persönlichkeit grundlegend sind. Für jeden Vektor wurden sogar Eigenschaften wie bestimmte externe Daten und mentale Eigenschaften entwickelt, die einem bestimmten Vektorarchetyp innewohnen. Jedem der acht Vektoren ist eine bestimmte geometrische Form und Farbe zugeordnet.

Vektoren werden auch in untere (Harnröhre, Anal, Muskel und Haut) und obere (visuelle, akustische, olfaktorische und orale) Vektoren unterteilt. Die systemische Vektorpsychologie zeigt, dass die unteren Vektoren für die Libido und die sexuellen Wünsche des Menschen verantwortlich sind, während die oberen die Verbindung zur spirituellen Welt suchen. Die oberen Vektoren stehen absolut jedem Menschen zur Verfügung, im Gegensatz zu den unteren, mit denen nicht alle persönlichen Archetypen ausgestattet sind.

Systemvektorpsychologie: ihr Zweck

Es gibt keinen einzigen Menschen, der das Vergnügen verweigern kann; selbst die Religion selbst muss die Forderung, in naher Zukunft auf Vergnügungen zu verzichten, mit dem Versprechen unvergleichlich größerer und wertvollerer Freuden im Jenseits rechtfertigen. © Sigmund Freud

Warum wird Acht-Vektoren-Psychologie benötigt? Welche Funktion und welchen Nutzen hat es für den Menschen?

Das Hauptziel der Vektorpsychologie besteht darin, sich selbst kennenzulernen und das Leben mithilfe Ihrer inneren Vektoren zu genießen. Dieses System zielt auf die Selbsterkenntnis des Einzelnen ab und bestimmt seine Rolle in der Gesellschaft, um moralische Unzufriedenheit mit sich selbst und seinem Leben zu vermeiden. Wenn ein Mensch sich in der Gesellschaft nicht verwirklichen kann, seine wahren Bedürfnisse und Wünsche nicht kennt, kann ein ständiges Gefühl der Unzufriedenheit zu einem depressiven Zustand führen.

Die System-Vektor-Psychologie zielt auch darauf ab, menschliche sexuelle Wünsche und Bedürfnisse aufzudecken. Kann als berufsorientierter Test eingesetzt werden.

Die von Viktor Tolkachev auf der Grundlage von Freuds Postulaten entwickelte psychologische Theorie ermöglicht es, die Geheimnisse des Unterbewusstseins zu entdecken und zu erkennen, was genau die treibende Kraft eines Menschen ist, die Ursache all seiner Handlungen und Taten. Der Nutzen des Studiums der Vektoren der System-Vektor-Psychologie liegt auch im Aufbau kommunikativer Verbindungen mit den Menschen um Sie herum: Mitarbeitern, Verwandten, Freunden. Wenn zwei Menschen die gleichen Vektoren haben, ist dies oft der Schlüssel zu freundschaftlichen Beziehungen. Und umgekehrt – der Kontrast der Vektoren erklärt die Inkompatibilität bei Paaren und die Feindseligkeit der Individuen zueinander. Mit den Worten des unfreiwilligen Begründers dieser Lehre, Sigmund Freud:

Wir wählen uns nicht zufällig aus... Wir treffen nur diejenigen, die bereits in unserem Unterbewusstsein existieren. ©

Die Systemvektorpsychologie ist weder bewiesen noch absolut wahr. Dies ist nur eine der Methoden zur Identifizierung bestimmter Typ Persönlichkeit. Die Menge der Kritik erfahrener Spezialisten an den Lehren von V.K. Tolkachev beweist, dass dieses psychologische Konzept nicht perfekt ist. Diskussionen und Streitigkeiten zwischen Anhängern der klassischen Psychologie und Tolkatschews Schülern lassen nicht nach.

Erstere neigen dazu, den Vektoransatz zur Persönlichkeitsbestimmung als sektiererisch und hypnotisch obsessiv zu betrachten (angeblich werden Schulungen zur Vermittlung dieser Technik ausschließlich zu kommerziellen Zwecken durchgeführt). Letztere glauben aufrichtig an die Objektivität der System-Vektor-Psychologie und beweisen ihren Nutzen für den Einzelnen und die Menschheit als Ganzes. Um mehr über die Thesen und Konzepte dieser Lehre zu erfahren, können Sie sich das Video von Yuri Burluns Einführungsvorlesungen zum Vektorsystem ansehen. Nur durch die Zusammenstellung eines vollständigen Bildes der Lehre kann jeder unabhängig eine Schlussfolgerung über die Wahrheit der vorgebrachten Ideen ziehen.