Parallelität von Geraden und Ebenen. Die relative Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum. Zeichen der Parallelität einer Geraden und einer Ebene im Raum

Alle mögliche Fälle relative Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum :

Eine Gerade liegt auf einer Ebene, wenn Alle Punkte einer Geraden gehören zur Ebene.

Kommentar . Damit eine Linie auf einer Ebene liegt, ist es notwendig und ausreichend, dass zwei beliebige Punkte dieser Linie zu dieser Ebene gehören.

Eine Gerade schneidet eine Ebene, wenn die Gerade und die Ebene übereinstimmen der einzige gemeinsame Punkt

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn die Gerade und die Ebene gleich sind haben keine Gemeinsamkeiten. (sie schneiden sich nicht

Aussage 1 . Nehmen wir an, dass die gerade Linie A und die Ebene α sind parallel und die Ebene β geht durch die Linie A. Dann sind zwei Fälle möglich:

Aber dann Punkt P stellt sich als Schnittpunkt der Geraden heraus A und Ebene α, und wir erhalten einen Widerspruch mit der Tatsache, dass die gerade Linie A und die Ebene α sind parallel. Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis von Aussage 1.

Aussage 2 (Parallelitätszeichen einer Geraden und einer Ebene) . Wenn gerade A, nicht in der Ebene α liegen, parallel zu einer Geraden B liegt in der Ebene α, dann die Gerade A und die Ebene α sind parallel.

Nachweisen. Beweisen wir das Zeichen der Parallelität einer Geraden und einer Ebene „durch Widerspruch“. Nehmen wir an, dass die gerade Linie A schneidet irgendwann die Ebene α P. Zeichnen wir die Ebene β durch parallele Linien A Und B.

Punkt P liegt auf einer Geraden A und gehört zur β-Ebene. Aber durch Annahme der Punkt P gehört zur Ebene α, also zum Punkt P liegt auf einer Geraden B, entlang derer sich die Ebenen α und β schneiden. Allerdings direkt A Und B sind aufgrund der Bedingung parallel und können keine gemeinsamen Punkte haben.

Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis des Parallelitätskriteriums für eine Linie und eine Ebene.

Theoreme

Wenn eine Gerade, die eine Ebene schneidet, senkrecht zu zwei in dieser Ebene liegenden Geraden steht, die durch den Schnittpunkt dieser Geraden und der Ebene verlaufen, dann steht sie senkrecht zur Ebene.
Steht eine Ebene senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen.
Stehen zwei Geraden senkrecht auf derselben Ebene, dann sind sie parallel.
Wenn eine in einer Ebene liegende Gerade senkrecht zur Projektion einer geneigten Linie steht, dann steht sie auch senkrecht zur geneigten Linie.
Wenn eine Linie, die nicht in einer bestimmten Ebene liegt, parallel zu einer Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie parallel zu dieser Ebene.
Wenn eine Linie parallel zu einer Ebene ist, dann ist sie parallel zu einer Linie auf dieser Ebene.
Stehen eine Gerade und eine Ebene senkrecht auf derselben Geraden, dann sind sie parallel.
Alle Punkte einer Geraden parallel zu einer Ebene sind von dieser Ebene gleich weit entfernt.

Dieser Artikel behandelt umfassend das Thema „ Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene" Zunächst wird eine Definition einer parallelen Linie und einer Ebene gegeben, eine grafische Darstellung und ein Beispiel gegeben. Als nächstes wird das Kriterium für die Parallelität einer Linie und einer Ebene formuliert und die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität einer Linie und einer Ebene angegeben. Abschließend werden detaillierte Problemlösungen gegeben, in denen die Parallelität einer Geraden und einer Ebene nachgewiesen wird.

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Parallele Linie und Ebene – grundlegende Informationen.

Beginnen wir mit der Definition paralleler Linien und Ebenen.

Definition.

Man nennt eine Gerade und eine Ebene parallel, wenn sie keine Gemeinsamkeiten haben.

Das Symbol „“ wird verwendet, um Parallelität anzuzeigen. Das heißt, wenn die Gerade a und die Ebene parallel sind, können wir kurz a schreiben.

Beachten Sie, dass die Ausdrücke „Linie a und Ebene sind parallel“, „Linie a ist parallel zur Ebene“ und „Ebene ist parallel zur Linie a“ gleichermaßen verwendet werden.

Als Beispiel für eine parallele Gerade und Ebene geben wir eine gespannte Gitarrensaite und die Ebene des Halses dieser Gitarre.

Parallelität einer Geraden und einer Ebene – ein Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Die Parallelität einer Geraden und einer Ebene ist nicht immer eine offensichtliche Tatsache. Mit anderen Worten: Es muss die Parallelität einer Geraden und einer Ebene nachgewiesen werden. Es gibt eine hinreichende Bedingung, deren Erfüllung die Parallelität der Geraden und der Ebene gewährleistet. Dieser Zustand wird aufgerufen ein Zeichen der Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene. Bevor Sie sich mit der Formulierung dieser Funktion vertraut machen, empfehlen wir, die Definition paralleler Linien zu wiederholen.

Satz.

Wenn eine Gerade a, die nicht in der Ebene liegt, parallel zu einer Geraden b ist, die in der Ebene liegt, dann ist die Gerade a parallel zur Ebene.

Lassen Sie uns einen weiteren Satz aussprechen, mit dem sich die Parallelität einer Geraden und einer Ebene feststellen lässt.

Satz.

Wenn eine von zwei parallelen Geraden parallel zu einer bestimmten Ebene ist, dann ist die zweite Gerade entweder auch parallel zu dieser Ebene oder liegt in ihr.

Der Beweis des Kriteriums für die Parallelität einer Geraden und einer Ebene sowie der Beweis des aufgestellten Theorems erfolgt im Geometrielehrbuch für die Klassen 10-11, das am Ende des Artikels in der Liste der empfohlenen Literatur aufgeführt ist.

Somit, notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden a und der Ebene(a liegt nicht in der Ebene) wird die Form annehmen , Wo - Richtungsvektor der Geraden a, ist der Normalenvektor der Ebene.

Schauen wir uns Lösungen für mehrere Beispiele an.

Beispiel.

Sind sie gerade? und die Ebene parallel sind?

Lösung.

Die gegebene Gerade liegt nicht in der Ebene, da die Koordinaten des Punktes der Geraden die Gleichung der Ebene nicht erfüllen: . Überprüfen wir die Erfüllung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität einer Linie und einer Ebene. Offensichtlich, - direkter Vektor , ist der Normalenvektor der Ebene. Berechnen wir das Skalarprodukt von Vektoren und: . Somit stehen die Vektoren und senkrecht zueinander. Daher sind die gegebene Linie und die gegebene Ebene parallel.

Antwort:

Ja, eine Gerade und eine Ebene sind parallel.

Beispiel.

Ist die Gerade AB parallel zur Koordinatenebene Oyz, wenn .

Lösung.

Der Punkt liegt nicht in der Koordinatenebene Oyz, da die Abszisse dieses Punktes ungleich Null ist.

Der Normalenvektor der Oyz-Ebene ist der Vektor. Nehmen wir den Vektor als Richtungsvektor der Geraden AB. Erlauben Sie uns dann, die Koordinaten dieses Vektors zu berechnen . Überprüfen wir die Erfüllung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Vektoren Und : . Daher sind die Linie AB und die Koordinatenebene Oyz nicht parallel.

Antwort:

Nein, sie sind nicht parallel.

Die besprochene Bedingung ist zum Nachweis der Parallelität der Geraden a und der Ebene nicht ganz geeignet, da separat geprüft werden muss, ob die Gerade a nicht in der Ebene liegt. Daher ist es bequemer, die Parallelität der Geraden a und der Ebene unter Verwendung der folgenden notwendigen und hinreichenden Bedingung zu beweisen.

Die Gerade a sei durch die Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen gegeben ,
und das Flugzeug ist allgemeine Gleichung Flugzeug

Satz.

Damit eine Gerade und eine Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass das System linearer Gleichungen die Form hat hatte keine Lösungen.

Nachweisen.

Wenn die Linie a parallel zur Ebene verläuft, haben sie per Definition keine gemeinsamen Punkte. Daher hat es keinen Sinn rechteckiges System Koordinaten Oxyz, deren Koordinaten gleichzeitig die Gleichungen der Geraden erfüllen würden und die Gleichung der Ebene. Dies bedeutet, dass das Gleichungssystem der Form unvereinbar.

Und umgekehrt: wenn ein Gleichungssystem der Form keine Lösungen hat, dann gibt es im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz keinen einzigen Punkt, dessen Koordinaten alle Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen würden. Dann gibt es keinen Punkt, dessen Koordinaten gleichzeitig die Gleichungen der Geraden erfüllen und die Gleichung der Ebene. Folglich haben die Linie a und die Ebene keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie sind parallel.

Im Gegenzug das Gleichungssystem hat keine Lösungen, wenn die Hauptmatrix des Systems kleiner als der Rang der erweiterten Matrix ist (dies folgt aus dem Kronecker-Capelli-Theorem; siehe ggf. den Artikel Systeme linearer Gleichungen lösen).

Tatsächlich ist das Gleichungssystem inkonsistent; daher haben die gegebene Gerade und die gegebene Ebene keine gemeinsamen Punkte. Dies beweist die Parallelität der Geraden und Flugzeuge .

Referenzliste.

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Eine Gerade ist eine Linie, die zwei Punkte auf dem kürzesten Weg verbindet, ohne zu enden und sich auf beiden Seiten bis ins Unendliche erstreckt. Eine Ebene ist eine Fläche, die durch gebildet wird kinematische Bewegung eine gerade Linie entlang der Führung bilden. Mit anderen Worten: Wenn zwei beliebige Geraden einen Schnittpunkt im Raum haben, können sie in derselben Ebene liegen. Wie können wir jedoch direkte Aussagen machen, wenn diese Daten für eine solche Aussage nicht ausreichen?

Die Hauptbedingung für die Parallelität einer Geraden und einer Ebene ist, dass sie keine gemeinsamen Punkte haben. Im Gegensatz zu Linien, die ohne gemeinsame Punkte möglicherweise nicht parallel, sondern divergent sind, ist die Ebene zweidimensional, was das Konzept divergenter Linien ausschließt. Ist diese Parallelitätsbedingung nicht erfüllt, bedeutet das, dass die Gerade die gegebene Ebene in einem Punkt schneidet oder vollständig darin liegt.

Was zeigt uns die Parallelitätsbedingung zwischen einer Geraden und einer Ebene am deutlichsten? Die Tatsache, dass an jedem Punkt im Raum der Abstand zwischen einer parallelen Linie und einer Ebene konstant ist. Schon bei der geringsten Steigung, milliardstel Grad, schneidet die Gerade aufgrund der gegenseitigen Unendlichkeit früher oder später die Ebene. Deshalb ist Parallelität zwischen einer Geraden und einer Ebene nur möglich, wenn diese Regel beachtet wird, andernfalls wird ihre Hauptbedingung – das Fehlen gemeinsamer Punkte – nicht erfüllt.

Was können Sie hinzufügen, wenn Sie über die Parallelität von Linien und Ebenen sprechen? Tatsache ist, dass, wenn eine der parallelen Geraden zur Ebene gehört, die zweite entweder parallel zur Ebene ist oder ebenfalls zu ihr gehört. Wie kann man das beweisen? Die Parallelität einer Geraden und einer Ebene, die eine zur gegebenen Geraden parallele Gerade enthält, lässt sich sehr einfach beweisen. haben keine gemeinsamen Punkte – daher schneiden sie sich nicht. Und wenn eine Gerade die Ebene nicht in einem Punkt schneidet, bedeutet das, dass sie entweder parallel ist oder auf der Ebene liegt. Dies beweist einmal mehr die Parallelität einer Geraden und einer Ebene, die keine Schnittpunkte haben.

Es gibt auch einen Satz in der Geometrie, der besagt, dass, wenn es zwei Ebenen gibt und eine gerade Linie senkrecht zu beiden steht, die Ebenen parallel sind. Ein ähnlicher Satz besagt, dass zwei Linien, die senkrecht zu einer Ebene stehen, notwendigerweise parallel zueinander sind. Ist die durch diese Theoreme ausgedrückte Parallelität von Linien und Ebenen wahr und beweisbar?

Es stellt sich heraus, dass dies wahr ist. Eine Gerade senkrecht zu einer Ebene steht immer streng senkrecht zu jeder Geraden, die in einer gegebenen Ebene liegt und außerdem einen Schnittpunkt mit einer anderen Geraden hat. Wenn eine Gerade ähnliche Schnittpunkte mit mehreren Ebenen aufweist und in allen Fällen senkrecht zu diesen steht, bedeutet dies, dass alle diese Ebenen parallel zueinander sind. Ein klares Beispiel ist eine Kinderpyramide: Ihre Achse ist die gewünschte senkrechte Gerade und die Ringe der Pyramide sind Ebenen.

Daher ist es recht einfach, die Parallelität einer Linie und einer Ebene zu beweisen. Dieses Wissen wird von Schülern beim Erlernen der Grundlagen der Geometrie erworben und bestimmt maßgeblich das weitere Erlernen des Stoffes. Wenn Sie das zu Beginn der Ausbildung erworbene Wissen kompetent anwenden können, sind Sie überall einsatzfähig Große anzahl Formeln und überspringen Sie unnötige logische Verbindungen zwischen ihnen. Die Hauptsache ist, die Grundlagen zu verstehen. Ist dies nicht der Fall, kann das Studium der Geometrie mit dem Bauen ohne Fundament verglichen werden. Genau deshalb dieses Thema erfordert besondere Aufmerksamkeit und gründliche Recherche.

Der Artikel untersucht die Konzepte der Parallelität einer Linie und einer Ebene. Es werden grundlegende Definitionen diskutiert und Beispiele gegeben. Betrachten wir das Vorzeichen der Parallelität einer Geraden zu einer Ebene mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität und lösen beispielhafte Aufgaben im Detail.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Man nennt eine Gerade und eine Ebene parallel, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Parallelität wird durch „∥“ angezeigt. Wenn in einer gegebenen Bedingung die Gerade a und die Ebene α parallel sind, dann hat die Notation die Form a ∥ α . Betrachten Sie die Abbildung unten.

Es wird angenommen, dass die Gerade a, parallel zur Ebeneα und eine zu einer Geraden a parallele Ebene α sind äquivalent, das heißt, die Gerade und die Ebene sind in jedem Fall parallel zueinander.

Parallelität einer Geraden und einer Ebene – Vorzeichen und Bedingungen der Parallelität

Es ist nicht immer offensichtlich, dass eine Gerade und eine Ebene parallel sind. Oftmals muss dies nachgewiesen werden. Es ist notwendig, eine ausreichende Bedingung zu verwenden, die Parallelität gewährleistet. Dieses Merkmal wird als Zeichen der Parallelität einer Linie und einer Ebene bezeichnet. Es wird empfohlen, zunächst die Definition paralleler Linien zu studieren.

Satz 1

Wenn eine gegebene Gerade a, die nicht in der Ebene α liegt, parallel zu einer Geraden b ist, die zur Ebene α gehört, dann ist Gerade a parallel zur Ebene α.

Betrachten wir den Satz, der zur Feststellung der Parallelität einer Linie mit einer Ebene verwendet wird.

Satz 2

Wenn eine von zwei parallelen Geraden parallel zu einer Ebene ist, dann liegt die andere Gerade in dieser Ebene oder ist parallel zu ihr.

Ein ausführlicher Beweis wird im Geometrie-Lehrbuch der 10.-11. Klasse besprochen. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität einer Geraden mit einer Ebene ist möglich, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene definiert sind.

Satz 3

Für die Parallelität einer Geraden a, die nicht zur Ebene α gehört, und einer gegebenen Ebene ist die Rechtwinkligkeit des Richtungsvektors der Geraden zum Normalenvektor eine notwendige und hinreichende Bedingung gegebenes Flugzeug.

Die Bedingung ist anwendbar, wenn die Parallelität in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums nachgewiesen werden muss. Schauen wir uns den detaillierten Beweis an.

Nachweisen

Nehmen wir an, dass eine Linie a im Koordinatensystem O x y durch die kanonischen Gleichungen einer Linie im Raum gegeben ist, die die Form x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z haben, oder durch parametrische Gleichungen einer Linie im Raum x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, die Ebene α mit den allgemeinen Gleichungen der Ebene A x + B y + C z + D = 0.

Daher ist a → = (a x , a y , a z) ein Richtungsvektor mit den Koordinaten der Geraden a, n → = (A , B , C) ist ein Normalenvektor einer gegebenen Alpha-Ebene.

Um die Rechtwinkligkeit von n → = (A, B, C) und a → = (a x, a y, a z) zu beweisen, müssen Sie das Konzept verwenden Skalarprodukt. Das heißt, wenn das Produkt a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C ist, sollte das Ergebnis sein gleich Null aus der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren.

Das bedeutet, dass die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität einer Geraden und einer Ebene wie folgt geschrieben wird: a →, n → = a x · A + a y · B + a z · C. Daher ist a → = (a x , a y , a z) der Richtungsvektor der Geraden a mit Koordinaten und n → = (A , B , C) der Normalenvektor der Ebene α .

Beispiel 1

Bestimmen Sie, ob die Gerade x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ parallel zur Ebene x + 6 y + 5 z + 4 = 0 ist.

Lösung

Wir stellen fest, dass die angegebene Gerade nicht zur Ebene gehört, da die Koordinaten der Geraden M (1, - 2, 2) nicht passen. Bei der Substitution finden wir, dass 1 + 6 · (- 2) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0.

Es ist notwendig, die Erfüllbarkeit der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität einer Geraden und einer Ebene zu prüfen. Wir erhalten, dass die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ die Werte a → = (2, 3, - 4) haben ).

Der Normalenvektor für die Ebene x + 6 y + 5 z + 4 = 0 wird als n → = (1, 6, 5) betrachtet. Fahren wir mit der Berechnung des Skalarprodukts der Vektoren a → und n → fort. Wir erhalten, dass a →, n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0.

Dies bedeutet, dass die Rechtwinkligkeit der Vektoren a → und n → offensichtlich ist. Daraus folgt, dass die Gerade und die Ebene parallel sind.

Antwort: Eine Gerade und eine Ebene sind parallel.

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Parallelität der Geraden A B in der Koordinatenebene O y z, wenn die Koordinaten A (2, 3, 0), B (4, - 1, - 7) gegeben sind.

Lösung

Gemäß der Bedingung ist klar, dass Punkt A (2, 3, 0) nicht auf der O x-Achse liegt, da der Wert von x ungleich 0 ist.

Für die O x z-Ebene gilt der Vektor mit den Koordinaten i → = (1, 0, 0) als Normalenvektor dieser Ebene. Bezeichnen wir den Richtungsvektor der Geraden A B als A B → . Nun berechnen wir anhand der Koordinaten von Anfang und Ende die Koordinaten des Vektors A B . Wir erhalten, dass A B → = (2, - 4, - 7) . Zur Bestimmung ihrer Rechtwinkligkeit muss geprüft werden, ob die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Vektoren A B → = (2, - 4, - 7) und i → = (1, 0, 0) erfüllt sind.

Schreiben wir A B → , i → = 2 · 1 + (- 4) · 0 + (- 7) · 0 = 2 ≠ 0 .

Daraus folgt, dass die Geraden A B und die Koordinatenebene O y z nicht parallel sind.

Antwort: nicht parallel.

Die gegebene Bedingung macht es nicht immer einfach, den Beweis der Parallelität einer Linie und einer Ebene zu ermitteln. Es muss überprüft werden, ob die Gerade a zur Ebene α gehört. Es gibt noch eine weitere hinreichende Bedingung, die zum Nachweis der Parallelität verwendet werden kann.

Gegeben sei eine gerade Linie a, unter Verwendung der Gleichung zweier sich schneidender Ebenen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, mit der Ebene α - die allgemeine Gleichung der Ebene A x + B y + C z + D = 0 .

Satz 4

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden a und der Ebene α ist das Fehlen von Lösungen für ein lineares Gleichungssystem der Form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .

Nachweisen

Aus der Definition folgt, dass die Gerade a mit der Ebene α keine gemeinsamen Punkte haben, also sich nicht schneiden sollte, nur in diesem Fall werden sie als parallel betrachtet. Das bedeutet, dass das Koordinatensystem O x y z keine zu ihm gehörenden Punkte haben sollte, die alle Gleichungen erfüllen:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, sowie die Gleichung der Ebene A x + B y + C z + D = 0.

Daher ein Gleichungssystem mit der Form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 heißt inkonsistent.

Das Gegenteil ist der Fall: In Abwesenheit von Lösungen für das System A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 Es gibt keine Punkte in O x y z, die alle erfüllen gegebene Gleichungen gleichzeitig. Wir finden, dass es keinen Punkt mit Koordinaten gibt, die sofort Lösungen für alle Gleichungen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 und sein könnten Gleichungen A x + B y + C z + D = 0. Dies bedeutet, dass zwischen der Linie und der Ebene Parallelität herrscht, da es zwischen ihnen keine Schnittpunkte gibt.

Das Gleichungssystem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 hat keine Lösung, wenn der Rang der Hauptmatrix kleiner ist als der Rang der erweiterten. Dies wird durch das Kronecker-Capelli-Theorem zur Lösung linearer Gleichungen bestätigt. Zur Bestimmung der Inkompatibilität kann die Gaußsche Methode verwendet werden.

Beispiel 3

Beweisen Sie, dass die Gerade x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 parallel zur Ebene 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 ist.

Lösung

Für Lösungen dieses Beispiel sollte wegziehen kanonische Gleichung gerade Linie in die Form einer Gleichung zweier sich schneidender Ebenen. Schreiben wir es so:

x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0

Um die Parallelität einer gegebenen Geraden x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 mit der Ebene 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 zu beweisen, ist es notwendig, die Gleichungen in das System von umzuwandeln Gleichungen x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .

Wir sehen, dass es nicht lösbar ist, deshalb greifen wir auf die Gauß-Methode zurück.

Nachdem wir die Gleichungen geschrieben haben, stellen wir fest, dass 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .

Daraus schließen wir, dass das Gleichungssystem inkonsistent ist, da sich die Gerade und die Ebene nicht schneiden, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Punkte.

Wir schließen daraus, dass die Gerade x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 und die Ebene 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 parallel sind, da die notwendige und ausreichende Bedingung für die Parallelität der Ebene ist mit der vorgegebenen Geraden erfüllt ist.

Antwort: Linie und Ebene sind parallel.

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