Dreidimensionales rechteckiges Koordinatensystem. 3D-Koordinaten

), mit deren Hilfe die Position von Leuchten und Hilfspunkten auf der Himmelssphäre bestimmt wird. In der Astronomie werden verschiedene Himmelskoordinatensysteme verwendet. Jedes von ihnen ist im Wesentlichen ein sphärisches Koordinatensystem (ohne Radialkoordinate) mit einer entsprechend gewählten Grundebene und einem entsprechend gewählten Ursprung. Abhängig von der Wahl der Grundebene wird das Himmelskoordinatensystem als horizontal (Horizontebene), äquatorial (Äquatorialebene), ekliptisch (ekliptische Ebene) oder galaktisch (galaktische Ebene) bezeichnet.

Koordinaten in der Ebene und im Raum können in unendlicher Zahl eingegeben werden verschiedene Wege. Wenn Sie ein bestimmtes mathematisches oder physikalisches Problem mit der Koordinatenmethode lösen, können Sie verschiedene Koordinatensysteme verwenden und dasjenige auswählen, in dem das Problem in diesem speziellen Fall einfacher oder bequemer gelöst werden kann. Bekannte Verallgemeinerung Koordinatensystem sind Bezugssysteme und Bezugssysteme.

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Modell des kartesischen Koordinatensystems.

Geometrie 11. Klasse - Rechteckiges System Koordinaten im Raum

Koordinatenebene ➽ Algebra 7. Klasse ➽ Videolektion

Video-Tutorial „Polarkoordinatensystem“

Rechteckiges Koordinatensystem im Raum. Vektorkoordinaten. Videolektion zur Geometrie 11. Klasse

Untertitel

Grundsysteme

In diesem Abschnitt finden Sie Erläuterungen zu den am häufigsten verwendeten Koordinatensystemen in der Elementarmathematik.

Kartesischen Koordinaten

Punktstandort P im Flugzeug wird bestimmt Kartesischen Koordinaten mit ein paar Zahlen (x , y) : (\displaystyle (x,y):)

Im Weltraum benötigt man bereits 3 Koordinaten (x , y , z) : (\displaystyle (x,y,z):)

Polar Koordinaten

IN Polarkoordinatensystem, angewendet auf die Ebene, die Position des Punktes P wird durch seinen Abstand zum Ursprung bestimmt R= |OP| und der Winkel φ seines Radiusvektors zur Achse Ochse .

Im Weltraum werden Verallgemeinerungen von Polarkoordinaten verwendet - zylindrisch Und sphärisch Koordinatensystem.

Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten- ein dreidimensionales Analogon der Polaren, in dem der Punkt P scheint ein geordnetes Tripel zu sein (r, φ, z) . (\displaystyle (r,\varphi ,z).)

Hinweis: In der Literatur wird manchmal die Bezeichnung ρ für die erste (radiale) Koordinate, die Bezeichnung θ für die zweite (Winkel- oder Azimut-)Koordinate und die Bezeichnung θ für die dritte Koordinate verwendet H .

Polarkoordinaten haben einen Nachteil: Der Wert von φ ist wann nicht definiert R = 0 .

Zylinderkoordinaten sind nützlich für die Untersuchung von Systemen, die um eine Achse symmetrisch sind. Zum Beispiel ein langer Zylinder mit Radius R in kartesischen Koordinaten (mit Achse z, die mit der Zylinderachse zusammenfällt) hat die Gleichung x 2 + y 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),) wohingegen es in Zylinderkoordinaten viel einfacher aussieht R = R .

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten- ein dreidimensionales Analogon der Polaren.

In einem sphärischen Koordinatensystem ist die Position eines Punktes P wird durch drei Komponenten bestimmt: (ρ, φ, θ) . (\displaystyle (\rho,\varphi,\theta).) In Bezug auf das kartesische Koordinatensystem gilt:

Hinweis: In der Literatur wird der Azimut manchmal mit θ und der Polarwinkel mit φ bezeichnet. Wird manchmal für Radialkoordinaten verwendet R statt ρ. Darüber hinaus kann der Winkelbereich für den Azimut als (−180°, +180°] anstelle des Bereichs anstelle des Bereichs gewählt werden. Manchmal wird die Reihenfolge der Koordinaten im Tripel anders als beschrieben gewählt; z Beispielsweise können Polar- und Azimutwinkel vertauscht werden.

Das sphärische Koordinatensystem hat auch einen Nachteil: φ und θ sind nicht definiert, wenn ρ = 0; Der Winkel φ ist auch für die Randwerte θ = 0 und θ = 180° (oder für θ = ±90°, wenn der entsprechende Bereich für diesen Winkel übernommen wird) nicht definiert.

Um einen Punkt zu zeichnen P Gemäß seinen Kugelkoordinaten ist es notwendig, vom Pol entlang der positiven Halbachse zu gehen z Legen Sie ein Segment gleich ρ beiseite und drehen Sie es um einen Winkel θ um die Achse j X, und dann um einen Winkel θ um die Achse drehen z in Richtung der positiven Halbachse j .

Kugelkoordinaten sind nützlich bei der Untersuchung von Systemen, die symmetrisch zu einem Punkt sind. Also die Gleichung einer Kugel mit Radius R in kartesischen Koordinaten mit dem Ursprung im Mittelpunkt der Kugel aussieht x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2),) wohingegen es in sphärischen Koordinaten viel einfacher wird: ρ = R. (\displaystyle \rho =R.)

Andere gängige Koordinatensysteme

Affines (schräges) Koordinatensystem- geradliniges Koordinatensystem im affinen Raum. In der Ebene wird es durch den Koordinatenursprungspunkt angegeben UM und zwei geordnete nichtkollineare Vektoren, die eine affine Basis darstellen. Koordinatenachsen in in diesem Fall nennt man Geraden, die parallel zu den Basisvektoren durch den Ursprungspunkt verlaufen, die wiederum die positive Richtung der Achsen angeben. Im dreidimensionalen Raum wird dementsprechend ein affines Koordinatensystem durch ein Tripel linear unabhängiger Vektoren und den Ursprungspunkt definiert. Um die Koordinaten eines bestimmten Punktes zu bestimmen M Vektorausdehnungskoeffizienten werden berechnet OM durch Basisvektoren.
Baryzentrische Koordinaten wurden erstmals 1827 von A. Moebius eingeführt, der das Problem des Schwerpunkts der Massen an den Eckpunkten eines Dreiecks löste. Sie sind affin invariant und stellen einen Sonderfall allgemeiner homogener Koordinaten dar. Der Punkt mit Schwerpunktkoordinaten liegt bei N-dimensionaler Vektorraum E n, und die Koordinaten selbst beziehen sich auf ein festes Punktsystem, das nicht in ( N−1)-dimensionaler Unterraum. Baryzentrische Koordinaten werden auch in der algebraischen Topologie in Bezug auf Simplexpunkte verwendet.
Zweieckige Koordinaten- ein Sonderfall bizentrischer Koordinaten, ein Koordinatensystem auf einer Ebene, die durch zwei feste Punkte definiert wird MIT 1 und MIT 2, durch die eine Gerade gezogen wird, die als Abszissenachse fungiert. Position eines Punktes P, die nicht auf dieser Geraden liegt, wird durch die Winkel bestimmt PC 1 C 2 und PC 2 C 1 .
Bipolare Koordinaten zeichnen sich dadurch aus, dass in diesem Fall zwei Kreisscharen mit Polen als Koordinatenlinien in der Ebene fungieren A Und B, sowie eine Familie von Kreisen, die orthogonal zu ihnen sind. Die Umrechnung bipolarer Koordinaten in kartesische Rechteckkoordinaten erfolgt über spezielle Formeln. Bipolare Koordinaten im Raum werden als bisphärisch bezeichnet; In diesem Fall handelt es sich bei den Koordinatenflächen um Kugeln, Flächen, die durch die Drehung von Kreisbögen entstehen, sowie durch die Achse verlaufende Halbebenen Oz .
Bizentrische Koordinaten- jedes Koordinatensystem, das auf zwei festen Punkten basiert und in dem die Position eines anderen Punktes in der Regel durch den Grad seiner Entfernung oder allgemein durch seine Position relativ zu diesen beiden Hauptpunkten bestimmt wird. Systeme dieser Art können in bestimmten Bereichen durchaus nützlich sein wissenschaftliche Forschung.
Bizylindrische Koordinaten- ein Koordinatensystem, das gebildet wird, wenn ein bipolares Koordinatensystem auf einer Ebene vorliegt Oxy parallel zur Achse Oz. In diesem Fall handelt es sich bei den Koordinatenflächen um eine Schar von Kreiszylinderpaaren, deren Achsen parallel sind, eine Schar von dazu orthogonalen Kreiszylindern sowie eine Ebene. Um bizylindrische Koordinaten in kartesische rechtwinklige Koordinaten für den dreidimensionalen Raum umzuwandeln, werden auch spezielle Formeln verwendet.
Konische Koordinaten- ein dreidimensionales orthogonales Koordinatensystem, das aus konzentrischen Kugeln besteht, die durch ihren Radius beschrieben werden, und zwei Familien senkrechter Kegel, die entlang der Achsen angeordnet sind X Und z .
Rindlers Koordinaten werden vor allem im Rahmen der Relativitätstheorie verwendet und beschreiben den Teil der flachen Raumzeit, der üblicherweise als Minkowski-Raum bezeichnet wird. In der speziellen Relativitätstheorie befindet sich ein gleichmäßig beschleunigendes Teilchen in einer hyperbolischen Bewegung, und für jedes dieser Teilchen in Rindler-Koordinaten kann ein Bezugspunkt gewählt werden, relativ zu dem es ruht.
Parabolische Koordinaten ist ein zweidimensionales orthogonales Koordinatensystem, in dem die Koordinatenlinien eine Reihe konfokaler Parabeln sind. Durch die Drehung eines zweidimensionalen Systems um die Symmetrieachse dieser Parabeln wird eine dreidimensionale Modifikation parabolischer Koordinaten konstruiert. Parabelkoordinaten haben auch ein gewisses Spektrum an praktischen Anwendungsmöglichkeiten: Insbesondere können sie im Zusammenhang mit dem Stark-Effekt verwendet werden. Parabelkoordinaten hängen in gewisser Weise mit rechtwinkligen kartesischen Koordinaten zusammen.
Projektive Koordinaten existieren, dem Namen nach, im projektiven Raum P N (ZU) und stellen eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen seinen Elementen und Klassen endlicher Teilmengen von Elementen des Körpers dar ZU, gekennzeichnet durch die Eigenschaften der Äquivalenz und Ordnung. Um die projektiven Koordinaten projektiver Unterräume zu bestimmen, reicht es aus, die entsprechenden Koordinaten von Punkten im projektiven Raum zu bestimmen. Im allgemeinen Fall werden projektive Koordinaten relativ zu einer Basis durch rein projektive Mittel eingeführt.
Toroidales Koordinatensystem- ein dreidimensionales orthogonales Koordinatensystem, das durch Drehen eines zweidimensionalen bipolaren Koordinatensystems um die Achse erhalten wird, die seine beiden Brennpunkte trennt. Die Brennpunkte des bipolaren Systems verwandeln sich dementsprechend in einen Ring mit Radius A, im Flugzeug liegend xy toroidales Koordinatensystem, während die Achse z wird zur Rotationsachse des Systems. Der Fokusring wird manchmal auch Basiskreis genannt.
Trilineare Koordinaten sind eines der Beispiele für homogene Koordinaten und basieren auf einem gegebenen Dreieck, sodass die Position eines bestimmten Punktes relativ zu den Seiten dieses Dreiecks bestimmt wird – hauptsächlich durch den Grad des Abstands von ihnen, obwohl auch andere Variationen möglich sind. Trilineare Koordinaten können relativ einfach in baryzentrische Koordinaten umgewandelt werden; Darüber hinaus sind sie auch in zweidimensionale rechtwinklige Koordinaten umwandelbar, wofür die entsprechenden Formeln verwendet werden.
Zylindrische parabolische Koordinaten- ein dreidimensionales orthogonales Koordinatensystem, das als Ergebnis einer räumlichen Transformation eines zweidimensionalen parabolischen Koordinatensystems erhalten wird. Die Koordinatenflächen sind dementsprechend konfokale Parabelzylinder. Zylindrische parabolische Koordinaten haben eine gewisse Beziehung zu rechteckigen Koordinaten und können in einer Reihe von Bereichen der wissenschaftlichen Forschung verwendet werden.
Ellipsoidische Koordinaten- elliptische Koordinaten im Raum. Die Koordinatenflächen sind in diesem Fall Ellipsoide, Einzelblatthyperboloide sowie Doppelblatthyperboloide, deren Mittelpunkte im Ursprung liegen. Das System ist orthogonal. Jedes Zahlentripel, bei dem es sich um ellipsoide Koordinaten handelt, entspricht acht Punkten, die relativ zu den Ebenen des Systems sind Oxyz symmetrisch zueinander.

Übergang von einem Koordinatensystem in ein anderes

Kartesisch und polar

Wo u 0 - Heaviside-Funktion mit u 0 (0) = 0 , (\displaystyle u_(0)(0)=0,) und sgn ist die Signumfunktion. Hier sind die Funktionen u 0 und sgn werden als „logische“ Schalter verwendet, deren Bedeutung den „if...else“-Anweisungen in Programmiersprachen ähnelt. Einige Programmiersprachen haben eine spezielle atan2-Funktion ( j , X), das das korrekte φ im erforderlichen Quadranten zurückgibt, definiert durch die Koordinaten X Und j .

Kartesisch und zylindrisch

x = r cos ⁡ φ , (\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,) y = r sin ⁡ φ , (\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,) r = x 2 + y 2 , (\displaystyle r=(\sqrt (x^(2)+y^(2))),) φ = arctg ⁡ y x + π u 0 (− x) sgn ⁡ y , (\displaystyle \varphi =\operatorname (arctg) (\frac (y)(x))+\pi u_(0)(-x)\ ,\Operatorname (sgn) y,) z = z. (\displaystyle z=z.\quad ) (d x d y d z) = (r cos ⁡ θ − r sin ⁡ φ 0 r sin ⁡ θ r cos ⁡ φ 0 0 0 1) ⋅ (d r d φ d z) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dx\\dy\\ dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end(pmatrix))\ cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix)),) (d r d φ d z) = (x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1) ⋅ (d x d y d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^( 2))))&(\frac (y)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\(\frac (-y)(\sqrt (x^(2)+ y^(2))))&(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\0&0&1\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix )dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)

Kartesisch und sphärisch

x = ρ sin ⁡ θ cos ⁡ φ , (\displaystyle (x)=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad ) y = ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ , (\displaystyle (y)=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad ) z = ρ cos ⁡ θ ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;\quad ) ρ = x 2 + y 2 + z 2 , (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (x^(2)+y^(2)+z^(2))),) θ = arccos ⁡ z ρ = arctg ⁡ x 2 + y 2 z , (\displaystyle (\theta )=\arccos (\frac (z)(\rho ))=\operatorname (arctg) (\frac (\sqrt ( x^(2)+y^(2)))(z)),) φ = arctan ⁡ y x + π u 0 (− x) sgn ⁡ y . (\displaystyle (\varphi )=\operatorname (arctg) (\frac (y)(x))+\pi \,u_(0)(-x)\,\operatorname (sgn) y.) (d x d y d z) = (sin ⁡ θ cos ⁡ φ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ φ − ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ ρ cos ⁡ θ sin ⁡ φ ρ sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ − ρ sin ⁡ θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sin \theta \ cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix)),) (d ρ d θ d φ) = (x / ρ y / ρ z / ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − (x 2 + y 2) ρ 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0) ⋅ (d x d y d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)x/\rho &y/\rho &z/\rho \\( \frac (xz)(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2)+y^(2)))))&(\frac (yz)(\rho ^(2)(\sqrt (x ^(2)+y^(2)))))&(\frac (-(x^(2)+y^(2)))(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2) +y^(2)))))\\(\frac (-y)(x^(2)+y^(2)))&(\frac (x)(x^(2)+y^( 2)))&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)

Zylindrisch und kugelförmig

r = ρ sin ⁡ θ , (\displaystyle (r)=\rho \,\sin \theta ,) φ = φ , (\displaystyle (\varphi )=\varphi ,\quad ) z = ρ cos ⁡ θ ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;) ρ = r 2 + z 2 , (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (r^(2)+z^(2))),) θ = arctg ⁡ z r + π u 0 (− r) sgn ⁡ z , (\displaystyle (\theta )=\operatorname (arctg) (\frac (z)(r))+\pi \,u_(0)( -r)\,\Operatorname (sgn) z,) φ = φ. (\displaystyle (\varphi )=\varphi .\quad ) (d r d φ d h) = (sin ⁡ θ ρ cos ⁡ θ 0 0 0 1 cos ⁡ θ − ρ sin ⁡ θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dr\\ d\varphi \\dh\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\ end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix)),) (d ρ d θ d φ) = (r r 2 + z 2 0 z r 2 + z 2 − z r 2 + z 2 0 r r 2 + z 2 0 1 0) ⋅ (d r d φ d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (r)(\sqrt (r^(2) +z^(2))))&0&(\frac (z)(\sqrt (r^(2)+z^(2))))\\(\frac (-z)(r^(2)+ z^(2)))&0&(\frac (r)(r^(2)+z^(2)))\\0&1&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\ varphi \\dz\end(pmatrix)).)

Konstruktion eines kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems

auf der Oberfläche

Ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem in einer Ebene wird durch zwei zueinander senkrechte Koordinatenachsen gebildet OCHSE 1 Und OCHSE 2 , die sich im Punkt schneiden Ö, Ursprung genannt (Abb. 1). Auf jeder Achse wird eine positive Richtung ausgewählt, die durch Pfeile angezeigt wird, und eine Maßeinheit für die Segmente auf den Achsen. Die Einheiten sind in der Regel für alle Achsen gleich (was nicht zwingend erforderlich ist). IN rechtsseitig Koordinatensystem, die positive Richtung der Achsen wird so gewählt, dass wenn die Achse gerichtet ist OCHSE 2 hoch, Achse OCHSE 1 schaute nach rechts. OCHSE 1 -- Abszissenachse, OCHSE 2 - Ordinatenachse. Vier Ecken (I, II, III, IV), die durch die Koordinatenachsen gebildet werden OCHSE 1 Und OCHSE 2 , heißen Koordinatenwinkel oder Quadranten.

Punkt B A zur Koordinatenachse OCHSE 1 ;

Punkt C - orthographische Projektion Punkte A zur Koordinatenachse OCHSE 2 ;

Konstruktion eines kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems im Weltraum

Das kartesische rechtwinklige Koordinatensystem im Raum wird durch drei zueinander senkrechte Koordinatenachsen gebildet OCHSE, OY Und OZ. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Punkt Ö, der als Koordinatenursprung bezeichnet wird, wird auf jeder Achse eine positive Richtung ausgewählt, die durch Pfeile angezeigt wird, und eine Maßeinheit für die Segmente auf den Achsen. Die Einheiten sind in der Regel für alle Achsen gleich (was nicht zwingend ist). OCHSE-- Abszissenachse, OY-- Ordinatenachse, OZ- Applikatorachse.

Wenn Daumen rechte Hand nimm die Richtung X, Index – für die Richtung Y und der mittlere ist für die Richtung Z, dann entsteht es Rechts Koordinatensystem. Ähnliche Finger der linken Hand bilden das linke Koordinatensystem. Mit anderen Worten: Die positive Richtung der Achsen wird so gewählt, dass sich die Achse dreht OCHSE gegen den Uhrzeigersinn um 90°, seine positive Richtung stimmt mit der positiven Richtung der Achse überein OY, wenn diese Drehung aus der positiven Richtung der Achse beobachtet wird OZ. Es ist unmöglich, das rechte und das linke Koordinatensystem so zu kombinieren, dass die entsprechenden Achsen zusammenfallen (Abb. 2). Punkt F- orthogonale Projektion eines Punktes A zur Koordinatenebene OXY; Punkt E- orthogonale Projektion eines Punktes A zur Koordinatenebene OYZ; Punkt G- orthogonale Projektion eines Punktes A zur Koordinatenebene OCHSE Z ;

Layoutdarstellung des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems im Weltraum in den Abbildungen 3, 4 und 5 dargestellt.

Bestimmen der Koordinaten eines Punktes im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem

Die Hauptfrage eines jeden Koordinatensystems ist die Frage der Bestimmung der Koordinaten eines Punktes, der sich in seiner Ebene oder seinem Raum befindet.

Bestimmen der Koordinaten eines Punktes in einem ebenen kartesischen Koordinatensystem

Punktposition A in der Ebene wird durch zwei Koordinaten bestimmt - X Und j (Abb. 5). Koordinate X gleich der Länge des Segments O.B., Koordinate j – Länge des Segments O.C. in ausgewählten Maßeinheiten. Segmente O.B. Und O.C. werden durch Linien bestimmt, die vom Punkt aus gezogen werden A parallel zu den Achsen OY Und OCHSE jeweils. Koordinate X genannt Abszisse (lat. Abszisse- Segment), Koordinate j -- Ordinate (lat. Ordinaten- in der Reihenfolge angeordnet) Punkte A. Schreiben Sie es so:

Wenn der Punkt A liegt im Koordinatenwinkel I, dann hat sie positive Abszisse und Ordinate. Wenn der Punkt A liegt im Koordinatenwinkel II, dann gibt es eine negative Abszisse und eine positive Ordinate. Wenn der Punkt A liegt im Koordinatenwinkel III, dann hat es negative Abszisse und Ordinate. Wenn der Punkt A im Koordinatenwinkel IV liegt, dann gibt es eine positive Abszisse und eine negative Ordinate.

So werden Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem in einer Ebene ermittelt.

Aus dem Schulkurs über Algebra und Geometrie kennen wir das Konzept des dreidimensionalen Raums. Wenn man es sich ansieht, wird der Begriff „dreidimensionaler Raum“ selbst als ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen definiert (das weiß jeder). Tatsächlich kann jedes dreidimensionale Objekt im klassischen Sinne durch Länge, Breite und Höhe beschrieben werden. Lassen Sie uns jedoch etwas tiefer graben, wie es so schön heißt.

Was ist dreidimensionaler Raum?

Wie bereits deutlich wurde, wird das Verständnis des dreidimensionalen Raums und der darin existierenden Objekte durch drei Grundkonzepte bestimmt. Bei einem Punkt sind das zwar genau drei Werte, bei geraden, gekrümmten, gestrichelten Linien oder volumetrischen Objekten kann es jedoch mehrere entsprechende Koordinaten geben.

In diesem Fall hängt alles von der Art des Objekts und dem verwendeten Koordinatensystem ab. Heute wird das gebräuchlichste (klassische) betrachtet Kartesisches System, das manchmal auch rechteckig genannt wird. Auf sie und einige andere Sorten wird etwas später eingegangen.

Dabei ist unter anderem zwischen abstrakten (sozusagen formlosen) Begriffen wie Punkten, Linien oder Flächen und Figuren zu unterscheiden, die endliche Abmessungen oder sogar Volumen haben. Für jede dieser Definitionen gibt es auch Gleichungen, die ihre mögliche Position im dreidimensionalen Raum beschreiben. Aber darum geht es jetzt nicht.

Das Konzept eines Punktes im dreidimensionalen Raum

Definieren wir zunächst, was ein Punkt im dreidimensionalen Raum darstellt. Im Allgemeinen kann es sich um eine bestimmte Grundeinheit handeln, die jede Wohnung bzw. Wohnung definiert dreidimensionale Figur, Linie, Segment, Vektor, Ebene usw.

Der Punkt selbst wird durch drei Hauptkoordinaten charakterisiert. Für sie werden im rechteckigen System spezielle Hilfslinien verwendet, die als X-, Y- und Z-Achsen bezeichnet werden, wobei die ersten beiden Achsen dazu dienen, die horizontale Position des Objekts auszudrücken, und die dritte sich auf die vertikale Koordinateneinstellung bezieht. Um die Position eines Objekts relativ zu Nullkoordinaten bequemer ausdrücken zu können, werden natürlich positive und positive Werte verwendet negative Werte. Heutzutage gibt es jedoch auch andere Systeme.

Arten von Koordinatensystemen

Wie bereits erwähnt, ist das von Descartes geschaffene rechtwinklige Koordinatensystem heute das wichtigste. Einige Techniken zur Angabe der Position eines Objekts im dreidimensionalen Raum verwenden jedoch auch einige andere Variationen.

Die bekanntesten sind zylindrische und Kugelsystem. Der Unterschied zum klassischen besteht darin, dass bei der Angabe derselben drei Größen, die die Position eines Punktes im dreidimensionalen Raum bestimmen, einer der Werte ein Winkelwert ist. Mit anderen Worten: Solche Systeme verwenden einen Kreis, der einem Winkel von 360 Grad entspricht. Daher die spezifische Zuordnung von Koordinaten, einschließlich Elementen wie Radius, Winkel und Generatrix. Koordinaten in einem solchen dreidimensionalen Raum(system) unterliegen etwas anderen Gesetzmäßigkeiten. Ihre Aufgabe wird in diesem Fall durch die Regel der rechten Hand gesteuert: wenn man die großen und kombiniert Zeigefinger Mit der X- bzw. Y-Achse zeigen die verbleibenden Finger in einer gekrümmten Position in Richtung der Z-Achse.

Das Konzept einer geraden Linie im dreidimensionalen Raum

Nun ein paar Worte darüber, was eine gerade Linie im dreidimensionalen Raum ist. Basierend auf dem Grundkonzept einer geraden Linie ist dies eine Art unendliche Linie, die durch einen oder zwei Punkte gezogen wird, wobei die vielen Punkte nicht mitgezählt werden, die in einer Reihenfolge angeordnet sind, die den direkten Verlauf der Linie durch sie nicht ändert.

Wenn Sie eine Linie betrachten, die durch zwei Punkte im dreidimensionalen Raum gezogen wird, müssen Sie drei Koordinaten beider Punkte berücksichtigen. Gleiches gilt für Segmente und Vektoren. Letztere bestimmen die Grundlage des dreidimensionalen Raums und seine Dimension.

Definition von Vektoren und Grundlage des dreidimensionalen Raums

Beachten Sie, dass dies nur drei Vektoren sein können, Sie können jedoch beliebig viele Vektortripel definieren. Die Dimension des Raumes wird durch die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren (in unserem Fall drei) bestimmt. Und ein Raum, in dem es eine endliche Anzahl solcher Vektoren gibt, heißt endlichdimensional.

Abhängige und unabhängige Vektoren

In Bezug auf die Definition abhängiger und unabhängiger Vektoren werden linear unabhängige Vektoren als Projektionen betrachtet (z. B. auf die Y-Achse projizierte X-Achsen-Vektoren).

Wie bereits klar ist, ist jeder vierte Vektor abhängig (die Theorie der linearen Räume). Aber drei unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum dürfen nicht in derselben Ebene liegen. Darüber hinaus, wenn wir definieren unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum können sie nicht sozusagen eine Fortsetzung des anderen sein. Wie bereits klar ist, betrachten wir den Fall mit drei Dimensionen entsprechend allgemeine Theorie, ist es möglich, in einem bestimmten Koordinatensystem (egal welcher Art) ausschließlich Tripel linear unabhängiger Vektoren zu konstruieren.

Ebene im dreidimensionalen Raum

Wenn wir das Konzept eines Flugzeugs betrachten, ohne darauf einzugehen mathematische Definitionen Zum einfacheren Verständnis dieses Begriffs kann ein solches Objekt ausschließlich zweidimensional betrachtet werden. Mit anderen Worten handelt es sich hierbei um eine unendliche Ansammlung von Punkten, für die eine der Koordinaten konstant ist.

Beispielsweise kann eine Ebene beliebig viele Punkte mit unterschiedlichen Koordinaten entlang der X- und Y-Achse, aber denselben Koordinaten entlang der Z-Achse heißen. Eine der dreidimensionalen Koordinaten bleibt jedoch in jedem Fall unverändert. Allerdings handelt es sich hierbei sozusagen um einen allgemeinen Fall. In manchen Situationen kann der dreidimensionale Raum entlang aller Achsen von einer Ebene geschnitten werden.

Gibt es mehr als drei Dimensionen?

Die Frage, wie viele Dimensionen es geben kann, ist durchaus interessant. Es wird angenommen, dass wir aus klassischer Sicht nicht in einem dreidimensionalen Raum leben, sondern in einem vierdimensionalen. Zu einem solchen Raum gehört neben der jedem bekannten Länge, Breite und Höhe auch die Existenzzeit eines Objekts, und Zeit und Raum sind recht stark miteinander verbunden. Dies wurde von Einstein in seiner Relativitätstheorie bewiesen, obwohl diese sich eher auf die Physik als auf Algebra und Geometrie bezieht.

Eine weitere interessante Tatsache ist, dass Wissenschaftler heute bereits die Existenz von mindestens zwölf Dimensionen nachgewiesen haben. Natürlich wird nicht jeder verstehen können, was sie sind, da es sich eher um einen bestimmten abstrakten Bereich handelt, der außerhalb der menschlichen Wahrnehmung der Welt liegt. Dennoch bleibt die Tatsache bestehen. Und nicht umsonst argumentieren viele Anthropologen und Historiker, dass unsere Vorfahren bestimmte entwickelte Sinnesorgane wie das dritte Auge gehabt haben könnten, die dabei halfen, die mehrdimensionale Realität und nicht ausschließlich den dreidimensionalen Raum wahrzunehmen.

Übrigens gibt es heute viele Meinungen darüber, dass die außersinnliche Wahrnehmung auch eine der Erscheinungsformen der Wahrnehmung der multidimensionalen Welt ist, und dafür gibt es zahlreiche Beweise.

Beachten Sie, dass es auch nicht immer möglich ist, mehrdimensionale Räume, die sich von unserer vierdimensionalen Welt unterscheiden, mit modernen Grundgleichungen und Theoremen zu beschreiben. Und die Wissenschaft auf diesem Gebiet gehört eher in den Bereich der Theorien und Annahmen als in das, was man deutlich spüren oder sozusagen mit den eigenen Augen sehen oder anfassen kann. Dennoch zweifelt heute niemand mehr an indirekten Beweisen für die Existenz mehrdimensionaler Welten, in denen vier oder mehr Dimensionen existieren können.

Abschluss

Im Allgemeinen haben wir die grundlegenden Konzepte im Zusammenhang mit dem dreidimensionalen Raum und die grundlegenden Definitionen sehr kurz besprochen. Natürlich sind damit viele Sonderfälle verbunden verschiedene Systeme Koordinaten Darüber hinaus haben wir versucht, nicht in den Mathematik-Dschungel vorzudringen und die Grundbegriffe nur so zu erklären, dass die damit verbundene Frage für jeden Schüler klar ist (sozusagen eine Erklärung „an den Fingern“).

Dennoch scheint es, dass auch von solchen einfache Interpretationen Wir können eine Schlussfolgerung über den mathematischen Aspekt aller Komponenten ziehen, die im Grundschulkurs Algebra und Geometrie enthalten sind.

Um die Position eines Punktes im Raum zu bestimmen, verwenden wir kartesische rechtwinklige Koordinaten (Abb. 2).

Das kartesische rechtwinklige Koordinatensystem im Raum wird durch drei zueinander senkrechte Koordinatenachsen OX, OY, OZ gebildet. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Punkt O, der als Ursprung bezeichnet wird. Auf jeder Achse wird eine positive Richtung ausgewählt, die durch Pfeile angezeigt wird, und die Maßeinheit der Segmente auf den Achsen. Die Maßeinheiten sind normalerweise (nicht unbedingt) für alle Achsen gleich. Die OX-Achse wird Abszissenachse (oder einfach Abszisse) genannt, die OY-Achse ist die Ordinatenachse und die OZ-Achse ist die Anwendungsachse.

Die Position des Punktes A im Raum wird durch drei Koordinaten x, y und z bestimmt. Die x-Koordinate ist gleich der Länge des Segments OB, die y-Koordinate ist die Länge des Segments OC, die z-Koordinate ist die Länge des Segments OD in den ausgewählten Maßeinheiten. Die Segmente OB, OC und OD werden durch Ebenen definiert, die von einem Punkt parallel zu den Ebenen YOZ, XOZ bzw. XOY gezogen werden.

Die x-Koordinate wird als Abszisse von Punkt A bezeichnet, die y-Koordinate wird als Ordinate von Punkt A bezeichnet und die z-Koordinate wird als Applikate von Punkt A bezeichnet.

Symbolisch wird es so geschrieben:

oder verknüpfen Sie einen Koordinatendatensatz mithilfe eines Index mit einem bestimmten Punkt:

x A , y A , z A ,

Jede Achse wird als Zahlenstrahl betrachtet, das heißt, sie hat eine positive Richtung, und Punkten, die auf einem negativen Strahl liegen, werden negative Koordinatenwerte zugewiesen (der Abstand wird mit einem Minuszeichen angegeben). Das heißt, wenn zum Beispiel Punkt B nicht wie in der Abbildung auf dem Strahl OX liegt, sondern auf seiner Fortsetzung in die entgegengesetzte Richtung von Punkt O (auf dem negativen Teil der OX-Achse), dann ist die Abszisse x des Punktes A wäre negativ (abzüglich der Distanz OB). Ebenso für die anderen beiden Achsen.

Koordinatenachsen OX, OY, OZ, dargestellt in Abb. 2, bilden ein rechtshändiges Koordinatensystem. Das heißt, wenn Sie die YOZ-Ebene entlang der positiven Richtung der OX-Achse betrachten, erfolgt die Bewegung der OY-Achse in Richtung der OZ-Achse im Uhrzeigersinn. Diese Situation kann mit der Bohrerregel beschrieben werden: Wenn der Bohrer (Schraube mit Rechtsgewinde) in Richtung von der OY-Achse zur OZ-Achse gedreht wird, dann bewegt er sich entlang der positiven Richtung der OX-Achse.

Vektoren mit Einheitslänge, die entlang der Koordinatenachsen gerichtet sind, werden Koordinateneinheitsvektoren genannt. Sie werden normalerweise als bezeichnet (Abb. 3). Es gibt auch die Bezeichnung Die Einheitsvektoren bilden die Basis des Koordinatensystems.

Im Falle eines rechtshändigen Koordinatensystems gelten die folgenden Formeln mit Vektor funktioniert Ortov:

Die Koordinatenmethode ist natürlich sehr gut, aber bei echten C2-Problemen gibt es keine Koordinaten oder Vektoren. Deshalb müssen sie eingeführt werden. Ja, ja, nehmen Sie es so und geben Sie es ein: Geben Sie den Ursprung, das Einheitssegment und die Richtung der x-, y- und z-Achse an.

Die bemerkenswerteste Eigenschaft dieser Methode ist, dass es keine Rolle spielt, wie genau das Koordinatensystem eingegeben wird. Wenn alle Berechnungen korrekt sind, ist die Antwort richtig.

Würfelkoordinaten

Wenn Problem C2 einen Würfel enthält, können Sie sich glücklich schätzen. Dies ist das einfachste Polyeder, dessen Diederwinkel alle 90° betragen.

Auch das Koordinatensystem ist sehr einfach einzugeben:

Der Koordinatenursprung liegt im Punkt A;
Meistens wird die Kante des Würfels nicht angegeben, daher nehmen wir sie als Einheitssegment;
Die x-Achse ist entlang der Kante AB, y - entlang der Kante AD und die z-Achse - entlang der Kante AA 1 gerichtet.

Bitte beachten: Die Z-Achse zeigt nach oben! Nach einem zweidimensionalen Koordinatensystem ist das etwas ungewöhnlich, aber eigentlich sehr logisch.

Jetzt hat also jeder Scheitelpunkt des Würfels Koordinaten. Sammeln wir sie in einer Tabelle – getrennt für die untere Ebene des Würfels:

Es ist leicht zu erkennen, dass sich die Punkte der oberen Ebene von den entsprechenden Punkten der unteren Ebene nur in der Z-Koordinate unterscheiden. Zum Beispiel: B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Die Hauptsache ist, sich nicht verwirren zu lassen!

Prism macht schon viel mehr Spaß. Bei richtiger Vorgehensweise reicht es aus, nur die Koordinaten der unteren Basis zu kennen – die obere wird automatisch berechnet.

In den Aufgaben C2 werden nur regelmäßige dreiflächige Prismen (gerade Prismen basierend auf regelmäßiges Dreieck). Für sie wird das Koordinatensystem fast auf die gleiche Weise eingeführt wie für einen Würfel. Übrigens, falls es jemand nicht weiß: Ein Würfel ist auch ein Prisma, nur ein Tetraeder.

So lass uns gehen! Wir führen das Koordinatensystem ein:

Der Koordinatenursprung liegt im Punkt A;
Wir betrachten die Seite des Prismas als ein einzelnes Segment, sofern in der Problemstellung nichts anderes angegeben ist;
Wir richten die x-Achse entlang der Kante AB, z - entlang der Kante AA 1 und positionieren die y-Achse so, dass die OXY-Ebene mit der Basisebene ABC übereinstimmt.

Hier bedarf es einiger Klarstellung. Tatsache ist, dass die y-Achse NICHT mit der Kante AC zusammenfällt, wie viele Leute glauben. Warum passt es nicht? Denken Sie selbst: Das Dreieck ABC ist gleichseitig, alle Winkel betragen 60°. Und die Winkel zwischen den Koordinatenachsen sollten 90° betragen, sodass das Bild oben so aussieht:

Ich hoffe, es ist jetzt klar, warum die y-Achse nicht entlang AC verläuft. Zeichnen wir in diesem Dreieck die Höhe CH ein. Das Dreieck ACH ist ein rechtwinkliges Dreieck und AC = 1, also AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Diese Fakten werden benötigt, um die Koordinaten von Punkt C zu berechnen.

Schauen wir uns nun das gesamte Prisma zusammen mit dem konstruierten Koordinatensystem an:

Wir erhalten die folgenden Punktkoordinaten:

Wie wir sehen können, unterscheiden sich die Punkte der oberen Basis des Prismas von den entsprechenden Punkten der unteren Basis wiederum nur durch die z-Koordinate. Das Hauptproblem sind die Punkte C und C 1. Sie haben irrationale Koordinaten, die Sie sich nur merken müssen. Nun, oder verstehen Sie, woher sie kommen.

Koordinaten des sechseckigen Prismas

Ein sechseckiges Prisma ist ein „geklontes“ dreieckiges Prisma. Sie können verstehen, wie das geschieht, wenn Sie sich die untere Basis ansehen – nennen wir sie ABCDEF. Führen wir zusätzliche Konstruktionen durch: Segmente AD, BE und CF. Das Ergebnis sind sechs Dreiecke, von denen jedes (zum Beispiel das Dreieck ABO) die Basis für ein dreiflächiges Prisma ist.

Lassen Sie uns nun das Koordinatensystem selbst vorstellen. Der Koordinatenursprung – Punkt O – wird im Symmetriezentrum des Sechsecks ABCDEF platziert. Die x-Achse verläuft entlang FC und die y-Achse verläuft durch die Mittelpunkte der Segmente AB und DE. Wir erhalten dieses Bild:

Bitte beachten Sie: Der Ursprung fällt NICHT mit der Spitze des Polyeders zusammen! Tatsächlich werden Sie feststellen, dass dies bei der Lösung realer Probleme sehr praktisch ist, da dadurch der Rechenaufwand erheblich reduziert werden kann.

Jetzt muss nur noch die Z-Achse hinzugefügt werden. Traditionell zeichnen wir es senkrecht zur OXY-Ebene und richten es vertikal nach oben. Wir erhalten das endgültige Bild:

Schreiben wir nun die Koordinaten der Punkte auf. Nehmen wir an, dass alle Kanten unseres regelmäßigen sechseckigen Prismas gleich 1 sind. Die Koordinaten der unteren Basis sind also:

Die Koordinaten der oberen Basis werden entlang der z-Achse um eins verschoben:

Die Pyramide ist im Allgemeinen sehr rau. Wir werden nur den einfachsten Fall analysieren – eine regelmäßige viereckige Pyramide, deren Kanten alle gleich eins sind. Bei echten C2-Problemen können die Kantenlängen jedoch unterschiedlich sein, daher unten allgemeines Schema Koordinatenberechnungen.

Also, richtig viereckige Pyramide. Das ist dasselbe wie Cheops, nur etwas kleiner. Nennen wir es SABCD, wobei S ein Scheitelpunkt ist. Führen wir ein Koordinatensystem ein: Der Ursprung liegt im Punkt A, das Einheitssegment AB = 1, die x-Achse ist entlang AB gerichtet, die y-Achse ist entlang AD gerichtet und die z-Achse ist nach oben gerichtet, senkrecht zur OXY-Ebene . Für weitere Berechnungen benötigen wir die Höhe SH – also bauen wir sie auf. Wir erhalten folgendes Bild:

Lassen Sie uns nun die Koordinaten der Punkte ermitteln. Schauen wir uns zunächst die OXY-Ebene an. Hier ist alles einfach: Die Basis ist ein Quadrat, seine Koordinaten sind bekannt. Bei Punkt S treten Probleme auf. Da SH die Höhe zur OXY-Ebene ist, unterscheiden sich die Punkte S und H nur in der Z-Koordinate. Tatsächlich ist die Länge des Segments SH die Z-Koordinate für Punkt S, da H = (0,5; 0,5; 0).

Beachten Sie, dass die Dreiecke ABC und ASC auf drei Seiten gleich sind (AS = CS = AB = CB = 1 und die Seite AC ist gemeinsam). Daher ist SH = BH. Aber BH ist die halbe Diagonale des Quadrats ABCD, d.h. BH = AB sin 45°. Wir erhalten die Koordinaten aller Punkte:

Das ist alles mit den Koordinaten der Pyramide. Aber überhaupt nicht mit Koordinaten. Wir haben uns nur die häufigsten Polyeder angesehen, aber diese Beispiele reichen aus, um die Koordinaten anderer Figuren unabhängig zu berechnen. Daher können wir tatsächlich zu den Methoden zur Lösung spezifischer Probleme C2 übergehen.