Parallele Linien in der Ebene und im Raum. Parallele Linien. Eigenschaften und Zeichen paralleler Linien

Das Konzept der parallelen Linien

Definition 1

Parallele Linien– Geraden, die in derselben Ebene liegen, fallen nicht zusammen und haben keine gemeinsamen Punkte.

Wenn Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind sie schneiden.

Wenn alle Punkte gerade sind übereinstimmen, dann haben wir im Wesentlichen eine Gerade.

Liegen die Linien in unterschiedlichen Ebenen, sind die Bedingungen für ihre Parallelität etwas größer.

Bei der Betrachtung von Geraden in einer Ebene kann folgende Definition gegeben werden:

Definition 2

Man nennt zwei Geraden in einer Ebene parallel, wenn sie sich nicht schneiden.

In der Mathematik werden parallele Geraden meist mit dem Parallelitätszeichen „$\parallel$“ bezeichnet. Die Tatsache, dass die Linie $c$ parallel zur Linie $d$ ist, wird beispielsweise wie folgt bezeichnet:

$c\parallel d$.

Das Konzept paralleler Segmente wird häufig berücksichtigt.

Definition 3

Die beiden Segmente werden aufgerufen parallel, wenn sie auf parallelen Geraden liegen.

In der Abbildung sind beispielsweise die Segmente $AB$ und $CD$ parallel, weil sie gehören zu parallelen Linien:

$AB \parallel CD$.

Gleichzeitig sind die Segmente $MN$ und $AB$ bzw. $MN$ und $CD$ nicht parallel. Dieser Sachverhalt lässt sich symbolisch wie folgt beschreiben:

$MN ∦ AB$ und $MN ∦ CD$.

Auf ähnliche Weise wird die Parallelität einer Geraden und einer Strecke, einer Geraden und eines Strahls, einer Strecke und einem Strahl oder zweier Strahlen bestimmt.

Historische Referenz

Aus dem Griechischen wird der Begriff „parallelos“ mit „nebeneinander kommen“ oder „nebeneinander getragen“ übersetzt. Dieser Begriff wurde in der antiken Schule des Pythagoras bereits verwendet, bevor parallele Linien definiert wurden. Entsprechend historische Fakten Euklid im 3. Jahrhundert. Chr. Seine Werke offenbarten jedoch die Bedeutung des Konzepts der parallelen Linien.

In der Antike hatte das Symbol zur Bezeichnung paralleler Linien ein anderes Aussehen als das, was wir in der modernen Mathematik verwenden. Zum Beispiel der antike griechische Mathematiker Pappus im 3. Jahrhundert. ANZEIGE Parallelität wurde mit einem Gleichheitszeichen angegeben. Diese. Die Tatsache, dass die Linie $l$ parallel zur Linie $m$ ist, wurde zuvor mit „$l=m$“ bezeichnet. Später wurde das bekannte „$\parallel$“-Zeichen verwendet, um die Parallelität von Linien zu kennzeichnen, und das Gleichheitszeichen wurde verwendet, um die Gleichheit von Zahlen und Ausdrücken zu kennzeichnen.

Parallele Linien im Leben

Wir bemerken oft nicht, dass wir im normalen Leben von einer Vielzahl paralleler Linien umgeben sind. Beispielsweise wird in einem Notenbuch und einer Sammlung von Liedern mit Noten die Notenzeile aus parallelen Linien erstellt. Parallele Linien gibt es auch in Musikinstrumente(zum Beispiel Harfensaiten, Gitarrensaiten, Klaviertasten usw.).

Auch elektrische Leitungen, die entlang von Straßen und Wegen verlaufen, verlaufen parallel. U-Bahn-Schienen und Eisenbahnen liegen parallel.

Parallele Linien finden sich neben dem Alltag auch in der Malerei, in der Architektur und im Bauwesen.

Parallele Linien in der Architektur

In den dargestellten Bildern enthalten architektonische Strukturen parallele Linien. Die Verwendung paralleler Linien im Bauwesen trägt dazu bei, die Lebensdauer solcher Bauwerke zu erhöhen und ihnen außergewöhnliche Schönheit, Attraktivität und Erhabenheit zu verleihen. Stromleitungen werden zudem bewusst parallel geführt, um ein Überkreuzen oder Berühren der Leitungen zu vermeiden, was zu Kurzschlüssen, Ausfällen und Stromausfällen führen würde. Damit sich der Zug frei bewegen kann, sind die Schienen ebenfalls in parallelen Linien ausgeführt.

In der Malerei werden parallele Linien so dargestellt, dass sie zu einer Linie zusammenlaufen oder sich dieser annähern. Diese Technik wird Perspektive genannt und folgt aus der Illusion des Sehens. Wenn Sie längere Zeit in die Ferne schauen, sehen parallele Linien wie zwei konvergierende Linien aus.

KAPITEL III.
PARALLEL DIREKT

§ 35. ZEICHEN VON PARALLELEN ZWEI LINIEN.

Der Satz, dass zwei Senkrechte zu einer Geraden parallel sind (§ 33), gibt ein Zeichen dafür, dass zwei Geraden parallel sind. Sie können mehr abheben allgemeine Zeichen Parallelität zweier Geraden.

1. Das erste Anzeichen von Parallelität.

Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die kreuzenden Innenwinkel gleich groß sind, dann sind diese Geraden parallel.

Lassen Sie die Geraden AB und CD von der Geraden EF und schneiden / 1 = / 2. Nehmen Sie Punkt O – die Mitte des Segments KL der Sekante EF (Abb. 189).

Senken wir die Senkrechte OM vom Punkt O auf die Gerade AB ab und setzen wir sie fort, bis sie die Gerade CD, AB_|_MN schneidet. Beweisen wir, dass CD_|_MN.
Betrachten Sie dazu zwei Dreiecke: MOE und NOK. Diese Dreiecke sind einander gleich. Tatsächlich: / 1 = / 2 gemäß den Bedingungen des Satzes; ОK = ОL - konstruktionsbedingt;
/ MOL = / NEIN, wie vertikale Winkel. Somit sind die Seitenwinkel und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks; somit, /\ MOL = /\ NEIN, und daher
/ LMO = / KNO, aber / LMO ist direkt, das heißt / KNO ist auch gerade. Somit stehen die Geraden AB und CD senkrecht auf derselben Geraden MN, also sind sie parallel (§ 33), was bewiesen werden musste.

Notiz. Der Schnittpunkt der Geraden MO und CD kann durch Drehung des Dreiecks MOL um 180° um den Punkt O ermittelt werden.

2. Das zweite Zeichen der Parallelität.

Sehen wir uns an, ob die Geraden AB und CD parallel sind, wenn beim Schnittpunkt mit der dritten Geraden EF die entsprechenden Winkel gleich sind.

Einige entsprechende Winkel seien beispielsweise gleich / 3 = / 2 (Zeichnung 190);
/ 3 = / 1, da die Winkel vertikal sind; Bedeutet, / 2 wird gleich sein / 1. Aber die Winkel 2 und 1 sind sich schneidende Innenwinkel, und wir wissen bereits, dass diese Linien parallel sind, wenn zwei gerade Linien die dritte schneiden und die sich schneidenden Innenwinkel gleich sind. Daher AB || CD.

Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden Geraden parallel.

Auf dieser Eigenschaft basiert die Konstruktion paralleler Linien mit Lineal und Zeichendreieck. Dies geschieht wie folgt.

Befestigen wir das Dreieck wie in Zeichnung 191 gezeigt am Lineal. Wir verschieben das Dreieck so, dass eine seiner Seiten entlang des Lineals gleitet, und zeichnen mehrere gerade Linien entlang einer anderen Seite des Dreiecks. Diese Linien werden parallel sein.

3. Das dritte Zeichen der Parallelität.

Lassen Sie uns wissen, dass die Summe aller einseitigen Innenwinkel gleich 2 ist, wenn sich zwei Geraden AB und CD mit einer dritten Geraden schneiden D(oder 180°). Sind in diesem Fall die Geraden AB und CD parallel (Abb. 192)?

Lassen / 1 und / 2 sind einseitige Innenwinkel und ergeben zusammen 2 D.
Aber / 3 + / 2 = 2D als benachbarte Winkel. Somit, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Von hier / 1 = / 3, und diese Innenwinkel liegen kreuzweise. Daher AB || CD.

Wenn zwei Geraden eine dritte schneiden, ist die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 2 d, dann sind diese beiden Geraden parallel.

Übung.

Beweisen Sie, dass die Geraden parallel sind:
a) wenn die äußeren Querwinkel gleich sind (Abb. 193);
b) wenn die Summe der äußeren einseitigen Winkel gleich 2 ist D(Zeichnung 194).

In diesem Artikel werden wir über parallele Linien sprechen, Definitionen geben und die Zeichen und Bedingungen der Parallelität skizzieren. Zur Verdeutlichung des theoretischen Materials verwenden wir Abbildungen und Lösungen typischer Beispiele.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Parallele Linien auf einer Ebene– zwei Geraden auf einer Ebene, die keine gemeinsamen Punkte haben.

Definition 2

Parallele Linien im dreidimensionalen Raum– zwei Geraden im dreidimensionalen Raum, die in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Es ist zu beachten, dass zur Bestimmung paralleler Linien im Raum die Klarstellung „in derselben Ebene liegen“ äußerst wichtig ist: Zwei Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind nicht parallel , aber kreuzend.

Um parallele Linien anzuzeigen, wird üblicherweise das Symbol ∥ verwendet. Das heißt, wenn die gegebenen Geraden a und b parallel sind, sollte diese Bedingung kurz wie folgt geschrieben werden: a ‖ b. Verbal wird die Parallelität von Linien wie folgt bezeichnet: Linien a und b sind parallel, oder Linie a ist parallel zu Linie b, oder Linie b ist parallel zu Linie a.

Lassen Sie uns eine Aussage formulieren, die für das untersuchte Thema eine wichtige Rolle spielt.

Axiom

Durch einen Punkt, der nicht zu einer gegebenen Geraden gehört, verläuft die einzige Gerade, die parallel zu dieser ist. Diese Aussage lässt sich mit den bekannten Axiomen der Planimetrie nicht beweisen.

Wenn es um den Raum geht, gilt der Satz:

Satz 1

Durch jeden Punkt im Raum, der nicht zu einer bestimmten Geraden gehört, gibt es eine einzige Gerade parallel zu dieser Geraden.

Dieser Satz lässt sich anhand des obigen Axioms (Geometrieprogramm für die Klassen 10 – 11) leicht beweisen.

Das Parallelitätskriterium ist eine hinreichende Bedingung, deren Erfüllung die Parallelität von Geraden gewährleistet. Mit anderen Worten: Die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Tatsache der Parallelität zu bestätigen.

Insbesondere gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parallelität von Linien in der Ebene und im Raum. Lassen Sie uns erklären: notwendig bedeutet die Bedingung, deren Erfüllung für parallele Linien notwendig ist; ist sie nicht erfüllt, sind die Geraden nicht parallel.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Parallelität von Linien eine Bedingung ist, deren Einhaltung notwendig und ausreichend ist, damit die Linien parallel zueinander sind. Dies ist einerseits ein Zeichen der Parallelität, andererseits eine Eigenschaft paralleler Linien.

Bevor wir die genaue Formulierung einer notwendigen und hinreichenden Bedingung geben, erinnern wir uns an einige zusätzliche Konzepte.

Definition 3

Sekantenlinie– eine gerade Linie, die jede von zwei gegebenen, nicht zusammenfallenden geraden Linien schneidet.

Eine Querlinie schneidet zwei Geraden und bildet acht unentwickelte Winkel. Um eine notwendige und hinreichende Bedingung zu formulieren, verwenden wir Winkeltypen wie gekreuzt, korrespondierend und einseitig. Lassen Sie uns sie in der Abbildung demonstrieren:

Satz 2

Wenn zwei Linien in einer Ebene durch eine Transversallinie geschnitten werden, ist es für die Parallelität der gegebenen Linien notwendig und ausreichend, dass die Schnittwinkel gleich sind oder die entsprechenden Winkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Winkel gleich ist 180 Grad.

Lassen Sie uns die notwendige und ausreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in einer Ebene grafisch veranschaulichen:

Der Nachweis dieser Bedingungen liegt im Geometrieprogramm für die Jahrgangsstufen 7 – 9 vor.

Im Allgemeinen gelten diese Bedingungen auch für den dreidimensionalen Raum, sofern zwei Geraden und eine Sekante zur gleichen Ebene gehören.

Lassen Sie uns noch einige weitere Theoreme angeben, die häufig verwendet werden, um die Tatsache zu beweisen, dass Geraden parallel sind.

Satz 3

In einer Ebene sind zwei Geraden parallel zu einer dritten parallel zueinander. Dieses Merkmal wird auf der Grundlage des oben angegebenen Parallelitätsaxioms bewiesen.

Satz 4

Im dreidimensionalen Raum sind zwei Geraden parallel zu einer dritten parallel zueinander.

Der Beweis eines Zeichens wird im Geometrielehrplan der 10. Klasse untersucht.

Lassen Sie uns diese Sätze veranschaulichen:

Geben wir ein weiteres Satzpaar an, das die Parallelität von Geraden beweist.

Satz 5

In einer Ebene sind zwei Geraden, die senkrecht zu einer dritten stehen, parallel zueinander.

Formulieren wir etwas Ähnliches für den dreidimensionalen Raum.

Satz 6

Im dreidimensionalen Raum sind zwei Linien senkrecht zu einer dritten parallel zueinander.

Lassen Sie uns Folgendes veranschaulichen:

Alle oben genannten Sätze, Zeichen und Bedingungen ermöglichen einen bequemen Nachweis der Parallelität von Geraden mit den Methoden der Geometrie. Das heißt, um die Parallelität von Geraden zu beweisen, kann man zeigen, dass die entsprechenden Winkel gleich sind, oder die Tatsache nachweisen, dass zwei gegebene Geraden senkrecht zur dritten stehen usw. Beachten Sie jedoch, dass es häufig bequemer ist, die Koordinatenmethode zum Nachweis der Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu verwenden.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem

In einem gegebenen rechteckiges System Koordinaten wird eine Gerade durch die Gleichung einer Geraden auf einer Ebene eines der möglichen Typen bestimmt. Ebenso entspricht eine gerade Linie, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum definiert ist, einigen Gleichungen für eine gerade Linie im Raum.

Schreiben wir die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf, abhängig von der Art der Gleichung, die die gegebenen Geraden beschreibt.

Beginnen wir mit der Bedingung der Parallelität von Linien in einer Ebene. Es basiert auf den Definitionen des Richtungsvektors einer Geraden und des Normalenvektors einer Geraden auf einer Ebene.

Satz 7

Damit zwei nicht zusammenfallende Geraden in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden kollinear sind oder die Normalenvektoren der gegebenen Geraden kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht dazu steht der Normalenvektor der anderen Geraden.

Es wird deutlich, dass die Bedingung der Parallelität von Geraden in einer Ebene auf der Bedingung der Kollinearität von Vektoren oder der Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren basiert. Das heißt, wenn a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) Richtungsvektoren der Geraden a und b sind;

und n b → = (n b x , n by y) Normalenvektoren der Geraden a und b sind, dann schreiben wir die obige notwendige und hinreichende Bedingung wie folgt: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y oder n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n by y oder a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , wobei t eine reelle Zahl ist. Die Koordinaten der Hilfslinien bzw. Geradenvektoren werden durch die gegebenen Geradengleichungen bestimmt. Schauen wir uns die wichtigsten Beispiele an.

Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist definiert allgemeine Gleichung Gerade: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; Gerade b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Dann haben die Normalenvektoren der gegebenen Geraden die Koordinaten (A 1, B 1) bzw. (A 2, B 2). Wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Die Linie a wird durch die Gleichung einer Linie mit einer Steigung der Form y = k 1 x + b 1 beschrieben. Gerade b - y = k 2 x + b 2. Dann haben die Normalenvektoren der gegebenen Geraden die Koordinaten (k 1, - 1) bzw. (k 2, - 1) und wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Wenn also parallele Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch Gleichungen mit Winkelkoeffizienten gegeben sind, dann Steigungskoeffizienten gegebene Zeilen werden gleich sein. Und die gegenteilige Aussage ist wahr: Wenn nicht zusammenfallende Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die Gleichungen einer Linie mit identischen Winkelkoeffizienten bestimmt werden, dann sind diese gegebenen Linien parallel.

Linien a und b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem werden durch die kanonischen Gleichungen einer Linie auf einer Ebene angegeben: x - x 1 a x = y - y 1 a y und x - x 2 b x = y - y 2 b y oder durch parametrische Gleichungen von eine Gerade auf einer Ebene: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y und x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Dann sind die Richtungsvektoren der gegebenen Linien: a x, a y bzw. b x, b y, und wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

a x = t b x a y = t by y

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Zeilen: 2 x - 3 y + 1 = 0 und x 1 2 + y 5 = 1. Es muss festgestellt werden, ob sie parallel sind.

Lösung

Schreiben wir die Geradengleichung in Segmenten in Form einer allgemeinen Gleichung:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Wir sehen, dass n a → = (2, - 3) der Normalenvektor der Geraden 2 x - 3 y + 1 = 0 ist und n b → = 2, 1 5 der Normalenvektor der Geraden x 1 2 + y 5 ist = 1.

Die resultierenden Vektoren sind nicht kollinear, weil Es gibt keinen solchen Wert von tat, bei dem die Gleichheit wahr wäre:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Damit ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Geraden in einer Ebene nicht erfüllt, was bedeutet, dass die gegebenen Geraden nicht parallel sind.

Antwort: Die angegebenen Linien sind nicht parallel.

Beispiel 2

Gegeben sind die Linien y = 2 x + 1 und x 1 = y - 4 2. Sind sie parallel?

Lösung

Lassen Sie uns die kanonische Gleichung der Geraden x 1 = y - 4 2 in die Gleichung der Geraden mit der Steigung umwandeln:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Wir sehen, dass die Gleichungen der Geraden y = 2 x + 1 und y = 2 x + 4 nicht gleich sind (sonst würden die Geraden zusammenfallen) und die Winkelkoeffizienten der Geraden gleich sind, was bedeutet gegebene Geraden sind parallel.

Versuchen wir, das Problem anders zu lösen. Überprüfen wir zunächst, ob die angegebenen Linien übereinstimmen. Wir verwenden einen beliebigen Punkt auf der Linie y = 2 x + 1, zum Beispiel (0, 1), die Koordinaten dieses Punktes entsprechen nicht der Gleichung der Linie x 1 = y - 4 2, was bedeutet, dass die Linien dies tun nicht zusammenfallen.

Der nächste Schritt besteht darin, festzustellen, ob die Bedingung der Parallelität der gegebenen Linien erfüllt ist.

Der Normalenvektor der Geraden y = 2 x + 1 ist der Vektor n a → = (2 , - 1) , und der Richtungsvektor der zweiten gegebenen Geraden ist b → = (1 , 2) . Skalarprodukt dieser Vektoren ist gleich Null:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Somit stehen die Vektoren senkrecht: Dies zeigt uns die Erfüllung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität der ursprünglichen Linien. Diese. Die angegebenen Geraden sind parallel.

Antwort: diese Linien sind parallel.

Um die Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums zu beweisen, wird die folgende notwendige und hinreichende Bedingung verwendet.

Satz 8

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien im dreidimensionalen Raum parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Linien kollinear sind.

Diese. bei gegebene Gleichungen von geraden Linien im dreidimensionalen Raum wird die Antwort auf die Frage, ob sie parallel sind oder nicht, durch die Bestimmung der Koordinaten der Richtungsvektoren der gegebenen geraden Linien sowie durch die Überprüfung der Bedingung ihrer Kollinearität gefunden. Mit anderen Worten, wenn a → = (a x, a y, a z) und b → = (b x, b y, b z) die Richtungsvektoren der Geraden a bzw. b sind, dann ist die Existenz erforderlich, damit sie parallel sind einer solchen reellen Zahl ist t notwendig, sodass die Gleichheit gilt:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t by y a z = t b z

Beispiel 3

Gegeben sind die Geraden x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 und x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Es ist notwendig, die Parallelität dieser Linien zu beweisen.

Lösung

Die Bedingungen des Problems sind angegeben kanonische Gleichungen einer Geraden im Raum und parametrische Gleichungen einer anderen Geraden im Raum. Leitvektoren a → und b → Die angegebenen Linien haben die Koordinaten: (1, 0, - 3) und (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , dann a → = 1 2 · b → .

Damit ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien im Raum erfüllt.

Antwort: die Parallelität der gegebenen Geraden ist bewiesen.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Anweisungen

Stellen Sie vor Beginn des Beweises sicher, dass die Linien in derselben Ebene liegen und darauf gezeichnet werden können. Am meisten auf einfache Weise Der Beweis ist die Linealmessmethode. Messen Sie dazu mit einem Lineal den Abstand der Geraden an mehreren möglichst weit auseinander liegenden Stellen. Bleibt der Abstand unverändert, sind die angegebenen Geraden parallel. Da diese Methode jedoch nicht genau genug ist, ist es besser, andere Methoden zu verwenden.

Zeichnen Sie eine dritte Linie so, dass sie beide parallelen Linien schneidet. Mit ihnen bildet es vier Außen- und vier Innenecken. Berücksichtigen Sie die Innenecken. Diejenigen, die durch die Sekantenlinie liegen, werden Kreuzliegen genannt. Diejenigen, die auf einer Seite liegen, werden als einseitig bezeichnet. Messen Sie mit einem Winkelmesser die beiden inneren Schnittwinkel. Wenn sie einander gleich sind, sind die Linien parallel. Im Zweifelsfall einseitige Innenwinkel messen und die resultierenden Werte addieren. Die Linien sind parallel, wenn die Summe der einseitigen Linien entsteht Innenecken wird 180º betragen.

Wenn Sie keinen Winkelmesser haben, verwenden Sie ein 90-Grad-Winkel. Konstruieren Sie damit eine Senkrechte zu einer der Linien. Danach setzen Sie diese Senkrechte fort, sodass sie eine andere Gerade schneidet. Überprüfen Sie anhand desselben Quadrats, in welchem Winkel diese Senkrechte es schneidet. Beträgt dieser Winkel ebenfalls 90°, dann sind die Geraden parallel zueinander.

Für den Fall, dass die Zeilen angegeben sind Kartesisches System Koordinaten, finden Sie deren Richtung oder Normalenvektoren. Wenn diese Vektoren jeweils kollinear zueinander sind, dann sind die Geraden parallel. Reduzieren Sie die Geradengleichung auf eine allgemeine Form und ermitteln Sie die Koordinaten des Normalenvektors jeder Gerade. Seine Koordinaten sind gleich den Koeffizienten A und B. Wenn das Verhältnis der entsprechenden Koordinaten der Normalenvektoren gleich ist, sind sie kollinear und die Geraden sind parallel.

Geraden ergeben sich beispielsweise durch die Gleichungen 4x-2y+1=0 und x/1=(y-4)/2. Die erste Gleichung hat allgemeine Form, die zweite ist kanonisch. Bringen Sie die zweite Gleichung in ihre allgemeine Form. Verwenden Sie dazu die Proportionen-Umrechnungsregel, das Ergebnis ist 2x=y-4. Nach Reduktion auf die allgemeine Form erhält man 2x-y+4=0. Da die allgemeine Gleichung für jede Linie Ax+By+C=0 lautet, gilt für die erste Linie: A=4, B=2 und für die zweite Linie A=2, B=1. Für die erste direkte Koordinate des Normalenvektors (4;2) und für die zweite – (2;1). Finden Sie das Verhältnis der entsprechenden Koordinaten der Normalenvektoren 4/2=2 und 2/1=2. Diese Zahlen sind gleich, was bedeutet, dass die Vektoren kollinear sind. Da die Vektoren kollinear sind, sind die Geraden parallel.

Parallele Linien. Eigenschaften und Zeichen paralleler Linien

1. Axiom der Parallelen. Durch dieser Punkt Sie können höchstens eine gerade Linie parallel zu einer bestimmten Linie zeichnen.

2. Wenn zwei Geraden parallel zu derselben Geraden verlaufen, dann sind sie parallel zueinander.

3. Zwei Linien senkrecht zur gleichen Linie sind parallel.

4. Wenn sich zwei parallele Geraden mit einer dritten schneiden, dann sind die gebildeten inneren Kreuzwinkel gleich; entsprechende Winkel sind gleich; Einseitige Innenwinkel addieren sich zu 180°.

5. Wenn zwei Geraden eine dritte schneiden und dabei gleiche innere Kreuzwinkel entstehen, dann sind die Geraden parallel.

6. Wenn zwei Geraden eine dritte schneiden und gleiche entsprechende Winkel entstehen, dann sind die Geraden parallel.

7. Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 180° ist, dann sind die Geraden parallel.

Satz von Thales. Wenn auf einer Seite eines Winkels gleiche Segmente ausgelegt werden und durch deren Enden parallele Linien gezogen werden, die die zweite Seite des Winkels schneiden, dann werden auch auf der zweiten Seite des Winkels gleiche Segmente ausgelegt.

Proportionalsegmentsatz. Parallele Linien, die die Seiten eines Winkels schneiden, schneiden darauf proportionale Segmente aus.

Dreieck. Zeichen der Gleichheit von Dreiecken.

1. Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

2. Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

3. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

1. Auf zwei Seiten.

2. Entlang des Beins und der Hypotenuse.

3. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel.

4. Entlang des Beins und spitzer Winkel.

Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks und seine Konsequenzen

1. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

2. Äußere Ecke des Dreiecks gleich der Summe zwei nicht angrenzende Innenwinkel.

3. Die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Ecks ist gleich

4. Die Summe der Außenwinkel eines Sechsecks beträgt 360°.

5. Winkel mit zueinander senkrechten Seiten sind gleich, wenn sie beide spitz oder beide stumpf sind.

6. Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden benachbarter Winkel beträgt 90°.

7. Die Winkelhalbierenden der inneren einseitigen Winkel mit parallelen Linien und einer Transversalen stehen senkrecht.

Grundlegende Eigenschaften und Merkmale eines gleichschenkligen Dreiecks

1. Die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.

2. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

3. In einem gleichschenkligen Dreieck fallen der Median, die Winkelhalbierende und die zur Basis gezeichnete Höhe zusammen.

4. Wenn ein Segmentpaar aus dem Tripel in einem Dreieck zusammenfällt – Median, Winkelhalbierende, Höhe, dann ist es gleichschenklig.

Die Dreiecksungleichung und ihre Folgen

1. Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist größer als seine dritte Seite.

2. Die Summe der Verbindungen der Polylinie ist größer als das Segment, das den Anfang verbindet

der erste Link mit dem Ende des letzten.

3. Dem größeren Winkel des Dreiecks gegenüber liegt die größere Seite.

4. Gegenüber der größeren Seite des Dreiecks liegt der größere Winkel.

5. Hypotenuse rechtwinkliges Dreieck mehr Bein.

6. Wenn senkrechte und schräge Linien von einem Punkt zu einer geraden Linie gezeichnet werden, dann

1) die Senkrechte ist kürzer als die geneigten;

2) Eine größere Schräge entspricht einer größeren Projektion und umgekehrt.

Mittellinie Dreieck.

Das Segment, das die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, wird Mittellinie des Dreiecks genannt.

Dreieck-Mittellinien-Theorem.

Die Mittellinie des Dreiecks verläuft parallel zur Seite des Dreiecks und entspricht der Hälfte davon.

Sätze über die Mediane eines Dreiecks

1. Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und teilen ihn im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt.

2. Wenn der Mittelwert eines Dreiecks gleich der Hälfte der Seite ist, zu der es gezeichnet wird, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

3. Median eines rechtwinkligen Dreiecks, das von einem Scheitelpunkt aus gezogen wird rechter Winkel, ist gleich der halben Hypotenuse.

Eigenschaft der Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks. Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises, der das Dreieck umschreibt.

Dreieckshöhensatz. Die Höhenlinien des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Satz der Dreieckshalbierenden. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Eigenschaft der Dreieckshalbierenden. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt seine Seite in Segmente, die proportional zu den beiden anderen Seiten sind.

Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken

1. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Winkeln eines anderen sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

2. Wenn zwei Seiten eines Dreiecks jeweils proportional zu zwei Seiten eines anderen sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

3. Wenn die drei Seiten eines Dreiecks jeweils proportional zu den drei Seiten eines anderen sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Flächen ähnlicher Dreiecke

1. Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.

2. Wenn zwei Dreiecke haben gleiche Winkel, dann beziehen sich ihre Flächen auf das Produkt der Seiten, die diese Winkel einschließen.

In einem rechtwinkligen Dreieck

1. Ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem Sinus der Gegenkathete oder dem Kosinus des spitzen Winkels neben diesem Schenkel.

2. Ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich einem anderen Schenkel multipliziert mit dem Tangens des gegenüberliegenden Dreiecks oder mit dem Kotangens eines an diesen Schenkel angrenzenden spitzen Winkels.

3. Ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, der einem Winkel von 30° gegenüberliegt, ist gleich der halben Hypotenuse.

4. Wenn ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse ist, beträgt der Winkel gegenüber diesem Schenkel 30°.

5. R = ; r = , wobei a, b die Schenkel und c die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks sind; r und R sind die Radien des eingeschriebenen bzw. umschriebenen Kreises.

Satz des Pythagoras und die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

1. Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

2. Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate seiner beiden anderen Seiten ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Bedeutet proportional in einem rechtwinkligen Dreieck.

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels aus gezogen wird, ist im Durchschnitt proportional zu den Projektionen der Beine auf die Hypotenuse, und jedes Bein ist im Durchschnitt proportional zur Hypotenuse und ihrer Projektion auf die Hypotenuse.

Metrische Verhältnisse in einem Dreieck

1. Satz des Kosinus. Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ohne das Doppelte des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

2. Folgerung zum Kosinussatz. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten.

3. Formel für den Median eines Dreiecks. Wenn m der Median des zur Seite c gezogenen Dreiecks ist, dann ist m = , wobei a und b die verbleibenden Seiten des Dreiecks sind.

4. Sinussatz. Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinuswerten der entgegengesetzten Winkel.

5. Verallgemeinerter Sinussatz. Das Verhältnis der Seite eines Dreiecks zum Sinus des entgegengesetzten Winkels ist gleich dem Durchmesser des vom Dreieck umschriebenen Kreises.

Dreiecksflächenformeln

1. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus Grundfläche und Höhe.

2. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts seiner beiden Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

3. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus seinem Halbumfang und dem Radius des eingeschriebenen Kreises.

4. Die Fläche des Dreiecks beträgt Produkt von drei seine Seiten werden durch das Vierfache des Radius des Umkreises geteilt.

5. Formel von Heron: S=, wobei p der Halbumfang ist; a, b, c – Seiten des Dreiecks.

Elemente eines gleichseitigen Dreiecks. Seien h, S, r, R die Höhe, Fläche und Radien der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a. Dann
Vierecke

Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Eigenschaften und Zeichen eines Parallelogramms.

1. Eine Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke.

2. Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind paarweise gleich.

3. Gegenüberliegende Winkel eines Parallelogramms sind paarweise gleich.

4. Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich und werden durch den Schnittpunkt halbiert.

5. Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

6. Wenn zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

7. Wenn die Diagonalen eines Vierecks durch den Schnittpunkt halbiert werden, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Eigenschaft der Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks. Die Mittelpunkte der Seiten jedes Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, dessen Fläche der Hälfte der Fläche des Vierecks entspricht.

Rechteck. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel wird als Rechteck bezeichnet.

Eigenschaften und Eigenschaften eines Rechtecks.

1. Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich.

2. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms gleich sind, dann ist dieses Parallelogramm ein Rechteck.

Quadrat. Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen Seiten alle gleich sind.

Rhombus. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Seiten alle gleich sind.

Eigenschaften und Zeichen einer Raute.

1. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht zueinander.

2. Die Diagonalen einer Raute teilen ihre Winkel in zwei Hälften.

3. Stehen die Diagonalen eines Parallelogramms senkrecht, dann ist dieses Parallelogramm eine Raute.

4. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms seine Winkel halbieren, dann ist dieses Parallelogramm eine Raute.

Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck, dessen einzige gegenüberliegende Seiten (Grundflächen) parallel sind. Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte nicht paralleler Seiten (Seiten) verbindet.

1. Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.

2. Die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen des Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz der Basen.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft eines Trapezes. Der Schnittpunkt der Diagonalen eines Trapezes, der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seiten und die Mitte der Grundflächen liegen auf derselben Geraden.

Gleichschenkliges Trapez. Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Seiten gleich sind.

Eigenschaften und Zeichen eines gleichschenkligen Trapezes.

1. Die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich.

2. Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich.

3. Wenn die Winkel an der Basis eines Trapezes gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

4. Wenn die Diagonalen eines Trapezes gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

5. Die Projektion der lateralen Seite eines gleichschenkligen Trapezes auf die Basis ist gleich der halben Differenz der Basen und die Projektion der Diagonale ist die halbe Summe der Basen.

Formeln für die Fläche eines Vierecks

1. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

2. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner benachbarten Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

3. Die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner beiden angrenzenden Seiten.

4. Die Fläche einer Raute entspricht der Hälfte des Produkts ihrer Diagonalen.

5. Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe.

6. Die Fläche eines Vierecks ist gleich der Hälfte des Produkts seiner Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

7. Herons Formel für ein Viereck, um das ein Kreis beschrieben werden kann:

S = , wobei a, b, c, d die Seiten dieses Vierecks sind, p der Halbumfang und S die Fläche ist.

Ähnliche Zahlen

1. Das Verhältnis der entsprechenden linearen Elemente ähnlicher Figuren ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten.

2. Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Figuren ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.

Regelmäßiges Vieleck.

Sei a n die Seite eines regelmäßigen n-Ecks und rn und R n die Radien der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise. Dann

Kreis.

Ein Kreis heißt Ort Punkte der Ebene, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises, um den gleichen positiven Abstand entfernt sind.

Grundlegende Eigenschaften eines Kreises

1. Ein Durchmesser senkrecht zur Sehne teilt die Sehne und die von ihr begrenzten Bögen in zwei Hälften.

2. Der Durchmesser, der durch die Mitte einer Sehne verläuft, die kein Durchmesser ist, steht senkrecht zu dieser Sehne.

3. Die Mittelsenkrechte zur Sehne verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises.

4. Gleiche Sehnen befinden sich in gleichen Abständen vom Mittelpunkt des Kreises.

5. Sehnen eines Kreises, die den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben, sind gleich.

6. Ein Kreis ist relativ zu jedem seiner Durchmesser symmetrisch.

7. Kreisbögen, die zwischen parallelen Sehnen eingeschlossen sind, sind gleich.

8. Von zwei Akkorden ist derjenige größer, der weniger weit von der Mitte entfernt ist.

9. Der Durchmesser ist die größte Sehne eines Kreises.

Tangente an einen Kreis. Eine Gerade, die mit einem Kreis einen einzigen gemeinsamen Punkt hat, wird Tangente an den Kreis genannt.

1. Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird.

2. Wenn die Gerade a, die durch einen Punkt auf einem Kreis verläuft, senkrecht zum zu diesem Punkt gezeichneten Radius steht, dann ist die Gerade a tangential zum Kreis.

3. Wenn gerade Linien, die durch Punkt M verlaufen, den Kreis an den Punkten A und B berühren, dann gilt MA = MB und ﮮAMO = ﮮBMO, wobei Punkt O der Mittelpunkt des Kreises ist.

4. Der Mittelpunkt eines in einen Winkel eingeschriebenen Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.

Tangentenkreise. Zwei Kreise berühren sich, wenn sie einen einzigen gemeinsamen Punkt (Berührungspunkt) haben.

1. Der Berührungspunkt zweier Kreise liegt auf ihrer Mittelpunktslinie.

2. Kreise mit den Radien r und R mit den Mittelpunkten O 1 und O 2 berühren sich äußerlich genau dann, wenn R + g = O 1 O 2.

3. Kreise mit den Radien r und R (r

4. Kreise mit den Mittelpunkten O 1 und O 2 berühren sich außen im Punkt K. Eine bestimmte Gerade berührt diese Kreise in verschiedenen Punkten A und B und schneidet die gemeinsame Tangente, die durch den Punkt K geht, im Punkt C. Dann ist ﮮAK B = 90° und ﮮO 1 CO 2 = 90°.

5. Der Abschnitt der gemeinsamen äußeren Tangente an zwei Tangentenkreise mit den Radien r und R ist gleich dem Abschnitt der gemeinsamen inneren Tangente, der zwischen den gemeinsamen äußeren eingeschlossen ist. Beide Segmente sind gleich.

Mit einem Kreis verbundene Winkel

1. Die Größe des Kreisbogens ist gleich der Größe Zentralwinkel, stützte sich darauf.

2. Der eingeschriebene Winkel ist gleich der Hälfte Winkelgröße der Bogen, auf dem es ruht.

3. Eingeschriebene Winkel, die denselben Bogen treffen, sind gleich.

4. Der Winkel zwischen sich schneidenden Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe der gegenüberliegenden Bögen, die von den Sehnen geschnitten werden.

5. Der Winkel zwischen zwei Sekanten, die sich außerhalb des Kreises schneiden, ist gleich der halben Differenz der von den Sekanten auf dem Kreis geschnittenen Bögen.

6. Der Winkel zwischen der Tangente und der vom Berührungspunkt ausgehenden Sehne ist gleich dem halben Winkelwert des von dieser Sehne auf dem Kreis ausgeschnittenen Bogens.

Eigenschaften von Kreisakkorden

1. Die Mittelpunktslinie zweier sich schneidender Kreise steht senkrecht zu ihrer gemeinsamen Sehne.

2. Die Produkte der Längen der Sehnensegmente AB und CD eines Kreises, der sich im Punkt E schneidet, sind gleich, d. h. AE EB = CE ED.

Beschriftete und umschriebene Kreise

1. Zentren eingeschriebener und umschriebener Kreise regelmäßiges Dreieck zusammenpassen.

2. Der Mittelpunkt des um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises ist die Mitte der Hypotenuse.

3. Wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, dann sind die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich.

4. Wenn ein Viereck in einen Kreis eingeschrieben werden kann, beträgt die Summe seiner entgegengesetzten Winkel 180°.

5. Wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks 180° beträgt, kann ein Kreis darum gezeichnet werden.

6. Wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, dann ist die Seite des Trapezes vom Mittelpunkt des Kreises aus im rechten Winkel sichtbar.

7. Wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, dann ist der Radius des Kreises im Durchschnitt proportional zu den Segmenten, in die der Berührungspunkt die Seite teilt.

8. Wenn ein Kreis in ein Polygon eingeschrieben werden kann, dann ist seine Fläche gleich dem Produkt aus dem Halbumfang des Polygons und dem Radius dieses Kreises.

Der Tangens- und Sekantensatz und seine Folgerung

1. Wenn von einem Punkt aus eine Tangente und eine Sekante an einen Kreis gezogen werden, dann ist das Produkt der gesamten Sekante und ihres äußeren Teils gleich dem Quadrat der Tangente.

2. Das Produkt der gesamten Sekante und ihres äußeren Teils für einen gegebenen Punkt und einen gegebenen Kreis ist konstant.

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius R ist gleich C= 2πR