Vertikale und angrenzende Winkel sind gleich. So finden Sie einen angrenzenden Winkel

Zwei Winkel, die auf derselben Geraden liegen und denselben Scheitelpunkt haben, werden als benachbart bezeichnet.

Andernfalls, wenn die Summe zweier Winkel auf einer Geraden 180 Grad beträgt und sie eine gemeinsame Seite haben, dann handelt es sich um benachbarte Winkel.

1 angrenzender Winkel + 1 angrenzender Winkel = 180 Grad.

Benachbarte Winkel sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden Seiten im Allgemeinen eine gerade Linie bilden.

Die Summe zweier benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad. Wenn beispielsweise ein Winkel 60 Grad beträgt, entspricht der zweite zwangsläufig 120 Grad (180-60).

Die Winkel AOC und BOC sind benachbarte Winkel, da alle Bedingungen für die Eigenschaften benachbarter Winkel erfüllt sind:

1.OS - gemeinsame Seite zweier Ecken

2.AO – Seite der Ecke AOS, OB – Seite der Ecke BOS. Zusammen bilden diese Seiten eine gerade Linie AOB.

3. Es gibt zwei Winkel und ihre Summe beträgt 180 Grad.

Wenn wir uns an den Geometriekurs in der Schule erinnern, können wir Folgendes über benachbarte Winkel sagen:

Benachbarte Winkel haben eine gemeinsame Seite und die beiden anderen Seiten gehören zur gleichen Geraden, das heißt, sie liegen auf derselben Geraden. Wenn gemäß der Abbildung, dann sind die Winkel SOV und BOA benachbarte Winkel, deren Summe immer gleich 180 ist, da sie einen geraden Winkel teilen und ein gerader Winkel immer gleich 180 ist.



Benachbarte Winkel sind ein einfaches Konzept in der Geometrie. Benachbarte Winkel, ein Winkel plus ein Winkel, ergeben zusammen 180 Grad.

Zwei benachbarte Winkel bilden einen abgewickelten Winkel.

Es gibt noch mehrere weitere Eigenschaften. Mit benachbarten Winkeln lassen sich Probleme leicht lösen und Theoreme leicht beweisen.

Benachbarte Winkel werden gebildet, indem ein Strahl von einem beliebigen Punkt auf einer geraden Linie gezeichnet wird. Dann stellt sich heraus, dass dieser beliebige Punkt der Scheitelpunkt des Winkels ist, der Strahl - gemeinsame Seite benachbarte Winkel und die gerade Linie, von der aus der Strahl gezeichnet wird - durch die beiden verbleibenden Seiten der angrenzenden Winkel. Benachbarte Winkel können bei einem Senkrechten gleich sein, bei einem geneigten Strahl unterschiedlich sein. Es ist leicht zu verstehen, dass die Summe benachbarter Winkel 180 Grad oder einfach eine gerade Linie ist. Eine andere Möglichkeit, diesen Winkel zu erklären, ist einfaches Beispiel- Zuerst bist du in einer geraden Linie in eine Richtung gelaufen, dann hast du es dir anders überlegt, dich entschieden, umzukehren und bist um 180 Grad gedreht und auf derselben geraden Linie in die entgegengesetzte Richtung gegangen.



Was ist also ein angrenzender Winkel? Definition:

Zwei Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und einer gemeinsamen Seite werden als benachbart bezeichnet, und die beiden anderen Seiten dieser Winkel liegen auf derselben Geraden.



Und eine kurze Videolektion, die anschaulich etwas über benachbarte Winkel, vertikale Winkel und über senkrechte Linien zeigt, die einen Sonderfall von benachbarten und vertikalen Winkeln darstellen

Benachbarte Winkel sind Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam und die andere eine Linie ist.

Benachbarte Winkel sind Winkel, die voneinander abhängen. Das heißt, wenn die gemeinsame Seite leicht gedreht wird, verringert sich ein Winkel um mehrere Grad und der zweite Winkel vergrößert sich automatisch um die gleiche Anzahl Grad. Diese Eigenschaft benachbarter Winkel ermöglicht es, verschiedene Probleme der Geometrie zu lösen und Beweise für verschiedene Theoreme durchzuführen.

Die Gesamtsumme benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad.



Aus dem Geometriekurs (soweit ich mich an die 6. Klasse erinnere) werden zwei Winkel als benachbart bezeichnet, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen Seiten zusätzliche Strahlen sind, die Summe benachbarter Winkel beträgt 180. Jeder der beiden Benachbarte Winkel ergänzen sich zu einem erweiterten Winkel. Beispiel für angrenzende Winkel:



Benachbarte Winkel sind zwei Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, von denen eine Seite gemeinsam ist und die übrigen Seiten auf derselben Geraden liegen (nicht zusammenfallen). Die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad. Im Allgemeinen ist das alles sehr leicht in Google oder einem Geometrielehrbuch zu finden.

Erste Schritte mit Angles

Gegeben seien zwei beliebige Strahlen. Legen wir sie übereinander. Dann

Definition 1

Wir nennen einen Winkel zwei Strahlen, die denselben Ursprung haben.

Definition 2

Der Punkt, der im Rahmen der Definition 3 den Anfang der Strahlen bildet, wird Scheitelpunkt dieses Winkels genannt.

Wir bezeichnen den Winkel durch seine folgenden drei Punkte: den Scheitelpunkt, einen Punkt auf einem der Strahlen und einen Punkt auf dem anderen Strahl, und der Scheitelpunkt des Winkels steht in der Mitte seiner Bezeichnung (Abb. 1).

Lassen Sie uns nun bestimmen, wie groß der Winkel ist.

Dazu müssen wir eine Art „Referenzwinkel“ auswählen, den wir als Einheit verwenden. Am häufigsten ist dieser Winkel der Winkel, der dem $\frac(1)(180)$-Teil des entfalteten Winkels entspricht. Diese Größe wird als Grad bezeichnet. Nachdem wir einen solchen Winkel ausgewählt haben, vergleichen wir die Winkel damit, deren Wert ermittelt werden muss.

Es gibt 4 Arten von Winkeln:

Definition 3

Ein Winkel heißt spitz, wenn er kleiner als $90^0$ ist.

Definition 4

Ein Winkel heißt stumpf, wenn er größer als $90^0$ ist.

Definition 5

Ein Winkel heißt entwickelt, wenn er gleich $180^0$ ist.

Definition 6

Ein Winkel heißt rechts, wenn er gleich $90^0$ ist.

Zusätzlich zu den oben beschriebenen Winkeltypen können wir Winkeltypen im Verhältnis zueinander unterscheiden, nämlich vertikale und benachbarte Winkel.

Angrenzende Winkel

Betrachten Sie den umgekehrten Winkel $COB$. Von seinem Scheitelpunkt zeichnen wir einen Strahl $OA$. Dieser Strahl teilt den ursprünglichen Strahl in zwei Winkel. Dann

Definition 7

Wir nennen zwei Winkel benachbart, wenn ein Paar ihrer Seiten ein entwickelter Winkel ist und das andere Paar zusammenfällt (Abb. 2).

IN in diesem Fall Die Winkel $COA$ und $BOA$ liegen nebeneinander.

Satz 1

Die Summe benachbarter Winkel beträgt $180^0$.

Nachweisen.

Schauen wir uns Abbildung 2 an.

Nach Definition 7 beträgt der darin enthaltene Winkel $COB$ $180^0$. Da das zweite Seitenpaar benachbarter Winkel zusammenfällt, teilt der Strahl $OA$ daher den entfalteten Winkel durch 2

$∠COA+∠BOA=180^0$

Der Satz ist bewiesen.

Betrachten wir die Lösung des Problems mit diesem Konzept.

Beispiel 1

Finden Sie den Winkel $C$ aus der Abbildung unten

Nach Definition 7 finden wir, dass die Winkel $BDA$ und $ADC$ benachbart sind. Daher erhalten wir nach Satz 1

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Nach dem Satz über die Winkelsumme in einem Dreieck gilt:

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Antwort: 40^0$.

Vertikale Winkel

Betrachten Sie die Abwicklungswinkel $AOB$ und $MOC$. Richten wir ihre Eckpunkte so aus (das heißt, wir legen den Punkt $O"$ auf den Punkt $O$), dass keine Seiten dieser Winkel zusammenfallen. Dann

Definition 8

Wir nennen zwei Winkel vertikal, wenn die Paare ihrer Seiten entfaltete Winkel sind und ihre Werte übereinstimmen (Abb. 3).

In diesem Fall sind die Winkel $MOA$ und $BOC$ vertikal und die Winkel $MOB$ und $AOC$ sind ebenfalls vertikal.

Satz 2

Vertikale Winkel sind einander gleich.

Nachweisen.

Schauen wir uns Abbildung 3 an. Beweisen wir zum Beispiel, dass der Winkel $MOA$ gleich dem Winkel $BOC$ ist.

Was ist ein angrenzender Winkel?

Ecke- Das geometrische Figur(Abb. 1), gebildet aus zwei Strahlen OA und OB (Seiten des Winkels), die von einem Punkt O (Scheitelpunkt des Winkels) ausgehen.

ANgrenzende Ecken- zwei Winkel, deren Summe 180° beträgt. Jeder dieser Winkel ergänzt den anderen zum Vollwinkel.

Angrenzende Winkel- (Agles adjacets) solche, die eine gemeinsame Oberseite und eine gemeinsame Seite haben. Mit dieser Bezeichnung werden meist Winkel bezeichnet, deren verbleibende zwei Seiten in entgegengesetzten Richtungen einer durchgezogenen Geraden liegen.

Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halblinien sind.

Reis. 2

In Abbildung 2 liegen die Winkel a1b und a2b nebeneinander. Sie haben eine gemeinsame Seite b und die Seiten a1, a2 sind zusätzliche Halblinien.

Reis. 3

Abbildung 3 zeigt die Gerade AB, Punkt C liegt zwischen den Punkten A und B. Punkt D ist ein Punkt, der nicht auf der Geraden AB liegt. Es stellt sich heraus, dass die Winkel BCD und ACD benachbart sind. Sie haben eine gemeinsame Seite CD und die Seiten CA und CB sind zusätzliche Halblinien der Geraden AB, da die Punkte A, B durch den Startpunkt C getrennt sind.

Satz über benachbarte Winkel

Satz: die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°

Nachweisen:
Die Winkel a1b und a2b liegen nebeneinander (siehe Abb. 2). Strahl b verläuft zwischen den Seiten a1 und a2 des entfalteten Winkels. Daher ist die Summe der Winkel a1b und a2b gleich dem entwickelten Winkel, also 180°. Der Satz ist bewiesen.

Ein Winkel von 90° wird rechter Winkel genannt. Aus dem Satz über die Summe benachbarter Winkel folgt, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel auch ein rechter Winkel ist. Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitz bezeichnet, ein Winkel größer als 90° als stumpf. Da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt, ist der an einen spitzen Winkel angrenzende Winkel ein stumpfer Winkel. Ein an einen stumpfen Winkel angrenzender Winkel ist ein spitzer Winkel.

Angrenzende Winkel- zwei Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, von denen eine Seite gemeinsam ist und die übrigen Seiten auf derselben Geraden liegen (nicht zusammenfallen). Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.

Definition 1. Ein Winkel ist ein Teil einer Ebene, die von zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung begrenzt wird.

Definition 1.1. Ein Winkel ist eine Figur, die aus einem Punkt – dem Scheitelpunkt des Winkels – und zwei verschiedenen Halblinien besteht, die von diesem Punkt ausgehen – den Seiten des Winkels.
Zum Beispiel Winkel BOC in Abb.1 Betrachten wir zunächst zwei sich schneidende Linien. Wenn sich gerade Linien schneiden, bilden sie Winkel. Es gibt Sonderfälle:

Definition 2. Wenn die Seiten eines Winkels zusätzliche Halblinien einer Geraden sind, wird der Winkel als entwickelt bezeichnet.

Definition 3. Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90 Grad.

Definition 4. Ein Winkel von weniger als 90 Grad wird als spitzer Winkel bezeichnet.

Definition 5. Ein Winkel größer als 90 Grad und kleiner als 180 Grad wird als stumpfer Winkel bezeichnet.
Schnittlinien.

Definition 6. Zwei Winkel, deren eine Seite gemeinsam ist und deren andere Seiten auf derselben Geraden liegen, werden als benachbart bezeichnet.

Definition 7. Winkel, deren Seiten ineinander übergehen, nennt man Vertikalwinkel.
In Abbildung 1:
angrenzend: 1 und 2; 2 und 3; 3 und 4; 4 und 1
vertikal: 1 und 3; 2 und 4
Satz 1. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180 Grad.
Betrachten Sie zum Beweis in Abb. 4 benachbarte Winkel AOB und BOC. Ihre Summe ist der entwickelte Winkel AOC. Daher beträgt die Summe dieser benachbarten Winkel 180 Grad.

Reis. 4

Die Verbindung zwischen Mathematik und Musik

„Wenn ich über Kunst und Wissenschaft nachdenke, über ihre gegenseitigen Verbindungen und Widersprüche, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass Mathematik und Musik an den äußersten Polen des menschlichen Geistes liegen, dass alle kreative spirituelle Aktivität des Menschen durch diese beiden Antipoden begrenzt und bestimmt wird und dass zwischen ihnen liegt alles, was die Menschheit auf dem Gebiet der Wissenschaft und der Kunst geschaffen hat.
G. Neuhaus
Es scheint, dass Kunst ein sehr abstraktes Gebiet der Mathematik ist. Der Zusammenhang zwischen Mathematik und Musik ist jedoch sowohl historisch als auch intern bedingt, obwohl Mathematik die abstrakteste aller Wissenschaften und Musik die abstrakteste Form der Kunst ist.
Die Konsonanz bestimmt den angenehmen Klang einer Saite
Dieses Musiksystem basierte auf zwei Gesetzen, die die Namen zweier großer Wissenschaftler tragen – Pythagoras und Archytas. Das sind die Gesetze:
1. Zwei klingende Saiten bestimmen die Konsonanz, wenn ihre Längen als ganze Zahlen in Beziehung gesetzt werden, die eine Dreieckszahl 10=1+2+3+4 bilden, d. h. wie 1:2, 2:3, 3:4. Darüber hinaus ist das resultierende Intervall umso konsonanter, je kleiner die Zahl n im Verhältnis n:(n+1) (n=1,2,3) ist.
2. Die Schwingungsfrequenz w einer klingenden Saite ist umgekehrt proportional zu ihrer Länge l.
w = a:l,
wobei a ein charakterisierender Koeffizient ist physikalische Eigenschaften Saiten.

Ich werde Ihnen auch eine lustige Parodie über einen Streit zwischen zwei Mathematikern bieten =)

Geometrie um uns herum

Die Geometrie in unserem Leben ist von nicht geringer Bedeutung. Denn wenn man sich umschaut, fällt es nicht schwer zu erkennen, dass wir von verschiedenen geometrischen Formen umgeben sind. Wir begegnen ihnen überall: auf der Straße, im Klassenzimmer, zu Hause, im Park, in der Turnhalle, in der Schulkantine, praktisch überall, wo wir sind. Aber das Thema der heutigen Lektion sind angrenzende Kohlen. Schauen wir uns also um und versuchen, Perspektiven in dieser Umgebung zu finden. Wenn Sie genau auf das Fenster schauen, können Sie erkennen, dass einige Äste benachbarte Ecken bilden, und in den Trennwänden am Tor können Sie viele vertikale Winkel erkennen. Nennen Sie eigene Beispiele für benachbarte Winkel, die Sie in Ihrer Umgebung beobachten.

Übung 1.

1. Auf dem Tisch liegt ein Buch auf einem Bücherständer. Welchen Winkel bildet es?
2. Aber der Student arbeitet an einem Laptop. Welchen Winkel siehst du hier?
3. Welchen Winkel bildet der Bilderrahmen auf dem Ständer?
4. Glauben Sie, dass zwei benachbarte Winkel gleich sein können?

Aufgabe 2.

Vor Ihnen steht eine geometrische Figur. Was ist das für eine Figur, nennen Sie sie? Benennen Sie nun alle angrenzenden Winkel, die Sie auf dieser geometrischen Figur sehen können.

Aufgabe 3.

Hier ist ein Bild einer Zeichnung und eines Gemäldes. Schauen Sie sie sich genau an und sagen Sie mir, welche Fischarten Sie auf dem Bild sehen und welche Winkel Sie auf dem Bild sehen.

Probleme lösen

1) Gegeben sind zwei Winkel, die zueinander im Verhältnis 1:2 stehen und benachbarte Winkel im Verhältnis 7:5 zueinander stehen. Sie müssen diese Winkel finden.
2) Es ist bekannt, dass einer der benachbarten Winkel viermal größer ist als der andere. Wie groß sind die benachbarten Winkel?
3) Es ist notwendig, benachbarte Winkel zu finden, vorausgesetzt, einer von ihnen ist 10 Grad größer als der zweite.

Mathematische Diktate zur Wiederholung zuvor gelernten Materials

1) Vervollständigen Sie die Zeichnung: Geraden a I b schneiden sich im Punkt A. Markieren Sie den kleineren der gebildeten Winkel mit der Zahl 1 und die übrigen Winkel – der Reihe nach mit den Zahlen 2,3,4; Die Komplementärstrahlen der Linie a verlaufen durch a1 und a2 und die Linie b verläuft durch b1 und b2.
2) Tragen Sie anhand der fertigen Zeichnung die notwendigen Bedeutungen und Erläuterungen in die Lücken im Text ein:
a) Winkel 1 und Winkel…. angrenzend, weil...
b) Winkel 1 und Winkel…. vertikal, weil...
c) wenn Winkel 1 = 60°, dann Winkel 2 = ..., weil...
d) wenn Winkel 1 = 60°, dann Winkel 3 = ..., weil...

Probleme lösen:

1. Kann die Summe von 3 Winkeln, die durch den Schnittpunkt von 2 Geraden gebildet werden, 100° betragen? 370°?
2. Finden Sie in der Abbildung alle Paare benachbarter Winkel. Und jetzt die vertikalen Winkel. Benennen Sie diese Winkel.

3. Sie müssen einen Winkel finden, wenn er dreimal größer ist als der benachbarte.
4. Zwei gerade Linien kreuzten sich. Durch diese Kreuzung entstanden vier Ecken. Bestimmen Sie den Wert einer davon, vorausgesetzt:

a) die Summe von 2 von vier Winkeln beträgt 84°;
b) die Differenz zwischen zwei Winkeln beträgt 45°;
c) ein Winkel ist viermal kleiner als der zweite;
d) die Summe dreier dieser Winkel beträgt 290°.

Zusammenfassung der Lektion

1. Nennen Sie die Winkel, die entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden?
2. Benennen Sie alle möglichen Winkelpaare in der Abbildung und bestimmen Sie deren Typ.

Hausaufgaben:

1. Finden Sie eine Einstellung Abschlussmaße benachbarte Winkel, wenn einer von ihnen 54° größer ist als der zweite.
2. Finden Sie die Winkel, die entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden, vorausgesetzt, einer der Winkel ist gleich der Summe von zwei anderen benachbarten Winkeln.
3. Es ist notwendig, benachbarte Winkel zu finden, wenn die Winkelhalbierende eines von ihnen einen Winkel mit der Seite des zweiten bildet, der 60° größer ist als der zweite Winkel.
4. Die Differenz zwischen zwei benachbarten Winkeln beträgt ein Drittel der Summe dieser beiden Winkel. Bestimmen Sie die Werte von 2 benachbarten Winkeln.
5. Differenz und Summe zweier benachbarter Winkel stehen jeweils im Verhältnis 1:5. Finden Sie benachbarte Winkel.
6. Die Differenz zwischen zwei benachbarten beträgt 25 % ihrer Summe. Wie hängen die Werte zweier benachbarter Winkel zusammen? Bestimmen Sie die Werte von 2 benachbarten Winkeln.

Fragen:

1. Was ist ein Winkel?
2. Welche Winkelarten gibt es?
3. Was ist die Eigenschaft benachbarter Winkel?

Fächer > Mathematik > Mathematik 7. Klasse

Wie finde ich einen angrenzenden Winkel?

Mathematik ist die älteste exakte Wissenschaft, die in Schulen, Hochschulen, Instituten und Universitäten obligatorisch studiert wird. Grundkenntnisse werden jedoch immer in der Schule vermittelt. Manchmal werden dem Kind recht komplexe Aufgaben gestellt, aber die Eltern können nicht helfen, weil sie einfach einige Dinge aus der Mathematik vergessen haben. So finden Sie beispielsweise einen angrenzenden Winkel basierend auf der Größe des Hauptwinkels usw. Das Problem ist einfach, kann jedoch zu Schwierigkeiten bei der Lösung führen, da nicht bekannt ist, welche Winkel als benachbart bezeichnet werden und wie man sie findet.

Schauen wir uns die Definition und Eigenschaften benachbarter Winkel genauer an und wie man sie aus den Daten in der Aufgabe berechnet.

Definition und Eigenschaften benachbarter Winkel

Zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen bilden eine Figur, die als „ebener Winkel“ bezeichnet wird. In diesem Fall wird dieser Punkt als Scheitelpunkt des Winkels bezeichnet und die Strahlen sind seine Seiten. Setzt man einen der Strahlen geradlinig über den Startpunkt hinaus fort, so entsteht ein weiterer Winkel, der als angrenzend bezeichnet wird. Jeder Winkel hat in diesem Fall zwei benachbarte Winkel, da die Seiten des Winkels gleichwertig sind. Das heißt, es gibt immer einen angrenzenden Winkel von 180 Grad.

Zu den Haupteigenschaften benachbarter Winkel gehören

• Benachbarte Winkel haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt und eine Seite;
• Die Summe benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad oder Pi, wenn die Berechnung im Bogenmaß erfolgt;
• Die Sinuswerte benachbarter Winkel sind immer gleich;
• Die Kosinus- und Tangenswerte benachbarter Winkel sind gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen.

So finden Sie benachbarte Winkel

Normalerweise werden drei Problemvarianten angegeben, um die Größe benachbarter Winkel zu ermitteln

• Der Wert des Hauptwinkels ist angegeben;
• Angegeben ist das Verhältnis von Haupt- und Nebenwinkel;
• Der Wert des vertikalen Winkels wird angegeben.

Jede Version des Problems hat ihre eigene Lösung. Schauen wir sie uns an.

Der Wert des Hauptwinkels wird angegeben

Wenn das Problem den Wert des Hauptwinkels angibt, ist es sehr einfach, den angrenzenden Winkel zu finden. Subtrahieren Sie dazu einfach den Wert des Hauptwinkels von 180 Grad und Sie erhalten den Wert des angrenzenden Winkels. Diese Lösung basiert auf der Eigenschaft eines angrenzenden Winkels – die Summe benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad.

Wenn der Wert des Hauptwinkels im Bogenmaß angegeben wird und das Problem die Ermittlung des angrenzenden Winkels im Bogenmaß erfordert, muss der Wert des Hauptwinkels von der Zahl Pi subtrahiert werden, da der Wert des vollständig entfalteten Winkels 180 Grad beträgt ist gleich der Zahl Pi.

Angegeben ist das Verhältnis von Haupt- und Nebenwinkel

Das Problem kann das Verhältnis des Hauptwinkels und des angrenzenden Winkels anstelle der Grad- und Bogenmaßwerte des Hauptwinkels angeben. In diesem Fall sieht die Lösung wie eine Proportionsgleichung aus:

1. Den Anteil des Hauptwinkels bezeichnen wir als Variable „Y“.
2. Der auf den angrenzenden Winkel bezogene Bruch wird als Variable „X“ bezeichnet.
3. Die Anzahl der Grade, die auf jede Proportion fallen, wird beispielsweise mit „a“ bezeichnet.
4. Die allgemeine Formel sieht folgendermaßen aus: a*X+a*Y=180 oder a*(X+Y)=180.
5. Wir ermitteln den gemeinsamen Faktor der Gleichung „a“ mithilfe der Formel a=180/(X+Y).
6. Dann multiplizieren wir den resultierenden Wert des gemeinsamen Faktors „a“ mit dem Bruchteil des Winkels, der bestimmt werden muss.

Auf diese Weise können wir den Wert des angrenzenden Winkels in Grad ermitteln. Wenn Sie jedoch einen Wert im Bogenmaß ermitteln müssen, müssen Sie lediglich die Gradzahl in Bogenmaß umrechnen. Multiplizieren Sie dazu den Winkel in Grad mit Pi und dividieren Sie alles durch 180 Grad. Der resultierende Wert wird im Bogenmaß angegeben.

Der Wert des vertikalen Winkels wird angegeben

Wenn das Problem nicht den Wert des Hauptwinkels, sondern den Wert des vertikalen Winkels angibt, kann der angrenzende Winkel mit der gleichen Formel wie im ersten Absatz berechnet werden, wo der Wert des Hauptwinkels angegeben ist.

Ein vertikaler Winkel ist ein Winkel, der vom selben Punkt wie der Hauptwinkel ausgeht, aber in genau die entgegengesetzte Richtung gerichtet ist. Dadurch entsteht ein Spiegelbild. Dies bedeutet, dass der vertikale Winkel in seiner Größe dem Hauptwinkel entspricht. Der angrenzende Winkel des Vertikalwinkels ist wiederum gleich dem angrenzenden Winkel des Hauptwinkels. Dadurch kann der Nebenwinkel des Hauptwinkels berechnet werden. Subtrahieren Sie dazu einfach den vertikalen Wert von 180 Grad und erhalten Sie den Wert des angrenzenden Winkels des Hauptwinkels in Grad.

Wenn der Wert im Bogenmaß angegeben wird, muss der Wert des vertikalen Winkels von der Zahl Pi abgezogen werden, da der Wert des vollen Entfaltungswinkels von 180 Grad gleich der Zahl Pi ist.

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KAPITEL I.

GRUNDLEGENDES KONZEPT.

§elf. ANGRENZENDE UND VERTIKALE ECKEN.

1. Benachbarte Winkel.

Wenn wir die Seite eines beliebigen Winkels über seinen Scheitelpunkt hinaus verlängern, erhalten wir zwei Winkel (Abb. 72): / Und die Sonne und / SVD, bei dem eine Seite BC gemeinsam ist und die anderen beiden A und BD eine gerade Linie bilden.

Zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden eine Gerade bilden, werden benachbarte Winkel genannt.

Benachbarte Winkel können auch auf diese Weise erhalten werden: Wenn wir einen Strahl von einem Punkt auf einer Linie zeichnen (der nicht auf einer bestimmten Linie liegt), erhalten wir benachbarte Winkel.
Zum Beispiel, / ADF und / FDВ - angrenzende Winkel (Abb. 73).

Benachbarte Winkel können unterschiedlichste Positionen einnehmen (Abb. 74).

Benachbarte Winkel ergeben zusammen einen geraden Winkel die Umma zweier benachbarter Winkel ist gleich 2D.

Daher kann ein rechter Winkel als ein Winkel definiert werden, der seinem angrenzenden Winkel entspricht.

Wenn wir die Größe eines der angrenzenden Winkel kennen, können wir die Größe des anderen angrenzenden Winkels ermitteln.

Wenn beispielsweise einer der angrenzenden Winkel 3/5 beträgt D, dann ist der zweite Winkel gleich:

2D- 3 / 5 D= l 2 / 5 D.

2. Vertikale Winkel.

Wenn wir die Seiten des Winkels über seinen Scheitelpunkt hinaus verlängern, erhalten wir vertikale Winkel. In Zeichnung 75 sind die Winkel EOF und AOC vertikal; Die Winkel AOE und COF sind ebenfalls vertikal.

Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels Fortsetzungen der Seiten des anderen Winkels sind.

Lassen / 1 = 7 / 8 D(Abbildung 76). Angrenzend daran / 2 wird gleich 2 sein D- 7 / 8 D, also 1 1/8 D.

Auf die gleiche Weise können Sie berechnen, was sie gleich sind / 3 und / 4.
/ 3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; / 4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(Diagramm 77).

Wir sehen das / 1 = / 3 und / 2 = / 4.

Sie können mehrere weitere gleiche Probleme lösen und erhalten jedes Mal das gleiche Ergebnis: Die vertikalen Winkel sind einander gleich.

Um jedoch sicherzustellen, dass die vertikalen Winkel immer gleich sind, reicht es nicht aus, sie einzeln zu betrachten Zahlenbeispiele, da Schlussfolgerungen, die auf der Grundlage bestimmter Beispiele gezogen werden, manchmal fehlerhaft sein können.

Es ist notwendig, die Gültigkeit der Eigenschaften vertikaler Winkel durch Überlegungen und Beweise zu überprüfen.

Der Beweis kann wie folgt durchgeführt werden (Abb. 78):

/ ein +/ C = 2D;
/ b+/ C = 2D;

(da die Summe benachbarter Winkel 2 beträgt D).

/ ein +/ C = / b+/ C

(da die linke Seite dieser Gleichheit auch gleich 2 ist D, und seine rechte Seite ist ebenfalls gleich 2 D).

Diese Gleichheit beinhaltet den gleichen Winkel Mit.

Wenn wir von gleichen Mengen gleiche Beträge subtrahieren, bleiben gleiche Beträge übrig. Das Ergebnis wird sein: / A = / B, d. h. die vertikalen Winkel sind einander gleich.

Bei der Betrachtung der Frage der vertikalen Winkel haben wir zunächst erläutert, welche Winkel als vertikal bezeichnet werden, d. h. Definition vertikale Winkel.

Dann haben wir ein Urteil (Aussage) über die Gleichheit der vertikalen Winkel gefällt und uns durch Beweise von der Gültigkeit dieses Urteils überzeugt. Solche Urteile, deren Gültigkeit nachgewiesen werden muss, heißen Theoreme. Daher haben wir in diesem Abschnitt eine Definition der vertikalen Winkel gegeben und außerdem einen Satz über ihre Eigenschaften aufgestellt und bewiesen.

In Zukunft werden wir beim Studium der Geometrie immer wieder auf Definitionen und Beweise von Theoremen stoßen müssen.

3. Die Summe der Winkel, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Auf der Zeichnung 79 / 1, / 2, / 3 und / 4 liegen auf einer Seite einer Linie und haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt auf dieser Linie. Zusammengefasst ergeben diese Winkel einen geraden Winkel, d.h.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2D.

Auf der Zeichnung 80 / 1, / 2, / 3, / 4 und / 5 haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt. Die Summe dieser Winkel ist voller Winkel, d.h. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.

Übungen.

1. Einer der angrenzenden Winkel beträgt 0,72 D. Berechnen Sie den Winkel, den die Winkelhalbierenden dieser benachbarten Winkel bilden.

2. Beweisen Sie, dass die Winkelhalbierenden zweier benachbarter Winkel einen rechten Winkel bilden.

3. Beweisen Sie, dass, wenn zwei Winkel gleich sind, auch ihre benachbarten Winkel gleich sind.

4. Wie viele Paare benachbarter Winkel gibt es in der Zeichnung 81?

5. Kann ein Paar benachbarter Winkel aus zwei spitzen Winkeln bestehen? aus zwei stumpfen Winkeln? aus rechten und stumpfen Winkeln? aus einem rechten und spitzen Winkel?

6. Wenn einer der angrenzenden Winkel recht ist, was kann man dann über die Größe des angrenzenden Winkels sagen?

7. Wenn am Schnittpunkt zweier Geraden ein Winkel recht ist, was lässt sich dann über die Größe der anderen drei Winkel sagen?