Hypotenuse im rechten Winkel. Rechtwinkliges Dreieck. Der komplette illustrierte Leitfaden (2019)

Rechtwinkliges Dreieck - Dies ist ein Dreieck, in dem einer der Winkel gerade ist, also 90 Grad beträgt.

Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt (in der Abbildung als angegeben). C oder AB)
Die an den rechten Winkel angrenzende Seite wird Schenkel genannt. Jedes rechtwinklige Dreieck hat zwei Schenkel (in der Abbildung sind sie mit bezeichnet). A und b oder AC und BC)

Formeln und Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks

Formelbezeichnungen:

(siehe Bild oben)

a, b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks

C- Hypotenuse

α, β - spitze Winkel eines Dreiecks

S- Quadrat

H- Höhe von oben abgesenkt rechter Winkel zur Hypotenuse

m a A von der gegenüberliegenden Ecke ( α )

m b- Median zur Seite gezogen B von der gegenüberliegenden Ecke ( β )

m c- Median zur Seite gezogen C von der gegenüberliegenden Ecke ( γ )

IN rechtwinkliges Dreieck eines der Beine ist kleiner als die Hypotenuse(Formel 1 und 2). Diese Eigenschaft ist eine Folge des Satzes des Pythagoras.

Kosinus eines der spitzen Winkel kleiner als eins (Formel 3 und 4). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der vorherigen. Da jedes Bein kleiner als die Hypotenuse ist, ist das Verhältnis von Bein zu Hypotenuse immer kleiner als eins.

Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe Quadrate der Beine (Satz des Pythagoras). (Formel 5). Diese Eigenschaft wird bei der Lösung von Problemen ständig genutzt.

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem halben Produkt der Beine (Formel 6)

Summe der quadrierten Mediane zu den Beinen ist gleich fünf Quadraten des Medians der Hypotenuse und fünf Quadraten der Hypotenuse dividiert durch vier (Formel 7). Zusätzlich zu den oben genannten gibt es 5 weitere Formeln Daher wird empfohlen, dass Sie auch die Lektion „Median eines rechtwinkligen Dreiecks“ lesen, in der die Eigenschaften des Medians ausführlicher beschrieben werden.

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Produkt der Schenkel dividiert durch die Hypotenuse (Formel 8)

Die Quadrate der Beine sind umgekehrt proportional zum Quadrat der zur Hypotenuse abgesenkten Höhe (Formel 9). Diese Identität ist auch eine der Konsequenzen des Satzes des Pythagoras.

Länge der Hypotenuse gleich dem Durchmesser (zwei Radien) des umschriebenen Kreises (Formel 10). Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Durchmesser des Umkreises. Diese Eigenschaft wird häufig zur Problemlösung verwendet.

Beschrifteter Radius V rechtwinkliges Dreieck Kreis kann als die Hälfte des Ausdrucks einschließlich der Summe der Schenkel dieses Dreiecks minus der Länge der Hypotenuse ermittelt werden. Oder als Produkt der Schenkel dividiert durch die Summe aller Seiten (Umfang) eines gegebenen Dreiecks. (Formel 11)
Winkelsinus Beziehung zum Gegenteil dieser Winkel Bein zur Hypotenuse(per Definition von Sinus). (Formel 12). Diese Eigenschaft wird beim Lösen von Problemen verwendet. Wenn Sie die Größe der Seiten kennen, können Sie den Winkel ermitteln, den sie bilden.

Der Kosinus des Winkels A (α, Alpha) in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich Attitüde benachbart dieser Winkel Bein zur Hypotenuse(per Definition von Sinus). (Formel 13)

Durchschnittsniveau

Rechtwinkliges Dreieck. Der komplette illustrierte Leitfaden (2019)

RECHTWINKLIGES DREIECK. ERSTE EBENE.

Bei Problemen ist der rechte Winkel überhaupt nicht notwendig - der untere linke, also müssen Sie lernen, ein rechtwinkliges Dreieck in dieser Form zu erkennen,

und darin

und darin

Was ist gut an einem rechtwinkligen Dreieck? Na ja... zunächst einmal gibt es etwas Besonderes schöne Namen für seine Seiten.

Achtung Zeichnung!

Denken Sie daran und verwechseln Sie nicht: Es gibt zwei Beine und nur eine Hypotenuse(das Einzige, das Einzige und das Längste)!

Nun, wir haben die Namen besprochen, jetzt kommt das Wichtigste: der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras.

Dieser Satz ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck. Es wurde von Pythagoras vor unvordenklichen Zeiten bewiesen und hat seitdem denjenigen, die es kennen, großen Nutzen gebracht. Und das Beste daran ist, dass es einfach ist.

Also, Satz des Pythagoras:

Erinnern Sie sich an den Witz: „Die Hosen des Pythagoras sind auf allen Seiten gleich!“?

Lassen Sie uns dieselben pythagoräischen Hosen zeichnen und sie betrachten.

Sieht es nicht aus wie eine Art Shorts? Nun, auf welchen Seiten und wo sind sie gleich? Warum und woher kam der Witz? Und dieser Witz hängt genau mit dem Satz des Pythagoras zusammen, oder genauer gesagt mit der Art und Weise, wie Pythagoras selbst seinen Satz formulierte. Und er hat es so formuliert:

"Summe Flächen von Quadraten, auf den Beinen gebaut, ist gleich quadratische Fläche, auf der Hypotenuse aufgebaut.“

Klingt es wirklich etwas anders? Und als Pythagoras die Aussage seines Theorems zeichnete, ergab sich genau dieses Bild.

In diesem Bild ist die Summe der Flächen der kleinen Quadrate gleich der Fläche des großen Quadrats. Und damit sich Kinder besser daran erinnern können, dass die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, hat sich jemand Witziger diesen Witz über pythagoreische Hosen ausgedacht.

Warum formulieren wir jetzt den Satz des Pythagoras?

Hat Pythagoras gelitten und über Quadrate gesprochen?

Sehen Sie, in der Antike gab es keine... Algebra! Es gab keine Schilder usw. Es gab keine Inschriften. Können Sie sich vorstellen, wie schrecklich es für die armen alten Schüler war, sich alles in Worten zu merken??! Und wir können uns freuen, dass wir eine einfache Formulierung des Satzes des Pythagoras haben. Wiederholen wir es noch einmal, um uns besser daran zu erinnern:

Es sollte jetzt einfach sein:

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Nun, der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke wurde besprochen. Wenn Sie daran interessiert sind, wie es bewiesen wird, lesen Sie die folgenden Theorieebenen und gehen wir nun weiter ... in den dunklen Wald ... der Trigonometrie! Zu den schrecklichen Worten Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck.

Tatsächlich ist alles gar nicht so beängstigend. Natürlich sollte im Artikel auf die „echte“ Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingegangen werden. Aber ich will es wirklich nicht, oder? Wir können uns freuen: Um Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck zu lösen, können Sie einfach die folgenden einfachen Dinge ausfüllen:

Warum ist alles gleich um die Ecke? Wo ist die Ecke? Um dies zu verstehen, müssen Sie wissen, wie die Aussagen 1 – 4 in Worten geschrieben werden. Schauen Sie, verstehen Sie und erinnern Sie sich!

1.
Eigentlich hört es sich so an:

Was ist mit dem Winkel? Gibt es ein Bein, das der Ecke gegenüberliegt, also ein gegenüberliegendes (für einen Winkel) Bein? Natürlich gibt es! Das ist ein Bein!

Was ist mit dem Winkel? Schauen Sie genau hin. Welches Bein grenzt an die Ecke? Natürlich das Bein. Dies bedeutet, dass für den Winkel das Bein benachbart ist und

Jetzt aufgepasst! Schauen Sie, was wir haben:

Sehen Sie, wie cool es ist:

Kommen wir nun zum Tangens und Kotangens.

Wie kann ich das jetzt in Worte fassen? Wie groß ist das Bein im Verhältnis zum Winkel? Gegenüber natürlich – es „liegt“ gegenüber der Ecke. Was ist mit dem Bein? Angrenzend an die Ecke. Was haben wir also?

Sehen Sie, wie Zähler und Nenner die Plätze getauscht haben?

Und jetzt noch einmal die Ecken und einen Austausch gemacht:

Zusammenfassung

Schreiben wir kurz alles auf, was wir gelernt haben.

Satz des Pythagoras:

Der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Erinnern Sie sich übrigens noch gut daran, was Beine und Hypotenuse sind? Wenn nicht sehr gut, dann schauen Sie sich das Bild an – frischen Sie Ihr Wissen auf

Es ist durchaus möglich, dass Sie den Satz des Pythagoras schon oft verwendet haben, aber haben Sie sich jemals gefragt, warum ein solcher Satz wahr ist? Wie kann ich es beweisen? Machen wir es wie die alten Griechen. Zeichnen wir ein Quadrat mit einer Seite.

Sehen Sie, wie geschickt wir seine Seiten in Längensegmente unterteilt haben!

Nun verbinden wir die markierten Punkte

Hier haben wir jedoch etwas anderes bemerkt, aber Sie selbst schauen sich die Zeichnung an und überlegen, warum das so ist.

Wie groß ist die Fläche des größeren Quadrats? Rechts, . Wie wäre es mit einer kleineren Fläche? Sicherlich, . Die Gesamtfläche der vier Ecken bleibt erhalten. Stellen Sie sich vor, wir hätten jeweils zwei davon genommen und sie mit ihren Hypotenusen aneinander gelehnt. Was ist passiert? Zwei Rechtecke. Das bedeutet, dass die Fläche der „Schnitte“ gleich ist.

Lassen Sie uns jetzt alles zusammenfügen.

Lassen Sie uns transformieren:

Also besuchten wir Pythagoras – wir bewiesen seinen Satz auf antike Weise.

Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten folgende Beziehungen:

Der Sinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis gegenüberliegendes Bein zur Hypotenuse

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite.

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Und das alles noch einmal in Form eines Tablets:

Es ist sehr bequem!

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

I. Auf zwei Seiten

II. Durch Bein und Hypotenuse

III. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel

IV. Entlang des Beins und spitzer Winkel

Aufmerksamkeit! Dabei ist es sehr wichtig, dass die Beine „passend“ sind. Wenn es zum Beispiel so läuft:

DANN SIND DREIECKE NICHT GLEICH, obwohl sie einen identischen spitzen Winkel haben.

Müssen In beiden Dreiecken war das Bein benachbart oder in beiden gegenüberliegend.

Ist Ihnen aufgefallen, wie sich die Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken von den üblichen Gleichheitszeichen von Dreiecken unterscheiden? Schauen Sie sich das Thema an und achten Sie darauf, dass für die Gleichheit „gewöhnlicher“ Dreiecke drei ihrer Elemente gleich sein müssen: zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen oder drei Seiten. Für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke genügen jedoch nur zwei entsprechende Elemente. Großartig, oder?

Ähnlich verhält es sich mit den Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke

I. Entlang eines spitzen Winkels

II. Auf zwei Seiten

III. Durch Bein und Hypotenuse

Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Warum ist das so?

Betrachten Sie anstelle eines rechtwinkligen Dreiecks ein ganzes Rechteck.

Zeichnen wir eine Diagonale und betrachten einen Punkt – den Schnittpunkt der Diagonalen. Was wissen Sie über die Diagonalen eines Rechtecks?

Und was folgt daraus?

Es stellte sich also heraus

- Median:

Denken Sie an diese Tatsache! Hilft sehr!

Noch überraschender ist, dass auch das Gegenteil der Fall ist.

Welchen Nutzen kann man aus der Tatsache ziehen, dass der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse ist? Schauen wir uns das Bild an

Schauen Sie genau hin. Wir haben: , also die Abstände vom Punkt zu allen drei Gipfel Es stellte sich heraus, dass die Dreiecke gleich waren. Aber es gibt nur einen Punkt im Dreieck, dessen Abstände von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich sind, und das ist der KREISMITTELPUNKT. Also was ist passiert?

Beginnen wir also mit diesem „Außerdem ...“.

Schauen wir uns an und.

Aber ähnliche Dreiecke haben alle gleiche Winkel!

Das Gleiche gilt für und

Jetzt lasst es uns zusammenfassen:

Welchen Nutzen lässt sich aus dieser „dreifachen“ Ähnlichkeit ziehen?

Nun, zum Beispiel - zwei Formeln für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks.

Schreiben wir die Beziehungen der entsprechenden Parteien auf:

Um die Höhe zu ermitteln, lösen wir die Proportionen und erhalten die erste Formel „Höhe im rechtwinkligen Dreieck“:

Wenden wir also die Ähnlichkeit an: .

Was wird jetzt passieren?

Wieder lösen wir das Verhältnis und erhalten die zweite Formel:

Sie müssen sich beide Formeln gut merken und die bequemere verwenden. Schreiben wir sie noch einmal auf

Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel: .

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke:

auf zwei Seiten:
nach Bein und Hypotenuse: oder
entlang des Beins und des angrenzenden spitzen Winkels: oder
entlang des Beins und im entgegengesetzten spitzen Winkel: oder
durch Hypotenuse und spitzen Winkel: oder.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

eine spitze Ecke: oder
aus der Proportionalität zweier Beine:
aus der Proportionalität von Bein und Hypotenuse: oder.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck

Der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse:
Der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:
Der Tangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:
Der Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite: .

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks: oder.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der vom Scheitelpunkt des rechten Winkels ausgehende Median gleich der halben Hypotenuse: .

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

über Beine:

(ABC) und seine Eigenschaften, die in der Abbildung dargestellt sind. Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse – die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Tipp 1: So ermitteln Sie die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Das Bild zeigt die Seiten AD, DC und BD, DC- Beine und Seiten Wechselstrom Und NE- Hypotenuse.

Satz 1. In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 30° durchbricht das diesem Winkel gegenüberliegende Bein die Hälfte der Hypotenuse.

AB- Hypotenuse;

ANZEIGE Und DВ

Dreieck
Es gibt einen Satz:
Kommentarsystem gackernE

Lösung: 1) Die Diagonalen jedes Rechtecks sind gleich. 2) Wenn ein Dreieck einen spitzen Winkel hat, dann ist dieses Dreieck spitz. Nicht wahr. Arten von Dreiecken. Ein Dreieck heißt spitz, wenn alle drei seiner Winkel spitz sind, also kleiner als 90° 3) Wenn der Punkt auf liegt.

Oder, in einem anderen Eintrag,

Nach dem Satz des Pythagoras

Wie lautet die Formel für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks?

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, kann je nach den Daten in der Problemstellung auf die eine oder andere Weise ermittelt werden.

Oder, in einem anderen Eintrag,

Dabei sind BK und KC die Projektionen der Schenkel auf die Hypotenuse (die Segmente, in die die Höhe die Hypotenuse unterteilt).

Die Höhe zur Hypotenuse lässt sich durch die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln. Wenn wir die Formel anwenden, um die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln

(das halbe Produkt aus einer Seite und der zu dieser Seite gezogenen Höhe) zur Hypotenuse und der zur Hypotenuse gezogenen Höhe erhalten wir:

Von hier aus können wir die Höhe als Verhältnis der doppelten Fläche des Dreiecks zur Länge der Hypotenuse ermitteln:

Da die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts der Schenkel ist:

Das heißt, die Länge der zur Hypotenuse gezogenen Höhe ist gleich dem Verhältnis des Produkts der Beine zur Hypotenuse. Wenn wir die Längen der Beine mit a und b bezeichnen, die Länge der Hypotenuse mit c, kann die Formel umgeschrieben werden als

Da der Radius des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse ist, kann die Länge der Höhe in Form der Schenkel und des Radius des umschriebenen Kreises ausgedrückt werden:

Da die zur Hypotenuse gezogene Höhe zwei weitere rechtwinklige Dreiecke bildet, kann ihre Länge durch die Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck ermittelt werden.

Aus rechtwinkligem Dreieck ABK

Vom rechtwinkligen Dreieck ACK

Die Länge der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks kann durch die Länge der Schenkel ausgedrückt werden. Als

Nach dem Satz des Pythagoras

Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren:

Sie können eine andere Formel erhalten, um die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit seinen Schenkeln in Beziehung zu setzen:

Wie lautet die Formel für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks?

Rechtwinkliges Dreieck. Durchschnittsniveau.

Möchten Sie Ihre Stärke testen und erfahren, wie gut Sie für das Einheitliche Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen vorbereitet sind?

Der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Erinnern Sie sich übrigens noch gut daran, was Beine und Hypotenuse sind? Wenn nicht sehr gut, dann schauen Sie sich das Bild an – frischen Sie Ihr Wissen auf

Sehen Sie, wie geschickt wir seine Seiten in Längensegmente unterteilt haben!

Nun verbinden wir die markierten Punkte

Hier haben wir jedoch etwas anderes bemerkt, aber Sie selbst schauen sich die Zeichnung an und überlegen, warum das so ist.

Lassen Sie uns jetzt alles zusammenfügen.

Also besuchten wir Pythagoras – wir bewiesen seinen Satz auf antike Weise.

Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten folgende Beziehungen:

Der Sinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite.

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Und das alles noch einmal in Form eines Tablets:

Ist Ihnen eine sehr praktische Sache aufgefallen? Schauen Sie sich das Schild genau an.

Es ist sehr bequem!

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

II. Durch Bein und Hypotenuse

III. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel

IV. Entlang des Beins und spitzer Winkel

Aufmerksamkeit! Dabei ist es sehr wichtig, dass die Beine „passend“ sind. Wenn es zum Beispiel so läuft:

DANN SIND DREIECKE NICHT GLEICH, obwohl sie einen identischen spitzen Winkel haben.

Müssen In beiden Dreiecken war das Bein benachbart oder in beiden gegenüberliegend.

Ist Ihnen aufgefallen, wie sich die Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken von den üblichen Gleichheitszeichen von Dreiecken unterscheiden? Schauen Sie sich das Thema „Dreieck“ an und achten Sie darauf, dass für die Gleichheit „gewöhnlicher“ Dreiecke drei ihrer Elemente gleich sein müssen: zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen, oder drei Seiten. Für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke genügen jedoch nur zwei entsprechende Elemente. Großartig, oder?

Ähnlich verhält es sich mit den Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke

III. Durch Bein und Hypotenuse

Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Betrachten Sie anstelle eines rechtwinkligen Dreiecks ein ganzes Rechteck.

Zeichnen wir eine Diagonale und betrachten den Punkt, an dem sich die Diagonalen schneiden. Was wissen Sie über die Diagonalen eines Rechtecks?

Der Schnittpunkt der Diagonalen wird in zwei Hälften geteilt. Die Diagonalen sind gleich.

Und was folgt daraus?

Es stellte sich also heraus

Denken Sie an diese Tatsache! Hilft sehr!

Noch überraschender ist, dass auch das Gegenteil der Fall ist.

Welchen Nutzen kann man aus der Tatsache ziehen, dass der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse ist? Schauen wir uns das Bild an

Schauen Sie genau hin. Wir haben: , das heißt, die Abstände vom Punkt zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks waren gleich. Aber es gibt nur einen Punkt im Dreieck, dessen Abstände von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich sind, und das ist der KREISMITTELPUNKT. Also was ist passiert?

Beginnen wir mit diesem „Außerdem“. "

Aber ähnliche Dreiecke haben alle gleiche Winkel!

Das Gleiche gilt für und

Jetzt lasst es uns zusammenfassen:

Sie haben die gleichen scharfen Winkel!

Welchen Nutzen lässt sich aus dieser „dreifachen“ Ähnlichkeit ziehen?

Nun, zum Beispiel - Zwei Formeln für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks.

Schreiben wir die Beziehungen der entsprechenden Parteien auf:

Um die Höhe zu ermitteln, lösen wir die Proportionen und erhalten Die erste Formel „Höhe im rechtwinkligen Dreieck“:

Wie bekomme ich ein zweites?

Wenden wir nun die Ähnlichkeit von Dreiecken an und.

Wenden wir also die Ähnlichkeit an: .

Was wird jetzt passieren?

Wieder lösen wir das Verhältnis und erhalten die zweite Formel „Höhe im rechtwinkligen Dreieck“:

Sie müssen sich beide Formeln gut merken und die bequemere verwenden. Schreiben wir sie noch einmal auf

Nun, indem Sie dieses Wissen anwenden und mit anderen kombinieren, werden Sie jedes Problem mit einem rechtwinkligen Dreieck lösen!

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Eigenschaft der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das auf die Hypotenuse fällt

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Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck (ABC) und seine Eigenschaften, die in der Abbildung dargestellt sind. Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse – die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Das Bild zeigt die Seiten AD, DC und BD, DC- Beine und Seiten Wechselstrom Und NE- Hypotenuse.

Gleichheitszeichen eines rechtwinkligen Dreiecks:

Satz 1. Wenn die Hypotenuse und der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks der Hypotenuse und dem Schenkel eines anderen Dreiecks ähnlich sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Satz 2. Wenn zwei Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich zwei Schenkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Satz 3. Wenn die Hypotenuse und der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks der Hypotenuse und dem spitzen Winkel eines anderen Dreiecks ähnlich sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Satz 4. Wenn ein Schenkel und ein angrenzender (entgegengesetzter) spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich einem Schenkel und ein angrenzender (entgegengesetzter) spitzer Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Eigenschaften eines Beins gegenüber einem Winkel von 30°:

Satz 1.

Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 30° bricht das diesem Winkel gegenüberliegende Bein die Hälfte der Hypotenuse.

Satz 2. Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel gleich der halben Hypotenuse ist, dann beträgt der Winkel gegenüber ihm 30°.

Zieht man die Höhe vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse, so wird ein solches Dreieck in zwei kleinere geteilt, die dem ausgehenden ähnlich und einander ähnlich sind. Daraus ergeben sich folgende Schlussfolgerungen:

Die Höhe ist das geometrische Mittel (proportionales Mittel) der beiden Abschnitte der Hypotenuse.
Jeder Schenkel des Dreiecks ist im Mittel proportional zur Hypotenuse und den angrenzenden Segmenten.

In einem rechtwinkligen Dreieck fungieren die Schenkel als Höhen. Das Orthozentrum ist der Punkt, an dem sich die Höhen des Dreiecks schneiden. Es fällt mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels der Figur zusammen.

hC- die Höhe, die aus dem rechten Winkel des Dreiecks entsteht;

AB- Hypotenuse;

ANZEIGE Und DВ- Segmente, die beim Teilen der Hypotenuse durch die Höhe entstehen.

Zurück zur Anzeige von Informationen zur Disziplin „Geometrie“

Dreieck- Das geometrische Figur, bestehend aus drei Punkten (Eckpunkten), die nicht auf derselben Geraden liegen, und drei Segmenten, die diese Punkte verbinden. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, dessen einer Winkel 90° beträgt (ein rechter Winkel).
Es gibt einen Satz: Die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 90°.
Kommentarsystem gackernE

Stichworte: Dreieck, rechter Winkel, Bein, Hypotenuse, Satz des Pythagoras, Kreis

Das Dreieck heißt rechteckig wenn es einen rechten Winkel hat.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei zueinander senkrechte Seiten, genannt Beine; seine dritte Seite heißt Hypotenuse.

Aufgrund der Eigenschaften der Senkrechten und Schrägen ist die Hypotenuse länger als jedes der Beine (jedoch kürzer als deren Summe).
Die Summe zweier spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich einem rechten Winkel.
Zwei Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks fallen mit seinen Schenkeln zusammen. Daher liegt einer der vier bemerkenswerten Punkte an den Eckpunkten des rechten Winkels des Dreiecks.
Der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks liegt in der Mitte der Hypotenuse.
Der Median eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse gezogen wird, ist der Radius des Kreises, der dieses Dreieck umschreibt.

Betrachten Sie ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck ABC und zeichnen Sie die Höhe CD = hc vom Scheitelpunkt C seines rechten Winkels.

Es wird das gegebene Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke ACD und BCD aufteilen; Jedes dieser Dreiecke hat einen gemeinsamen spitzen Winkel mit dem Dreieck ABC und ist daher dem Dreieck ABC ähnlich.

Alle drei Dreiecke ABC, ACD und BCD sind einander ähnlich.

Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken werden folgende Beziehungen ermittelt:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Satz des Pythagoras einer der Grundsätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks festlegt.

Geometrische Formulierung. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse gebildeten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen gebildeten Quadrate.

Algebraische Formulierung. In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.
Das heißt, wir bezeichnen die Länge der Hypotenuse des Dreiecks mit c und die Längen der Schenkel mit a und b:
a2 + b2 = c2

Umgekehrter Satz des Pythagoras.

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Für jedes Tripel positiver Zahlen a, b und c, so dass
a2 + b2 = c2,
Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a und b und der Hypotenuse c.

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke:

entlang des Beins und der Hypotenuse;
auf zwei Beinen;
entlang des Beins und spitzer Winkel;
entlang der Hypotenuse und des spitzen Winkels.

Siehe auch:
Fläche eines Dreiecks, gleichschenkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck

Geometrie. 8 Klasse. Prüfen 4. Möglichkeit 1 .

ANZEIGE : CD = CD : B.D. Daher ist CD2 = AD ∙ B.D. Man sagt:

ANZEIGE : Wechselstrom = Wechselstrom : AB. Daher AC2 = AB ∙ ANZEIGE. Man sagt:

BD : BC = BC : AB. Daher BC2 = AB ∙ B.D.

Probleme lösen:

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Die Höhe eines zur Hypotenuse gezogenen rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in die Segmente 9 und 36.

Bestimmen Sie die Länge dieser Höhe.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

8. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist 30.

Wie finde ich die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck?

Bestimmen Sie den Abstand vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse, wenn der Radius des um dieses Dreieck beschriebenen Kreises 17 beträgt.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Überprüfen Sie die Antworten!

G8.04.1. Proportionale Segmente in einem rechtwinkligen Dreieck

Geometrie. 8 Klasse. Prüfen 4. Möglichkeit 1 .

In Δ ABC ∠ACV = 90°. AC- und BC-Beine, AB-Hypotenuse.

CD ist die Höhe des Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird.

AD-Projektion des Bein-AC auf die Hypotenuse,

BD-Projektion des BC-Schenkels auf die Hypotenuse.

Die Höhe CD teilt das Dreieck ABC in zwei diesem (und einander) ähnliche Dreiecke: Δ ADC und Δ CDB.

Aus der Proportionalität der Seiten ähnlicher Δ ADC und Δ CDB folgt:

ANZEIGE : CD = CD : B.D.

Eigenschaft der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das auf die Hypotenuse fällt.

Daher ist CD2 = AD ∙ B.D. Man sagt: Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird,ist der durchschnittliche Proportionalwert zwischen den Projektionen der Beine auf die Hypotenuse.

Aus der Ähnlichkeit von Δ ADC und Δ ACB folgt:

ANZEIGE : Wechselstrom = Wechselstrom : AB. Daher AC2 = AB ∙ ANZEIGE. Man sagt: Jeder Schenkel ist der durchschnittliche Proportionalwert zwischen der gesamten Hypotenuse und der Projektion dieses Schenkels auf die Hypotenuse.

Ebenso folgt aus der Ähnlichkeit von Δ CDB und Δ ACB:

BD : BC = BC : AB. Daher BC2 = AB ∙ B.D.

Probleme lösen:

1. Bestimmen Sie die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, wenn es die Hypotenuse in Abschnitte von 25 cm und 81 cm unterteilt.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, teilt die Hypotenuse in die Segmente 9 und 36. Bestimmen Sie die Länge dieser Höhe.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, beträgt 22, die Projektion eines der Schenkel beträgt 16. Finden Sie die Projektion des anderen Schenkels.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist 18 und seine Projektion auf die Hypotenuse ist 12. Finden Sie die Hypotenuse.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Die Hypotenuse ist gleich 32. Finden Sie die Seite, deren Projektion auf die Hypotenuse gleich 2 ist.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 45. Finden Sie die Seite, deren Projektion auf die Hypotenuse 9 ist.

8. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 30. Ermitteln Sie den Abstand vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse, wenn der Radius des um dieses Dreieck beschriebenen Kreises 17 beträgt.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 41 und die Projektion eines der Schenkel beträgt 16. Ermitteln Sie die Länge der Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse gezogen wird.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Der Unterschied in den Projektionen der Beine auf die Hypotenuse beträgt 15 und der Abstand vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse beträgt 4. Finden Sie den Radius des umschriebenen Kreises.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.