Was ist der Sinus der Summe? Grundlegende trigonometrische Identitäten
In diesem Artikel werden wir darüber sprechen universelle trigonometrische Substitution. Dabei werden Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines beliebigen Winkels durch den Tangens eines halben Winkels ausgedrückt. Darüber hinaus erfolgt ein solcher Austausch rational, also ohne Wurzeln.
Zuerst werden wir Formeln aufschreiben, die Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Tangens eines halben Winkels ausdrücken. Als nächstes zeigen wir die Ableitung dieser Formeln. Schauen wir uns abschließend noch ein paar Beispiele für die Verwendung des Universellen an trigonometrische Substitution.
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Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens durch den Tangens eines halben Winkels
Schreiben wir zunächst vier Formeln auf, die Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels durch den Tangens eines halben Winkels ausdrücken.
Die angegebenen Formeln gelten für alle Winkel, unter denen die darin enthaltenen Tangenten und Kotangenten definiert sind:
Formeln ableiten
Lassen Sie uns die Ableitung von Formeln analysieren, die Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels durch den Tangens eines halben Winkels ausdrücken. Beginnen wir mit den Formeln für Sinus und Cosinus.
Stellen wir Sinus und Cosinus mit den Doppelwinkelformeln dar als 
Und 
jeweils. Nun die Ausdrücke 
Und 
wir schreiben es in Form von Brüchen mit dem Nenner 1 als 
Und 
. Als nächstes ersetzen wir basierend auf der trigonometrischen Hauptidentität die Einheiten im Nenner durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus, woraufhin wir erhalten 
Und 
. Schließlich dividieren wir Zähler und Nenner der resultierenden Brüche durch (sein Wert ist von Null verschieden). 
). Im Ergebnis sieht die gesamte Aktionskette so aus: 
Und 
Damit ist die Ableitung von Formeln abgeschlossen, die Sinus und Cosinus durch den Tangens eines halben Winkels ausdrücken.
Es bleiben noch Formeln für Tangens und Kotangens abzuleiten. Unter Berücksichtigung der oben erhaltenen Formeln sind nun beide Formeln und 
erhalten wir sofort Formeln, die Tangens und Kotangens durch den Tangens des Halbwinkels ausdrücken: 
Wir haben also alle Formeln für die universelle trigonometrische Substitution abgeleitet.
Beispiele für die Verwendung der universellen trigonometrischen Substitution
Schauen wir uns zunächst ein Beispiel für die Verwendung der universellen trigonometrischen Substitution bei der Transformation von Ausdrücken an.
Beispiel.
Geben Sie einen Ausdruck 
zu einem Ausdruck, der nur eine trigonometrische Funktion enthält.
Lösung.
Antwort:
.
Referenzliste.
- Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Durchschn. Schule/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Education, 1990.- 272 S.: Abb.- ISBN 5-09-002727-7
- Baschmakow M. I. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch. für 10-11 Klassen. Durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Bildung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Education, 2004. – 384 Seiten: Abb. – ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.
Die Konzepte Sinus (), Cosinus (), Tangens (), Kotangens () sind untrennbar mit dem Konzept des Winkels verbunden. Um diese auf den ersten Blick komplexen Konzepte (die bei vielen Schulkindern einen Zustand des Grauens auslösen) gut zu verstehen und um sicherzustellen, dass „der Teufel nicht so schrecklich ist, wie er dargestellt wird“, beginnen wir mit dem ganz am Anfang und verstehe das Konzept eines Winkels.
Winkelkonzept: Bogenmaß, Grad
Schauen wir uns das Bild an. Der Vektor hat sich relativ zum Punkt um einen bestimmten Betrag „gedreht“. Das Maß dieser Drehung relativ zur Ausgangsposition ist also Ecke.
Was müssen Sie sonst noch über das Konzept des Winkels wissen? Nun, natürlich, Winkeleinheiten!
Winkel können sowohl in der Geometrie als auch in der Trigonometrie in Grad und Bogenmaß gemessen werden.
Ein Winkel von (einem Grad) wird aufgerufen Zentralwinkel in einem Kreis, basierend auf einem Kreisbogen, der einem Teil des Kreises entspricht. Somit besteht der gesamte Kreis aus „Teilen“ von Kreisbögen, oder der vom Kreis beschriebene Winkel ist gleich.
Das heißt, die obige Abbildung zeigt einen Winkel gleich, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen mit der Größe des Umfangs.
Ein Winkel im Bogenmaß ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Na, hast du es herausgefunden? Wenn nicht, dann lassen Sie es uns anhand der Zeichnung herausfinden.
Die Abbildung zeigt also einen Winkel gleich einem Bogenmaß, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist (die Länge ist gleich der Länge oder der Radius ist gleich der Länge des Bogens). Somit wird die Bogenlänge nach folgender Formel berechnet:
Wo ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß?
Nun, wenn Sie das wissen, können Sie dann antworten, wie viele Bogenmaße in dem Winkel enthalten sind, der durch den Kreis beschrieben wird? Ja, dafür müssen Sie sich die Formel für den Umfang merken. Da ist sie:
Nun wollen wir diese beiden Formeln korrelieren und feststellen, dass der durch den Kreis beschriebene Winkel gleich ist. Das heißt, indem wir den Wert in Grad und Bogenmaß korrelieren, erhalten wir das. Jeweils, . Wie Sie sehen, wird im Gegensatz zu „Grad“ das Wort „Radiant“ weggelassen, da die Maßeinheit normalerweise aus dem Kontext klar hervorgeht.
Wie viele Radianten gibt es? Alles ist richtig!
Habe es? Dann machen Sie weiter und beheben Sie das Problem:
Haben Sie Schwierigkeiten? Dann schau Antworten:
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Cosinus, Tangens, Winkelkotangens
Also haben wir das Konzept eines Winkels herausgefunden. Aber was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels? Lass es uns herausfinden. Dabei hilft uns ein rechtwinkliges Dreieck.
Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite); Beine sind die beiden verbleibenden Seiten und (die angrenzenden). rechter Winkel), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel betrachten, dann ist das Bein das benachbarte Bein und das Bein das Gegenteil. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?
Winkelsinus- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck.
Kosinus des Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck.
Tangente des Winkels- Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).
In unserem Dreieck.
Kotangens des Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).
In unserem Dreieck.
Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein in was unterteilt werden soll, müssen Sie dies klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieses hier:
Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;
Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.
Zunächst müssen Sie bedenken, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (im gleichen Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann vergewissern Sie sich anhand des Bildes:
Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus eines Winkels. Per Definition aus einem Dreieck: , aber wir können den Kosinus eines Winkels aus einem Dreieck berechnen: . Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist der gleiche. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.
Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!
Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck finden wir.
Na, hast du es verstanden? Dann probieren Sie es selbst: Berechnen Sie das Gleiche auch für den Winkel.
Einheitskreis (trigonometrisch).
Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich. Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.
Wie du sehen kannst, gegebener Kreis eingebaut Kartesisches System Koordinaten Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).
Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.
Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:
Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:
Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.
Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.
Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:
Was hat sich geändert? in diesem Beispiel? Lass es uns herausfinden. Wenden wir uns dazu noch einmal an rechtwinkliges Dreieck. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:
Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.
Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.
Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.
Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.
Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.
Die Abbildung unten zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden
Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:
Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:
Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:
Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:
Existiert nicht;
Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.
Antworten:
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:
Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:
Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:
Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:
Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:
Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ stimmt überein und der Nenner „ “ stimmt überein. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.
Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis
Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?
Natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes.
Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:
Wir wissen, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:
Dann haben wir das für die Punktkoordinate.
Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,
Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:
Koordinaten des Kreismittelpunkts,
Kreisradius,
Der Drehwinkel des Vektorradius.
Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich Eins sind:
Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden.
1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.
5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.
Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?
Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie gut darin, sie zu lösen) und Sie werden lernen, sie zu finden!
1.
Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:
2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:
Das merkt man. Wir wissen, was zwei vollen Umdrehungen des Startpunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:
Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:
Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:
Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Zu wissen, dass die Tabellenwerte von Kosinus und Sinus gleich sind, und festgestellt zu haben, dass der Kosinus hier annimmt negative Bedeutung, und der Sinus ist positiv, wir haben:
Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
4.
Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)
Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:
Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:
Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo
Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel
Kreisradius (nach Bedingung)
Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).
Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:
und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.
Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.
Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.
Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der benachbarten (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.
Einer der Bereiche der Mathematik, mit denen Schüler am meisten zu kämpfen haben, ist die Trigonometrie. Es ist nicht verwunderlich: Um dieses Wissensgebiet frei zu beherrschen, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens mithilfe von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in verwenden zu können Berechnungen. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweisen von Theoremen in der Lage sein, die Trigonometrie anzuwenden, und dies erfordert entweder ein ausgeprägtes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.
Ursprünge der Trigonometrie
Wenn Sie sich mit dieser Wissenschaft vertraut machen, sollten Sie mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels beginnen. Zunächst müssen Sie jedoch verstehen, was die Trigonometrie im Allgemeinen bewirkt.
Historisch gesehen waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptforschungsobjekt in diesem Zweig der Mathematik. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht die Durchführung verschiedene Operationen, wodurch Sie die Werte aller Parameter der betreffenden Figur anhand von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite bestimmen können. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.
Erste Stufe
Über den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seiten wurde zunächst ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke gesprochen. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Anwendungsgrenzen zu erweitern Alltagsleben Dieser Zweig der Mathematik.
Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, danach nutzen die Schüler die erworbenen Kenntnisse in Physik und lösen abstrakte trigonometrische Gleichungen, die in der High School beginnen.
Sphärische Trigonometrie
Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Kugelgeometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Winkelsumme in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist zumindest deshalb notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen Erdoberfläche, und die Oberfläche jedes anderen Planeten ist konvex, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung im dreidimensionalen Raum „bogenförmig“ ist.
Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten des Globus, sodass er gespannt ist. Bitte beachten Sie, dass es die Form eines Bogens angenommen hat. Mit solchen Formen beschäftigt sich die Kugelgeometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen Anwendung findet.
Rechtwinkliges Dreieck
Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.
Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Es ist das längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein numerischer Wert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.
Wenn die beiden Seiten beispielsweise 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.
Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Darüber hinaus müssen wir bedenken, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt rechteckiges System Koordinaten beträgt 180 Grad.
Definition
Mit einem guten Verständnis der geometrischen Grundlagen kann man sich schließlich der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis benachbartes Bein zur Hypotenuse.
Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Warum? Weil die Hypotenuse standardmäßig die längste ist. Egal wie lang das Bein ist, es wird kürzer als die Hypotenuse sein, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in Ihrer Antwort auf eine Aufgabe einen Sinus- oder Kosinuswert mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in den Berechnungen oder der Argumentation. Diese Antwort ist eindeutig falsch.
Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Die Division des Sinus durch den Cosinus führt zum gleichen Ergebnis. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Länge der Seite durch die Hypotenuse, dividieren dann durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Somit erhalten wir die gleiche Beziehung wie bei der Definition der Tangente.
Der Kotangens ist dementsprechend das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir eins durch die Tangente dividieren.
Wir haben uns also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens angesehen und können nun mit den Formeln fortfahren.
Die einfachsten Formeln
In der Trigonometrie kommt man ohne Formeln nicht aus – wie findet man Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Aber genau das ist bei der Lösung von Problemen erforderlich.
Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, spart jedoch Zeit, wenn Sie die Größe des Winkels und nicht die Seite kennen müssen.
Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch bei der Lösung von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Dies ist die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur dass beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus geteilt wurden. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, Transformationsregeln und einige Grundformeln kennen, können Sie jederzeit die erforderlichen komplexeren Formeln auf einem Blatt Papier ableiten.
Formeln für Doppelwinkel und Addition von Argumenten
Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Cosinus für die Summe und Differenz von Winkeln. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.
Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verknüpft sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet – versuchen Sie als Training, sie selbst zu erhalten, indem Sie den Alpha-Winkel einnehmen gleich dem Winkel Beta.
Beachten Sie abschließend, dass Doppelwinkelformeln neu angeordnet werden können, um die Potenz von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu reduzieren.
Theoreme
Die beiden Hauptsätze der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Theoreme können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.
Der Sinussatz besagt, dass wir erhalten, wenn wir die Länge jeder Seite eines Dreiecks durch den entgegengesetzten Winkel dividieren selbe Nummer. Darüber hinaus entspricht diese Zahl zwei Radien des umschriebenen Kreises, also des Kreises, der alle Punkte eines gegebenen Dreiecks enthält.
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass man von der Summe der Quadrate der beiden Seiten deren Produkt multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels subtrahiert – der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Somit erweist sich der Satz des Pythagoras als Sonderfall des Kosinussatzes.
Flüchtigkeitsfehler
Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man aufgrund von Geistesabwesenheit oder einem Fehler bei den einfachsten Berechnungen leicht einen Fehler machen. Um solche Fehler zu vermeiden, werfen wir einen Blick auf die beliebtesten.
Erstens sollten Sie Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten – Sie können die Antwort so belassen gemeinsamer Bruch, sofern in den Bedingungen nichts anderes angegeben ist. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, es sollte jedoch beachtet werden, dass in jeder Phase des Problems neue Wurzeln entstehen können, die nach Ansicht des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Ihre Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Dies gilt insbesondere für Werte wie die Wurzel aus drei oder die Wurzel aus zwei, da sie bei jedem Schritt in Problemen vorkommen. Das Gleiche gilt für das Runden „hässlicher“ Zahlen.
Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz auf jedes Dreieck anwendbar ist, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Doppelte des Produkts aus den Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Unverständnis für das Thema. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.
Drittens verwechseln Sie nicht die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad für Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Es ist leicht, sie zu verwechseln, was unweigerlich zu einem falschen Ergebnis führt.
Anwendung
Viele Studierende haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie deren praktische Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Das sind Konzepte, mit denen man die Entfernung zu entfernten Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen oder eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken kann. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung einer Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.
Abschließend
Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.
Der Sinn der Trigonometrie besteht darin, dass man mithilfe der bekannten Parameter eines Dreiecks die Unbekannten berechnen muss. Insgesamt gibt es sechs Parameter: die Länge von drei Seiten und die Größe von drei Winkeln. Der einzige Unterschied bei den Aufgaben besteht darin, dass unterschiedliche Eingabedaten angegeben werden.
Sie wissen jetzt, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens anhand der bekannten Längen der Beine oder der Hypotenuse ermitteln. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel einer Trigonometrieaufgabe darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die reguläre Schulmathematik.
Die Beziehungen zwischen den grundlegenden trigonometrischen Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens – werden angegeben trigonometrische Formeln. Und da zwischen trigonometrischen Funktionen viele Zusammenhänge bestehen, erklärt dies die Fülle trigonometrischer Formeln. Manche Formeln verbinden trigonometrische Funktionen der gleiche Winkel, andere - Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu reduzieren, vierte - drücken Sie alle Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels usw. aus.
In diesem Artikel werden wir alle grundlegenden trigonometrischen Formeln der Reihe nach auflisten, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Um das Auswendiglernen und Verwenden zu erleichtern, werden wir sie nach Zweck gruppieren und in Tabellen eintragen.
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Grundlegende trigonometrische Identitäten
Grundlegende trigonometrische Identitäten Definieren Sie die Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Konzept des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine beliebige andere auszudrücken.
Eine detaillierte Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihrer Ableitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.
Reduktionsformeln
Reduktionsformeln ergeben sich aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, d. h. sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie sowie die Eigenschaft der Verschiebung um einen gegebenen Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln im Bereich von 0 bis 90 Grad übergehen.
Die Begründung dieser Formeln, eine Gedächtnisregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel untersucht werden.
Additionsformeln
Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel als trigonometrische Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.
Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel
Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie trigonometrische Funktionen von Doppel, Dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Ableitung basiert auf Additionsformeln.
Genauere Informationen finden Sie im Artikel Formeln für Doppel, Dreifach usw. Winkel
Halbwinkelformeln
Halbwinkelformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln ergeben sich aus den Doppelwinkelformeln.
Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.
Formeln zur Gradreduzierung
Trigonometrische Formeln zur Reduzierung von Graden sollen den Übergang von natürlichen Potenzen trigonometrischer Funktionen zu Sinus und Cosinus im ersten Grad, aber mehreren Winkeln, erleichtern. Mit anderen Worten: Sie ermöglichen es Ihnen, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste Potenz zu reduzieren.
Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen
Der Hauptzweck Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen besteht darin, zum Produkt von Funktionen zu gehen, was beim Vereinfachen sehr nützlich ist trigonometrische Ausdrücke. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet, da Sie damit die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus faktorisieren können.
Formeln für das Produkt aus Sinus, Cosinus und Sinus mal Cosinus
Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zu einer Summe oder Differenz erfolgt mit den Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.
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Trigonometrische Identitäten- Dies sind Gleichheiten, die eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen, die es Ihnen ermöglicht, jede dieser Funktionen zu finden, sofern eine andere bekannt ist.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Diese Identität besagt, dass die Summe des Quadrats des Sinus eines Winkels und des Quadrats des Kosinus eines Winkels gleich eins ist, was es in der Praxis ermöglicht, den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn sein Kosinus bekannt ist, und umgekehrt .
Bei der Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke wird diese Identität sehr häufig verwendet, wodurch Sie die Summe der Quadrate von Kosinus und Sinus eines Winkels durch eins ersetzen und den Ersetzungsvorgang auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen können.
Tangens und Kotangens mithilfe von Sinus und Cosinus ermitteln
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Diese Identitäten werden aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens gebildet. Wenn man es sich genau ansieht, dann ist die Ordinate y per Definition ein Sinus und die Abszisse x ein Kosinus. Dann ist der Tangens gleich dem Verhältnis \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) und das Verhältnis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- wird ein Kotangens sein.
Fügen wir hinzu, dass die Identitäten nur für solche Winkel \alpha gelten, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen einen Sinn ergeben, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Zum Beispiel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gilt für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Für einen anderen Winkel \alpha als \pi z ist z eine ganze Zahl.
Beziehung zwischen Tangens und Kotangens
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Diese Identität gilt nur für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2) z. Andernfalls wird weder der Kotangens noch der Tangens bestimmt.
Basierend auf den oben genannten Punkten erhalten wir das tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Es folgt dem tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Daher sind Tangens und Kotangens desselben Winkels, bei dem sie sinnvoll sind, zueinander inverse Zahlen.
Beziehungen zwischen Tangens und Cosinus, Kotangens und Sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- Die Summe des Quadrats des Tangens des Winkels \alpha und 1 ist gleich dem Umkehrquadrat des Kosinus dieses Winkels. Diese Identität gilt für alle \alpha außer \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- Die Summe aus 1 und dem Quadrat des Kotangens des Winkels \alpha ist gleich dem Umkehrquadrat des Sinus des gegebenen Winkels. Diese Identität gilt für jedes \alpha, das sich von \pi z unterscheidet.
Beispiele mit Lösungen für Probleme unter Verwendung trigonometrischer Identitäten
Beispiel 1
Finden Sie \sin \alpha und tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Lösung anzeigen
Lösung
Die Funktionen \sin\alpha und \cos\alpha hängen durch die Formel zusammen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Einsetzen in diese Formel \cos \alpha = -\frac12, wir bekommen:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Diese Gleichung hat zwei Lösungen:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Sinus also positiv \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Um tan \alpha zu finden, verwenden wir die Formel tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Beispiel 2
Finden Sie \cos \alpha und ctg \alpha, wenn und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Lösung anzeigen
Lösung
Einsetzen in die Formel \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 angegebene Nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), wir bekommen \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Diese Gleichung hat zwei Lösungen \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Kosinus also negativ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Um ctg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Wir kennen die entsprechenden Werte.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
