Zahlen mit gleichen Potenzen werden multipliziert. Regeln zum Subtrahieren und Addieren von Potenzen

Aufteilung der Abschlüsse mit die gleiche Grundlage. Die grundlegende Eigenschaft eines Grades, die auf den Eigenschaften der Multiplikation basiert, kann auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen mit denselben Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden.

3.a-3 ist a0 = 1, der zweite Zähler. In mehr komplexe Beispiele Es kann Fälle geben, in denen Multiplikationen und Divisionen für Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. Schauen wir sie uns nun an konkrete Beispiele und versuchen wir es zu beweisen.

Damit haben wir bewiesen, dass bei der Division zweier Potenzen mit gleichen Basen deren Exponenten subtrahiert werden müssen. Nachdem der Grad einer Zahl bestimmt wurde, ist es logisch, über die Eigenschaften des Grades zu sprechen.

Hier liefern wir Beweise für alle Eigenschaften von Graden und zeigen auch, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen verwendet werden. Beispielsweise wird die Grundeigenschaft des Bruchs am·an=am+n bei der Vereinfachung von Ausdrücken häufig in der Form am+n=am·an verwendet. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft vorlegen, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Formulierung diskutieren.

Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten

Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Aus der resultierenden Gleichheit am−n·an=am und aus dem Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division folgt, dass am−n der Quotient der Potenzen am und an ist. Damit ist die Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis bewiesen. Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir diese Eigenschaft anhand eines Beispiels. Beispielsweise gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit. Zur besseren Verdeutlichung geben wir ein Beispiel mit bestimmten Zahlen: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Addieren und Subtrahieren von Monomen

Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation legen nahe, dass das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Es ist ziemlich offensichtlich, dass für jede positive ganze Zahl n mit a=0 der Grad von an Null ist. Tatsächlich ist 0n=0·0·…·0=0. Beispiel: 03=0 und 0762=0. Kommen wir nun zu den negativen Gradzahlen. Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen wir ihn als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist.

Fahren wir mit dem Beweis dieser Eigenschaft fort. Beweisen wir das für m>n und 0. Es bleibt der zweite Teil der Eigenschaft zu beweisen. Daher sind am−an>0 und am>an, was bewiesen werden musste. Der Beweis jeder dieser Eigenschaften ist nicht schwierig; dazu genügt es, die Definitionen von Graden mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen zu verwenden.

Wenn p=0, dann gilt (a0)q=1q=1 und a0·q=a0=1, woraus (a0)q=a0·q. Nach dem gleichen Prinzip können Sie alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten beweisen, geschrieben in Form von Gleichungen. Die Bedingungen p 0 entsprechen in diesem Fall jeweils den Bedingungen m 0.

In diesem Fall entspricht die Bedingung p>q der Bedingung m1>m2, die sich aus der Vergleichsregel ergibt gewöhnliche Brüche mit gleichen Nennern. Diese Ungleichungen in den Eigenschaften der Wurzeln können entsprechend als und umgeschrieben werden. Und die Definition von Grad mit rationaler Indikator erlaubt uns, zu den Ungleichungen bzw. fortzufahren.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Die Berechnung des Wertes einer Potenz nennt man Potenzierung. Das heißt, wenn Sie den Wert eines Ausdrucks berechnen, der keine Klammern enthält, führen Sie zuerst die Aktion der dritten Stufe aus, dann die zweite (Multiplikation und Division) und schließlich die erste (Addition und Subtraktion). Operationen mit Wurzeln.

Erweiterung des Abschlussbegriffs. Bisher haben wir Potenzen nur mit natürlichen Exponenten betrachtet; Operationen mit Potenzen und Wurzeln können aber auch zu negativen, Null- und gebrochenen Exponenten führen. Alle diese Exponenten erfordern eine zusätzliche Definition. Wenn wir möchten, dass die Formel a m: a n=a m - n für m = n gültig ist, benötigen wir eine Definition vom Grad Null.

Potenzen von Zahlen mit gleichen Exponenten multiplizieren. Als nächstes formulieren wir einen Satz über die Potenzteilung mit identischen Grundlagen, lösen Erklärungsprobleme und beweisen den Satz im allgemeinen Fall. Kommen wir nun zur Definition negativer Kräfte. Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie die Formel aus der Definition in die übrigen Eigenschaften einsetzen. Um dieses Problem zu lösen, denken Sie daran: 49 = 7^2 und 147 = 7^2 * 3^1. Wenn Sie nun die Eigenschaften von Potenzen sorgfältig nutzen (bei der Potenzierung einer Potenz werden die Exponenten...

Das heißt, Exponenten werden tatsächlich subtrahiert, aber da der Exponent einen negativen Exponenten im Nenner hat, ergibt die Subtraktion von Minus durch Minus ein Plus und die Exponenten addieren sich. Erinnern wir uns daran, was man ein Monom nennt und welche Operationen mit Monomen durchgeführt werden können. Denken Sie daran, dass Sie zum Reduzieren eines Monoms auf eine Standardform zunächst einen numerischen Koeffizienten durch Multiplikation aller numerischen Faktoren erhalten und dann die entsprechenden Potenzen multiplizieren müssen.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Das heißt, wir müssen lernen, zwischen ähnlichen und nicht ähnlichen Monomen zu unterscheiden. Lassen Sie uns schlussfolgern: Ähnliche Monome haben den gleichen Buchstabenteil, und solche Monome können addiert und subtrahiert werden.

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Das Konzept eines Monoms als mathematische Einheit impliziert nur die Multiplikation von Zahlen und Variablen; wenn es andere Operationen gibt, ist der Ausdruck kein Monom mehr. Aber gleichzeitig können Monome addiert, subtrahiert und untereinander dividiert werden... Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen jedoch nicht um ganz gewöhnliche Zahlen handelt, gelten für sie eigene Regeln, die Grundeigenschaften genannt werden.

Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier sind die gleichen Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht! Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n eines Produkts von k Faktoren wird als (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn geschrieben. Es gibt keine Regeln für die Addition und Subtraktion von Potenzen mit gleichen Basen. Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. 4. Reduzieren Sie die Exponenten von 2a4/5a3 und 2/a4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.

Lektion zum Thema: „Regeln der Multiplikation und Potenzteilung mit gleichen und unterschiedlichen Exponenten. Beispiele“

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Zweck der Lektion: Lernen Sie, Operationen mit Zahlenpotenzen durchzuführen.

Erinnern wir uns zunächst an das Konzept der „Macht der Zahl“. Ein Ausdruck der Form $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kann als $a^n$ dargestellt werden.

Das Umgekehrte gilt auch: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Diese Gleichheit wird als „Erfassung des Abschlusses als Produkt“ bezeichnet. Es wird uns helfen zu bestimmen, wie man Potenzen multipliziert und teilt.
Erinnern:
A– die Grundlage des Abschlusses.
N– Exponent.
Wenn n=1, was die Zahl bedeutet A dauerte einmal und dementsprechend: $a^n= 1$.
Wenn n= 0, dann $a^0= 1$.

Wir können herausfinden, warum dies geschieht, wenn wir uns mit den Regeln der Multiplikation und Potenzenteilung vertraut machen.

Multiplikationsregeln

a) Wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden.
Um $a^n * a^m$ zu erhalten, schreiben wir die Grade als Produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Die Abbildung zeigt, dass die Zahl A hat genommen n+m mal, dann $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Beispiel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Diese Eigenschaft ist praktisch, um die Arbeit beim Erhöhen einer Zahl auf eine höhere Potenz zu vereinfachen.
Beispiel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Wenn Grade mit unterschiedlichen Basen, aber demselben Exponenten multipliziert werden.
Um $a^n * b^n$ zu erhalten, schreiben wir die Grade als Produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Wenn wir die Faktoren vertauschen und die resultierenden Paare zählen, erhalten wir: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Also $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Beispiel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Divisionsregeln

a) Die Grundlage des Abschlusses ist dieselbe, die Indikatoren sind unterschiedlich.
Erwägen Sie die Division einer Potenz durch einen größeren Exponenten, indem Sie eine Potenz durch einen kleineren Exponenten dividieren.

Also brauchen wir $\frac(a^n)(a^m)$, Wo n>m.

Schreiben wir die Grade als Bruch:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Der Einfachheit halber schreiben wir die Division als einfachen Bruch.

Jetzt reduzieren wir den Bruch.

Es stellt sich heraus: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Bedeutet, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Diese Eigenschaft hilft dabei, die Situation bei der Potenzierung einer Zahl mit Null zu erklären. Nehmen wir das an n=m, dann $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Beispiele.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Die Grundlagen des Abschlusses sind unterschiedlich, die Indikatoren sind gleich.
Nehmen wir an, $\frac(a^n)( b^n)$ ist notwendig. Schreiben wir Potenzen von Zahlen als Brüche:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Stellen wir uns der Einfachheit halber vor:

Unter Verwendung der Brucheigenschaft dividieren wir den großen Bruch in das Produkt der kleinen und erhalten.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Dementsprechend gilt: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Beispiel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Gewaltenteilung mit gleicher Basis. 4. Reduzieren Sie die Exponenten von 2a4/5a3 und 2/a4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner. Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Diese Eigenschaft erstreckt sich auf die Potenz des Produkts aus drei und mehr Multiplikatoren. Daher sind am−an>0 und am>an, was bewiesen werden musste. Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten zu beweisen.

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden auch, in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird. Das heißt, um Potenzen mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren, den Exponenten jedoch unverändert lassen. Die Berechnung des Wertes einer Potenz nennt man Potenzierung. Das heißt, wenn Sie den Wert eines Ausdrucks berechnen, der keine Klammern enthält, führen Sie zuerst die Aktion der dritten Stufe aus, dann die zweite (Multiplikation und Division) und schließlich die erste (Addition und Subtraktion).

Nachdem der Grad einer Zahl bestimmt wurde, ist es logisch, über die Eigenschaften des Grades zu sprechen. In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften der Potenz einer Zahl an und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein. Hier liefern wir Beweise für alle Eigenschaften von Graden und zeigen auch, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen verwendet werden. Wir stellen sofort fest, dass alle geschriebenen Gleichheiten identisch sind, wenn die angegebenen Bedingungen erfüllt sind, und dass ihre rechte und linke Seite vertauscht werden können.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft vorlegen, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Formulierung diskutieren. Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es uns, die Gleichung am−n·an=a(m−n)+n=am zu schreiben.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n eines Produkts von k Faktoren wird als (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn geschrieben. Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir diese Eigenschaft anhand eines Beispiels. Der Nachweis kann anhand der bisherigen Eigenschaft erfolgen. Beispielsweise gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit. Zur besseren Verdeutlichung geben wir ein Beispiel mit bestimmten Zahlen: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Fahren wir mit dem Beweis dieser Eigenschaft fort. Beweisen wir das für m>n und 0. Mit dem gleichen Prinzip können wir alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten beweisen, geschrieben in Form von Gleichungen. Die Bedingungen p 0 entsprechen in diesem Fall jeweils den Bedingungen m 0. In diesem Fall entspricht die Bedingung p>q der Bedingung m1>m2, die sich aus der Regel zum Vergleich gewöhnlicher Brüche mit demselben Nenner ergibt.

Operationen mit Wurzeln. Erweiterung des Abschlussbegriffs. Bisher haben wir Potenzen nur mit natürlichen Exponenten betrachtet; Operationen mit Potenzen und Wurzeln können aber auch zu negativen, Null- und gebrochenen Exponenten führen. Alle diese Exponenten erfordern eine zusätzliche Definition. Wenn wir möchten, dass die Formel a m: a n=a m - n für m = n gültig ist, benötigen wir eine Definition vom Grad Null. Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht! Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen. Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen befasst. Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen.

Eigenschaften von Graden, Formulierungen, Beweise, Beispiele.

Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt. So heißt es: Basic logarithmische Identität. Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal eindeutig mögliche Lösung. Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus.

Beispiele für das Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins. 1 = 0 ist logarithmischer Nullpunkt. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eine enthält, ist es ein Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition. Das sind alle Eigenschaften. Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

2.a-4 ist a-2 der erste Zähler. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun. Dies ist die Aktion der dritten Stufe. Beispielsweise wird die Grundeigenschaft des Bruchs am·an=am+n bei der Vereinfachung von Ausdrücken häufig in der Form am+n=am·an verwendet. Die Bedingung a≠0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0n=0 ist, und als wir mit der Division vertraut gemacht wurden, waren wir uns einig, dass wir nicht durch Null dividieren können. Aus der resultierenden Gleichheit am−n·an=am und aus dem Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division folgt, dass am−n der Quotient der Potenzen am und an ist. Damit ist die Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis bewiesen.

Wenn q=0, dann ist (ap)0=1 und ap·0=a0=1, woraus (ap)0=ap·0. In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division über Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. Diese Ungleichungen in den Eigenschaften der Wurzeln können entsprechend als und umgeschrieben werden. Und die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten ermöglicht es uns, zu Ungleichungen überzugehen und dementsprechend.

Das Konzept des Abschlusses in Mathematik wird in der 7. Klasse im Algebraunterricht eingeführt. Und anschließend wird dieses Konzept im gesamten Mathematikstudium in seinen verschiedenen Formen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen von Werten und die Fähigkeit erfordert, richtig und schnell zu zählen. Um schneller und besser mit Graden arbeiten zu können, haben Mathematiker Gradeigenschaften entwickelt. Sie helfen, große Berechnungen zu reduzieren und ein großes Beispiel bis zu einem gewissen Grad in eine einzelne Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher werden in dem Artikel die grundlegenden Eigenschaften des Abschlusses sowie deren Anwendung erörtert.

Eigenschaften des Abschlusses

Wir werden uns 12 Gradeigenschaften ansehen, einschließlich Gradeigenschaften mit derselben Basis, und für jede Eigenschaft ein Beispiel geben. Jede dieser Eigenschaften hilft Ihnen, Probleme mit Graden schneller zu lösen und erspart Ihnen außerdem zahlreiche Rechenfehler.

1. Anwesen.

Viele Menschen vergessen diese Eigenschaft sehr oft und machen den Fehler, eine Zahl hochnull als Null darzustellen.

2. Eigentum.

3. Eigentum.

Es ist zu beachten, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen verwendet werden kann; sie funktioniert nicht mit einer Summe! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die folgenden Eigenschaften nur für Potenzen mit den gleichen Basen gelten.

4. Eigenschaft.

Wenn eine Zahl im Nenner negativ potenziert wird, wird beim Subtrahieren der Grad des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ändern.

Die Eigenschaft funktioniert nur beim Dividieren, beim Subtrahieren gilt sie nicht!

5. Eigenschaft.

6. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft lässt sich auch in umgekehrter Richtung anwenden. Eine Einheit dividiert durch eine Zahl ist gewissermaßen diese Zahl hoch minus.

7. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft kann nicht auf Summe und Differenz angewendet werden! Bei der Potenzierung einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln anstelle von Potenzeigenschaften verwendet.

8. Eigenschaft.

9. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert für jede gebrochene Potenz mit einem Zähler gleich eins. Die Formel ist dieselbe, nur die Potenz der Wurzel ändert sich abhängig vom Nenner der Potenz.

Diese Eigenschaft wird auch oft umgekehrt genutzt. Die Wurzel einer Potenz einer Zahl lässt sich darstellen als diese Zahl hoch Eins dividiert durch die Potenz der Wurzel. Diese Eigenschaft ist in Fällen sehr nützlich, in denen die Wurzel einer Zahl nicht extrahiert werden kann.

10. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert nicht nur mit Quadratwurzel und zweiten Grades. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, um den diese Wurzel angehoben wird, übereinstimmen, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.

11. Anwesen.

Sie müssen diese Eigenschaft bei der Lösung rechtzeitig erkennen können, um sich große Berechnungen zu ersparen.

12. Anwesen.

Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen in Aufgaben mehrfach vorkommen; sie kann angegeben werden reiner Form und erfordert möglicherweise einige Transformationen und die Anwendung anderer Formeln. Um die richtige Entscheidung zu treffen, reicht es daher nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen; man muss üben und andere mathematische Kenntnisse einbeziehen.

Anwendung von Graden und ihren Eigenschaften

Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie eingesetzt. Abschlüsse in Mathematik nehmen einen besonderen, wichtigen Stellenwert ein. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, und Gleichungen und Beispiele aus anderen Teilgebieten der Mathematik werden oft durch Potenzen komplizierter. Potenzen helfen, große und langwierige Berechnungen zu vermeiden; Potenzen lassen sich einfacher abkürzen und berechnen. Aber für die Arbeit mit großen Abschlüssen oder mit Abschlüssen große Zahlen Sie müssen nicht nur die Eigenschaften von Abschlüssen kennen, sondern auch kompetent mit Grundlagen arbeiten und diese zerlegen können, um Ihre Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung der Potenz von Zahlen kennen. Dadurch wird die Zeit für die Lösung verkürzt und langwierige Berechnungen entfallen.

Bei Logarithmen spielt der Gradbegriff eine besondere Rolle. Da der Logarithmus im Wesentlichen eine Potenz einer Zahl ist.

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen sind abgekürzte Multiplikationsformeln. Die Eigenschaften von Graden können in ihnen nicht genutzt werden, sie werden nach besonderen Regeln erweitert, aber in jeder Formel der abgekürzten Multiplikation gibt es ausnahmslos Grade.

Auch in der Physik und der Informatik werden Abschlüsse aktiv genutzt. Alle Umrechnungen in das SI-System erfolgen unter Verwendung von Potenzen, und in Zukunft werden bei der Lösung von Problemen die Eigenschaften der Potenz genutzt. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv genutzt, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weitere Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder Problemberechnungen erfolgen, genau wie in der Physik, über die Eigenschaften von Graden.

Grade sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo die Eigenschaften eines Grades selten genutzt werden, die Grade selbst jedoch aktiv genutzt werden, um die Notation verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.

Gradzahlen werden auch im Alltag verwendet, wenn Flächen, Volumina und Entfernungen berechnet werden.

Grade werden in allen Wissenschaftsbereichen zur Erfassung sehr großer und sehr kleiner Mengen verwendet.

Exponentialgleichungen und Ungleichungen

Gerade in dieser Hinsicht nehmen die Eigenschaften von Graden einen besonderen Platz ein Exponentialgleichungen und Ungleichheiten. Diese Aufgaben kommen sowohl im Schulunterricht als auch bei Prüfungen sehr häufig vor. Alle werden durch die Anwendung der Gradeigenschaften gelöst. Das Unbekannte liegt immer im Grad selbst, daher ist es nicht schwierig, alle Eigenschaften zu kennen und eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.

Es ist offensichtlich, dass Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden können , indem man sie nacheinander mit ihren Zeichen hinzufügt.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2.
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen gleiche Potenzen identischer Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also gleich 5a 2.

Es ist auch offensichtlich, dass man zwei Quadrate a, drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nimmt.

Aber Grad verschiedene Variablen Und verschiedene Grade identische Variablen, müssen durch Hinzufügen ihrer Zeichen zusammengesetzt werden.

Die Summe einer 2 und einer 3 ist also die Summe einer 2 + einer 3.

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und die Potenz von a nicht gleich dem Doppelten des Quadrats von a sind, sondern dem Doppelten der Potenz von a.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen der Subtrahenden entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzen multiplizieren

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne ein Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen identischer Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3.

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass das Ergebnis einer Multiplikation von zwei beliebigen Zahlen eine Zahl (Variable) mit einer Potenz von ist Menge Grad der Begriffe.

Also, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, a n .a m = a m+n .

Für a n wird a als Faktor so oft wie die Potenz von n verwendet;

Und ein m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten der Potenzen multipliziert werden.

Also, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplizieren Sie (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten sind Negativ.

1. Also, a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa geschrieben werden.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert werden, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen gleich der Summe oder die Differenz ihrer Quadrate.

Wenn Sie die Summe und Differenz zweier erhöhter Zahlen multiplizieren Quadrat, das Ergebnis ist gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Aufteilung der Abschlüsse

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Dividenden subtrahiert oder sie in Bruchform umwandelt.

Somit ist a 3 b 2 dividiert durch b 2 gleich a 3.

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 dividiert durch eine 3 sieht wie folgt aus: $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Zahlenreihe
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und a n+1:a = a n+1-1 = a n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Werte von Grad.
Das Ergebnis der Division von -5 durch -3 ist -2.
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Potenzenteilung sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele für das Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduzieren Sie die Exponenten um $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Verringern Sie die Exponenten um $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Reduzieren Sie die Exponenten a 2 /a 3 und a -3 /a -4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
a 2 .a -4 ist a -2 der erste Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach der Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduzieren Sie die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 /5a 7 und 5a 5 /5a 7 oder 2a 3 /5a 2 und 5/5a 2.