So ermitteln Sie den Wert eines Logarithmus mit unterschiedlichen Basen. Definition von Logarithmus, grundlegende logarithmische Identität

Logarithmus der Zahl b (b > 0) zur Basis a (a > 0, a ≠ 1)– Exponent, auf den die Zahl a erhöht werden muss, um b zu erhalten.

Der Logarithmus zur Basis 10 von b kann geschrieben werden als log(b) und der Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus) ist ln(b).

Wird häufig bei der Lösung von Problemen mit Logarithmen verwendet:

Eigenschaften von Logarithmen

Es gibt vier Haupt Eigenschaften von Logarithmen.

Sei a > 0, a ≠ 1, x > 0 und y > 0.

Eigenschaft 1. Logarithmus des Produkts

Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Eigenschaft 2. Logarithmus des Quotienten

Logarithmus des Quotienten gleich der Differenz der Logarithmen:

log a (x / y) = log a x – log a y

Eigenschaft 3. Logarithmus der Potenz

Logarithmus des Grades gleich dem Produkt aus Potenz und Logarithmus:

Liegt die Basis des Logarithmus im Grad, gilt eine andere Formel:

Eigenschaft 4. Logarithmus der Wurzel

Diese Eigenschaft lässt sich aus der Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz ermitteln, da die n-te Wurzel der Potenz gleich der Potenz von 1/n ist:

Formel zur Umrechnung eines Logarithmus einer Basis in einen Logarithmus einer anderen Basis

Diese Formel wird auch häufig bei der Lösung verschiedener Logarithmenaufgaben verwendet:

Besonderer Fall:

Vergleich von Logarithmen (Ungleichungen)

Lassen Sie uns zwei Funktionen f(x) und g(x) unter Logarithmen mit den gleichen Basen haben und zwischen ihnen gibt es ein Ungleichheitszeichen:

Um sie zu vergleichen, müssen Sie sich zunächst die Basis der Logarithmen a ansehen:

Wenn a > 0, dann ist f(x) > g(x) > 0
Wenn 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

So lösen Sie Probleme mit Logarithmen: Beispiele

Probleme mit Logarithmen in der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik für die 11. Klasse in Aufgabe 5 und Aufgabe 7 enthalten sind, finden Sie Aufgaben mit Lösungen auf unserer Website in den entsprechenden Rubriken. Auch Aufgaben mit Logarithmen finden sich in der Mathe-Aufgabenbank. Sie können alle Beispiele finden, indem Sie die Website durchsuchen.

Was ist ein Logarithmus?

Logarithmen wurden schon immer berücksichtigt komplexes Thema in einem Schulmathematikkurs. Da sind viele verschiedene Definitionen Logarithmus, aber aus irgendeinem Grund verwenden die meisten Lehrbücher das komplexeste und erfolgloseste davon.

Wir werden den Logarithmus einfach und klar definieren. Dazu erstellen wir eine Tabelle:

Wir haben also Zweierpotenzen.

Logarithmen – Eigenschaften, Formeln, Lösung

Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Die Basis a des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b das ist, was der Logarithmus tatsächlich ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Mit dem gleichen Erfolg ist log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird aufgerufen. Fügen wir also eine neue Zeile zu unserer Tabelle hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik schreibt vor, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Intervall liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Zunächst verwechseln viele Menschen die Grundlage und das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zur Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

So zählen Sie Logarithmen

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies ergibt sich aus der Definition des Abschlusses rationaler Indikator, worauf die Definition eines Logarithmus hinausläuft.
Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Bereich akzeptabler Werte(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die VA des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Problemautoren bereits berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden DL-Anforderungen obligatorisch. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Lassen Sie uns nun überlegen allgemeines Schema Logarithmen berechnen. Es besteht aus drei Schritten:

Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren minimal mögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr wichtig: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das Gleiche gilt für Dezimalbrüche: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – teilen Sie es einfach auf Primfaktoren. Wenn die Erweiterung mindestens zwei unterschiedliche Faktoren aufweist, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten wir auch, dass wir selbst Primzahlen sind immer exakte Grade ihrer selbst.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis 10, d.h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Wir sprechen vom natürlichen Logarithmus.

des Arguments x ist der Logarithmus zur Basis e, d. h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x.

Viele Leute werden fragen: Was ist die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl genauer Wert unmöglich zu finden und aufzuzeichnen. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459…

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich einer: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Siehe auch:

Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Potenz des Logarithmus).

Wie stellt man eine Zahl als Logarithmus dar?

Wir verwenden die Definition des Logarithmus.

Ein Logarithmus ist ein Exponent, auf den die Basis erhöht werden muss, um die Zahl unter dem Logarithmuszeichen zu erhalten.

Um also eine bestimmte Zahl c als Logarithmus zur Basis a darzustellen, müssen Sie eine Potenz mit derselben Basis wie die Basis des Logarithmus unter das Vorzeichen des Logarithmus setzen und diese Zahl c als Exponenten schreiben:

Absolut jede Zahl kann als Logarithmus dargestellt werden – positiv, negativ, ganzzahlig, gebrochen, rational, irrational:

Um a und c unter stressigen Bedingungen eines Tests oder einer Prüfung nicht zu verwechseln, können Sie die folgende Merkregel verwenden:

Was unten ist, geht nach unten, was oben ist, geht nach oben.

Beispielsweise müssen Sie die Zahl 2 als Logarithmus zur Basis 3 darstellen.

Wir haben zwei Zahlen – 2 und 3. Diese Zahlen sind die Basis und der Exponent, die wir unter dem Vorzeichen des Logarithmus schreiben. Es bleibt zu bestimmen, welche dieser Zahlen auf die Basis des Grades und welche auf den Exponenten hin geschrieben werden sollen.

Die Basis 3 in der Notation eines Logarithmus liegt unten, was bedeutet, dass wir, wenn wir zwei als Logarithmus zur Basis 3 darstellen, auch 3 zur Basis hin schreiben.

2 ist höher als drei. Und in der Schreibweise des Grades zwei schreiben wir über die drei, also als Exponenten:

Logarithmen. Erste Ebene.

Logarithmen

Logarithmus positive Zahl B bezogen auf A, Wo a > 0, a ≠ 1, heißt der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss A, um zu bekommen B.

Definition von Logarithmus kann kurz so geschrieben werden:

Diese Gleichheit gilt für b > 0, a > 0, a ≠ 1. Es heißt normalerweise logarithmische Identität.
Die Aktion, den Logarithmus einer Zahl zu ermitteln, wird aufgerufen durch Logarithmus.

Eigenschaften von Logarithmen:

Logarithmus des Produkts:

Logarithmus des Quotienten:

Ersetzen der Logarithmusbasis:

Logarithmus des Grades:

Logarithmus der Wurzel:

Logarithmus mit Potenzbasis:

Dezimale und natürliche Logarithmen.

Dezimaler Logarithmus Zahlen rufen den Logarithmus dieser Zahl zur Basis 10 auf und schreiben lg B
Natürlicher Logarithmus Zahlen werden als Logarithmus dieser Zahl zur Basis bezeichnet e, Wo e- eine irrationale Zahl, die ungefähr 2,7 entspricht. Gleichzeitig schreiben sie ln B.

Weitere Hinweise zu Algebra und Geometrie

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit denselben Basen: log a x und log a y. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele bauen auf dieser Tatsache auf Testpapiere. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log a x. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln sind in konventionellen Formen selten zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen befasst.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen.

In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Berücksichtigung der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit die gleiche Grundlage, wir bekommen:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

log a a = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
log a 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist es ein Logarithmus gleich Null! Denn a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Mit diesem Video beginne ich eine lange Lektionsreihe über logarithmische Gleichungen. Jetzt haben Sie drei Beispiele vor sich, anhand derer wir lernen werden, das meiste zu lösen einfache Aufgaben, die so genannt werden - Protozoen.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachste logarithmische Gleichung die folgende ist:

log a f (x) = b

In diesem Fall ist es wichtig, dass die Variable x nur innerhalb des Arguments, also nur in der Funktion f(x), vorhanden ist. Und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und auf keinen Fall Funktionen, die die Variable x enthalten.

Grundlegende Lösungsmethoden

Es gibt viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Beispielsweise bieten die meisten Lehrer in der Schule diese Methode an: Drücken Sie die Funktion f(x) sofort mit der Formel aus F ( x ) = ein b . Das heißt, wenn Sie auf die einfachste Konstruktion stoßen, können Sie ohne zusätzliche Aktionen und Konstruktionen sofort zur Lösung übergehen.

Ja, natürlich wird die Entscheidung richtig sein. Das Problem bei dieser Formel ist jedoch, dass die meisten Studenten verstehen nicht, woher es kommt und warum wir den Buchstaben a zum Buchstaben b erhöhen.

Dadurch sehe ich oft sehr ärgerliche Fehler, wenn beispielsweise diese Buchstaben vertauscht werden. Diese Formel muss entweder verstanden oder vollgestopft werden, und die zweite Methode führt zu Fehlern in den ungünstigsten und entscheidendsten Momenten: bei Prüfungen, Tests usw.

Aus diesem Grund empfehle ich allen meinen Schülern, die Standardschulformel aufzugeben und den zweiten Ansatz zur Lösung logarithmischer Gleichungen zu verwenden, der, wie Sie wahrscheinlich anhand des Namens erraten haben, so heißt kanonische Form.

Die Idee der kanonischen Form ist einfach. Schauen wir uns unser Problem noch einmal an: Links haben wir log a, und mit dem Buchstaben a meinen wir eine Zahl und auf keinen Fall eine Funktion, die die Variable x enthält. Folglich unterliegt dieser Buchstabe allen Einschränkungen, die für die Basis des Logarithmus gelten. nämlich:

1 ≠ a > 0

Andererseits sehen wir aus derselben Gleichung, dass der Logarithmus gleich der Zahl b sein muss und diesem Buchstaben keine Einschränkungen auferlegt werden, da er jeden Wert annehmen kann – sowohl positiv als auch negativ. Es hängt alles davon ab, welche Werte die Funktion f(x) annimmt.

Und hier erinnern wir uns an unsere wunderbare Regel, dass jede Zahl b als Logarithmus zur Basis a von a hoch b dargestellt werden kann:

b = log a a b

Wie kann man sich diese Formel merken? Ja, ganz einfach. Schreiben wir die folgende Konstruktion:

b = b 1 = b log a a

Selbstverständlich ergeben sich in diesem Fall alle Einschränkungen, die wir eingangs aufgeschrieben haben. Nun nutzen wir die Grundeigenschaft des Logarithmus und führen den Multiplikator b als Potenz von a ein. Wir bekommen:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Infolgedessen wird die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Das ist alles. Die neue Funktion enthält keinen Logarithmus mehr und kann mit herkömmlichen algebraischen Techniken gelöst werden.

Natürlich wird jetzt jemand einwenden: Warum war es überhaupt notwendig, eine kanonische Formel zu entwickeln, warum zwei zusätzliche unnötige Schritte durchzuführen, wenn es möglich war, sofort vom ursprünglichen Entwurf zur endgültigen Formel überzugehen? Ja, schon allein deshalb, weil die meisten Studierenden den Ursprung dieser Formel nicht verstehen und deshalb bei der Anwendung regelmäßig Fehler machen.

Aber diese Abfolge von Aktionen, bestehend aus drei Schritten, ermöglicht es Ihnen, die ursprüngliche logarithmische Gleichung zu lösen, auch wenn Sie nicht verstehen, woher die endgültige Formel kommt. Dieser Eintrag heißt übrigens kanonische Formel:

log a f (x) = log a a b

Der Vorteil der kanonischen Form liegt auch darin, dass sie zur Lösung einer sehr großen Klasse logarithmischer Gleichungen verwendet werden kann und nicht nur der einfachsten, die wir heute betrachten.

Beispiele für Lösungen

Schauen wir uns nun reale Beispiele an. Also, lasst uns entscheiden:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Schreiben wir es so um:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 · 0,5 −3

Viele Studierende haben es eilig und versuchen, die Zahl 0,5 sofort auf die Potenz zu erhöhen, die uns aus der ursprünglichen Aufgabe gekommen ist. Wenn Sie in der Lösung solcher Probleme bereits gut geschult sind, können Sie diesen Schritt tatsächlich sofort durchführen.

Wenn Sie jedoch gerade erst anfangen, sich mit diesem Thema zu befassen, ist es besser, nichts zu überstürzen, um beleidigende Fehler zu vermeiden. Wir haben also die kanonische Form. Wir haben:

3x − 1 = 0,5 −3

Dies ist keine logarithmische Gleichung mehr, sondern linear bezüglich der Variablen x. Um es zu lösen, schauen wir uns zunächst die Zahl 0,5 hoch −3 an. Beachten Sie, dass 0,5 1/2 ist.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Alle Dezimalstellen in gewöhnliche umwandeln, wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen.

Wir schreiben um und erhalten:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Das war's, wir haben die Antwort. Das erste Problem wurde gelöst.

Zweite Aufgabe

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Wie wir sehen, ist diese Gleichung nicht mehr die einfachste. Schon allein deshalb, weil es auf der linken Seite einen Unterschied gibt und nicht einen einzigen Logarithmus zu einer Basis.

Deshalb müssen wir diesen Unterschied irgendwie beseitigen. IN in diesem Fall alles ist sehr einfach. Schauen wir uns die Grundlagen genauer an: Links steht die Zahl unter der Wurzel:

Allgemeine Empfehlung: Versuchen Sie in allen logarithmischen Gleichungen, Radikale zu entfernen, d. h. aus Einträgen mit Wurzeln, und fahren Sie mit fort Potenzfunktionen, einfach weil die Exponenten dieser Potenzen leicht aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden können und letztendlich eine solche Notation die Berechnungen erheblich vereinfacht und beschleunigt. Schreiben wir es so auf:

Erinnern wir uns nun an die bemerkenswerte Eigenschaft des Logarithmus: Potenzen können sowohl aus dem Argument als auch aus der Basis abgeleitet werden. Im Falle von Gründen geschieht Folgendes:

log a k b = 1/k loga b

Mit anderen Worten: Die Zahl, die in der Basispotenz stand, wird nach vorne gebracht und gleichzeitig invertiert, also zur Kehrzahl. In unserem Fall war der Basisgrad 1/2. Daher können wir es als 2/1 herausnehmen. Wir bekommen:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Bitte beachten Sie: Auf keinen Fall sollten Sie in diesem Schritt auf Logarithmen verzichten. Denken Sie an die Mathematik der 4. bis 5. Klasse und die Reihenfolge der Operationen: Zuerst wird die Multiplikation durchgeführt und dann erst die Addition und Subtraktion. In diesem Fall subtrahieren wir eines der gleichen Elemente von 10 Elementen:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Jetzt sieht unsere Gleichung so aus, wie sie sollte. Dies ist die einfachste Konstruktion und wir lösen sie mithilfe der kanonischen Form:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Das ist alles. Das zweite Problem wurde gelöst.

Drittes Beispiel

Kommen wir zur dritten Aufgabe:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Ich möchte Sie an die folgende Formel erinnern:

log b = log 10 b

Wenn Sie aus irgendeinem Grund durch die Notation log b verwirrt sind, können Sie bei der Durchführung aller Berechnungen einfach log 10 b schreiben. Sie können mit dezimalen Logarithmen genauso arbeiten wie mit anderen: Potenzen bilden, addieren und beliebige Zahlen in der Form lg 10 darstellen.

Diese Eigenschaften werden wir nun zur Lösung des Problems verwenden, da es sich nicht um die einfachste handelt, die wir gleich zu Beginn unserer Lektion aufgeschrieben haben.

Beachten Sie zunächst, dass der Faktor 2 vor lg 5 addiert werden kann und zu einer Potenz der Basis 5 wird. Darüber hinaus kann der freie Term 3 auch als Logarithmus dargestellt werden – dies lässt sich anhand unserer Notation sehr leicht erkennen.

Urteilen Sie selbst: Jede Zahl kann als Logarithmus zur Basis 10 dargestellt werden:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Schreiben wir das ursprüngliche Problem unter Berücksichtigung der erhaltenen Änderungen neu:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Wir haben wieder die kanonische Form vor uns, und wir haben sie erhalten, ohne die Transformationsphase durchlaufen zu müssen, d. h. die einfachste logarithmische Gleichung ist nirgendwo aufgetaucht.

Genau darüber habe ich gleich zu Beginn der Lektion gesprochen. Mit der kanonischen Form können Sie eine größere Klasse von Problemen lösen als mit der Standardschulformel, die die meisten Schullehrer angeben.

Nun, das war's, wir entfernen das Vorzeichen des dezimalen Logarithmus und erhalten eine einfache lineare Konstruktion:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Alle! Das Problem ist behoben.

Ein Hinweis zum Umfang

An dieser Stelle möchte ich eine wichtige Anmerkung zum Definitionsbereich machen. Sicherlich wird es jetzt Schüler und Lehrer geben, die sagen: „Wenn wir Ausdrücke mit Logarithmen lösen, müssen wir bedenken, dass das Argument f (x) größer als Null sein muss!“ In diesem Zusammenhang stellt sich eine logische Frage: Warum haben wir bei keinem der betrachteten Probleme verlangt, dass diese Ungleichheit erfüllt ist?

Machen Sie sich keine Sorgen. In diesen Fällen werden keine zusätzlichen Wurzeln angezeigt. Und das ist ein weiterer toller Trick, mit dem Sie die Lösung beschleunigen können. Wissen Sie nur: Wenn in der Aufgabe die Variable x nur an einer Stelle (oder besser gesagt in einem einzigen Argument eines einzelnen Logarithmus) vorkommt und in unserem Fall nirgendwo sonst die Variable x vorkommt, dann schreiben Sie den Definitionsbereich auf nicht nötig, da es automatisch ausgeführt wird.

Urteilen Sie selbst: In der ersten Gleichung haben wir 3x − 1 erhalten, d. h. das Argument sollte gleich 8 sein. Dies bedeutet automatisch, dass 3x − 1 größer als Null sein wird.

Mit dem gleichen Erfolg können wir schreiben, dass im zweiten Fall x gleich 5 2 sein sollte, also sicherlich größer als Null. Und im dritten Fall, wo x + 3 = 25.000, also wiederum offensichtlich größer als Null. Mit anderen Worten: Der Gültigkeitsbereich wird automatisch erfüllt, aber nur, wenn x nur im Argument von nur einem Logarithmus vorkommt.

Das ist alles, was Sie wissen müssen, um die einfachsten Probleme zu lösen. Allein mit dieser Regel können Sie zusammen mit den Transformationsregeln eine sehr große Klasse von Problemen lösen.

Aber seien wir ehrlich: Um diese Technik endlich zu verstehen und zu lernen, wie man die kanonische Form der logarithmischen Gleichung anwendet, reicht es nicht aus, sich nur eine Videolektion anzusehen. Laden Sie daher gleich jetzt die Optionen für unabhängige Lösungen herunter, die dieser Videolektion beigefügt sind, und beginnen Sie mit der Lösung mindestens einer dieser beiden unabhängigen Arbeiten.

Es wird buchstäblich ein paar Minuten dauern. Aber die Wirkung eines solchen Trainings wird viel größer sein, als wenn Sie sich nur diese Videolektion ansehen würden.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, logarithmische Gleichungen zu verstehen. Verwenden Sie die kanonische Form, vereinfachen Sie Ausdrücke mithilfe der Regeln für die Arbeit mit Logarithmen – und Sie werden keine Probleme mehr haben. Das ist alles, was ich für heute habe.

Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs

Lassen Sie uns nun über den Definitionsbereich der logarithmischen Funktion sprechen und wie sich dieser auf die Lösung logarithmischer Gleichungen auswirkt. Betrachten Sie eine Konstruktion des Formulars

log a f (x) = b

Einen solchen Ausdruck nennt man den einfachsten – er enthält nur eine Funktion, und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und auf keinen Fall eine Funktion, die von der Variablen x abhängt. Es lässt sich ganz einfach lösen. Sie müssen nur die Formel verwenden:

b = log a a b

Diese Formel ist eine der Schlüsseleigenschaften des Logarithmus, und wenn wir sie in unseren ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir Folgendes:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Dies ist eine bekannte Formel aus Schulbücher. Viele Studenten werden wahrscheinlich eine Frage haben: Da die Funktion f (x) im ursprünglichen Ausdruck unter dem Protokollzeichen steht, gelten für sie folgende Einschränkungen:

f(x) > 0

Diese Einschränkung gilt, da der Logarithmus von negative Zahlen existiert nicht. Vielleicht sollte aufgrund dieser Einschränkung eine Überprüfung der Antworten eingeführt werden? Vielleicht müssen sie in die Quelle eingefügt werden?

Nein, in den einfachsten logarithmischen Gleichungen ist eine zusätzliche Überprüfung nicht erforderlich. Und deshalb. Schauen Sie sich unsere endgültige Formel an:

f (x) = a b

Fakt ist, dass die Zahl a auf jeden Fall größer als 0 ist – diese Forderung stellt auch der Logarithmus. Die Zahl a ist die Basis. In diesem Fall gibt es keine Beschränkungen für die Anzahl b. Aber das spielt keine Rolle, denn egal, auf welche Potenz wir eine positive Zahl erhöhen, wir werden am Ausgang immer noch eine positive Zahl erhalten. Somit ist die Anforderung f (x) > 0 automatisch erfüllt.

Was wirklich eine Überprüfung wert ist, ist die Domäne der Funktion unter dem Protokollzeichen. Es kann durchaus zu komplexen Strukturen kommen, die bei der Lösung unbedingt im Auge behalten werden müssen. Werfen wir einen Blick darauf.

Erste Aufgabe:

Erster Schritt: Wandeln Sie den Bruch rechts um. Wir bekommen:

Wir entfernen das Logarithmuszeichen und erhalten die übliche irrationale Gleichung:

Von den erhaltenen Wurzeln passt nur die erste zu uns, da die zweite Wurzel weniger als Null. Die einzige Antwort wird die Nummer 9 sein. Damit ist das Problem gelöst. Es sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, um sicherzustellen, dass der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen größer als 0 ist, da er nicht nur größer als 0, sondern gemäß der Bedingung der Gleichung gleich 2 ist. Daher gilt die Anforderung „größer als Null“. ” wird automatisch erfüllt.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Alles ist hier das gleiche. Wir schreiben die Konstruktion um und ersetzen das Tripel:

Wir entfernen die Logarithmuszeichen und erhalten eine irrationale Gleichung:

Wir quadrieren beide Seiten unter Berücksichtigung der Restriktionen und erhalten:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Wir lösen die resultierende Gleichung durch die Diskriminante:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Aber x = −6 passt nicht zu uns, denn wenn wir diese Zahl in unsere Ungleichung einsetzen, erhalten wir:

−6 + 4 = −2 < 0

In unserem Fall ist es erforderlich, dass er größer als 0 oder im Extremfall gleich ist. Aber x = −1 passt zu uns:

−1 + 4 = 3 > 0

Die einzige Antwort in unserem Fall wäre x = −1. Das ist die Lösung. Kehren wir zum Anfang unserer Berechnungen zurück.

Die wichtigste Erkenntnis aus dieser Lektion ist, dass Sie in einfachen logarithmischen Gleichungen keine Einschränkungen für eine Funktion überprüfen müssen. Denn während des Lösungsprozesses werden alle Randbedingungen automatisch erfüllt.

Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass Sie die Überprüfung ganz vergessen können. Bei der Arbeit an einer logarithmischen Gleichung kann diese durchaus in eine irrationale Gleichung übergehen, die ihre eigenen Einschränkungen und Anforderungen für die rechte Seite hat, die wir heute an zwei verschiedenen Beispielen gesehen haben.

Fühlen Sie sich frei, solche Probleme zu lösen und seien Sie besonders vorsichtig, wenn das Argument eine Wurzel hat.

Logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen

Wir studieren weiterhin logarithmische Gleichungen und betrachten zwei weitere recht interessante Techniken, mit denen es in Mode ist, komplexere Konstruktionen zu lösen. Aber erinnern wir uns zunächst daran, wie die einfachsten Probleme gelöst werden:

log a f (x) = b

In diesem Eintrag sind a und b Zahlen, und in der Funktion f(x) muss die Variable x vorhanden sein, und zwar nur dort, d. h. x darf nur im Argument stehen. Wir werden solche logarithmischen Gleichungen in die kanonische Form umwandeln. Beachten Sie dazu Folgendes

b = log a a b

Darüber hinaus ist a b genau ein Argument. Schreiben wir diesen Ausdruck wie folgt um:

log a f (x) = log a a b

Das ist genau das, was wir erreichen wollen, sodass es einen Logarithmus gibt, der sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite von a basiert. In diesem Fall können wir im übertragenen Sinne die Log-Zeichen streichen und aus mathematischer Sicht können wir sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

f (x) = a b

Als Ergebnis erhalten wir einen neuen Ausdruck, der viel einfacher zu lösen ist. Wenden wir diese Regel heute auf unsere Probleme an.

Also, der erste Entwurf:

Zunächst stelle ich fest, dass rechts ein Bruch steht, dessen Nenner logarithmisch ist. Wenn Sie einen Ausdruck wie diesen sehen, ist es eine gute Idee, sich an eine wunderbare Eigenschaft von Logarithmen zu erinnern:

Ins Russische übersetzt bedeutet dies, dass jeder Logarithmus als Quotient zweier Logarithmen mit beliebiger Basis c dargestellt werden kann. Natürlich 0< с ≠ 1.

Also: Diese Formel hat einen wunderbaren Sonderfall, wenn die Variable c gleich der Variablen ist B. In diesem Fall erhalten wir eine Konstruktion wie:

Dies ist genau die Konstruktion, die wir anhand des Vorzeichens rechts in unserer Gleichung sehen. Ersetzen wir diese Konstruktion durch log a b , erhalten wir:

Mit anderen Worten: Im Vergleich zur ursprünglichen Aufgabe haben wir das Argument und die Basis des Logarithmus vertauscht. Stattdessen mussten wir den Bruch umkehren.

Wir erinnern daran, dass jeder Grad aus der Basis gemäß der folgenden Regel abgeleitet werden kann:

Mit anderen Worten: Der Koeffizient k, der die Potenz der Basis darstellt, wird als invertierter Bruch ausgedrückt. Lassen Sie es uns als umgekehrten Bruch darstellen:

Der Bruchfaktor kann nicht vorne gelassen werden, da wir in diesem Fall diese Notation nicht als kanonische Form darstellen können (schließlich gibt es in der kanonischen Form keinen zusätzlichen Faktor vor dem zweiten Logarithmus). Addieren wir daher den Bruch 1/4 als Potenz zum Argument:

Nun setzen wir Argumente gleich, deren Basen gleich sind (und unsere Basen tatsächlich gleich sind), und schreiben:

x + 5 = 1

x = −4

Das ist alles. Wir haben die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung erhalten. Bitte beachten Sie: Im ursprünglichen Problem erscheint die Variable x nur in einem Protokoll und in ihrem Argument. Daher besteht keine Notwendigkeit, den Definitionsbereich zu überprüfen, und unsere Zahl x = −4 ist tatsächlich die Antwort.

Kommen wir nun zum zweiten Ausdruck:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Hier müssen wir zusätzlich zu den üblichen Logarithmen mit log f (x) arbeiten. Wie löst man eine solche Gleichung? Für einen unvorbereiteten Schüler mag es wie eine schwierige Aufgabe erscheinen, aber tatsächlich kann alles auf einfache Weise gelöst werden.

Schauen Sie sich den Begriff LG 2 Log 2 7 genau an. Was können wir dazu sagen? Die Grundlagen und Argumente von log und lg sind dieselben, und dies sollte einige Anregungen geben. Erinnern wir uns noch einmal daran, wie Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

log a b n = nlog a b

Mit anderen Worten: Was im Argument eine Potenz von b war, wird zu einem Faktor vor log selbst. Wenden wir diese Formel auf den Ausdruck lg 2 log 2 7 an. Haben Sie keine Angst vor lg 2 – das ist der gebräuchlichste Ausdruck. Sie können es wie folgt umschreiben:

Für ihn gelten alle Regeln, die auch für jeden anderen Logarithmus gelten. Insbesondere kann der vorangehende Faktor zum Grad des Arguments addiert werden. Schreiben wir es auf:

Sehr oft sehen die Schüler diese Aktion nicht direkt, weil es nicht gut ist, ein Protokoll unter dem Vorzeichen eines anderen einzugeben. Tatsächlich ist daran nichts Kriminelles. Darüber hinaus erhalten wir eine Formel, die leicht zu berechnen ist, wenn Sie sich an eine wichtige Regel erinnern:

Diese Formel kann sowohl als Definition als auch als eine ihrer Eigenschaften betrachtet werden. Wenn Sie eine logarithmische Gleichung umwandeln, sollten Sie diese Formel auf jeden Fall genauso kennen wie die logarithmische Darstellung einer beliebigen Zahl.

Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück. Wir schreiben es unter Berücksichtigung der Tatsache um, dass der erste Term rechts vom Gleichheitszeichen einfach gleich lg 7 ist. Wir haben:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Bewegen wir LG 7 nach links, erhalten wir:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Wir subtrahieren die Ausdrücke auf der linken Seite, weil sie die gleiche Basis haben:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Schauen wir uns nun die Gleichung, die wir erhalten haben, genauer an. Es ist praktisch die kanonische Form, aber rechts gibt es einen Faktor −3. Fügen wir es dem rechten LG-Argument hinzu:

log 8 = log (x + 4) −3

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, also streichen wir die lg-Zeichen durch und setzen die Argumente gleich:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Das ist alles! Wir haben die zweite logarithmische Gleichung gelöst. In diesem Fall sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da im ursprünglichen Problem x nur in einem Argument vorhanden war.

Lassen Sie mich die wichtigsten Punkte dieser Lektion noch einmal auflisten.

Die Hauptformel, die in allen Lektionen auf dieser Seite zum Lösen logarithmischer Gleichungen gelehrt wird, ist die kanonische Form. Und haben Sie keine Angst davor, dass Sie in den meisten Schulbüchern lernen, solche Probleme anders zu lösen. Dieses Werkzeug funktioniert sehr effektiv und ermöglicht es Ihnen, eine viel größere Klasse von Problemen zu lösen als die einfachsten, die wir zu Beginn unserer Lektion untersucht haben.

Darüber hinaus ist es für die Lösung logarithmischer Gleichungen hilfreich, die grundlegenden Eigenschaften zu kennen. Nämlich:

Die Formel für den Wechsel zu einer Basis und den Sonderfall, wenn wir das Protokoll umkehren (dies war für uns im ersten Problem sehr nützlich);
Formel zum Addieren und Subtrahieren von Potenzen vom Logarithmuszeichen. Hier bleiben viele Studierende stecken und sehen nicht, dass der herausgenommene und eingeführte Abschluss selbst log f(x) enthalten kann. Daran ist nichts auszusetzen. Wir können einen Log nach dem Vorzeichen des anderen einführen und gleichzeitig die Lösung des Problems deutlich vereinfachen, was wir im zweiten Fall beobachten.

Abschließend möchte ich hinzufügen, dass es nicht notwendig ist, in jedem dieser Fälle den Definitionsbereich zu überprüfen, da die Variable x überall nur in einem Vorzeichen von logarithmisch vorhanden ist und gleichzeitig in ihrem Argument steht. Dadurch werden alle Anforderungen des Scopes automatisch erfüllt.

Probleme mit der Variablenbasis

Heute werden wir uns mit logarithmischen Gleichungen befassen, die für viele Schüler nicht standardisiert, wenn nicht sogar völlig unlösbar erscheinen. Wir sprechen hier von Ausdrücken, die nicht auf Zahlen basieren, sondern auf Variablen und sogar Funktionen. Wir werden solche Konstruktionen mit unserer Standardtechnik lösen, nämlich durch die kanonische Form.

Erinnern wir uns zunächst daran, wie die einfachsten Probleme auf der Grundlage gewöhnlicher Zahlen gelöst werden. So heißt die einfachste Konstruktion

log a f (x) = b

Um solche Probleme zu lösen, können wir die folgende Formel verwenden:

b = log a a b

Wir schreiben unseren ursprünglichen Ausdruck um und erhalten:

log a f (x) = log a a b

Dann setzen wir die Argumente gleich, d. h. wir schreiben:

f (x) = a b

Somit werden wir das Protokollzeichen los und lösen das übliche Problem. In diesem Fall sind die aus der Lösung erhaltenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Darüber hinaus wird ein Datensatz, bei dem sowohl die linke als auch die rechte Seite denselben Logarithmus mit derselben Basis haben, genau als kanonische Form bezeichnet. Auf einen solchen Rekord werden wir versuchen, die heutigen Designs zu reduzieren. So lass uns gehen.

Erste Aufgabe:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Ersetzen Sie 1 durch log x − 2 (x − 2) 1 . Der Grad, den wir im Argument beobachten, ist tatsächlich die Zahl b, die rechts vom Gleichheitszeichen stand. Schreiben wir also unseren Ausdruck neu. Wir bekommen:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Was sehen wir? Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, sodass wir die Argumente sicher gleichsetzen können. Wir bekommen:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Aber damit ist die Lösung noch nicht beendet, denn diese Gleichung ist nicht äquivalent zur ursprünglichen. Schließlich besteht die resultierende Konstruktion aus Funktionen, die auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert sind, und unsere ursprünglichen Logarithmen sind nicht überall und nicht immer definiert.

Daher müssen wir den Definitionsbereich separat aufschreiben. Machen wir keine Haarspalterei und schreiben wir zunächst alle Anforderungen auf:

Erstens muss das Argument jedes Logarithmus größer als 0 sein:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Zweitens muss die Basis nicht nur größer als 0 sein, sondern auch ungleich 1:

x − 2 ≠ 1

Als Ergebnis erhalten wir das System:

Aber keine Sorge: Bei der Verarbeitung logarithmischer Gleichungen lässt sich ein solches System deutlich vereinfachen.

Urteilen Sie selbst: Einerseits wird von uns verlangt, dass die quadratische Funktion größer als Null ist, und andererseits wird diese quadratische Funktion einem bestimmten linearen Ausdruck gleichgesetzt, der ebenfalls größer als Null sein muss.

Wenn wir in diesem Fall verlangen, dass x − 2 > 0, dann ist die Anforderung 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisch erfüllt. Daher können wir die enthaltende Ungleichung getrost streichen quadratische Funktion. Dadurch wird die Anzahl der in unserem System enthaltenen Ausdrücke auf drei reduziert.

Mit dem gleichen Erfolg könnten wir natürlich auch die lineare Ungleichung streichen, also x − 2 > 0 streichen und verlangen, dass 2x 2 − 13x + 18 > 0. Aber Sie werden zustimmen, dass die Lösung der einfachsten linearen Ungleichung viel schneller ist und einfacher als quadratisch, selbst unter der Bedingung, dass wir als Ergebnis der Lösung dieses gesamten Systems die gleichen Wurzeln erhalten.

Versuchen Sie im Allgemeinen, die Berechnungen nach Möglichkeit zu optimieren. Und bei logarithmischen Gleichungen streichen Sie die schwierigsten Ungleichungen durch.

Schreiben wir unser System neu:

Hier ist ein System von drei Ausdrücken, von denen wir tatsächlich zwei bereits behandelt haben. Schreiben wir es separat auf quadratische Gleichung und lass es uns lösen:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Vor uns liegt ein reduziertes quadratisches Trinom und daher können wir die Formeln von Vieta verwenden. Wir bekommen:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Nun kehren wir zu unserem System zurück und stellen fest, dass x = 2 nicht zu uns passt, da wir verlangen, dass x unbedingt größer als 2 ist.

Aber x = 5 passt ganz gut zu uns: Die Zahl 5 ist größer als 2, und gleichzeitig ist 5 ungleich 3. Daher ist die einzige Lösung dieses Systems wird x = 5 sein.

Damit ist das Problem gelöst, auch unter Berücksichtigung der ODZ. Kommen wir zur zweiten Gleichung. Weitere interessante und aufschlussreiche Berechnungen erwarten uns hier:

Der erste Schritt: Wie beim letzten Mal bringen wir das Ganze in eine kanonische Form. Dazu können wir die Zahl 9 wie folgt schreiben:

Sie müssen die Basis nicht mit der Wurzel berühren, aber es ist besser, das Argument umzuwandeln. Gehen wir von der Wurzel zur Potenz mit einem rationalen Exponenten über. Schreiben wir auf:

Lassen Sie mich nicht unsere gesamte große logarithmische Gleichung umschreiben, sondern gleich die Argumente gleichsetzen:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Vor uns liegt ein neu reduziertes quadratisches Trinom. Verwenden wir die Formeln von Vieta und schreiben wir:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Also haben wir die Wurzeln ermittelt, aber niemand hat uns garantiert, dass sie zur ursprünglichen logarithmischen Gleichung passen würden. Schließlich erlegen die Protokollzeichen zusätzliche Einschränkungen auf (hier hätten wir das System aufschreiben sollen, aber aufgrund der Umständlichkeit der gesamten Struktur habe ich beschlossen, den Definitionsbereich separat zu berechnen).

Denken Sie zunächst daran, dass die Argumente größer als 0 sein müssen, nämlich:

Dies sind die Anforderungen, die der Definitionsbereich stellt.

Beachten wir sofort, dass wir jeden von ihnen streichen können, da wir die ersten beiden Ausdrücke des Systems miteinander gleichsetzen. Streichen wir das erste durch, weil es bedrohlicher aussieht als das zweite.

Beachten Sie außerdem, dass die Lösung der zweiten und dritten Ungleichungen dieselben Mengen sein werden (die Potenz einer Zahl ist größer als Null, wenn diese Zahl selbst größer als Null ist; ebenso mit einer Wurzel dritten Grades - diese Ungleichungen sind völlig analog, daher können wir es streichen).

Aber mit der dritten Ungleichung wird das nicht funktionieren. Lassen Sie uns das radikale Zeichen auf der linken Seite loswerden, indem wir beide Teile zu einem Würfel erheben. Wir bekommen:

Wir erhalten also folgende Anforderungen:

− 2 ≠ x > −3

Welche unserer Wurzeln: x 1 = −3 oder x 2 = −1 erfüllt diese Anforderungen? Offensichtlich ist nur x = −1, da x = −3 die erste Ungleichung nicht erfüllt (da unsere Ungleichung streng ist). Wenn wir also zu unserem Problem zurückkehren, erhalten wir eine Wurzel: x = −1. Das war's, Problem gelöst.

Noch einmal die Kernpunkte dieser Aufgabe:

Fühlen Sie sich frei, logarithmische Gleichungen in kanonischer Form anzuwenden und zu lösen. Schüler, die eine solche Notation erstellen, anstatt direkt vom ursprünglichen Problem zu einer Konstruktion wie log a f (x) = b überzugehen, machen viel weniger Fehler als diejenigen, die irgendwohin eilen und Zwischenschritte der Berechnungen überspringen;
Sobald eine variable Basis in einem Logarithmus auftritt, ist das Problem nicht mehr das einfachste. Bei der Lösung muss daher der Definitionsbereich berücksichtigt werden: Die Argumente müssen größer als Null sein und die Basen dürfen nicht nur größer als 0 sein, sondern dürfen auch nicht gleich 1 sein.

Die endgültigen Anforderungen können auf unterschiedliche Weise auf die endgültigen Antworten angewendet werden. Sie können beispielsweise ein gesamtes System lösen, das alle Anforderungen für den Definitionsbereich enthält. Andererseits können Sie zunächst das Problem selbst lösen und sich dann den Definitionsbereich merken, ihn separat in Form eines Systems ausarbeiten und auf die erhaltenen Wurzeln anwenden.

Welche Methode Sie zum Lösen einer bestimmten logarithmischen Gleichung wählen, liegt bei Ihnen. In jedem Fall wird die Antwort dieselbe sein.

Folgt aus seiner Definition. Und so der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A ist definiert als der Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss A um die Nummer zu bekommen B(Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, entspricht der Lösung der Gleichung a x =b. Zum Beispiel, log 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das Wenn zu begründen b=a c, dann der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A gleicht Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmen eng mit dem Thema Potenzen einer Zahl verbunden ist.

Mit Logarithmen können Sie wie mit allen Zahlen umgehen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise verwandeln. Da es sich bei Logarithmen jedoch nicht um ganz gewöhnliche Zahlen handelt, gelten hier eigene Sonderregeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Logarithmen addieren und subtrahieren.

Nehmen wir zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: Log ein x Und log ein y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = Log ein x 1 + Log ein x 2 + Log ein x 3 + ... + log a x k.

Aus Logarithmus-Quotientensatz Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann ermittelt werden. Es ist allgemein bekannt, dass log A 1= 0 also

Protokoll A 1 /B= Protokoll A 1 - Protokoll ein b= - Protokoll ein b.

Das heißt, es besteht eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen aus dem gleichen Grund werden sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Also:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log A X und protokollieren A j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

Protokoll A X+ Protokoll A j= Protokoll A (X · j);
Protokoll A X− log A j= Protokoll A (X : j).

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d. h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

[Bildunterschrift]

Übergang zu einer neuen Stiftung

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log A X. Dann für eine beliebige Zahl C so dass C> 0 und C≠ 1, die Gleichheit gilt:
[Bildunterschrift]
Insbesondere, wenn wir sagen C = X, wir bekommen:
[Bildunterschrift]

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

[Bildunterschrift]

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen befasst.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bildunterschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall die Nummer N wird zu einem Indikator für den Stellenwert der Argumentation. Nummer N kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So nennt man es: die grundlegende logarithmische Identität.

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl B auf eine solche Potenz erhöhen, dass die Zahl B zu dieser Potenz gibt die Zahl A? Das ist richtig: Sie erhalten dieselbe Nummer A. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

[Bildunterschrift]

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Protokoll A A= 1 ist eine logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Logarithmus zu jeder Basis A von dieser Basis aus ist gleich eins.
Protokoll A 1 = 0 ist logarithmischer Nullpunkt. Base A kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Weil A 0 = 1 ist eine direkte Konsequenz der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Das mathematisches Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf den die Basis „a“ angehoben werden muss, um letztlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Dort sind drei einzelne Arten logarithmische Ausdrücke:

Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann auch von Personen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von komplexen mathematischen Themen haben. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Es ergibt sich folgender Ausdruck: log 2 (x-1) > 3 – es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem logarithmischen Vorzeichen steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (zum Beispiel der Logarithmus 2 x = √9) eine oder mehrere spezifische Antworten implizieren. Zahlenwerte, während bei der Lösung der Ungleichung sowohl der Bereich zulässiger Werte als auch die Haltepunkte dieser Funktion bestimmt werden. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die zwingende Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Der Satz in Form einer Formel übernimmt nächste Ansicht: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmeprüfungen in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder auf eine allgemeine Form reduziert werden kann. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig vor in Aufnahmeprüfungen, insbesondere viele logarithmische Probleme im Einheitlichen Staatsexamen ( Staatsexamen für alle Schulabgänger). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung), sondern auch in Teil C (den komplexesten und umfangreichsten Aufgaben) enthalten. Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen Optionen für das einheitliche Staatsexamen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.