Liegende Parabel. Parabel – Eigenschaften und Graph einer quadratischen Funktion

Aufgabe Nr. 1. Bestimmen Sie die Koordinaten der Brennpunkte und stellen Sie die Gleichung der Leitlinie der Parabel auf

Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung
, wir finden, dass 2p=4, woher . Also der Punkt
- die Brennpunkte einer Parabel und die Gerade
, d.h. x=-1 oder x+1=0 ist seine Leitlinie.

Antwort: (1;0)

Aufgabe Nr. 2. Der Brennpunkt einer Parabel, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt, liegt im Punkt F(0;-4). Schreiben Sie die Gleichung dieser Parabel.

Aufgabe Nr. 3. Die Leitlinie einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung ist die Gerade 2x+5=0

Schreiben Sie eine Gleichung und ermitteln Sie die Koordinaten des Brennpunkts der Parabel.

R
Lösung: Da die Leitlinie einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung die Gerade 2x+5=0 oder ist
, dann hat sein Fokus Koordinaten

, daher ist die gewünschte Kurve symmetrisch um die Ox-Achse F( )
und seine Zweige sind nach rechts gerichtet (die Abszisse des Fokus ist positiv). Daher hat die Parabelgleichung die Form

Als
Das
und die Gleichung der Parabel lautet:
, und die Koordinaten seines Fokus sind F(2,5;0)

Antwort:
; F(2,5;0)

Aufgabe Nr. 4. Schreiben Sie die Gleichung einer Parabel, die symmetrisch zur Oy-Achse ist und deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, wenn sie durch Punkt B(1;-2) verläuft.

Da die Parabel symmetrisch zur Oy-Achse ist und einen Scheitelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems hat, hat ihre Gleichung die Form
. Da Punkt B(1;-2) auf einer Parabel liegt, erfüllen seine Koordinaten die Parabeln, d.h.
,

Wo
, und deshalb
- Gleichung einer Parabel.

Antwort:

Aufgabe Nr. 5. Finden Sie die Höhe des Bogens einer 24 m langen Brücke, wenn der Bogen die Form einer Parabel hat, deren Gleichung lautet

Skizzieren wir eine Parabel
in einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem. Bezeichnen wir mit h die Höhe der Brücke und mit =24 - Länge des Brückenbogens. Dann ist A(12;-h) P:
.

T
wie Punkt A zu einer Parabel gehört
, dann erfüllen seine Koordinaten die Gleichung einer Parabel. Dadurch ist es möglich, anstelle der aktuellen Koordinaten (x;y) die Koordinaten eines bestimmten Punktes in die Parabelgleichung einzusetzen. Dann haben wir

Die Höhe des Brückenbogens beträgt also 3 m.

Problem Nr. 6. Ein schräg zur Horizontebene gerichteter Wasserstrahl steigt auf eine Höhe von 2 m und fällt 12 m von der Schlauchspitze ab. Finden Sie die parabolische Flugbahn des Jets.

Lösung: Ordnen wir die parabolische Flugbahn des Strahls einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem zu, sodass die parabolische Flugbahn symmetrisch zur Oy-Achse ist, die Zweige nach unten gerichtet sind und ihr Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Dann hat die Gleichung einer solchen parabolischen Flugbahn die Form
, Punkt A(6;-2) P:
Daher erfüllen seine Koordinaten die Parabelgleichung. Ersetzen der Koordinaten von Punkt A anstelle der aktuellen x- und y-Koordinaten der Parabel
, gibt Gleichheit

. Somit,
- Gleichung der parabolischen Flugbahn des Strahls.

Antwort:

Entscheide dich selbst:

Aufgabe Nr. 7. Der Querschnitt eines Reflektors durch eine Ebene, die durch die Achse des Reflektors verläuft, ist eine Parabel. Schreiben Sie die Gleichung auf, wenn die Breite des Reflektors 30 cm und die Tiefe 20 cm beträgt (die Achse des Reflektors fällt mit der Ox-Achse zusammen).

Antwort:

Aufgabe Nr. 8. Wasser fließt aus einem Loch auf der Erdoberfläche in einem Bach, der einen Parabelzweig darstellt
. In welcher Entfernung vom Rand des Beckens fällt der Bach auf den Boden, wenn die Höhe des Lochs beträgt

Antwort: 3 m.

Problem Nr. 9. Der axiale Abschnitt eines Parabolspiegels ist eine Parabel

Bestimmen Sie den Durchmesser des Spiegels, wenn seine „Tiefe“ 18,75 cm beträgt.

Antwort: 30 cm.

Problem Nr. 10. Ein Stein, der in einem spitzen Winkel zur erreichten horizontalen Ebene geworfen wird größte Höhe 16 m. Nachdem der Stein eine parabolische Flugbahn beschrieben hatte, fiel er 48 m vom Abwurfpunkt entfernt. Finden Sie die Flugbahn des Steins.

Antwort:
.

Aufgabe Nr. 11 Finden Sie eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, wenn ihr Brennpunkt im Punkt a) F(3;0); liegt; b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)

Antwort: a)
; B)
; V)
; G)

Aufgabe Nr. 12 Finden Sie Parabeln mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, wenn die Leitlinien gegeben sind: a)
; b)x=-5; c) y=3; d) y=-2;

Antwort: a)
; B)
; V)
; G)
.

Aufgabe Nr. 13. Finden Sie die Koordinaten des Fokus und schreiben Sie die Leitliniengleichung für jede der Parabeln.

A)
; B)
; V)
; G)
. Konstruieren Sie diese Parabeln.

Antwort: a) F(2;0); x+2=0 ; b) F(-3;0); x-3=0 ; c) F(0;); 2y+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Aufgabe Nr. 14. Überprüfen Sie, ob die Punkte A(2;-2) und B(1;2) auf der Parabel liegen

Antwort: A sind, B nicht.

Aufgabe Nr. 15. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, der symmetrisch zur Ox-Achse ist und durch den Punkt verläuft

Antwort:

Aufgabe Nr. 16. Schreiben Sie die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, wenn:

A) Die Parabel befindet sich in der oberen Halbebene symmetrisch zur Ordinatenachse und ihr Fokusparameter ist gleich 4;

B) die Parabel liegt in der unteren Halbebene symmetrisch zur Ordinatenachse und ihr Brennpunktsparameter beträgt 6;

B) die Parabel liegt symmetrisch zur Ordinatenachse in der rechten Halbebene und ihr Brennparameter ist gleich 3;

d) die Parabel liegt symmetrisch zur Ordinatenachse in der linken Halbebene und ihr Brennparameter ist gleich 5.

Antwort a)
; B)
; V)
; G)
.

Betrachten Sie eine Linie in der Ebene und einen Punkt, der nicht auf dieser Linie liegt. UND Ellipse, Und Hyperbel kann einheitlich als geometrischer Ort von Punkten definiert werden, für die das Verhältnis der Entfernung zu einem bestimmten Punkt zur Entfernung zu einer bestimmten geraden Linie ein konstanter Wert ist

Rang ε. Bei 0 1 - Hyperbel. Der Parameter ε ist Exzentrizität von Ellipse und Hyperbel. Von den möglichen positiven Werten des Parameters ε erweist sich einer, nämlich ε = 1, als ungenutzt. Dieser Wert entspricht dem geometrischen Ort von Punkten, die von einem gegebenen Punkt und von einer gegebenen Linie gleich weit entfernt sind.

Definition 8.1. Der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem festen Punkt und von einer festen Linie gleich weit entfernt sind, wird genannt Parabel.

Der Fixpunkt heißt Brennpunkt der Parabel, und die gerade Linie - Leitlinie einer Parabel. Gleichzeitig wird davon ausgegangen Exzentrizität der Parabel gleich eins.

Aus geometrischen Überlegungen folgt, dass die Parabel symmetrisch bezüglich der Geraden ist, die senkrecht zur Leitlinie steht und durch den Brennpunkt der Parabel verläuft. Diese Gerade wird als Symmetrieachse der Parabel oder einfach bezeichnet Parabelachse. Eine Parabel schneidet ihre Symmetrieachse in einem einzigen Punkt. Dieser Punkt heißt der Scheitelpunkt der Parabel. Es befindet sich in der Mitte des Segments, das den Brennpunkt der Parabel mit dem Schnittpunkt ihrer Achse mit der Leitlinie verbindet (Abb. 8.3).

Parabelgleichung. Um die Gleichung einer Parabel abzuleiten, wählen wir die Ebene aus Herkunft am Scheitelpunkt der Parabel, wie x-Achse- die Achse der Parabel, deren positive Richtung durch die Position des Fokus vorgegeben wird (siehe Abb. 8.3). Dieses Koordinatensystem heißt kanonisch für die betreffende Parabel und die entsprechenden Variablen sind kanonisch.

Bezeichnen wir den Abstand vom Fokus zur Leitlinie mit p. Er heißt Brennparameter der Parabel.

Dann hat der Fokus die Koordinaten F(p/2; 0) und die Leitlinie d wird durch die Gleichung x = - p/2 beschrieben. Der Ort der Punkte M(x; y), die vom Punkt F und von der Linie d gleich weit entfernt sind, ist durch die Gleichung gegeben

Lassen Sie uns Gleichung (8.2) quadrieren und ähnliche darstellen. Wir erhalten die Gleichung

Was heisst kanonische Parabelgleichung.

Beachten Sie, dass die Quadrierung erfolgt in diesem Fall ist eine äquivalente Transformation der Gleichung (8.2), da beide Seiten der Gleichung nicht negativ sind, ebenso wie der Ausdruck unter der Wurzel.

Art der Parabel. Wenn die Parabel y 2 = x, deren Form wir als bekannt betrachten, mit einem Koeffizienten 1/(2ð) entlang der Abszissenachse komprimiert wird, erhält man eine Parabel allgemeiner Form, die durch Gleichung (8.3) beschrieben wird.

Beispiel 8.2. Finden wir die Koordinaten des Fokus und die Gleichung der Leitlinie einer Parabel, wenn sie durch einen Punkt verläuft, dessen kanonische Koordinaten (25; 10) sind.

In kanonischen Koordinaten hat die Parabelgleichung die Form y 2 = 2px. Da der Punkt (25; 10) auf der Parabel liegt, ist 100 = 50p und daher p = 2. Daher ist y 2 = 4x die kanonische Gleichung der Parabel, x = - 1 die Gleichung ihrer Leitlinie und die Der Fokus liegt auf dem Punkt (1; 0).

Optische Eigenschaft einer Parabel. Die Parabel hat Folgendes optische Eigenschaft. Wenn eine Lichtquelle im Brennpunkt einer Parabel platziert wird, dann alles Lichtstrahlen Nach der Reflexion an der Parabel verlaufen sie parallel zur Achse der Parabel (Abb. 8.4). Die optische Eigenschaft bedeutet, dass an jedem Punkt M der Parabel Normalenvektor Die Tangente bildet mit dem Fokusradius MF und der Abszissenachse gleiche Winkel.

Eine Parabel ist der Ort der Punkte in der Ebene, die von einem gegebenen Punkt F und einer gegebenen geraden Linie d, die nicht durch sie verläuft, gleich weit entfernt sind angegebenen Punkt. Diese geometrische Definition drückt aus Richtungseigenschaft einer Parabel.

Richtungseigenschaft einer Parabel

Punkt F wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet, Linie d ist die Leitlinie der Parabel, der Mittelpunkt O der vom Brennpunkt zur Leitlinie abgesenkten Senkrechten ist der Scheitelpunkt der Parabel, der Abstand p vom Brennpunkt zur Leitlinie ist der Parameter der Parabel, und der Abstand \frac(p)(2) vom Scheitelpunkt der Parabel zu ihrem Brennpunkt ist Brennweite(Abb. 3.45, a). Die zur Leitlinie senkrechte und durch den Brennpunkt verlaufende Gerade wird Parabelachse (Brennachse der Parabel) genannt. Das Segment FM, das einen beliebigen Punkt M der Parabel mit seinem Brennpunkt verbindet, wird Brennradius des Punktes M genannt. Das Segment, das zwei Punkte einer Parabel verbindet, wird Parabelsehne genannt.

Für einen beliebigen Punkt einer Parabel ist das Verhältnis des Abstands zum Fokus zum Abstand zur Leitlinie gleich eins. Wenn wir die Richtungseigenschaften von , und Parabeln vergleichen, kommen wir zu dem Schluss Exzentrizität der Parabel per Definition gleich eins (e=1).

Geometrische Definition einer Parabel, der seine Richtungseigenschaft ausdrückt, entspricht seiner analytischen Definition – der Linie, die durch die kanonische Gleichung einer Parabel gegeben ist:

Lassen Sie uns tatsächlich ein rechteckiges Koordinatensystem einführen (Abb. 3.45, b). Als Ursprung des Koordinatensystems nehmen wir den Scheitelpunkt O der Parabel; Wir nehmen die gerade Linie, die senkrecht zur Leitlinie durch den Fokus verläuft, als Abszissenachse (die positive Richtung darauf verläuft von Punkt O zu Punkt F); Nehmen wir als Ordinatenachse eine Gerade, die senkrecht zur Abszissenachse steht und durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft (die Richtung auf der Ordinatenachse wird so gewählt). rechteckiges System Koordinaten Oxy erwiesen sich als richtig).

Erstellen wir eine Gleichung für eine Parabel anhand ihrer geometrischen Definition, die die Richtungseigenschaft einer Parabel ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten des Fokus F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) und die Leitliniengleichung x=-\frac(p)(2) . Für einen beliebigen Punkt M(x,y), der zu einer Parabel gehört, gilt:

FM=MM_d,

Wo M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - orthographische Projektion zeigt M(x,y) auf die Leitlinie. Wir schreiben diese Gleichung in Koordinatenform:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Wenn wir ähnliche Begriffe mitbringen, erhalten wir kanonische Parabelgleichung

y^2=2\cdot p\cdot x, diese. Das gewählte Koordinatensystem ist kanonisch.

Wenn man die Überlegungen in umgekehrter Reihenfolge durchführt, kann man zeigen, dass alle Punkte, deren Koordinaten Gleichung (3.51) erfüllen, und nur sie, dazugehören geometrischer Ort Punkte, Parabel genannt. Somit ist die analytische Definition einer Parabel äquivalent zu ihrer geometrische Definition, was die Richtungseigenschaft einer Parabel ausdrückt.

Parabelgleichung im Polarkoordinatensystem

Die Gleichung einer Parabel im Polarkoordinatensystem Fr\varphi (Abb. 3.45, c) hat die Form

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Dabei ist p der Parameter der Parabel und e=1 ihre Exzentrizität.

Tatsächlich wählen wir als Pol des Polarkoordinatensystems den Brennpunkt F der Parabel und als Polarachse einen Strahl, der am Punkt F beginnt, senkrecht zur Leitlinie steht und diese nicht schneidet (Abb. 3.45, c) . Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi), der zu einer Parabel gehört, gemäß der geometrischen Definition (Richtungseigenschaft) einer Parabel MM_d=r. Weil das MM_d=p+r\cos\varphi erhalten wir die Parabelgleichung in Koordinatenform:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Beachten Sie, dass in Polarkoordinaten die Gleichungen der Ellipse, der Hyperbel und der Parabel übereinstimmen, aber unterschiedliche Linien beschreiben, da sie sich in der Exzentrizität (0\leqslant e) unterscheiden<1 для , e=1 для параболы, e>1 für ).

Geometrische Bedeutung des Parameters in der Parabelgleichung

Lass es uns erklären geometrische Bedeutung Parameter p in kanonische Gleichung Parabeln. Wenn wir x=\frac(p)(2) in Gleichung (3.51) einsetzen, erhalten wir y^2=p^2, d.h. y=\pm p . Daher ist der Parameter p die halbe Länge der Sehne der Parabel, die durch ihren Brennpunkt senkrecht zur Achse der Parabel verläuft.

Der Brennparameter der Parabel, sowie für eine Ellipse und eine Hyperbel, wird als halbe Länge der Sehne bezeichnet, die senkrecht zur Brennachse durch ihren Fokus verläuft (siehe Abb. 3.45, c). Aus der Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten bei \varphi=\frac(\pi)(2) wir erhalten r=p, d.h. Der Parameter der Parabel stimmt mit ihrem Brennparameter überein.

Hinweise 3.11.

1. Der Parameter p einer Parabel charakterisiert ihre Form. Je größer p, desto breiter die Äste der Parabel, je näher p an Null liegt, desto schmaler sind die Äste der Parabel (Abb. 3.46).

2. Die Gleichung y^2=-2px (für p>0) definiert eine Parabel, die links von der Ordinatenachse liegt (Abb. 3.47,a). Durch Änderung der Richtung der x-Achse (3.37) wird diese Gleichung auf die kanonische reduziert. In Abb. 3.47,a zeigt das gegebene Koordinatensystem Oxy und das kanonische Ox"y".

3. Gleichung (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definiert eine Parabel mit dem Scheitelpunkt O"(x_0,y_0), deren Achse parallel zur Abszissenachse verläuft (Abb. 3.47,6). Diese Gleichung wird durch Paralleltranslation (3.36) auf die kanonische reduziert.

Die gleichung (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 definiert auch eine Parabel mit dem Scheitelpunkt O"(x_0,y_0), deren Achse parallel zur Ordinatenachse verläuft (Abb. 3.47, c). Diese Gleichung wird durch Parallelverschiebung (3.36) und Umbenennung auf die kanonische reduziert Koordinatenachsen (3.38) stellen die gegebenen Koordinatensysteme Oxy und die kanonischen Koordinatensysteme Ox"y" dar.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 ist eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), deren Achse parallel zur Ordinatenachse verläuft, sind die Äste der Parabel nach oben (für a>0) oder nach unten (für a) gerichtet<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

was auf die kanonische Form (y")^2=2px" reduziert wird, wobei p=\left|\frac(1)(2a)\right|, mit Ersatz y"=x+\frac(b)(2a) Und x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Das Vorzeichen wird so gewählt, dass es mit dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a übereinstimmt. Dieser Ersatz entspricht der Zusammensetzung: Parallelübertragung (3.36) mit x_0=-\frac(b)(2a) Und y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), Umbenennen der Koordinatenachsen (3.38) und im Fall von a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 und a<0 соответственно.

5. Die x-Achse des kanonischen Koordinatensystems ist Symmetrieachse der Parabel, da das Ersetzen der Variablen y durch -y die Gleichung (3.51) nicht ändert. Mit anderen Worten, die Koordinaten des Punktes M(x,y), der zur Parabel gehört, und die Koordinaten des Punktes M"(x,-y), symmetrisch zum Punkt M relativ zur x-Achse, erfüllen die Gleichung (3.S1) werden die Achsen des kanonischen Koordinatensystems aufgerufen die Hauptachsen der Parabel.

Beispiel 3.22. Zeichnen Sie die Parabel y^2=2x im kanonischen Koordinatensystem Oxy. Finden Sie den Fokusparameter, die Fokuskoordinaten und die Leitliniengleichung.

Lösung. Wir konstruieren eine Parabel unter Berücksichtigung ihrer Symmetrie relativ zur Abszissenachse (Abb. 3.49). Bestimmen Sie ggf. die Koordinaten einiger Punkte der Parabel. Wenn wir beispielsweise x=2 in die Parabelgleichung einsetzen, erhalten wir y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Folglich gehören Punkte mit den Koordinaten (2;2),\,(2;-2) zur Parabel.

Durch den Vergleich der gegebenen Gleichung mit der kanonischen (3.S1) bestimmen wir den Fokusparameter: p=1. Fokuskoordinaten x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, d.h. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Wir stellen die Leitliniengleichung x=-\frac(p)(2) auf, d.h. x=-\frac(1)(2) .

Allgemeine Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel, Parabel

1. Die Richtungseigenschaft kann als einzelne Definition einer Ellipse, Hyperbel, Parabel verwendet werden (siehe Abb. 3.50): der Ort von Punkten in der Ebene, für die das Verhältnis des Abstands zu einem bestimmten Punkt F (Fokus) zum Abstand zu einer bestimmten geraden Linie d (Leitlinie), die nicht durch einen bestimmten Punkt verläuft, konstant und gleich der Exzentrizität e ist , wird genannt:

a) wenn 0\leqslant e<1 ;

b) wenn e>1;

c) Parabel, wenn e=1.

2. Eine Ellipse, Hyperbel und Parabel ergeben sich als Ebenen in Abschnitten eines Kreiskegels und werden daher genannt Kegelschnitte. Diese Eigenschaft kann auch als geometrische Definition einer Ellipse, Hyperbel und Parabel dienen.

3. Zu den gemeinsamen Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel und Parabel gehören: halbierendes Eigentum ihre Tangenten. Unter Tangente zu einer Geraden an irgendeinem Punkt K wird die Grenzlage der Sekante KM verstanden, wenn der auf der betrachteten Geraden verbleibende Punkt M zum Punkt K tendiert. Eine Gerade, die senkrecht zu einer Tangente an eine Gerade steht und durch den Tangentialpunkt verläuft, heißt normal zu dieser Zeile.

Die Winkelhalbierendeigenschaft von Tangenten (und Normalen) an eine Ellipse, Hyperbel und Parabel wird wie folgt formuliert: Die Tangente (Normale) an eine Ellipse oder an eine Hyperbel bildet mit den Brennradien des Tangentenpunkts gleiche Winkel(Abb. 3.51, a, b); Die Tangente (Normale) an die Parabel bildet gleiche Winkel mit dem Brennradius des Tangentialpunktes und der von ihm zur Leitlinie fallenden Senkrechten(Abb. 3.51, c). Mit anderen Worten, die Tangente an die Ellipse am Punkt K ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels des Dreiecks F_1KF_2 (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels F_1KF_2 des Dreiecks); die Tangente an die Hyperbel ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks F_1KF_2 (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels); Die Tangente an die Parabel ist die Winkelhalbierende des Dreiecks FKK_d (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels). Die Winkelhalbierendeigenschaft einer Tangente an eine Parabel lässt sich auf die gleiche Weise formulieren wie für eine Ellipse und eine Hyperbel, wenn wir annehmen, dass die Parabel einen zweiten Brennpunkt an einem Punkt im Unendlichen hat.

4. Aus den Winkelhalbierungseigenschaften folgt optische Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel und Parabel, um die physikalische Bedeutung des Begriffs „Fokus“ zu erläutern. Stellen wir uns Flächen vor, die durch die Drehung einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel um die Brennachse entstehen. Wenn diese Oberflächen mit einer reflektierenden Beschichtung versehen werden, erhält man elliptische, hyperbolische und parabolische Spiegel. Nach dem Gesetz der Optik ist der Einfallswinkel eines Lichtstrahls auf einen Spiegel gleich dem Reflexionswinkel, d.h. Die einfallenden und reflektierten Strahlen bilden mit der Flächennormalen gleiche Winkel und beide Strahlen und die Rotationsachse liegen in derselben Ebene. Von hier aus erhalten wir die folgenden Eigenschaften:

– Befindet sich die Lichtquelle in einem der Brennpunkte eines elliptischen Spiegels, werden die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen in einem anderen Brennpunkt gesammelt (Abb. 3.52, a);

– Befindet sich die Lichtquelle in einem der Brennpunkte eines Hyperbolspiegels, divergieren die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen, als kämen sie von einem anderen Brennpunkt (Abb. 3.52, b);

– Befindet sich die Lichtquelle im Brennpunkt eines Parabolspiegels, verlaufen die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen parallel zur Brennachse (Abb. 3.52, c).

5. Diametrische Eigenschaft Ellipse, Hyperbel und Parabel lassen sich wie folgt formulieren:

– Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Ellipse (Hyperbel) liegen auf einer Geraden, die durch den Mittelpunkt der Ellipse (Hyperbel) verläuft.;

– Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Parabel liegen auf der geraden, kollinearen Symmetrieachse der Parabel.

Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller parallelen Sehnen einer Ellipse (Hyperbel, Parabel) heißt Durchmesser der Ellipse (Hyperbel, Parabel), zu diesen Akkorden konjugieren.

Dies ist die Definition von Durchmesser im engeren Sinne (siehe Beispiel 2.8). Zuvor wurde der Durchmesser im weitesten Sinne definiert, wobei der Durchmesser einer Ellipse, einer Hyperbel, einer Parabel und anderer Linien zweiter Ordnung eine gerade Linie ist, die die Mittelpunkte aller parallelen Sehnen enthält. Im engeren Sinne ist der Durchmesser einer Ellipse jede durch ihren Mittelpunkt verlaufende Sehne (Abb. 3.53, a); Der Durchmesser einer Hyperbel ist jede gerade Linie, die durch den Mittelpunkt der Hyperbel verläuft (mit Ausnahme von Asymptoten) oder ein Teil einer solchen geraden Linie (Abb. 3.53,6); Der Durchmesser einer Parabel ist jeder Strahl, der von einem bestimmten Punkt der Parabel ausgeht und kollinear zur Symmetrieachse ist (Abb. 3.53, c).

Zwei Durchmesser, von denen jeder alle zum anderen Durchmesser parallelen Sehnen halbiert, werden als konjugiert bezeichnet. In Abb. 3.53 zeigen fette Linien die konjugierten Durchmesser einer Ellipse, einer Hyperbel und einer Parabel.

Die Tangente an die Ellipse (Hyperbel, Parabel) im Punkt K kann als Grenzposition der parallelen Sekanten M_1M_2 definiert werden, wenn die auf der betrachteten Geraden verbleibenden Punkte M_1 und M_2 zum Punkt K tendieren. Aus dieser Definition folgt, dass eine Tangente parallel zu den Sehnen durch das Ende des zu diesen Sehnen konjugierten Durchmessers verläuft.

6. Ellipse, Hyperbel und Parabel haben zusätzlich zu den oben genannten noch zahlreiche geometrische Eigenschaften und physikalische Anwendungen. Zur Veranschaulichung der Flugbahnen von Weltraumobjekten, die sich in der Nähe des Schwerpunkts F befinden, kann beispielsweise Abb. 3.50 dienen.

III-Stufe

3.1. Übertreibung berührt Zeilen 5 X – 6j – 16 = 0, 13X – 10j– – 48 = 0. Geben Sie die Gleichung der Hyperbel an, vorausgesetzt, dass ihre Achsen mit den Koordinatenachsen übereinstimmen.

3.2. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an eine Hyperbel

1) Durch einen Punkt gehen A(4, 1), B(5, 2) und C(5, 6);

2) parallel zur Geraden 10 X – 3j + 9 = 0;

3) senkrecht zur Geraden 10 X – 3j + 9 = 0.

Parabel ist der geometrische Ort der Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen

Parabelparameter:

Punkt F(P/2, 0) aufgerufen wird Fokus Parabeln, Größe P – Parameter , Punkt UM(0, 0) – Spitze . In diesem Fall die Gerade VON, um die die Parabel symmetrisch ist, definiert die Achse dieser Kurve.

Größe Wo M(X, j) – ein beliebiger Punkt einer Parabel, genannt Fokusradius , gerade D: X = –P/2 – Schulleiterin (es schneidet nicht den inneren Bereich der Parabel). Größe wird Exzentrizität der Parabel genannt.

Die wichtigste charakteristische Eigenschaft einer Parabel: Alle Punkte der Parabel haben den gleichen Abstand von der Leitlinie und dem Brennpunkt (Abb. 24).

Es gibt andere Formen der kanonischen Parabelgleichung, die andere Richtungen ihrer Zweige im Koordinatensystem bestimmen (Abb. 25):

Für parametrische Definition einer Parabel als Parameter T der Ordinatenwert des Parabelpunktes kann genommen werden:

Wo T ist eine beliebige reelle Zahl.

Beispiel 1. Bestimmen Sie die Parameter und die Form einer Parabel mithilfe ihrer kanonischen Gleichung:

Lösung. 1. Gleichung j 2 = –8X definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt UM Oh. Seine Zweige sind nach links gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung j 2 = –2px, wir finden: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(–2; 0), Leitliniengleichung D: X= 2 (Abb. 26).

2. Gleichung X 2 = –4j definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt Ö(0; 0), symmetrisch um die Achse Oy. Seine Äste sind nach unten gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung X 2 = –2py, wir finden: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(0; –1), Leitliniengleichung D: j= 1 (Abb. 27).

Beispiel 2. Bestimmen Sie Parameter und Kurventyp X 2 + 8X – 16j– 32 = 0. Erstellen Sie eine Zeichnung.

Lösung. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung mit der Methode der vollständigen Quadratextraktion transformieren:

X 2 + 8X– 16j – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16j – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16j – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(j + 3).

Als Ergebnis erhalten wir

(X + 4) 2 = 16(j + 3).

Dies ist die kanonische Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt im Punkt (–4, –3), dem Parameter P= 8, Äste zeigen nach oben (), Achse X= –4. Der Fokus liegt auf dem Punkt F(–4; –3 + P/2), d.h. F(–4; 1) Schulleiterin D gegeben durch die Gleichung j = –3 – P/2 oder j= –7 (Abb. 28).

Beispiel 4. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Punkt liegt V(3; –2) und konzentrieren Sie sich auf den Punkt F(1; –2).

Lösung. Scheitelpunkt und Brennpunkt einer gegebenen Parabel liegen auf einer Geraden parallel zur Achse Ochse(gleiche Ordinaten), die Äste der Parabel sind nach links gerichtet (die Abszisse des Fokus ist kleiner als die Abszisse des Scheitelpunkts), der Abstand vom Fokus zum Scheitelpunkt beträgt P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Daher die erforderliche Gleichung

(j+ 2) 2 = –2 4( X– 3) oder ( j + 2) 2 = = –8(X – 3).

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Ich nivelliere

1.1. Bestimmen Sie die Parameter der Parabel und konstruieren Sie sie:

1) j 2 = 2X; 2) j 2 = –3X;

3) X 2 = 6j; 4) X 2 = –j.

1.2. Schreiben Sie die Gleichung einer Parabel mit ihrem Scheitelpunkt im Ursprung, wenn Sie Folgendes wissen:

1) Die Parabel liegt symmetrisch zur Achse in der linken Halbebene Ochse Und P = 4;

2) Die Parabel liegt symmetrisch zur Achse Oy und geht durch den Punkt M(4; –2).

3) Die Leitlinie ist durch Gleichung 3 gegeben j + 4 = 0.

1.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, deren Punkte alle den gleichen Abstand vom Punkt (2; 0) und der Geraden haben X = –2.

Stufe II

2.1. Bestimmen Sie den Typ und die Parameter der Kurve.