Klassische und statistische Definition der Wahrscheinlichkeit

Für praktische Tätigkeiten ist es notwendig, Ereignisse nach dem Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens vergleichen zu können. Betrachten wir einen klassischen Fall. In der Urne befinden sich 10 Kugeln, davon 8 Weiß, 2 schwarz. Offensichtlich haben das Ereignis „aus der Urne wird eine weiße Kugel gezogen“ und das Ereignis „aus der Urne wird eine schwarze Kugel gezogen“ unterschiedliche Grade der Eintrittswahrscheinlichkeit. Um Ereignisse vergleichen zu können, ist daher ein bestimmtes quantitatives Maß erforderlich.

Ein quantitatives Maß für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ist Wahrscheinlichkeit . Die am häufigsten verwendeten Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sind klassisch und statistisch.

Klassische Definition Wahrscheinlichkeit ist mit dem Konzept eines günstigen Ergebnisses verbunden. Schauen wir uns das genauer an.

Lassen Sie die Ergebnisse eines Tests eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden und gleichermaßen möglich sein, d. h. eindeutig möglich, inkompatibel und gleichermaßen möglich. Solche Ergebnisse werden aufgerufen elementare Ergebnisse, oder Fälle. Es wird gesagt, dass der Test darauf hinausläuft Fallschema oder " Urnenschema", Weil Jedes Wahrscheinlichkeitsproblem für einen solchen Test kann durch ein äquivalentes Problem mit Urnen und Kugeln unterschiedlicher Farbe ersetzt werden.

Das Ergebnis heißt günstig Ereignis A, wenn der Eintritt dieses Falles den Eintritt des Ereignisses nach sich zieht A.

Nach der klassischen Definition Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse, d.h.

,

(1.1)

Wo P(A)– Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A; M– Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle A; N– Gesamtzahl der Fälle.

Beispiel 1.1. Beim Würfeln gibt es sechs mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Punktzahl zu erreichen?

Lösung. Alle N= 6 Ergebnisse bilden eine vollständige Ereignisgruppe und sind gleichermaßen möglich, d.h. eindeutig möglich, inkompatibel und gleichermaßen möglich. Ereignis A – „das Erscheinen einer geraden Anzahl von Punkten“ – wird durch 3 Ergebnisse (Fälle) begünstigt – den Verlust von 2, 4 oder 6 Punkten. Mit der klassischen Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhalten wir

P(A) = = . ◄

Basierend auf der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses notieren wir seine Eigenschaften:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen Null und Eins, d. h.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.

3. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Wie bereits erwähnt, ist die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nur auf Ereignisse anwendbar, die als Ergebnis von Tests auftreten können, die eine Symmetrie möglicher Ergebnisse aufweisen, d. h. auf ein Fallmuster reduzierbar. Allerdings gibt es eine große Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten sich nicht mit der klassischen Definition berechnen lassen.

Wenn wir beispielsweise davon ausgehen, dass die Münze abgeflacht ist, ist es offensichtlich, dass die Ereignisse „Erscheinen eines Wappens“ und „Erscheinen von Köpfen“ nicht gleichermaßen für möglich gehalten werden können. Daher ist die Formel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit nach dem klassischen Schema in in diesem Fall unzutreffend.

Es gibt jedoch einen anderen Ansatz zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, der darauf basiert, wie oft ein bestimmtes Ereignis in den durchgeführten Versuchen auftritt. In diesem Fall wird die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit verwendet.

Statistische WahrscheinlichkeitEreignis A ist die relative Häufigkeit (Häufigkeit) des Auftretens dieses Ereignisses in n durchgeführten Versuchen, d. h.

,

(1.2)

Wo P*(A)– statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A; w(A)– relative Häufigkeit des Ereignisses A; M– Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis aufgetreten ist A; N– Gesamtzahl der Tests.

Im Gegensatz zur mathematischen Wahrscheinlichkeit P(A), betrachtet in der klassischen Definition, statistische Wahrscheinlichkeit P*(A) ist ein Merkmal erfahren, Experimental-. Mit anderen Worten: die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist die Zahl, um die sich die relative Häufigkeit stabilisiert (einstellt) w(A) mit einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Tests, die unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden.

Wenn man beispielsweise von einem Schützen sagt, dass er das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 trifft, bedeutet dies, dass von Hunderten von Schüssen, die er unter bestimmten Bedingungen (das gleiche Ziel in der gleichen Entfernung, das gleiche Gewehr usw.) abgefeuert hat. ), im Durchschnitt gibt es etwa 95 erfolgreiche. Natürlich hat nicht jeder Hundert 95 erfolgreiche Schüsse, manchmal sind es weniger, manchmal mehr, aber im Durchschnitt bleibt dieser Prozentsatz der Treffer unverändert, wenn der Schuss unter den gleichen Bedingungen viele Male wiederholt wird. Der Wert von 0,95, der als Indikator für das Können des Schützen dient, ist in der Regel sehr hoch stabil, d.h. Die Trefferquote ist bei den meisten Schießereien für einen bestimmten Schützen nahezu gleich und weicht nur in seltenen Fällen deutlich vom Durchschnittswert ab.

Ein weiterer Nachteil der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ( 1.1 ) Die Einschränkung seiner Verwendung besteht darin, dass es eine endliche Anzahl möglicher Testergebnisse annimmt. In einigen Fällen kann dieser Nachteil durch die Verwendung einer geometrischen Definition der Wahrscheinlichkeit behoben werden, d. h. Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in einen bestimmten Bereich (Segment, Teil einer Ebene usw.) fällt.

Lassen Sie die flache Figur G ist Teil einer flachen Figur G(Abb. 1.1). Fit G ein Punkt wird zufällig geworfen. Dies bedeutet, dass alle Punkte in der Region G„Gleichberechtigung“ in Bezug auf einen zufällig geworfenen Punkt, der ihn trifft. Unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A– Die Wurfspitze trifft die Figur G– ist proportional zur Fläche dieser Figur und hängt nicht von ihrer Position relativ dazu ab G, weder aus dem Formular G, wir werden finden

Wahrscheinlichkeitstheorie – eine mathematische Wissenschaft, die die Muster zufälliger Phänomene untersucht. Unter Zufallsphänomenen versteht man Phänomene mit ungewissem Ausgang, die auftreten, wenn bestimmte Bedingungen wiederholt reproduziert werden.

Wenn Sie beispielsweise eine Münze werfen, können Sie nicht vorhersagen, auf welcher Seite sie landen wird. Das Ergebnis des Münzwurfs ist zufällig. Aber bei ausreichend vielen Münzwürfen ergibt sich ein bestimmtes Muster (Wappen und Raute fallen etwa gleich oft heraus).

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Test (Erfahrung, Experiment) - die Umsetzung bestimmter Bedingungen, unter denen dieses oder jenes Phänomen beobachtet und dieses oder jenes Ergebnis aufgezeichnet wird.

Zum Beispiel: Einen Würfel werfen und eine bestimmte Anzahl an Punkten erzielen; Lufttemperaturunterschied; Methode zur Behandlung der Krankheit; ein bestimmter Abschnitt im Leben eines Menschen.

Zufälliges Ereignis (oder nur ein Ereignis) – Testergebnis.

Beispiele für zufällige Ereignisse:

beim Würfeln einen Punkt bekommen;

Verschlimmerung Koronarerkrankung Herzen mit einem starken Anstieg der Lufttemperatur im Sommer;

Entwicklung von Komplikationen der Krankheit aufgrund der falschen Wahl der Behandlungsmethode;

Zulassung zur Universität erfolgreiches Studium in der Schule.

Ereignisse werden in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: A , B , C , …

Das Ereignis wird aufgerufen zuverlässig , wenn es als Ergebnis der Prüfung unbedingt eintreten muss.

Das Ereignis wird aufgerufen unmöglich , wenn es aufgrund der Prüfung überhaupt nicht eintreten kann.

Wenn beispielsweise alle Produkte in einer Charge Standardprodukte sind, ist die Entnahme eines Standardprodukts daraus ein zuverlässiges Ereignis, die Entnahme eines fehlerhaften Produkts unter denselben Bedingungen jedoch ein unmögliches Ereignis.

KLASSISCHE DEFINITION VON WAHRSCHEINLICHKEIT

Wahrscheinlichkeit ist eines der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Klassische Ereigniswahrscheinlichkeit heißt das Verhältnis der Fallzahlen, die für das Ereignis günstig sind , zur Gesamtzahl der Fälle, d.h.

, (5.1)

Wo
- Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ,

- Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Fälle ,

- Gesamtzahl der Fälle.

Eigenschaften der Ereigniswahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins, d. h.

Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins, d.h.

.

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h.

.

(Schlagen Sie vor, mehrere zu lösen einfache Aufgaben oral).

STATISTISCHE BESTIMMUNG DER WAHRSCHEINLICHKEIT

In der Praxis basiert die Schätzung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen häufig darauf, wie oft ein bestimmtes Ereignis in den durchgeführten Tests auftritt. In diesem Fall wird die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit verwendet.

Statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sogenannte relative Häufigkeitsgrenze (das Verhältnis der Fallzahlen). M, günstig für den Eintritt eines Ereignisses , zur Gesamtzahl durchgeführte Tests), wenn die Anzahl der Tests gegen unendlich tendiert, d. h.

Wo
- statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ,
- Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis auftrat , - Gesamtzahl der Tests.

Im Gegensatz zur klassischen Wahrscheinlichkeit ist die statistische Wahrscheinlichkeit ein Merkmal der experimentellen Wahrscheinlichkeit. Die klassische Wahrscheinlichkeit wird zur theoretischen Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter bestimmten Bedingungen verwendet und erfordert keine Tests in der Realität. Die statistische Wahrscheinlichkeitsformel dient der experimentellen Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, d. h. Es wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden.

Die statistische Wahrscheinlichkeit ist ungefähr gleich der relativen Häufigkeit eines Zufallsereignisses, daher wird in der Praxis die relative Häufigkeit als statistische Wahrscheinlichkeit angenommen, weil Es ist praktisch unmöglich, eine statistische Wahrscheinlichkeit zu finden.

Die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit ist auf zufällige Ereignisse anwendbar, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze

Grundlegendes Konzept

a) Die einzig möglichen Ereignisse

Veranstaltungen
werden als die einzig möglichen bezeichnet, wenn als Ergebnis jedes Tests mindestens einer von ihnen mit Sicherheit eintritt.

Diese Veranstaltungen bilden eine vollständige Veranstaltungsgruppe.

Beispielsweise sind beim Würfeln nur die Seiten mit eins, zwei, drei, vier, fünf und sechs möglichen Ereignissen möglich. Sie bilden eine komplette Veranstaltungsgruppe.

b) Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn das Eintreten eines dieser Ereignisse das Eintreten anderer Ereignisse im selben Prozess ausschließt. Ansonsten nennt man sie Joint.

c) Gegenteil Nennen Sie zwei eindeutig mögliche Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden. Benennen Und .

G) Ereignisse werden als unabhängig bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines von ihnen nicht von der Begehung oder Nichterfüllung anderer abhängt.

Aktionen zu Ereignissen

Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse besteht.

Wenn Und – gemeinsame Veranstaltungen, dann ihre Summe
oder
bezeichnet das Auftreten von Ereignis A oder Ereignis B oder beider Ereignisse zusammen.

Wenn Und – inkompatible Ereignisse, dann ihre Summe
bedeutet Vorkommen oder Ereignisse , oder Ereignisse .

Menge Ereignisse bedeuten:

Das Produkt (Schnittpunkt) mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das aus dem gemeinsamen Auftreten aller dieser Ereignisse besteht.

Das Produkt zweier Ereignisse wird mit bezeichnet
oder
.

Arbeiten Ereignisse darstellen

Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit der Summe von zwei oder mehr inkompatiblen Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Für zwei Veranstaltungen;

- Für Veranstaltungen.

Folgen:

a) Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse Und gleich eins:

Die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses wird mit bezeichnet :
.

b) Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, ist gleich eins: oder
.

Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse

Wahrscheinlichkeit der Summe von zwei gemeinsame Veranstaltungen gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne die Wahrscheinlichkeiten ihres Schnittpunkts, d.h.

Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz

a) Für zwei unabhängige Ereignisse:

b) Für zwei abhängige Ereignisse

Wo
– bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses , d.h. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses , berechnet unter der Bedingung, dass das Ereignis passiert.

c) Für unabhängige Veranstaltungen:

.

d) Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse eintritt , die eine vollständige Gruppe unabhängiger Ereignisse bilden:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses , berechnet unter der Annahme, dass das Ereignis eingetreten ist wird als bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet und ist bezeichnet
oder
.

Bei der Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsformel wird die Anzahl der Ergebnisse berechnet Und
berechnet unter Berücksichtigung der Tatsache, dass vor dem Eintritt des Ereignisses ein Ereignis ist eingetreten .

Wie oben erwähnt, geht die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition davon aus, dass alle elementaren Ergebnisse gleichermaßen möglich sind. Aufgrund von Symmetrieerwägungen wird auf die Gleichheit der Ergebnisse des Experiments geschlossen. Probleme, bei denen Symmetrieüberlegungen eingesetzt werden können, sind in der Praxis selten. In vielen Fällen ist es schwierig, Gründe für die Annahme anzugeben, dass alle elementaren Ergebnisse gleichermaßen möglich sind. In diesem Zusammenhang wurde es notwendig, eine andere Definition der Wahrscheinlichkeit einzuführen, die als statistisch bezeichnet wird. Lassen Sie uns zunächst das Konzept der relativen Häufigkeit einführen.

Relative Häufigkeit des Ereignisses oder Häufigkeit ist das Verhältnis der Anzahl der Experimente, bei denen dieses Ereignis auftrat, zur Anzahl aller durchgeführten Experimente. Bezeichnen wir die Häufigkeit des Ereignisses A durch W(A), Dann

Wo N– Gesamtzahl der Experimente; M– Anzahl der Experimente, bei denen das Ereignis aufgetreten ist A.

Bei einer kleinen Anzahl von Experimenten ist die Häufigkeit des Ereignisses weitgehend zufällig und kann von einer Experimentgruppe zur anderen deutlich variieren. Beispielsweise ist es bei etwa zehn Münzwürfen durchaus möglich, dass das Wappen 2 Mal erscheint (Häufigkeit 0,2), bei weiteren zehn Würfen kann es durchaus sein, dass es 8 Wappen gibt (Häufigkeit 0,8). Allerdings verliert die Häufigkeit des Ereignisses mit zunehmender Anzahl der Experimente zunehmend ihren Zufallscharakter; Die zufälligen Umstände, die jeder einzelnen Erfahrung innewohnen, heben sich in der Masse auf, und die Häufigkeit tendiert dazu, sich zu stabilisieren und sich mit geringfügigen Schwankungen einem bestimmten konstanten Durchschnittswert zu nähern. Diese Konstante, die ein objektives numerisches Merkmal eines Phänomens ist, wird als Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses betrachtet.

Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit Ereignisse ist die Zahl, um die herum die Häufigkeitswerte eines bestimmten Ereignisses in verschiedenen Serien einer großen Anzahl von Tests gruppiert werden.

Die wiederholt experimentell getestete und durch die Erfahrung der Menschheit bestätigte Eigenschaft der Frequenzstabilität ist eines der charakteristischsten Muster, die bei Zufallsphänomenen beobachtet werden. Zwischen der Häufigkeit eines Ereignisses und seiner Wahrscheinlichkeit besteht ein tiefer Zusammenhang, der sich wie folgt ausdrücken lässt: Wenn wir den Grad der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses einschätzen, assoziieren wir diese Einschätzung mit einer mehr oder weniger großen Häufigkeit des Auftretens ähnlicher Ereignisse in der Praxis .

Geometrische Wahrscheinlichkeit

Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition geht davon aus, dass die Anzahl der Elementarergebnisse endlich ist. In der Praxis gibt es Experimente, bei denen die Menge solcher Ergebnisse unendlich ist. Um diesen Nachteil der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition zu überwinden, der darin besteht, dass sie nicht auf Tests mit unendlich vielen Ergebnissen anwendbar ist, führen sie Folgendes ein: Geometrische Wahrscheinlichkeiten – die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Punkt in eine Fläche fällt.

Nehmen wir an, dass auf der Ebene ein quadrierbarer Bereich gegeben ist G, d.h. Fläche mit Fläche S G. Im Gebiet G enthält Fläche G Bereich S g. Zur Region G Ein Punkt wird zufällig geworfen. Wir gehen davon aus, dass der geworfene Punkt in einen Teil des Gebiets fallen kann G mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zur Fläche dieses Teils und unabhängig von seiner Form und Lage. Lassen Sie die Veranstaltung A– „Der geworfene Punkt trifft die Fläche G", dann wird die geometrische Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses durch die Formel bestimmt:

Im Allgemeinen wird das Konzept der geometrischen Wahrscheinlichkeit wie folgt eingeführt. Bezeichnen wir das Maß der Fläche G(Länge, Fläche, Volumen) durch mes g, und das Maß der Fläche G- durch mes G ; lass auch A– Ereignis „Ein geworfener Punkt trifft den Bereich G, die in dem Gebiet enthalten ist G" Wahrscheinlichkeit, das Gebiet zu treffen G Punkte, die in den Bereich geworfen werden G, wird durch die Formel bestimmt

.

Aufgabe. Ein Quadrat ist in einen Kreis eingeschrieben. Ein Punkt wird zufällig in den Kreis geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt ins Quadrat fällt?

Lösung. Der Radius des Kreises sei R, dann ist die Fläche des Kreises . Die Diagonale des Quadrats ist, dann ist die Seite des Quadrats und die Fläche des Quadrats ist. Die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses ist definiert als das Verhältnis der Fläche des Quadrats zur Fläche des Kreises, d.h. .

Kontrollfragen

1. Was nennt man einen Test (Erfahrung)?

2. Was ist eine Veranstaltung?

3. Welches Ereignis wird als a) zuverlässig bezeichnet? b) zufällig? c) unmöglich?

4. Welche Ereignisse werden als a) inkompatibel bezeichnet? b) Gelenk?

5. Welche Ereignisse werden als gegensätzlich bezeichnet? Sind sie a) inkompatibel, b) kompatibel oder zufällig?

6. Was nennt man eine vollständige Gruppe zufälliger Ereignisse?

7. Wenn die Ereignisse aufgrund des Tests nicht alle zusammen auftreten können, sind sie dann paarweise inkompatibel?

8. Entstehen Ereignisse? A und die ganze Gruppe?

9. Welche grundlegenden Ergebnisse sprechen für dieses Ereignis?

10. Welche Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als klassisch bezeichnet?

11. Wo liegen die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

12. Unter welchen Bedingungen wird die klassische Wahrscheinlichkeit angewendet?

13. Unter welchen Bedingungen wird die geometrische Wahrscheinlichkeit angewendet?

14. Welche Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als geometrisch bezeichnet?

15. Wie häufig kommt es zu einem Ereignis?

16. Welche Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als statistisch bezeichnet?

Testaufgaben

1. Aus den Buchstaben des Wortes „Wintergarten“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Buchstabe ein Vokal ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um den Buchstaben „o“ handelt.

2. Die Buchstaben „o“, „p“, „s“, „t“ werden auf identische Karten geschrieben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Kabel“ auf zufällig in einer Reihe platzierten Karten erscheint.

3. Im Team sind 4 Frauen und 3 Männer. Unter den Brigademitgliedern werden 4 Eintrittskarten für das Theater verlost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den Ticketinhabern 2 Frauen und 2 Männer befinden?

4. Es werden zwei Würfel geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte beider Würfel größer als 6 ist.

5. Die Buchstaben l, m, o, o, t sind auf fünf identischen Karten geschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir, wenn wir die Karten einzeln herausnehmen, das Wort „Hammer“ in der Reihenfolge erhalten, in der sie erschienen sind?

6. Von 10 Losen gewinnen 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von fünf zufällig gezogenen Losen eines gewinnt?

7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten zweistellige Zahl Die Zahlen sind so, dass ihr Produkt gleich Null ist.

8. Eine Zahl, die 30 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Teiler von 30 ist.

9. Eine Zahl, die 30 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Vielfaches von 3 ist.

10. Eine Zahl, die 50 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist.

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit geht davon aus, dass alle elementaren Ergebnisse vorliegen gleichermaßen möglich. Die Gleichheit der Ergebnisse eines Experiments wird aufgrund von Symmetrieüberlegungen geschlossen (wie im Fall einer Münze oder eines Würfels). Probleme, bei denen Symmetriebetrachtungen eingesetzt werden können, sind in der Praxis selten. In vielen Fällen ist es schwierig, Gründe für die Annahme anzugeben, dass alle elementaren Ergebnisse gleichermaßen möglich sind. In diesem Zusammenhang wurde es notwendig, eine andere Definition der Wahrscheinlichkeit einzuführen, genannt statistisch. Um diese Definition zu geben, wird zunächst das Konzept der relativen Häufigkeit eines Ereignisses eingeführt.

Relative Häufigkeit des Ereignisses, oder Frequenz ist das Verhältnis der Anzahl der Experimente, bei denen dieses Ereignis auftrat, zur Anzahl aller durchgeführten Experimente. Bezeichnen wir die Häufigkeit des Ereignisses mit , dann per Definition

(1.4.1)
Dabei ist die Anzahl der Experimente, bei denen das Ereignis aufgetreten ist, und die Anzahl aller durchgeführten Experimente.

Die Ereignishäufigkeit hat die folgenden Eigenschaften.

Durch Beobachtungen konnte festgestellt werden, dass die relative Häufigkeit die Eigenschaften statistischer Stabilität aufweist: In verschiedenen Reihen von Polynomtests (in denen dieses Ereignis jeweils auftreten kann oder nicht) nimmt sie Werte an, die einer Konstante ziemlich nahe kommen. Diese Konstante, die ein objektives numerisches Merkmal eines Phänomens ist, wird als Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses betrachtet.

Wahrscheinlichkeit Ereignis ist die Zahl, um die herum die Werte der Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses in verschiedenen Serien einer großen Anzahl von Tests gruppiert werden.

Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition heißt statistisch.

Im Falle einer statistischen Definition hat die Wahrscheinlichkeit folgende Eigenschaften:
1) die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins;
2) die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null;
3) Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis eingeschlossen zwischen Null und Eins;
4) Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Beispiel 1. Von 500 stichprobenartig entnommenen Teilen waren 8 defekt. Ermitteln Sie die Häufigkeit defekter Teile.

Lösung. Da in diesem Fall = 8, = 500, dann finden wir gemäß Formel (1.4.1).

Beispiel 2. Dabei wird 60 Mal gewürfelt sechs erschien 10 Mal. Wie häufig kommt es vor? Sechser?

Lösung. Aus den Bedingungen des Problems folgt also = 60, = 10

Beispiel 3. Unter 1000 Neugeborenen waren 515 Jungen. Wie hoch ist die Geburtenrate der Jungen?
Lösung. Denn in diesem Fall, dann .

Beispiel 4. Als Ergebnis von 20 Schüssen auf das Ziel wurden 15 Treffer erzielt. Wie hoch ist die Trefferquote?

Lösung. Da also = 20, = 15

Beispiel 5. Beim Schießen auf ein Ziel beträgt die Trefferquote = 0,75. Ermitteln Sie die Anzahl der Treffer mit 40 Schüssen.

Lösung. Aus Formel (1.4.1) folgt das . Da = 0,75, = 40, dann . Somit gingen 30 Treffer ein.

Beispiel 6. www.. Von den gesäten Samen sind 970 gekeimt.

Lösung. Aus Formel (1.4.1) folgt das . Seit damals . Es wurden also 1000 Samen gesät.

Beispiel 7. Ermitteln Sie die Häufigkeit in einem Segment der natürlichen Reihe von 1 bis 20 Primzahlen.

Lösung. Auf dem angegebenen Abschnitt der natürlichen Zahlenreihe liegen folgende Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; Davon gibt es insgesamt 8. Da = 20, = 8, dann die erforderliche Häufigkeit

.

Beispiel 8. Es wurden drei Reihen mehrfacher Würfe einer symmetrischen Münze durchgeführt, die Anzahl der Auftritte des Wappens wurde berechnet: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Ermitteln Sie die Häufigkeit des Auftretens des Wappens in jeder Testreihe.

Lösung. Gemäß Formel (1.4.1) finden wir:

Kommentar. Diese Beispiele zeigen, dass bei wiederholten Versuchen die Häufigkeit eines Ereignisses kaum von seiner Wahrscheinlichkeit abweicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Münzwurf ein Wappen erscheint, beträgt p = 1/2 = 0,5, da in diesem Fall n = 2, m = 1.

Beispiel 9. Unter den 300 Teilen, die auf einer automatischen Maschine hergestellt wurden, entsprachen 15 nicht der Norm. Ermitteln Sie die Häufigkeit des Auftretens nicht standardmäßiger Teile.

Lösung. In diesem Fall ist n = 300, m = 15, also

Beispiel 10. Der Inspektor überprüfte die Qualität von 400 Produkten und stellte fest, dass 20 davon zur zweiten Klasse und der Rest zur ersten Klasse gehörten. Finden Sie die Häufigkeit von Produkten der ersten Klasse und die Häufigkeit von Produkten der zweiten Klasse.

Lösung. Lassen Sie uns zunächst die Anzahl der Produkte der ersten Klasse ermitteln: 400 - 20 = 380. Da n = 400, = 380, dann die Häufigkeit der Produkte der ersten Klasse

Ebenso finden wir die Häufigkeit von Produkten der zweiten Klasse:

Aufgaben

1. Die technische Kontrollabteilung entdeckte 10 nicht standardmäßige Produkte in einer Charge von 1000 Produkten. Finden Sie heraus, wie häufig fehlerhafte Produkte hergestellt werden.
2. Um die Qualität der Samen zu bestimmen, wurden 100 Samen ausgewählt und unter Laborbedingungen ausgesät. 95 Samen keimten normal. Wie häufig kommt es zur normalen Samenkeimung?
3. Finden Sie die Häufigkeit des Auftretens von Primzahlen in den folgenden Segmenten der natürlichen Reihe: a) von 21 bis 40; b) von 41 bis 50; c) von 51 bis 70.
4. Finden Sie die Häufigkeit des Auftretens der Ziffer bei 100 Würfen einer symmetrischen Münze. (Führen Sie das Experiment selbst durch).
5. Finden Sie die Häufigkeit einer Sechs bei 90 Würfen eines Würfels.
6. Bestimmen Sie durch eine Befragung aller Studierenden in Ihrem Kurs die Häufigkeit der Geburtstage, die in jeden Monat des Jahres fallen.
7. Finden Sie die Häufigkeit von Wörtern mit fünf Buchstaben in einem beliebigen Zeitungstext.

Antworten

1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.

Fragen

1. Was ist die Ereignishäufigkeit?
2. Wie häufig tritt ein zuverlässiges Ereignis auf?
3. Wie häufig tritt ein unmögliches Ereignis auf?
4. Wo liegen die Grenzen der Häufigkeit eines Zufallsereignisses?
5. Wie häufig ist die Summe zweier inkompatibler Ereignisse?
6. Welche Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als statistisch bezeichnet?
7. Welche Eigenschaften hat die statistische Wahrscheinlichkeit?

Stichworte. Sehen .

Stellen Sie sich ein Zufallsexperiment vor, bei dem ein Würfel aus einem heterogenen Material geworfen wird. Sein Schwerpunkt liegt nicht im geometrischen Mittelpunkt. In diesem Fall können wir die Ergebnisse (Verlust von eins, zwei usw.) nicht als gleich wahrscheinlich betrachten. Aus der Physik ist bekannt, dass der Knochen häufiger auf das Gesicht fällt, das näher am Schwerpunkt liegt. Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit ermitteln, beispielsweise drei Punkte zu bekommen? Das Einzige, was Sie tun können, ist, diesen Würfel n-mal zu würfeln (wobei n ausreicht). große Nummer, sagen wir n=1000 oder n=5000), zählen Sie die Anzahl der drei Punkte n 3 und berücksichtigen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von drei Punkten gleich n 3 /n – die relative Häufigkeit von drei Punkten. Auf ähnliche Weise können Sie die Wahrscheinlichkeiten anderer elementarer Ergebnisse bestimmen – eins, zwei, vier usw. Theoretisch lässt sich dieses Vorgehen durch die Einführung einer statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit rechtfertigen.

Die Wahrscheinlichkeit P(wi) ist definiert als die Grenze der relativen Häufigkeit des Auftretens des Ergebnisses w i im Prozess einer unbegrenzten Zunahme der Anzahl von Zufallsexperimenten n, d. h

wobei m n (w i) die Anzahl der Zufallsexperimente ist (von Gesamtzahl n durchgeführte Zufallsexperimente), bei denen das Auftreten eines elementaren Ergebnisses w i aufgezeichnet wurde.

Da hier keine Beweise vorgelegt werden, können wir nur hoffen, dass die Grenze in der letzten Formel existiert, und unsere Hoffnung auf Lebenserfahrung und Intuition stützen.

In der Praxis treten sehr oft Probleme auf, bei denen es unmöglich oder äußerst schwierig ist, eine andere Möglichkeit als eine statistische Bestimmung zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu finden.

Kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Wie bereits erwähnt, kann die Menge der elementaren Ergebnisse mehr als zählbar (d. h. überzählbar) sein. Somit hat ein Experiment, das darin besteht, einen Punkt zufällig auf ein Segment zu werfen, unzählige Ergebnisse. Man kann sich vorstellen, dass ein Experiment darin besteht, die Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt zu messen angegebenen Punkt hat auch unzählige Ergebnisse (tatsächlich kann die Temperatur jeden Wert aus einem bestimmten Intervall annehmen, obwohl wir sie in Wirklichkeit nur mit einer bestimmten Genauigkeit messen können und die praktische Umsetzung eines solchen Experiments eine endliche Anzahl von Ergebnissen liefern wird). Im Falle eines Experiments mit einer unzähligen Menge W elementarer Ergebnisse kann keine Teilmenge der Menge W als Ereignis betrachtet werden. Es ist zu beachten, dass Teilmengen von W, die keine Ereignisse sind, mathematische Abstraktionen sind und in praktischen Problemen nicht vorkommen. Daher ist dieser Absatz in unserem Kurs optional.

Um die Definition eines Zufallsereignisses einzuführen, betrachten Sie ein System (endlich oder abzählbar) von Teilmengen des Raums elementarer Ergebnisse W.

Wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) aus der Mitgliedschaft von A in diesem System folgt, dass A zu diesem System gehört;

2) Aus der Zugehörigkeit zu diesem System folgt, dass A i A j zu diesem System gehört

Ein solches System von Teilmengen wird Algebra genannt.

Sei W ein Raum elementarer Ergebnisse. Stellen Sie sicher, dass die beiden Teilmengensysteme sind:

1) W, Æ; 2) W, A, , Æ (hier ist A eine Teilmenge von W) sind Algebren.

Es seien A 1 und A 2, die zu einer Algebra gehören. Beweisen Sie, dass A 1 \ A 2 zu dieser Algebra gehört.

Nennen wir eine S-Algebra ein System I von Teilmengen einer Menge W, das Bedingung 1) und Bedingung 2)¢ erfüllt:

2)¢ wenn die Teilmengen A 1, A 2,¼, A n, ¼ zu I gehören, dann gehört auch ihre abzählbare Vereinigung (analog zur Summation wird diese abzählbare Vereinigung kurz durch die Formel geschrieben) zu I.

Eine Teilmenge A der Menge elementarer Ergebnisse W ist ein Ereignis, wenn sie zu einer S-Algebra gehört.

Es kann bewiesen werden, dass das Ergebnis eine Menge oder ein Ereignis ist, wenn wir ein beliebiges abzählbares System von Ereignissen auswählen, das zu einer S-Algebra gehört, und mit diesen Ereignissen alle in der Mengenlehre akzeptierten Operationen (Vereinigung, Schnittmenge, Differenz und Addition) ausführen zur gleichen S-Algebra gehörend.

Lassen Sie uns ein Axiom formulieren, das A.N.-Axiom genannt wird. Kolmogorow.

Jedes Ereignis entspricht einer nicht negativen Zahl P(A), die eins nicht überschreitet, die sogenannte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, und die Funktion P(A) hat die folgenden Eigenschaften:

2) wenn die Ereignisse A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ inkonsistent sind, dann

Wenn ein Raum elementarer Ergebnisse W, eine Algebra von Ereignissen und eine darauf definierte Funktion P gegeben sind, die die Bedingungen des obigen Axioms erfüllt, dann sagt man, dass ein Wahrscheinlichkeitsraum gegeben ist.

Diese Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums kann auf den Fall eines endlichen Raums elementarer Ergebnisse W erweitert werden. Dann kann das System aller Teilmengen der Menge W als Algebra angesehen werden.

Geometrische Wahrscheinlichkeit

In einem speziellen Fall geben wir eine Regel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses für ein Zufallsexperiment mit unzähligen Ergebnissen an.

Wenn eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge W der Elementarergebnisse eines Zufallsexperiments und der Punktmenge einer flachen Figur S (großes Sigma) hergestellt werden kann, kann auch eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen hergestellt werden die Menge der für das Ereignis A günstigen Elementarergebnisse und die Menge der Punkte der flachen Figur s (Sigma klein), die dann Teil der Figur S ist

wobei s die Fläche der Figur s ist, S die Fläche der Figur S ist. Hier wird natürlich davon ausgegangen, dass die Figuren S und s Flächen haben. Insbesondere kann es sich bei der Figur s beispielsweise um ein gerades Liniensegment mit einer Fläche gleich Null handeln.

Beachten Sie, dass wir in dieser Definition anstelle einer flachen Zahl S das Intervall S und anstelle seiner Teile s das Intervall s betrachten können, das vollständig zum Intervall s gehört, und die Wahrscheinlichkeit als dargestellt werden kann Verhältnis der Längen der entsprechenden Intervalle.

Beispiel. Zwei Personen essen im Speisesaal zu Mittag, der von 12 bis 13 Uhr geöffnet ist. Jeder von ihnen kommt zu einer zufälligen Zeit und isst innerhalb von 10 Minuten zu Mittag. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ihres Treffens?

Sei x der Zeitpunkt, zu dem der erste im Esszimmer ankommt, und y der Zeitpunkt, zu dem der zweite ankommt.

Man kann eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen allen Zahlenpaaren (x;y) (oder der Menge der Ergebnisse) und der Menge der Punkte eines Quadrats mit der Seite gleich 1 auf der Koordinatenebene herstellen, wobei der Ursprung dem entspricht Die Zahl 12 wird auf der In diesem Fall fand das Treffen offensichtlich nicht statt.

Wenn der erste spätestens nach dem zweiten eintrifft (y ³ x), dann findet das Treffen unter der Bedingung 0 £ y - x £ 1/6 statt (10 Minuten sind 1/6 Stunde).

Wenn der zweite spätestens als der erste eintrifft (x³y), dann findet das Treffen unter der Bedingung 0 £ x – y £ 1/6 statt.

Es kann eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den für das Treffen günstigen Ergebnissen und den Punkten in den Regionen hergestellt werden, die in Abbildung 7 schattiert dargestellt sind.

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit p ist gleich dem Verhältnis der Fläche der Region s zur Fläche des gesamten Quadrats. Die Fläche des Quadrats ist gleich Eins, und die Fläche der Region s kann als Differenz zwischen Eins und der Gesamtfläche der beiden in Abbildung 7 gezeigten Dreiecke definiert werden. Dies impliziert:

Probleme mit Lösungen.

Eine Münze mit einem Radius von 1,5 cm wird auf ein Schachbrett mit einem Quadrat von 5 cm Breite geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf keiner Zellgrenze landet.

Aufgabe II.

Eine Brücke überspannt den 100 m breiten Fluss. Irgendwann, als sich zwei Menschen auf der Brücke befinden, stürzt die Brücke ein und beide fallen in den Fluss. Der erste kann schwimmen und wird gerettet. Der zweite kann nicht schwimmen und wird nur gerettet, wenn er nicht weiter als 10 Meter vom Ufer oder nicht weiter als 10 Meter vom ersten entfernt fällt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person gerettet wird?

Aufgabe III.

Panzerabwehrminen werden auf einer geraden Linie im Abstand von 15 m platziert. Ein 2 m breiter Panzer fährt senkrecht zu dieser geraden Linie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht von einer Mine in die Luft gesprengt wird?

Aufgabe VI.

Im Intervall (0; 2) werden zwei Zahlen zufällig ausgewählt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Quadrat mehr kleiner als die kleinere Zahl

Zwei Punkte werden zufällig auf ein Segment geworfen. Sie unterteilen das Segment in drei Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den resultierenden Segmenten ein Dreieck gebildet werden kann?

Aufgabe VI.

Drei Punkte werden nacheinander zufällig auf ein Segment geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Punkt zwischen den ersten beiden liegt?

Problem I. Position der Münze auf Schachbrett wird vollständig durch die Lage seines geometrischen Mittelpunkts bestimmt. Die gesamte Ergebnismenge kann als Quadrat S mit Seite 5 dargestellt werden. Die gesamte Menge günstiger Ergebnisse wird dann als Quadrat s dargestellt, das innerhalb des Quadrats S liegt, wie in Abbildung 1 dargestellt.

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist dann gleich dem Verhältnis der Fläche des kleinen Quadrats zur Fläche des großen Quadrats, also 4/25

Aufgabe II. Bezeichnen wir mit x die Entfernung vom linken Flussufer bis zum Absturzpunkt der ersten Person und mit y die Entfernung vom linken Flussufer bis zum Absturzpunkt der zweiten Person. Offensichtlich gehören sowohl x als auch y zum Intervall (0;100). Daraus können wir schließen, dass die gesamte Ergebnismenge auf ein Quadrat abgebildet werden kann, dessen untere linke Ecke am Koordinatenursprung liegt und dessen obere rechte Ecke am Punkt mit den Koordinaten (100; 100) liegt. Zweispurig: 0 x, das heißt, der zweite fiel näher an das rechte Ufer als der erste, dann muss die Bedingung y erfüllt sein, damit er gerettet werden kann<х+10. Если уx–10. Daraus folgt, dass alle für die zweite Person günstigen Ergebnisse im schattierten Bereich in Abbildung 2 angezeigt werden. Die Fläche dieses Bereichs lässt sich am einfachsten berechnen, indem man die Fläche zweier nicht schattierter Dreiecke von der Fläche abzieht das gesamte Quadrat, was das Ergebnis 10000–6400=3600 ergibt. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt 0,36.

Aufgabe III.

Entsprechend den Problembedingungen wird die Position des Tanks in der Lücke zwischen zwei benachbarten Minen vollständig durch die Position einer geraden Linie mit gleichem Abstand von den Seiten des Tanks bestimmt. Diese Linie verläuft senkrecht zur Linie, entlang der die Minen verlegt werden, und der Panzer wird durch eine Mine gesprengt, wenn diese Linie näher als 1 Meter vom Rand der Lücke entfernt liegt. Somit wird die gesamte Ergebnismenge einem Intervall der Länge 15 zugeordnet, und die Menge der günstigen Ergebnisse wird einem Intervall der Länge 13 zugeordnet, wie in Abbildung 3 dargestellt. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit beträgt 13/15.

Aufgabe IV.

Bezeichnen wir eine der Zahlen als x und die andere als y. Der gesamte Satz möglicher Ergebnisse wird in einem quadratischen OBCD abgebildet, dessen zwei Seiten mit den Koordinatenachsen zusammenfallen und eine Länge von 2 haben, wie in Abbildung 4 dargestellt. Nehmen wir an, dass y eine kleinere Zahl ist. Dann wird die Menge der Ergebnisse in ein Dreieck OCD mit einer Fläche von 2 abgebildet. Die gewählten Zahlen müssen zwei Ungleichungen erfüllen:

bei<х, у>x 2

Die Zahlenmenge, die diese Ungleichungen erfüllt, wird im schattierten Bereich in Abbildung 4 angezeigt. Die Fläche dieser Fläche wird als Differenz zwischen der Fläche des Dreiecks OEG, gleich 1/2, und der Fläche von bestimmt ​​das krummlinige Dreieck OFEG. Die Fläche s dieses krummlinigen Dreiecks ergibt sich aus der Formel

und ist gleich 1/3. Daraus ergibt sich, dass die Fläche der schattierten Figur OEF 1/6 beträgt. Somit beträgt die gewünschte Wahrscheinlichkeit 1/12.

Die Länge des Segments sei l. Wenn wir x und y als Abstände vom linken Ende des Segments zu den in der Problemstellung genannten Punkten betrachten, dann kann die Menge aller Ergebnisse auf ein Quadrat mit der Seite l abgebildet werden, auf dem eine Seite liegt die x-Koordinatenachse und die andere auf der y-Koordinatenachse. Wenn wir die Bedingung y>x akzeptieren, wird die Menge der Ergebnisse auf das in Abbildung 5 gezeigte Dreieck OBC abgebildet. Die Fläche dieses Dreiecks beträgt l 2 /2. Die resultierenden Segmente haben die Längen x, y–x und l-y. Erinnern wir uns nun an die Geometrie. Ein Dreieck kann genau dann aus drei Segmenten gebildet werden, wenn die Länge jedes Segments kleiner ist als die Summe der Längen der beiden anderen Segmente. Diese Bedingung führt in unserem Fall zu einem System von drei Ungleichungen

Die erste Ungleichung wird in die Form x transformiert l/2, und die dritte Ungleichung hat die Form y<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Aufgabe VI.

Nehmen wir die Länge des Segments mit l an. Der Abstand vom linken Ende des Segments zum ersten Punkt sei x, zum zweiten Punkt – y und zum dritten Punkt – z. Dann wird die gesamte Ergebnismenge in einen Würfel abgebildet, dessen drei Kanten auf der x-, y- und z-Achse des rechtwinkligen Koordinatensystems liegen und dessen Kante die Länge l hat. Nehmen wir an, dass y>x. Dann wird die Menge der Ergebnisse dem in Abbildung 6 gezeigten direkten Prisma ABCA 1 B 1 C 1 zugeordnet. Die Bedingung z>x bedeutet, dass alle Ergebnisse dem Bereich zugeordnet werden, der über der in Abbildung gezeigten Ebene AD 1 C 1 B liegt 7. Auf dieser Ebene werden nun alle gültigen Ergebnisse in eine Pyramide mit einem Quadrat AA 1 B 1 B an der Basis und einer Höhe B 1 C 1 abgebildet. Alle Ergebnisse, die die Bedingung z erfüllen

Probleme zur unabhängigen Lösung.

1. Zwei Schiffe müssen denselben Pier anfahren. Die Ankunftszeiten beider Schiffe sind unabhängig und an einem bestimmten Tag gleichermaßen möglich. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Dampfschiffe auf die Räumung des Liegeplatzes warten muss, wenn die Aufenthaltszeit des ersten Dampfers eine Stunde und die des zweiten Dampfers zwei Stunden beträgt. Antwort: 139/1152.

2. An der Kreuzung wird eine automatische Ampel installiert, bei der das Licht eine Minute lang grün und eine halbe Minute lang rot ist, dann wieder eine Minute lang grün und eine halbe Minute lang rot usw. Zu einem zufälligen Zeitpunkt nähert sich ein Auto der Kreuzung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Kreuzung überquert, ohne anzuhalten? Antwort: 2/3

3. Eine Münze mit einem Radius von 1,5 cm wird auf ein unendliches Schachbrett mit einem 5 cm breiten Quadrat geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Münze auf nicht mehr als zwei Feldern des Schachbretts befindet. Antwort: 16/25.

4. Ein Dreieck wird zufällig in den Kreis eingepasst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es akut ist? Antwort: 1/4.

5. Ein Dreieck wird zufällig in einen Kreis eingepasst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es rechteckig ist? Antwort: 0.

6. Ein Stab der Länge a wird zufällig in drei Teile gebrochen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge jedes Teils größer als a/4 ist. Antwort: 1/16.