So finden Sie die Wurzel aus 12. Ziehen Sie die Wurzel einer großen Zahl

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
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Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche es gibt Formeln für Wurzeln was sind Eigenschaften von Wurzeln, und was man mit all dem machen kann.

Wurzelformeln, Eigenschaften von Wurzeln und Regeln für die Arbeit mit Wurzeln- Das ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was mich auf jeden Fall glücklich macht! Oder besser gesagt, man kann viele verschiedene Formeln schreiben, aber für die praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln reichen nur drei. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele Menschen bei den drei Grundformeln verwirrt sind, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

In der Mathematik gilt die Frage, wie man eine Wurzel zieht, als relativ einfach. Wenn wir Zahlen aus der natürlichen Reihe quadrieren: 1, 2, 3, 4, 5...n, dann erhalten wir die folgende Reihe von Quadraten: 1, 4, 9, 16...n 2. Die Reihe der Quadrate ist unendlich, und wenn Sie sie genau betrachten, werden Sie feststellen, dass sie nicht sehr viele ganze Zahlen enthält. Warum das so ist, wird etwas später erklärt.

Wurzel einer Zahl: Berechnungsregeln und Beispiele

Also haben wir die Zahl 2 quadriert, also mit sich selbst multipliziert und 4 erhalten. Wie zieht man die Wurzel aus der Zahl 4? Nehmen wir gleich an, dass die Wurzeln quadratisch, kubisch und in jedem Grad bis Unendlich sein können.

Die Potenz der Wurzel ist immer eine natürliche Zahl, das heißt, es ist unmöglich, die folgende Gleichung zu lösen: eine Wurzel hoch 3,6 von n.

Quadratwurzel

Kehren wir zu der Frage zurück, wie man die Quadratwurzel aus 4 zieht. Da wir die Zahl 2 quadriert haben, werden wir auch die Quadratwurzel ziehen. Um die Wurzel aus 4 richtig zu ziehen, müssen Sie nur die richtige Zahl wählen, die quadriert die Zahl 4 ergeben würde. Und das ist natürlich 2. Schauen Sie sich das Beispiel an:

2 2 =4
Wurzel von 4 = 2

Dieses Beispiel ist recht einfach. Versuchen wir, die Quadratwurzel aus 64 zu ziehen. Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 64? Offensichtlich ist es 8.

8 2 =64
Wurzel von 64=8

Kubikwurzel

Wie bereits oben erwähnt, sind Wurzeln nicht nur quadratisch; anhand eines Beispiels versuchen wir, anschaulicher zu erklären, wie man eine Kubikwurzel bzw. eine Wurzel dritten Grades zieht. Das Prinzip beim Ziehen einer Kubikwurzel ist das gleiche wie beim Ziehen einer Quadratwurzel, der einzige Unterschied besteht darin, dass die benötigte Zahl zunächst nicht einmal, sondern zweimal mit sich selbst multipliziert wurde. Nehmen wir an, wir haben das folgende Beispiel genommen:

3x3x3=27
Natürlich ist die Kubikwurzel von 27 drei:
Wurzel 3 von 27 = 3

Nehmen wir an, Sie müssen die Kubikwurzel von 64 finden. Um diese Gleichung zu lösen, reicht es aus, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie in die dritte Potenz erhöht, 64 ergibt.

4 3 =64
Wurzel 3 von 64 = 4

Extrahieren Sie die Wurzel einer Zahl auf einem Taschenrechner

Natürlich ist es am besten, das Ziehen von Quadrat-, Kubik- und anderen Wurzeln in der Praxis zu lernen, indem man viele Beispiele löst und sich Tabellen mit Quadraten und Würfeln einprägt große Zahlen. Dies wird in Zukunft die Lösung von Gleichungen erheblich erleichtern und den Zeitaufwand verkürzen. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es manchmal notwendig ist, die Wurzel davon zu extrahieren große Zahl Was zu wählen Korrekte Nummer, quadriert, wird, wenn überhaupt möglich, viel Arbeit kosten. Beim Ziehen der Quadratwurzel hilft Ihnen ein normaler Taschenrechner weiter. Wie extrahiere ich die Wurzel auf einem Taschenrechner? Geben Sie ganz einfach die Nummer ein, von der aus Sie das Ergebnis finden möchten. Schauen Sie sich nun die Taschenrechnertasten genau an. Selbst die einfachste davon verfügt über einen Schlüssel mit einem Root-Symbol. Wenn Sie darauf klicken, erhalten Sie sofort das fertige Ergebnis.

Nicht jede Zahl kann eine ganze Wurzel haben; betrachten Sie das folgende Beispiel:

Wurzel von 1859 = 43,116122…

Sie können gleichzeitig versuchen, dieses Beispiel auf einem Taschenrechner zu lösen. Wie Sie sehen, ist die resultierende Zahl keine ganze Zahl; außerdem ist die Menge der Nachkommastellen nicht endlich. Spezielle technische Taschenrechner können ein genaueres Ergebnis liefern, aber das vollständige Ergebnis passt einfach nicht auf das Display gewöhnlicher Taschenrechner. Und wenn Sie die zuvor begonnene Reihe von Quadraten fortsetzen, werden Sie die Zahl 1859 darin nicht finden, gerade weil die Zahl, die quadriert wurde, um sie zu erhalten, keine ganze Zahl ist.

Wenn Sie die dritte Wurzel auf einem einfachen Taschenrechner extrahieren müssen, müssen Sie auf die Schaltfläche mit dem Wurzelzeichen doppelklicken. Nehmen Sie zum Beispiel die oben verwendete Zahl 1859 und ziehen Sie daraus die Kubikwurzel:

Wurzel 3 von 1859 = 6,5662867…

Das heißt, wenn die Zahl 6,5662867... in die dritte Potenz erhöht wird, erhalten wir ungefähr 1859. Daher ist das Ziehen von Wurzeln aus Zahlen nicht schwierig, Sie müssen sich nur die oben genannten Algorithmen merken.

Möchten Sie beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik gut abschneiden? Dann müssen Sie schnell, richtig und ohne Taschenrechner zählen können. Schließlich Hauptgrund Punkteverlust beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik - Rechenfehler.

Nach den Regeln des Einheitlichen Staatsexamens ist die Verwendung eines Taschenrechners während der Mathematikprüfung verboten. Möglicherweise ist der Preis zu hoch – Ausschluss von der Prüfung.

Tatsächlich benötigen Sie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik keinen Taschenrechner. Alle Probleme sind ohne sie gelöst. Das Wichtigste sind Aufmerksamkeit, Genauigkeit und einige geheime Techniken, die wir Ihnen verraten.

Beginnen wir mit der Hauptregel. Wenn eine Berechnung vereinfacht werden kann, vereinfachen Sie sie.

Hier ist zum Beispiel die „teuflische Gleichung“:

Siebzig Prozent der Absolventen lösen es frontal. Sie berechnen die Diskriminante mit der Formel und sagen dann, dass die Wurzel nicht ohne Taschenrechner gezogen werden kann. Sie können jedoch die linke und rechte Seite der Gleichung durch dividieren. Es klappt

Welcher Weg ist einfacher? :-)

Viele Schulkinder mögen die Spaltenmultiplikation nicht. In der vierten Klasse löste niemand gern langweilige „Beispiele“. In vielen Fällen ist es jedoch möglich, Zahlen ohne „Spalte“ hintereinander zu multiplizieren. Es ist viel schneller.

Bitte beachten Sie, dass wir nicht mit kleineren, sondern mit größeren Ziffern beginnen. Das ist bequem.

Jetzt - Teilung. Es ist nicht einfach, „in einer Spalte“ durch zu dividieren. Aber denken Sie daran, dass das Divisionszeichen: und der Bruchstrich dasselbe sind. Schreiben wir es als Bruch und reduzieren den Bruch:

Ein anderes Beispiel.

Wie kann man eine zweistellige Zahl schnell und ohne Spalten quadrieren? Wir wenden abgekürzte Multiplikationsformeln an:

Manchmal ist es praktisch, eine andere Formel zu verwenden:

Zahlen, die auf , enden, werden sofort quadriert.

Nehmen wir an, wir müssen das Quadrat einer Zahl finden (- nicht unbedingt eine Zahl, sondern eine beliebige natürliche Zahl). Wir multiplizieren mit und addieren zum Ergebnis. Alle!

Zum Beispiel: (und zugeschrieben).

(und zugeschrieben).

Diese Methode eignet sich nicht nur zum Quadrieren, sondern auch zum Ziehen der Quadratwurzel aus Zahlen, die auf enden.

Wie extrahiert man es überhaupt? Quadratwurzel ohne Taschenrechner? Wir zeigen Ihnen zwei Möglichkeiten.

Die erste Methode besteht darin, den Wurzelausdruck zu faktorisieren.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden
Eine Zahl ist durch teilbar (da die Summe ihrer Ziffern durch teilbar ist). Lassen Sie uns faktorisieren:

Finden wir es. Diese Zahl ist durch teilbar. Es wird auch geteilt durch. Lassen Sie es uns ausklammern.

Ein anderes Beispiel.

Es gibt einen zweiten Weg. Dies ist praktisch, wenn die Zahl, aus der Sie die Wurzel ziehen müssen, nicht faktorisiert werden kann.

Beispielsweise müssen Sie finden. Die Zahl unter der Wurzel ist ungerade, sie ist nicht teilbar, ist nicht teilbar durch, ist nicht teilbar durch... Sie können weiter suchen, durch was sie teilbar ist, oder Sie können es einfacher machen – finden Sie diese Wurzel durch Auswahl .

Offensichtlich wurde eine zweistellige Zahl quadriert, die zwischen den Zahlen und liegt, da , und die Zahl zwischen ihnen liegt. Die erste Ziffer der Antwort kennen wir bereits, sie lautet .

Die letzte Ziffer der Nummer ist . Da , ist die letzte Ziffer in der Antwort entweder , oder . Lass uns das Prüfen:
. Passiert!

Finden wir es.

Das bedeutet, dass die erste Ziffer der Antwort eine Fünf ist.

Die letzte Ziffer der Zahl ist neun. , . Das bedeutet, dass die letzte Ziffer der Antwort entweder , oder ist.

Lass uns das Prüfen:

Wenn die Zahl, aus der Sie die Quadratwurzel ziehen müssen, auf oder endet, ist die Quadratwurzel daraus eine irrationale Zahl. Weil kein ganzzahliges Quadrat auf or endet. Denken Sie daran im Aufgabenteil Optionen für das einheitliche Staatsexamen In der Mathematik muss die Antwort als ganze Zahl oder endliche Zahl geschrieben werden Dezimal, das heißt, es muss eine rationale Zahl sein.

Quadratische Gleichungen begegnen uns in Aufgaben und Varianten des Einheitlichen Staatsexamens sowie in Teilen. Sie müssen die Diskriminante zählen und dann die Wurzel daraus ziehen. Und es ist überhaupt nicht notwendig, Wurzeln aus fünfstelligen Zahlen zu suchen. In vielen Fällen kann die Diskriminante faktorisiert werden.

Beispielsweise in Gl.

Eine andere Situation, in der der Ausdruck unter der Wurzel faktorisiert werden kann, ist dem Problem entnommen.

Hypotenuse rechtwinkliges Dreieck ist gleich, eines der Beine ist gleich, finde das zweite Bein.

Nach dem Satz des Pythagoras ist es gleich. Sie können in einer Spalte lange zählen, es ist jedoch einfacher, die abgekürzte Multiplikationsformel zu verwenden.

Und jetzt erzählen wir Ihnen das Interessanteste – warum Absolventen beim Einheitlichen Staatsexamen wertvolle Punkte verlieren. Denn Rechenfehler passieren nicht einfach so.

1 . Eine sichere Möglichkeit, Punkte zu verlieren, sind schlampige Berechnungen, bei denen etwas korrigiert, durchgestrichen oder eine Zahl über eine andere geschrieben wird. Schauen Sie sich Ihre Entwürfe an. Vielleicht sehen sie gleich aus? :-)

Schreiben Sie leserlich! Sparen Sie nicht am Papier. Wenn etwas nicht stimmt, korrigieren Sie nicht eine Zahl durch eine andere, sondern schreiben Sie sie lieber noch einmal.

2. Aus irgendeinem Grund versuchen viele Schulkinder, wenn sie in einer Spalte zählen, dies 1) sehr, sehr schnell, 2) in sehr kleinen Zahlen in der Ecke ihres Notizbuchs und 3) mit einem Bleistift zu tun. Das Ergebnis ist folgendes:

Es ist unmöglich, etwas zu erkennen. Ist es also verwunderlich, dass die Punktzahl beim Einheitlichen Staatsexamen niedriger ausfällt als erwartet?

3. Viele Schulkinder sind es gewohnt, Klammern in Ausdrücken zu ignorieren. Manchmal passiert Folgendes:

Denken Sie daran, dass das Gleichheitszeichen nicht irgendwo platziert wird, sondern nur zwischen gleichen Werten. Schreiben Sie richtig, auch in Entwurfsform.

4 . Bei einer großen Zahl von Rechenfehlern handelt es sich um Brüche. Wenn Sie einen Bruch durch einen Bruch dividieren, verwenden Sie what
Gezeichnet ist hier ein „Hamburger“, also ein mehrstöckiger Bruch. Mit dieser Methode ist es äußerst schwierig, die richtige Antwort zu erhalten.

Fassen wir zusammen.

Die Prüfung der Aufgaben des ersten Teils des Profils Einheitliche Staatsprüfung in Mathematik erfolgt automatisch. Eine „fast richtige“ Antwort gibt es hier nicht. Entweder hat er Recht oder nicht. Ein Rechenfehler – und hallo, die Aufgabe zählt nicht. Daher liegt es in Ihrem Interesse, schnell, richtig und ohne Taschenrechner zählen zu lernen.

Die Aufgaben des zweiten Teils des Profils Einheitliche Staatsprüfung in Mathematik werden von einem Experten überprüft. Pass auf ihn auf! Lassen Sie ihn sowohl Ihre Handschrift als auch die Logik der Entscheidung verstehen.

Sokolov Lev Vladimirovich, Schüler der 8. Klasse der städtischen Bildungseinrichtung „Tugulymskaya V(S)OSH“

Ziel der Arbeit: Finden und zeigen Sie die Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln, die verwendet werden können, ohne einen Taschenrechner zur Hand zu haben.

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Vorschau:

Regionale wissenschaftliche und praktische Konferenz

Studenten des Stadtbezirks Tugulym

Quadratwurzeln großer Zahlen ohne Taschenrechner ermitteln

Interpret: Lev Sokolov,

MCOU „Tugulymskaya V(S)OSH“,

8. Klasse

Leitung: Sidorova Tatyana

Nikolajewna

r.p. Tugulym, 2016

Einleitung 3

Kapitel 1. Methode der Faktorisierung 4

Kapitel 2. Quadratwurzeln ziehen mit Ecke 4

Kapitel 3. Verwendung der Quadrattabelle zweistellige Zahlen 6

Kapitel 4. Formel Das alte Babylon 6

Kapitel 6. Kanadische Methode 7

Kapitel 7. Erraten-Auswahlmethode 8

Kapitel 8. Abzugsmethode für die ungerade Zahl 8

Fazit 10

Referenzen 11

Anhang 12

Einführung

Die Relevanz der Forschung,als ich mich hier mit dem Thema Quadratwurzeln befasste Akademisches Jahr, dann interessierte mich die Frage, wie man ohne Taschenrechner die Quadratwurzel aus großen Zahlen ziehen kann.

Mein Interesse wurde geweckt und ich beschloss, mich eingehender mit diesem Thema zu befassen, als es dargelegt wurde Lehrplan, und bereiten Sie auch ein Minibuch mit den meisten vor auf einfache Weise Quadratwurzeln aus großen Zahlen ohne Taschenrechner ziehen.

Ziel der Arbeit: Finden und zeigen Sie die Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln, die verwendet werden können, ohne einen Taschenrechner zur Hand zu haben.

Aufgaben:

Studieren Sie die Literatur zu diesem Thema.
Berücksichtigen Sie die Merkmale jeder gefundenen Methode und ihren Algorithmus.
Praktische Anwendung des erworbenen Wissens zeigen und bewerten

Schwierigkeiten bei der Verwendung auf verschiedene Arten und Algorithmen.

Erstellen Sie ein Minibuch über die interessantesten Algorithmen.

Studienobjekt:mathematische Symbole sind Quadratwurzeln.

Gegenstand der Studie:Merkmale von Methoden zum Extrahieren von Quadratwurzeln ohne Taschenrechner.

Forschungsmethoden:

Finden von Methoden und Algorithmen zum Extrahieren von Quadratwurzeln aus großen Zahlen ohne Taschenrechner.
Vergleich der gefundenen Methoden.
Analyse der erhaltenen Methoden.

Jeder weiß, dass es sehr schwierig ist, die Quadratwurzel ohne Taschenrechner zu ziehen.

Aufgabe. Wenn wir keinen Taschenrechner zur Hand haben, versuchen wir zunächst mit der Auswahlmethode, uns die Daten aus der Quadrattabelle ganzer Zahlen zu merken, was jedoch nicht immer hilft. Beispielsweise beantwortet eine Quadrattabelle ganzer Zahlen Fragen wie das Ziehen der Wurzel aus 75, 37.885.108.18061 und anderen nicht einmal annähernd.

Außerdem ist die Verwendung eines Taschenrechners während der OGE und der Einheitlichen Staatsprüfung häufig verboten.

Quadrattabellen ganzer Zahlen, aber Sie müssen die Wurzel aus 3136 oder 7056 usw. extrahieren.

Aber als ich die Literatur zu diesem Thema studierte, lernte ich, dass man aus solchen Zahlen Wurzeln schlagen kann

Vielleicht ohne Tisch und Taschenrechner lernten die Menschen lange vor der Erfindung des Mikrorechners. Bei der Recherche zu diesem Thema habe ich mehrere Möglichkeiten gefunden, dieses Problem zu lösen.

Kapitel 1. Methode der Faktorisierung in Primfaktoren

Um die Quadratwurzel zu ziehen, können Sie die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen und die Quadratwurzel aus dem Produkt ziehen.

Diese Methode wird normalerweise verwendet, wenn Probleme mit Wurzeln in der Schule gelöst werden.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Viele Menschen nutzen es erfolgreich und halten es für das Einzige. Das Ziehen der Wurzel durch Faktorisierung ist eine zeitaufwändige Aufgabe, die zudem nicht immer zum gewünschten Ergebnis führt. Versuchen Sie, die Quadratwurzel aus 209764 zu ziehen? Die Faktorisierung in Primfaktoren ergibt das Produkt 2∙2∙52441. Was macht man als nächstes? Jeder steht vor diesem Problem und schreibt in seiner Antwort ruhig den Rest der Zerlegung unter dem Zeichen der Wurzel auf. Natürlich können Sie die Zerlegung durch Versuch und Irrtum und Auswahl durchführen, wenn Sie sicher sind, dass Sie eine schöne Antwort erhalten, aber die Praxis zeigt, dass nur sehr selten Aufgaben mit vollständiger Zerlegung angeboten werden. Meistens stellen wir fest, dass die Wurzel nicht vollständig entfernt werden kann.

Daher löst diese Methode das Problem der Extraktion ohne Taschenrechner nur teilweise.

Kapitel 2. Quadratwurzeln mit einer Ecke ziehen

Um die Quadratwurzel mithilfe einer Ecke zu ziehen undSchauen wir uns den Algorithmus an:
1. Schritt. Die Zahl 8649 ist von rechts nach links in Kanten unterteilt; Diese müssen jeweils zwei Ziffern enthalten. Wir bekommen zwei Gesichter:.
2. Schritt. Ziehen wir die Quadratwurzel aus der ersten Fläche von 86, erhalten wirmit einem Nachteil. Die Zahl 9 ist die erste Ziffer der Wurzel.
3. Schritt. Die Zahl 9 ist quadriert (9 2 = 81) und subtrahieren wir die Zahl 81 von der ersten Fläche, erhalten wir 86-81=5. Die Zahl 5 ist der erste Rest.
4. Schritt. Zum Rest 5 addieren wir die zweite Seite 49, wir erhalten die Zahl 549.

5. Schritt . Wir verdoppeln die erste Ziffer der Wurzel 9 und erhalten, von links geschrieben, -18

Wir müssen der Zahl die größte Ziffer zuweisen, damit das Produkt der Zahl, die wir mit dieser Ziffer erhalten, entweder gleich der Zahl 549 oder kleiner als 549 ist. Dies ist die Zahl 3. Sie wird durch Auswahl gefunden: die Zahl von Zehner der Zahl 549, also der Zahl 54 dividiert durch 18, erhalten wir 3, da 183 ∙ 3 = 549. Die Zahl 3 ist die zweite Ziffer der Wurzel.

6. Schritt. Wir finden den Rest 549 – 549 = 0. Da der Rest gleich Null, dann haben wir den genauen Wert der Wurzel erhalten – 93.

Lassen Sie mich Ihnen ein weiteres Beispiel geben: √212521 extrahieren

Algorithmusschritte	Beispiel	Kommentare
Teilen Sie die Zahl von rechts nach links in Gruppen zu je 2 Ziffern ein	21’ 25’ 21	Die Gesamtzahl der gebildeten Gruppen bestimmt die Anzahl der Ziffern der Antwort
Wählen Sie für die erste Zahlengruppe eine Zahl aus, deren Quadrat das größte ist, aber die Zahlen der ersten Gruppe nicht überschreitet	1 Gruppe – 21 4 2 =16 Nummer 4	Die gefundene Zahl steht in der Antwort an erster Stelle.
Subtrahieren Sie von der ersten Zahlengruppe das Quadrat der ersten Ziffer der in Schritt 2 gefundenen Antwort	21’ 25’ 21
Fügen Sie zu dem in Schritt 3 gefundenen Rest die zweite Zahlengruppe rechts hinzu (wegbewegen).	21’ 25’ 21 16__
Fügen Sie zur verdoppelten ersten Ziffer der Antwort rechts eine Ziffer hinzu, sodass das Produkt der resultierenden Zahl mit dieser Ziffer das größte ist, aber die in Schritt 4 ermittelte Zahl nicht überschreitet	42=8 Nummer 6 866=516	Die gefundene Zahl steht in der Antwort an zweiter Stelle
Subtrahieren Sie von der in Schritt 4 erhaltenen Zahl die in Schritt 5 erhaltene Zahl. Bilden Sie den Rest aus der dritten Gruppe	21’ 25’ 21
Fügen Sie der verdoppelten Zahl, die aus den ersten beiden Ziffern der Antwort besteht, rechts eine Ziffer hinzu, sodass das Produkt der resultierenden Zahl mit dieser Ziffer das größte ist, aber die in Schritt 6 erhaltene Zahl nicht überschreitet	462=92 Nummer 1 9211=921	Die gefundene Nummer wird in der Antwort an dritter Stelle geschrieben
Antwort aufschreiben	√212521=461

Kapitel 3. Verwendung der Quadrattabelle zweistelliger Zahlen

Ich habe über das Internet von dieser Methode erfahren. Die Methode ist sehr einfach und ermöglicht es Ihnen, ohne Taschenrechner sofort die Quadratwurzel einer beliebigen ganzen Zahl von 1 bis 100 mit einer Genauigkeit von Zehnteln zu ziehen. Voraussetzung für diese Methode ist das Vorhandensein einer Tabelle mit Zahlenquadraten bis 99.

(Es ist in allen Algebra-Lehrbüchern der 8. Klasse enthalten und wird als Referenzmaterial in der OGE-Prüfung angeboten.)

Öffnen Sie die Tabelle und prüfen Sie, wie schnell Sie die Antwort finden. Aber zuerst ein paar Empfehlungen: Die Spalte ganz links enthält Ganzzahlen in der Antwort, die oberste Zeile enthält Zehntel in der Antwort. Und dann ist alles ganz einfach: Schließen Sie die letzten beiden Ziffern der Zahl in der Tabelle und finden Sie die benötigte Zahl, die die Grundzahl nicht überschreitet, und befolgen Sie dann die Regeln dieser Tabelle.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir den Wert √87.

Wir schließen die letzten beiden Ziffern aller Zahlen in der Tabelle und finden ähnliche für 87 – es gibt nur zwei davon 86 49 und 88 37. Aber 88 ist schon viel.

Es bleibt also nur noch eines übrig – 8649.

Die linke Spalte gibt als Antwort 9 (das sind ganze Zahlen) und die oberste Zeile 3 (das sind Zehntel). Das bedeutet √87≈ 9,3. Schauen wir uns MK √87 ≈ 9,327379 an.

Schnell, einfach, während der Prüfung zugänglich. Aber es ist sofort klar, dass Wurzeln größer als 100 mit dieser Methode nicht extrahiert werden können. Die Methode eignet sich für Aufgaben mit kleinen Wurzeln und bei Vorhandensein einer Tabelle.

Kapitel 4. Formel des alten Babylon

Die alten Babylonier verwendeten die folgende Methode, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel ihrer Zahl x zu ermitteln. Sie stellten die Zahl x als Summe von a dar 2 +b, wobei a 2 das der Zahl x (a) am nächsten kommende exakte Quadrat der natürlichen Zahl a 2 . (1)

Mit Formel (1) ziehen wir beispielsweise die Quadratwurzel aus der Zahl 28:

Das Ergebnis der Wurzelextraktion aus 28 mit MK ist 5,2915026.

Wie wir sehen, liefert die babylonische Methode eine gute Annäherung genauer Wert Wurzel

Kapitel 5. Methode zum Verwerfen eines vollständigen Quadrats

(nur für vierstellige Zahlen)

Es sollte gleich klargestellt werden, dass diese Methode nur zum Extrahieren der Quadratwurzel eines exakten Quadrats anwendbar ist und der Findungsalgorithmus von der Größe der Wurzelzahl abhängt.

Wurzeln bis zur Nummer 75 extrahieren 2 = 5625

Zum Beispiel: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Wir stellen die Zahl 3844 als Summe dar, indem wir aus dieser Zahl das Quadrat 144 auswählen und dann das ausgewählte Quadrat verwerfenHunderterzahl des ersten Termes(37) Wir addieren immer 25 . Wir erhalten die Antwort 62.

Auf diese Weise können Sie nur Quadratwurzeln bis 75 ziehen 2 =5625!

2) Wurzeln ziehen nach Nummer 75 2 = 5625

So ziehen Sie verbal Quadratwurzeln aus Zahlen größer als 75 2 =5625?

Zum Beispiel: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Lassen Sie uns erklären, dass wir 7225 als die Summe von 7000 und dem ausgewählten Quadrat 225 darstellen. DannAddiere die Quadratwurzel zur Hunderterzahl von 225, gleich 15.

Wir erhalten die Antwort 85.

Diese Findungsmethode ist sehr interessant und teilweise originell, aber bei meinen Recherchen bin ich ihr nur einmal bei der Arbeit eines Perm-Lehrers begegnet.

Vielleicht ist es wenig erforscht oder es gibt einige Ausnahmen.

Aufgrund der Dualität des Algorithmus ist es ziemlich schwierig, sich daran zu erinnern, und es ist nur auf vierstellige Zahlen mit exakten Wurzeln anwendbar, aber ich habe viele Beispiele durchgearbeitet und bin von seiner Richtigkeit überzeugt. Darüber hinaus steht diese Methode auch denjenigen zur Verfügung, die die Zahlenquadrate von 11 bis 29 bereits auswendig gelernt haben, denn ohne deren Wissen ist sie nutzlos.

Kapitel 6. Kanadische Methode

√ X = √ S + (X – S) / (2 √ S), wobei

Versuchen wir, die Quadratwurzel aus 75 zu ziehen

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Mit einer detaillierten Untersuchung dieser Methode kann man leicht ihre Ähnlichkeit mit der babylonischen Methode beweisen und für das Urheberrecht an der Erfindung dieser Formel argumentieren, sofern es in Wirklichkeit eines gibt. Die Methode ist einfach und bequem.

Kapitel 7. Auswahlmethode erraten

Diese Methode wird von englischen Studenten am College of Mathematics in London angeboten, aber jeder hat diese Methode mindestens einmal in seinem Leben unfreiwillig angewendet. Es basiert auf Auswahl unterschiedliche Bedeutungen Quadrate ähnlicher Zahlen durch Eingrenzen des Suchbereichs. Jeder kann diese Methode beherrschen, es ist jedoch unwahrscheinlich, dass sie angewendet wird, da sie eine wiederholte Berechnung des Produkts einer Spalte nicht immer richtig erratener Zahlen erfordert. Diese Methode verliert sowohl an Schönheit der Lösung als auch an Zeit. Der Algorithmus ist einfach:

Nehmen wir an, Sie möchten die Quadratwurzel aus 75 ziehen.

Da 8 2 = 64 und 9 2 = 81, Sie wissen, dass die Antwort irgendwo dazwischen liegt.

Versuchen Sie es mit Build 8.5 2 und Sie erhalten 72,25 (zu wenig)

Versuchen Sie es jetzt mit 8.6 2 und Sie erhalten 73,96 (zu klein, aber es kommt näher)

Versuchen Sie es jetzt mit 8.7 2 und Sie erhalten 75,69 (zu groß)

Jetzt wissen Sie, dass die Antwort zwischen 8,6 und 8,7 liegt

Versuchen Sie, 8.65 zu erstellen 2 und Sie erhalten 74,8225 (zu klein)

Versuchen Sie es jetzt mit 8.66 2... und so weiter.

Fahren Sie fort, bis Sie eine Antwort erhalten, die für Sie genau genug ist.

Kapitel 8. Methode zum Abzug ungerader Zahlen

Viele Menschen kennen die Methode, die Quadratwurzel zu ziehen, indem man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt. In meiner Arbeit stelle ich eine andere Möglichkeit vor, mit der Sie den ganzzahligen Teil der Quadratwurzel einer Zahl ermitteln können. Die Methode ist sehr einfach. Beachten Sie, dass die folgenden Gleichungen für Zahlenquadrate gelten:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 usw.

Regel: Sie können den ganzzahligen Teil der Quadratwurzel einer Zahl ermitteln, indem Sie alle ungeraden Zahlen der Reihe nach davon subtrahieren, bis der Rest kleiner als die nächste subtrahierte Zahl oder gleich Null ist, und die Anzahl der durchgeführten Aktionen zählen.

Um beispielsweise die Quadratwurzel aus 36 und 121 zu ermitteln, ist dies:

Gesamtzahl der Subtraktionen = 6, also Quadratwurzel von 36 = 6.

Gesamtzahl der Subtraktionen = 11, also √121 = 11.

Ein weiteres Beispiel: Finden wir √529

Lösung: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Antwort: √529 = 23

Wissenschaftler nennen diese Methode arithmetische Quadratwurzelziehung und hinter den Kulissen wegen ihrer Langsamkeit die „Schildkrötenmethode“.
Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass Sie, wenn die zu extrahierende Wurzel keine ganze Zahl ist, nur den gesamten Teil ermitteln können, jedoch nicht genauer. Gleichzeitig ist diese Methode für Kinder, die einfache Probleme lösen können, gut zugänglich. Mathe Probleme, was eine Quadratwurzelextraktion erfordert. Versuchen Sie, auf diese Weise die Quadratwurzel einer Zahl, zum Beispiel 5963364, zu extrahieren, und Sie werden verstehen, dass es bei exakten Wurzeln natürlich fehlerfrei „funktioniert“, aber in der Lösung ist es sehr, sehr lang.

Abschluss

Die in dieser Arbeit beschriebenen Wurzelextraktionsmethoden sind in vielen Quellen zu finden. Sie zu verstehen erwies sich jedoch für mich als schwierige Aufgabe, die großes Interesse weckte. Die vorgestellten Algorithmen ermöglichen es jedem, der sich für dieses Thema interessiert, sich schnell die Fähigkeiten zur Berechnung der Quadratwurzel anzueignen; sie können zur Überprüfung ihrer Lösung verwendet werden und sind nicht auf einen Taschenrechner angewiesen.

Als Ergebnis der Recherche bin ich zu dem Schluss gekommen: Im Mathematikunterricht der Schule sind verschiedene Methoden zum Ziehen der Quadratwurzel ohne Taschenrechner notwendig, um Rechenfähigkeiten zu entwickeln.

Die theoretische Bedeutung der Studie – die wichtigsten Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln werden systematisiert.

Praktische Bedeutung:bei der Erstellung eines Minibuchs mit einem Referenzdiagramm zum Ziehen von Quadratwurzeln auf verschiedene Arten (Anhang 1).

Literatur und Internetseiten:

IN. Sergeev, S.N. Olehnik, S.B. Gashkov „Mathematik anwenden.“ – M.: Nauka, 1990
Kerimov Z., „Wie findet man eine ganze Wurzel?“ Populärwissenschaftliche und mathematische Zeitschrift „Kvant“ Nr. 2, 1980
Petrakow I.S. „Mathematikclubs in den Klassen 8-10“; Buch für Lehrer.

–M.: Bildung, 1987

Tikhonov A. N., Kostomarov D. P. „Geschichten über angewandte Mathematik.“ - M.: Nauka. Hauptredaktion für physikalische und mathematische Literatur, 1979
Tkacheva M.V. Mathe zu Hause. Buch für Schüler der 8. Klasse Bildungsinstitutionen. – Moskau, Aufklärung, 1994.
Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Referenztabellen in der Mathematik.-M.: LLC Verlag „ROSMEN-PRESS“, 2004.-120 S.
http://translate.google.ru/translate
http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Guten Tag, liebe Gäste!

Mein Name ist Lev Sokolov, ich gehe in die 8. Klasse der Abendschule.

Ich präsentiere Ihnen eine Arbeit zum Thema: „Quadratwurzeln großer Zahlen ohne Taschenrechner ermitteln.

Beim Studium eines ThemasNachdem ich in diesem Schuljahr Quadratwurzeln gezogen hatte, interessierte mich die Frage, wie man ohne Taschenrechner die Quadratwurzel aus großen Zahlen ziehen kann, und ich beschloss, mich tiefer damit zu befassen, da ich nächstes Jahr eine Prüfung in Mathematik ablegen muss.

Der Zweck meiner Arbeit:Finden und zeigen Sie Möglichkeiten, Quadratwurzeln ohne Taschenrechner zu ziehen

Um das Ziel zu erreichen, habe ich Folgendes beschlossen Aufgaben:

1. Studieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

2. Berücksichtigen Sie die Merkmale jeder gefundenen Methode und ihren Algorithmus.

3. Zeigen Sie die praktische Anwendung des erworbenen Wissens und beurteilen Sie den Grad der Komplexität bei der Verwendung verschiedener Methoden und Algorithmen.

4. Erstellen Sie ein Minibuch nach den interessantesten Algorithmen.

Der Gegenstand meiner Forschung warQuadratwurzeln.

Gegenstand der Studie:Möglichkeiten, Quadratwurzeln ohne Taschenrechner zu ziehen.

Forschungsmethoden:

1. Suchen Sie nach Methoden und Algorithmen zum Extrahieren von Quadratwurzeln aus großen Zahlen ohne Taschenrechner.

2. Vergleich und Analyse der gefundenen Methoden.

Ich habe 8 Möglichkeiten gefunden, Quadratwurzeln ohne Taschenrechner zu finden, studiert und in die Praxis umgesetzt. Die Namen der gefundenen Methoden werden auf der Folie angezeigt.

Ich werde mich auf diejenigen konzentrieren, die mir gefallen haben.

Ich zeige anhand eines Beispiels, wie Sie mithilfe der Primfaktorzerlegung die Quadratwurzel der Zahl 3025 ziehen können.

Der Hauptnachteil dieser Methode- es benötigt viel Zeit.

Mit der Formel des alten Babylon werde ich die Quadratwurzel aus derselben Zahl 3025 ziehen.

Die Methode ist nur für kleine Zahlen geeignet.

Aus der gleichen Zahl 3025 ziehen wir mithilfe einer Ecke die Quadratwurzel.

Meiner Meinung nach ist dies die universellste Methode, sie kann auf beliebige Zahlen angewendet werden.

IN moderne Wissenschaft Es gibt viele Möglichkeiten, die Quadratwurzel ohne Taschenrechner zu ziehen, aber ich habe nicht alle untersucht.

Praktische Bedeutung meiner Arbeit:bei der Erstellung eines Minibuchs mit einem Referenzdiagramm zum Ziehen von Quadratwurzeln auf verschiedene Arten.

Die Ergebnisse meiner Arbeit können erfolgreich in Mathematik, Physik und anderen Fächern eingesetzt werden, in denen Wurzelziehen ohne Taschenrechner erforderlich ist.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Vorschau:

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Folienunterschriften:

Extrahieren von Quadratwurzeln aus großen Zahlen ohne Taschenrechner Darsteller: Lev Sokolov, MKOU „Tugulymskaya V(S)OSH“, 8. Klasse Leiter: Sidorova Tatyana Nikolaevna Kategorie I, Mathematiklehrerin r.p. Tugulym

Durch Anwendung und vielfältige Beispiele kann die richtige Anwendung von Methoden erlernt werden. G. Zeiten Ziel der Arbeit: Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln finden und aufzeigen, die ohne einen Taschenrechner verwendet werden können. Ziele: - Studieren Sie die Literatur zu diesem Thema. - Berücksichtigen Sie die Merkmale jeder gefundenen Methode und ihren Algorithmus. - Zeigen Sie die praktische Anwendung des erworbenen Wissens und beurteilen Sie den Grad der Komplexität bei der Verwendung verschiedener Methoden und Algorithmen. - Erstellen Sie ein Minibuch über die interessantesten Algorithmen.

Studiengegenstand: Quadratwurzeln Studiengegenstand: Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln ohne Taschenrechner. Forschungsmethoden: Suchen Sie nach Methoden und Algorithmen zum Extrahieren von Quadratwurzeln aus großen Zahlen ohne Taschenrechner. Vergleich der gefundenen Methoden. Analyse der erhaltenen Methoden.

Methoden zum Extrahieren von Quadratwurzeln: 1. Methode zum Faktorisieren in Primfaktoren 2. Extrahieren von Quadratwurzeln mit einer Ecke 3. Methode zum Verwenden einer Quadrattabelle mit zweistelligen Zahlen 4. Formel des alten Babylon 5. Methode zum Verwerfen eines perfekten Quadrats 6. Kanadische Methode 7. Methode zum Schätzen 8. Methode zum Abziehen einer ungeraden Zahl

Methode zum Faktorisieren in Primfaktoren Um eine Quadratwurzel zu ziehen, können Sie eine Zahl in Primfaktoren faktorisieren und die Quadratwurzel des Produkts ziehen. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 44 1│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 . √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Es ist nicht immer leicht zu zersetzen, häufiger wird es nicht vollständig entfernt, es dauert viel Zeit.

Formel des antiken Babylon (babylonische Methode) Algorithmus zum Extrahieren der Quadratwurzel mithilfe der altbabylonischen Methode. 1 . Stellen Sie die Zahl c als die Summe a² + b dar, wobei a² das genaue Quadrat der natürlichen Zahl a ist, die der Zahl c am nächsten liegt (a² ≈ c); 2. Der ungefähre Wert der Wurzel wird mit der Formel berechnet: Das Ergebnis der Wurzelbildung mit einem Taschenrechner ist 5,292.

Eine Quadratwurzel mit einer Ecke ziehen Die Methode ist nahezu universell, da sie auf alle Zahlen anwendbar ist, aber das Verfassen eines Rebus (Erraten der Zahl am Ende einer Zahl) erfordert Logik und gute Rechenkenntnisse im Umgang mit einer Spalte.

Algorithmus zum Extrahieren einer Quadratwurzel mithilfe einer Ecke 1. Teilen Sie die Zahl (5963364) in Paare von rechts nach links (5`96`33`64) 2. Extrahieren Sie die Quadratwurzel aus der ersten Gruppe links (- Nummer 2) . So erhalten wir die erste Ziffer der Zahl. 3. Finden Sie das Quadrat der ersten Ziffer (2 2 =4). 4. Ermitteln Sie die Differenz zwischen der ersten Gruppe und dem Quadrat der ersten Ziffer (5-4=1). 5. Wir notieren die nächsten beiden Ziffern (wir erhalten die Zahl 196). 6. Verdoppeln Sie die erste gefundene Ziffer und schreiben Sie sie links hinter die Zeile (2*2=4). 7. Jetzt müssen wir die zweite Ziffer der Zahl finden: Das Doppelte der ersten gefundenen Ziffer wird zur Zehnerstelle der Zahl. Wenn Sie sie mit der Anzahl der Einheiten multiplizieren, müssen Sie eine Zahl kleiner als 196 erhalten (dies ist die Zahl). 4, 44*4=176). 4 ist die zweite Ziffer von &. 8. Finden Sie den Unterschied (196-176=20). 9. Wir zerstören die nächste Gruppe (wir erhalten die Nummer 2033). 10. Verdoppeln Sie die Zahl 24, wir erhalten 48. 11. 48 Zehner in der Zahl, wenn wir sie mit der Zahl der Einsen multiplizieren, sollten wir eine Zahl kleiner als 2033 (484*4=1936) erhalten. Die Einerstelle, die wir gefunden haben (4), ist die dritte Ziffer der Zahl. Dann wird der Vorgang wiederholt.

Subtraktionsmethode für ungerade Zahlen (arithmetische Methode) Quadratwurzelalgorithmus: Subtrahieren Sie ungerade Zahlen der Reihe nach, bis der Rest kleiner als die nächste zu subtrahierende Zahl oder gleich Null ist. Zählen Sie die Anzahl der durchgeführten Aktionen – diese Zahl ist der ganzzahlige Teil der Zahl der Quadratwurzel, die gezogen wird. Beispiel 1: Berechnen Sie 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 Aktionen abgeschlossen

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 Gesamtzahl der Subtraktionen = 6, also Quadratwurzel von 36 = 6. 121 – 1 = 120 – 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Gesamtzahl der Subtraktionen = 11, also Quadratwurzel von 121 = 11. 5963364 = ??? Russische Wissenschaftler nennen sie hinter den Kulissen wegen ihrer Langsamkeit die „Schildkrötenmethode“. Bei großen Zahlen ist das unpraktisch.

Die theoretische Bedeutung der Studie – die wichtigsten Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln werden systematisiert. Praktische Bedeutung: bei der Erstellung eines Minibuchs mit einem Referenzdiagramm zum Ziehen von Quadratwurzeln auf verschiedene Arten.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Vorschau:

Bei einigen Problemen ist es erforderlich, aus einer großen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Wie kann man das machen?

Methode zum Abzug ungerader Zahlen.

Die Methode ist sehr einfach. Beachten Sie, dass die folgenden Gleichungen für Zahlenquadrate gelten:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 usw.

Zum Beispiel, um die Quadratwurzel aus 36 und 121 zu ziehen, ist:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Gesamtzahl der Subtraktionen = 6, also Quadratwurzel von 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Gesamtzahl der Subtraktionen = 11, also√121 = 11.

Kanadische Methode.

Diese schnelle Methode wurde im 20. Jahrhundert von jungen Wissenschaftlern an einer der führenden Universitäten Kanadas entdeckt. Die Genauigkeit beträgt maximal zwei bis drei Dezimalstellen. Hier ist ihre Formel:

√ X = √ S + (X – S) / (2 √ S), wobei

Beispiel. Ziehe die Quadratwurzel aus 75.

X = 75, S = 81. Das bedeutet, dass √ S = 9.

Berechnen wir √75 mit dieser Formel: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Eine Methode zum Ziehen von Quadratwurzeln mithilfe einer Ecke.

1. Teilen Sie die Zahl (5963364) von rechts nach links in Paare (5`96`33`64)

2. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der ersten Gruppe links (- Nummer 2). So erhalten wir die erste Ziffer der Zahl.

3. Finden Sie das Quadrat der ersten Ziffer (2 2 =4).

4. Ermitteln Sie die Differenz zwischen der ersten Gruppe und dem Quadrat der ersten Ziffer (5-4=1).

5. Wir notieren die nächsten beiden Ziffern (wir erhalten die Zahl 196).

6. Verdoppeln Sie die erste gefundene Ziffer und schreiben Sie sie links hinter die Zeile (2*2=4).

7. Jetzt müssen wir die zweite Ziffer der Zahl finden: Das Doppelte der ersten gefundenen Ziffer wird zur Zehnerstelle der Zahl. Wenn Sie sie mit der Anzahl der Einheiten multiplizieren, müssen Sie eine Zahl kleiner als 196 erhalten (dies ist die Zahl). 4, 44*4=176). 4 ist die zweite Ziffer von &.

8. Finden Sie den Unterschied (196-176=20).

9. Wir zerstören die nächste Gruppe (wir erhalten die Nummer 2033).

10. Verdoppeln Sie die Zahl 24, wir erhalten 48.

Es gibt 11,48 Zehner in einer Zahl, wenn wir sie mit der Zahl der Einer multiplizieren, sollten wir eine Zahl kleiner als 2033 (484*4=1936) erhalten. Die Einerstelle, die wir gefunden haben (4), ist die dritte Ziffer der Zahl.

Aktion Quadratwurzelumgekehrt zum Quadrieren.

√81= 9 9 2 =81.

Auswahlmethode.

Beispiel: Extrahieren Sie die Wurzel der Zahl 676.

Wir stellen fest, dass 20 2 = 400 und 30 2 = 900, was 20 bedeutet

Exakte Quadrate natürlicher Zahlen enden auf 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Die Zahl 6 ergibt 4 2 und 6 2 .
Das heißt, wenn die Wurzel aus 676 genommen wird, dann ist sie entweder 24 oder 26.

Noch zu prüfen: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antwort: √ 676 = 26.

Ein weiteres Beispiel: √6889.

Da 80 2 = 6400 und 90 2 = 8100, dann 80. Die Zahl 9 ergibt 3 2 und 7 2 , dann ist √6889 entweder 83 oder 87.

Überprüfen wir: 83 2 = 6889.

Antwort: √6889 = 83.

Wenn die Lösung mit der Auswahlmethode für Sie schwierig ist, können Sie den Wurzelausdruck faktorisieren.

Suchen Sie beispielsweise √893025.

Lassen Sie uns die Zahl 893025 faktorisieren. Denken Sie daran, Sie haben das in der sechsten Klasse gemacht.

Wir erhalten: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babylonische Methode.

Schritt 1. Stellen Sie die Zahl x als Summe dar: x=a 2 + b, wobei a 2 das der Zahl x am nächsten kommende exakte Quadrat der natürlichen Zahl a.

Schritt 2. Formel verwenden:

Beispiel. Berechnung.

Arithmetische Methode.

Wir subtrahieren der Reihe nach alle ungeraden Zahlen von der Zahl, bis der Rest kleiner als die nächste zu subtrahierende Zahl oder gleich Null ist. Nachdem wir die Anzahl der durchgeführten Aktionen gezählt haben, bestimmen wir den ganzzahligen Teil der Quadratwurzel der Zahl.

Beispiel. Berechnen Sie den ganzzahligen Teil einer Zahl.

Lösung. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - ganzer Teil Zahlen. Also, .

Methode (bekannt als Newton-Methode)ist wie folgt.

Lassen Sie eine 1 - erste Näherung der Zahl(als 1 Sie können die Werte der Quadratwurzel einer natürlichen Zahl nehmen – eine exakte Quadratzahl, die nicht größer ist .

Mit dieser Methode können Sie die Quadratwurzel einer großen Zahl mit beliebiger Genauigkeit ziehen, allerdings mit einem erheblichen Nachteil: der Umständlichkeit der Berechnungen.

Bewertungsmethode.

Schritt 1. Finden Sie den Bereich heraus, in dem die ursprüngliche Wurzel liegt (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10.000).

Schritt 2. Bestimmen Sie anhand der letzten Ziffer, mit welcher Ziffer die gewünschte Zahl endet.

Einerstelle von x
Einerstelle von x 2

Schritt 3. Quadrieren Sie die erwarteten Zahlen und ermitteln Sie daraus die gewünschte Zahl.

Beispiel 1. Berechnen Sie .

Lösung. 2500 50 2 2 50

= *2 oder = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Daher = 58.

Was ist eine Quadratwurzel?

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Dieses Konzept ist sehr einfach. Natürlich würde ich sagen. Mathematiker versuchen, für jede Aktion eine Reaktion zu finden. Es gibt Addition – es gibt auch Subtraktion. Es gibt Multiplikation – es gibt auch Division. Es gibt Quadrieren... Das gibt es auch Ziehe die Quadratwurzel! Das ist alles. Diese Aktion ( Quadratwurzel) wird in der Mathematik durch dieses Symbol angezeigt:

Das Symbol selbst wird als schönes Wort bezeichnet. Radikale".

Wie extrahiere ich die Wurzel? Es ist besser anzuschauen Beispiele.

Was ist die Quadratwurzel von 9? Welche Zahl im Quadrat ergibt 9? 3 zum Quadrat ergibt 9! Diese:

Aber was ist die Quadratwurzel aus Null? Kein Problem! Welche Zahl im Quadrat ergibt Null? Ja, es gibt Null! Bedeutet:

Habe es, Was ist Quadratwurzel? Dann überlegen wir Beispiele:

Antworten (in Unordnung): 6; 1; 4; 9; 5.

Entschieden? Wirklich, wie viel einfacher ist das?!

Aber... Was macht ein Mensch, wenn er eine Aufgabe mit Wurzeln sieht?

Ein Mensch beginnt traurig zu werden... Er glaubt nicht an die Einfachheit und Leichtigkeit seiner Wurzeln. Obwohl er es zu wissen scheint Was ist Quadratwurzel?...

Dies liegt daran, dass die Person beim Studium der Wurzeln mehrere wichtige Punkte ignoriert hat. Dann rächen sich diese Modeerscheinungen grausam an Tests und Prüfungen ...

Punkt eins. Man muss die Wurzeln am Sehen erkennen!

Was ist die Quadratwurzel von 49? Sieben? Rechts! Woher wussten Sie, dass es sieben war? Sieben quadriert und 49 erhalten? Rechts! Bitte beachte, dass Extrahieren Sie die Wurzel Von 49 mussten wir den umgekehrten Vorgang durchführen – Quadrat 7! Und stellen Sie sicher, dass wir es nicht verpassen. Oder sie hätten es verpassen können...

Das ist die Schwierigkeit Wurzelextraktion. Quadrat Sie können problemlos jede beliebige Rufnummer nutzen. Eine Zahl mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren – das ist alles. Aber für Wurzelextraktion Es gibt keine so einfache und ausfallsichere Technologie. Wir müssen abholen Beantworten Sie die Antwort und überprüfen Sie, ob sie richtig ist, indem Sie sie quadrieren.

Dieser komplexe kreative Prozess – die Auswahl einer Antwort – wird erheblich vereinfacht, wenn Sie erinnern Quadrate beliebter Zahlen. Wie eine Multiplikationstabelle. Wenn Sie beispielsweise 4 mit 6 multiplizieren müssen, addieren Sie doch nicht viermal 6, oder? Da fällt sofort die Antwort 24. Auch wenn sie nicht jeder versteht, ja...

Um frei und erfolgreich mit Wurzeln arbeiten zu können, reicht es aus, die Quadrate der Zahlen von 1 bis 20 zu kennen Dort Und zurück. Diese. Sie sollten in der Lage sein, beispielsweise sowohl 11 zum Quadrat als auch die Quadratwurzel von 121 problemlos aufzusagen. Um dieses Auswendiglernen zu erreichen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste besteht darin, die Quadrattabelle zu lernen. Dies wird eine große Hilfe bei der Lösung von Beispielen sein. Die zweite besteht darin, weitere Beispiele zu lösen. Dies wird Ihnen sehr helfen, sich an die Quadrattabelle zu erinnern.

Und keine Taschenrechner! Nur zu Testzwecken. Sonst wird man während der Prüfung gnadenlos langsamer...

Also, Was ist Quadratwurzel? und wie Wurzeln extrahieren- Ich denke, es ist klar. Jetzt wollen wir herausfinden, WAS wir daraus extrahieren können.

Punkt zwei. Root, ich kenne dich nicht!

Aus welchen Zahlen kann man Quadratwurzeln ziehen? Ja, fast alle. Es ist einfacher zu verstehen, woher es kommt es ist verboten Extrahieren Sie sie.

Versuchen wir, diese Wurzel zu berechnen:

Dazu müssen wir eine Zahl wählen, deren Quadrat -4 ergibt. Wir wählen aus.

Was, es passt nicht? 2 2 ergibt +4. (-2) 2 ergibt wieder +4! Das ist alles... Es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben! Obwohl ich diese Zahlen kenne. Aber ich werde es dir nicht sagen). Gehen Sie aufs College und Sie werden es selbst herausfinden.

Die gleiche Geschichte wird mit jeder negativen Zahl passieren. Daher die Schlussfolgerung:

Ein Ausdruck, in dem unter dem Quadratwurzelzeichen eine negative Zahl steht - Es ist nicht sinnvoll! Dies ist eine verbotene Operation. Es ist ebenso verboten wie die Division durch Null. Merken Sie sich diese Tatsache genau! Oder mit anderen Worten:

Quadratwurzeln von negative Zahlen kann nicht entfernt werden!

Aber von allen anderen ist es möglich. Eine Berechnung ist zum Beispiel durchaus möglich

Auf den ersten Blick ist das sehr schwierig. Brüche auswählen und quadrieren ... Keine Sorge. Wenn wir die Eigenschaften von Wurzeln verstehen, werden solche Beispiele auf die gleiche Quadrattabelle reduziert. Das Leben wird einfacher!

Okay, Brüche. Aber wir stoßen immer noch auf Ausdrücke wie:

Macht nichts. Alles das selbe. Die Quadratwurzel aus zwei ist die Zahl, die quadriert zwei ergibt. Nur ist diese Zahl völlig ungerade... Hier ist sie:

Das Interessante ist, dass dieser Bruch nie endet ... Solche Zahlen werden irrational genannt. Bei Quadratwurzeln kommt dies am häufigsten vor. Aus diesem Grund werden übrigens Ausdrücke mit Wurzeln aufgerufen irrational. Es ist klar, dass es unbequem ist, ständig einen solchen unendlichen Bruch zu schreiben. Deshalb belassen sie es statt eines unendlichen Bruchs so:

Wenn Sie beim Lösen eines Beispiels am Ende auf etwas stoßen, das nicht extrahiert werden kann, wie zum Beispiel:

dann lassen wir es so. Das wird die Antwort sein.

Sie müssen klar verstehen, was die Symbole bedeuten

Natürlich, wenn die Wurzel der Zahl gezogen wird glatt, du musst das tun. Die Antwort auf die Aufgabe steht zum Beispiel im Formular

Eine ziemlich vollständige Antwort.

Und natürlich müssen Sie die ungefähren Werte aus dem Gedächtnis kennen:

Dieses Wissen hilft sehr, die Situation bei komplexen Aufgaben einzuschätzen.

Punkt drei. Das Schlaueste.

Die größte Verwirrung bei der Arbeit mit Wurzeln wird durch diesen Punkt verursacht. Er ist es, der Vertrauen in seine eigenen Fähigkeiten gibt... Lassen Sie uns diesen Punkt richtig behandeln!

Ziehen wir zunächst noch einmal die Quadratwurzel aus vier davon. Habe ich dich schon mit dieser Wurzel belästigt?) Egal, jetzt wird es interessant!

Welche Zahl ergibt 4 im Quadrat? Na ja, zwei, zwei – ich höre unzufriedene Antworten...

Rechts. Zwei. Aber auch minus zwei ergibt 4 zum Quadrat... In der Zwischenzeit die Antwort

richtig und die Antwort

grober Fehler. So.

Also, was ist der Deal?

Tatsächlich ist (-2) 2 = 4. Und unter der Definition der Quadratwurzel aus vier minus zwei durchaus geeignet... Dies ist auch die Quadratwurzel aus vier.

Aber! Im Schulmathematikunterricht ist es üblich, Quadratwurzeln zu berücksichtigen nur nicht negative Zahlen! Das heißt, Null und alle sind positiv. Sogar ein spezieller Begriff wurde erfunden: aus der Nummer A- Das nicht negativ Zahl, deren Quadrat ist A. Negative Ergebnisse beim Ziehen einer arithmetischen Quadratwurzel werden einfach verworfen. In der Schule ist alles Quadratwurzeln - Arithmetik. Obwohl dies nicht besonders erwähnt wird.

Okay, das ist verständlich. Noch besser ist es, sich nicht mit negativen Ergebnissen herumzuärgern... Das ist noch keine Verwirrung.

Beim Lösen quadratischer Gleichungen beginnt Verwirrung. Beispielsweise müssen Sie die folgende Gleichung lösen.

Die Gleichung ist einfach, wir schreiben die Antwort (wie gelehrt):

Diese Antwort (übrigens absolut richtig) ist nur eine Kurzfassung zwei Antworten:

Halt halt! Direkt oben habe ich geschrieben, dass die Quadratwurzel eine Zahl ist Stets nicht negativ! Und hier ist eine der Antworten: Negativ! Störung. Dies ist das erste (aber nicht das letzte) Problem, das Misstrauen gegenüber den Wurzeln hervorruft... Lassen Sie uns dieses Problem lösen. Schreiben wir die Antworten (nur zum Verständnis!) so auf:

Die Klammern ändern nichts am Kern der Antwort. Ich habe es einfach durch Klammern getrennt Zeichen aus Wurzel. Jetzt können Sie deutlich erkennen, dass die Wurzel selbst (in Klammern) immer noch eine nicht negative Zahl ist! Und die Zeichen sind Ergebnis der Lösung der Gleichung. Schließlich müssen wir beim Lösen einer Gleichung schreiben Alle Xs, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, das richtige Ergebnis liefern. Die Wurzel aus fünf (positiv!) mit einem Plus und einem Minus passt in unsere Gleichung.

So. Wenn Sie Ziehen Sie einfach die Quadratwurzel von allem, du Stets du erhältst eins nicht negativ Ergebnis. Zum Beispiel:

Weil es - arithmetische Quadratwurzel.

Aber wenn Sie sich für etwas entscheiden quadratische Gleichung, Typ:

Das Stets es stellt sich heraus zwei Antwort (mit Plus und Minus):

Denn das ist die Lösung der Gleichung.

Hoffnung, Was ist Quadratwurzel? Sie haben Ihre Argumente klar dargelegt. Nun gilt es herauszufinden, was man mit den Wurzeln machen kann und welche Eigenschaften sie haben. Und was sind die Punkte und Fallstricke... sorry, Steine!)

All dies finden Sie in den folgenden Lektionen.

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