Reduziertes quadratisches Trinom. Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Trinom ist ein Polynom der Form ax^2 + bx + c, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und a ≠ 0.

Um ein Trinom zu faktorisieren, müssen Sie die Wurzeln dieses Trinoms kennen. (weiter ein Beispiel zum Trinom 5x^2 + 3x- 2)

Hinweis: Der Wert des quadratischen Trinoms 5x^2 + 3x - 2 hängt vom Wert von x ab. Beispiel: Wenn x = 0, dann 5x^2 + 3x - 2 = -2

Wenn x = 2, dann 5x^2 + 3x - 2 = 24

Wenn x = -1, dann 5x^2 + 3x - 2 = 0

Bei x = -1 verschwindet das quadratische Trinom 5x^2 + 3x - 2, in diesem Fall heißt die Zahl -1 Wurzel eines Quadrattrinoms.

So ermitteln Sie die Wurzel einer Gleichung

Lassen Sie uns erklären, wie wir die Wurzel dieser Gleichung erhalten haben. Zunächst müssen Sie den Satz und die Formel, nach der wir arbeiten werden, genau kennen:

„Wenn x1 und x2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms ax^2 + bx + c sind, dann gilt ax^2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).“

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

Diese Formel zum Finden der Wurzeln eines Polynoms ist die primitivste Formel, mit der Sie nie verwirrt werden.

Der Ausdruck ist 5x^2 + 3x – 2.

1. Gleich Null: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Dazu setzen wir die Werte in die Formel ein (a ist der Koeffizient von X^2, b ist der Koeffizient von X, der freie Term, also die Zahl ohne X ):

Wir finden die erste Wurzel mit einem Pluszeichen vor der Quadratwurzel:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Die zweite Wurzel mit einem Minuszeichen vor der Quadratwurzel:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Damit haben wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms gefunden. Um sicherzustellen, dass sie korrekt sind, können Sie Folgendes überprüfen: Zuerst setzen wir die erste Wurzel in die Gleichung ein, dann die zweite:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Wenn die Gleichung nach dem Ersetzen aller Wurzeln Null wird, ist die Gleichung korrekt gelöst.

3. Nun verwenden wir die Formel aus dem Satz: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). Denken Sie daran, dass X1 und X2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind. Also: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Um sicherzustellen, dass die Zerlegung korrekt ist, können Sie einfach die Klammern multiplizieren:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 + 3 – 2. Was die Richtigkeit bestätigt der Entscheidung.

Die zweite Möglichkeit, die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden

Eine weitere Möglichkeit, die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden, ist der Umkehrsatz zum Satz von Viette. Hier werden die Wurzeln der quadratischen Gleichung mit den Formeln gefunden: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass dieser Satz nur angewendet werden kann, wenn der Koeffizient a = 1 ist, also die Zahl vor x^2 = 1.

Zum Beispiel: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Wir lösen: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Nun ist es wichtig, darüber nachzudenken, welche Zahlen im Produkt eins ergeben? Natürlich das 1 * 1 Und -1 * (-1) . Aus diesen Zahlen wählen wir natürlich diejenigen aus, die dem Ausdruck x1 + x2 = 2 entsprechen – das ist 1 + 1. Also haben wir die Wurzeln der Gleichung gefunden: x1 = 1, x2 = 1. Das lässt sich leicht überprüfen, wenn wir Ersetzen Sie x^2 im Ausdruck - 2x + 1 = 0.

Das Faktorisieren quadratischer Trinome bezieht sich auf Schulaufgaben mit dem jeder früher oder später konfrontiert wird. Wie es geht? Wie lautet die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms? Lassen Sie es uns Schritt für Schritt anhand von Beispielen herausfinden.

Allgemeine Formel

Quadratische Trinome werden durch Lösen einer quadratischen Gleichung faktorisiert. Dies ist ein einfaches Problem, das mit mehreren Methoden gelöst werden kann – durch die Ermittlung der Diskriminante mithilfe des Satzes von Vieta gibt es auch eine grafische Lösung. Die ersten beiden Methoden werden in der High School studiert.

Die allgemeine Formel sieht so aus:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithmus zum Erledigen der Aufgabe

Um quadratische Trinome zu faktorisieren, müssen Sie den Satz von Vita kennen, ein Lösungsprogramm zur Hand haben, eine Lösung grafisch finden können oder mithilfe der Diskriminanzformel nach Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades suchen. Wenn ein quadratisches Trinom gegeben ist und es faktorisiert werden muss, lautet der Algorithmus wie folgt:

1) Setzen Sie den ursprünglichen Ausdruck mit Null gleich, um eine Gleichung zu erhalten.

2) Geben Sie ähnliche Begriffe an (falls erforderlich).

3) Finden Sie die Wurzeln von jedem in bekannter Weise. Die grafische Methode eignet sich am besten, wenn im Voraus bekannt ist, dass es sich bei den Wurzeln um ganze Zahlen und kleine Zahlen handelt. Es muss beachtet werden, dass die Anzahl der Wurzeln gleich dem maximalen Grad der Gleichung ist, d. h. die quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln.

4) Ersetzen Sie den Wert X in Ausdruck (1).

5) Schreiben Sie die Faktorisierung quadratischer Trinome auf.

Beispiele

Durch Übung können Sie endlich verstehen, wie diese Aufgabe ausgeführt wird. Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms:

Es ist notwendig, den Ausdruck zu erweitern:

Greifen wir auf unseren Algorithmus zurück:

1) x 2 -17x+32=0

2) ähnliche Begriffe werden gekürzt

3) Mit der Formel von Vieta ist es schwierig, Wurzeln für dieses Beispiel zu finden, daher ist es besser, den Ausdruck für die Diskriminante zu verwenden:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Setzen wir die Wurzeln, die wir gefunden haben, in die Grundformel für die Zerlegung ein:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Dann wird die Antwort so aussehen:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Überprüfen wir, ob die von der Diskriminante gefundenen Lösungen den Vieta-Formeln entsprechen:

14,845 . 2,155=32

Für diese Wurzeln wird der Satz von Vieta angewendet, sie wurden korrekt gefunden, was bedeutet, dass die Faktorisierung, die wir erhalten haben, auch korrekt ist.

Erweitern wir auf ähnliche Weise 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Im vorherigen Fall waren die Lösungen keine ganzen Zahlen, sondern reelle Zahlen, die leicht zu finden sind, wenn Sie einen Taschenrechner vor sich haben. Schauen wir uns nun mehr an komplexes Beispiel, in dem die Wurzeln komplex sein werden: Faktor x 2 + 4x + 9. Mit der Formel von Vieta können die Wurzeln nicht gefunden werden und die Diskriminante ist negativ. Die Wurzeln liegen auf der komplexen Ebene.

D=-20

Auf dieser Grundlage erhalten wir die Wurzeln, die uns interessieren -4+2i*5 1/2 und -4-2i * 5 1/2 seit (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Die gewünschte Zerlegung erhalten wir durch Einsetzen der Wurzeln in die allgemeine Formel.

Ein weiteres Beispiel: Sie müssen den Ausdruck 23x 2 -14x+7 faktorisieren.

Wir haben die Gleichung 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Dies bedeutet, dass die Wurzeln 14+21.166i und sind 14-21.166i. Die Antwort wird sein:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).

Geben wir ein Beispiel, das ohne die Hilfe einer Diskriminante gelöst werden kann.

Nehmen wir an, wir müssen die quadratische Gleichung x 2 -32x+255 erweitern. Natürlich kann es auch mit einer Diskriminante gelöst werden, aber es ist schneller in diesem Fall Nimm die Wurzeln auf.

x 1 =15

x 2 =17

Bedeutet x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bekannt sind, kann ein Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren (faktorisiert) dargestellt werden:
.

Als nächstes gehen wir davon aus, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
Lassen Sie uns überlegen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante gleich Null, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrere (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn Sie bauen Graph einer Funktion
,
das ist eine Parabel, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Bei schneidet der Graph die x-Achse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln für quadratische Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:

,
Wo
; .

Wir haben also die Formel für ein Polynom zweiten Grades in der Form erhalten:
.
Dies zeigt, dass die Gleichung

durchgeführt bei
Und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele für die Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Lösung

.
Im Vergleich mit unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Daraus erhalten wir die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse in zwei Punkten.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten:
Und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antwort

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse in einem Punkt.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) in einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann wird eine solche Wurzel üblicherweise als Vielfaches bezeichnet. Das heißt, sie glauben, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antwort

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die x-Achse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Antwort

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Beim Lösen von Arithmetik und algebraische Probleme Manchmal muss man bauen Fraktion V Quadrat. Der einfachste Weg, dies zu tun, ist, wenn Fraktion Dezimalzahl - ein normaler Taschenrechner reicht aus. Wie auch immer, wenn Fraktion gewöhnlich oder gemischt, dann, wenn eine solche Zahl erhöht wird Quadrat Es können einige Schwierigkeiten auftreten.

Du wirst brauchen

Taschenrechner, Computer, Excel-Anwendung.

Anweisungen

Eine Dezimalzahl erhöhen Fraktion V Quadrat Nehmen Sie ein technisches Dokument und geben Sie darauf ein, was eingebaut wird Quadrat Fraktion und drücken Sie die Taste zum Erhöhen der zweiten Einschalttaste. Bei den meisten Rechnern ist diese Schaltfläche mit „x²“ beschriftet. Auf einem Standard-Windows-Rechner ist die Funktion zum Erhöhen vorhanden Quadrat sieht aus wie „x^2“. Zum Beispiel, Quadrat Der Dezimalbruch 3,14 ist gleich: 3,14² = 9,8596.

Zum Einbauen Quadrat Dezimal Fraktion Multiplizieren Sie diese Zahl auf einem normalen (Buchhaltungs-)Rechner mit sich selbst. Einige Taschenrechnermodelle bieten übrigens die Möglichkeit, eine Zahl auf zu erhöhen Quadrat auch wenn kein spezieller Knopf vorhanden ist. Lesen Sie daher zunächst die Anleitung Ihres konkreten Rechners. Manchmal sind auf der Rückseite oder auf dem Taschenrechner „knifflige“ Potenzierungen angegeben. Beispielsweise bei vielen Taschenrechnern, um eine Zahl zu erhöhen Quadrat Drücken Sie einfach die Tasten „x“ und „=“.

Für den Bau in Quadrat gemeinsamer Bruch(bestehend aus einem Zähler und einem Nenner), erhöhen auf Quadrat getrennt den Zähler und den Nenner dieses Bruchs. Das heißt, verwenden Sie die folgende Regel: (h / z)² = h² / z², wobei h der Zähler des Bruchs und z der Nenner des Bruchs ist. Beispiel: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

Bei Einbau Quadrat Fraktion– gemischt (besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem gewöhnlichen Bruch), dann reduziere es zuerst auf gewöhnliches Aussehen. Wenden Sie also die folgende Formel an: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², wobei c – ganzer Teil gemischter Bruch. Beispiel: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Wenn drin Quadrat(Nicht) Brüche kommen ständig vor, dann verwenden Sie MS Excel. Geben Sie dazu die folgende Formel in eine der Tabellen ein: = DEGREE (A2;2) wobei A2 die Adresse der Zelle ist, in die der erhöhte Wert eingetragen wird Quadrat Fraktion.Um dem Programm mitzuteilen, dass die eingegebene Nummer behandelt werden soll Fraktion yu (d. h. nicht in eine Dezimalzahl umwandeln), vorher eingeben Fraktion Zahl „0“ und das Zeichen „Leerzeichen“. Das heißt, um beispielsweise den Bruch 2/3 einzugeben, müssen Sie „0 2/3“ eingeben (und die Eingabetaste drücken). In diesem Fall wird in der Eingabezeile die dezimale Darstellung des eingegebenen Bruchs angezeigt. Der Wert und die Darstellung des Bruchs selbst werden in ihrer ursprünglichen Form gespeichert. Darüber hinaus wird bei Verwendung mathematischer Funktionen, deren Argumente gewöhnliche Brüche sind, das Ergebnis auch als gewöhnlicher Bruch dargestellt. Somit Quadrat der Bruch 2/3 wird als 4/9 dargestellt.

Quadratisches Trinom Axt 2 +bx+c kann mit der Formel in lineare Faktoren zerlegt werden:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Wo x1, x2- Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 +bx+c=0.

Faktorisieren Sie das quadratische Trinom in lineare Faktoren:

Beispiel 1). 2x 2 -7x-15.

Lösung. 2x 2 -7x-15=0.

A=2; B=-7; C=-15. Dies ist der allgemeine Fall für eine vollständige quadratische Gleichung. Die Diskriminante finden D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 echte Wurzeln.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Wir haben dieses Trinom eingeführt 2x 2 -7x-15 2x+3 Und x-5.

Antwort: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

Beispiel 2). 3x 2 +2x-8.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=3; B=2;C=-8. Dies ist ein Sonderfall für eine vollständige quadratische Gleichung mit einem geraden zweiten Koeffizienten ( B=2). Die Diskriminante finden D 1.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Wir haben das Trinom eingeführt 3x 2 +2x-8 als Produkt von Binomialen x+2 Und 3x-4.

Antwort: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

Beispiel 3). 5x 2 -3x-2.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=5; B=-3; C=-2. Dies ist ein Sonderfall für eine vollständige quadratische Gleichung mit der folgenden Bedingung: a+b+c=0(5-3-2=0). In solchen Fällen erste Wurzel ist immer gleich eins, und zweite Wurzel gleich dem Quotienten des freien Termes dividiert durch den ersten Koeffizienten:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Wir haben das Trinom eingeführt 5x 2 -3x-2 als Produkt von Binomialen x-1 Und 5x+2.

Antwort: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

Beispiel 4). 6x 2 +x-5.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=6; B=1; C=-5. Dies ist ein Sonderfall für eine vollständige quadratische Gleichung mit der folgenden Bedingung: a-b+c=0(6-1-5=0). In solchen Fällen erste Wurzel ist immer gleich minus eins und zweite Wurzel ist gleich dem Minusquotienten des freien Termes dividiert durch den ersten Koeffizienten:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Wir haben das Trinom eingeführt 6x 2 +x-5 als Produkt von Binomialen x+1 Und 6x-5.

Antwort: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

Beispiel 5). x 2 -13x+12.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung:

x 2 -13x+12=0. Lassen Sie uns prüfen, ob es angewendet werden kann. Dazu suchen wir die Diskriminante und stellen sicher, dass sie ein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist.

A=1; B=-13; C=12. Die Diskriminante finden D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Wenden wir den Satz von Vieta an: Die Summe der Wurzeln muss gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen sein, und das Produkt der Wurzeln muss gleich dem freien Term sein:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Es ist offensichtlich, dass x 1 =1; x 2 =12.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

Antwort: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

Beispiel 6). x 2 -4x-6.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung:

A=1; B=-4; C=-6. Der zweite Koeffizient ist eine gerade Zahl. Finden Sie die Diskriminante D 1.

Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl, daher hilft uns der Satz von Vieta nicht weiter und wir werden die Wurzeln mithilfe der Formeln für den geraden zweiten Koeffizienten finden:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) und schreibe die Antwort auf.