Integration algebraischer und geometrischer Methoden in die Problemlösung. Algebraische Methode zur Lösung von Konstruktionsproblemen

Geht man von den Zusammenhängen zwischen den geforderten und den Problemdaten aus, so lässt sich der Zustand des Konstruktionsproblems analytisch ausdrücken.

Der analytische Ausdruck des Konstruktionsproblems in Form einer Gleichung und seine Lösungen in Form der Wurzeln dieser Gleichung helfen dabei, eine geometrische Lösung zu finden und zu bestimmen, mit welchen Werkzeugen sie durchgeführt werden kann.

Bei der Lösung von Problemen mit der algebraischen Methode kommt es darauf an, Folgendes zu konstruieren:

Durchschnitt proportional zu zwei gegebenen Segmenten x = 4ab
vierter proportional zu drei gegebenen Segmenten, ausgedrückt

. „ bs

gedrückt durch die Formel x = -;

Durch die algebraische Summe gegebener Segmente x = a±b,x-a + b-c + d,

x = 3a±2b usw.; _

Nach Formeln wie x = 1a + b.

Die algebraische Methode zur Lösung geometrischer Konstruktionsprobleme lautet wie folgt:

1) Unbekannte Größen, die in der Problemstellung vorkommen, werden mit den Buchstaben x bezeichnet, y, z usw.;
2) Stellen Sie Gleichungen auf, die diese Unbekannten mit den in der Aufgabe angegebenen Größen verbinden a, b, c, ...;
3) Lösen Sie die zusammengestellten Gleichungen;
4) die erhaltenen Antworten prüfen;
5) Führen Sie die erforderliche Konstruktion durch.

Bevor wir mit der Lösung von Konstruktionsproblemen mit der algebraischen Methode fortfahren, betrachten wir die Konstruktion einiger Segmente, die durch die Beziehungen zwischen den Längen anderer Segmente gegeben ist.

1. Manchmal wird bei geometrischen Konstruktionsproblemen das Verhältnis zweier Größen in der Form angegeben a: b; a 3: b 3; eine 4: b 4 usw.

Zeigen wir, dass jede dieser Beziehungen durch die Beziehung zweier Segmente ersetzt werden kann.

Aufgabe 6.47. Konstruieren Sie ein durch die Beziehung gegebenes Segment a p: b p, Wo

n e N.

Lösung

Zeichnen wir zwei beliebige, zueinander senkrechte Linien KL Und MN(Abb. 6.52) und bezeichnen den Schnittpunkt mit dem Buchstaben O. Auf geraden Linien KL Und MN Von Punkt O aus zeichnen wir die Segmente OA und OA x, jeweils gleich diesen Segmenten Kommersant Und A. Verbindungspunkte A und A b Bringen wir es wieder auf den Punkt Ein g senkrecht zu AA X KL irgendwann L 2. Am Punkt A 2 stellen wir eine Senkrechte zu wieder her A 2 A 1 und fahren Sie damit fort, bis es die Linie schneidet MN am Punkt A 3 usw.

Lassen Sie uns den Wert jedes der folgenden Verhältnisse bestimmen: OA x: OA; OA 2 : OA x; OA 3: OA g usw.

Da rechtwinklige Dreiecke OAA x, OA,A 2, OA^A 3 ,... ähnlich sind, dann bedeutet es:

OA, Und ,

Aufgrund der Konstruktion - L = - und daher aufgrund der Gleichungen (*) erhalten wir OA b

Bestimmen wir den Wert des Verhältnisses. Es wird sich nicht ändern, wenn wir

Jeder seiner Terme wird durch denselben Wert dividiert OA b und deshalb

t t OA, a O Ap a OA 2 a OA b

Aber aus den Gleichungen -- = - und -- = - sehen wir, dass -- = - und -= -.

OAOAA x b OA, Kommersant OA, A

Aufgrund der letzten beiden Gleichheiten können wir Gleichheit (**) wie folgt umschreiben:

OA 2 _ a 2 OA ~ b 2 "

Mit ähnlichen Überlegungen können wir andere Beziehungen finden.

2. Betrachten Sie das Problem der Konstruktion des Durchschnitts proportional zu zwei gegebenen Segmenten, d.h. Segment -Jab.

Aufgabe 6.48. Konstruieren Sie den proportionalen Mittelwert der Segmente A Und B. Lösung

Auf einer Geraden zeichnen wir die Segmente nacheinander ein AC = a Und NE = B(Abb. 6.53)

Reis. 6.53

Auf dem Segment AB wie man einen Kreis auf dem Durchmesser von iC konstruiert, 1.

Am Punkt C stellen wir eine Senkrechte zur Linie wieder her AB.

Wir haben NC = -Jab. Wirklich, AANB- rechteckig.

Nach dem bekannten Theorem AACNähnlich ANCB, was bedeutet woher

NC 2 = AC NE, oder in anderen Notationen NC 2 = ab. Endlich haben wir es NC – Jab.

3. Bei der Lösung von Konstruktionsproblemen ist es sehr oft notwendig, ein Segment zu konstruieren, das das vierte Verhältnis zu drei gegebenen Segmenten hat. Betrachten wir die Lösung dieses Problems.

Aufgabe 6.49. Es sind drei Segmente angegeben a, b, c. Konstruieren Sie ein solches Segment X,

und mit das - = -.

Lösung

Nehmen Sie einen beliebigen Winkel O. Auf einer Seite des Winkels platzieren wir die Segmente OA = a Und OS = s, und andererseits - ein Segment OV-b(Abb. 6.54)

Zeichnen Sie eine gerade Linie durch Punkt C R || AB. Sie wird den Balken überqueren OB am Punkt D. Lasst uns das beweisen Außendurchmesser- das erforderliche Segment X. Dreiecke OAV

Und Zwangsstörungähnlich. Deshalb d.h. OD = x.

Reis. 6.54

In einem bestimmten Fall können Sie mit diesem Problem ein Segment unterteilen P gleiche Teile. Bezeichnen wir dieses Segment mit B. Nehmen wir ein beliebiges Segment Mit, lassen Sie es gehen a - ps(Abb. 6.55).

Reis. 6.55

„ ac b b 1 .

Da - = -, dann x =- c = - c = - b. oh ps p

4. Betrachten wir eine komplexere Beziehung von Segmenten.

Aufgabe 6.50. Konstruieren Sie ein Segment, das durch die Beziehung gegeben ist 2 [a: 2 /b, wo n e N.

Lösung

Nehmen wir an, dass das Mengenverhältnis in der Form angegeben ist [a: -Jb, Wo A Und Kommersant- Datensegmente.

Um die beiden Segmente zu bestimmen, deren Verhältnis gleich Va:Vb ist, gehen wir wie folgt vor.

Auf einer beliebigen geraden Linie vom ausgewählten Punkt ZU Lassen Sie uns zwei Segmente nacheinander zeichnen: KN Und N.M. = B(Abb. 6.56)

Reis. 6.56

Auf dem Segment KM, Konstruieren wir wie beim Durchmesser einen Halbkreis KRM.

Am Punkt N lasst uns die Senkrechte wiederherstellen NN" zum Segment KM. Gerade NN" kreuzt den Bogen KRM Irgendwann L.

Den Punkt verbinden LcKiM. Segmente KL Und L.M.- die Gesuchten, d.h.

Tatsächlich haben wir -=--. Aber A KLMähnlich wie A LMN, und weiter-

KL LN KL 2 LN 2

dies -=-und daher -=--, aber aus der letzten Gleichheit

LM NM LM NM 2

KN LN 2 KL 2 KN „

und Gleichheit-=-- daraus folgt-- =-. Quadrat extrahieren

NM NM 2 LM 2 NM

die Wurzel beider Seiten der letzten Gleichheit finden wir:

Um zwei Segmente zu erhalten, deren Verhältnis gleich ist [a: yfb, Sie müssen zunächst diese beiden Segmente konstruieren Typ, die Haltung von

rykh wird durch die Gleichheit - = bestimmt -j=, und dann durch dasselbe

Konstruktionsfundsegmente R Und Q, die durch Gleichheit bestimmt sind p_yfm Ch Vn

Mit ähnlichen Konstruktionen kann man Segmente finden, deren Verhältnis gleich ist 2 fa: 2 yх 2 + h h 2, dann erhalten wir aus Gleichheit (*).

Konstruktion. 1. Konstruieren Sie ein Segment y = yj(2h b) 2 -h a 2(Abb. 6.61).

Reis. 6.61

2. Wir bauen x = ^^-(Abb. 6.62).

Reis. 6.62

3. Abschließend konstruieren wir das gewünschte gleichschenklige Dreieck ABC bezogen auf Wechselstrom =2x Höhe DB = h b(Abb. 6.63).

Reis. 6.63

Nachweisen. Es ist notwendig, dies im konstruierten gleichschenkligen Dreieck zu beweisen ABC Höhen BD -h b Und AE-ha. Die erste Gleichheit ist offensichtlich, und die Gültigkeit der zweiten ergibt sich aus der Umkehrbarkeit aller in der Analyse angegebenen Formeln. _

Studie. Wir bemerken, dass das Segment y = yl(.2h b) 2 -h 2 kann nur konstruiert werden, wenn (2/i b) 2 -h ein 2>0 oder 2 h b >h a .

Unter dieser Voraussetzung ist es möglich, die Strecke x und damit das gewünschte Dreieck zu konstruieren ABC. Da zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleichen Grundflächen und gleiche Höhen, gleich sind, dann hat das Problem eine eindeutige Lösung.

Kommentar. Das Problem lässt auf andere Weise eine einfachere Lösung zu. Wenn durch einen Punkt D Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zur Höhe AE und die Kreuzungsseite Sonne am Punkt F, dann ein Dreieck DFB kann entlang der Strecke 0,5 gebaut werden h a und Hypotenuse h b , was zur Konstruktion des gewünschten Dreiecks führt.

Aufgabe 6.57. Durch einen bestimmten Punkt außerhalb des Kreises A Zeichnen Sie eine Sekante, die in einem bestimmten Verhältnis durch diesen Kreis geteilt werden würde.

Lösung

Analyse. Nehmen wir an, das Problem sei gelöst: Sekante AL erfüllt die Bedingungen des Problems (Abb. 6.64). Zeichnen wir eine Sekante von Punkt A Wechselstrom, durch den Mittelpunkt O eines gegebenen Kreises gehen. Da uns Punkt A gegeben ist, bedeutet das, dass wir die Segmente kennen ANZEIGE und AC. Bezeichnen wir die Länge des Segments mit dem Buchstaben x AK. Wenn wir Sekanten von Punkt A zeichnen, der außerhalb des Kreises liegt, dann ist das Produkt der gesamten Sekante und ihres äußeren Teils ein konstanter Wert und daher

Reis. 6,64

Aus der Zeichnung sehen wir, dass AL = x + L.K.

lchs.. ph

Und da nach Bedingung x: LK = m : P, diese. bk =- das bedeutet AL = x + - -

= -(t + n). T

Daher nimmt die Gleichheit (*) die folgende Form an: x-(m + n) = AD ? Wechselstrom, Wo

Konstruktion. 1. Basierend auf der Formel (**) und einer bekannten Konstruktion bestimmen wir das Segment x.

2. Von einem Punkt aus A Machen Sie eine Kerbe in diesem Kreis ZU Radius gleich dem gefundenen x.
3. Die Punkte verbinden A Und ZU und wenn wir diese Zeile fortsetzen, erhalten wir die erforderliche Sekante.

Beachten Sie, dass wir die Begründung, die zur Lösung dieses Problems in den Phasen des Beweises und der Forschung erforderlich ist, nicht dargelegt haben (wir überlassen es dem Leser, diese Phasen unabhängig durchzuführen).

Aufgabe 6.58. Suchen Sie einen Punkt außerhalb eines gegebenen Kreises, sodass die Tangente, die von ihm an diesen Kreis gezogen wird, halb so groß ist wie die Sekante, die von demselben Punkt durch den Mittelpunkt gezogen wird.

Lösung

Analyse(Abb. 6.65). Bezeichnen wir mit dem Buchstaben x den Abstand zum gewünschten Punkt vom Mittelpunkt O des Kreises. Wie bekannt, AB 2 -DA ? Wechselstrom(1), aber DA = x - z (2), AC = x + g(3) und daher AB 2= (x - z) (x + z) = x 2 - g 2 Und AB = 1x 2 -g 2 (4).

Reis. 6,65

Da nach Bedingung AC = 2AB, dann haben wir aus den Formeln (3) und (4). x + g - = 21x 2 - g 2, woraus x 2 + 2gx + g 2 = 4x 2 - 4g 2, oder 3x 2 - 2gx - 5g 2 = 0. Daher gilt:

diese. x a = - g und x 2 = - g.

In diesem Problem kann x kein negativer Wert sein und daher verwerfen wir die zweite Wurzel.

Konstruktion. Fahren wir mit einem der Durchmesser fort (CD) gegebener Kreis

und darauf werden wir den Punkt verschieben D Liniensegment D.A. gleich -g (DA = AO - OD = 5 2 3

G - g = -g (6)).

Punkt A- der, nach dem ich gesucht habe.

Nachweisen. AC = x + g = -g + g, diese. AC = -g (7).

.- /2 8 4 Wechselstrom

Aus den Formeln (1), (6), (7) finden wir: AB = y/DA-AC = J-r--r=-r =

Dies bestätigt die Richtigkeit der durchgeführten Konstruktion (wir laden den Leser ein, die Forschungsphase unabhängig durchzuführen).

In letzter Zeit haben sich algebraische Methoden zur Konstruktion von Erkennungs- und Vorhersagealgorithmen weit verbreitet. Das Wesen des algebraischen Ansatzes lässt sich kurz wie folgt beschreiben. Stellen wir uns vor, dass ein Erkennungsproblem mithilfe einer endlichen Menge von Entscheidungsfunktionen gelöst wird: zum Beispiel einer linearen Entscheidungsfunktion, einer quadratischen Entscheidungsfunktion und der Regel für den nächsten Nachbarn. Wenn die Qualität der durch diese Funktionen erhaltenen Lösungen nicht zufriedenstellend ist, können Sie den Umfang der verwendeten Funktionen erweitern und versuchen, in dieser erweiterten Menge eine Funktion zu finden, die ein besseres Ergebnis liefert.

Es werden zwei Arten von Erweiterungen berücksichtigt. Zunächst werden einige Parameter der ursprünglichen Funktionen von Konstanten in Variablen umgewandelt. Das Variieren der Werte dieser Variablen erzeugt eine breite Klasse von Entscheidungsfunktionen der einen oder anderen Art: eine endliche oder unendliche Menge verschiedener Hyperebenen, eine Menge von Regeln für den nächsten Nachbarn mit unterschiedlichen Werten und unterschiedlichen Metriken zur Berechnung von Abständen zwischen Punkten. Es ist erwiesen, dass man in dieser parametrischen Erweiterung fast immer eine Entscheidungsfunktion finden kann, die eine optimale Lösung für ein gegebenes Problem liefert.

Wenn man so jemanden trifft schwieriger Fall Da es nicht möglich ist, eine optimale Lösung zu erhalten, wird eine andere (algebraische) Methode verwendet, um die Diversität zu erweitern entscheidende Regeln. Betrachten wir eine Reihe von Operatoren gegenüber einer Reihe einfacher Entscheidungsregeln. Mithilfe algebraischer Operatoren können Sie aus einer Reihe einfacher Regeln beliebige komplexere Regeln konstruieren, um ein Problem zu lösen. Es ist bewiesen, dass der Satz algebraisch generierter Regeln die optimale Regel zur Lösung jedes Erkennungsproblems enthält. Außerdem wurde eine Methode zur Lokalisierung einer Teilmenge von Regeln entwickelt, unter der sich die optimale Regel befindet. Aber auch danach kann die Anzahl der verbleibenden Optionen groß sein. Um Rechenschwierigkeiten zu reduzieren, werden natürliche heuristische Techniken sowohl bei der Auswahl der vielversprechendsten Regeln für die Aufnahme in den Anfangssatz als auch bei der Konstruktion von Klassen ihrer parametrischen und algebraischen Erweiterungen eingesetzt.

Der algebraische Ansatz wird erfolgreich bei der Lösung von Mustererkennungsproblemen eingesetzt, insbesondere bei der Bilderkennung und -analyse sowie bei Problemen der Vorhersage mehrdimensionaler dynamischer Prozesse. Im Einklang mit diesem Ansatz stehen beispielsweise die Methode der kollektiven Entscheidungsregeln (RCM) und die Ausschussmethode.

Die Idee der CRP-Methode ist wie folgt. Wir verfügen über ein Trainingsmuster im Weltraum und mehrere Entscheidungsregeln. Es wird davon ausgegangen, dass unterschiedliche Regeln in einem Teil des Raums „gut“ und in einem anderen „schlecht“ sein können. Jedes Merkmal des Systems weist eine endliche Anzahl von Abstufungen auf, so dass der Raum als aus einer endlichen Anzahl von „Zellen“ (Hyperparallelpipeden) bestehend dargestellt werden kann. Wir platzieren das zu erkennende Objekt in einer beliebigen Raumzelle und wenden nacheinander alle entscheidenden Regeln an, um es zu erkennen. Beachten wir die Regeln, die die richtige Entscheidung getroffen haben. Dann verschieben wir das Objekt in eine andere Zelle im Raum und wiederholen die Erkennung. Beachten wir noch einmal die Regeln, die in diesem Teil des Raumes erfolgreich funktioniert haben. Auf diese Weise durchsuchen wir alle Teile des Raums und geben für jede entscheidende Regel die Grenzen des Bereichs oder die Liste der Zellen an, in denen sie sich als die kompetenteste erwiesen hat. Hier endet die Lernphase.

Auf der Stufe der Erkennung eines Kontrollobjekts wird zunächst die Regel bestimmt, die für den Teil des Raums, in den das gegebene Objekt fiel, am kompetentesten war. Anschließend wird nach dieser Regel die Zugehörigkeit des Objekts zu einem der erkannten Bilder bestimmt.

Bei der Ausschussmethode wird zunächst ein breiter Satz von Entscheidungsregeln, beispielsweise eine parametrische Familie einer endlichen Anzahl von Hyperebenen, berücksichtigt. Jede Ebene teilt den Raum in zwei Teile, und wenn Sie zwei Bilder ( und ) erkennen, können Sie die Wahrscheinlichkeit der Anwesenheit von Vertretern dieser Bilder in dem einen und dem anderen Teil des Raums angeben: , und , . Wenn in jedem Teil die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Bilder gleich sind (und ), dann ist eine solche Ebene nicht von Interesse. Nützlicher werden Ebenen sein, die Bereiche voneinander trennen, in denen eines der beiden Bilder vorherrscht, zum Beispiel und. Anhand dieser Informationen können Sie eine Teilmenge (Kollektiv) aus den „informativsten“ Ebenen auswählen.

Die Entscheidung darüber, ob ein erkanntes Objekt zu einem bestimmten Bild gehört, wird durch eine Gruppe von Regeln durch Abstimmung getroffen. Befindet sich ein Objekt relativ zur Ebene in der Region, dann stimmt diese Ebene für das Bild mit Gewicht und für das Bild mit Gewicht. Sie können die von allen Flugzeugen abgegebenen Stimmen für das Bild zusammenzählen und die Punktzahl erhalten. Die Summe der Stimmen für das Bild wird auf die gleiche Weise ermittelt. Eine Entscheidung zugunsten des Bildes wird getroffen, wenn . Sie können Produkte aus Stimmen anstelle von Summen verwenden.

Das Verfahren zur Konstruktion einer kollektiven Entscheidungsregel veranschaulicht gut die wichtige Rolle von Erkennungsmethoden im Erkenntnisprozess. Die Ausgangssituation war durch ein hohes Maß an Unsicherheit und das Fehlen eines Modells des untersuchten Phänomens gekennzeichnet. Jede einzelne Hyperebene ermöglichte es nicht, ein Bild zuverlässig vom anderen zu unterscheiden, d. h. es handelte sich um ein „falsches“ Erkennungsmodell. Die parametrische Klasse linearer Entscheidungsregeln ermöglichte es, aus ihrer Zusammensetzung ein „richtiges“ Erkennungsmodell zu bilden. Wie Yu. I. Zhuravlev betont, werden auf diese Weise mit Hilfe von Erkennungsmethoden Situationen in nicht formalisierten oder schwach formalisierten naturwissenschaftlichen Bereichen mit formalisierten Erkenntnismitteln ausgestattet. Die so erstellten Modelle ermöglichen es, zumindest die Frage „Was passiert?“ zu beantworten. Wenn die Trainingsstichprobe relevante Informationen enthält, kann ihre weitere Analyse zur Entdeckung von Ursache-Wirkungs-Mustern führen und ein Modell zur Beantwortung der Frage „Wie geschieht das?“ bilden. oder gar auf die Frage „Warum so und nicht anders?“

Iterative algebraische Methoden zur Bildrekonstruktion

Diplomarbeit

4.1 Algebraische Methode

Die Funktion f(x) = f(x, y) beschreibe eine Dichteverteilung in einem ausgewählten Abschnitt des Objekts. Die Hauptaufgabe der Computertomographie besteht darin, die Funktion f(x) aus einer Reihe experimentell gewonnener Projektionen zu rekonstruieren:

die lineare Integrale der gewünschten Verteilung entlang der Geraden L: sind. Hier ist der Scanwinkel und die Delta-Funktion.

In der Praxis werden Projektionen in der Regel nicht für alle Werte von und angegeben, sondern nur für eine endliche Anzahl davon. Es gibt eine Reihe praktischer Probleme, bei denen die Anzahl der Diskretisierungen von 0 sehr begrenzt ist (von 3 bis 5). Probleme dieser Art gehören zu den Problemen der Kleinwinkeltomographie und gehören zu den am schwierigsten zu lösenden. Das Problem lässt sich wie folgt formulieren: Erhalten Sie bei einer gegebenen endlichen Menge von Projektionen einer Funktion zweier Variablen die beste Schätzung dieser Funktion.

Lassen Sie uns eine allgemeine Formulierung des Problems der Wiederherstellung einer Lösung für Problem (4.1) unter Verwendung algebraischer Methoden formulieren und einen iterativen Algorithmus zur Wiederherstellung solcher Probleme konstruieren. Die Verwendung algebraischer Methoden unterscheidet sich grundlegend von der Integraltransformationsmethode, da sie eine Bildabtastung vor Beginn des Wiederherstellungsalgorithmus erfordert. Die Konstruktion eines diskreten Modells für das Bildrekonstruktionsproblem kann wie folgt beschrieben werden.

Es sei notwendig, eine zweidimensionale Funktion f(x)=f(x,y) wiederherzustellen, die im Bereich D R2 definiert ist. Nehmen wir an, dass der Erholungsbereich D in einem Quadrat K eingeschlossen ist, das in n gleiche kleine Quadrate, sogenannte Elisen, unterteilt ist. Nummerieren wir alle Elizas von 1 bis n. In diesem Fall akzeptieren wir die Haupteinschränkung, die darin besteht, dass die wiederhergestellte Funktion f(x) innerhalb der j-ten Elision einen konstanten Wert fj annimmt, d. h. wir ersetzen die Funktion f (x) mit einem diskretisierten Ausdruck

if (x) jth eliza;

sonst. (4.3)

Nehmen wir an, wir erhalten eine Reihe linearer kontinuierlicher Funktionale, die die direkte Radon-Transformation entlang einer Reihe bestimmter Geraden darstellen:

Dann ist die Projektion der Funktion f(x) entlang des Strahls Li.

Wenn wir die Operatoren auf Gleichheit (4.2) anwenden und ihre Kontinuität und Linearität berücksichtigen, erhalten wir ein lineares System algebraische Gleichungen

wobei i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

Wenn die Familie der Basisfunktionen (bj) durch Formel (4.3) gegeben ist, dann

Die Länge des Schnittpunkts des i-ten Strahls mit dem j-ten Elixier.

Wir bezeichnen die Koeffizientenmatrix als A=(), den Bildvektor als f=(f1, f2, ..., fn) und den Projektionsvektor als R=(R1, R1, ..., Rt). Dann reduziert sich die Lösung des Problems auf die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen der Form

In diesem Fall ist der Vektor R offensichtlich mit einem gewissen Fehler angegeben.

Es ist erwähnenswert, dass die Form des Systems (4.5) von der konkreten Wahl des Systems der Basisfunktionen bi und der Menge der Funktionale Ri abhängt. Es gibt andere Möglichkeiten, ein Partitionsgitter für den Bereich D (und damit die Basisfunktionen bi) auszuwählen. Die Funktionale werden nicht nur in der Form (4.4) gewählt, sondern auch unter Berücksichtigung der realen Länge der Strahlen und unter Verwendung stückweise konstanter Funktionen. Darüber hinaus hängt die Formulierung des Problems nicht von der Geometrie der Strahlen ab und lässt sich leicht für den dreidimensionalen Fall formulieren.

4.2 Verwendung von Interlinationsoperatoren

In diesem Abschnitt wird eine neue Methode zur Darstellung einer Näherungslösung für das Problem der planaren Computertomographie (PCT) in Form stückweise konstanter Funktionen besprochen. Die Methode weist eine höhere Genauigkeit auf als die klassische Methode zur Lösung eines ebenen RCT-Problems unter Verwendung stückweise konstanter Funktionen.

Aufteilung von E2 in Vierecke. Lassen Sie uns die folgende Notation einführen.

Operator O1 ist ein Operator der Approximation f(x,y) durch stückweise konstante Funktionen in x. Wenn y=const, dann wird es aus der Bedingung der besten Näherung von f(x,y) im Streifen, yE, ermittelt. Ebenso ist der Operator O2 ein Operator zur Approximation von f(x,y) durch stückweise konstante Funktionen in y.

Wenn x=const, dann wird j(x) aus der Bedingung der besten Näherung von f(x,y) im Streifen, xE, ermittelt.

Lassen Sie uns die folgenden Operatoren vorstellen:

Wir finden die Werte aus der Bedingung der besten Näherung von f durch die Zahl f(оij, ij) in

Lemma 3.1 Sei die Funktion r=1,2 oder und eine Funktion mit begrenzter Variation. Dann haben die Operatoren Onm die Eigenschaften

Nachweisen. Die Eigenschaften (3.25) und (3.26) ergeben sich daraus

Eigenschaft (3.27) folgt daraus

Eigenschaften (3.29) sind für alle differenzierbaren Funktionen und für erfüllt kontinuierliche Funktionen mit begrenzter Variation.

Lemma 1 ist bewiesen.

Folgerung 1. Für und für stetige Funktionen mit beschränkter Variation erhalten wir die folgende Fehlerschätzung.

Folgerung 2. Ersetzen von Funktionen durch stückweise konstante Funktionen einer Variablen mit derselben Fehlerschätzung

Wir bekommen den Operator

Lassen Sie uns die Werte für gi (x) ermitteln

Lassen Sie uns die Werte für Gi (y) ermitteln

mit folgenden Eigenschaften:

Folgerung 3. Operator

hat die folgenden Eigenschaften:

Wenn r=1,2 oder und eine Funktion mit begrenzter Variation ist, dann

Nachweisen. Für den Fehler können wir die Gleichheit schreiben

Dies impliziert die Ungleichheit

Wenn wir die Schätzungen 3 und 4 auf die rechte Seite des resultierenden Ausdrucks anwenden, gelangen wir zur Schätzung (3.42).

Folgerung 3 ist bewiesen.

Wenn m=n, dann hat der Operator einen Fehler (er verwendet Konstanten); Die Näherung des Operators weist einen Fehler auf. Das heißt, der Operator (er verwendet Konstanten) hat den gleichen Fehler wie der Operator:

Die folgenden Absätze verdeutlichen die Vorteile dieser Methode.

Anzahl der Unbekannten

Die Verwendung der Interlination von Funktionen beim Konstruieren einer Näherungslösung, nämlich die Darstellung einer Näherungslösung in der Form:

führte zum Auftreten von 2n3+n2-Konstanten, die unbekannt sind. Daher verwendet der Operator O(n3) Konstanten-Unbekannte. Der Betreiber hat einen Fehler.

Die Verwendung eines Operators – der klassischen Darstellung einer Näherungslösung – führt zu n4 unbekannten Konstanten. Daher verwendet der Operator O(n4) Konstanten-Unbekannte. Der Betreiber hat einen Fehler.

Zusammenfassend kommen wir zu dem Schluss, dass die Verwendung des Operators das Finden von O(n3) Unbekannten erfordert, während die Verwendung des Operators das Finden von O(n4) Unbekannten erfordert, um die Lösung mit demselben Fehler zu approximieren.

Daher bietet die Verwendung des Operators erhebliche Vorteile hinsichtlich der Anzahl arithmetischer Operationen, da zum Erreichen der gleichen Genauigkeit ein System linearer algebraischer Gleichungen niedrigerer Dimension gelöst werden muss.

Um diesen Sachverhalt zu veranschaulichen, präsentieren wir die folgende Tabelle:

Tabelle 1

Unbekannt	Unbekannt	Fehler

Vergleiche zeigen, dass Sie bei Verwendung eines Operators weniger Gleichungen verwenden müssen, um die gleiche Genauigkeit zu erreichen. Beispielsweise ist für n=9 die Anzahl der Unbekannten bei der klassischen Methode viermal größer.

Aufgrund der Tatsache, dass das System überbestimmt sein muss und für n=9 Unbekannte 1539 (für den Fall mit Interlination) und 6561 (für klassische Methode) und die Anzahl der Gleichungen größer als die Anzahl der Unbekannten angenommen werden sollte, dann ist klar, dass es bei der Methode mit Interlination weniger dieser Gleichungen geben wird.

Ein mit den entwickelten Algorithmen und Programmen durchgeführtes Rechenexperiment bestätigte diese Aussagen.

Domain-Sampling

Die Verwendung von Schemata zur Lösung des Problems der planaren Computertomographie basiert auf der Verwendung und bestimmt die Diskretisierung des Bereichs.

Für - ein unregelmäßiges Gitter: unterteilt in Quadrate mit einer Seite und Rechtecke mit Seiten und verlängert entlang der Ox- bzw. Oy-Achse. Gitterknoten befinden sich in der Mitte von Quadraten und Rechtecken.

Für - regelmäßiges Gitter: in Quadrate mit einer Seite unterteilt. Die Gitterknoten befinden sich in den Mittelpunkten der Quadrate.

Der positive Effekt der Verwendung des Operators wird durch eine unterschiedliche Anordnung der Knoten erreicht, die einen Zusammenhang zwischen folgender Beziehung herstellt:

Die mit den Knoten übereinstimmen, die sich in der Mitte der entsprechenden quadratischen, vertikalen und horizontalen Rechtecke befinden.

Für diese Punkte, weil an diesen Zentren haben wir dann exakte Lösungen.

Dies bedeutet, dass die mithilfe einer Interpolationsformel erstellte Näherungslösung ist. Mit seiner Hilfe wird der Wert der Funktion an allen anderen als den angegebenen Punkten des Bereichs D berechnet, an denen eine genaue Übereinstimmung beobachtet wird

Bezüglich der genauen Übereinstimmung in den angegebenen Zentren. Bedeutet,

Antagonistisches Spiel

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BUNDESHAUSHALTSBILDUNGSEINRICHTUNG FÜR HOCHBERUFLICHE BILDUNG „STAATLICHE GORNO-ALTAI-UNIVERSITÄT“

Fakultät für Physik und Mathematik

44.03.05 Pädagogisches Bildungsprofil Mathematik und Informatik

Fachbereich Mathematik und Mathematikdidaktik

KURSARBEIT

ALGEBRAISCHE METHODE ZUR KONSTRUKTION GEOMETRISCHER KONSTRUKTIONSPROBLEME

Bedareva Maria Nikolaevna

Wissenschaftlicher Betreuer außerordentlicher Professor

N. A. Pakhaeva

Gorno-Altaisk 2016

Einführung

Abschluss

Einführung

Geometrische Konstruktionen sind ein sehr wesentliches Element im Studium der Geometrie.

Eine der wichtigen Methoden im Schulgeometriekurs ist die algebraische Methode zur Lösung von Konstruktionsproblemen. Bereits in der 6. bis 7. Klasse nutzten Schülerinnen und Schüler immer wieder die Algebra zur Lösung von Rechen- und Beweisaufgaben, um die Lösung zu vereinfachen. Algebra bietet eine sehr bequeme und gute Möglichkeit, geometrische Fragen analytisch zu lösen.

Die algebraische Methode zur Lösung von Konstruktionsproblemen ist eine der wichtigsten Methoden in der Theorie von Konstruktionsproblemen. Mit Hilfe dieser Methode werden Probleme im Zusammenhang mit der Lösbarkeit von Problemen durch einen bestimmten Satz von Werkzeugen gelöst.

Darüber hinaus ist dies eine der leistungsstärksten Methoden, mit der Sie viele Probleme lösen können, die mit herkömmlichen Methoden nur schwer zu lösen sind. Die Methode demonstriert perfekt die enge Beziehung zwischen Algebra und Geometrie.

Der Zweck dieser Kursarbeit besteht darin, das Thema der algebraischen Methode zur Lösung von Konstruktionsproblemen zu behandeln, Konstruktionsprobleme und Lösungsschemata zu überprüfen und Segmente zu konstruieren, die durch Grundformeln gegeben sind. algebraische Problemlösungsgeometrie

1. Algebraische Methode zur Lösung geometrischer Konstruktionsprobleme

Der Kern der Methode ist wie folgt. Bei der Lösung von Bauproblemen geht es darum, ein bestimmtes Segment (oder mehrere Segmente) zu konstruieren. Der Wert des erforderlichen Segments wird anhand der Werte bekannter Segmente mithilfe einer Formel ausgedrückt. Anschließend wird das erforderliche Segment anhand der resultierenden Formel konstruiert.

Beispiel1 . Zeichnen Sie einen Kreis durch zwei Punkte A und B, sodass die Länge der Tangente daran vom Punkt aus verläuft MIT entsprach A.

Analyse. Lassen Sie einen Kreis durch die Punkte A und B zeichnen, so dass die Tangente an ihn vom Punkt ausgeht MIT gleicht A. Da ein Kreis durch drei Punkte gezeichnet werden kann, zeichnen wir NE und bestimmen Sie die Position des Punktes ZU. Wir glauben SK = X Und NE = Mit; dann durch die Tangenteneigenschaft cx = A 2 .

Konstruktion.

1. für den Bau X Zeichne einen Halbkreis auf Sonne und Bogen (MIT, A);

2. weglassen L.K. Chr.;

3. Mit KS = a 2; Deshalb X = KS, und Punkt ZU wird das sein, wonach Sie suchen;

4. Wiederherstellung der Senkrechten von den Mittelpunkten aus AB Und HF vor ihrem Schnittpunkt finden wir das gewünschte Zentrum UM;

5. Zeichne einen Kreis ( UM, OA);

MS - die gewünschte Tangente.

Nachweisen. MS 2 = NE KS = Und MS = A, nach Bedarf.

Studie. Ausdruck A Mit- die Bedingung für die Existenz einer Lösung unseres Problems, da nur unter dieser Bedingung der Lichtbogen (MIT, A) wird den Kreis schneiden CLB.

Beispiel2. Beschreiben Sie drei Kreise, die sich paarweise äußerlich berühren, indem Sie die Eckpunkte dieses Dreiecks als Mittelpunkte verwenden.

Analyse. Sei ABC das gegebene Dreieck, a, b, c sind seine Seiten, x, y, z sind die Radien der gewünschten Kreise. Dann X+ j= C, j+ z= A, z+ X= B. Daher wo

Konstruktion.

1. Zeichne einen Kreis S1(A, X);

2. S2(B, C - X);

3. S3(C, B - X).

Nachweisen. Ermitteln Sie die Summe der Radien der Kreise S 1 Und S 3 :

(c-x)+(b-x)=(c+b)-2x=(c+b)-(c+b-a) = Sonne.

Wir haben herausgefunden, dass die Summe der Radien gleich dem Abstand zwischen ihren Mittelpunkten ist, was beweist, dass die Kreise S 2 und S 3 tangential sind.

Studie. Das Problem ist immer eindeutig lösbar, weil:

1. im Dreieck ABC die Summe der Seiten B+ C> A, und daher kann das Segment x konstruiert werden;

2. C> X, weil (seit A+ C> B);

3. B> X, als.

2. Konstruktionsprobleme und ihr Lösungsschema

Wenn die Bedingungen der Probleme durch algebraische Beziehungen oder Gleichungen ausgedrückt werden können, erhält das Konstruktionsproblem ein analytisches Bild. Die analytische Lösung des Problems ermöglicht es, eine geometrische Lösung zu finden, d.h. die Konstruktion selbst.

Bei der Lösung der Aufgaben 1-2 verwenden sie das Zeichen der Lösbarkeit von Konstruktionsproblemen.

Aufgabe 1. Schneiden Sie mit einem Zirkel und einem Lineal den Winkel bei 7 vom Winkel bei 3 ab.

Lösung. Es reicht aus, den Winkel 7 51 Mal nacheinander im Uhrzeigersinn (gegen den Uhrzeigersinn) zu verschieben. Insgesamt erhalten wir einen Winkel von 751 = 357 und damit einen Winkel von 3. Nun genügt es, diesen Winkel von 3 vom Winkel von 7 abzuschneiden, indem man den entsprechenden Bogen ablegt.

Aufgabe 2. Ist es möglich, einen Winkel von 1 zu konstruieren, indem man eine Winkelvorlage der Größe hat:

a) 17; b) 19; c) 27.

Lösung:

a) 1753 1805=1 ja;

b) 1919 1802=1 ja;

V) X, j Z Nummer 27 X+180bei ist ein Vielfaches von 9 und kann daher nicht gleich 1 Nr. sein.

Wenn A, B, C Sind diese Segmente, dann ist die Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht schwer a+b, A B, . Zum Beispiel das geometrische Mittel der Segmente x= hat folgendes Konstruktion:

Abbildung 1 Konstruktionsdiagramm für Aufgabe Nr. 2

Zeichnen wir diese Segmente auf einer beliebigen Geraden auf A Und B so dass das Ende des einen mit dem Anfang des anderen zusammenfällt (und dieser Punkt ist ihr einziger gemeinsamer Punkt). Lasst uns teilen Wechselstrom halber Punkt UM und der Radius entspricht der Hälfte des Segments Wechselstrom, Konstruieren Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt UM. Von einem Punkt aus konstruieren wir eine Senkrechte zum Segment Wechselstrom. Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Senkrechten und des Kreises D. ÂD=x= .

Nachweisen. In einem rechteckigen ADC:

Aufgabe 3. Konstruieren Sie ein Segment x=.

Abbildung 2 Konstruktionsdiagramm für Aufgabe Nr. 3

Konstruktion:

1. Auf einer beliebigen Linie AB Markiere den Punkt M.

2. Wir führen durch MNAB.

3. M.C.= B, C MN.

4. E=(C, A)AB, AB

5. EM=

Aufgabe 4. Bauen x=

Notiz. Wir bauen und dann x= .

Aufgabe 5. Konstruieren Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Lösung. Damit die Wurzeln der Gleichung bestimmte Segmente ausdrücken, ist es notwendig, dass alle Terme der Gleichung der zweiten Dimension angehören, d. h. Der freie Term wurde als Quadrat eines bestimmten Wertes ausgedrückt. Die Gleichung sei gegeben X 2 +Axt+b 2 =0. Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir:

Abbildung 3 Konstruktionsdiagramm für Aufgabe Nr. 5

Mit der Lösung zu Problem 3 konstruieren wir EM= Von der Mitte E Radius ESSEN Zeichne einen Kreis. Wir bekommen

Eine Lösung ist möglich, wenn...

Abbildung 4 Bauschema Nr. 2 für Aufgabe Nr. 5

Andere Lösung: Die Wurzeln der Gleichung können mithilfe der Eigenschaft einer Senkrechten konstruiert werden, die von einem Punkt auf einem Kreis zum Durchmesser gezogen wird. Aufschieben AB = A, Wir werden es weiter beschreiben AB Geben Sie den Durchmesser des Kreises ein und zeichnen Sie ihn ein MN||AB bis es den Kreis am Punkt schneidet L. Wir führen aus L.C.AB; Segmente Wechselstrom Und NE Drücken Sie die Wurzeln der Gleichung aus, weil AC+SV=a, Wechselstrom CB=LC 2 =b 2

Aufgabe 6. IN ABC Benehmen MN||AC so dass der Unterschied MV Und NC gleich diesem Segment D.

Lösung. Die Position eines Punktes kennen M, Sie müssen die Länge kennen VM; Bezeichnen wir diese Länge mit X. Von der Ähnlichkeit BMN Und DU wir haben: VM:ВN=AB:BC oder, weil ÂN=BC CN=a (XD),

, xa= cacx+ CD, .

Lösung dieser Gleichung. Wir finden es.

Abbildung 5 Konstruktionsdiagramm für Aufgabe Nr. 5

Konstruktion. Liniensegment X sollte auf der Seite liegen Mit, und dagegen X Es muss eine Seite geben a+d, gegen die Partei Mit Seite a+c. Daher weitermachen Sonne verschieben SK=d Und CL=c, verbinden L C A Und durch ZU durchführen KM||LA, wir erhalten den erforderlichen Punkt M. Wir führen aus MN||AC.

Nachweisen. Von der Ähnlichkeit VMC VAL wir haben: VM:AB=VK:BL, oder VM: c=(a+d):(a+c). Wenn wir dieses Verhältnis mit dem Verhältnis (*) vergleichen, sehen wir das VM=x.

Lasst uns das beweisen VMNC=d. Tatsächlich unverhältnismäßig NC:BC=AM:AB wir finden:

Studie. Das Problem ist lösbar, wenn D C.

3. Konstruktion von Segmenten, die durch Grundformeln gegeben sind

Die Anwendung der algebraischen Methode zur Lösung geometrischer Probleme läuft auf den folgenden Algorithmus hinaus:

* eine Gleichung entsprechend den Bedingungen des Problems aufstellen;

* Lösen der resultierenden Gleichung nach dem Buchstaben, der das gewünschte Segment bezeichnet;

* Recherche der resultierenden Formel;

* Konstruieren eines Segments anhand der resultierenden Formel.

Wenn die Lösung des Problems darin besteht, ein Segment zu konstruieren, können Sie dieses Segment als x nehmen und zunächst das Berechnungsproblem lösen, d. h. Drücken Sie x in Form bekannter Segmente aus X = Fa, B, C, …) . Als nächstes muss noch das Segment x mit dieser Formel konstruiert werden.

Die algebraische Methode ist universell und auf jedes Konstruktionsproblem anwendbar, bietet jedoch nicht immer die einfachste Lösung. Die Methode wird auch verwendet, um die (Un-)Lösbarkeit des Konstruktionsproblems mithilfe von Lineal und Zirkel nachzuweisen.

Es seien a, b, c, … die gegebenen Segmente und x, y, z, … die erforderlichen Segmente.

Bei der Konstruktion von Segmenten mithilfe von Formeln, die die Summe, die Differenz (x = a ± b) sowie die Multiplikation oder Division mit einer ganzen Zahl (x = ka, x = a/k) darstellen, kommt es darauf an, Segmente zu addieren oder zu subtrahieren und so das Segment um a zu vergrößern eine bestimmte Anzahl von Malen durchzuführen und ein Segment in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile zu unterteilen.

Segmente mithilfe von Formeln konstruieren

kommt es darauf an, ein rechtwinkliges Dreieck aus seinen Beinen oder Hypotenuse und Bein zu konstruieren. Im ersten Fall ist x die Hypotenuse, im zweiten das Bein.

Beim Konstruieren eines Segments mithilfe der Formel kommt es darauf an, das vierte proportionale Segment zu finden. Verwenden Sie dazu den Satz über den Schnittpunkt der Seiten eines Winkels durch parallele Geraden.

Abbildung 6 Satz über den Schnittpunkt der Seiten eines Winkels durch parallele Linien

Es ist praktisch, ein Segment mit der Formel zu konstruieren, die den Satz über eine Senkrechte verwendet, die von einem beliebigen Punkt auf einem Kreis auf seinen Durchmesser fällt.

Abbildung 7 Satz über eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt auf einem Kreis auf seinen Durchmesser fällt

Die Konstruktion von Segmenten unter Verwendung von Formeln, die Kombinationen der oben genannten Formeln sind, erfolgt durch die Einführung unbekannter Hilfssegmente und deren sequentielle Konstruktion. Komplexe Formeln werden als Überlagerung (Kombination) der oben genannten Formeln dargestellt. Zum Beispiel:

Wenn kein Einheitssegment angegeben ist, ist es mit den Formeln x = a2, x = 1/a unmöglich, das Segment x zu konstruieren. Wenn ein Einheitssegment angegeben ist, ist die Konstruktion einfach:

Lassen Sie uns Beispiele für die Konstruktion von Segmenten geben, die durch Formeln ausgedrückt werden.

Beispiel 1.

Wo j = A + B, z = B - C, T = A + C.

Beispiel 2.

Wo j = A + B, z = A + C.

Abschluss

Bei der Bearbeitung der Studienarbeit wurde das Thema der algebraischen Methode zur Lösung von Konstruktionsproblemen berücksichtigt.

Es wurden Konstruktionsprobleme und Lösungspläne analysiert, außerdem wurde das Thema der Konstruktion von durch Grundformeln gegebenen Segmenten betrachtet.

Konstruktionsaufgaben bilden die Grundlage für Arbeiten, die die Fähigkeiten zum Konstruieren von Figuren entwickeln, zur Bildung der Fähigkeit beitragen, eine Zeichnung zu lesen und zu verstehen, Verbindungen zwischen ihren Teilen herzustellen, und die Unzulänglichkeit dieses Systems bestimmt die schlechte Entwicklung der räumlichen Vorstellungen des Schülers und logisches Denken und das niedrige Niveau seiner grafischen Kultur. Diese Mängel ermöglichen es dem Studenten nicht, viele Zweige der Mathematik effektiv zu studieren. Auch bei der Arbeit mit Literatur bin ich zu folgendem Schluss gekommen:

1) Es ist notwendig, der Untersuchung von Konstruktionsproblemen mehr Aufmerksamkeit zu schenken, da sie bei richtiger Anwendung ein wirksames Mittel zur Entwicklung des logischen Denkens der Schüler darstellen.

2) Geometrische Konstruktionsaufgaben sollten nicht als etwas Separates, Unabhängiges vom Rest des Geometriekurses betrachtet werden. Die Prozesse des Problemlösungslernens und des Geometrielernens sind untrennbar miteinander verbunden. Darüber hinaus sollte dieser Zusammenhang wechselseitig sein, d.

Daraus folgt, dass dieses Thema in speziellen Kursen mit Gymnasiasten besprochen werden kann.

Liste der verwendeten Literatur

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2. Atanasyan L.S., Bazylev V.T.. Geometrie Teil II. M.: Aufklärung, 1987. 336 S.

3. Kanatnikov A. N., Krischenko A. P. Analytische Geometrie, 2. Aufl. M.: Verlag der MSTU im. N.E. Bauman, 2000. 388 S.

4. Lidsky V., Ovsyannikov L., Tulaikov A., Shabunin M. Probleme in der Elementarmathematik, fünfte Auflage, M.: Nauka, 1968. 412 S.

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Dreikomponenten-Fehlerzerlegung. Bias-Varianz-Dilemma. Fehlerzerlegung für konvexe Kombinationen von Prädiktoren. Irreduzible Kombinationen. Fehlerzerlegung für die Scher- und Variationskomponenten des verallgemeinerten Fehlers.
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Kontinuierliche Abstimmungsmethode im AVO-Modell.
Methode statistisch gewichteter Syndrome.

Literatur

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Dyakonov A.G. Algebraische Abschlüsse des AVO-Modells, Markierungsoperatoren und die Theorie der Äquivalenzsysteme. Moskau, 2009. (Absätze 1.1-1.2)
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