ALGEBRAISCHE GLEICHUNG, eine Gleichung der Form F(x 1 ,…,x m)=0, wobei F ein Polynom in m Variablen ist, die als Unbekannte bezeichnet werden.

Es wird angenommen, dass die Koeffizienten des Polynoms zu einem festen Hauptkörper K gehören. Die Lösung einer algebraischen Gleichung ist eine solche Menge x * 1,..., x * m unbekannter Werte aus dem Körper K (oder seinem). Erweiterung), die es nach der Substitution in das Polynom F auf Null setzt. Die Hauptaufgabe der Theorie algebraischer Gleichungen besteht darin, die Bedingungen zu klären, unter denen eine gegebene algebraische Gleichung eine Lösung und eine Beschreibung der Menge aller Lösungen hat.

Eine algebraische Gleichung mit einer Unbekannten hat die Form

Es wird angenommen, dass n>0 und a 0 ≠ 0. Die Zahl n wird als Grad der Gleichung bezeichnet, und die Zahlen a 0, a 1 ... und n sind ihre Koeffizienten. Die Werte der Unbekannten x, die Lösungen der Gleichung sind, werden ihre Wurzeln genannt, ebenso wie die Wurzeln des Polynoms F(x). Wenn α die Wurzel von Gleichung (1) ist, dann wird das Polynom F(x) ohne Rest durch (x-α) dividiert (Satz von Bezout). Ein Element α des Hauptkörpers K (oder seine Erweiterung) wird als k-fache Wurzel einer algebraischen Gleichung bezeichnet, wenn das Polynom F(x) durch (x-α)k teilbar und nicht durch (x-α)k teilbar ist +1. Wurzeln von Vielfachen 1 werden auch einfache Wurzeln einer Gleichung genannt.

Jedes Polynom vom Grad n mit Koeffizienten aus dem Körper K hat nicht mehr als n Wurzeln in K, wobei die Wurzeln unter Berücksichtigung ihrer Multiplizitäten gezählt werden. Wenn das Feld K algebraisch abgeschlossen ist, dann hat jedes dieser Polynome unter Berücksichtigung ihrer Multiplizitäten genau n Wurzeln. Dies gilt insbesondere für das Feld komplexe Zahlen C (Grundsatz der Algebra). Aus dem Satz von Bezout folgt, dass F(x) in der Form dargestellt werden kann

wobei α 1,.....α n die Wurzeln der Gleichung sind. Die Wurzeln und Koeffizienten der Gleichung werden durch die Formeln von Vieta in Beziehung gesetzt

Jede Gleichung vom Grad n≤ 4 kann in Radikalen aufgelöst werden. Das bedeutet, dass es für die Wurzeln einer Gleichung explizite Formeln gibt, die die Wurzeln durch die Koeffizienten der Gleichung ausdrücken und nur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Wurzelziehen verwenden. Im Fall von n=2 (quadratische Gleichung) haben die Formeln die Form

Lösungen für Probleme, die sich auf bestimmte Gleichungstypen 2. und 3. Grades reduzieren, finden sich in Keilschrifttexten Das alte Babylon. Erste Darstellung der Lösungstheorie quadratische Gleichungen gegeben in der Arithmetik des Diophantus (3. Jahrhundert). Die Lösung in Radikalen für Gleichungen 3. und 4. Grades in allgemeiner Form wurde im 16. Jahrhundert von den italienischen Mathematikern G. Cardano und L. Ferrari erhalten. Seit fast 300 Jahren wird versucht, es zu finden gemeinsame Entscheidung in den Radikalen von Gleichungen mit Grad größer als 4. Im Jahr 1826 bewies N. Abel, dass dies unmöglich ist (die Möglichkeit der Existenz solcher Formeln für bestimmte Gleichungen mit Grad n>4 ist jedoch nicht ausgeschlossen). Eine vollständige Lösung der Frage, unter welchen Bedingungen eine algebraische Gleichung in Radikalen lösbar ist, erhielt E. Galois (um 1830). Die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen in Radikalen hängt eng mit der Frage nach geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal zusammen, insbesondere mit der Teilung eines Kreises in n gleiche Teile, mit dem Beweis der Unmöglichkeit der Verdoppelung eines Würfels, der Dreiteilung von ein Winkel und die Quadratur eines Kreises.

Für Anwendungen ist der Fall sehr wichtig, wenn die Koeffizienten und Wurzeln der Gleichung Zahlen sind (aus den Feldern Z ganze Zahlen, Q rationale Zahlen, R reelle Zahlen oder C komplexe Zahlen); In diesem Fall werden häufig spezielle Eigenschaften dieser Felder verwendet (z. B. das Vorhandensein einer Topologie oder eine Reihenfolge in ihnen). In diesem Fall können Sie mithilfe spezieller Funktionen explizite Formeln zum Lösen von Gleichungen mit einem Grad größer als 4 erhalten.

Um die Wurzeln von Gleichungen mit Koeffizienten aus R und C praktisch zu finden, werden Näherungsmethoden verwendet. Um die Anzahl der reellen Wurzeln von Gleichungen mit reellen Koeffizienten von oben abzuschätzen, können Sie den Satz von Descartes verwenden: Die Anzahl der positiven Wurzeln ist unter Berücksichtigung ihrer Multiplizitäten gleich oder eine gerade Zahl kleiner als die Anzahl der Vorzeichenwechsel in Folge von Koeffizienten ungleich Null der Gleichung.

Für die Werte der Wurzeln gibt es zahlreiche Schätzungen. Somit überschreiten über dem Feld C die Werte |α i |, i = 1, ..., n, nicht

Wenn die Koeffizienten reell sind und a 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0, dann liegen alle Wurzeln der Gleichung auf der komplexen Ebene im Einheitskreis.

Im Zusammenhang mit der Untersuchung der Stabilität mechanischer Systeme stellt sich die Frage, wann alle Wurzeln eines gegebenen Polynoms F(x) negative Realteile haben (Rouse-Hurwitz-Problem). Solche Polynome F heißen stabil. Die wichtigsten Ergebnisse zu stabilen Polynomen stammen von C. Hermite, dem englischen Wissenschaftler E. Routh und den deutschen Mathematikern A. Hurwitz und I. Schur.

Systeme algebraischer Gleichungen mit mehreren Unbekannten werden in der algebraischen Geometrie untersucht. Ein separater Abschnitt, die Theorie der diophantischen Gleichungen, umfasst das Studium algebraischer Gleichungen über offenen Körpern wie dem Körper Q.

Ein algebraisches Gleichungssystem ist ein Gleichungssystem der Form

Gleichungssysteme vom Grad 1 (lineare Gleichungen) werden in der linearen Algebra untersucht.

Das einfachste Ergebnis zur Anzahl der Lösungen eines Systems algebraischer Gleichungen gilt für den Fall, dass es k homogene Gleichungen in k + 1 Variablen gibt. Alle Lösungen x 1 * ,...,x x+1 k werden zu Lösungsklassen λ 1 * ..., λх k+1 * zusammengefasst, wobei λ≠0 zum Körper K gehört. Dann ist die Anzahl der Nicht- Null (Klassen) von Lösungen des Systems unter Berücksichtigung ihrer Multiplizitäten im allgemeinen Fall sind gleich dem Produkt der Potenzen der Polynome F 1, ..., F k. Die Allgemeingültigkeitsbedingung besteht darin, dass die Koeffizienten der Polynome F 1, ..., F k nicht zu einer algebraischen Varietät im affinen Koeffizientenraum A gehören, der eine streng kleinere Dimension als A hat (Satz von Bezout).

Wenn Systeme inhomogener algebraischer Gleichungen betrachtet werden, ist es zum Ermitteln der Anzahl ihrer Lösungen erforderlich, subtilere Invarianten als den Grad zu verwenden, nämlich Newton-Polyeder. Wenn

wobei i=(i 1 ,..i n) Є Z n, dann ist das Newton-Polyeder eines Polynoms F die konvexe Hülle im Raum R n von Punkten i, für die a i ≠ 0. Die Anzahl der Lösungen eines arithmetischen Gleichungssystems wird durch die Newton-Polyeder der Polynome F 1 ausgedrückt. . . ,Fk.

Lit.: Mishina A.P., Proskuryakov I.V. Höhere Algebra. Lineare Algebra, Polynome, allgemeine Algebra. M., 1965; Kurosh A.G. Kurs der höheren Algebra. M., 1975; Kostrikin A.I. Einführung in die Algebra. M., 1977; Postnikov M. M. Stabile Polynome. M., 1981; Fadeev D.K., Sominsky I.S. Probleme in der höheren Algebra. St. Petersburg, 2001.

I. V. Proskuryakov, A. N. Parshin.

Algebraische Gleichungen. Definition

Lassen Sie die Funktionen f(x) und μ(x) auf einer bestimmten Menge A definiert sein. Und es sei notwendig, eine Menge X zu finden, auf der diese Funktionen gleiche Werte annehmen, mit anderen Worten, alle Werte von x für finden für die die Gleichheit gilt: f(x)= c(x).

Mit dieser Formulierung nennt man diese Gleichung eine Gleichung mit unbekanntem x.

Eine Gleichung heißt algebraisch, wenn nur algebraische Operationen an der Unbekannten durchgeführt werden – Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen mit einem natürlichen Exponenten.

Algebraische Gleichungen enthalten nur algebraische Funktionen (ganzzahlig, rational, irrational). Eine algebraische Gleichung in allgemeiner Form kann durch ein Polynom n-ten Grades mit reellen Koeffizienten dargestellt werden:

Zum Beispiel,

Die Menge A wird als Menge (Bereich) der zulässigen Werte der Unbekannten für eine gegebene Gleichung bezeichnet.

Die Menge X heißt Lösungsmenge und jede ihrer Lösungen x=a ist die Wurzel dieser Gleichung. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine gibt.

Methoden zur Lösung algebraischer Gleichungen

Viele wissenschaftliche und technische Probleme erfordern die Lösung einer Gleichung der Form

wobei f(x) eine gegebene kontinuierliche nichtlineare Funktion ist.

Analytisch ist es nur für die einfachsten Gleichungen möglich, Lösungen zu finden. In den meisten Fällen ist es notwendig, eine Gleichung vom Typ (1) mit numerischen Methoden zu lösen.

Die numerische Lösung von Gleichung (1) erfolgt üblicherweise in zwei Schritten. Im ersten Schritt müssen Sie solche Änderungsintervalle in der Variablen x finden, in denen sich nur eine Wurzel befindet. Dieses Problem wird normalerweise grafisch gelöst. Im zweiten Schritt erfolgt die Abklärung der einzelnen Wurzeln. Hierzu kommen verschiedene Methoden zum Einsatz.

Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen werden in direkte und iterative Methoden unterteilt. Mit direkten Methoden können Sie Wurzeln in Form einer Formel schreiben. Allerdings lassen sich in der Praxis auftretende Gleichungen nicht immer lösen einfache Methoden. Um sie zu lösen, werden iterative Methoden verwendet, d. h. Methoden der sukzessiven Approximation.

Direkte Methoden – die Lösung wird in einer vorher bekannten Anzahl arithmetischer Operationen gefunden, die Lösung ist streng. Beispiele: Gaußsche Methode, Quadratwurzelmethode, Cramer-Regel usw.

Iterative Methoden sind Methoden sukzessiver Approximationen, bei denen es unmöglich ist, die Anzahl der arithmetischen Operationen vorherzusagen, die erforderlich sein werden, um eine Gleichung (ein Gleichungssystem) mit einer bestimmten Genauigkeit zu lösen. Beispiele: Methode der einfachen Iterationen, Gauß-Seidel-Methode, Methode zum Teilen eines Segments in zwei Hälften usw.

In diesem Artikel werden die einfache Iterationsmethode und die Segmenthalbierungsmethode untersucht und verglichen.

Für mathematisch interessierte Studierende beim Lösen algebraischer Gleichungen höherer Ordnung effektive Methode Horners Schema besteht darin, schnell Wurzeln zu finden und mit einem Rest durch das Binomial x – a oder durch ax + b zu dividieren.

Betrachten Sie Horners Schema.

Bezeichnen wir den unvollständigen Quotienten bei der Division von P(x) durch x – a durch

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1, und der Rest ist b n.

Da P(x) = Q(x)(x–) + b n gilt, gilt die Gleichheit

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(x–a) + b n

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite und vergleichen wir die Koeffizienten für gleiche Grade x links und rechts. Wir erhalten, dass a 0 = b 0 und bei 1 < k < n gelten die Beziehungen a k = b k - a b k-1. Daraus folgt, dass b 0 = a 0 und b k = a k + a b k-1, 1 < k < N.

Die Berechnung der Koeffizienten des Polynoms Q(x) und des Restes b n schreiben wir in tabellarischer Form auf:

	b 1 =a 1 + b 0	b 2 =a 2 + b 1		b n-1 =a n-1 + b n-2	b n = a n + b n-1

Beispiel 1. Teilen Sie das Polynom 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 durch x + 1.

Lösung. Wir verwenden Horners Schema.

Wenn wir 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 durch x + 1 dividieren, erhalten wir 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Antwort: 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Beispiel 2. Berechnen Sie P(3), wobei P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

Lösung. Mit dem Satz von Bezout und dem Schema von Horner erhalten wir:

Antwort: P(3) = 535

Übung

1) Teilen Sie das Polynom mithilfe des Horner-Schemas

4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2 auf x + 2;

2) Teilen Sie das Polynom

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 auf x + 1;

3) Finden Sie den Wert des Polynoms P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 für x = 7.

1.1. Finden rationaler Wurzeln von Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten

Die Methode zum Finden rationaler Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist durch den folgenden Satz gegeben.

Satz: Wenn eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten rationale Wurzeln hat, dann sind sie der Quotient aus der Division des Teilers des freien Termes durch den Teiler des führenden Koeffizienten.

Nachweisen: a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0

Sei x = p/q eine rationale Wurzel, q, p sind teilerfremd.

Wenn wir den Bruch p/q in die Gleichung einsetzen und uns vom Nenner befreien, erhalten wir

a 0 p n + a 1 p n-1 q+ … + a n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Schreiben wir (1) auf zwei Arten um:

a n q n = ð(– a 0 ð n-1 – a 1 ð n-2 q – … – a n-1 q n-1) (2)

a 0 ð n = q (– a 1 ð n-1 –… – a n-1 ðq n-2 – a n q n-1) (3)

Aus Gleichung (2) folgt, dass a n q n durch p teilbar ist, und da q n und p teilerfremd sind, dann ist a n durch p teilbar. Ebenso folgt aus Gleichung (3), dass a 0 durch q teilbar ist. Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0.

Lösung. Die Gleichung hat keine ganzzahligen Wurzeln; wir finden die rationalen Wurzeln der Gleichung. Sei der irreduzible Bruch p/q die Wurzel der Gleichung, dann wird p unter den Teilern des freien Termes gefunden, d. h. unter den Zahlen ± 1 und q unter den positiven Teilern des führenden Koeffizienten: 1; 2.

Diese. rationale Wurzeln der Gleichung müssen unter den Zahlen ± 1, ± 1/2 gesucht werden, bezeichnen P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1) 0, P 3 (–1) 0 ,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 ist die Wurzel der Gleichung.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

Wir erhalten: x 2 (2x – 1) – 3x(2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Wenn wir den zweiten Faktor mit Null gleichsetzen und die Gleichung lösen, erhalten wir

Übungen

Gleichungen lösen:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. Reziproke Gleichungen und Lösungsmethoden

Definition. Eine Gleichung mit ganzzahligen Potenzen bezüglich einer Unbekannten heißt reziprok, wenn ihre von den Enden der linken Seite gleich weit entfernten Koeffizienten einander gleich sind, d.h. Gleichung der Form

ax n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + a = 0

Reziproke Gleichung ungeraden Grades

ax 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + a = 0

hat immer eine Wurzel x = – 1. Daher ist es äquivalent zur Kombination der Gleichung x + 1 = 0 und . Die letzte Gleichung ist eine reziproke Gleichung geraden Grades. Somit wird die Lösung reziproker Gleichungen beliebigen Grades auf die Lösung einer reziproken Gleichung geraden Grades reduziert.

Wie man es löst? Gegeben sei eine reziproke Gleichung geraden Grades

ax 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + a = 0

Beachten Sie, dass x = 0 keine Wurzel der Gleichung ist. Dann dividieren wir die Gleichung durch x n, wir erhalten

ax n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + ax -n = 0

Wir gruppieren die Terme der linken Seite paarweise

a(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Wir ersetzen x + x -1 = y. Nach dem Ersetzen der Ausdrücke x 2 + x -2 = y 2 – 2;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 in die Gleichung, für die wir die Gleichung erhalten beiАу n + By n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen Sie mehrere quadratische Gleichungen der Form x + x -1 = y k lösen, wobei k = 1, 2, ... n. Somit erhalten wir die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0.

Lösung. x = – 1 ist die Wurzel der Gleichung. Wenden wir Horners Schema an.

Unsere Gleichung wird die Form annehmen:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3 ? 0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Durch Gruppierung erhalten wir: .

Wir führen den Ersatz ein: ; ; .

Wir bekommen relativ bei Gleichung: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 = ± 3.

Gleichungen lösen , , ,

wir bekommen die Wurzeln: , , ,

Antwort: x 1 = -1, ,

Übungen

Gleichungen lösen.

1. 2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;
2. 2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;
3. 15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. Methode zum Ersetzen von Variablen zum Lösen von Gleichungen

Die Variablenersetzungsmethode ist die gebräuchlichste Methode. Die Kunst, eine variable Änderung vorzunehmen, besteht darin, herauszufinden, welche Änderung am sinnvollsten ist und schneller zum Erfolg führt.

Wenn die Gleichung gegeben ist

F(f(x)) = 0, (1)

dann wird durch Ersetzen der Unbekannten y = f(x) zunächst auf die Gleichung reduziert

und nachdem alle Lösungen für Gleichung (2) gefunden wurden, wird y 1 , y 2 , …, y n , … auf die Lösung des Satzes von Gleichungen f(x) = y 1, f(x) = y 2 ,…, f reduziert (x) = y 2,...

Die wichtigsten Möglichkeiten zur Implementierung der Variablenersetzungsmethode sind:

• Verwenden der Grundeigenschaft eines Bruchs;
• Hervorheben des Quadrats eines Binomials;
• Übergang zu einem Gleichungssystem;
• Klammern paarweise öffnen;
• Klammern paarweise öffnen und beide Seiten der Gleichung dividieren;
• Verringern des Grades der Gleichung;
• doppelter Ersatz.

1.3.1. Reduzierung der Potenz einer Gleichung

Lösen Sie die Gleichung (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

Lösung. Bezeichnen wir x 2 + x + 2 = y, dann nehmen wir y (y + 1) = 6 und lösen letzteres, wir erhalten y 1 = 2, y 2 = -3. Diese Gleichung (3) entspricht dem Gleichungssatz x 2 + x + 2 = 2

x 2 + x + 2 = -3

Wenn wir das erste lösen, erhalten wir x 1 = 0, x 2 = -1. Wenn wir das zweite lösen, erhalten wir ,

Antwort: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. Gleichung vierten Grades der Form (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, wobei a + b = c + d oder a + c = b + d oder a + d = b+c.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Lösung. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, multipliziert man diese Klammerpaare, erhält man die Gleichung (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40

Führen wir die Ersetzung ein: x 2 - 5x – 14 = y, wir erhalten die Gleichung y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y 2 = 2. Zurück zur ursprünglichen Variablen lösen wir eine Reihe von Gleichungen:

1.3.3. Eine Gleichung der Form (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Bsp. 2,

wobei ab = cd oder ac =bd oder ad = bc. Öffnen Sie die Klammern paarweise und dividieren Sie beide Teile durch x 2 0.

Beispiel. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

Lösung. Das Produkt der Zahlen in der ersten und dritten sowie in der zweiten und vierten Klammer ist gleich, d. h. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Multiplizieren wir die angegebenen Klammerpaare und schreiben wir die Gleichung (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

Da x = 0 keine Wurzel der Gleichung ist, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch x 2 0 und erhalten: , Ersatz: , die ursprüngliche Gleichung wird die Form annehmen: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Kehren wir zur ursprünglichen Variablen zurück:

Lösen wir die erste Gleichung, erhalten wir x 1,2 = 5 ±

Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln.

Antwort: x 1,2 = 5 ±

1.3.4. Gleichung des vierten Typs (ax 2 + b 1 x + c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2

Die Gleichung (ax 2 + b 1 x+ c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2, wobei c 0, A 0, keine Wurzel x = 0 hat, daher dividiert man die Gleichung durch x 2, wir erhalten ein Äquivalent der Gleichung , das nach dem Ersetzen des Unbekannten in die Form eines Quadrats umgeschrieben wird und leicht gelöst werden kann.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen.

Gleichungen, die das Symbol \[\sqrtх\] enthalten, werden Gleichungen mit genannt Quadratwurzel. Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl \ ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich \ ist. \[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Die Zahl oder der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen darf immer nicht negativ sein.

Existieren verschiedene Wege Lösungen solcher Gleichungen:

Quadrieren einer Zahl durch Multiplizieren der Zahl mit sich selbst;

Vereinfachen Sie die Wurzeln, wenn möglich, indem Sie komplette Wurzeln entfernen;

Verwenden imaginärer Zahlen, um die Wurzel von Zahlen zu finden negativer Charakter;

Anwendung des Long-Division-Algorithmus;

Und andere.

Zur Verdeutlichung lösen wir die folgende Gleichung mit Quadratwurzeln:

\[\sqrt (x-5) =3\]

Wir multiplizieren jede Seite der Gleichung mit sich selbst, um Radikale zu entfernen:

Jetzt haben wir das einfachste Lineargleichung, was wie folgt gelöst wird:

Wo kann ich eine algebraische Gleichung online lösen?

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