Beispiele für Integrale mit komplexen Zahlen. Integrale online lösen

Theoretisches Minimum
Es gibt häufig Fälle, in denen die Berechnung bestimmter Integrale mithilfe von Methoden erfolgt umfassende Analyse Methoden vorzuziehen
Materialanalyse. Die Gründe können sehr unterschiedlich sein. TFCT-Methoden können teilweise eine erhebliche Reduzierung der Berechnungen ermöglichen.
Manchmal kann die Newton-Leibniz-Formel nicht verwendet werden, weil das unbestimmte Integral nicht in Elementarfunktionen ausgedrückt wird.
Differenzierungs- und Integrationsmethoden in Bezug auf einen Parameter erfordern eine sehr sorgfältige Begründung ihrer Anwendbarkeit und manchmal auch des Parameters
müssen künstlich eingeführt werden.
Typischerweise werden zur Berechnung komplexe Analysemethoden eingesetzt unechte Integrale- entlang eines unendlichen Intervalls oder von unbegrenzt auf einem Segment
Integration von Funktionen. Die allgemeine Idee ist wie folgt. Es wird ein Konturintegral erstellt. Das Integral über einige Teile der Kontur sollte
mit dem gewünschten bestimmten Integral übereinstimmen - zumindest bis zu einem konstanten Faktor. Integrale über andere Teile der Kontur
muss berechnet werden. Anschließend wird der fundamentale Residuensatz angewendet, der dies besagt
,
wo ist es einzelne Punkte Funktionen, die sich innerhalb der Integrationsschleife befinden. Somit ist eine Kontur integral mit eins
Auf der anderen Seite wird es durch das gewünschte bestimmte Integral ausgedrückt, und auf der anderen Seite wird es mithilfe von Residuen berechnet (was normalerweise der Fall ist).
stellt keine ernsthaften Schwierigkeiten dar).
Die Hauptschwierigkeit liegt in der Wahl der Integrationskontur. Dies wird im Prinzip durch die Integrandenfunktion nahegelegt. Allerdings nicht ausreichend
Da es schwierig ist, diese Methode in der Praxis zu beherrschen, werden zahlreiche Beispiele aufgeführt. Die am häufigsten verwendeten Konturen bestehen aus
Elemente, entlang derer die Integration bequem durchgeführt werden kann (gerade Linien, Kreisbögen).

Integration in der komplexen Ebene
Beispiel 1. Fresnel-Integrale.
Berechnen wir die Integrale , .
Es ist leicht zu erraten, dass der erste Schritt darin besteht, zur Exponentialform überzugehen, was die Betrachtung des Integrals beinhaltet.
Sie müssen lediglich die Integrationskontur auswählen. Es ist klar, dass die Halbachse in die Kontur eintreten muss. Echt und
Die Imaginärteile des Integrals über diesem Teil der Kontur sind Fresnel-Integrale. Als nächstes wird das Konturintegral über die Struktur berechnet
Der Integrand ähnelt dem Euler-Poisson-Integral, dessen Wert bekannt ist. Aber um dieses Integral zu erhalten, müssen wir setzen
, Dann . Und diese Darstellung einer Variablen ist die Integration entlang einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft
im Winkel zur realen Achse.
Es gibt also zwei Konturelemente. Damit sich die Kontur schließt, gehen wir davon aus, dass die ausgewählten zwei Abschnitte der Kontur eine endliche Länge haben und nahe beieinander liegen
Kontur eines Kreisbogens mit Radius. Später werden wir diesen Radius auf Unendlich richten. Das Ergebnis ist in Abb. dargestellt. 1 Schaltung.

(1)
Innerhalb der Integrationskontur hat der Integrand keine singulären Punkte, also das Integral über die gesamte Kontur gleich Null.

.
Im Grenzfall ist dieses Integral gleich Null.
Auf der Website können Sie dann schreiben
.
Wir setzen die erhaltenen Ergebnisse in (1) ein und gehen zum Grenzwert:

Durch die Trennung von Real- und Imaginärteil finden wir unter Berücksichtigung des Wertes des Euler-Poisson-Integrals
,
.
Beispiel 2. Auswahl einer Integrationskontur, die den singulären Punkt des Integranden enthält.
Berechnen wir ein Integral ähnlich dem im ersten Beispiel betrachteten: , wo .
Wir berechnen das Integral. Wählen wir eine Kontur ähnlich der im ersten Beispiel verwendeten. Nur gibt es jetzt kein Ziel
Reduzieren Sie die Berechnung auf das Euler-Poisson-Integral. Beachten Sie hier, dass beim Austausch Der Integrand ändert sich nicht.
Diese Überlegung veranlasst uns, die geneigte Gerade der Integrationskontur so zu wählen, dass sie mit der realen Achse einen Winkel einschließt.

Beim Schreiben des Konturintegrals
(2)
Das Integral entlang des Kreisbogens geht im Grenzfall gegen Null. Auf der Website können Sie schreiben :
.
Somit finden wir aus (2) beim Übergang zum Grenzwert
.
Dabei wird berücksichtigt, dass der Integrand innerhalb der Integrationskontur einen einfachen Pol hat.

Von hier aus finden wir das erforderliche Integral:
.
Beispiel 3. Schließen Sie die Integrationsschleife durch die obere oder untere Halbebene?
Anhand des folgenden recht einfachen Integrals demonstrieren wir ein charakteristisches Detail der Wahl der Integrationskontur. Rechnen wir
Integral
Tatsächlich wird das erforderliche Integral der Funktion entlang der reellen Achse berechnet, auf der sich der Integrand nicht befindet
Merkmale. Es bleibt nur noch, den Integrationskreislauf zu schließen. Da die Funktion unter dem Integral nur zwei endliche Singularpunkte hat
Sie können die Kontur mit einem Halbkreis schließen, dessen Radius gegen Unendlich gehen sollte. Und hier stellt sich die Frage, wie soll
Es sollte ein Halbkreis gewählt werden: in der oberen oder unteren Halbebene (siehe Abb. 3 a, b). Um dies zu verstehen, schreiben wir das Integral über den Halbkreis
in beiden Fällen:

A)
B)
Wie man sieht, wird das Verhalten des Integrals im Limes durch den Faktor bestimmt.
Im Fall von „a“ ist der Grenzwert daher unter der Bedingung endlich.
Im Fall „b“ ist das Gegenteil der Fall, und daher ist der Grenzwert unter der Bedingung endlich.
Dies legt nahe, dass die Art und Weise, wie die Schleife geschlossen wird, durch das Vorzeichen des Parameters bestimmt wird. Wenn es positiv ist, dann
die Kontur wird durch die obere Halbebene geschlossen, andernfalls durch die untere. Betrachten wir diese Fälle separat.
A)
Das Integral über einen Halbkreis im Limes geht, wie wir gesehen haben, gegen Null. Im Inneren des Stromkreises (siehe Abb. 3a) befindet sich
Daher ein besonderer Punkt

B)
Ähnliches finden wir bei der Integration entlang der in Abb. gezeigten Kontur. 3b,

Notiz. Es mag seltsam erscheinen, dass das Integral von komplexe Funktion stellte sich als echt heraus. Dies ist jedoch im Original leicht zu verstehen
Trennen Sie im Integral den Real- und Imaginärteil. Im Imaginärteil steht unter dem Integral eine ungerade Funktion, und das Integral wird symmetrisch berechnet
Grenzen. Diese. der Imaginärteil geht gegen Null, was in unserer Berechnung der Fall war.
Beispiel 4. Umgehen singulärer Punkte des Integranden beim Erstellen einer Integrationskontur.
In den betrachteten Beispielen hatte der Integrand entweder keine singulären Punkte oder sie lagen innerhalb der Integrationskontur. Jedoch
Es kann zweckmäßig sein, eine Kontur so zu wählen, dass die singulären Punkte der Funktion darauf fallen. Solche Punkte müssen vermieden werden. Der Bypass wird durchgeführt
entlang eines Kreises mit kleinem Radius, der dann einfach gegen Null geht. Berechnen wir als Beispiel das Integral .
Es mag den Anschein haben, dass der Integrand keine endlichen Singularpunkte hat, da ein Punkt eine entfernbare Singularität ist.
Um das Integral zu berechnen, müssen Sie jedoch ein Konturintegral aus einer anderen Funktion zusammensetzen (um sicherzustellen, dass das Integral bei Null geht).
schließender Halbkreis im Grenzbereich des unendlichen Radius): . Hier hat der Integrand eine Polsingularität
am Punkt .

Daher ist eine weitere Integrationsschleife erforderlich (siehe Abb. 4). Es unterscheidet sich von Abb. 3a nur dadurch, dass der singuläre Punkt um einen Halbkreis geht,
deren Radius in Zukunft voraussichtlich gegen Null tendieren wird.
. (3)
Beachten wir sofort, dass das Integral über einen großen Halbkreis im Grenzbereich seines unendlich großen Radius gegen Null geht, und zwar innerhalb der Kontur
Es gibt keine singulären Punkte, daher ist das gesamte Integral entlang der Kontur Null. Betrachten Sie als Nächstes den ersten und dritten Term in (3):

.
Schreiben wir nun das Integral über einen kleinen Halbkreis und berücksichtigen dabei dies. Wir werden auch sofort die Kleinheit des Halbkreisradius berücksichtigen:

Die Terme, die im Limit gegen Null gehen, werden nicht ausgeschrieben.
Wir sammeln die Begriffe in (3) – mit Ausnahme des Begriffs, der sich auf den großen Halbkreis bezieht.

Wie man sehen kann, vernichten sich die Terme, die ins Unendliche gehen, gegenseitig. Regie führen und haben wir
.
Notiz. Beispielsweise wird das Dirichlet-Integral auf völlig ähnliche Weise berechnet (denken Sie daran, dass es sich von dem, was gerade betrachtet wurde, durch das Fehlen unterscheidet).
Quadrate im Zähler und Nenner).
Beispiele für die Berechnung bestimmter Integrale mithilfe der Kontur
Integration in der komplexen Ebene (Fortsetzung)
Beispiel 5. Der Integrand hat unzählige singuläre Punkte.
In vielen Fällen wird die Wahl der Kontur dadurch erschwert, dass der Integrand unendlich viele singuläre Punkte hat. In diesem Fall kann es sein
es stellt sich heraus, dass die Summe der Residuen tatsächlich nahe beieinander liegen wird, deren Konvergenz bei der Summierung noch bewiesen werden muss
es funktioniert nicht (und das Summieren von Reihen ist im Allgemeinen eine separate, ziemlich komplizierte Aufgabe). Berechnen wir als Beispiel das Integral.
Es ist klar, dass ein Teil der Kontur die reale Achse ist. Die Funktion weist keine Besonderheiten auf. Lassen Sie uns besprechen, wie wir den Kreis schließen können. Sie sollten keinen Halbkreis auswählen.
Tatsache ist, dass der hyperbolische Kosinus eine Familie einfacher Nullstellen hat . Daher ist die Kontur innerhalb eines Halbkreises geschlossen
Im Grenzfall eines unendlich großen Radius wird es unendlich viele singuläre Punkte geben. Wie sonst kann man den Kreis schließen? Beachte das .
Daraus folgt, dass Sie versuchen können, in die Integrationskontur ein Segment parallel zur realen Achse einzubeziehen. Der Kreis wird mit zwei geschlossen
vertikale Segmente, in der Grenze unendlich weit von der imaginären Achse entfernt (siehe Abb. 5).

Auf vertikalen Abschnitten der Kontur . Der hyperbolische Kosinus wächst daher exponentiell mit zunehmendem Argument (in absoluten Werten).
im Grenzfall tendieren die Integrale über den Vertikalschnitten gegen Null.

Also im Grenzbereich
.
Andererseits gibt es innerhalb der Integrationskontur zwei singuläre Punkte des Integranden. Abzüge in ihnen
,
.
Somit,
.
Beispiel 6. Der Integrand des bestimmten Integrals und des Konturintegrals ist unterschiedlich.
Es gibt einen sehr wichtigen Fall der Berechnung bestimmter Integrale mit dieser Methode Konturintegration. Immer noch Integrand
die Konturintegralfunktion fiel entweder einfach mit dem Integranden eines bestimmten Integrals zusammen oder ging durch Trennung in dieses über
Real- oder Imaginärteil. Doch nicht immer ist alles so einfach. Berechnen wir das Integral.
Hinsichtlich der Auswahl einer Schaltung gibt es kein besonderes Problem. Obwohl die Funktion unter dem Integral unendlich viele einfache Pole hat, wissen wir es bereits
Basierend auf den Erfahrungen des vorherigen Beispiels ist eine rechteckige Kontur erforderlich, da . Der einzige Unterschied zu Beispiel 5 besteht darin
dass der Pol des Integranden auf der Geraden liegt, die umgangen werden muss. Daher wählen wir das abgebildete
in Abb. 6 Schaltung.

Betrachten Sie das Konturintegral. Wir werden es nicht auf jeden Abschnitt der Kontur malen und uns auf die Horizontale beschränken
abschnittsweise. Das Integral entlang der reellen Achse tendiert im Grenzfall zum gewünschten Wert. Schreiben wir die Integrale über die restlichen Abschnitte:
.
Im Grenzfall ergeben die ersten beiden Integrale , dann ergeben sie in Summe das Konturintegral
mit dem gewünschten, der sich im Vorzeichen unterscheidet. Dadurch fällt das gewünschte bestimmte Integral aus dem Konturintegral heraus. Das bedeutet es
Der Integrand wurde falsch gewählt. Betrachten wir ein weiteres Integral: . Den Umriss belassen wir gleich.

Betrachten wir zunächst noch einmal Integrale über horizontalen Abschnitten. Das Integral entlang der reellen Achse wird in transformiert.
Dieses Integral ist als Integral gleich Null komische Funktion innerhalb symmetrischer Grenzen.

Im Limes verschwinden die ersten beiden Klammern und bilden wieder Integrale ungerader Funktionen
innerhalb symmetrischer Grenzen. Aber die letzte Klammer liefert bis auf einen Faktor das erforderliche Integral. Es ist sinnvoll, die Berechnung fortzusetzen.
Ähnlich wie in Beispiel 5 tendieren die Integrale über die vertikalen Abschnitte der Kontur bei . Es bleibt das Integral zu finden
entlang eines Halbkreises, wo . Wie in Beispiel 4 berechnen wir das Integral unter Berücksichtigung der Kleinheit von:
.
Wir haben also alles, um das Konturintegral im Limes aufzuschreiben:

Andererseits befand sich innerhalb der Integrationskontur ein Pol der Integrandenfunktion

Betrachten wir eine glatte Kurve Γ auf der komplexen Ebene, die durch die parametrischen Gleichungen definiert wird

(Die Definition einer glatten Kurve finden Sie am Anfang von §8). Wie in § 8 erwähnt, können diese Gleichungen in kompakter Form geschrieben werden:

Beim Ändern eines Parameters T aus A bis /3 entsprechender Punkt z(t) bewegt sich entlang der Kurve Г. Daher bestimmen die Gleichungen (15.1) und (15.2) nicht nur die Punkte der Kurve Г, sondern geben auch die Durchlaufrichtung dieser Kurve an. Eine Kurve Г mit einer gegebenen Durchlaufrichtung heißt orientierte Kurve.

Lassen Sie die Gegend herein D C C erhält eine stetige Funktion /(r) = = u(x, y) + iv(x. y), und lasse die Kurve G darin liegen D. Einführung in den Integralbegriff [f(z)dz aus der Funktion f(z) entlang der Kurve Г bestimmen wir r

Differential dz Gleichwertigkeit dz = dx + idy. Der Integrandenausdruck wird in die Form umgewandelt

Somit ist das Integral der komplexen Funktion f(z) entlang der Kurve Г ist es natürlich, durch die Gleichheit zu definieren

deren rechte Seite zwei reelle krummlinige Integrale der zweiten Art reeller Funktionen enthält Und Und Und. Um diese Integrale zu berechnen, statt X Und bei Ersatzfunktionen x(t) und t/(/), und stattdessen dx Und dy- Differentiale dieser Funktionen dx = x"(t)dt Und dy = y"(t)dt. Dann werden die Integrale auf der rechten Seite von (15.3) auf zwei Integrale von Funktionen einer reellen Variablen reduziert T

Wir sind nun bereit, die folgende Definition zu geben.

Integral entlang einer Kurve G über die Funktion einer komplexen Variablen f(z) ist die Zahl, die mit bezeichnet wird J" f(z)dz und berechnet von

Wo z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - Gleichung der Kurve Г, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Beispiel 15.1. Berechnen Sie das Integral einer Funktion f(z) = (Lücke entlang eines Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt a, dessen Richtung entgegen dem Uhrzeigersinn verläuft.

Lösung: Kreisgleichung z - a= r wird sein z - a = ge ein, oder

Wenn es sich ändert T. von 0 bis 2tg Punkt z(t.) bewegt sich entlang des Kreises G gegen den Uhrzeigersinn. Dann

Unter Anwendung der Gleichung (15.5) und der Moivre-Formel (2.10) erhalten wir:

Wir haben ein Ergebnis erhalten, das für die weitere Diskussion wichtig ist:

Beachten Sie, dass der Wert des Integrals nicht vom Radius abhängt G Kreise.

Beispiel 15.2. Berechnen Sie das Integral einer Funktion f(z) = 1, aber eine glatte Kurve Г mit dem Anfang im Punkt A und endet an einem Punkt B.

Lösung: Die Kurve Г sei durch die Gleichung gegeben z(t.) = x(t) + + iy(t) und ^ T^ /3, Und A= -g(a), B = z((3). Unter Verwendung der Formel (15.5) sowie der Newtonschen Leibniz-Formel zur Berechnung von Integralen reeller Funktionen erhalten wir

Wir sehen, dass das Integral F 1 dz hängt nicht von der Art des Pfades G ab, der verbindet

gemeinsame Punkte a und 6, a hängt nur von den Endpunkten ab.

Lassen Sie uns kurz einen anderen Ansatz zur Bestimmung des Integrals einer komplexen Funktion skizzieren f(z) entlang einer Kurve, ähnlich der Definition des Integrals einer reellen Funktion über eine Strecke.

Teilen wir die Kurve Г beliebig in P Diagramme mit Punkten zq = a, z 1, ..., z n-ü z n = b, nummeriert in Bewegungsrichtung vom Startpunkt bis zum Endpunkt (Abb. 31). Bezeichnen wir z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n -Zn- 1 = = Azn.(Nummer Azk dargestellt durch einen vom Punkt ausgehenden Vektor zi Ich bin dabei Zk-) An jedem Standort (zk-i,Zk) Kurve, wähle einen beliebigen Punkt (d-) und bilde die Summe

Dieser Betrag wird aufgerufen Integralsumme. Bezeichnen wir mit A die Länge des größten Abschnitts, in den die Kurve G unterteilt ist. Betrachten Sie die Folge von Teilungen, für die A -? 0 (gleichzeitig P-* oo).

Die Einheit der Integralsummen, die unter der Bedingung berechnet wird, dass die Länge des größten Abschnitts der Partition gegen Null tendiert, wird aufgerufen Integral der Funktion/(G) entlang der Kurve G und mit G bezeichnet f(z)dz:

Es lässt sich zeigen, dass diese Definition uns auch zur Formel (15.3) führt und daher äquivalent zur oben angegebenen Definition (15.5) ist.

Lassen Sie uns die grundlegenden Eigenschaften des Integrals / ermitteln f(z)dz.

1°. Linearität. Für alle komplexen Konstanten a und b

Diese Eigenschaft folgt aus Gleichheit (15.5) und den entsprechenden Eigenschaften des Integrals über einem Segment.

2°. Additivität. Wenn die Kurve G unterteilt in Abschnitte Ti m G2, Das

Nachweisen. Sei die Kurve Г mit den Enden a, B durch Punkt c in zwei Teile geteilt: Kurve Gi mit Enden a, Mit und die Kurve GG mit den Enden c, B. Sei Γ durch die Gleichung gegeben z = z(t), A ^ T ^ V. Und A= 2(a), B = z(ft), c = 2(7). Dann lauten die Gleichungen der Kurven Г1 und Гг z = z(t), Wo A ^ T^7 für Ti und 7^ T^/? für Gg. Wenn wir die Definition (15.5) und die entsprechenden Eigenschaften des Integrals über ein Segment anwenden, erhalten wir

Q.E.D.

Eigenschaft 2° ermöglicht die Berechnung von Integralen nicht nur über glatte Kurven, sondern auch über Stückweise glatt, d.h. Kurven, die in endlich viele glatte Abschnitte unterteilt werden können.

3°. Bei einer Richtungsänderung der Kurve ändert das Integral das Vorzeichen.

Beweis von l s t v o. Lassen Sie die Kurve Г mit Enden A Und B ist durch die Gleichung r = r(?), o ^ gegeben T ^ $. Eine Kurve, die aus den gleichen Punkten wie Γ besteht, sich aber in der Durchlaufrichtung (Orientierung) von Γ unterscheidet, wird mit Γ“ bezeichnet. Dann ist Г - durch die Gleichung gegeben z= 2i(J)> wo z(t)= 2(0 -I - fit), Lassen Sie uns tatsächlich eine neue Variable r = a + einführen - T. Wenn es sich ändert T von a bis (D Variable g variiert von (5 zu einem. Folglich verläuft der Punkt r(t) entlang der Kurve Γ".

Die 3°-Eigenschaft ist nachgewiesen. (Beachten Sie, dass aus der Definition des Integrals (15.8) diese Eigenschaft direkt folgt: Wenn sich die Ausrichtung der Kurve ändert, werden alle inkrementiert AZk Vorzeichen ändern.)

4°. Der Modul des Integrals f f(z)dz überschreitet nicht den Wert der Krummlinie G

lineares Integral des Moduls der Funktion über die Länge der Kurve s (krummliniges Integral von f(z) erster Art):

Das ist leicht zu erkennen z[(t) = g" g (t)(a + - t)J = -z" t (t), dt = -dr. Unter Verwendung der Definition (15.5) und Übergabe an die Variable r erhalten wir

Nachweisen. Nutzen wir die Tatsache, dass für das Integral über ein Segment

(Diese Ungleichung ergibt sich unmittelbar aus der Definition eines Integrals über ein Segment als Grenze ganzzahliger Summen). Von hier und von (15.5) haben wir

1. Der Begriff eines Integrals einer Funktion einer komplexen Variablen wird (analog wie im Realbereich) als Grenzwert einer Folge ganzzahliger Summen eingeführt; Die Funktion ist auf einer Kurve l definiert. Die Kurve wird als glatt oder stückweise glatt angenommen:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

wobei x_k ein auf dem Bogen \Delta l_k der Kurvenpartition ausgewählter Punkt ist; \Delta z_k – Inkrement des Funktionsarguments in diesem Partitionsabschnitt, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- Partitionsschritt, |\Delta z_k| - Länge der Sehne, die die Enden des Bogens \Delta l_k verbindet; Kurve l wird willkürlich in n Teile geteilt \Updelta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Die auf der Kurve gewählte Richtung, d. h. Start- und Endpunkte sind angegeben. Im Falle einer geschlossenen Kurve \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) Die Integration erfolgt in positiver Richtung, d.h. in einer Richtung, die links einen endlichen Bereich hinterlässt, der durch eine Kontur begrenzt wird.

Formel (2.43) bestimmt Linienintegral einer Funktion einer komplexen Variablen. Wenn wir den Real- und Imaginärteil der Funktion f(z) trennen, d.h. schreibe es in das Formular

f(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

dann kann die Integralsumme in Form von zwei Termen geschrieben werden, die die Integralsummen krummliniger Integrale der zweiten Art von Funktionen zweier reeller Variablen sind. Wenn angenommen wird, dass f(z) auf l stetig ist, dann sind u(x,y),~ v(x,y) auch auf l stetig, und daher gibt es Grenzen für die entsprechenden Integralsummen. Wenn also die Funktion f(z) auf l stetig ist, dann existiert der Grenzwert in Gleichheit (2.43), d.h. Es gibt ein krummliniges Integral der Funktion f(z) entlang der Kurve l und die Formel gilt

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Anhand der Definition eines Integrals oder der Formel (2.44) und der Eigenschaften krummliniger Integrale zweiter Art lässt sich die Gültigkeit der folgenden Eigenschaften eines krummlinigen Integrals von Funktionen einer komplexen Variablen (aus der reellen Analysis bekannte Eigenschaften) leicht überprüfen: .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(ausgerichtet)

insbesondere, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), wenn die Funktion auf der Kurve AB betragsmäßig begrenzt ist |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Diese Eigenschaft wird als Eigenschaft zur Schätzung des Moduls des Integrals bezeichnet.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Formel (2.44) kann sowohl als Definition eines krummlinigen Integrals einer Funktion einer komplexen Variablen als auch als Formel zu dessen Berechnung durch krummlinige Integrale der zweiten Art von Funktionen zweier reeller Variablen betrachtet werden.

Um die Berechnungsformel zu verwenden und sich daran zu erinnern, beachten wir, dass Gleichheit (2.44) der formalen Ausführung auf der linken Seite unter dem Integralzeichen der Aktionen der Trennung des Real- und Imaginärteils der Funktion f(z) und der Multiplikation mit dz= entspricht dx+i\,dy und das resultierende Produkt in algebraischer Form schreiben:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Beispiel 2.79. Berechnen Sie Integrale und \int\limits_(OA)z\,dz, wo Zeile OA

a) eine gerade Linie, die die Punkte z_1=0 und z_2=1+i verbindet,
b) gestrichelte Linie OBA, wo O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Lösung

1. Berechnen Sie das Integral \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Hier f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Wir schreiben das Integral als krummlinige Integrale zweiter Art:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

was der Formel (2.44) entspricht. Wir berechnen die Integrale:

a) Der Integrationspfad ist also ein gerades Liniensegment \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) Der Integrationspfad ist eine gestrichelte Linie, die aus zwei Segmenten besteht OB= $y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1$ Und BA= $x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1$. Wenn wir also das Integral in zwei Teile teilen und Berechnungen durchführen, erhalten wir

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Integral einer Funktion f(z)=\overline(z) hängt von der Wahl des Integrationspfades ab, der die Punkte O und A verbindet.

2. Berechnen Sie das Integral \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) hier f(z)=z=x+iy . Wir schreiben das Integral als krummlinige Integrale zweiter Art

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Die Integranden der erhaltenen Integrale zweiter Art sind vollständige Differentiale (siehe Bedingung (2.30)), daher reicht es aus, einen Fall des Integrationspfades zu betrachten. Also, im Fall „a“, wo die Gleichung des Segments ist y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, wir bekommen die Antwort

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Aufgrund der Unabhängigkeit des Integrals von der Form des Integrationsweges ist die Aufgabe in in diesem Fall kann in einer allgemeineren Form formuliert werden: Berechnen Sie das Integral

\int\limits_(l)z\,dz vom Punkt z_1=0 zum Punkt z_2=1+i.

Im nächsten Absatz werden wir solche Integrationsfälle genauer betrachten.

2. Das Integral einer stetigen Funktion in einem bestimmten Bereich soll nicht von der Art der Kurve abhängen, die zwei Punkte in diesem Bereich verbindet. Lassen Sie uns den Startpunkt festlegen und z_0 bezeichnen. Der Endpunkt ist eine Variable, bezeichnen wir ihn mit z. Dann hängt der Wert des Integrals nur vom Punkt z ab, das heißt, es bestimmt eine Funktion im angegebenen Bereich.

Im Folgenden begründen wir die Aussage, dass im Fall eines einfach zusammenhängenden Bereichs das Integral eine einwertige Funktion in diesem Bereich definiert. Lassen Sie uns die Notation einführen

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Die Funktion F(z) ist ein Integral mit variabler Obergrenze.

Unter Verwendung der Definition von Derivat, d.h. angesichts \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z) lässt sich leicht überprüfen, dass F(z) an jedem Punkt im Definitionsbereich eine Ableitung hat und daher darin analytisch ist. In diesem Fall erhalten wir für die Ableitung die Formel

F"(z)=f(z).

Die Ableitung eines Integrals mit variabler Obergrenze ist gleich dem Wert des Integranden an der Obergrenze.

Insbesondere aus Gleichung (2.46) folgt, dass die Integrandenfunktion f(z) in (2.45) eine analytische Funktion ist, da die Ableitung F"(z) der analytischen Funktion F(z) durch die Eigenschaft solcher Funktionen (siehe Aussage 2.28) - analytische Funktion.

3. Die Funktion F(z), für die Gleichheit (2.46) gilt, heißt Stammfunktion für die Funktion f(z) in einem einfach zusammenhängenden Bereich, und die Sammlung von Stammfunktionen \Phi(z)=F(z)+c, wobei c=\text( const) , – das unbestimmte Integral der Funktion f(z) .

Aus den Punkten 2 und 3 erhalten wir die folgende Aussage.

Aussage 2.25

1. Integral mit variabler Obergrenze \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) aus einer Funktionsanalytik in einem einfach zusammenhängenden Bereich ergibt sich eine Funktionsanalytik in diesem Bereich; Diese Funktion ist eine Stammfunktion des Integranden.

2. Jede analytische Funktion in einem einfach zusammenhängenden Bereich enthält eine Stammfunktion (die Existenz einer Stammfunktion).

Stammfunktionen analytischer Funktionen in einfach zusammenhängenden Bereichen werden wie bei der reellen Analysis gefunden: Es werden die Eigenschaften von Integralen, die Integraltabelle und die Integrationsregeln verwendet.

Zum Beispiel, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Zwischen dem krummlinigen Integral einer analytischen Funktion und ihrer Stammfunktion in einem einfach zusammenhängenden Bereich gibt es eine Formel ähnlich der Newton-Leibniz-Formel aus der reellen Analysis:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Wie in der realen Analysis betrachten wir im komplexen Bereich zusätzlich Integrale, die einen Parameter innerhalb der Integrationsgrenzen enthalten (Formel (2.45) ergibt einfachstes Beispiel solche Integrale), Integrale, die von dem im Integranden enthaltenen Parameter abhängen: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Unter solchen Integralen nehmen sie in Theorie und Praxis einen wichtigen Platz ein komplexe Integration und Anwendungen nimmt es ein Integral der Form an \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Unter der Annahme, dass f(z) auf der Geraden l stetig ist, erhalten wir, dass für jeden Punkt z, der nicht zu l gehört, das Integral existiert und eine bestimmte Funktion in jedem Bereich definiert, der nicht l enthält

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integral (2.48) wird als Cauchy-Integral bezeichnet; Faktor \frac(1)(2\pi\,i) eingeführt, um die Verwendung der konstruierten Funktion zu vereinfachen.

Für diese Funktion ist wie für die durch Gleichheit (2.45) definierte Funktion bewiesen, dass sie überall im Definitionsbereich analytisch ist. Darüber hinaus ist es hier im Gegensatz zum Integral (2.45) nicht erforderlich, dass die erzeugende Funktion f(z) analytisch ist, d. h. nach Formel (2.48) auf die Klasse kontinuierliche Funktionen Als komplexe Variable wird eine Klasse analytischer Funktionen konstruiert. Die Ableitung des Integrals (2.48) wird durch die Formel bestimmt

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Um die Formel (2.49) und damit die Aussage über die Analytizität des Cauchy-Typ-Integrals zu beweisen, reicht es gemäß der Definition der Ableitung aus, die Gültigkeit der Ungleichung festzustellen

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

für jedes \varepsilon>0 und für jedes z aus dem Definitionsbereich der Funktion F(z) .

Mit der gleichen Methode kann gezeigt werden, dass es eine Ableitung der durch Gleichung (2.49) definierten Funktion gibt, d. h. F""(z) , und die Formel ist gültig

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Das Verfahren kann fortgesetzt und durch Induktion die Formel für die Ableitung beliebiger Ordnung der Funktion F(z)\colon bewiesen werden

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Bei der Analyse der Formeln (2.48) und (2.49) lässt sich leicht überprüfen, dass die Ableitung F(z) formal durch Differenzieren nach dem Parameter unter dem Integralzeichen in (2.48) erhalten werden kann:

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! \left(\frac(f (\xi))(\xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Wenn wir die Regel zur Differenzierung des Integrals in Abhängigkeit vom Parameter n-mal formal anwenden, erhalten wir die Formel (2.50).

Die in diesem Abschnitt erzielten Ergebnisse schreiben wir in Form einer Stellungnahme nieder.

Aussage 2.26. Integral \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi einer auf einer Kurve stetigen Funktion f(z) ist eine Funktion, die in jedem Bereich D, der l nicht enthält, analytisch ist; Ableitungen dieser Funktion können durch Differentiation nach dem Parameter unter dem Integralzeichen erhalten werden.

Berechnung von Integralen von Funktionen einer komplexen Variablen

Oben haben wir Formeln zur Berechnung von Integralen von Funktionen einer komplexen Variablen erhalten – Formeln (2.44) und (2.47).

Wenn die Kurve l in Formel (2.44) parametrisch angegeben wird: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta oder, was der tatsächlichen Form entspricht: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, dann können wir unter Verwendung der Regeln zur Berechnung von Integralen zweiter Art im Fall einer parametrischen Definition einer Kurve die Formel (2.44) in die Form umwandeln

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Wir werden das erzielte Ergebnis und die in der vorherigen Vorlesung erzielten Ergebnisse als Handlungsfolge aufschreiben.

Methoden zur Berechnung von Integralen \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Erster Weg. Berechnung von Integralen \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) von einer stetigen Funktion durch Reduktion auf krummlinige Integrale von Funktionen reeller Variablen – Anwendung der Formel (2.44).

1. Finden \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.

2. Schreiben Sie den Integranden f(z)dz als Produkt (u+iv)(dx+i\,dy) oder multiplizieren Sie u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Berechnen Sie krummlinige Integrale der Form \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Wo P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) nach den Regeln zur Berechnung krummliniger Integrale zweiter Art.

Zweiter Weg. Berechnung von Integralen \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) von einer stetigen Funktion durch Reduktion auf ein bestimmtes Integral bei parametrischer Definition des Integrationsweges – Anwendung der Formel (2.51).

1. Schreiben Sie die parametrische Gleichung der Kurve z=z(t) auf und bestimmen Sie daraus die Integrationsgrenzen: t=\alpha entspricht dem Startpunkt des Integrationspfades, t=\beta - dem Endpunkt.

2. Finden Sie das Differential einer komplexwertigen Funktion z(t)\colon\, dz=z"(t)dt.
3. Setze z(t) in den Integranden ein und transformiere das Integral

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Berechnen Sie das bestimmte Integral der in Schritt 3 erhaltenen komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen.

Beachten Sie, dass sich die Integration einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen nicht von der Integration einer reellwertigen Funktion unterscheidet. Der einzige Unterschied besteht im ersten Fall im Vorhandensein eines Faktors i, dessen Aktionen natürlich als Konstanten betrachtet werden. Zum Beispiel,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Dritter Weg. Berechnung von Integralen analytischer Funktionen in einfach zusammenhängenden Gebieten – Anwendung der Formel (2.47).

1. Finden Sie die Stammfunktion F(z) mithilfe der Eigenschaften von Integralen, Tabellenintegralen und Methoden, die aus der reellen Analysis bekannt sind.

2. Wenden Sie die Formel (2.47) an: \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Hinweise 2.10

1. Im Fall einer mehrfach zusammenhängenden Region werden Schnitte durchgeführt, sodass eine einwertige Funktion F(z) erhalten werden kann.

2. Bei der Integration einwertiger Zweige mehrwertiger Funktionen wird der Zweig dadurch unterschieden, dass der Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt der Integrationskurve angegeben wird. Ist die Kurve geschlossen, so gilt als Ausgangspunkt des Integrationspfades der Punkt, an dem der Wert des Integranden gegeben ist. Der Wert des Integrals kann von der Wahl dieses Punktes abhängen.

▼ Beispiele 2.80-2.86 zur Berechnung von Integralen von Funktionen einer komplexen Variablen

Beispiel 2.80. Berechnung \int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz, wobei l die Linie ist, die den Punkt z_1=0 mit dem Punkt z_2=1+i\colon verbindet

a) l - gerade; b) l - gestrichelte Linie OBA, wo O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ Lösung

a) Wir wenden die erste Methode an – (Formel (2.44)).

1.2. Der Integrand hat die Form \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Deshalb

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Berechnen Sie die Integrale bei y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(Gleichung des Segments OA, das die Punkte z_1 und z_2 verbindet). Wir bekommen

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Da der Integrationspfad aus zwei Segmenten besteht, schreiben wir das Integral als Summe zweier Integrale:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz

und wir berechnen jeden einzelnen wie im vorherigen Absatz. Darüber hinaus haben wir für das Segment OB

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) und für das Segment BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Wir führen Berechnungen durch:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Beachten Sie, dass der Integrand in diesem Beispiel keine analytische Funktion ist, sodass die Integrale entlang zweier verschiedener Kurven, die zwei gegebene Punkte verbinden, unterschiedliche Werte haben können, wie in diesem Beispiel dargestellt.

Beispiel 2.81. Berechnung \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, wobei l der obere Halbkreis |z|=1 ist, der die Kurve l gegen den Uhrzeigersinn durchläuft.

▼ Lösung

Die Kurve hat eine einfache parametrische Gleichung z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, daher ist es zweckmäßig, die zweite Methode (Formel (2.51)) zu verwenden. Der Integrand ist hier eine stetige Funktion und nicht analytisch.

1.2. Für z=e^(it) finden wir \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. In den Integranden einsetzen. Berechnen Sie das Integral

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Beispiel 2.82. Berechnen Sie Integrale analytischer Funktionen:

A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; B) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), der Integrationspfad verläuft nicht durch Punkt i.

▼ Lösung

a) Wenden Sie Formel (2.47) an (dritte Regel); Wir finden die Stammfunktion mithilfe der Integrationsmethoden der reellen Analysis:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatorname(sh)2).

b) Der Integrand ist überall außer Punkt i analytisch. Indem wir die Ebene entlang des Strahls vom Punkt i bis \infty schneiden, erhalten wir einen einfach zusammenhängenden Bereich, in dem die Funktion analytisch ist und das Integral mit der Formel (2.47) berechnet werden kann. Daher können Sie für jede Kurve, die nicht durch Punkt i verläuft, das Integral mit der Formel (2.47) berechnen, und für zwei gegebene Punkte hat es den gleichen Wert.

In Abb. Abbildung 2.44 zeigt zwei Fälle von Schnitten. Die Richtung des Durchquerens der Grenze einfach zusammenhängender Regionen, in denen der Integrand analytisch ist, wird durch Pfeile angezeigt. Wir berechnen das Integral:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Beispiel 2.83. Integral berechnen \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Lösung

Der Integrand ist überall in \mathbb(C) analytisch. Wir verwenden die dritte Methode, Formel (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Dieses Ergebnis wurde in Beispiel 2.78 nach der ersten Methode erhalten.

Beispiel 2.84. Integral berechnen \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), wobei C der Kreis |z-a|=R ist.

▼ Lösung

Lassen Sie uns die zweite Methode verwenden.

1. Wir schreiben die Kreisgleichung in parametrischer Form: z-a=R\,e^(it) , oder z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Finden Sie das Differential dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Setze z=a+R\,e^(it) und dz in den Integranden ein:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Wir berechnen das resultierende bestimmte Integral. Für n\ne1 erhalten wir

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Als e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Deshalb \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 bei n\ne1 . Für n=1 erhalten wir \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Schreiben wir das Ergebnis als Formel:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Insbesondere, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Beachten Sie, dass, wenn der Kreis C\colon |z-a|=R k-mal von einem Punkt durchquert wird, sich das Argument (Parameter) von 0 auf 2\pi k ändert (k>0, wenn die Durchquerung in positiver Richtung erfolgt, d. h. gegen den Uhrzeigersinn und k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Beispiel 2.85. Berechnen Sie das Integral einer Funktion einer komplexen Variablen \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) der Integrationspfad geht nicht durch den Punkt z=0 und umgeht ihn nicht, -\Pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) Der Integrationspfad verläuft nicht durch den Punkt z=0, sondern umrundet ihn n-mal um den Kreis gegen den Uhrzeigersinn.

▼ Lösung

a) Dieses Integral – ein Integral mit variabler Obergrenze – definiert eine einwertige analytische Funktion in jedem einfach zusammenhängenden Bereich (siehe 2.45)). Suchen wir einen analytischen Ausdruck für diese Funktion – die Stammfunktion für f(z)=\frac(1)(z) . Trennung von Real- und Imaginärteil des Integrals \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(mit Hilfe der Formel (2.44)) lässt sich leicht überprüfen, dass die Integranden von Integralen zweiter Art vollständige Differentiale sind und daher das Integral \frac(d\xi)(\xi) nicht von der Art der Kurve abhängt Verbinden der Punkte z_1=1 und z. Wählen wir einen Pfad, der aus einem Segment der Ox-Achse vom Punkt z_1=1 zum Punkt z_2=r besteht, wobei r=|z| , und Bögen l eines Kreises. z_2 mit z verbinden (Abb. 2.45, a).

Wir schreiben das Integral als Summe: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Um das Integral über einen Kreisbogen zu berechnen, verwenden wir die Formel (2.51), der Bogen hat die Gleichung \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Wir bekommen \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; ergebend

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Die rechte Seite der Gleichheit definiert eine einwertige Funktion \ln z – den Hauptwert des Logarithmus. Die Antwort erhalten wir im Formular

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Beachten Sie, dass die resultierende Gleichheit als Definition einer einwertigen Funktion \ln z in einem einfach zusammenhängenden Bereich angesehen werden kann – einer Ebene mit einem Schnitt entlang der negativen reellen Halbachse (-\infty;0] .

b) Das Integral kann als Summe geschrieben werden: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), wobei c ein Kreis |z|=1 ist, der n-mal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird, und l eine Kurve ist, die die Punkte z_1 und z verbindet und den Punkt z=0 nicht abdeckt (Abb. 2.45, b).

Der erste Term ist gleich 2n\pi i (siehe Beispiel 2.84), der zweite ist \ln(z) - Formel (2.53). Wir bekommen das Ergebnis \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Beispiel 2.86. Integral berechnen \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) entlang des oberen Kreisbogens |z|=1 vorausgesetzt: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Lösung

Durch Festlegen der Werte der Funktion \sqrt(z) an einem Punkt der Integrationskontur können Sie eindeutige Zweige des Ausdrucks auswählen \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(siehe Beispiel 2.6). Der Schnitt kann beispielsweise entlang einer gedachten negativen Halbachse erfolgen. Da gilt für z=1 \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, dann wird im ersten Fall der Zweig mit k=0 ausgewählt, im zweiten - mit k=1. Der Integrand auf der Integrationskontur ist stetig. Zur Lösung verwenden wir die Formel (2.51) und definieren die Kurve durch die Gleichung z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Der Zweig wird bei k=0 bestimmt, d.h. aus z=e^(it) für den Integranden erhalten wir \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Wir berechnen das Integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) Der Zweig wird bei k=1 bestimmt, d.h. aus z=e^(it) für den Integranden, den wir haben \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Wir berechnen das Integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

In Theorie und Praxis werden bei Anwendungen der Integralrechnung von Funktionen einer komplexen Variablen, bei der Untersuchung des Verhaltens von Funktionen in begrenzten Bereichen oder in der Nähe einzelner Punkte Integrale über geschlossenen Kurven betrachtet – den Grenzen von Bereichen, insbesondere Umgebungen von Punkte. Wir werden die Integrale betrachten \oint\limits_(C)f(z)dz, wobei f(z) in einem c-Bereich mit Ausnahme einzelner Punkte analytisch ist, ist C die Grenze des Bereichs oder die Innenkontur in diesem Bereich.

Cauchys Grundsatz für eine einfache Kontur

Satz 2.1 (Satz von Cauchy für eine einfache Kontur). Wenn f(z) in einem einfach zusammenhängenden Bereich analytisch ist, dann gilt für jede Kontur C, die zu diesem Bereich gehört, die folgende Gleichheit:

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Der Beweis des Satzes lässt sich leicht anhand der Eigenschaft analytischer Funktionen erhalten, wonach eine analytische Funktion Ableitungen beliebiger Ordnung hat (siehe Aussage 2.28). Diese Eigenschaft stellt die Kontinuität partieller Ableitungen von sicher \operatorname(Re)f(z) Und \operatorname(Im)f(z) Wenn wir also Formel (2.44) verwenden, ist es leicht zu erkennen, dass für jeden der Integranden in krummlinigen Integralen zweiter Art die Bedingungen des Gesamtdifferentials erfüllt sind, wie die Cauchy-Riemann-Bedingungen analytischer Funktionen. Und Integrale über geschlossene Kurven aus totalen Differentialen sind gleich Null.

Beachten Sie, dass alle im Folgenden vorgestellten theoretischen Positionen letztlich auf diesem wichtigen Satz basieren, einschließlich der oben genannten Eigenschaft analytischer Funktionen. Damit kein Zweifel an der Richtigkeit der Darstellung besteht, weisen wir darauf hin, dass der Beweis des Satzes ohne Bezugnahme auf die Existenz seiner Ableitungen nur auf der Grundlage der Definition einer analytischen Funktion möglich ist.

Folgerungen aus Satz 2.1

1. Der Satz gilt auch, wenn C der Rand des Bereichs D ist und die Funktion f(z) im Bereich und auf dem Rand analytisch ist, d. h. in \overline(D), da per Definition die Analytizität in \overline(D) die Analytizität der Funktion in einem enthaltenden Bereich B impliziert D~(B\supset\overline(D)) und C ist die Innenkontur in B.

2. Integrale über verschiedene Kurven, die in einem einfach zusammenhängenden Analysebereich einer Funktion liegen und zwei Punkte dieses Bereichs verbinden, sind einander gleich, d.h. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, wobei l_1 und l_2 beliebige Kurven sind, die die Punkte z_1 und z_2 verbinden (Abb. 2.46).

Um dies zu beweisen, genügt es, die Kontur C zu betrachten, bestehend aus der Kurve l_1 (vom Punkt z_1 zum Punkt z_2) und der Kurve l_2 (vom Punkt z_2 zum Punkt z_1). Die Eigenschaft lässt sich wie folgt formulieren. Das Integral einer analytischen Funktion hängt nicht von der Art der Integrationskurve ab, die zwei Punkte im Analysebereich der Funktion verbindet und diesen Bereich nicht verlässt.

Dies liefert eine Rechtfertigung für die oben gegebene Aussage 2.25 über die Eigenschaften des Integrals \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi und über die Existenz einer primitiven analytischen Funktion.

Satz von Cauchy für eine komplexe Kontur

Satz 2.2 (Satz von Cauchy für eine komplexe Kontur). Wenn die Funktion f(z) in einem durch eine komplexe Kontur begrenzten mehrfach zusammenhängenden Bereich analytisch ist, und auf dieser Kontur, dann ist das Integral der Funktion über die Grenze des Bereichs gleich Null, d. h. wenn C eine komplexe Kontur ist - die Grenze der Domäne, dann gilt Formel (2.54).

Eine komplexe Kontur C für einen (n+1)-verbundenen Bereich besteht aus einer Außenkontur \Gamma und einer Innenkontur C_i,~i=1,2,\ldots,n; die Konturen schneiden sich nicht paarweise, der Randumweg ist positiv (in Abb. 2.47, n=3).

Um Satz 2.2 zu beweisen, reicht es aus, Schnitte in der Region (gestrichelte Linie in Abb. 2.47) vorzunehmen, sodass zwei einfach zusammenhängende Regionen entstehen, und Satz 2.1 zu verwenden.

Folgerungen aus Satz 2.2

1. Wenn die Bedingungen von Satz 2.2 erfüllt sind, ist das Integral über die Außenkontur gleich der Summe der Integrale über die Innenkonturen; Bypass auf allen Stromkreisen in einer Richtung (in Abb. 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Wenn f(z) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet D und am Rand des Gebiets analytisch ist, mit der möglichen Ausnahme von Punkt a dieses Gebiets, dann sind die Integrale über verschiedene geschlossene Kurven, die im Gebiet D liegen und das begrenzen Bereiche, die den Punkt a enthalten, sind untereinander gleich (Abb. 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Der Beweis liegt auf der Hand, da jede dieser Konturen als innere Grenze einer doppelt zusammenhängenden Region betrachtet werden kann, deren äußere Grenze die Grenze der Region D ist. Gemäß Formel (2.55) ist für n=1 jedes solche Integral gleich dem Integral über dem Rand D.

Der Vergleich der Formulierungen von Satz 2.2 und Korollar 1 aus Satz 2.1 ermöglicht uns eine Verallgemeinerung, die wir in Form der folgenden Aussage formulieren.

Aussage 2.27. Wenn f(z) in D analytisch ist, dann ist C die Grenze der Domäne D (einfache oder komplexe Kontur).

Integrale Cauchy-Formel

Der nächste Satz betrachtet im Gegensatz zu den beiden vorherigen das Integral einer Funktion, das zwar in dem durch die Integrationskontur begrenzten Bereich nicht analytisch ist, aber eine besondere Form hat.

Satz 2.3. Wenn die Funktion f(z) im Bereich D und auf ihrem Rand C analytisch ist, dann gilt für jeden internen Punkt a des Bereichs (a\in D) die Gleichheit

f(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Region D kann einfach oder mehrfach verbunden sein, und die Grenze der Region kann eine einfache oder komplexe Kontur sein.

Der Beweis für den Fall einer einfach zusammenhängenden Domäne basiert auf dem Ergebnis von Satz 2.1 und wird für eine mehrfach zusammenhängende Domäne auf den Fall einfach zusammenhängender Domänen reduziert (wie im Beweis von Satz 2.2), indem Schnitte durchgeführt werden, die dies nicht tun durch den Punkt a gehen.

Es ist zu beachten, dass Punkt a nicht zur Grenze der Region gehört und daher der Integrand auf C stetig ist und das Integral existiert.

Der Satz ist von wichtigem angewandtem Interesse, nämlich nach Formel (2.57) wird das sogenannte Randwertproblem der Funktionentheorie gelöst: Aus den Werten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs wird ihr Wert an jedem beliebigen internen Wert ermittelt Punkt bestimmt ist.

Bemerkung 2.11. Unter den Bedingungen des Satzes ist das Integral \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definiert eine analytische Funktion an jedem Punkt z, der nicht zur Kontur C gehört, und an Punkten des durch die Kontur begrenzten endlichen Bereichs D ist sie gleich f(z) (gemäß Formel (2.57)) und außerhalb von \overline( D) es ist aufgrund des Satzes von Cauchy gleich Null. Dieses als Cauchy-Integral bezeichnete Integral ist ein Sonderfall des Cauchy-Integrals (2.48). Hier ist die Kontur geschlossen, im Gegensatz zur arbiträren in (2.48), und die Funktion f(z) ist analytisch, im Gegensatz zu stetig auf l in (2.48). Für das Cauchy-Integral gilt daher die Aussage 2.26 über die Existenz von Ableitungen, formuliert für ein Integral vom Cauchy-Typ. Darauf aufbauend lässt sich folgende Aussage formulieren.

Aussage 2.28

1. Die analytische Funktion kann an jedem Punkt der Analytizität als Integral geschrieben werden

f(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Eine analytische Funktion hat Ableitungen beliebiger Ordnung, für die die Formel gilt

f^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Formel (2.59) liefert eine integrale Darstellung der Ableitungen der analytischen Funktion.

Berechnung von Integralen im geschlossenen Regelkreis

Wir werden Integrale der Form betrachten \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, wobei die Funktion \varphi(z) in D analytisch ist und \psi(z) ein Polynom ist, das keine Nullstellen auf der Kontur C hat. Zur Berechnung von Integralen werden die Sätze aus der vorherigen Vorlesung und deren Folgerungen verwendet.

Regel 2.6. Bei der Berechnung von Integralen der Form \oint\limits_(C)f(z)\,dz Abhängig von der Art (Multiplizität) der Nullstellen des Polynoms \psi(z) und ihrer Lage relativ zur Kontur C können vier Fälle unterschieden werden.

1. Es gibt keine Nullstellen des Polynoms \psi(z) im Bereich D. Dann f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) Die Funktion ist analytisch und unter Anwendung des Fundamentalsatzes von Cauchy erhalten wir das Ergebnis \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. Im Bereich D gibt es eine einfache Nullstelle z=a des Polynoms \psi(z). Dann schreiben wir den Bruch in der Form \frac(f(z))(z-a) , wobei f(z) eine Funktion ist, die in \overline(D) analytisch ist. Wenn wir die Integralformel anwenden, erhalten wir das Ergebnis:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. Im Bereich D gibt es eine mehrfache Nullstelle z=a des Polynoms \psi(z) (des Vielfachen n). Dann schreiben wir den Bruch in das Formular \frac(f(z))((z-a)^n), wobei f(z) eine Funktion ist, die in \overline(D) analytisch ist. Mit der Formel (2.59) erhalten wir das Ergebnis

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. Region D enthält zwei Nullstellen des Polynoms \psi(z)\colon\,z_1=a und z_2=b . Dann schreiben wir unter Verwendung von Korollar 1 aus Satz 2.2 das Integral in der Form

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,

wobei C_1 und C_2 die Grenzen disjunkter Umgebungen der Punkte z_1 und z_2 sind. Für jedes der erhaltenen Integrale führen wir weitere Berechnungen gemäß den Absätzen 2 und 3 durch. Selbstverständlich können wir auch Fälle mit einer größeren Anzahl von Nullstellen berücksichtigen \psi(z)

Betrachten Sie einen doppelt verbundenen Bereich, dessen eine Grenze die Kontur C und die andere der Kreis |z-a|=R ist. Nach Korollar 2 aus Satz 2.2 (siehe (2.56)) gilt

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Lösung von Beispiel 2.84 (Formel (2.52)) erhalten wir die Antwort \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Beachten Sie, dass die Lösung durch Anwendung der Cauchy-Integralformel mit f(z)=1 erhalten werden kann. Insbesondere erhalten wir \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, da die Kontur C den Punkt z=0 einmal umrundet. Wenn die Kontur C den Punkt z=0 k-mal in positiver (k>0) oder negativer Richtung (k) umläuft<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Beispiel 2.88. Berechnung \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), wobei l eine Kurve ist, die die Punkte 1 und z verbindet und einmal um den Ursprung herum verläuft.

▼ Lösung

Der Integrand ist auf der Kurve stetig – das Integral existiert. Für die Berechnung verwenden wir die Ergebnisse des vorherigen Beispiels und Beispiel 2.85. Betrachten Sie dazu einen geschlossenen Kreis, der beispielsweise Punkt A mit Punkt 1 verbindet (Abb. 2.50). Der Integrationspfad von Punkt 1 zu Punkt z durch Punkt A kann nun als aus zwei Kurven bestehend dargestellt werden – einer geschlossenen Kontur C (Kurve BDEFAB) und einer Kurve l_0, die die Punkte 1 und z durch Punkt A\colon verbindet

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Mit den Ergebnissen der Beispiele 2.85 und 2.87 erhalten wir die Antwort:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Ohne das geometrische Bild zu ändern, können wir den Fall betrachten, dass die Kurve n-mal um den Ursprung verläuft. Lassen Sie uns das Ergebnis erhalten

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Der resultierende Ausdruck definiert eine mehrwertige Funktion \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), der Integrationspfad verläuft nicht durch den Ursprung. Die Wahl des Zweigs eines mehrwertigen Ausdrucks wird durch die Angabe des Werts der Funktion an einem bestimmten Punkt bestimmt.

Beispiel 2.90. Berechnen Sie in den folgenden Fällen die Spezifikationen der Kontur C\colon a) |z-2-i|=2 ; b) |z+2i|=1 .

▼ Lösung

Wir finden die Nullstellen des Nenners – die singulären Punkte des Integranden. Das sind die Punkte z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Als nächstes müssen Sie die Position der Punkte relativ zur Integrationskontur bestimmen. In beiden Fällen ist keiner der Punkte in dem durch die Kontur begrenzten Bereich enthalten. Sie können dies anhand der Zeichnung überprüfen. Beide Konturen sind Kreise, der Mittelpunkt der ersten ist z_0=2+i und der Radius R=2; Mittelpunkt der Sekunde z_0=-2i und R=1. Sie können die Zugehörigkeit eines Punktes zu einer Region auf andere Weise bestimmen, nämlich seinen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises bestimmen und ihn mit dem Wert des Radius vergleichen. Für den Punkt z_2=4i ist dieser Abstand beispielsweise gleich |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), der größer als der Radius (\sqrt(13)>2) ist, also gehört z_2=4i nicht zum Kreis |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Beispiel 2.91. Berechnung \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz in den folgenden Fällen der Konturangabe C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2 .

▼ Lösung

Wenn wir wie im vorherigen Beispiel argumentieren, stellen wir fest, dass in beiden Fällen nur einer der singulären Punkte z_1=0 innerhalb der Kreise liegt. Daher schreiben wir die Integrandenfunktion unter Verwendung von Absatz 2 der Regeln 2.6 (Cauchy-Integralformel) als Bruch \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16) Integrationskonturen sind wie oben Kreise, und im Fall „a“ liegt der Mittelpunkt im Punkt z_0=-4i,~R =2, im Fall „b“ – am Punkt z_0=1-3i,~R=2.nIn beiden Fällen liegt ein Punkt z_0=-4i innerhalb der entsprechenden Kreise. Unter Anwendung von Abschnitt 2 der Regeln 2.6 schreiben wir die Integrandenfunktion in der Form \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), wobei der Zähler f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) ist eine analytische Funktion in den betrachteten Bereichen. Wenn wir die Integralformel anwenden, erhalten wir die Antwort:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.

Beispiel 2.93. Integral berechnen \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) in folgenden Fällen der Konturangabe: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2 .

▼ Lösung

Wir finden die singulären Punkte des Integranden – die Nullstellen des Nenners z_1=i,~z_2=-2. Wir stellen fest, dass die Punkte zu den entsprechenden Bereichen gehören. Im Fall von „a“ im Kreis |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

Im Fall „b“ im Kreis |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2) a) In den Kreis |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) und wenden Sie Abschnitt 3 der Regeln 2.6 mit m=2 und a=i an. Wir berechnen das Integral:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\right)")\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) In den Kreis |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

1. Grundlegende Konzepte und Aussagen

Satz 5.1(eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Integrals einer Funktion einer komplexen Variablen). Lassen L– eine einfache glatte Kurve auf , F(z)=u(X;j)+i×v(X;j) ist kontinuierlich eingeschaltet L. Dann existiert und es gilt folgende Gleichheit:

Satz 5.2. Lassen L– eine einfache glatte Kurve, parametrisch definiert: L:z(T)=X(T)+i×y(T), A£ T£ B, Funktion F(z) ist kontinuierlich eingeschaltet L. Dann gilt die Gleichheit:

(Wo ). (5.2)

Satz 5.3. Wenn F(z) analytisch im Feld D Funktion also - analytische Funktion und F"(z)=F(z), wobei das Integral über jede stückweise glatte Kurve übernommen wird, die die Punkte verbindet z 0 und z.

- Newton-Leibniz-Formel.

2. Methoden zur Berechnung des Integrals

Erster Weg. Berechnung von Integralen einer stetigen Funktion durch Reduktion auf krummlinige Integrale von Funktionen reeller Variablen (Anwendung der Formel (5.1)).

1. Finden Sie Re F=u, Ich bin F=v.

2. Schreiben Sie den Integranden F(z)dz in Form eines Produkts ( u+iv)(dx+idyllisch)=udx-vdy+ich(Udy+vdx).

3. Berechnen Sie krummlinige Integrale der Form nach den Regeln zur Berechnung krummliniger Integrale zweiter Art.

Beispiel 5.1 . Berechnung durch Parabel y=x 2 von Punkt z 1 =0 bis Punkt z 2 =1+ich.

■ Finden wir den Real- und Imaginärteil des Integranden. Dazu ersetzen wir den Ausdruck for F(z) z=x+iy:

Als y=x 2 also dy= 2X, . Deshalb

Zweiter Weg. Berechnung von Integralen einer stetigen Funktion durch Reduktion auf ein bestimmtes Integral bei parametrischer Definition des Integrationspfades (Anwendung der Formel (5.2)).

1. Schreiben Sie die parametrische Gleichung der Kurve z=z(T) und bestimmen Sie die Grenzen der Integration: t=a entspricht dem Ausgangspunkt des Integrationspfades, t=b- endgültig.

2. Finden Sie das Differential einer komplexwertigen Funktion z(T): dz=z¢( T)dt.

3. Ersatz z(T) in einen Integranden umwandeln, transformieren Sie das Integral in die Form: .

4. Berechnen Sie das resultierende bestimmte Integral.

Beispiel 5.2 . Berechnen Sie wo MIT- Kreisbogen, .

■ Parametrische Gleichung dieser Kurve: , 0 £ J£ P. Dann . Wir bekommen

Beispiel 5.3 . Berechnen Sie wo MIT– der obere Bogen des Kreises bereitgestellt: a) , b) .

■ Durch die Angabe von Funktionswerten in der Integrationsschleife können Sie eindeutige Zweige des Ausdrucks auswählen , k= 0,1. Seit wann haben wir , k= 0,1, dann wählen wir im ersten Fall den Zweig mit aus k= 0, und im zweiten – von k= 1.

Der Integrand auf der Integrationskontur ist stetig. Parametrische Gleichung dieser Kurve: , 0 £ J£ P. Dann .

a) Der Zweig wird wann bestimmt k= 0, das heißt, aus wir bekommen .

b) Der Zweig wird wann bestimmt k=1, d. h. aus wir erhalten .

Dritter Weg. Berechnung von Integralen analytischer Funktionen in einfach zusammenhängenden Bereichen (Anwendung der Formel (5.3)).

Finden Sie die Stammfunktion F(z), unter Verwendung der Eigenschaften von Integralen, Tabellenintegralen und Methoden, die aus der realen Analysis bekannt sind. Wenden Sie die Newton-Leibniz-Formel an: .

Beispiel 5.4 . Berechnung , Wo MIT- gerade AB, z A=1-ich,z V=2+ich.

■ Seit der Integrandenfunktion - analytisch auf der gesamten komplexen Ebene, dann wenden wir die Newton-Leibniz-Formel an

3. Grundsätze der Integralrechnung

Funktionen einer komplexen Variablen

Satz 5.4 (Cauchy). Wenn F(z G Funktion, dann wo L- jede darin liegende geschlossene Kontur G.

Der Satz von Cauchy gilt auch für einen mehrfach zusammenhängenden Bereich.

Satz 5.5. Lassen Sie die Funktion F(z) analytisch in einem einfach zusammenhängenden Bereich D, L-beliebige geschlossene stückweise glatte Kontur liegend in D. Dann für jeden Punkt z 0 liegt innerhalb der Kontur L, die Formel ist richtig:

, (5.4)

Wo L bewegt sich in eine positive Richtung.

Formel (5.4) heißt Cauchy-Integralformel . Es drückt die Werte einer analytischen Funktion innerhalb einer Kontur durch ihre Werte auf der Kontur aus.

Satz 5.6. Jede Funktion F(z), analytisch im Feld D, hat Ableitungen aller Ordnungen auf dieser Domäne und für „ z 0 Î D die Formel stimmt:

, (5.5)

Wo L– eine beliebige stückweise glatte geschlossene Kontur, die vollständig darin liegt D und enthält einen Punkt im Inneren z 0 .

4.Berechnung von Integralen über einen geschlossenen Regelkreis

aus Funktionen einer komplexen Variablen

Betrachten wir Integrale der Form , wobei die Funktion J(z) analytisch in , und j(z) – ein Polynom, das auf einer geschlossenen Kontur keine Nullstellen hat MIT.

Regel. Bei der Berechnung von Integralen ist die Form abhängig von der Nullstellenvielfalt des Polynoms j(z) und ihre Lage relativ zur Kontur MIT Es können 4 Fälle unterschieden werden.

1. In der Gegend D keine Polynomnullstellen j(z). Dann ist die Funktion analytisch und nach dem Satz von Cauchy.

2. In der Gegend D es gibt eine einfache Null z=z 0 Polynom j(z). Dann schreiben wir den Bruch in der Form wo F(z) ist eine analytische Funktion. Durch Anwendung der Cauchy-Integralformel (5.4) erhalten wir

. (5.6)

3. In der Gegend D eine mehrfache Nullstelle liegt z=z 0 Polynom j(z) (Vielfalt N). Dann schreiben wir den Bruch in der Form wo F(z) ist eine analytische Funktion in Anwendung der Formel (5.5) erhalten wir

4. In der Gegend D zwei Nullstellen des Polynoms liegen j(z) z=z 1 und z=z 2. Dann stellen wir den Integranden als Summe zweier Brüche und das Integral als Summe zweier Integrale dar, die jeweils nach Satz 2 oder Satz 3 berechnet werden.

Beispiel 5.5 . Berechnen Sie wo MIT- Kreis.

■ Finden der Nullstellen des Nenners – singuläre Punkte des Integranden . Das sind die Punkte. Als nächstes bestimmen wir die Position der Punkte relativ zur Integrationskontur: Keiner der Punkte ist in der Fläche enthalten, die von einem Kreis mit Mittelpunkt am Punkt und Radius 2 begrenzt wird (d. h. wir haben den ersten Fall). Sie können dies überprüfen, indem Sie den Abstand jedes Punktes zum Mittelpunkt des Kreises einzeichnen oder bestimmen und ihn mit dem Radius vergleichen. Zum Beispiel gehört for daher nicht zum Kreis.

Dann die Funktion analytisch im Kreis und nach dem Satz von Cauchy .

Beachten Sie, dass das gegebene Integral auch für jede andere Kontur, die den Bereich begrenzt und keine der Nullstellen des Nenners enthält, gleich Null ist. ■

Beispiel 5.6 . Berechnen Sie wo MIT- Kreis.

■ Argumentieren wir wie in Beispiel 5.5, stellen wir fest, dass nur eine der Nullstellen des Nenners im Kreis liegt (zweiter Fall). Daher schreiben wir die Integrandenfunktion in der Form Funktion analytisch im Kreis. Dann nach Formel (5.6)

.■

Beispiel 5.7 . Berechnung , Wo MIT- Kreis.

1. Grundkonzepte

2. Berechnung von Integralen von Funktionen einer komplexen Variablen

3. Beispiele für die Berechnung von Integralen von Funktionen einer komplexen Variablen

4. Cauchys Hauptsatz für eine einfache Kontur

5. Satz von Cauchy für eine komplexe Kontur

6. Cauchy-Integralformel

7. Berechnung von Integralen über einen geschlossenen Regelkreis

8. Beispiele für die Berechnung von Integralen über einen geschlossenen Regelkreis

Grundlegendes Konzept

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

Formel (2.43) bestimmt Linienintegral einer Funktion einer komplexen Variablen. Wenn wir den Real- und Imaginärteil der Funktion f(z) trennen, d.h. schreibe es in das Formular

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Beispiel 2.79. Berechnen Sie Integrale und \int\limits_(OA)z\,dz, wo Zeile OA

a) eine gerade Linie, die die Punkte z_1=0 und z_2=1+i verbindet,
b) gestrichelte Linie OBA, wo O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Lösung

1. Berechnen Sie das Integral \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Hier f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Wir schreiben das Integral als krummlinige Integrale zweiter Art:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

was der Formel (2.44) entspricht. Wir berechnen die Integrale:

a) Der Integrationspfad ist also ein gerades Liniensegment \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Das Integral der Funktion f(z)=\overline(z) hängt von der Wahl des Integrationspfades ab, der die Punkte O und A verbindet.

2. Berechnen Sie das Integral \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) hier f(z)=z=x+iy . Wir schreiben das Integral als krummlinige Integrale zweiter Art

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Aufgrund der Unabhängigkeit des Integrals von der Form des Integrationspfades lässt sich die Aufgabe in diesem Fall allgemeiner formulieren: Berechnen Sie das Integral

\int\limits_(l)z\,dz vom Punkt z_1=0 zum Punkt z_2=1+i.

Im nächsten Absatz werden wir solche Integrationsfälle genauer betrachten.

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Die Funktion F(z) ist ein Integral mit variabler Obergrenze.

F"(z)=f(z).

Die Ableitung eines Integrals mit variabler Obergrenze ist gleich dem Wert des Integranden an der Obergrenze.

Aus den Punkten 2 und 3 erhalten wir die folgende Aussage.

Aussage 2.25

2. Jede analytische Funktion in einem einfach zusammenhängenden Bereich enthält eine Stammfunktion (die Existenz einer Stammfunktion).

Zum Beispiel, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Wie in der realen Analysis werden im komplexen Bereich zusätzlich zu Integralen, die einen Parameter innerhalb der Integrationsgrenzen enthalten (Formel (2.45) gibt das einfachste Beispiel für solche Integrale), Integrale berücksichtigt, die von dem im Integranden enthaltenen Parameter abhängen : \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Unter solchen Integralen nimmt ein Integral der Form einen wichtigen Platz in der Theorie und Praxis komplexer Integration und Anwendungen ein \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integral (2.48) wird als Cauchy-Integral bezeichnet; Der Faktor \frac(1)(2\pi\,i) wird zur Vereinfachung der Verwendung der konstruierten Funktion eingeführt.

Für diese Funktion ist wie für die durch Gleichheit (2.45) definierte Funktion bewiesen, dass sie überall im Definitionsbereich analytisch ist. Darüber hinaus ist es hier im Gegensatz zum Integral (2.45) nicht erforderlich, dass die erzeugende Funktion f(z) analytisch ist, d. h. Mithilfe der Formel (2.48) wird eine Klasse analytischer Funktionen auf der Klasse stetiger Funktionen einer komplexen Variablen konstruiert. Die Ableitung des Integrals (2.48) wird durch die Formel bestimmt