Quadratwurzel aus 27. Was ist Quadratwurzel?

Und hast du? Taschenrechnersucht? Oder glauben Sie, dass die Berechnung beispielsweise sehr schwierig ist, außer mit einem Taschenrechner oder einer Quadrattabelle?

Es kommt vor, dass Schulkinder an einen Taschenrechner gebunden sind und durch Drücken der begehrten Tasten sogar 0,7 mit 0,5 multiplizieren. Sie sagen: Nun ja, ich weiß immer noch, wie man rechnet, aber jetzt spare ich Zeit... Wenn die Prüfung kommt... dann werde ich mich anstrengen...

Fakt ist also, dass es schon während der Prüfung viele „Stressmomente“ geben wird... Wie man so schön sagt, trägt Wasser Steine ​​ab. Bei einer Prüfung können Kleinigkeiten, selbst wenn es viele sind, einen ruinieren...

Lassen Sie uns die Anzahl möglicher Probleme minimieren.

Ziehen der Quadratwurzel einer großen Zahl

Wir werden jetzt nur auf den Fall eingehen, dass das Ergebnis der Quadratwurzelziehung eine ganze Zahl ist.

Fall 1.

Lassen Sie uns also um jeden Preis (z. B. bei der Berechnung der Diskriminante) die Quadratwurzel von 86436 berechnen.

Wir zerlegen die Zahl 86436 in Primfaktoren. Teilen Sie durch 2, wir erhalten 43218; Nochmals durch 2 teilen, wir erhalten 21609. Eine Zahl kann nicht durch 2 teilbar sein. Da aber die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist, ist auch die Zahl selbst durch 3 teilbar (im Allgemeinen ist klar, dass sie auch durch 9 teilbar ist). . Nochmals durch 3 dividieren und wir erhalten 2401. 2401 ist nicht vollständig durch 3 teilbar. Nicht durch fünf teilbar (endet nicht mit 0 oder 5).

Wir vermuten eine Teilbarkeit durch 7. Tatsächlich und ,

Also, Bestellung abschließen!

Fall 2.

Lassen Sie uns berechnen. Es ist unbequem, auf die gleiche Weise wie oben beschrieben vorzugehen. Wir versuchen zu faktorisieren...

Die Zahl 1849 ist nicht durch 2 teilbar (sie ist nicht gerade)…

Es ist nicht vollständig durch 3 teilbar (die Summe der Ziffern ist kein Vielfaches von 3) ...

Es ist nicht vollständig durch 5 teilbar (die letzte Ziffer ist weder 5 noch 0)…

Es ist nicht vollständig durch 7 teilbar, es ist nicht durch 11 teilbar, es ist nicht durch 13 teilbar ... Nun, wie lange werden wir brauchen, um alle Primzahlen durchzugehen?

Denken wir etwas anders.

Wir verstehen das

Wir haben unsere Suche eingegrenzt. Jetzt gehen wir die Zahlen von 41 bis 49 durch. Darüber hinaus ist klar, dass wir, da die letzte Ziffer der Zahl 9 ist, bei den Optionen 43 oder 47 stehen bleiben sollten – nur diese Zahlen ergeben im Quadrat die letzte Ziffer 9 .

Nun, hier hören wir natürlich bei 43 auf. Tatsächlich

P.S. Wie zum Teufel multiplizieren wir 0,7 mit 0,5?

Sie sollten 5 mit 7 multiplizieren, dabei die Nullen und Vorzeichen ignorieren und dann von rechts nach links zwei Dezimalstellen trennen. Wir bekommen 0,35.

Wurzel N-te Potenz einer natürlichen Zahl A diese Nummer wird angerufen N deren te Potenz gleich ist A. Die Wurzel wird wie folgt bezeichnet: . Das Symbol √ heißt Wurzelzeichen oder Wurzelzeichen, Nummer A - Wurzelzahl, N - Wurzelexponent.

Die Aktion, durch die die Wurzel eines bestimmten Grades gefunden wird, wird aufgerufen Wurzelextraktion.

Denn nach der Definition des Begriffs einer Wurzel N Abschluss

Das Wurzelextraktion- eine zur Potenzierung umgekehrte Aktion, mit deren Hilfe die Basis des Grades aus einem gegebenen Grad und einem gegebenen Exponenten ermittelt wird.

Quadratwurzel

Quadratwurzel einer Zahl A ist die Zahl, deren Quadrat gleich ist A.

Die Aktion, nach der es berechnet wird Quadratwurzel nennt man das Ziehen der Quadratwurzel.

Quadratwurzel- die entgegengesetzte Wirkung des Quadrierens (oder Erhöhens einer Zahl in die zweite Potenz). Wenn Sie eine Zahl quadrieren, müssen Sie ihr Quadrat finden. Beim Ziehen der Quadratwurzel ist das Quadrat der Zahl bekannt; Sie müssen es verwenden, um die Zahl selbst zu ermitteln.

Um die Richtigkeit der Aktion zu überprüfen, können Sie daher die gefundene Wurzel auf die zweite Potenz erhöhen. Wenn der Grad gleich der Wurzelzahl ist, wurde die Wurzel korrekt gefunden.

Schauen wir uns das Ziehen der Quadratwurzel an und überprüfen es anhand eines Beispiels. Berechnen wir oder (der Wurzelexponent mit dem Wert 2 wird normalerweise nicht geschrieben, da 2 der kleinste Exponent ist und man bedenken sollte, dass, wenn es keinen Exponenten über dem Wurzelzeichen gibt, der Exponent 2 impliziert ist), dafür wir Ich muss die Zahl finden, wenn man sie auf die Sekunde erhöht, beträgt der Grad 49. Offensichtlich ist eine solche Zahl 7, da

7 7 = 7 2 = 49.

Berechnen der Quadratwurzel

Wenn eine bestimmte Zahl 100 oder weniger beträgt, kann die Quadratwurzel daraus mithilfe der Multiplikationstabelle berechnet werden. Beispielsweise ist die Quadratwurzel aus 25 5, weil 5 · 5 = 25.

Schauen wir uns nun eine Möglichkeit an, die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl zu ermitteln, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 4489 und beginnen wir, sie Schritt für Schritt zu berechnen.

1. Lassen Sie uns bestimmen, aus welchen Ziffern die erforderliche Wurzel bestehen soll. Da 10 2 = 10 · 10 = 100 und 100 2 = 100 · 100 = 10000, wird klar, dass die gesuchte Wurzel größer als 10 und kleiner als 100 sein muss, d. h. bestehen aus Zehnern und Einern.
2. Finden Sie die Zehnerzahl der Wurzel. Die Multiplikation mit Zehnern ergibt Hunderter, und davon gibt es 44 in unserer Zahl, daher muss die Wurzel so viele Zehner enthalten, dass das Quadrat der Zehner ungefähr 44 Hunderter ergibt. Daher muss die Wurzel 6 Zehner haben, denn 60 2 = 3600 und 70 2 = 4900 (das ist zu viel). So haben wir herausgefunden, dass unsere Wurzel 6 Zehner und mehrere Einer enthält, da sie im Bereich von 60 bis 70 liegt.
3. Mithilfe der Multiplikationstabelle können Sie die Anzahl der Einheiten in der Wurzel ermitteln. Wenn wir uns die Zahl 4489 ansehen, sehen wir, dass die letzte Ziffer darin 9 ist. Jetzt schauen wir uns die Multiplikationstabelle an und sehen, dass 9 Einheiten nur durch Quadrieren der Zahlen 3 und 7 erhalten werden können. Das bedeutet, dass die Wurzel der Zahl sein wird 63 oder 67.
4. Wir überprüfen die erhaltenen Zahlen 63 und 67, indem wir sie quadrieren: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Kapitel zuerst.

Ermitteln der größten ganzzahligen Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl.

170. Vorbemerkungen.

A) Da wir nur über das Ziehen der Quadratwurzel sprechen werden, sagen wir, um die Sprache in diesem Kapitel zu verkürzen, statt „Quadratwurzel“ einfach „Wurzel“.

B) Wenn wir die Zahlen der natürlichen Reihe quadrieren: 1,2,3,4,5. . . , dann erhalten wir die folgende Quadrattabelle: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Offensichtlich gibt es viele ganze Zahlen, die nicht in dieser Tabelle enthalten sind. Natürlich ist es unmöglich, aus solchen Zahlen die ganze Wurzel zu ziehen. Wenn Sie beispielsweise die Wurzel einer beliebigen Ganzzahl extrahieren müssen. erforderlich ist, um √4082 zu finden, dann stimmen wir zu, diese Anforderung wie folgt zu verstehen: Extrahieren Sie die gesamte Wurzel von 4082, wenn möglich; Wenn dies nicht möglich ist, müssen wir die größte ganze Zahl finden, deren Quadrat 4082 ist (eine solche Zahl ist 63, da 63 2 = 3969 und 64 2 = 4090).

V) Wenn diese Zahl kleiner als 100 ist, wird die Wurzel daraus mithilfe der Multiplikationstabelle ermittelt. Somit wäre √60 7, da sieben 7 gleich 49 sind, was kleiner als 60 ist, und acht 8 gleich 64 sind, was größer als 60 ist.

171. Ziehen der Wurzel einer Zahl kleiner als 10.000, aber größer als 100. Nehmen wir an, wir müssen √4082 finden. Da diese Zahl kleiner als 10.000 ist, ist ihre Wurzel kleiner als √l0.000 = 100. Andererseits ist diese Zahl größer als 100; Dies bedeutet, dass die Wurzel größer als (oder gleich 10) ist. (Wenn es zum Beispiel notwendig wäre, √ zu finden 120 , dann ist zwar die Zahl 120 > 100, jedoch √ 120 ist gleich 10, weil 11 2 = 121.) Aber jede Zahl, die größer als 10, aber kleiner als 100 ist, hat 2 Ziffern; Dies bedeutet, dass die erforderliche Wurzel die Summe ist:

Zehner + Einer,

und daher muss sein Quadrat gleich der Summe sein:

Diese Summe muss das größte Quadrat von 4082 sein.

Nehmen wir das größte davon, 36, und gehen davon aus, dass das Quadrat der Zehnerwurzel genau diesem größten Quadrat entspricht. Dann muss die Anzahl der Zehner in der Wurzel 6 sein. Überprüfen wir nun, dass dies immer der Fall sein sollte, d. h. die Anzahl der Zehner in der Wurzel ist immer gleich der größten ganzzahligen Wurzel der Hunderterzahl des Wurzels.

Tatsächlich kann in unserem Beispiel die Anzahl der Zehner der Wurzel nicht mehr als 6 sein, da (7 Dez.) 2 = 49 Hunderter, was 4082 übersteigt. Sie kann jedoch nicht weniger als 6 sein, da 5 Dez. (с единицами) меньше 6 дес, а между тем (6 дес.) 2 = 36 сотен, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший целый корень, то мы не должны брать для корня 5 дес, когда и 6 десятков оказывается не viel.

Wir haben also die Zahl der Zehner der Wurzel gefunden, nämlich 6. Wir schreiben diese Zahl rechts vom =-Zeichen und denken daran, dass es Zehner der Wurzel bedeutet. Wenn wir es quadratisch erhöhen, erhalten wir 36 Hunderter. Wir subtrahieren diese 36 Hunderter von den 40 Hundertern der Grundzahl und subtrahieren die restlichen zwei Ziffern dieser Zahl. Der Rest 482 muss 2 (6 Dez.) (Einheiten) + (Einheiten)2 enthalten. Das Produkt (6 Dez.) (Einer) muss Zehner sein; Daher muss das doppelte Produkt von Zehnern mit Einer in den Zehnern des Rests gesucht werden, d. h. in 48 (wir erhalten ihre Zahl, indem wir im Rest von 48 „2“ eine Ziffer rechts trennen). ergibt 12. Das heißt, wenn wir 12 mit den Einheiten der Wurzel (die noch unbekannt sind) multiplizieren, dann sollten wir die in 48 enthaltene Zahl erhalten. Deshalb dividieren wir 48 durch 12.

Zeichnen Sie dazu eine vertikale Linie links vom Rest und schreiben Sie dahinter (wobei wir für den nun angezeigten Zweck eine Stelle nach links von der Linie zurücktreten) das Doppelte der ersten Ziffer der Wurzel, also 12, und dividiere 48 durch den Quotienten und erhalte 4.

Wir können jedoch nicht im Voraus garantieren, dass die Zahl 4 als Einheiten der Wurzel genommen werden kann, da wir jetzt die gesamte Zahl der Zehner des Rests durch 12 dividiert haben, während einige davon möglicherweise nicht zum doppelten Produkt der Zehner durch gehören Einheiten, sind aber Teil des Einheitenquadrats. Daher kann die Zahl 4 groß sein. Wir müssen es ausprobieren. Es ist offensichtlich geeignet, wenn die Summe 2 (6 Dez.) 4 + 4 2 nicht mehr als der Rest 482 beträgt.

Als Ergebnis erhalten wir die Summe aus beidem auf einmal. Das resultierende Produkt betrug 496, was größer ist als der Rest von 482; Das heißt, Nummer 4 ist groß. Dann werden wir die nächstkleinere Nummer 3 auf die gleiche Weise testen.

Beispiele.

Wenn wir in Beispiel 4 die 47 Zehner des Rests durch 4 dividieren, erhalten wir 11 als Quotient. Da die Anzahl der Einheiten der Wurzel jedoch keine zweistellige Zahl 11 oder 10 sein kann, müssen wir die Zahl 9 direkt testen.

In Beispiel 5 ergibt sich nach der Subtraktion von 8 von der ersten Fläche des Quadrats, dass der Rest 0 ist und die nächste Fläche ebenfalls aus Nullen besteht. Dies zeigt, dass die gesuchte Wurzel nur aus 8 Zehnern besteht und daher anstelle der Einer eine Null eingesetzt werden muss.

172. Ziehen der Wurzel einer Zahl größer als 10000. Nehmen wir an, wir müssen √35782 finden. Da die Grundzahl 10.000 überschreitet, ist ihre Wurzel größer als √10000 = 100 und besteht daher aus 3 oder mehr Ziffern. Egal aus wie vielen Ziffern sie besteht, wir können sie immer nur als Summe von Zehnern und Einer betrachten. Wenn sich beispielsweise herausstellt, dass die Wurzel 482 ist, können wir sie als Betrag von 48 des zählen. + 2 Einheiten Dann besteht das Quadrat der Wurzel aus 3 Termen:

(Dez.) 2 + 2 (Dez.) (Einheit) + (Einheit) 2 .

Jetzt können wir genauso argumentieren wie bei der Suche nach √4082 (im vorherigen Absatz). Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir, um die Zehner der Wurzel von 4082 zu finden, die Wurzel von 40 ziehen mussten, und dies könnte mithilfe der Multiplikationstabelle erfolgen; Um nun Zehner√35782 zu erhalten, müssen wir die Wurzel aus 357 ziehen, was mit der Multiplikationstabelle nicht möglich ist. Aber wir können √357 mit der im vorherigen Absatz beschriebenen Technik finden, da es sich um die Zahl 357 handelt< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Als nächstes verfahren wir wie beim Finden von √4082, nämlich: Links vom Rest 3382 zeichnen wir eine vertikale Linie und schreiben dahinter (ein Leerzeichen von der Linie zurückgehend) die doppelte Anzahl der Zehner der gefundenen Wurzel, d.h. 36 (zweimal 18). Im Rest trennen wir rechts eine Ziffer ab und dividieren die Zehnerzahl des Restes, also 338, durch 36. Im Quotienten erhalten wir 9. Diese Zahl testen wir, wofür wir sie rechts der Zahl 36 zuordnen und damit multiplizieren. Es stellte sich heraus, dass das Produkt 3321 war, was weniger ist als der Rest. Das bedeutet, dass die Zahl 9 geeignet ist, wir schreiben sie an der Wurzel.

Um die Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu extrahieren, müssen Sie im Allgemeinen zunächst die Wurzel aus ihren Hundertern extrahieren. wenn diese Zahl mehr als 100 beträgt, müssen Sie nach der Wurzel der Hunderterzahl dieser Hunderter, also der Zehntausender dieser Zahl, suchen; Wenn diese Zahl größer als 100 ist, müssen Sie die Wurzel aus der Zahl Hunderttausender ziehen, also aus den Millionen einer bestimmten Zahl usw.

Beispiele.

Im letzten Beispiel erhalten wir, nachdem wir die erste Ziffer gefunden und ihr Quadrat subtrahiert haben, einen Rest von 0. Wir subtrahieren die nächsten beiden Ziffern 51. Wenn wir die Zehner trennen, erhalten wir 5 des, während die doppelt gefundene Ziffer der Wurzel 6 ist. Das heißt, wenn wir 5 durch 6 dividieren, erhalten wir 0. Wir setzen 0 an zweiter Stelle an der Wurzel und addieren die nächsten 2 Ziffern zum Rest; wir bekommen 5110. Dann machen wir wie gewohnt weiter.

In diesem Beispiel besteht die erforderliche Wurzel nur aus 9 Hundertern, und daher müssen Nullen an den Zehner- und Einserstellen platziert werden.

Regel. Um die Quadratwurzel einer bestimmten ganzen Zahl zu ziehen, dividieren Sie sie durch rechte Hand links, am Rand, jeweils 2 Ziffern, außer der letzten, die eine Ziffer enthalten darf.
Um die erste Ziffer der Wurzel zu finden, ziehen Sie die Quadratwurzel der ersten Fläche.
Um die zweite Ziffer zu finden, wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel von der ersten Fläche subtrahiert, die zweite Fläche zum Rest addiert und die Zehnerzahl der resultierenden Zahl durch das Doppelte der ersten Ziffer der Wurzel dividiert ; Die resultierende Ganzzahl wird getestet.
Dieser Test wird wie folgt durchgeführt: Hinter der vertikalen Linie (links vom Rest) schreiben Sie das Doppelte der zuvor gefundenen Zahl der Wurzel und fügen auf der rechten Seite nach dieser Addition die getestete Ziffer, die resultierende Zahl, hinzu , wird mit der getesteten Ziffer multipliziert. Wenn das Ergebnis nach der Multiplikation eine Zahl ist, die größer als der Rest ist, dann ist die getestete Ziffer nicht geeignet und die nächst kleinere Ziffer muss getestet werden.
Die nächsten Ziffern der Wurzel werden mit der gleichen Technik ermittelt.
Wenn sich nach dem Entfernen einer Fläche herausstellt, dass die Zehnerzahl der resultierenden Zahl kleiner als der Teiler ist, also weniger als das Doppelte des gefundenen Teils der Wurzel, dann setzen sie 0 an die Wurzel, entfernen die nächste Fläche und Setzen Sie die Aktion weiter fort.

173. Anzahl der Ziffern der Wurzel. Aus der Betrachtung des Prozesses der Wurzelfindung folgt, dass es in der Wurzel so viele Ziffern gibt, wie es Flächen mit jeweils 2 Ziffern in der Wurzelzahl gibt (die linke Fläche kann eine Ziffer haben).

Kapitel Zwei.

Vertraute herausholen Quadratwurzeln aus ganzen und gebrochenen Zahlen .

Zum Ziehen der Quadratwurzel aus Polynomen siehe die Ergänzungen zum 2. Teil von § 399 ff.

174. Anzeichen einer exakten Quadratwurzel. Die genaue Quadratwurzel einer gegebenen Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat genau der gegebenen Zahl entspricht. Lassen Sie uns einige Zeichen angeben, anhand derer man beurteilen kann, ob aus einer bestimmten Zahl eine exakte Wurzel gezogen werden kann oder nicht:

A) Wenn aus einer gegebenen ganzen Zahl nicht die exakte ganze Wurzel extrahiert wird (der Rest wird beim Extrahieren erhalten), kann aus einer solchen Zahl keine gebrochene exakte Wurzel gefunden werden, da jeder Bruch, der bei Multiplikation mit sich selbst ungleich einer ganzen Zahl ist, nicht ermittelt werden kann , erzeugt auch einen Bruch im Produkt, keine ganze Zahl.

B) Da die Wurzel eines Bruchs gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners ist, kann die genaue Wurzel eines irreduziblen Bruchs nicht gefunden werden, wenn sie nicht aus dem Zähler oder dem Nenner extrahiert werden kann. Beispielsweise kann aus den Brüchen 4/5, 8/9 und 11/15 nicht die exakte Wurzel gezogen werden, da sie im ersten Bruch nicht aus dem Nenner, im zweiten – aus dem Zähler und im dritten – gezogen werden kann. weder vom Zähler noch vom Nenner.

Aus Zahlen, aus denen die genaue Wurzel nicht gezogen werden kann, können nur ungefähre Wurzeln gezogen werden.

175. Ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1. Eine ungefähre, auf 1 genaue Quadratwurzel einer gegebenen Zahl (ganz oder gebrochen, spielt keine Rolle) ist eine ganze Zahl, die die folgenden zwei Anforderungen erfüllt:

1) das Quadrat dieser Zahl ist nicht größer als die angegebene Zahl; 2) aber das Quadrat dieser Zahl erhöht um 1 ist größer als diese Zahl. Mit anderen Worten: Eine ungefähre Quadratwurzel mit einer Genauigkeit von 1 ist die größte ganzzahlige Quadratwurzel einer bestimmten Zahl, also die Wurzel, die wir im vorherigen Kapitel gefunden haben. Diese Wurzel heißt Näherung mit einer Genauigkeit von 1, denn um eine exakte Wurzel zu erhalten, müssten wir zu dieser Näherungswurzel einen Bruchteil kleiner als 1 addieren. Wenn wir also anstelle der unbekannten exakten Wurzel diese Näherungswurzel nehmen, machen wir ein Fehler kleiner als 1.

Regel. Um eine ungefähre Quadratwurzel mit einer Genauigkeit von 1 zu extrahieren, müssen Sie die größte ganzzahlige Wurzel aus dem ganzzahligen Teil der gegebenen Zahl extrahieren.

Die durch diese Regel ermittelte Zahl ist eine Näherungswurzel mit einem Nachteil, da ihr die genaue Wurzel eines bestimmten Bruchs (weniger als 1) fehlt. Wenn wir diese Wurzel um 1 erhöhen, erhalten wir eine weitere Zahl, bei der es einen gewissen Überschuss gegenüber der exakten Wurzel gibt, und dieser Überschuss ist kleiner als 1. Diese um 1 erhöhte Wurzel kann auch als Näherungswurzel mit einer Genauigkeit von 1 bezeichnet werden, aber mit einem Überschuss. (Die Bezeichnungen „mit Mangel“ oder „mit Überschuss“ werden in einigen Mathematikbüchern durch andere äquivalente ersetzt: „durch Mangel“ oder „durch Überschuss“.)

176. Ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/10. Nehmen wir an, wir müssen √2,35104 mit einer Genauigkeit von 1/10 finden. Das bedeutet, dass Sie einen Dezimalbruch finden müssen, der aus ganzen Einheiten und Zehnteln besteht und die folgenden zwei Anforderungen erfüllt:

1) das Quadrat dieses Bruchs überschreitet nicht 2,35104, aber 2) wenn wir es um 1/10 erhöhen, dann überschreitet das Quadrat dieses erhöhten Bruchs 2,35104.

Um einen solchen Bruch zu finden, finden wir zunächst eine ungefähre Wurzel mit der Genauigkeit 1, das heißt, wir extrahieren die Wurzel nur aus der ganzen Zahl 2. Wir erhalten 1 (und der Rest ist 1). Wir schreiben die Zahl 1 an die Wurzel und setzen dahinter ein Komma. Jetzt suchen wir nach der Anzahl der Zehntel. Dazu zerlegen wir die Ziffern 35 rechts vom Dezimalpunkt auf den Rest 1 und setzen die Extraktion fort, als würden wir die Wurzel der ganzen Zahl 235 extrahieren. Wir schreiben die resultierende Zahl 5 in die Wurzel anstelle von Zehntel. Die restlichen Ziffern der Wurzelzahl (104) benötigen wir nicht. Dass die resultierende Zahl 1,5 tatsächlich eine ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/10 sein wird, lässt sich aus dem Folgenden ersehen. Wenn wir die größte ganzzahlige Wurzel aus 235 mit einer Genauigkeit von 1 finden würden, würden wir 15 erhalten. Also:

15 2 < 235, aber 16 2 >235.

Wenn wir alle diese Zahlen durch 100 dividieren, erhalten wir:

Das bedeutet, dass die Zahl 1,5 der Dezimalbruch ist, den wir als ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/10 bezeichnet haben.

Mit dieser Technik können wir auch die folgenden ungefähren Wurzeln mit einer Genauigkeit von 0,1 finden:

177. Ungefähre Quadratwurzel auf 1/100 bis 1/1000 usw.

Angenommen, wir müssen einen ungefähren Wert von √248 mit einer Genauigkeit von 1/100 finden. Das bedeutet: Finden Sie einen Dezimalbruch, der aus ganzen, Zehntel- und Hundertstelteilen besteht und zwei Anforderungen erfüllt:

1) sein Quadrat überschreitet nicht 248, aber 2) wenn wir diesen Bruch um 1/100 erhöhen, dann überschreitet das Quadrat dieses erhöhten Bruchs 248.

Einen solchen Bruch finden wir in der folgenden Reihenfolge: Zuerst finden wir die ganze Zahl, dann die Zehntelzahl, dann die Hundertstelzahl. Die Wurzel einer ganzen Zahl besteht aus 15 ganzen Zahlen. Um die Anzahl der Zehntel zu erhalten, müssen Sie, wie wir gesehen haben, zum Rest 23 zwei weitere Ziffern rechts vom Dezimalpunkt hinzufügen. In unserem Beispiel sind diese Zahlen überhaupt nicht vorhanden; wir setzen an ihrer Stelle Nullen. Indem wir sie zum Rest addieren und so weitermachen, als ob wir die Wurzel der ganzen Zahl 24.800 finden würden, finden wir die Zehntelzahl 7. Es bleibt noch die Hundertstelzahl zu finden. Dazu addieren wir zwei weitere Nullen zum Rest 151 und fahren mit der Extraktion fort, als ob wir die Wurzel der ganzen Zahl 2.480.000 finden würden. Wir erhalten 15,74. Dass es sich bei dieser Zahl tatsächlich um eine ungefähre Wurzel aus 248 mit einer Genauigkeit von 1/100 handelt, lässt sich aus dem Folgenden ersehen. Wenn wir die größte ganze Quadratwurzel der ganzen Zahl 2.480.000 finden würden, würden wir 1574 erhalten; Bedeutet:

1574 2 < 2.480.000, aber 1575 2 > 2.480.000.

Teilen wir alle Zahlen durch 10.000 (= 100 2), erhalten wir:

Das bedeutet, dass 15,74 der Dezimalbruch ist, den wir als ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/100 von 248 bezeichnet haben.

Wenn wir diese Technik anwenden, um eine ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/1000 bis 1/10000 usw. zu finden, finden wir Folgendes.

Regel. Um daraus etwas zu extrahieren ganze Zahlen oder daraus Dezimal Näherungswurzel mit einer Genauigkeit von 1/10 bis 1/100 bis 1/100 usw. Finden Sie zunächst eine Näherungswurzel mit einer Genauigkeit von 1, indem Sie die Wurzel aus einer ganzen Zahl extrahieren (wenn sie nicht vorhanden ist, schreiben Sie über die Wurzel von 0 Ganzzahlen).

Dann ermitteln sie die Anzahl der Zehntel. Dazu addieren Sie zum Rest die beiden Ziffern der Wurzelzahl rechts vom Dezimalpunkt (wenn sie nicht vorhanden sind, fügen Sie zum Rest zwei Nullen hinzu) und fahren mit der Extraktion fort, wie beim Extrahieren der Wurzel einer ganzen Zahl . Die resultierende Zahl wird anstelle von Zehnteln an der Wurzel geschrieben.

Finden Sie dann die Hundertstelzahl. Dazu werden zwei Zahlen rechts von den gerade entfernten Zahlen zum Rest addiert usw.

Beim Extrahieren der Wurzel einer ganzen Zahl mit einem Dezimalbruch ist es daher notwendig, jeweils zwei Ziffern beginnend mit dem Dezimalpunkt sowohl nach links (im ganzzahligen Teil der Zahl) als auch nach rechts (in) in Flächen zu unterteilen der Bruchteil).

Beispiele.

1) Finden Sie bis zu 1/100 Wurzeln: a) √2; b) √0,3;

Im letzten Beispiel haben wir den Bruch 3/7 in eine Dezimalzahl umgewandelt, indem wir 8 Dezimalstellen berechnet haben, um die 4 Flächen zu bilden, die zum Ermitteln der 4 Dezimalstellen der Wurzel erforderlich sind.

178. Beschreibung der Quadratwurzeltabelle. Am Ende dieses Buches befindet sich eine Tabelle mit Quadratwurzeln, die mit vier Ziffern berechnet werden. Mithilfe dieser Tabelle können Sie schnell die Quadratwurzel einer ganzen Zahl (oder eines Dezimalbruchs) ermitteln, die aus nicht mehr als vier Ziffern besteht. Bevor wir erklären, wie diese Tabelle aufgebaut ist, stellen wir fest, dass wir die erste signifikante Ziffer der gewünschten Wurzel immer ohne die Hilfe von Tabellen finden können, indem wir uns einfach die Wurzelzahl ansehen; Wir können auch leicht bestimmen, welche Dezimalstelle die erste Ziffer der Wurzel bedeutet und wo wir in der Wurzel, wenn wir ihre Ziffern finden, ein Komma setzen müssen. Hier sind einige Beispiele:

1) √5"27,3 . Die erste Ziffer ist 2, da die linke Seite der Grundzahl 5 ist; und die Wurzel von 5 ist gleich 2. Da außerdem im ganzzahligen Teil des Radikals nur zwei Gesichter vorhanden sind, muss im ganzzahligen Teil der gewünschten Wurzel zwei Ziffern vorhanden sein und daher muss ihre erste Ziffer 2 sein meine Zehner.

2) √9.041. Offensichtlich wird in dieser Wurzel die erste Ziffer 3 Primzahleneinheiten sein.

3) √0,00"83"4. Erste Signifikante Figur ist 9, da die Fläche, aus der die Wurzel gezogen werden müsste, um die erste signifikante Ziffer zu erhalten, 83 ist, und die Wurzel aus 83 ist 9. Da die erforderliche Zahl weder ganze Zahlen noch Zehntel haben wird, muss die erste Ziffer 9 sein bedeuten Hundertstel.

4) √0,73"85. Die erste signifikante Zahl ist 8 Zehntel.

5) √0,00"00"35"7. Die erste signifikante Zahl wird 5 Tausendstel sein.

Lassen Sie uns noch eine Bemerkung machen. Nehmen wir an, wir müssen die Wurzel einer Zahl extrahieren, die nach dem Entfernen des darin enthaltenen besetzten Wortes durch eine Zahlenreihe wie diese dargestellt wird: 5681. Diese Wurzel kann eine der folgenden sein:

Wenn wir die Wurzeln ziehen, die wir mit einer Linie unterstreichen, werden sie alle durch dieselbe Zahlenreihe ausgedrückt, nämlich genau die Zahlen, die man erhält, wenn man die Wurzel aus 5681 zieht (das sind die Zahlen 7, 5, 3, 7). ). Der Grund dafür ist, dass die Flächen, in die die Grundzahl beim Ermitteln der Ziffern der Wurzel unterteilt werden muss, in allen diesen Beispielen gleich sind, daher werden die Ziffern für jede Wurzel gleich sein (nur die Position der Dezimalstelle). Punkt wird natürlich anders sein). Auf die gleiche Weise sollten wir in allen von uns mit zwei Linien unterstrichenen Wurzeln erhalten gleiche Zahlen, genau diejenigen, durch die √568,1 ausgedrückt wird (diese Zahlen werden 2, 3, 8, 3 sein), und aus dem gleichen Grund. Somit sind die Ziffern der Wurzeln der Zahlen, die (durch Weglassen des Kommas) durch dieselbe Zahlenreihe 5681 dargestellt werden, von zwei (und nur zwei) Arten: Entweder ist dies die Reihe 7, 5, 3, 7 oder die Reihe 2, 3, 8, 3. Das Gleiche gilt natürlich auch für jede andere Zahlenreihe. Daher entspricht, wie wir nun sehen werden, in der Tabelle jeder Ziffernreihe der Grundzahl 2 Ziffernreihen für die Wurzeln.

Jetzt können wir den Aufbau der Tabelle und ihre Verwendung erklären. Aus Gründen der Übersichtlichkeit haben wir hier den Anfang der ersten Seite der Tabelle gezeigt.

Diese Tabelle befindet sich auf mehreren Seiten. Auf jeder davon sind in der ersten Spalte links die Zahlen 10, 11, 12... (bis 99) eingetragen. Diese Zahlen stellen die ersten beiden Ziffern der Zahl dar, aus der die Quadratwurzel ermittelt wird. In der oberen horizontalen Zeile (wie auch unten) stehen die Zahlen: 0, 1, 2, 3... 9, die die 3. Ziffer dieser Zahl darstellen, und weiter rechts stehen die Zahlen 1, 2, 3. . . 9, die die 4. Ziffer dieser Zahl darstellt. Alle anderen horizontalen Linien enthalten zwei vierstellige Zahlen, die die Quadratwurzeln der entsprechenden Zahlen darstellen.

Angenommen, Sie müssen die Quadratwurzel einer Zahl ermitteln, entweder einer ganzen Zahl oder ausgedrückt als Dezimalbruch. Zunächst finden wir ohne Hilfe von Tabellen die erste Ziffer der Wurzel und ihre Ziffer. Dann verwerfen wir das Komma in dieser Zahl, falls es eines gibt. Nehmen wir zunächst an, dass nach dem Weglassen des Kommas beispielsweise nur noch 3 Ziffern übrig bleiben. 114. Wir finden in den Tabellen in der Spalte ganz links die ersten beiden Ziffern, also 11, und bewegen uns von ihnen entlang der horizontalen Linie nach rechts, bis wir die vertikale Spalte erreichen, an deren Spitze (und Unterseite) sich die dritte Ziffer befindet der Zahl, also 4. An dieser Stelle finden wir zwei vierstellige Zahlen: 1068 und 3376. Welche dieser beiden Zahlen genommen werden soll und wo das Komma darin zu setzen ist, wird durch die erste Ziffer der Wurzel und bestimmt seine Ziffer, die wir zuvor gefunden haben. Wenn wir also √0,11"4 finden müssen, dann ist die erste Ziffer der Wurzel 3 Zehntel, und daher müssen wir 0,3376 als Wurzel nehmen. Wenn wir √1,14 finden müssten, wäre die erste Ziffer der Wurzel 1, und wir Dann würden wir 1,068 nehmen.

Auf diese Weise können wir leicht finden:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 usw.

Nehmen wir nun an, dass wir die Wurzel einer Zahl finden müssen, die (durch Weglassen des Dezimalpunkts) in 4 Ziffern ausgedrückt wird, zum Beispiel √7"45,6. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die erste Ziffer der Wurzel 2 Zehner ist, finden wir für Nummer 745, wie jetzt erklärt wurde, die Ziffern 2729 (wir bemerken diese Nummer nur mit dem Finger, schreiben sie aber nicht auf) Dann bewegen wir uns von dieser Nummer weiter nach rechts bis auf die rechte Seite der Tabelle (hinter). (in der letzten fetten Zeile) treffen wir auf die vertikale Spalte, die oben (und unten) markiert ist. 4. Die Ziffer dieser Zahl, also die Zahl 6, und dort die Zahl 1 finden. Dies wird eine Änderung sein, die angewendet werden muss (im Kopf) zur zuvor gefundenen Zahl 2729 erhalten wir 2730. Wir schreiben diese Zahl auf und setzen an der richtigen Stelle ein Komma: 27,30.

So finden wir zum Beispiel:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 usw.

Wenn die Grundzahl nur durch eine oder zwei Ziffern ausgedrückt wird, können wir davon ausgehen, dass nach diesen Ziffern eine oder zwei Nullen stehen, und dann wie erläutert vorgehen dreistellige Zahl. Zum Beispiel: √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 usw.

Wenn schließlich die Wurzelzahl durch mehr als 4 Ziffern ausgedrückt wird, dann nehmen wir nur die ersten 4 davon und verwerfen den Rest. Um den Fehler zu verringern, wenn die erste der verworfenen Ziffern 5 oder mehr als 5 ist, dann erhöhen wir die vierte der beibehaltenen Ziffern um l. Also:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; usw.

Kommentar. Die Tabellen geben die ungefähre Quadratwurzel an, mal mit einem Defizit, mal mit einem Übermaß, und zwar diejenige dieser angenäherten Wurzeln, die der exakten Wurzel näher kommt.

179. Quadratwurzeln aus gewöhnlichen Brüchen ziehen. Die exakte Quadratwurzel eines irreduziblen Bruchs kann nur gezogen werden, wenn beide Terme des Bruchs exakte Quadrate sind. In diesem Fall reicht es aus, die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt zu ziehen, zum Beispiel:

Die ungefähre Quadratwurzel eines gewöhnlichen Bruchs mit einiger Dezimalgenauigkeit lässt sich am einfachsten finden, wenn wir zunächst umkehren gemeinsamer Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln und in diesem Bruch die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma berechnen, die doppelt so viele Dezimalstellen in der gewünschten Wurzel wären.

Sie können es jedoch auch anders machen. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels erklären:

Finden Sie ungefähr √ 5 / 24

Machen wir den Nenner zu einem exakten Quadrat. Dazu würde es genügen, beide Terme des Bruchs mit dem Nenner 24 zu multiplizieren; aber in diesem Beispiel können Sie es anders machen. Zerlegen wir 24 in Primfaktoren: 24 = 2 2 2 3. Aus dieser Zerlegung geht hervor, dass, wenn 24 mit 2 und weiteren 3 multipliziert wird, jeder einfache Faktor im Produkt gerade oft wiederholt wird und daher , der Nenner wird zum Quadrat:

Es bleibt noch, √30 mit einiger Genauigkeit zu berechnen und das Ergebnis durch 12 zu dividieren. Es muss berücksichtigt werden, dass die Division durch 12 auch den Bruch verringert, der den Grad der Genauigkeit angibt. Wenn wir also √30 mit einer Genauigkeit von 1/10 finden und das Ergebnis durch 12 teilen, erhalten wir eine ungefähre Wurzel aus dem Bruch 5/24 mit einer Genauigkeit von 1/120 (nämlich 54/120 und 55/120).

Kapitel drei.

Graph einer Funktionx = √y .

180. Umkehrfunktion. Gegeben sei eine Gleichung, die bestimmt bei als Funktion von X , zum Beispiel so: y = x 2 . Wir können sagen, dass es nicht nur bestimmt bei als Funktion von X , sondern bestimmt auch umgekehrt X als Funktion von bei , wenn auch implizit. Um diese Funktion explizit zu machen, müssen wir diese Gleichung nach lösen X , nehmen bei für eine bekannte Zahl; Aus der Gleichung, die wir erstellt haben, finden wir: y = x 2 .

Der algebraische Ausdruck, den man für x erhält, nachdem man die Gleichung gelöst hat, die y als Funktion von x definiert, wird als Umkehrfunktion der Gleichung bezeichnet, die y definiert.

Also die Funktion x = √y Umkehrfunktion y = x 2 . Wenn wir, wie üblich, die unabhängige Variable bezeichnen X , und die Abhängigen bei , dann kann die nun erhaltene Umkehrfunktion wie folgt ausgedrückt werden: y = √ x . Um also die Umkehrfunktion einer gegebenen (direkten) Funktion aus der Gleichung zu erhalten, die diese bestimmt diese Funktion, Ausgabe X abhängig von j und im resultierenden Ausdruck ersetzen j An X , A X An j .

181. Graph einer Funktion y = √ x . Diese Funktion ist mit nicht möglich negativer Wert X , kann aber (mit beliebiger Genauigkeit) für jeden positiven Wert berechnet werden X , und für jeden solchen Wert erhält die Funktion zwei unterschiedliche Bedeutungen mit gleichem Absolutwert, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen. Falls Sie sich auskennen √ Wenn wir nur den arithmetischen Wert der Quadratwurzel bezeichnen, dann können diese beiden Werte der Funktion wie folgt ausgedrückt werden: y= ± √ x Um einen Graphen dieser Funktion zu zeichnen, müssen Sie zunächst eine Tabelle ihrer Werte erstellen. Der einfachste Weg, diese Tabelle zu erstellen, ist die Tabelle der direkten Funktionswerte:

y = x 2 .

X

j

wenn die Werte bei als Werte annehmen X , umgekehrt:

y= ± √ x

Wenn wir alle diese Werte in die Zeichnung eintragen, erhalten wir die folgende Grafik.

In derselben Zeichnung haben wir (mit einer gestrichelten Linie) den Graphen der direkten Funktion dargestellt y = x 2 . Vergleichen wir diese beiden Grafiken miteinander.

182. Die Beziehung zwischen den Graphen direkter und inverser Funktionen. So erstellen Sie eine Wertetabelle der Umkehrfunktion y= ± √ x wir haben dafür gesorgt X die Zahlen, die in der Tabelle der direkten Funktion stehen y = x 2 diente als Werte für bei , und für bei nahm diese Zahlen; welche in dieser Tabelle die Werte dafür waren X . Daraus folgt, dass beide Graphen gleich sind, nur der Graph der direkten Funktion ist relativ zur Achse so angeordnet bei - wie der Graph der Umkehrfunktion relativ zur Achse liegt X - ov. Als Ergebnis biegen wir die Zeichnung um eine gerade Linie OA einen rechten Winkel halbieren xOy , also der Teil der Zeichnung, der die Halbachse enthält OU , fiel auf den Teil, der die Achswelle enthält Oh , Das OU kompatibel mit Oh , alle Abteilungen OU wird mit Spaltungen zusammenfallen Oh und Parabelpunkte y = x 2 wird an den entsprechenden Punkten im Diagramm ausgerichtet y= ± √ x . Zum Beispiel Punkte M Und N , deren Ordinate 4 und die Abszissen 2 Und - 2 , wird mit den Punkten übereinstimmen M" Und N" , für die die Abszisse 4 und die Ordinaten 2 Und - 2 . Wenn diese Punkte zusammenfallen, bedeutet dies, dass die geraden Linien MM" Und NN" senkrecht zu OA und teile diese gerade Linie in zwei Hälften. Das Gleiche gilt für alle anderen entsprechenden Punkte in beiden Diagrammen.

Somit sollte der Graph der Umkehrfunktion derselbe sein wie der Graph der direkten Funktion, diese Graphen liegen jedoch unterschiedlich, nämlich symmetrisch zueinander relativ zur Winkelhalbierenden xOy . Wir können sagen, dass der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung (wie in einem Spiegel) des Graphen der direkten Funktion relativ zur Winkelhalbierenden ist xOy .

Bevor es Taschenrechner gab, berechneten Schüler und Lehrer die Quadratwurzeln von Hand. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl manuell zu berechnen. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

Primfaktorzerlegung

Faktorisieren Sie die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder genaue Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren sind Zahlen, deren Multiplikation die ursprüngliche Zahl ergibt. Beispielsweise sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Quadratfaktoren sind Faktoren, also Quadratzahlen. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

• Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (von Hand). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu faktorisieren. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar – das ist eine Quadratzahl. Wenn man 400 durch 25 teilt, erhält man 16. Die Zahl 16 ist auch eine Quadratzahl. Somit kann 400 in die Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.
• Dies kann wie folgt geschrieben werden: √400 = √(25 x 16).

1. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Termes, d. h. √(a x b) = √a x √b. Verwenden Sie diese Regel, um die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors zu ziehen und die Ergebnisse zu multiplizieren, um die Antwort zu finden.

   • Ziehen Sie in unserem Beispiel die Wurzel aus 25 und 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), können Sie die genaue Antwort nicht in Form einer ganzen Zahl finden. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehen die Wurzel aus dem gemeinsamen Faktor.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 lässt sich nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegen, wohl aber in die folgenden Faktoren: 49 und 3. Lösen Sie das Problem wie folgt:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Schätzen Sie ggf. den Wert der Wurzel. Jetzt können Sie den Wert der Wurzel schätzen (einen Näherungswert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln der Quadratzahlen vergleichen, die der Grundzahl am nächsten liegen (auf beiden Seiten der Zahlenlinie). Den Wurzelwert erhalten Sie als Dezimalbruch, der mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.

   • Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Die Wurzelzahl ist 3. Die ihr am nächsten liegenden Quadratzahlen sind die Zahlen 1 (√1 = 1) und 4 (√4 = 2). Somit liegt der Wert von √3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von √3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: √3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 = 11,9. Wenn Sie mit einem Taschenrechner rechnen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.
     • Diese Methode funktioniert auch mit große Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel √35. Die Wurzelzahl ist 35. Die ihr am nächsten kommenden Quadratzahlen sind die Zahlen 25 (√25 = 5) und 36 (√36 = 6). Somit liegt der Wert von √35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von √35 viel näher bei 6 als bei 5 liegt (weil 35 nur 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass √35 etwas kleiner als 6 ist Der Blick auf den Rechner ergibt 5,92 - wir hatten recht.

4. Ein anderer Weg - Faktorisieren Sie die Wurzelzahl in Primfaktoren. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreiben Sie die Primfaktoren in eine Reihe und finden Sie Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen entnommen werden.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Grundzahl in Primfaktoren: 45 = 9 x 5 und 9 = 3 x 3. Somit ist √45 = √(3 x 3 x 5). 3 kann als Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 schätzen.
   • Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikatoren von 2 erhalten; Nehmen Sie ein paar davon und verschieben Sie sie über das Wurzelzeichen hinaus.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können Sie √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

   Quadratwurzel manuell berechnen

   Mit langer Division

   1. Diese Methode beinhaltet einen Prozess ähnlich der Langdivision und liefert eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zunächst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und zeichnen Sie dann rechts und etwas unterhalb der Oberkante des Blattes horizontale Linie. Teilen Sie nun die Grundzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Nachkommateil. Die Zahl 79520789182.47897 wird also als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“ geschrieben.

      • Berechnen wir zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie oben links die angegebene Zahl in der Form „7 80, 14“. Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel dieser Zahl) schreiben Sie oben rechts.

   2. Suchen Sie für das erste Zahlenpaar (oder die einzelne Zahl) von links die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem betreffenden Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) ist. Mit anderen Worten: Finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner als dieses ist, und ziehen Sie daraus die Quadratwurzel Quadratzahl; Sie erhalten die Nummer n. Schreiben Sie das n, das Sie gefunden haben, oben rechts und das Quadrat von n unten rechts.

      • In unserem Fall ist die erste Zahl links die 7. Als nächstes die 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtrahieren Sie das Quadrat der Zahl n, die Sie gerade gefunden haben, vom ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7 und erhalten Sie 3.

   4. Notieren Sie sich das zweite Zahlenpaar und notieren Sie es neben dem im vorherigen Schritt ermittelten Wert. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreiben Sie „80“ nach der 3. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts, um 4 zu erhalten. Schreiben Sie „4_×_=" unten rechts.

   5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.

      • Wenn wir in unserem Fall die Zahl 8 anstelle von Bindestrichen eingeben, dann ist 48 x 8 = 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 reicht aus. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 = 329. Schreiben Sie oben rechts 7 – das ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.

   6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl links, ermitteln Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter den Subtrahend.

      • In unserem Beispiel subtrahieren Sie 329 von 380, was 51 ergibt.

   7. Wiederholen Sie Schritt 4. Handelt es sich bei dem übertragenen Zahlenpaar um den Bruchteil der ursprünglichen Zahl, dann setzen Sie in der erforderlichen Quadratwurzel oben rechts ein Trennzeichen (Komma) zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen. Bringen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das nächste zu entfernende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14. Platzieren Sie daher das Trennzeichen für den ganzzahligen Teil und den Bruchteil in der gewünschten Quadratwurzel oben rechts. Notieren Sie sich 14 und schreiben Sie sie unten links auf. Das Doppelte der Zahl oben rechts (27) ist 54, also schreiben Sie unten rechts „54_×_=".

   8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Einen finden größte Zahl anstelle der Bindestriche auf der rechten Seite (anstelle der Bindestriche müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Ergebnis der Multiplikation kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.

      • In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, was kleiner ist als die aktuelle Zahl links (5114). Schreiben Sie oben rechts eine 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.

   9. Wenn Sie weitere Dezimalstellen für die Quadratwurzel finden müssen, schreiben Sie ein paar Nullen links von der aktuellen Zahl und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die Antwortgenauigkeit (Anzahl der Dezimalstellen) erhalten brauchen.

   Den Prozess verstehen

   Zur Assimilation diese Methode Stellen Sie sich die Zahl, deren Quadratwurzel Sie ermitteln möchten, als Fläche des Quadrats S vor. In diesem Fall suchen Sie nach der Länge der Seite L eines solchen Quadrats. Wir berechnen den Wert von L so, dass L² = S.

   Geben Sie für jede Zahl in der Antwort einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit A die erste Ziffer im Wert von L (der gewünschten Quadratwurzel). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.

   Geben Sie für jedes Paar erster Ziffern einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit S a das erste Ziffernpaar im Wert von S, mit S b das zweite Ziffernpaar und so weiter.

   Verstehen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Methode und der Langdivision. Genau wie bei der Division, bei der wir jedes Mal nur an der nächsten Ziffer der Zahl interessiert sind, die wir dividieren, arbeiten wir bei der Berechnung einer Quadratwurzel nacheinander durch ein Ziffernpaar (um die nächste Ziffer im Quadratwurzelwert zu erhalten). ).

   1. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (in unserem Beispiel Sa = 7) und ermitteln Sie deren Quadratwurzel. In diesem Fall ist die erste Ziffer A des gewünschten Quadratwurzelwerts eine Ziffer, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (das heißt, wir suchen nach einem A, für das die Ungleichung A² ≤ Sa gilt< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die bei Multiplikation mit 7 einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Stellen Sie sich im Geiste ein Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, also der Seitenlänge eines Quadrats, dessen Fläche gleich S ist. A, B, C sind die Zahlen in der Zahl L. Sie können es auch anders schreiben: 10A + B = L (für eine zweistellige Zahl) oder 100A + 10B + C = L (für eine dreistellige Zahl) und so weiter.

      • Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der die Ziffer B für Einer und die Ziffer A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann ist 10A+B gleich der Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Platzes, 100A²- Fläche des großen inneren Platzes, B²- Fläche des kleinen inneren Platzes, 10A×B- die Fläche jedes der beiden Rechtecke. Durch Addition der Flächen der beschriebenen Figuren erhalten Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.