Addition von Brüchen mit Primzahlen. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche

Aktionen mit Brüchen.

Aufmerksamkeit!
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Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr ...“

Also, was sind Brüche, Arten von Brüchen, Transformationen – wir haben uns erinnert. Lassen Sie uns die Hauptfrage angehen.

Was kann man mit Brüchen machen? Ja, alles ist wie bei gewöhnlichen Zahlen. Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.

All diese Aktionen mit Dezimal Operationen mit Brüchen unterscheiden sich nicht von Operationen mit ganzen Zahlen. Eigentlich sind sie dafür gut: Dezimalzahlen. Das Einzige ist, dass Sie das Komma richtig setzen müssen.

gemischte Zahlen, wie gesagt, sind für die meisten Aktionen von geringem Nutzen. Sie müssen noch in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden.

Und hier sind die Aktionen mit gewöhnliche Brüche wird schlauer sein. Und noch viel wichtiger! Lass mich dich errinnern: Alle Aktionen mit gebrochenen Ausdrücken mit Buchstaben, Sinus, Unbekannten usw. unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen! Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sind die Grundlage aller Algebra. Aus diesem Grund werden wir diese ganze Arithmetik hier ausführlich analysieren.

Addition und Subtraktion von Brüchen.

Jeder kann Brüche mit demselben Nenner addieren (subtrahieren) (das hoffe ich wirklich!). Nun, ich möchte Sie daran erinnern, dass ich völlig vergesslich bin: Beim Addieren (Subtrahieren) ändert sich der Nenner nicht. Die Zähler werden addiert (subtrahiert), um den Zähler des Ergebnisses zu erhalten. Typ:

Kurz und allgemein:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? Dann nutzen wir die Haupteigenschaft des Bruchs (hier war sie wieder praktisch!), Machen wir die Nenner gleich! Zum Beispiel:

Hier mussten wir aus dem Bruch 2/5 den Bruch 4/10 machen. Einzig und allein, um die Nenner gleich zu machen. Ich stelle für alle Fälle fest, dass es 2/5 und 4/10 sind der gleiche Bruch! Nur 2/5 sind für uns unangenehm und 4/10 ist sogar nichts.

Dies ist übrigens die Essenz der Lösung jeglicher Aufgaben in der Mathematik. Wenn wir draußen sind unbequem Ausdrücke tun es das Gleiche, aber bequemer zu lösen.

Ein anderes Beispiel:

Die Situation ist ähnlich. Hier machen wir 48 aus 16. Durch einfache Multiplikation zu 3. Das ist alles klar. Aber hier stoßen wir auf etwas wie:

Wie sein?! Es ist schwer, aus einer Sieben eine Neun zu machen! Aber wir sind schlau, wir kennen die Regeln! Lasst uns transformieren jeden Bruch so, dass die Nenner gleich sind. Dies nennt man „auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren“:

Wie! Woher wusste ich von 63? Sehr einfach! 63 ist eine Zahl, die gleichzeitig durch 7 und 9 teilbar ist. Eine solche Zahl erhält man immer durch Multiplikation der Nenner. Wenn wir beispielsweise eine Zahl mit 7 multiplizieren, wird das Ergebnis mit Sicherheit durch 7 geteilt!

Wenn Sie mehrere Brüche addieren (subtrahieren) müssen, müssen Sie dies nicht paarweise Schritt für Schritt tun. Sie müssen nur den Nenner finden, der allen Brüchen gemeinsam ist, und jeden Bruch auf denselben Nenner bringen. Zum Beispiel:

Und was wird der gemeinsame Nenner sein? Sie können natürlich 2, 4, 8 und 16 multiplizieren. Wir erhalten 1024. Albtraum. Es ist einfacher abzuschätzen, dass die Zahl 16 perfekt durch 2, 4 und 8 teilbar ist. Daher ist es einfach, aus diesen Zahlen 16 zu erhalten. Diese Zahl wird der gemeinsame Nenner sein. Machen wir aus 1/2 8/16, aus 3/4 12/16 und so weiter.

Wenn wir übrigens 1024 als gemeinsamen Nenner nehmen, wird auch alles klappen, am Ende wird alles reduziert. Nur wird aufgrund der Berechnungen nicht jeder zu diesem Ziel gelangen ...

Lösen Sie das Beispiel selbst. Kein Logarithmus... Es sollte 29/16 sein.

Also, mit der Addition (Subtraktion) von Brüchen ist das hoffentlich klar? Natürlich ist es einfacher, in einer verkürzten Version mit zusätzlichen Multiplikatoren zu arbeiten. Aber dieses Vergnügen steht denen offen, die ehrlich in den unteren Klassen gearbeitet haben ... und nichts vergessen haben.

Und jetzt werden wir die gleichen Aktionen ausführen, aber nicht mit Brüchen, sondern mit Bruchausdrücke. Neue Rechen werden hier zu finden sein, ja ...

Wir müssen also zwei Bruchausdrücke hinzufügen:

Wir müssen die Nenner gleich machen. Und nur mit Hilfe Multiplikation! So lautet die Haupteigenschaft des Bruchs. Daher kann ich im ersten Bruch im Nenner keine Eins zu x addieren. (Aber das wäre schön!). Aber wenn man die Nenner multipliziert, wächst alles zusammen! Also schreiben wir die Zeile des Bruchs auf, lassen oben ein Leerzeichen, fügen es dann hinzu und schreiben das Produkt der Nenner unten, um nicht zu vergessen:

Und natürlich multiplizieren wir nichts auf der rechten Seite, wir öffnen keine Klammern! Und jetzt, wenn wir den gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite betrachten, denken wir: Um den Nenner x (x + 1) im ersten Bruch zu erhalten, müssen wir Zähler und Nenner dieses Bruchs mit (x + 1) multiplizieren. . Und im zweiten Bruchteil - x. Du bekommst das:

Beachten Sie! Klammern sind da! Das ist der Rechen, auf den viele treten. Natürlich keine Klammern, sondern deren Abwesenheit. Klammern erscheinen, weil wir multiplizieren das Ganze Zähler und das Ganze Nenner! Und nicht ihre einzelnen Stücke ...

In den Zähler der rechten Seite schreiben wir die Summe der Zähler, alles ist wie bei numerischen Brüchen, dann öffnen wir die Klammern im Zähler der rechten Seite, d.h. Alles multiplizieren und liken. Sie müssen die Klammern im Nenner nicht öffnen, Sie müssen nichts multiplizieren! Im Allgemeinen ist das Produkt im Nenner (beliebig) immer angenehmer! Wir bekommen:

Hier haben wir die Antwort. Der Prozess scheint langwierig und schwierig zu sein, aber er hängt von der Übung ab. Lösen Sie Beispiele, gewöhnen Sie sich daran, alles wird einfach. Wer die Brüche in der vorgegebenen Zeit beherrscht, kann alle diese Operationen mit einer Hand an der Maschine ausführen!

Und noch eine Anmerkung. Viele beschäftigen sich bekanntermaßen mit Brüchen, bleiben aber bei Beispielen ganz Zahlen. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Wo kann man eine Zwei befestigen? Sie müssen nirgendwo befestigen, Sie müssen aus einer Zwei einen Bruchteil machen. Es ist nicht einfach, es ist sehr einfach! 2=2/1. So. Jede ganze Zahl kann als Bruch geschrieben werden. Der Zähler ist die Zahl selbst, der Nenner ist Eins. 7 ist 7/1, 3 ist 3/1 und so weiter. Mit Buchstaben ist es genauso. (a + b) = (a + b) / 1, x = x / 1 usw. Und dann arbeiten wir mit diesen Brüchen nach allen Regeln.

Nun, bei der Addition und Subtraktion von Brüchen wurde das Wissen aufgefrischt. Transformationen von Brüchen von einer Art in eine andere – wiederholt. Sie können es auch überprüfen. Sollen wir uns ein wenig beruhigen?)

Berechnung:

Antworten (in Unordnung):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikation/Division von Brüchen – in der nächsten Lektion. Es gibt auch Aufgaben für alle Aktionen mit Brüchen.

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Unterrichtsinhalte

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten des Addierens von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche addieren mit verschiedene Nenner

Beginnen wir mit der Addition von Brüchen mit demselben Nenner. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Addieren wir zum Beispiel die Brüche und . Wir addieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns eine Pizza vorstellen, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man Pizza zu Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 2 Addiere Brüche und .

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Wenn die Aufgabe zu Ende ist, ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen. In unserem Fall ganzer Teil fällt leicht auf - zwei geteilt durch zwei ist gleich eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in zwei Teile geteilt ist. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Addieren Sie erneut die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in drei Teile geteilt ist. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie Pizzen:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und weitere Pizzen.

Wie Sie sehen, ist das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner nicht schwierig. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner dieser Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Brüche können beispielsweise addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Brüche können jedoch nicht auf einmal addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren. Heute betrachten wir nur eine davon, da die restlichen Methoden für einen Anfänger kompliziert erscheinen können.

Der Kern dieser Methode besteht darin, dass zunächst (LCM) der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor. Das Gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – der LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält den zweiten zusätzlichen Faktor.

Dann werden die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Addiere Brüche und

Zunächst ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Nun zurück zu Brüchen und . Zuerst dividieren wir den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Faktor. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Dazu machen wir einen kleinen schrägen Strich über dem Bruch und schreiben darüber den gefundenen Zusatzfaktor:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Faktor. Wir schreiben es in den zweiten Bruch. Wieder machen wir eine kleine schräge Linie über dem zweiten Bruch und schreiben darüber den gefundenen Zusatzfaktor:

Jetzt sind wir bereit, etwas hinzuzufügen. Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, wozu wir gekommen sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Vervollständigen wir dieses Beispiel bis zum Ende:

Damit endet das Beispiel. Es stellt sich heraus, es hinzuzufügen.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn man zu einer Pizza Pizzen hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Auch die Reduktion von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner lässt sich anhand eines Bildes darstellen. Wenn wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke repräsentiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert) werden.

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (vier von sechs Teilen) und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von sechs Teilen). Wenn wir diese Teile zusammenfügen, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist falsch, daher haben wir den ganzzahligen Teil darin hervorgehoben. Das Ergebnis war (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu detailliert gemalt haben. IN Bildungsinstitutionen Es ist nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, schnell den LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren zu finden und die zusätzlichen Faktoren, die Sie mit Ihren Zählern und Nennern gefunden haben, schnell zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch die andere Seite der Medaille. Wenn in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen gemacht werden, dann stellen sich solche Fragen „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden Brüche plötzlich zu ganz anderen Brüchen?“ «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu erleichtern, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen.
2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch.
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie seinen ganzen Teil aus;

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Benutzen wir die obige Anleitung.

Schritt 1. Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen

Finden Sie den LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch

Teilen Sie den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, wir erhalten 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit Ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit unseren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Es bleibt, diese Brüche zu addieren. Addieren:

Der Zusatz passte nicht in eine Zeile, daher haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. Das ist in der Mathematik erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile übernommen und es ist erforderlich, am Ende der ersten Zeile und am Anfang einer neuen Zeile ein Gleichheitszeichen (=) einzufügen. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass es sich um eine Fortsetzung des Ausdrucks aus der ersten Zeile handelt.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil darin aus

Unsere Antwort ist ein unechter Bruch. Wir müssen den gesamten Teil davon herausgreifen. Wir heben hervor:

Habe eine Antwort bekommen

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Es gibt zwei Arten der Bruchsubtraktion:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks ermitteln. Um dieses Beispiel zu lösen, ist es notwendig, den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner unverändert zu lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns eine Pizza vorstellen, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der übrigen Brüche subtrahieren:

Wie Sie sehen, ist das Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner nichts Kompliziertes. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispielsweise kann ein Bruch von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche den gleichen Nenner haben. Ein Bruch kann jedoch nicht von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt, das wir bei der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Ermitteln Sie zunächst den LCM der Nenner beider Brüche. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über den ersten Bruch geschrieben wird. Ebenso wird der LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über den zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern in Brüche mit demselben Nenner umgewandelt. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Zuerst ermitteln wir den LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Nun zurück zu Brüchen und

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. Dazu dividieren wir den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir schreiben die vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie ein Tripel über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Vervollständigen wir dieses Beispiel bis zum Ende:

Habe eine Antwort bekommen

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen.

Dies ist die detaillierte Version der Lösung. Da wir in der Schule sind, müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde so aussehen:

Auch die Reduktion von Brüchen und auf einen gemeinsamen Nenner lässt sich anhand eines Bildes darstellen. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch dieselben Pizzastücke dargestellt, dieses Mal werden sie jedoch in dieselben Brüche unterteilt (auf denselben Nenner reduziert):

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (acht von zwölf Teilen), und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von zwölf Teilen). Indem wir von acht Stücken drei Stücke abschneiden, erhalten wir fünf von zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Teile.

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie zunächst auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Finden Sie den LCM der Nenner dieser Brüche.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir für jeden Bruch zusätzliche Faktoren. Dazu dividieren wir den LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles zur Subtraktion bereit. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, daher verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein richtiger Bruch war, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Bruchteil reduzieren.

Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie seinen Zähler und Nenner durch (ggT) der Zahlen 20 und 30 dividieren.

Wir finden also den GCD der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen GCD, also durch 10

Habe eine Antwort bekommen

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner unverändert lassen.

Beispiel 1. Multiplizieren Sie den Bruch mit der Zahl 1.

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Der Eintrag kann so verstanden werden, dass er die Hälfte der Zeit in Anspruch nimmt. Wenn du zum Beispiel einmal Pizza isst, bekommst du Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Multiplikator vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich. Auch hier gilt die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Dieser Eintrag kann als Einnahme der halben Einheit verstanden werden. Wenn es zum Beispiel eine ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass er zwei Viertel viermal einnimmt. Nimmt man zum Beispiel 4 Pizzen, erhält man zwei ganze Pizzen.

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator stellenweise vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es wird auch gleich 2 sein. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus vier ganzen Pizzen zwei Pizzen nimmt:

Eine Zahl, die mit einem Bruch multipliziert wird, und der Nenner des Bruchs werden aufgelöst, wenn sie einen gemeinsamen Teiler haben, der größer als eins ist.

Beispielsweise kann ein Ausdruck auf zwei Arten ausgewertet werden.

Erster Weg. Multiplizieren Sie die Zahl 4 mit dem Zähler des Bruchs und lassen Sie den Nenner des Bruchs unverändert:

Zweiter Weg. Das Vierfache wird multipliziert und das Vierfache im Nenner des Bruchs kann reduziert werden. Sie können diese Vieren um 4 reduzieren, da der größte gemeinsame Teiler zweier Vieren die Vier selbst ist:

Wir haben das gleiche Ergebnis erhalten 3. Nach dem Reduzieren der Vieren werden an ihrer Stelle neue Zahlen gebildet: zwei Einsen. Aber eins mit einem Tripel zu multiplizieren und dann durch eins zu dividieren, ändert nichts. Daher kann die Lösung kürzer geschrieben werden:

Die Reduktion kann auch dann durchgeführt werden, wenn wir uns für die erste Methode entschieden haben, aber in der Phase der Multiplikation der Zahl 4 und des Zählers 3 haben wir uns für die Reduktion entschieden:

Aber zum Beispiel kann der Ausdruck nur auf die erste Weise berechnet werden – multiplizieren Sie 7 mit dem Nenner des Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dies liegt daran, dass die Zahl 7 und der Nenner des Bruchs keinen gemeinsamen Teiler größer als eins haben und dementsprechend nicht reduziert werden.

Manche Schüler kürzen fälschlicherweise die zu multiplizierende Zahl und den Zähler des Bruchs ab. Das kannst du nicht machen. Beispielsweise ist der folgende Eintrag nicht korrekt:

Die Reduzierung des Bruchs impliziert dies und Zähler und Nenner wird durch die gleiche Zahl geteilt. In der Situation mit dem Ausdruck wird die Division nur im Zähler durchgeführt, da das Schreiben dasselbe ist wie das Schreiben von . Wir sehen, dass die Division nur im Zähler durchgeführt wird und keine Division im Nenner erfolgt.

Multiplikation von Brüchen

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Habe eine Antwort bekommen. Es ist wünschenswert, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 reduziert werden. Dann wird die endgültige Lösung die folgende Form annehmen:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus einer halben Pizza eine Pizza nimmt. Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nimmt man zwei Drittel dieser Hälfte? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Teilen:

Wir holen uns Pizza. Denken Sie daran, wie eine Pizza aussieht, die in drei Teile geteilt ist:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, werden die gleichen Abmessungen haben:

Mit anderen Worten: Wir sprechen von der gleichen Pizzagröße. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein richtiger Bruch war, aber er wird gut, wenn er gekürzt wird. Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Finden wir also den GCD der Zahlen 105 und 450:

Jetzt teilen wir Zähler und Nenner unserer Antwort auf die GCD, die wir jetzt gefunden haben, also durch 15

Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Daraus ergibt sich, dass die Fünf ihre Bedeutung nicht ändern wird, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie Sie wissen, gleich fünf ist:

Zahlen umkehren

Jetzt werden wir uns kennenlernen interessantes Thema in Mathematik. Es heißt „umgekehrte Zahlen“.

Definition. Umgekehrt zur NummerA ist die Zahl, die multipliziert wird mitA ergibt eine Einheit.

Ersetzen wir diese Definition durch eine Variable A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Nummer 5 ist die Zahl, die multipliziert wird mit 5 ergibt eine Einheit.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie mit 5 multipliziert, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Stellen wir fünf als Bruch dar:

Dann multiplizieren Sie diesen Bruch mit sich selbst, indem Sie einfach Zähler und Nenner vertauschen. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur invertiert:

Was wird das Ergebnis sein? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eines:

Dies bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn man 5 mit eins multipliziert, erhält man eins.

Der Kehrwert kann auch für jede andere ganze Zahl gefunden werden.

Sie können den Kehrwert auch für jeden anderen Bruch ermitteln. Dazu genügt es, es umzudrehen.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viele Pizzen bekommt jeder?

Es ist zu erkennen, dass nach dem Teilen der Hälfte der Pizza zwei gleiche Stücke entstanden sind, die jeweils eine Pizza ergeben. So bekommt jeder eine Pizza.

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So addieren Sie Dezimalzahlen

Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen. Addition durchführen Dezimalbrüche Sie müssen eine einfache Regel befolgen:

• Die Ziffer muss unter der Ziffer stehen, das Komma unter dem Komma.

Wie Sie im Beispiel sehen können, liegen ganze Einheiten untereinander, Zehntel und Hundertstel untereinander. Jetzt addieren wir die Zahlen und ignorieren das Komma. Was tun mit einem Komma? Das Komma wird an die Stelle verschoben, an der es in der Ziffer von ganzen Zahlen stand.

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Um eine Addition mit einem gemeinsamen Nenner durchzuführen, müssen Sie den Nenner unverändert lassen, die Summe der Zähler ermitteln und einen Bruch erhalten, der den Gesamtbetrag darstellt.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, indem man ein gemeinsames Vielfaches findet

Das erste, worauf man achten sollte, sind die Nenner. Die Nenner sind unterschiedlich, ob einer durch den anderen teilbar ist, ob es sich um Primzahlen handelt. Zuerst müssen Sie es auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten:

• 1/3 + 3/4 = 13/12. Um dieses Beispiel zu lösen, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) finden, das durch 2 Nenner teilbar ist. Um das kleinste Vielfache von a und b zu bezeichnen - LCM (a; b). IN dieses Beispiel LCM (3;4)=12. Prüfung: 12:3=4; 12:4=3.
• Wir multiplizieren die Faktoren und addieren die resultierenden Zahlen. Wir erhalten 13/12 – einen unechten Bruch.

• Um einen unechten Bruch in einen echten umzuwandeln, dividieren wir den Zähler durch den Nenner, wir erhalten die ganze Zahl 1, der Rest 1 ist der Zähler und 12 ist der Nenner.

Brüche durch Kreuzmultiplikation addieren

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, gibt es einen anderen Weg nach der Formel „Kreuz für Kreuz“. Dies ist eine garantierte Möglichkeit, die Nenner auszugleichen. Dazu müssen Sie die Zähler mit dem Nenner eines Bruchs multiplizieren und umgekehrt. Wenn Sie sich gerade in der Anfangsphase des Erlernens von Brüchen befinden, ist diese Methode der einfachste und genaueste Weg, um beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern das richtige Ergebnis zu erzielen.

Im fünften Jahrhundert v. Chr antiker griechischer Philosoph Zenon von Elea formulierte seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit andauern, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert ... Sie alle betrachteten auf die eine oder andere Weise Zenos Aporien. Der Schock war so stark, dass „ ... die Diskussionen dauern derzeit an, die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporien“]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang vom Wert zum Wert deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Anwendungsapparat variable Einheiten Die Messung ist entweder noch nicht entwickelt oder wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir auf den Kehrwert konstante Zeiteinheiten an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommen. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleib drinnen konstante Einheiten Zeitmessungen und schalten nicht auf Kehrwerte um. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Für das nächste Zeitintervall gleich dem ersten, Achilles wird noch tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Anhand eines Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um die tatsächliche Bewegung des Autos festzustellen, sind zwei Fotos erforderlich, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, sie können jedoch nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos von verschiedene Punkte Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt, aber es ist unmöglich, daraus die Tatsache der Bewegung zu bestimmen (natürlich werden noch zusätzliche Daten für Berechnungen benötigt, die Trigonometrie hilft Ihnen). Worauf möchte ich mich konzentrieren? Besondere Aufmerksamkeit besteht darin, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten zur Erkundung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind in Wikipedia sehr gut beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, „kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben“, wenn es jedoch identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden eine solche Logik der Absurdität niemals verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und dressierter Affen, bei denen der Verstand beim Wort „völlig“ fehlt. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke saßen. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter. Hier kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine des gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Man kann es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!“ Darüber hinaus wird sichergestellt, dass Banknoten desselben Nennwerts unterschiedliche Banknotennummern aufweisen, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen – auf den Münzen stehen keine Zahlen. Hier wird sich der Mathematiker hektisch an die Physik erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd da.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, erhalten wir eine Menge, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrfachmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, Schamanen jedoch im Grunde.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein Zahlengrafiksymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die von Mathematikern verwendeten „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir die Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme Bei der Berechnung wird die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich sein. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. MIT eine große Anzahl 12345 Ich möchte mir nichts vormachen, denken Sie an die Nummer 26 aus dem Artikel über. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als ob die Ermittlung der Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern zu völlig anderen Ergebnissen führen würde.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Warum gibt es für Mathematiker nichts als Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich hat es nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist, wenn das Ergebnis mathematisches Handeln hängt nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon ab, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zur Untersuchung der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für eine Idiotin, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein bogenförmiges Stereotyp der Wahrnehmung grafischer Bilder. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Brüche sind gewöhnliche Zahlen, sie können auch addiert und subtrahiert werden. Aufgrund der Tatsache, dass sie einen Nenner haben, sind hier jedoch komplexere Regeln erforderlich als für ganze Zahlen.

Betrachten Sie den einfachsten Fall, wenn es zwei Brüche mit demselben Nenner gibt. Dann:

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, addieren Sie deren Zähler und lassen den Nenner unverändert.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner wiederum unverändert zu lassen.

Innerhalb jedes Ausdrucks sind die Nenner der Brüche gleich. Durch die Definition der Addition und Subtraktion von Brüchen erhalten wir:

Wie Sie sehen, ist das nichts Kompliziertes: Addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler – und fertig.

Aber selbst bei solch einfachen Handlungen können Menschen Fehler machen. Meistens vergessen sie, dass sich der Nenner nicht ändert. Wenn man sie zum Beispiel addiert, beginnen sie sich auch zu summieren, und das ist grundsätzlich falsch.

Beseitigen, abschütteln schlechte Angewohnheit Das Addieren der Nenner ist einfach genug. Versuchen Sie, beim Subtrahieren dasselbe zu tun. Dadurch wird der Nenner Null und der Bruch verliert (plötzlich!) seine Bedeutung.

Denken Sie deshalb ein für alle Mal daran: Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich der Nenner nicht!

Außerdem machen viele Leute Fehler, wenn sie mehrere negative Brüche addieren. Es gibt Verwirrung mit den Zeichen: Wo soll ein Minus und wo ein Plus stehen?

Auch dieses Problem ist sehr einfach zu lösen. Es genügt zu bedenken, dass das Minus vor dem Bruchzeichen immer auf den Zähler übertragen werden kann – und umgekehrt. Und vergessen Sie natürlich nicht zwei einfache Regeln:

1. Plus mal Minus ergibt Minus;
2. Zwei Negative ergeben ein Bejahendes.

Lassen Sie uns das alles anhand konkreter Beispiele analysieren:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall ist alles einfach, und im zweiten Fall addieren wir Minuspunkte zu den Zählern der Brüche:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind?

Sie können Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht direkt addieren. Zumindest ist mir diese Methode unbekannt. Die ursprünglichen Brüche können jedoch jederzeit umgeschrieben werden, sodass die Nenner gleich werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Brüche umzuwandeln. Drei davon werden in der Lektion „Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen“ besprochen, daher werden wir hier nicht näher darauf eingehen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall bringen wir die Brüche mit der „Kreuzweise“-Methode auf einen gemeinsamen Nenner. Im zweiten werden wir nach dem LCM suchen. Beachten Sie, dass 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Die letzten Faktoren in diesen Entwicklungen sind gleich und die ersten sind teilerfremd. Daher ist LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Was ist, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat?

Ich kann Ihnen gefallen: Unterschiedliche Nenner von Brüchen sind nicht das größte Übel. Viel mehr Fehler entsteht, wenn der ganze Teil in den gebrochenen Termen herausgegriffen wird.

Natürlich gibt es für solche Brüche eigene Additions- und Subtraktionsalgorithmen, aber diese sind ziemlich kompliziert und erfordern ein langes Studium. Bessere Nutzung eine einfache Schaltung unter:

1. Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte um. Wir erhalten normale Terme (wenn auch mit unterschiedlichen Nennern), die nach den oben besprochenen Regeln berechnet werden;
2. Berechnen Sie tatsächlich die Summe oder Differenz der resultierenden Brüche. Als Ergebnis werden wir praktisch die Antwort finden;
3. Wenn dies alles ist, was in der Aufgabe erforderlich war, führen wir die Rücktransformation durch, d. h. Wir entfernen den unechten Bruch und heben den ganzzahligen Teil darin hervor.

Die Regeln für den Wechsel zu unechten Brüchen und die Hervorhebung des ganzzahligen Teils werden ausführlich in der Lektion „Was ist ein numerischer Bruch“ beschrieben. Wenn Sie sich nicht erinnern, wiederholen Sie es unbedingt. Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Hier ist alles einfach. Die Nenner in jedem Ausdruck sind gleich, es müssen also noch alle Brüche in unechte Brüche umgewandelt und gezählt werden. Wir haben:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, habe ich in den letzten Beispielen einige offensichtliche Schritte übersprungen.

Eine kleine Anmerkung zu den letzten beiden Beispielen, wo Brüche mit hervorgehobenem ganzzahligem Teil subtrahiert werden. Das Minus vor dem zweiten Bruch bedeutet, dass der ganze Bruch subtrahiert wird und nicht nur sein ganzer Teil.

Lesen Sie diesen Satz noch einmal, schauen Sie sich die Beispiele an und denken Sie darüber nach. Hier machen Anfänger viele Fehler. Sie lieben es, solche Aufgaben zu übertragen Kontrollarbeit. Sie werden Ihnen auch in den Tests zu dieser Lektion, die in Kürze veröffentlicht werden, immer wieder begegnen.

Zusammenfassung: Allgemeines Schema des Rechnens

Abschließend gebe ich einen allgemeinen Algorithmus an, der Ihnen hilft, die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen zu ermitteln:

1. Wenn ein ganzzahliger Teil in einem oder mehreren Brüchen hervorgehoben ist, wandeln Sie diese Brüche in unechte Brüche um;
2. Bringen Sie alle Brüche auf eine für Sie bequeme Weise auf einen gemeinsamen Nenner (es sei denn, die Compiler der Aufgaben haben dies natürlich getan);
3. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Zahlen gemäß den Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner;
4. Reduzieren Sie das Ergebnis wenn möglich. Wenn sich herausstellt, dass der Bruch falsch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Denken Sie daran, dass es besser ist, den gesamten Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, kurz bevor Sie die Antwort schreiben.