Methoden zur Lösung von Grenzen. Unsicherheiten.
Die Wachstumsreihenfolge der Funktion. Ersatzmethode

Beispiel 4

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können. Im vorgeschlagenen Beispiel wiederum Unsicherheit (mehr hoher Auftrag Höhe als die Wurzel).

Wenn „x“ gegen „minus unendlich“ tendiert

Das Gespenst „minus unendlich“ schwebt in diesem Artikel schon seit langem. Betrachten wir Grenzen mit Polynomen, in denen . Die Prinzipien und Lösungsmethoden werden bis auf einige Nuancen genau die gleichen sein wie im ersten Teil der Lektion.

Schauen wir uns 4 Tricks an, die zur Lösung praktischer Aufgaben erforderlich sind:

1) Berechnen Sie den Grenzwert

Der Wert des Limits hängt nur von der Laufzeit ab, da diese am meisten hat hoher Auftrag Wachstum. Wenn, dann unendlich großer Modul eine negative Zahl in einem gleichmäßigen Ausmaß, V in diesem Fall– im vierten gleich „plus unendlich“: . Konstant („zwei“) positiv, Deshalb:

2) Berechnen Sie den Grenzwert

Hier ist noch einmal der Senior-Abschluss sogar, Deshalb: . Aber davor steht ein „Minus“ ( Negativ konstant –1), also:

3) Berechnen Sie den Grenzwert

Der Grenzwert hängt nur von ab. Wie Sie sich aus der Schule erinnern, „springt“ das „Minus“ unter dem ungeraden Grad hervor, also unendlich großer Modul negative Zahl zu einer ungeraden Potenz entspricht „minus unendlich“, in diesem Fall: .
Konstant („vier“) positiv, Bedeutet:

4) Berechnen Sie den Grenzwert

Der erste Mann im Dorf hat es wieder getan seltsam Grad aber auch im Busen Negativ konstant, was bedeutet: Also:
.

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze

Anhand der oben genannten Punkte kommen wir zu dem Schluss, dass hier Unsicherheit besteht. Zähler und Nenner haben die gleiche Wachstumsordnung, was bedeutet, dass das Ergebnis im Grenzfall eine endliche Zahl ist. Lassen Sie uns die Antwort herausfinden, indem wir alle Jungfische wegwerfen:

Die Lösung ist trivial:

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und jetzt vielleicht der subtilste Fall:

Beispiel 7

Finden Sie die Grenze

Betrachtet man die Leitbegriffe, kommen wir zu dem Schluss, dass hier Unsicherheit besteht. Der Zähler hat eine höhere Wachstumsordnung als der Nenner, daher können wir sofort sagen, dass die Grenze gleich unendlich ist. Aber was für eine Unendlichkeit, „Plus“ oder „Minus“? Die Technik ist dieselbe – lassen Sie uns die kleinen Dinge im Zähler und Nenner loswerden:

Wir entscheiden:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch

Beispiel 15

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs am Ende der Lektion.

Noch ein paar interessante Beispiele zum Thema Variablenersetzung:

Beispiel 16

Finden Sie die Grenze

Wenn Eins in den Grenzwert eingesetzt wird, erhält man Unsicherheit. Das Ändern der Variablen liegt bereits nahe, aber zuerst transformieren wir den Tangens mithilfe der Formel. Warum brauchen wir tatsächlich eine Tangente?

Beachten Sie daher, dass . Wenn es nicht ganz klar ist, schauen Sie sich die Sinuswerte an trigonometrische Tabelle. Somit entfällt sofort der Multiplikator, außerdem erhalten wir die bekanntere Unsicherheit von 0:0. Es wäre schön, wenn unser Limit gegen Null tendieren würde.

Ersetzen wir:

Wenn, dann

Unter dem Kosinus steht „x“, das ebenfalls durch „te“ ausgedrückt werden muss.
Aus der Ersetzung drücken wir aus: .

Wir vervollständigen die Lösung:

(1) Wir führen die Substitution durch

(2) Öffnen Sie die Klammern unter dem Kosinus.

(4) Organisieren erste wunderbare Grenze, multiplizieren Sie den Zähler künstlich mit der Kehrzahl.

Aufgabe zur eigenständigen Lösung:

Beispiel 17

Finden Sie die Grenze

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Das waren einfache Aufgaben in ihrer Klasse, in der Praxis kann alles noch schlimmer sein und darüber hinaus Reduktionsformeln, Sie müssen eine Vielzahl von verwenden trigonometrische Formeln, sowie andere Tricks. Im Artikel „Complex Limits“ habe ich mir ein paar reale Beispiele angeschaut =)

Am Vorabend des Feiertags klären wir endlich die Situation mit einer weiteren allgemeinen Unsicherheit:

Beseitigung der Unsicherheit „eins hoch zur Unendlichkeit“

Diese Unsicherheit wird „bedient“ zweite wunderbare Grenze, und im zweiten Teil dieser Lektion haben wir uns ausführlich mit Standardbeispielen für Lösungen befasst, die in den meisten Fällen in der Praxis zu finden sind. Jetzt wird das Bild mit den Exponenten vervollständigt, außerdem werden die letzten Aufgaben der Lektion den „falschen“ Grenzen gewidmet, bei denen es SCHEINT, dass es notwendig ist, die zweite wunderbare Grenze anzuwenden, obwohl dies überhaupt nicht der Fall ist Fall.

Der Nachteil der beiden Arbeitsformeln für den 2. bemerkenswerten Grenzwert besteht darin, dass das Argument gegen „plus Unendlich“ oder gegen Null tendieren muss. Was aber, wenn das Argument zu einer anderen Zahl tendiert?

Zur Rettung kommt eine universelle Formel (die eigentlich eine Folge der zweiten bemerkenswerten Grenze ist):

Unsicherheit kann mit der Formel beseitigt werden:

Irgendwo glaube ich, dass ich bereits erklärt habe, was die eckigen Klammern bedeuten. Nichts Besonderes, Klammern sind nur Klammern. Sie werden normalerweise verwendet, um die mathematische Notation deutlicher hervorzuheben.

Lassen Sie uns die wesentlichen Punkte der Formel hervorheben:

1) Es geht darum Es geht nur um Unsicherheit und sonst nichts.

2) Das „x“-Argument kann dazu tendieren willkürlicher Wert(und nicht nur auf Null oder), insbesondere auf „minus unendlich“ oder auf irgendjemand endliche Zahl.

Mit dieser Formel können Sie alle Beispiele der Lektion lösen. Wunderbare Grenzen, die zur 2. bemerkenswerten Grenze gehören. Berechnen wir zum Beispiel den Grenzwert:

In diesem Fall , und zwar nach der Formel :

Ich empfehle zwar nicht, dies zu tun; die Tradition besteht darin, immer noch das „normale“ Design der Lösung zu verwenden, sofern es anwendbar ist. Jedoch Mit der Formel ist es sehr bequem zu überprüfen„klassische“ Beispiele bis zur 2. bemerkenswerten Grenze.

Die Zahl 0 kann man sich als eine bestimmte Grenze vorstellen, die die Welt der reellen Zahlen von imaginären oder negativen Zahlen trennt. Aufgrund der mehrdeutigen Position gehorchen viele Operationen mit diesem Zahlenwert nicht der mathematischen Logik. Die Unmöglichkeit einer Division durch Null ist ein Paradebeispiel dafür. Und erlaubte arithmetische Operationen mit Null können mit allgemein anerkannten Definitionen durchgeführt werden.

Geschichte von Null

Null ist der Bezugspunkt in allen Standardzahlensystemen. Die Europäer begannen erst vor relativ kurzer Zeit, diese Zahl zu verwenden, aber die Weisen des alten Indien verwendeten die Null tausend Jahre bevor die leere Zahl regelmäßig von europäischen Mathematikern verwendet wurde. Schon vor den Indianern war die Null ein zwingender Wert im Zahlensystem der Maya. Diese Amerikaner verwendeten das duodezimale Zahlensystem und der erste Tag jedes Monats begann mit einer Null. Es ist interessant, dass bei den Mayas das Zeichen für „Null“ vollständig mit dem Zeichen für „Unendlichkeit“ übereinstimmte. Daher kamen die alten Mayas zu dem Schluss, dass diese Größen identisch und nicht erkennbar seien.

Mathematische Operationen mit Null

Standardmathematische Operationen mit Null lassen sich auf wenige Regeln reduzieren.

Addition: Wenn Sie einer beliebigen Zahl eine Null hinzufügen, ändert sich ihr Wert nicht (0+x=x).

Subtraktion: Beim Subtrahieren von Null von einer beliebigen Zahl bleibt der Wert des Subtrahenden unverändert (x-0=x).

Multiplikation: Jede mit 0 multiplizierte Zahl ergibt 0 (a*0=0).

Division: Null kann durch eine beliebige Zahl geteilt werden, nicht gleich Null. In diesem Fall ist der Wert eines solchen Bruchs 0. Und eine Division durch Null ist verboten.

Potenzierung. Diese Aktion kann mit einer beliebigen Nummer durchgeführt werden. Eine beliebige, auf die Null potenzierte Zahl ergibt 1 (x 0 =1).

Null hoch zu jeder Potenz ist gleich 0 (0 a = 0).

In diesem Fall entsteht sofort ein Widerspruch: Der Ausdruck 0 0 ergibt keinen Sinn.

Paradoxien der Mathematik

Viele Menschen wissen aus der Schule, dass eine Division durch Null unmöglich ist. Aber aus irgendeinem Grund ist es unmöglich, den Grund für ein solches Verbot zu erklären. Warum gibt es eigentlich keine Formel zum Teilen durch Null, aber andere Aktionen mit dieser Zahl sind durchaus sinnvoll und möglich? Die Antwort auf diese Frage geben Mathematiker.

Die Sache ist, dass die üblichen Rechenoperationen, in denen Schulkinder lernen Grundschule Tatsächlich sind sie bei weitem nicht so gleich, wie wir denken. Alle einfache Operationen mit Zahlen lässt sich auf zwei reduzieren: Addition und Multiplikation. Diese Aktionen bilden die Essenz des Zahlenkonzepts selbst, und andere Operationen basieren auf der Verwendung dieser beiden.

Addition und Multiplikation

Nehmen wir ein Standardsubtraktionsbeispiel: 10-2=8. In der Schule denken sie einfach: Wenn man von zehn Fächern zwei abzieht, bleiben acht übrig. Doch Mathematiker betrachten diese Operation ganz anders. Schließlich gibt es für sie keine Operation wie die Subtraktion. Dieses Beispiel kann auch anders geschrieben werden: x+2=10. Für Mathematiker ist die unbekannte Differenz einfach die Zahl, die zu zwei addiert werden muss, um acht zu ergeben. Und hier ist keine Subtraktion erforderlich, Sie müssen lediglich den passenden Zahlenwert finden.

Multiplikation und Division werden gleich behandelt. Im Beispiel 12:4=3 können Sie verstehen, dass es sich um die Aufteilung von acht Objekten in zwei gleiche Stapel handelt. Aber in Wirklichkeit ist dies nur eine umgekehrte Formel zum Schreiben von 3x4 = 12. Solche Divisionsbeispiele können endlos angeführt werden.

Beispiele für Division durch 0

Hier wird ein wenig klar, warum man nicht durch Null dividieren kann. Multiplikation und Division durch Null folgen ihren eigenen Regeln. Alle Beispiele für die Teilung dieser Menge können als 6:0 = x formuliert werden. Dies ist jedoch eine umgekehrte Schreibweise des Ausdrucks 6 * x=0. Aber wie Sie wissen, ergibt jede mit 0 multiplizierte Zahl im Produkt nur 0. Diese Eigenschaft ist dem Konzept des Nullwerts inhärent.

Es stellt sich heraus, dass es keine solche Zahl gibt, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, einen greifbaren Wert ergibt, das heißt, dieses Problem hat keine Lösung. Vor dieser Antwort sollten Sie keine Angst haben, sie ist eine natürliche Lösung für Probleme dieser Art. Es ist nur so, dass die 6:0-Bilanz keinen Sinn ergibt und nichts erklären kann. Kurz gesagt, dieser Ausdruck kann durch das unsterbliche „Division durch Null ist unmöglich“ erklärt werden.

Liegt ein 0:0-Betrieb vor? Wenn die Operation der Multiplikation mit 0 zulässig ist, kann dann Null durch Null dividiert werden? Schließlich ist eine Gleichung der Form 0x 5=0 durchaus zulässig. Anstelle der Zahl 5 können Sie auch 0 eingeben, das Produkt ändert sich nicht.

Tatsächlich ist 0x0=0. Aber du kannst immer noch nicht durch 0 dividieren. Wie bereits erwähnt, ist die Division einfach die Umkehrung der Multiplikation. Wenn also im Beispiel 0x5=0 ist, müssen Sie den zweiten Faktor bestimmen, wir erhalten 0x0=5. Oder 10. Oder unendlich. Unendlich durch Null teilen – wie gefällt dir das?

Aber wenn irgendeine Zahl in den Ausdruck passt, dann ergibt das keinen Sinn; wir können nicht nur eine aus unendlich vielen Zahlen auswählen. Und wenn ja, bedeutet dies, dass der Ausdruck 0:0 keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null selbst durch Null geteilt werden kann.

Höhere Mathematik

Die Division durch Null bereitet Mathematikern an weiterführenden Schulen Kopfschmerzen. Die an technischen Universitäten studierte mathematische Analyse erweitert das Konzept der Probleme, für die es keine Lösung gibt, geringfügig. Zum bereits bekannten Ausdruck 0:0 kommen beispielsweise neue hinzu, für die es in Schulmathematikkursen keine Lösungen gibt:

• Unendlich geteilt durch Unendlich: ∞:∞;
• Unendlich minus Unendlich: ∞−∞;
• Einheit auf eine unendliche Potenz erhoben: 1 ∞ ;
• Unendlich multipliziert mit 0: ∞*0;
• einige andere.

Es ist unmöglich, solche Ausdrücke mit elementaren Methoden zu lösen. Aber die höhere Mathematik liefert dank zusätzlicher Möglichkeiten für eine Reihe ähnlicher Beispiele endgültige Lösungen. Dies wird insbesondere bei der Betrachtung grenzwerttheoretischer Probleme deutlich.

Unsicherheit freischalten

In der Grenzwerttheorie wird der Wert 0 durch eine bedingte Infinitesimalvariable ersetzt. Und Ausdrücke, bei denen beim Ersetzen des gewünschten Wertes eine Division durch Null erhalten wird, werden umgewandelt. Nachfolgend finden Sie ein Standardbeispiel für die Erweiterung eines Grenzwerts mithilfe gewöhnlicher algebraischer Transformationen:

Wie Sie im Beispiel sehen können, führt die einfache Reduzierung eines Bruchs zu einer völlig rationalen Antwort.

Wenn man die Grenzen bedenkt trigonometrische Funktionen Ihre Ausdrücke neigen dazu, auf die erste bemerkenswerte Grenze reduziert zu werden. Bei der Betrachtung von Grenzen, bei denen der Nenner beim Ersetzen einer Grenze 0 wird, wird eine zweite bemerkenswerte Grenze verwendet.

L'Hopital-Methode

In manchen Fällen können die Grenzen von Ausdrücken durch die Grenzen ihrer Ableitungen ersetzt werden. Guillaume L'Hopital – französischer Mathematiker, Gründer der französischen Schule mathematische Analyse. Er bewies, dass die Grenzen der Ausdrücke gleich den Grenzen der Ableitungen dieser Ausdrücke sind. IN mathematische Notation seine Regel ist wie folgt.

Wir haben die grundlegenden Elementarfunktionen herausgefunden.

Beim Übergang zu Funktionen mehr komplexer Typ Wir werden sicherlich auf Ausdrücke stoßen, deren Bedeutung nicht definiert ist. Solche Ausdrücke heißen Unsicherheiten.

Lassen Sie uns alles auflisten Hauptarten von Unsicherheiten: Null geteilt durch Null (0 durch 0), Unendlich geteilt durch Unendlich, Null multipliziert mit Unendlich, Unendlich minus Unendlich, Eins hoch Unendlich, Null hoch Null, Unendlich hoch Null.

ALLE ANDEREN AUSDRÜCKE DER UNSICHERHEIT SIND NICHT UND NEHMEN EINEN VÖLLIG SPEZIFISCHEN ENDLICHEN ODER UNENDLICHEN WERT AN.

Decken Sie Unsicherheit auf erlaubt:

• Vereinfachen der Form einer Funktion (Umwandeln eines Ausdrucks mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln, trigonometrische Formeln, Multiplikation mit konjugierten Ausdrücken, gefolgt von Reduktion usw.);
• Verwendung wunderbare Grenzen;
• Anwendung der Regel von L'Hopital;
• Verwenden des Ersetzens eines infinitesimalen Ausdrucks durch sein Äquivalent (unter Verwendung einer Tabelle äquivalenter Infinitesimalzahlen).

Lassen Sie uns die Unsicherheiten gruppieren Unsicherheitstabelle. Für jede Art von Unsicherheit ordnen wir eine Methode zu ihrer Offenlegung (Methode zur Ermittlung des Grenzwerts) zu.

Diese Tabelle wird zusammen mit der Tabelle der Grenzwerte grundlegender Elementarfunktionen Ihr wichtigstes Werkzeug sein, um etwaige Grenzwerte zu finden.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele nennen, wenn nach dem Ersetzen des Wertes sofort alles klappt und keine Unsicherheit entsteht.

Beispiel.

Grenzwert berechnen

Lösung.

Ersetzen Sie den Wert:

Und wir erhielten sofort eine Antwort.

Antwort:

Beispiel.

Grenzwert berechnen

Lösung.

Wir setzen den Wert x=0 in die Basis unserer Exponentialpotenzfunktion ein:

Das heißt, der Grenzwert kann wie folgt umgeschrieben werden

Schauen wir uns nun den Indikator an. Dies ist eine Potenzfunktion. Schauen wir uns die Grenzwerttabelle an Potenzfunktionen mit einem negativen Indikator. Von da an haben wir Und Deshalb können wir schreiben .

Auf dieser Grundlage wird unser Limit wie folgt geschrieben:

Wir wenden uns noch einmal der Tabelle der Grenzwerte zu, allerdings für Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als eins, aus der wir Folgendes haben:

Antwort:

Schauen wir uns Beispiele mit an detaillierte Lösungen Aufdeckung von Unsicherheiten durch Transformation von Ausdrücken.

Sehr oft muss der Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen leicht geändert werden, um Unsicherheiten zu beseitigen.

Beispiel.

Grenzwert berechnen

Lösung.

Ersetzen Sie den Wert:

Wir sind in der Ungewissheit angekommen. Wir schauen uns die Unsicherheitstabelle an, um eine Lösungsmethode auszuwählen. Versuchen wir, den Ausdruck zu vereinfachen.

Antwort:

Beispiel.

Grenzwert berechnen

Lösung.

Ersetzen Sie den Wert:

Wir kamen zur Unsicherheit (0 zu 0). Wir schauen uns die Unsicherheitstabelle an, um eine Lösungsmethode auszuwählen, und versuchen, den Ausdruck zu vereinfachen. Lassen Sie uns sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem zum Nenner konjugierten Ausdruck multiplizieren.

Für den Nenner lautet der konjugierte Ausdruck

Wir haben den Nenner multipliziert, um die abgekürzte Multiplikationsformel – Quadratdifferenz – anwenden und dann den resultierenden Ausdruck reduzieren zu können.

Nach einer Reihe von Transformationen verschwand die Unsicherheit.

Antwort:

KOMMENTAR: Für Grenzwerte dieser Art ist die Methode der Multiplikation mit konjugierten Ausdrücken typisch, Sie können sie also gerne verwenden.

Beispiel.

Grenzwert berechnen

Lösung.

Ersetzen Sie den Wert:

Wir sind in der Ungewissheit angekommen. Wir schauen uns die Unsicherheitstabelle an, um eine Lösungsmethode auszuwählen, und versuchen, den Ausdruck zu vereinfachen. Da sowohl der Zähler als auch der Nenner bei x = 1 verschwinden, verschwindet die Unsicherheit, wenn diese Ausdrücke reduziert werden können (x-1).

Lassen Sie uns den Zähler faktorisieren:

Lassen Sie uns den Nenner faktorisieren:

Unser Limit wird die Form annehmen:

Nach der Transformation wurde die Unsicherheit offenbart.

Antwort:

Betrachten wir Grenzen im Unendlichen anhand von Potenzausdrücken. Wenn die Exponenten des Potenzausdrucks positiv sind, ist der Grenzwert im Unendlichen unendlich. Darüber hinaus ist der größte Teil von größter Bedeutung, der Rest kann verworfen werden.

Beispiel.

Beispiel.

Wenn der Ausdruck unter dem Grenzzeichen ein Bruch ist und sowohl der Zähler als auch der Nenner Potenzausdrücke sind (m ist die Potenz des Zählers und n die Potenz des Nenners), dann liegt eine Unsicherheit der Form Unendlich bis Unendlich vor entsteht in diesem Fall Unsicherheit offenbart sich Division von Zähler und Nenner durch

Beispiel.

Grenzwert berechnen

Sehr oft fragen sich viele Leute, warum eine Division durch Null nicht verwendet werden kann. In diesem Artikel werden wir ausführlich darüber sprechen, woher diese Regel kommt und welche Aktionen mit einer Null ausgeführt werden können.

In Kontakt mit

Null kann als eine der interessantesten Zahlen bezeichnet werden. Diese Zahl hat keine Bedeutung Es bedeutet Leere im wahrsten Sinne des Wortes. Wenn jedoch neben einer beliebigen Zahl eine Null steht, erhöht sich der Wert dieser Zahl um ein Vielfaches.

Die Zahl selbst ist sehr mysteriös. Es wurde vom alten Maya-Volk verwendet. Für die Mayas bedeutete Null „Anfang“, und auch die Kalendertage begannen bei Null.

Sehr interessante Tatsache ist, dass das Nullzeichen und das Unsicherheitszeichen ähnlich waren. Damit wollten die Mayas zeigen, dass Null dasselbe Vorzeichen wie Unsicherheit ist. In Europa tauchte die Bezeichnung Null erst vor relativ kurzer Zeit auf.

Viele Menschen kennen auch das mit der Null verbundene Verbot. Das wird jeder sagen du kannst nicht durch null dividieren. Das sagen die Lehrer in der Schule, und die Kinder verlassen sich meist auf ihr Wort. Normalerweise sind Kinder entweder einfach nicht daran interessiert, das zu wissen, oder sie wissen, was passiert, wenn sie, nachdem sie ein wichtiges Verbot gehört haben, sofort fragen: „Warum kann man nicht durch Null dividieren?“ Doch mit zunehmendem Alter erwacht Ihr Interesse und Sie möchten mehr über die Gründe für dieses Verbot erfahren. Es gibt jedoch vernünftige Beweise.

Aktionen mit Null

Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können. Existiert mehrere Arten von Aktionen:

• Zusatz;
• Multiplikation;
• Subtraktion;
• Division (Null durch Zahl);
• Potenzierung.

Wichtig! Wenn Sie während der Addition Null zu einer beliebigen Zahl hinzufügen, bleibt diese Zahl gleich und ändert ihren Wert nicht numerischer Wert. Das Gleiche passiert, wenn Sie von einer beliebigen Zahl Null subtrahieren.

Beim Multiplizieren und Dividieren sieht es etwas anders aus. Wenn Multiplizieren Sie eine beliebige Zahl mit Null, dann wird das Produkt auch Null.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Schreiben wir das als Ergänzung:

Insgesamt gibt es fünf Nullen, also stellt sich heraus, dass es so ist

Versuchen wir, eins mit null zu multiplizieren. Das Ergebnis wird ebenfalls Null sein.

Null kann auch durch jede andere Zahl geteilt werden, die nicht gleich ihr ist. In diesem Fall ist das Ergebnis , dessen Wert ebenfalls Null ist. Die gleiche Regel gilt für negative Zahlen. Wenn Null durch eine negative Zahl dividiert wird, ist das Ergebnis Null.

Sie können auch eine beliebige Zahl konstruieren bis zum Nullgrad. In diesem Fall ist das Ergebnis 1. Es ist wichtig zu bedenken, dass der Ausdruck „Null hoch Null“ absolut bedeutungslos ist. Wenn Sie versuchen, Null beliebig zu potenzieren, erhalten Sie Null. Beispiel:

Wir verwenden die Multiplikationsregel und erhalten 0.

Ist es also möglich, durch Null zu dividieren?

Hier kommen wir also zur Hauptfrage. Ist eine Division durch Null möglich?überhaupt? Und warum können wir eine Zahl nicht durch Null dividieren, wenn alle anderen Aktionen mit Null existieren und angewendet werden? Um diese Frage zu beantworten, muss man sich der höheren Mathematik zuwenden.

Beginnen wir mit der Definition des Konzepts: Was ist Null? Schullehrer sagen, dass Null nichts ist. Leere. Das heißt, wenn Sie sagen, dass Sie 0 Handles haben, bedeutet das, dass Sie überhaupt keine Handles haben.

In der höheren Mathematik ist der Begriff „Null“ weiter gefasst. Es bedeutet keineswegs Leere. Null wird hier Unsicherheit genannt, denn wenn wir ein wenig recherchieren, stellt sich heraus, dass wir, wenn wir Null durch Null dividieren, am Ende jede andere Zahl erhalten können, die nicht unbedingt Null sein muss.

Wussten Sie, dass die einfachen Rechenoperationen, die Sie in der Schule gelernt haben, nicht so gleichwertig sind? Die grundlegendsten Aktionen sind Addition und Multiplikation.

Für Mathematiker gibt es die Konzepte „“ und „Subtraktion“ nicht. Nehmen wir an: Wenn Sie drei von fünf subtrahieren, bleiben zwei übrig. So sieht Subtraktion aus. Mathematiker würden es jedoch so schreiben:

Somit stellt sich heraus, dass die unbekannte Differenz eine bestimmte Zahl ist, die zu 3 addiert werden muss, um 5 zu erhalten. Das heißt, Sie müssen nichts subtrahieren, Sie müssen nur die entsprechende Zahl finden. Diese Regel gilt für die Addition.

Etwas anders sieht es bei aus Regeln der Multiplikation und Division. Es ist bekannt, dass die Multiplikation mit Null zu einem Ergebnis von Null führt. Wenn beispielsweise 3:0=x, dann erhalten Sie bei Umkehrung der Eingabe 3*x=0. Und eine Zahl, die mit 0 multipliziert wurde, ergibt im Produkt Null. Es stellt sich heraus, dass es keine Zahl gibt, die im Produkt mit Null einen anderen Wert als Null ergeben würde. Dies bedeutet, dass die Division durch Null bedeutungslos ist, das heißt, sie entspricht unserer Regel.

Aber was passiert, wenn man versucht, die Null selbst durch sich selbst zu dividieren? Nehmen wir eine unbestimmte Zahl als x. Die resultierende Gleichung lautet 0*x=0. Es kann gelöst werden.

Wenn wir versuchen, Null statt x zu nehmen, erhalten wir 0:0=0. Es würde logisch erscheinen? Wenn wir aber versuchen, statt x eine andere Zahl zu nehmen, zum Beispiel 1, erhalten wir am Ende 0:0=1. Die gleiche Situation wird passieren, wenn wir eine andere Zahl nehmen und Setzen Sie es in die Gleichung ein.

In diesem Fall stellt sich heraus, dass wir jede andere Zahl als Faktor annehmen können. Das Ergebnis wird eine unendliche Zahl sein verschiedene Zahlen. Manchmal macht eine Division durch 0 in der höheren Mathematik immer noch Sinn, aber dann tritt meist eine bestimmte Bedingung ein, dank derer wir immer noch eine passende Zahl auswählen können. Diese Aktion wird als „Unsicherheitsoffenlegung“ bezeichnet. In der gewöhnlichen Arithmetik wird die Division durch Null wieder ihre Bedeutung verlieren, da wir nicht in der Lage sein werden, eine Zahl aus der Menge auszuwählen.

Wichtig! Sie können Null nicht durch Null teilen.

Null und Unendlichkeit

Unendlichkeit kommt in der höheren Mathematik sehr häufig vor. Da es für Schüler einfach nicht wichtig ist zu wissen, dass es auch mathematische Operationen mit Unendlich gibt, können Lehrer den Kindern nicht richtig erklären, warum sie nicht durch Null dividieren können.

Die Studierenden beginnen erst im ersten Studienjahr mit dem Erlernen grundlegender mathematischer Geheimnisse. Die höhere Mathematik stellt einen großen Komplex von Problemen bereit, für die es keine Lösung gibt. Die bekanntesten Probleme sind Probleme mit der Unendlichkeit. Sie können mit gelöst werden mathematische Analyse.

Kann auch auf Unendlich angewendet werden elementare mathematische Operationen: Addition, Multiplikation mit einer Zahl. Normalerweise verwenden sie auch Subtraktion und Division, aber am Ende kommen sie immer noch auf zwei einfache Operationen hinaus.

Aber was wird passieren? wenn du es versuchst:

• Unendlichkeit multipliziert mit Null. Wenn wir versuchen, eine beliebige Zahl mit Null zu multiplizieren, erhalten wir theoretisch Null. Aber Unendlichkeit ist eine unbestimmte Menge von Zahlen. Da wir aus dieser Menge keine einzige Zahl auswählen können, hat der Ausdruck ∞*0 keine Lösung und ist absolut bedeutungslos.
• Null geteilt durch Unendlich. Hier passiert die gleiche Geschichte wie oben. Wir können keine einzelne Zahl auswählen, was bedeutet, dass wir nicht wissen, durch was wir dividieren sollen. Der Ausdruck hat keine Bedeutung.

Wichtig! Unendlichkeit unterscheidet sich ein wenig von Unsicherheit! Unendlichkeit ist eine der Arten von Unsicherheit.

Versuchen wir nun, die Unendlichkeit durch Null zu teilen. Es scheint, dass es Unsicherheit geben sollte. Wenn wir jedoch versuchen, die Division durch Multiplikation zu ersetzen, erhalten wir eine sehr eindeutige Antwort.

Zum Beispiel: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Es stellt sich so heraus mathematisches Paradoxon.

Die Antwort auf die Frage, warum man nicht durch Null dividieren kann

Gedankenexperiment, Versuch einer Division durch Null

Abschluss

Jetzt wissen wir also, dass fast alle Operationen, mit denen ausgeführt wird, Null unterliegen, mit Ausnahme einer einzigen Eins. Sie können nicht durch Null dividieren, nur weil das Ergebnis Unsicherheit ist. Wir haben auch gelernt, wie man Operationen mit Null und Unendlich durchführt. Das Ergebnis solcher Maßnahmen wird Unsicherheit sein.