Der Online-Rechner ermöglicht es Ihnen, Differentialgleichungen online zu lösen. Es reicht aus, Ihre Gleichung in das entsprechende Feld einzugeben, die Ableitung der Funktion durch ein Apostroph zu kennzeichnen und auf die Schaltfläche „Gleichung lösen“ zu klicken. Das auf der Grundlage der beliebten WolframAlpha-Website implementierte System liefert detaillierte Informationen Lösen einer Differentialgleichung absolut frei. Sie können das Cauchy-Problem auch so definieren, dass es aus der gesamten Menge besteht mögliche Lösungen Wählen Sie den Quotienten, der den gegebenen Anfangsbedingungen entspricht. Das Cauchy-Problem wird in einem separaten Feld eingetragen.

Differentialgleichung

Standardmäßig ist die Funktion in der Gleichung j ist eine Funktion einer Variablen X. Sie können jedoch eine eigene Bezeichnung für die Variable angeben; wenn Sie beispielsweise y(t) in die Gleichung schreiben, erkennt der Rechner dies automatisch j Es gibt eine Funktion aus einer Variablen T. Mit Hilfe eines Taschenrechners können Sie Differentialgleichungen lösen beliebiger Komplexität und Art: homogen und inhomogen, linear oder nichtlinear, erster Ordnung oder zweiter und höherer Ordnung, Gleichungen mit trennbaren oder nicht trennbaren Variablen usw. Lösungsunterschied. Gleichung wird in analytischer Form gegeben, hat detaillierte Beschreibung. Differentialgleichung kommt in der Physik und Mathematik sehr häufig vor. Ohne ihre Berechnung ist es unmöglich, viele Probleme (insbesondere in der mathematischen Physik) zu lösen.

Einer der Schritte zur Lösung von Differentialgleichungen ist die Integration von Funktionen. Es gibt Standardmethoden zur Lösung von Differentialgleichungen. Es ist notwendig, die Gleichungen auf eine Form mit separierbaren Variablen y und x zu reduzieren und die separierten Funktionen separat zu integrieren. Dazu muss manchmal ein bestimmter Austausch vorgenommen werden.

Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele für Lösungen.
Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Wörter erschrecken normalerweise den Durchschnittsmenschen. Differentialgleichungen scheinen für viele Studierende unerschwinglich und schwer zu beherrschen zu sein. Uuuuuu... Differentialgleichungen, wie kann ich das alles überleben?!

Diese Meinung und diese Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn tatsächlich DIFFERENZGLEICHUNGEN – ES IST EINFACH UND SOGAR SPASS. Was müssen Sie wissen und können, um das Lösen von Differentialgleichungen zu lernen? Um Diffuses erfolgreich zu studieren, müssen Sie gut integrieren und differenzieren können. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen Und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr: Wenn Sie über mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten verfügen, ist das Thema fast gemeistert! Je mehr Integrale unterschiedlicher Art Sie lösen können, desto besser. Warum? Man muss viel integrieren. Und differenzieren. Auch sehr empfehlenswert lernen zu finden.

In 95 % der Fälle Tests Es gibt 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen was wir uns in dieser Lektion ansehen werden; homogene Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen. Für diejenigen, die mit dem Studium von Diffusoren beginnen, empfehle ich Ihnen, die Lektionen genau in dieser Reihenfolge zu lesen. Nach dem Studium der ersten beiden Artikel kann es nicht schaden, Ihre Fähigkeiten in einem zusätzlichen Workshop zu festigen – Gleichungen reduzieren sich auf homogen.

Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: totale Differentialgleichungen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Der wichtigste der letzten beiden Typen sind Gleichungen in totalen Differentialgleichungen, da ich zusätzlich zu dieser Differentialgleichung betrachte Neues Material – Teilintegration.

Wenn Sie nur noch ein oder zwei Tage Zeit haben, Das für ultraschnelle Zubereitung Es gibt Blitzkurs im PDF-Format.

Die Weichen sind also gestellt – los geht’s:

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet Finden Reihe von Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kindergleichung eine einzige Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß die gefundene Wurzel überprüfen und in unsere Gleichung einsetzen:

– Es liegt die richtige Gleichheit vor, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde.

Die Diffusoren sind ähnlich gestaltet!

Differentialgleichung erste Bestellung Im Algemeinen enthält:
1) unabhängige Variable;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In einigen Gleichungen erster Ordnung gibt es möglicherweise kein „x“ und/oder „y“, aber das ist nicht von Bedeutung – wichtig in den Kontrollraum gehen War erste Ableitung und hatte nicht Derivate höherer Ordnung – usw.

Was heißt ? Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet zu finden Menge aller Funktionen, die diese Gleichung erfüllen. Eine solche Menge von Funktionen hat oft die Form (– eine beliebige Konstante), die aufgerufen wird allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo soll ich anfangen? Lösung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Wir erinnern uns an die umständliche Bezeichnung, die vielen von Ihnen wahrscheinlich lächerlich und unnötig vorkam. Das ist es, was bei Diffusoren herrscht!

Im zweiten Schritt schauen wir, ob es möglich ist separate Variablen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen gehen nur „Griechen“, A auf der rechten Seite organisieren nur „X“. Die Aufteilung der Variablen erfolgt durch „schulische“ Manipulationen: Herausnehmen aus Klammern, Übertragen von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragen von Faktoren von Teil zu Teil nach der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind vollwertige Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. Im betrachteten Beispiel lassen sich die Variablen leicht trennen, indem man die Faktoren nach der Proportionsregel verwürfelt:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite gibt es nur „Y’s“, auf der rechten Seite nur „X’s“.

Nächste Stufe - Integration der Differentialgleichung. Es ist ganz einfach, wir setzen auf beiden Seiten Integrale:

Natürlich müssen wir Integrale nehmen. IN in diesem Fall sie sind tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird jeder Stammfunktion eine Konstante zugewiesen. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht aus, die Konstante einmal zu schreiben (da Konstante + Konstante immer noch gleich einer anderen Konstante ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach der Bildung der Integrale als gelöst. Das Einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, das heißt, die Lösung wird präsentiert implizit bilden. Die Lösung einer Differentialgleichung in impliziter Form heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, es handelt sich um ein allgemeines Integral.

Die Antwort in dieser Form ist durchaus akzeptabel, aber gibt es eine bessere Option? Versuchen wir es zu bekommen gemeinsame Entscheidung .

Bitte, Erinnern Sie sich an die erste Technik, es ist sehr verbreitet und wird oft in praktischen Aufgaben verwendet: Wenn nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus erscheint, dann empfiehlt es sich in vielen Fällen (aber nicht immer!) auch, die Konstante unter den Logarithmus zu schreiben.

Also, ANSTATT Einträge werden in der Regel geschrieben .

Warum ist das notwendig? Und um es einfacher zu machen, „Spiel“ auszudrücken. Nutzung der Eigenschaft von Logarithmen . In diesem Fall:

Jetzt können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Antwort: gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten auf viele Differentialgleichungen sind relativ einfach zu überprüfen. In unserem Fall geht das ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Dann setzen wir die Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

– Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass die allgemeine Lösung die Gleichung erfüllt, was überprüft werden musste.

Eine Konstante geben unterschiedliche Bedeutungen, man kann unendlich viele bekommen private Lösungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass alle Funktionen , usw. erfüllt die Differentialgleichung.

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. IN in diesem Beispiel gemeinsame Entscheidung - Das ist eine Familie lineare Funktionen, oder besser gesagt, eine Familie der direkten Proportionalität.

Nach einer gründlichen Durchsicht des ersten Beispiels ist es angebracht, einige naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten:

1)In diesem Beispiel konnten wir die Variablen trennen. Kann das immer gemacht werden? Nein nicht immer. Und noch häufiger können Variablen nicht getrennt werden. Zum Beispiel in homogene Gleichungen erster Ordnung, müssen Sie es zuerst ersetzen. In anderen Gleichungstypen, beispielsweise in einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verwenden verschiedene Techniken und Methoden zum Finden einer allgemeinen Lösung. Gleichungen mit separierbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, eine Differentialgleichung zu integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, eine „ausgefallene“ Gleichung aufzustellen, die nicht integriert werden kann; außerdem gibt es Integrale, die nicht verwendet werden können. Solche DEs können jedoch mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D’Alembert und Cauchy garantieren... ...ugh, lurkmore.um gerade viel zu lesen, hätte ich fast „aus der anderen Welt“ hinzugefügt.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus einem allgemeinen Integral eine allgemeine Lösung zu finden, also das „y“ explizit auszudrücken? Nein nicht immer. Zum Beispiel: . Nun, wie kann man hier „Griechisch“ ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Darüber hinaus ist es manchmal möglich, eine allgemeine Lösung zu finden, diese ist jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

4) ...vielleicht reicht das für den Moment. Im ersten Beispiel sind wir darauf gestoßen noch eins wichtiger Punkt , aber um die „Dummies“ nicht mit einer Lawine neuer Informationen zu überschütten, belasse ich es bis zur nächsten Lektion.

Wir werden uns nicht beeilen. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Lösung: Je nach Zustand müssen Sie finden private Lösung DE, das eine gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Diese Formulierung der Frage wird auch genannt Cauchy-Problem.

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht verwirren, Hauptsache, sie hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in die erforderliche Form um:

Offensichtlich können die Variablen getrennt werden, Jungen auf der linken Seite, Mädchen auf der rechten Seite:

Integrieren wir die Gleichung:

Man erhält das allgemeine Integral. Hier habe ich eine Konstante mit einem Sternchen gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (drücken Sie das „y“ explizit aus). Erinnern wir uns an die guten alten Dinge aus der Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie unkoscher aus, daher wird sie normalerweise auf den Boden der Tatsachen zurückgeführt. Im Detail passiert es so. Unter Verwendung der Gradeigenschaft schreiben wir die Funktion wie folgt um:

Wenn es eine Konstante ist, dann gibt es auch eine Konstante. Bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben:

Denken Sie daran, dass das „Abreißen“ einer Konstante bedeutet zweite Technik, das häufig beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Die allgemeine Lösung lautet also: . Dies ist eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

Im letzten Schritt müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Ausgangsbedingung erfüllt. Auch das ist einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch den Wert der Konstante, sodass die Bedingung erfüllt ist.

Es kann auf verschiedene Arten formatiert werden, aber dies ist wahrscheinlich die übersichtlichste Methode. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle des „X“ eine Null und anstelle des „Y“ eine Zwei:



Also,

Standardausführung:

Nun setzen wir den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein:
– Das ist genau die Lösung, die wir brauchen.

Antwort: private Lösung:

Lass uns das Prüfen. Die Prüfung einer privaten Lösung umfasst zwei Phasen:

Zunächst muss geprüft werden, ob die jeweils gefundene Lösung die Ausgangsbedingung wirklich erfüllt? Anstelle des „X“ ersetzen wir eine Null und schauen, was passiert:
– Ja, Sie haben wirklich eine Zwei, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung ein:

– die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung wurde richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Lösung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Wir bewerten, ob es möglich ist, die Variablen zu trennen? Dürfen. Wir verschieben den zweiten Term mit einem Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir übertragen die Multiplikatoren nach der Proportionsregel:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Jüngsten Gerichts naht. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale Wenn Sie einige Beispiele gelöst haben, können Sie nirgendwo hingehen – Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden; wir behandeln das Integral des Kotangens mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Auf der rechten Seite haben wir einen Logarithmus, und laut meiner ersten technischen Empfehlung sollte die Konstante auch unter den Logarithmus geschrieben werden.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit Hilfe bekannte Eigenschaften Wir „packen“ die Logarithmen so weit wie möglich. Ich schreibe es ganz ausführlich auf:

Die Verpackung ist barbarisch zerfetzt:

Kann man „Spiel“ ausdrücken? Dürfen. Es ist notwendig, beide Teile auszurichten.

Aber Sie müssen das nicht tun.

Dritter technischer Tipp: Wenn es zur Erlangung einer allgemeinen Lösung notwendig ist, sich zu einer Macht zu erheben oder Wurzeln zu schlagen, dann in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals belassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung einfach schrecklich aussehen wird – mit großen Wurzeln, Schildern und anderem Müll.

Daher schreiben wir die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals. Auf eine gute Art und Weise Es wird davon ausgegangen, es in der Form darzustellen, das heißt, auf der rechten Seite möglichst nur eine Konstante zu belassen. Es ist nicht notwendig, dies zu tun, aber es ist immer von Vorteil, dem Professor eine Freude zu machen ;-)

Antwort: allgemeines Integral:

! Notiz: Das allgemeine Integral einer Gleichung kann auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn also Ihr Ergebnis nicht mit der zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet das nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral ist auch recht einfach zu überprüfen, die Hauptsache ist, es finden zu können Ableitung einer implizit angegebenen Funktion. Differenzieren wir die Antwort:

Wir multiplizieren beide Terme mit:

Und dividiere durch:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Algorithmus aus zwei Phasen besteht:
1) eine allgemeine Lösung finden;
2) Finden der erforderlichen Einzellösung.

Die Prüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie müssen:
1) Stellen Sie sicher, dass die gefundene konkrete Lösung die Anfangsbedingung erfüllt;
2) Überprüfen Sie, ob eine bestimmte Lösung im Allgemeinen die Differentialgleichung erfüllt.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung , die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst eine allgemeine Lösung finden. Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und daher ist die Lösung vereinfacht. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir die Gleichung:

Das Integral links ist tabellarisch, das Integral rechts wird genommen Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren:

Das allgemeine Integral wurde erhalten; ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf. Da sie positiv sind, sind die Vorzeichen des Moduls nicht erforderlich:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „X“ Null und anstelle von „Y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein.

Antwort: private Lösung:

Prüfen: Lassen Sie uns zunächst prüfen, ob die Anfangsbedingung erfüllt ist:
- Alles ist gut.

Prüfen wir nun, ob die gefundene spezielle Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Finden der Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Setzen wir die gefundene Sonderlösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Man erhält die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wurde.

Die zweite Methode zur Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: aus der Gleichung Lassen Sie uns die Ableitung ausdrücken. Dazu dividieren wir alle Teile durch:

Und in das transformierte DE ersetzen wir die erhaltene Teillösung und die gefundene Ableitung. Durch Vereinfachungen soll auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Differentialgleichung lösen. Präsentieren Sie die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, eine vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten lauern beim Lösen von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere bei einer „Teekanne“), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten wir ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus Klammern herausnehmen: und die Wurzeln trennen: . Es ist klar, was als nächstes zu tun ist.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale sind oft nicht die einfachsten, und es gibt Mängel in den Findungskompetenzen unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik „Da die Differentialgleichung einfach ist, sollten die Integrale zumindest komplizierter sein“ bei Verfassern von Sammlungen und Schulungshandbüchern beliebt.

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, lässt sich die Konstante in Differentialgleichungen recht frei handhaben und einige Transformationen sind für einen Anfänger nicht immer klar. Schauen wir uns ein weiteres bedingtes Beispiel an: . Es empfiehlt sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist ebenfalls eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da auf der rechten Seite ein Logarithmus steht, empfiehlt es sich, die Konstante in Form einer anderen Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Als Ergebnis erfolgt die Entscheidungsaufzeichnung nächste Ansicht:

Was für eine Ketzerei? Da sind Fehler drin! Streng genommen ja. Aus inhaltlicher Sicht liegen jedoch keine Fehler vor, da durch die Transformation einer Variablenkonstante immer noch eine Variablenkonstante erhalten wird.

Oder ein anderes Beispiel: Nehmen wir an, dass bei der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, das Vorzeichen jedes Begriffs zu ändern: . Formal liegt hier ein weiterer Fehler vor – er sollte rechts geschrieben werden. Aber informell wird impliziert, dass „minus ce“ immer noch eine Konstante ist ( was genauso gut jede Bedeutung annehmen kann!) Daher macht es keinen Sinn, ein „Minus“ zu setzen, und Sie können denselben Buchstaben verwenden.

Ich werde versuchen, eine nachlässige Vorgehensweise zu vermeiden und den Konstanten bei der Konvertierung dennoch unterschiedliche Indizes zuzuweisen.

Beispiel 7

Differentialgleichung lösen. Prüfung durchführen.

Lösung: Diese Gleichung ermöglicht die Trennung von Variablen. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir:

Es ist nicht notwendig, die Konstante hier als Logarithmus zu definieren, da dabei nichts Nützliches herauskommt.

Antwort: allgemeines Integral:

Prüfen: Differenzieren Sie die Antwort ( implizite Funktion):

Wir entfernen Brüche, indem wir beide Terme multiplizieren mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung des DE.
,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Der einzige Hinweis ist, dass Sie hier ein allgemeines Integral erhalten, und genauer gesagt, Sie müssen es schaffen, nicht eine bestimmte Lösung zu finden, sondern Teilintegral. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre Ableitungen (oder Differentiale) verschiedener Ordnungen in Beziehung setzt.

Die Ordnung der Differentialgleichung heißt die Ordnung der darin enthaltenen höchsten Ableitung.

Neben gewöhnlichen Gleichungen werden auch partielle Differentialgleichungen untersucht. Dabei handelt es sich um Gleichungen, die unabhängige Variablen, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre partiellen Ableitungen in Bezug auf dieselben Variablen in Beziehung setzen. Aber wir werden nur darüber nachdenken gewöhnliche Differentialgleichungen und deshalb werden wir der Kürze halber das Wort „gewöhnlich“ weglassen.

Beispiele für Differentialgleichungen:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Gleichung (1) ist vierter Ordnung, Gleichung (2) ist dritter Ordnung, Gleichungen (3) und (4) sind zweiter Ordnung, Gleichung (5) ist erster Ordnung.

Differentialgleichung N Ordnung muss nicht unbedingt eine explizite Funktion enthalten, alle ihre Ableitungen von der ersten bis zur N-te Ordnung und unabhängige Variable. Es darf keine expliziten Ableitungen bestimmter Ordnungen, einer Funktion oder einer unabhängigen Variablen enthalten.

Beispielsweise gibt es in Gleichung (1) eindeutig keine Ableitungen dritter und zweiter Ordnung sowie eine Funktion; in Gleichung (2) - die Ableitung zweiter Ordnung und die Funktion; in Gleichung (4) – die unabhängige Variable; in Gleichung (5) - Funktionen. Nur Gleichung (3) enthält explizit alle Ableitungen, die Funktion und die unabhängige Variable.

Lösen einer Differentialgleichung Jede Funktion wird aufgerufen y = f(x), wenn es in die Gleichung eingesetzt wird, wird es zu einer Identität.

Der Prozess, eine Lösung für eine Differentialgleichung zu finden, wird als it bezeichnet Integration.

Beispiel 1. Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung.

Lösung. Schreiben wir diese Gleichung in der Form . Die Lösung besteht darin, die Funktion aus ihrer Ableitung zu finden. Die Urfunktion ist, wie man sie aus der Integralrechnung kennt, eine Stammfunktion für, d.h.

Das ist es Lösung dieser Differentialgleichung . Sich darin verändern C, werden wir unterschiedliche Lösungen erhalten. Wir haben herausgefunden, dass es unendlich viele Lösungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung gibt.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung N Ordnung ist ihre Lösung, explizit ausgedrückt in Bezug auf die unbekannte Funktion und enthaltend N unabhängige beliebige Konstanten, d.h.

Die Lösung der Differentialgleichung in Beispiel 1 ist allgemein.

Teillösung der Differentialgleichung eine Lösung, bei der beliebigen Konstanten bestimmte Zahlenwerte gegeben werden, heißt.

Beispiel 2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und eine spezielle Lösung für .

Lösung. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung so oft integrieren gleiche Ordnung Differentialgleichung.

,

.

Als Ergebnis erhielten wir eine allgemeine Lösung -

einer gegebenen Differentialgleichung dritter Ordnung.

Lassen Sie uns nun eine bestimmte Lösung unter den angegebenen Bedingungen finden. Ersetzen Sie dazu ihre Werte anstelle willkürlicher Koeffizienten und erhalten Sie

.

Wenn zusätzlich zur Differentialgleichung die Anfangsbedingung in der Form angegeben ist, dann heißt ein solches Problem Cauchy-Problem . Setze die Werte und in die allgemeine Lösung der Gleichung ein und finde den Wert einer beliebigen Konstante C und dann eine bestimmte Lösung der Gleichung für den gefundenen Wert C. Dies ist die Lösung des Cauchy-Problems.

Beispiel 3. Lösen Sie das Cauchy-Problem für die Differentialgleichung aus Beispiel 1 unter der Voraussetzung .

Lösung. Ersetzen wir die Werte von ausgangsbedingung j = 3, X= 1. Wir bekommen

Wir schreiben die Lösung des Cauchy-Problems für diese Differentialgleichung erster Ordnung auf:

Das Lösen von Differentialgleichungen, selbst der einfachsten, erfordert gute Integrations- und Ableitungsfähigkeiten, auch bei komplexen Funktionen. Dies ist im folgenden Beispiel zu sehen.

Beispiel 4. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Lösung. Die Gleichung ist so geschrieben, dass man beide Seiten sofort integrieren kann.

.

Wir wenden die Methode der Integration durch Variablenänderung (Substitution) an. Dann lass es sein.

Muss mitgenommen werden dx und jetzt - Achtung - wir tun dies nach den Regeln der Differentiation einer komplexen Funktion, denn X und es gibt eine komplexe Funktion ("Apfel" - Extrakt Quadratwurzel oder, was dasselbe ist – potenziert man „die Hälfte“, und „Hackfleisch“ ist der eigentliche Ausdruck unter der Wurzel):

Wir finden das Integral:

Zurück zur Variablen X, wir bekommen:

.

Dies ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ersten Grades.

Zur Lösung von Differentialgleichungen sind nicht nur Kenntnisse aus den vorangegangenen Abschnitten der höheren Mathematik erforderlich, sondern auch Kenntnisse aus der Grund-, also Schulmathematik. Wie bereits erwähnt, darf es in einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung keine unabhängige Variable, also eine Variable, geben X. Kenntnisse über Proportionen aus der Schule, die (jedoch je nach wem) aus der Schule nicht vergessen wurden, helfen, dieses Problem zu lösen. Dies ist das nächste Beispiel.

Bei einigen Problemen der Physik ist es nicht möglich, einen direkten Zusammenhang zwischen den den Prozess beschreibenden Größen herzustellen. Es ist jedoch möglich, eine Gleichung zu erhalten, die die Ableitungen der untersuchten Funktionen enthält. So entstehen Differentialgleichungen und die Notwendigkeit, sie zu lösen, um eine unbekannte Funktion zu finden.

Dieser Artikel richtet sich an diejenigen, die vor dem Problem stehen, eine Differentialgleichung zu lösen, in der die unbekannte Funktion eine Funktion einer Variablen ist. Die Theorie ist so aufgebaut, dass Sie Ihre Aufgabe auch ohne Kenntnisse von Differentialgleichungen bewältigen können.

Zu jeder Art von Differentialgleichung gehört eine Lösungsmethode mit detaillierten Erläuterungen und Lösungen zu typischen Beispielen und Problemen. Sie müssen lediglich die Art der Differentialgleichung Ihres Problems bestimmen, ein ähnliches analysiertes Beispiel finden und ähnliche Aktionen ausführen.

Um Differentialgleichungen erfolgreich lösen zu können, benötigen Sie außerdem die Fähigkeit, Mengen von Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) verschiedener Funktionen zu finden. Bei Bedarf empfehlen wir Ihnen, den Abschnitt zu lesen.

Zuerst betrachten wir die Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung, die in Bezug auf die Ableitung aufgelöst werden können, dann gehen wir zu ODEs zweiter Ordnung über, dann bleiben wir bei Gleichungen höherer Ordnung und enden mit Systemen von Differentialgleichung.

Denken Sie daran, wenn y eine Funktion des Arguments x ist.

Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die einfachsten Differentialgleichungen erster Ordnung der Form.

Lassen Sie uns einige Beispiele für eine solche Fernbedienung aufschreiben .

Differentialgleichung kann hinsichtlich der Ableitung aufgelöst werden, indem beide Seiten der Gleichheit durch f(x) dividiert werden. In diesem Fall erhalten wir eine Gleichung, die für f(x) ≠ 0 der ursprünglichen Gleichung entspricht. Beispiele für solche ODEs sind .

Gibt es Werte des Arguments x, bei denen die Funktionen f(x) und g(x) gleichzeitig verschwinden, dann erscheinen zusätzliche Lösungen. Zusätzliche Lösungen zur Gleichung gegebenes x sind beliebige Funktionen, die für diese Argumentwerte definiert sind. Beispiele für solche Differentialgleichungen sind:

Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

LDE mit konstanten Koeffizienten ist eine sehr häufige Art von Differentialgleichung. Ihre Lösung ist nicht besonders schwierig. Zunächst werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung gefunden . Für unterschiedliche p und q sind drei Fälle möglich: Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung können reell und unterschiedlich, reell und übereinstimmend sein oder komplexe Konjugate. Abhängig von den Werten der Wurzeln der charakteristischen Gleichung wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung geschrieben als , oder , bzw.

Betrachten Sie beispielsweise eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Wurzeln seiner charakteristischen Gleichung sind k 1 = -3 und k 2 = 0. Die Wurzeln sind reell und unterschiedlich, daher hat die allgemeine Lösung einer LODE mit konstanten Koeffizienten die Form


Lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Gesucht wird die allgemeine Lösung einer LDDE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y in Form der Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden LDDE und eine besondere Lösung des Originals inhomogene Gleichung, also, . Der vorherige Absatz ist der Suche nach einer allgemeinen Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gewidmet. Und eine bestimmte Lösung wird entweder durch die Methode bestimmt unsichere Koeffizienten bei eine bestimmte Form Funktion f(x) auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung oder durch die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Als Beispiele für LDDEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten geben wir an


Um die Theorie zu verstehen und sich mit detaillierten Beispiellösungen vertraut zu machen, bieten wir Ihnen auf der Seite lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten an.

Lineare homogene Differentialgleichungen (LODE) und lineare inhomogene Differentialgleichungen (LNDEs) zweiter Ordnung.

Ein Sonderfall solcher Differentialgleichungen sind LODE und LDDE mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Lösung des LODE auf einem bestimmten Segment wird durch eine lineare Kombination zweier linear unabhängiger Teillösungen y 1 und y 2 dieser Gleichung dargestellt, d. h. .

Die Hauptschwierigkeit besteht gerade darin, linear unabhängige Teillösungen einer solchen Differentialgleichung zu finden. Typischerweise werden bestimmte Lösungen aus den folgenden Systemen linear unabhängiger Funktionen ausgewählt:


Allerdings werden bestimmte Lösungen nicht immer in dieser Form dargestellt.

Ein Beispiel für einen LOD ist .

Die allgemeine Lösung des LDDE wird in der Form gesucht, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden LDDE und die besondere Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist. Wir haben gerade darüber gesprochen, es zu finden, aber es kann mithilfe der Methode der Variation beliebiger Konstanten bestimmt werden.

Ein Beispiel für LNDU kann gegeben werden .

Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Differentialgleichungen, die eine Ordnungsreduktion ermöglichen.

Ordnung der Differentialgleichung , das die gewünschte Funktion und ihre Ableitungen bis zur Ordnung k-1 nicht enthält, kann durch Ersetzen auf n-k reduziert werden.

In diesem Fall wird die ursprüngliche Differentialgleichung auf reduziert. Nachdem die Lösung p(x) gefunden wurde, muss noch zur Ersetzung zurückgekehrt und die unbekannte Funktion y bestimmt werden.

Zum Beispiel die Differentialgleichung Nach der Ersetzung wird daraus eine Gleichung mit trennbaren Variablen, und ihre Ordnung wird von der dritten auf die erste reduziert.

Differentialgleichung (DE) - das ist die Gleichung,
Wo sind die unabhängigen Variablen, y ist die Funktion und sind die partiellen Ableitungen.

Gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die nur eine unabhängige Variable hat, .

Partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung mit zwei oder mehr unabhängigen Variablen.

Die Wörter „gewöhnliche“ und „partielle Ableitungen“ können weggelassen werden, wenn klar ist, welche Gleichung berücksichtigt wird. Im Folgenden werden gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet.

Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung.

Hier ist ein Beispiel für eine Gleichung erster Ordnung:

Hier ist eine Beispielgleichung vierte Ordnung:

Manchmal wird eine Differentialgleichung erster Ordnung als Differentialgleichung geschrieben:

In diesem Fall sind die Variablen x und y gleich. Das heißt, die unabhängige Variable kann entweder x oder y sein. Im ersten Fall ist y eine Funktion von x. Im zweiten Fall ist x eine Funktion von y. Bei Bedarf können wir diese Gleichung auf eine Form reduzieren, die explizit die Ableitung y′ einschließt.
Wenn wir diese Gleichung durch dx dividieren, erhalten wir:
.
Da und folgt daraus
.

Differentialgleichungen lösen

Ableitungen von Elementarfunktionen werden durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Integrale elementarer Funktionen werden oft nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt. Bei Differentialgleichungen ist die Situation noch schlimmer. Als Ergebnis der Lösung erhalten Sie:

• explizite Abhängigkeit einer Funktion von einer Variablen;

  Lösen einer Differentialgleichung ist die Funktion y = u (X), die definiert ist, n-mal differenzierbar, und .

• implizite Abhängigkeit in Form einer Gleichung vom Typ Φ (x, y) = 0 oder Gleichungssysteme;

  Integral einer Differentialgleichung ist eine Lösung einer Differentialgleichung, die eine implizite Form hat.

• Abhängigkeit, ausgedrückt durch Elementarfunktionen und Integrale von ihnen;

  Lösen einer Differentialgleichung in Quadraturen - Dies bedeutet, eine Lösung in Form einer Kombination von Elementarfunktionen und deren Integralen zu finden.

• Die Lösung darf nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden.

Da es beim Lösen von Differentialgleichungen auf die Berechnung von Integralen ankommt, enthält die Lösung einen Satz von Konstanten C 1, C 2, C 3, ... C n. Die Anzahl der Konstanten entspricht der Ordnung der Gleichung. Partielles Integral einer Differentialgleichung ist das allgemeine Integral für gegebene Werte der Konstanten C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Verweise:
V.V. Stepanov, Kurs über Differentialgleichungen, „LKI“, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Problemen der höheren Mathematik, „Lan“, 2003.