Mathematische Modellierung- der Prozess der Konstruktion und Untersuchung mathematischer Modelle

Haupttrends in der Entwicklung der mathematischen (Computer-)Modellierung in letzten Jahren sind nicht so sehr mit der Lösung von „Mikro“-Problemen verbunden, wie etwa der oben dargestellten „Modell-Algorithmus-Programm“-Beziehung. Der Schwerpunkt der Modellierung verlagert sich zunehmend auf „Makroprobleme“. Tatsächlich schränken Hardware- und Softwaretools zur Lösung von Mikroproblemen die Möglichkeiten der Modellierung selbst in den größten Projekten in letzter Zeit praktisch nicht mehr ein. Neben grundlegenden Programmiersprachen für die Modellierung werden weltweit Dutzende Spezialsprachen und kommerziell erhältliche Modellierungssysteme häufig verwendet, und Netzwerkfunktionen ermöglichen den Zugriff auf die neuesten Methoden und Ideen.

IN moderne Theorie Im Management werden zwei Haupttypen mathematischer Modelle erstellt und angewendet (obwohl diese Typen in verschiedenen Abschnitten der Theorie unterschiedlich definiert werden).
Für technische Objekte entspricht diese Einteilung „phänomenologischen“ und „deduktiven“ Modellen. Unter phänomenologischen Modellen versteht man in erster Linie empirisch rekonstruierte Input-Output-Abhängigkeiten, meist mit einer geringen Anzahl von Inputs und Outputs. Bei der deduktiven Modellierung geht es um die Aufklärung und Beschreibung der grundlegenden physikalischen Funktionsgesetze aller Knoten des untersuchten Prozesses und der Mechanismen ihrer Interaktion. Deduktive Modelle sind viel umfangreicher; sie beschreiben den Prozess als Ganzes und nicht seine einzelnen Modi.
Die erste Art von Modellen sind analytische Modelle (oder genauer gesagt Datenmodelle). „Datenmodelle sind Modelle, die keine Hypothesen erfordern, verwenden oder darstellen physikalische Prozesse(Systeme), in denen diese Daten gewonnen werden.“ Die zweite Art von Modellen ist Systemmodelle(oder Systemmodelle). Das Mathematische Modelle, die „weitgehend auf der Grundlage physikalischer Gesetze und Hypothesen darüber aufgebaut sind, wie das System aufgebaut ist und vielleicht auch wie es funktioniert“.
Im klassischen Sinne umfassen Datenmodelle (analytische Modelle) alle Modelle mathematische Statistik . In jüngster Zeit wurden für diese Modelle charakteristische Makroveränderungen beobachtet. Kommunikation mit " Außenwelt„Dringt in diesen Bereich der Modellierung als Experte für statistische Methoden und Systeme ein und erweitert ihn erheblich methodische Grundlage zur Entscheidungsfindung bei Datenanalyse- und Managementproblemen.
Bis vor kurzem Mathematische Modelle wurden in der Managementpraxis lediglich als Quelle für Eingabedaten für Steuerungssysteme verwendet. Modellieren technische Systeme in der Entwurfsphase zur Optimierung ihrer Struktur und Parameter führt diese Tradition fort.
Bei vielen anderen Problemen sind grundsätzlich nur Systemmodelle anwendbar. In vielen Fällen kann ein Modell in Form eines Blocks in ein Steuerungssystem eingebunden werden, der die Ausgaben eines Objekts aus seinen Eingaben berechnet. In diesem Fall sprechen wir oft von der Entwicklung des sogenannten Simulationsmodellierung- D dynamisch Objektmodellierung. Dynamische Modellierung ist typisch für verschiedene Echtzeitaufgaben, vor allem für Computersimulatoren. Daher werden im Prozess des Simulatortrainings die Aktionen des Bedieners als Eingaben eines Systemmodells (Technologie, Transport usw.) interpretiert und die Ausgaben des Modells in ein audiovisuelles Bild der Reaktionen des Systems auf die Aktionen des Bedieners umgewandelt. Eine solche Modellierung erfolgt in Echtzeit, wodurch die Ergebnisse in verschiedenen Echtzeittechnologien (von der Fehlererkennung bis zur interaktiven Bedienerschulung) genutzt werden können.
Es gibt zwei Hauptklassen von Problemen im Zusammenhang mit mathematischen Modellen: direkte und inverse. Im ersten Fall gelten alle Parameter des Modells als bekannt und wir können nur sein Verhalten untersuchen. Zum Beispiel die Bestimmung der Schwingungsfrequenz harmonischer Oszillator für einen bekannten Parameterwert k- ein direktes Problem der mathematischen Modellierung.

Manchmal müssen Sie das umgekehrte Problem lösen: Einige Modellparameter sind unbekannt (sie können beispielsweise nicht explizit gemessen werden) und Sie müssen sie finden, indem Sie das Verhalten des realen Systems mit seinem Modell vergleichen. Ein weiteres umgekehrtes Problem: Wählen Sie die Parameter des Modells so aus, dass es bestimmte Bedingungen erfüllt – solche Probleme müssen beim Entwurf von Systemen gelöst werden.

Ein mathematisches Modell drückt die wesentlichen Merkmale eines Objekts oder Prozesses in der Sprache von Gleichungen und anderen mathematischen Mitteln aus. Tatsächlich verdankt die Mathematik selbst ihre Existenz dem, was sie widerzuspiegeln versucht, d. h. Modellieren Sie in Ihrer eigenen spezifischen Sprache die Muster der umgebenden Welt.

Der Weg der mathematischen Modellierung in unserer Zeit ist viel umfassender als die umfassende Modellierung. Einen enormen Impuls für die Entwicklung der mathematischen Modellierung gab das Aufkommen von Computern, obwohl die Methode selbst vor Tausenden von Jahren gleichzeitig mit der Mathematik entstand.

Mathematische Modellierung Daher ist nicht immer Computerunterstützung erforderlich. Jeder Fachmann, der sich beruflich mit mathematischer Modellierung beschäftigt, tut sein Bestes, um das Modell analytisch zu untersuchen. Analytische Lösungen(d. h. dargestellt durch Formeln, die die Ergebnisse der Studie anhand der Originaldaten ausdrücken) sind in der Regel praktischer und informativer als numerische. Die Möglichkeiten analytischer Methoden zur Lösung komplexer mathematischer Probleme sind jedoch sehr begrenzt und in der Regel deutlich komplexer als numerische Methoden.

Modell (von lateinisch modulus – Maß) und Modellierung sind allgemeine wissenschaftliche Konzepte. Die Modellierung aus allgemeinwissenschaftlicher Sicht dient der Erkenntnis durch die Konstruktion spezieller Objekte, Systeme – Modelle der untersuchten Objekte, Phänomene oder Prozesse. In diesem Fall wird das eine oder andere Objekt als Modell bezeichnet, wenn es dazu verwendet wird, Informationen über ein anderes Objekt zu erhalten – einen Prototyp des Modells.

Die Modellierungsmethode wird ausnahmslos in nahezu allen Wissenschaften und in allen Phasen der wissenschaftlichen Forschung eingesetzt. Die heuristische Kraft dieser Methode wird dadurch bestimmt, dass es mit Hilfe der Modellierungsmethode möglich ist, die Untersuchung des Komplexen auf das Einfache, das Unsichtbare und Immaterielle, das Sichtbare und Greifbare usw. zu reduzieren.

Bei der Untersuchung eines Objekts (Prozesses oder Phänomens) mit der Modellierungsmethode können die Eigenschaften, die wir haben, als Modell ausgewählt werden dieser Moment interessiert. Wissenschaftliche Forschung Jedes Objekt ist immer relativ. In einer konkreten Untersuchung ist es unmöglich, ein Objekt in seiner ganzen Vielfalt zu betrachten. Folglich kann dasselbe Objekt viele verschiedene Modelle haben, und keines davon kann als das einzig wahre Modell dieses Objekts bezeichnet werden.

Es ist üblich, vier Hauptmerkmale zu unterscheiden Eigenschaften Modelle:

· Vereinfachung im Vergleich zum Untersuchungsgegenstand;

· Fähigkeit, den Studiengegenstand zu reflektieren oder zu reproduzieren;

· die Fähigkeit, den Forschungsgegenstand in bestimmten Phasen seiner Erkenntnis zu ersetzen;

· die Fähigkeit, neue Informationen über das untersuchte Objekt zu erhalten.

Die Untersuchung verschiedener Phänomene oder Prozesse mit mathematischen Methoden erfolgt anhand eines mathematischen Modells. Mathematisches Modell ist eine formalisierte Beschreibung des untersuchten Objekts in der Sprache der Mathematik. Eine solche formalisierte Beschreibung kann ein System linearer, nichtlinearer oder Differentialgleichungen, ein Ungleichungssystem, ein bestimmtes Integral, ein Polynom mit unbekannten Koeffizienten usw. sein. Das mathematische Modell muss die wichtigsten Eigenschaften des untersuchten Objekts abdecken und widerspiegeln Verbindungen zwischen ihnen.

Bevor ein mathematisches Modell eines Objekts (Prozesses oder Phänomens) erstellt wird, wird es lange Zeit mit verschiedenen Methoden untersucht: Beobachtung, speziell organisierte Experimente, theoretische Analyse usw., das heißt, sie untersuchen die qualitative Seite des Phänomens recht gut und identifizieren die Beziehungen, in denen sich die Elemente des Objekts befinden. Dann wird der Gegenstand vereinfacht und aus der Vielfalt seiner inhärenten Eigenschaften die wesentlichsten herausgegriffen. Bei Bedarf werden Annahmen über bestehende Verbindungen zur Außenwelt getroffen.

Wie bereits erwähnt, ist kein Modell mit dem Phänomen selbst identisch, sondern bietet nur eine gewisse Annäherung an die Realität. Aber das Modell listet alle Annahmen auf, die ihm zugrunde liegen. Diese Annahmen mögen grob sein und bieten dennoch eine völlig zufriedenstellende Annäherung an die Realität. Für dasselbe Phänomen können mehrere Modelle, auch mathematische, erstellt werden. Beschreiben Sie zum Beispiel die Bewegung von Planeten Sonnensystem Sie können Folgendes verwenden:

8 Keplers Modell, das aus drei Gesetzen besteht, darunter mathematische Formeln(Ellipsengleichung);

8 von Newtons Modell, das aus einer Formel besteht, aber dennoch allgemeiner und genauer ist.

In der Optik wurden mehrere Lichtmodelle berücksichtigt: Korpuskular, Welle und elektromagnetisch. Für sie wurden zahlreiche quantitative Muster abgeleitet. Jedes dieser Modelle erforderte einen eigenen mathematischen Ansatz und geeignete mathematische Werkzeuge. Die Korpuskularoptik nutzte die Mittel der euklidischen Geometrie und gelangte zu den Gesetzen der Reflexion und Brechung des Lichts. Das Wellenmodell der Lichttheorie erforderte neue mathematische Ideen und rein rechnerisch wurden neue Fakten im Zusammenhang mit den Phänomenen der Beugung und Interferenz von Licht entdeckt, die zuvor nicht beobachtet wurden. Geometrische Optik, verbunden mit dem Korpuskularmodell, erwies sich hier als machtlos.

Das konstruierte Modell muss so beschaffen sein, dass es ein Objekt (Prozess oder Phänomen) in der Forschung ersetzen kann und ähnliche Eigenschaften mit diesem aufweist. Ähnlichkeit wird entweder durch Ähnlichkeit in der Struktur (Isomorphismus) oder durch Analogie im Verhalten oder in der Funktionsweise (Isofunktionalität) erreicht. Basierend auf der Ähnlichkeit der Struktur oder Funktion des Modells mit dem Original testet, berechnet und konstruiert moderne Technik komplexe Systeme, Maschinen und Strukturen.

Wie oben erwähnt, können viele verschiedene Modelle für dasselbe Objekt, denselben Prozess oder dasselbe Phänomen erstellt werden. Einige von ihnen (nicht unbedingt alle) können isomorph sein. Beispielsweise wird in der analytischen Geometrie eine Kurve in einer Ebene als Modell für die entsprechende Gleichung in zwei Variablen verwendet. In diesem Fall sind das Modell (Kurve) und der Prototyp (Gleichung) isomorph zu Systemen (auf der Kurve liegende Punkte und entsprechende Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen),

In dem Buch „Mathematics Conducts an Experiment“ schreibt der Akademiker N.N. Moiseev, dass jedes mathematische Modell auf drei Arten entstehen kann:

· Als Ergebnis der direkten Untersuchung und des Verständnisses eines Objekts (Prozesses oder Phänomens) (phänomenologisch) (Beispiel – Gleichungen, die die Dynamik der Atmosphäre, des Ozeans beschreiben),

· Als Ergebnis eines Deduktionsprozesses, wenn ein neues Modell als Sonderfall eines Mehrmodells erhalten wird allgemeines Modell(asymptomatisch) (Beispiel - Gleichungen der Hydrothermodynamik der Atmosphäre),

· Als Ergebnis eines Induktionsprozesses, wenn das neue Modell eine natürliche Verallgemeinerung „elementarer“ Modelle ist (Ensemble-Modell oder verallgemeinertes Modell).

Der Prozess der Entwicklung mathematischer Modelle besteht aus Folgendem Stufen:

· Formulierung des Problems;

· Bestimmung des Zwecks der Modellierung;

· Organisation und Durchführung von Forschungsarbeiten zum Fachgebiet (Untersuchung der Eigenschaften eines Modellierungsobjekts);

· Modellentwicklung;

· Überprüfung der Richtigkeit und Übereinstimmung mit der Realität;

· praktischer Nutzen, d.h. Übertragung des mithilfe des Modells gewonnenen Wissens auf das untersuchte Objekt oder den untersuchten Prozess.

Der Modellierung als Möglichkeit zum Verständnis der Gesetze und Phänomene der Natur kommt besondere Bedeutung bei der Untersuchung von Objekten zu, die einer direkten Beobachtung oder einem Experiment nicht vollständig zugänglich sind. Diese beinhalten soziale Systeme, nur möglicher Weg Die Untersuchung erfolgt häufig durch Modellierung.

Es gibt keine allgemeinen Methoden zur Konstruktion mathematischer Modelle. Im Einzelfall muss man von den verfügbaren Daten ausgehen, Zielorientierung, Berücksichtigen Sie die Ziele der Studie und gleichen Sie auch die Genauigkeit und Detailliertheit des Modells ab. Es sollte die wichtigsten Merkmale des Phänomens widerspiegeln, wesentliche Faktoren, von denen der Erfolg der Modellierung hauptsächlich abhängt.

Bei der Entwicklung von Modellen ist es notwendig, die folgenden methodischen Grundprinzipien der Modellierung einzuhalten gesellschaftliche Erscheinungen:

· das Prinzip der Problematik, das den Übergang nicht von vorgefertigten „universellen“ mathematischen Modellen zu Problemen, sondern von realen Modellen impliziert, Aktuelle Probleme- Suche, Entwicklung von Sondermodellen;

· das Prinzip der Systematik, das alle Zusammenhänge des modellierten Phänomens in Begriffen betrachtet Systemelemente und seine Umgebung;

· das Prinzip der Variabilität in der Formalisierung von Managementprozessen, die mit spezifischen Unterschieden in den Entwicklungsgesetzen von Natur und Gesellschaft verbunden sind. Um dies zu erklären, ist es notwendig, den grundlegenden Unterschied zwischen Modellen sozialer Prozesse und Modellen, die Naturphänomene beschreiben, aufzudecken.

Mathematische Modellierung

1. Was ist mathematische Modellierung?

Aus der Mitte des 20. Jahrhunderts. in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit sind weit verbreitet mathematische Methoden und Computer. Es sind neue Disziplinen wie „mathematische Ökonomie“, „mathematische Chemie“, „mathematische Linguistik“ usw. entstanden, die mathematische Modelle relevanter Objekte und Phänomene sowie Methoden zur Untersuchung dieser Modelle untersuchen.

Ein mathematisches Modell ist eine ungefähre Beschreibung einer beliebigen Klasse von Phänomenen oder Objekten der realen Welt in der Sprache der Mathematik. Der Hauptzweck der Modellierung besteht darin, diese Objekte zu erkunden und die Ergebnisse zukünftiger Beobachtungen vorherzusagen. Modellierung ist aber auch eine Methode, die Welt um uns herum zu verstehen und zu kontrollieren.

Mathematische Modellierung und das damit verbundene Computerexperiment sind in Fällen unverzichtbar, in denen ein umfassendes Experiment aus dem einen oder anderen Grund unmöglich oder schwierig ist. Es ist zum Beispiel unmöglich, ein natürliches Experiment in der Geschichte durchzuführen, um zu überprüfen, „was passiert wäre, wenn ...“ Es ist unmöglich, die Richtigkeit der einen oder anderen kosmologischen Theorie zu überprüfen. Es ist grundsätzlich möglich, aber kaum sinnvoll, mit der Ausbreitung einer Krankheit, etwa der Pest, zu experimentieren oder diese durchzuführen Nukleare Explosion seine Konsequenzen zu studieren. All dies kann jedoch auf einem Computer durchgeführt werden, indem zunächst mathematische Modelle der untersuchten Phänomene erstellt werden.

2. Hauptphasen der mathematischen Modellierung

1) Modellbau. In dieser Phase wird ein „nicht-mathematisches“ Objekt spezifiziert – ein Naturphänomen, ein Design, ein Wirtschaftsplan, Herstellungsprozess usw. In diesem Fall ist eine klare Sachverhaltsbeschreibung in der Regel schwierig. Zunächst werden die Hauptmerkmale des Phänomens und die Zusammenhänge zwischen ihnen auf qualitativer Ebene identifiziert. Anschließend werden die gefundenen qualitativen Abhängigkeiten in der Sprache der Mathematik formuliert, also ein mathematisches Modell aufgebaut. Dies ist die schwierigste Phase der Modellierung.

2) Lösung mathematisches Problem, wozu das Modell führt. In dieser Phase wird viel Wert auf die Entwicklung von Algorithmen und numerischen Methoden zur Lösung des Problems am Computer gelegt, mit deren Hilfe das Ergebnis mit der erforderlichen Genauigkeit und in akzeptabler Zeit gefunden werden kann.

3) Interpretation der erhaltenen Konsequenzen aus dem mathematischen Modell. Die aus dem Modell abgeleiteten Konsequenzen in der Sprache der Mathematik werden in der Fachsprache interpretiert.

4) Überprüfung der Angemessenheit des Modells. In dieser Phase wird festgestellt, ob die experimentellen Ergebnisse mit einer gewissen Genauigkeit mit den theoretischen Konsequenzen des Modells übereinstimmen.

5) Änderung des Modells. In diesem Stadium wird entweder das Modell verkompliziert, damit es der Realität besser entspricht, oder es wird vereinfacht, um eine praktisch akzeptable Lösung zu erreichen.

3. Klassifizierung von Modellen

Modelle können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Beispielsweise können Modelle je nach Art der zu lösenden Probleme in funktionale und strukturelle Modelle unterteilt werden. Im ersten Fall werden alle Größen, die ein Phänomen oder Objekt charakterisieren, quantitativ ausgedrückt. Darüber hinaus werden einige von ihnen als unabhängige Variablen betrachtet, während andere als Funktionen dieser Größen betrachtet werden. Ein mathematisches Modell ist normalerweise ein System von Gleichungen verschiedener Art (Differentialgleichung, Algebra usw.), die quantitative Beziehungen zwischen den betrachteten Größen herstellen. Im zweiten Fall charakterisiert das Modell die Struktur eines komplexen Objekts, das aus einzelnen Teilen besteht, zwischen denen bestimmte Verbindungen bestehen. Typischerweise sind diese Zusammenhänge nicht quantifizierbar. Um solche Modelle zu konstruieren, ist es praktisch, die Graphentheorie zu verwenden. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt, das eine Menge von Punkten (Eckpunkten) auf einer Ebene oder im Raum darstellt, von denen einige durch Linien (Kanten) verbunden sind.

Basierend auf der Art der Ausgangsdaten und Ergebnisse können Vorhersagemodelle in deterministische und probabilistisch-statistische Modelle unterteilt werden. Modelle erster Art ermöglichen sichere und eindeutige Vorhersagen. Modelle des zweiten Typs basieren auf statistischen Informationen und die mit ihrer Hilfe gewonnenen Vorhersagen sind probabilistischer Natur.

4. Beispiele für mathematische Modelle

1) Probleme mit der Bewegung eines Projektils.

Betrachten Sie das folgende mechanische Problem.

Das Projektil wurde von der Erde aus abgefeuert Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 30 m/s im Winkel a = 45° zu seiner Oberfläche; Es ist erforderlich, die Flugbahn seiner Bewegung und den Abstand S zwischen den Start- und Endpunkten dieser Flugbahn zu ermitteln.

Dann wird die Bewegung eines Projektils, wie aus dem Schulphysikkurs bekannt, durch die Formeln beschrieben:

Dabei ist t die Zeit, g = 10 m/s 2 die Erdbeschleunigung. Diese Formeln liefern ein mathematisches Modell des Problems. Wenn wir t durch x aus der ersten Gleichung ausdrücken und in die zweite einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Flugbahn des Projektils:

Diese Kurve (Parabel) schneidet die x-Achse an zwei Punkten: x 1 = 0 (Beginn der Flugbahn) und (Ort, an dem das Projektil einschlug). Wenn wir die angegebenen Werte von v0 und a in die resultierenden Formeln einsetzen, erhalten wir

Antwort: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Beachten Sie, dass bei der Erstellung dieses Modells eine Reihe von Annahmen verwendet wurden: Beispielsweise wird davon ausgegangen, dass die Erde flach ist und Luft und die Rotation der Erde keinen Einfluss auf die Bewegung des Projektils haben.

2) Problem mit einem Tank mit der kleinsten Oberfläche.

Es müssen die Höhe h 0 und der Radius r 0 eines Zinntanks mit einem Volumen V = 30 m 3 und der Form eines geschlossenen Kreiszylinders ermittelt werden, bei dem seine Oberfläche S minimal (in diesem Fall am kleinsten) ist Menge Zinn wird für seine Herstellung verwendet).

Schreiben wir die folgenden Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders mit der Höhe h und dem Radius r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Wenn wir h durch r und V aus der ersten Formel ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in die zweite einsetzen, erhalten wir:

Aus mathematischer Sicht besteht das Problem also darin, den Wert von r zu bestimmen, bei dem die Funktion S(r) ihr Minimum erreicht. Finden wir die Werte von r 0, für die die Ableitung gilt

geht auf Null: Sie können überprüfen, ob die zweite Ableitung der Funktion S(r) das Vorzeichen von Minus zu Plus ändert, wenn das Argument r den Punkt r 0 passiert. Folglich hat die Funktion S(r) im Punkt r0 ein Minimum. Der entsprechende Wert ist h 0 = 2r 0 . Wenn wir den gegebenen Wert V in den Ausdruck für r 0 und h 0 einsetzen, erhalten wir den gewünschten Radius und Höhe

3) Transportproblem.

Die Stadt verfügt über zwei Mehllager und zwei Bäckereien. Täglich werden 50 Tonnen Mehl vom ersten Lager und 70 Tonnen vom zweiten zu den Fabriken transportiert, davon 40 Tonnen zum ersten und 80 Tonnen zum zweiten.

Bezeichnen wir mit A ij Kosten für den Transport von 1 Tonne Mehl vom i-ten Lager nach j-te Pflanze(i, j = 1,2). Lassen

A 11 = 1,2 Rubel, A 12 = 1,6 Rubel, A 21 = 0,8 Rubel, A 22 = 1 Rubel.

Wie sollte der Transport geplant werden, damit die Kosten minimal sind?

Geben wir dem Problem eine mathematische Formulierung. Bezeichnen wir mit x 1 und x 2 die Mehlmenge, die vom ersten Lager zur ersten und zweiten Fabrik transportiert werden muss, und mit x 3 und x 4 – vom zweiten Lager zur ersten bzw. zweiten Fabrik. Dann:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Die Gesamtkosten aller Transporte werden durch die Formel ermittelt

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Aus mathematischer Sicht besteht das Problem darin, vier Zahlen x 1, x 2, x 3 und x 4 zu finden, die alle gegebenen Bedingungen erfüllen und das Minimum der Funktion f ergeben. Lösen wir das Gleichungssystem (1) nach xi (i = 1, 2, 3, 4), indem wir die Unbekannten eliminieren. Wir verstehen das

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

und x 4 kann nicht eindeutig bestimmt werden. Da x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), folgt aus Gleichungen (2), dass 30Ј x 4 Ј 70. Wenn wir den Ausdruck für x 1, x 2, x 3 in die Formel für f einsetzen, erhalten wir

f = 148 – 0,2x 4.

Es ist leicht zu erkennen, dass das Minimum dieser Funktion beim maximal möglichen Wert von x 4 erreicht wird, also bei x 4 = 70. Die entsprechenden Werte anderer Unbekannten werden durch die Formeln (2) bestimmt: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Das Problem des radioaktiven Zerfalls.

Sei N(0) die anfängliche Anzahl der Atome einer radioaktiven Substanz und N(t) die Anzahl der nicht zerfallenen Atome zum Zeitpunkt t. Es wurde experimentell festgestellt, dass die Änderungsrate der Anzahl dieser Atome N"(t) proportional zu N(t) ist, d. h. N"(t)=–l N(t), l >0 ist Radioaktivitätskonstante einer bestimmten Substanz. Im Schulkurs mathematische Analyse Es wird gezeigt, dass die Lösung hierfür Differentialgleichung hat die Form N(t) = N(0)e –l t . Die Zeit T, in der sich die Zahl der Ausgangsatome halbiert hat, wird Halbwertszeit genannt und ist ein wichtiges Merkmal der Radioaktivität eines Stoffes. Um T zu bestimmen, müssen wir die Formel eingeben Dann Beispielsweise gilt für Radon l = 2,084 · 10 –6 und daher T = 3,15 Tage.

5) Das Problem des Handlungsreisenden.

Ein reisender Verkäufer, der in der Stadt A 1 lebt, muss die Städte A 2 , A 3 und A 4 besuchen, jede Stadt genau einmal, und dann nach A 1 zurückkehren. Es ist bekannt, dass alle Städte paarweise durch Straßen verbunden sind und die Längen der Straßen b ij zwischen den Städten A i und A j (i, j = 1, 2, 3, 4) wie folgt sind:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Es ist notwendig, die Reihenfolge der Besuche von Städten festzulegen, in denen die Länge des entsprechenden Weges minimal ist.

Stellen wir jede Stadt als Punkt auf der Ebene dar und markieren sie mit der entsprechenden Beschriftung Ai (i = 1, 2, 3, 4). Verbinden wir diese Punkte mit geraden Linien: Sie stellen Straßen zwischen Städten dar. Für jede „Straße“ geben wir ihre Länge in Kilometern an (Abb. 2). Das Ergebnis ist ein Graph – ein mathematisches Objekt, das aus einer bestimmten Menge von Punkten auf der Ebene (den sogenannten Eckpunkten) und einer bestimmten Menge von Linien, die diese Punkte verbinden (den sogenannten Kanten), besteht. Darüber hinaus ist dieser Graph beschriftet, da seinen Eckpunkten und Kanten einige Beschriftungen zugewiesen sind – Zahlen (Kanten) oder Symbole (Scheitelpunkte). Ein Zyklus in einem Diagramm ist eine Folge von Eckpunkten V 1 , V 2 , ..., V k , V 1, sodass die Eckpunkte V 1 , ..., V k unterschiedlich sind, und jedes Eckpunktpaar V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) und das Paar V 1, V k sind durch eine Kante verbunden. Das betrachtete Problem besteht also darin, einen Kreis auf dem Graphen zu finden, der durch alle vier Eckpunkte verläuft, für den die Summe aller Kantengewichte minimal ist. Lassen Sie uns alle verschiedenen Zyklen durchsuchen, die durch vier Eckpunkte verlaufen und bei A 1 beginnen:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Ermitteln wir nun die Längen dieser Zyklen (in km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Die Route mit der kürzesten Länge ist also die erste.

Beachten Sie, dass, wenn es n Eckpunkte in einem Diagramm gibt und alle Eckpunkte paarweise durch Kanten verbunden sind (ein solcher Graph wird als vollständig bezeichnet), die Anzahl der Zyklen, die alle Eckpunkte durchlaufen, beträgt. Daher gibt es in unserem Fall genau drei Zyklen.

6) Das Problem, einen Zusammenhang zwischen Struktur und Eigenschaften von Stoffen zu finden.

Schauen wir uns mehrere chemische Verbindungen an, die normale Alkane genannt werden. Sie bestehen aus n Kohlenstoffatomen und n + 2 Wasserstoffatomen (n = 1, 2 ...), die wie in Abbildung 3 für n = 3 dargestellt miteinander verbunden sind. Die experimentellen Werte der Siedepunkte dieser Verbindungen seien bekannt:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Es ist erforderlich, für diese Verbindungen einen ungefähren Zusammenhang zwischen dem Siedepunkt und der Zahl n zu finden. Nehmen wir an, dass diese Abhängigkeit die Form hat

y" A n+b,

Wo A, b - zu bestimmende Konstanten. Finden A und b setzen wir in diese Formel nacheinander n = 3, 4, 5, 6 und die entsprechenden Werte der Siedepunkte ein. Wir haben:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+ b.

Um das Beste zu ermitteln A und b es gibt viele verschiedene Methoden. Lassen Sie uns die einfachste davon verwenden. Lassen Sie uns b durch ausdrücken A aus diesen Gleichungen:

b » – 42 – 3 A, b " – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Nehmen wir das arithmetische Mittel dieser Werte als gewünschtes b, das heißt, wir setzen b » 16 – 4,5 A. Setzen wir diesen Wert von b in das ursprüngliche Gleichungssystem ein und berechnen wir A, wir bekommen für A die folgenden Werte: A» 37, A» 28, A» 28, A" 36. Nehmen wir als erforderlich A der Durchschnittswert dieser Zahlen, das heißt, sagen wir mal A" 34. Die erforderliche Gleichung hat also die Form

J » 34n – 139.

Überprüfen wir die Genauigkeit des Modells anhand der ursprünglichen vier Verbindungen, für die wir die Siedepunkte anhand der resultierenden Formel berechnen:

y ð (3) = – 37°, y ð (4) = – 3°, y ð (5) = 31°, y ð (6) = 65°.

Daher beträgt der Fehler bei der Berechnung dieser Eigenschaft für diese Verbindungen nicht mehr als 5°. Mit der resultierenden Gleichung berechnen wir den Siedepunkt einer Verbindung mit n = 7, die nicht im ursprünglichen Satz enthalten ist, und ersetzen diese durch n = 7 in dieser Gleichung: y ð (7) = 99°. Das Ergebnis war ziemlich genau: Es ist bekannt, dass der experimentelle Wert des Siedepunkts y e (7) = 98°.

7) Das Problem der Bestimmung der Zuverlässigkeit eines Stromkreises.

Hier sehen wir uns ein Beispiel eines probabilistischen Modells an. Zunächst präsentieren wir einige Informationen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie – einer mathematischen Disziplin, die die Muster zufälliger Phänomene untersucht, die bei wiederholter Wiederholung von Experimenten beobachtet werden. Nennen wir ein Zufallsereignis A ein mögliches Ergebnis eines Experiments. Ereignisse A 1, ..., A k bilden eine vollständige Gruppe, wenn eines von ihnen als Ergebnis des Experiments notwendigerweise eintritt. Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig in einem Erlebnis auftreten können. Das Ereignis A trete m-mal während einer n-fachen Wiederholung des Experiments auf. Die Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl W = . Offensichtlich kann der Wert von W erst dann genau vorhergesagt werden, wenn eine Reihe von n Experimenten durchgeführt wurde. Allerdings Natur Zufällige Ereignisse ist so beschaffen, dass in der Praxis manchmal der folgende Effekt beobachtet wird: Mit zunehmender Anzahl von Experimenten ist der Wert praktisch nicht mehr zufällig und stabilisiert sich um eine nicht zufällige Zahl P(A), die als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnet wird. Für ein unmögliches Ereignis (was in einem Experiment nie auftritt) P(A) = 0, und für ein zuverlässiges Ereignis (das in der Erfahrung immer auftritt) P(A) = 1. Wenn die Ereignisse A 1 , ..., A k eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden, dann ist P(A 1)+...+P(A k)=1.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass das Experiment darin besteht, einen Würfel zu werfen und die Anzahl der ausgewürfelten Punkte X zu beobachten. Dann können wir die folgenden Zufallsereignisse A i = (X = i), i = 1, ..., 6 einführen. Sie bilden eine vollständige Gruppe inkompatibler gleichwahrscheinlicher Ereignisse, daher P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Die Summe der Ereignisse A und B ist das Ereignis A + B, das darin besteht, dass mindestens eines von ihnen in der Erfahrung auftritt. Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis AB, das aus dem gleichzeitigen Auftreten dieser Ereignisse besteht. Für unabhängige Veranstaltungen A und B sind korrekte Formeln

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Betrachten wir nun Folgendes Aufgabe. Nehmen wir an, dass drei Elemente in Reihe zu einem Stromkreis geschaltet sind und unabhängig voneinander arbeiten. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten des 1., 2. und 3. Elements betragen jeweils P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Wir betrachten einen Stromkreis als zuverlässig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass kein Strom im Stromkreis fließt, nicht mehr als 0,4 beträgt. Es muss festgestellt werden, ob eine bestimmte Schaltung zuverlässig ist.

Da die Elemente in Reihe geschaltet sind, fließt kein Strom im Stromkreis (Ereignis A), wenn mindestens eines der Elemente ausfällt. Sei A i das Ereignis, das i-tes Element funktioniert (i = 1, 2, 3). Dann ist P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Offensichtlich ist A 1 A 2 A 3 ein Ereignis, bei dem alle drei Elemente gleichzeitig wirken, und

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Dann ist P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, also P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die angegebenen Beispiele mathematischer Modelle (einschließlich funktionaler und struktureller, deterministischer und probabilistischer) illustrativer Natur sind und offensichtlich nicht die Vielfalt der mathematischen Modelle erschöpfen, die in den Natur- und Geisteswissenschaften auftreten.

VORWORT

Der Zweck des Kurses zur Modellierung von Hebe- und Transportsystemen besteht darin, die Grundlagen der Modellierung von Hebe- und Transportmaschinen (HTM) zu vermitteln, einschließlich der Erstellung mathematischer Modelle von HTM, der Softwareimplementierung von Modellen auf einem Computer sowie der Beschaffung und Verarbeitung und Analyse der Modellierungsergebnisse.

Zur eigenständigen Einarbeitung in die aufgeführten Themen wird folgende Literatur empfohlen: Braude V.I., Ter-Mkhitarov M.S. „Systemmethoden zur Berechnung von Hebemaschinen“, Ignatiev N.B., Ilyevsky B.Z., Klaus L.P. „Modellierung von Maschinensystemen“, Rachkov E.V., Silikov Yu. V. „Hebe- und Transportmaschinen und -mechanismen“ sowie Nachschlagewerke und Tutorials zu numerischen Methoden der Computermathematik und der Verwendung des MathCad-Mathematikeditors.

§1. HAUPTZIELE, DEFINITIONEN UND PRINZIPIEN DER MATHEMATISCHEN MODELLIERUNG, MODELLTYPEN

1.1 Grundlegende Definitionen

Modellierung ist eine theoretische und experimentelle Methode der kognitiven Aktivität; es ist eine Methode zur Untersuchung und Erklärung von Phänomenen, Prozessen und Systemen (ursprünglichen Objekten) auf der Grundlage der Schaffung neuer Objekte – Modelle.

Modellierung ist das Ersetzen des untersuchten Objekts (Originals) durch sein konventionelles Bild oder ein anderes Objekt (Modell) und das Studium der Eigenschaften des Originals durch Untersuchung der Eigenschaften des Modells.

Je nach Umsetzungsmethode lassen sich alle Modelle in 4 Gruppen einteilen: physikalisch, mathematisch, fachmathematisch und kombiniert [, ].

Ein physikalisches Modell ist eine reale Verkörperung derjenigen Eigenschaften des Originals, die den Forscher interessieren. Physische Modelle werden auch als Layouts bezeichnet, daher wird die physische Modellierung als Prototyping bezeichnet.

Ein mathematisches Modell ist eine formalisierte Beschreibung eines Systems (oder Prozesses) unter Verwendung einer abstrakten Sprache (mathematisch), beispielsweise in Form von Diagrammen, Gleichungen, Algorithmen, mathematischen Korrespondenzen usw.

Subjektmathematische Modelle sind analog, d.h. In diesem Fall wird zur Modellierung das Prinzip der gleichen mathematischen Beschreibung realer und im Modell auftretender Prozesse verwendet.

Kombinierte Modelle sind eine Kombination aus einem mathematischen bzw. fachmathematischen und einem physikalischen Modell. Sie werden verwendet, wenn die mathematische Beschreibung eines der Elemente des untersuchten Systems unbekannt oder schwierig ist und es außerdem entsprechend den Modellierungsbedingungen erforderlich ist, ein physikalisches Modell (z. B. einen Simulator) als Element einzuführen.

Mathematische Modellierung ist das Ersetzen des Originals durch ein mathematisches Modell und die Untersuchung der Eigenschaften des Originals mithilfe dieses Modells.

Ein System ist eine Kombination mehrerer miteinander verbundener Objekte (Elemente), die eine bestimmte Integrität bilden.

Ein Element ist ein relativ unabhängiger Teil des betrachteten Systems dieses Niveau Analyse als Ganzes, das darauf ausgelegt ist, eine bestimmte Funktion zu implementieren.

Das System verfügt über folgendes, sogenanntes "Systemeigenschaften:

Struktur, d.h. streng in einer bestimmten Reihenfolge Elemente zu Gruppen zusammenfassen;

Zweckmäßigkeit oder Funktionalität, d.h. das Vorhandensein eines Zwecks, für den das System geschaffen wurde;

Effizienz, die Fähigkeit, Ziele mit dem geringsten Ressourcenaufwand zu erreichen;

Stabilität, die Fähigkeit, die Eigenschaften seiner Eigenschaften innerhalb bestimmter Grenzen unverändert beizubehalten, wenn sich äußere Bedingungen ändern.

Derzeit wird in der Technik das Konzept des „Mensch-Maschine-Systems“ (HMS) verwendet, um den Betrieb von Maschinenkomplexen und Maschinen zu untersuchen, d.h. gemischtes System, dessen integraler Bestandteil neben technischen Objekten ein menschlicher Bediener ist [, ]. Darüber hinaus interagiert HMS mit der Umgebung. Um das PTS zu modellieren, ist es daher notwendig, das System Mensch-Maschine-Umwelt zu berücksichtigen, was durch die folgende Grafik dargestellt werden kann (Abb. 1).

R
Ist. 1 Diagramm des Systems Mensch-Maschine-Umwelt.

Die Pfeile in der Grafik stellen die Energie-, Stoff- und Informationsflüsse dar, die zwischen den Elementen des Systems ausgetauscht werden.

Die in technischen Systemen ablaufenden Prozesse werden durch eine Reihe einfacher Operationen gebildet. Operationen – Eingabetransformationen physikalische Quantitäten an Wochenenden in einem untergeordneten Element des Systems (Abb. 2).

In jedem Element des Systems (E i) erfolgt die Umwandlung von Eingangseinflüssen (X i) in Ausgangseinflüsse (Y i), und die Ausgangseinflüsse eines Elements können die Eingangseinflüsse des nächsten sein. Die Verbindung von Elementen zu einem Strukturdiagramm erfolgt je nach Art der Einflussübertragung sequentiell oder parallel.

Reis. 2 Blockschaltbild des Systems.

Hebe- und Transportsysteme (HTS), die in diesem Kurs untersucht werden, werden als Systeme bezeichnet, die eine Person, die Umwelt und Hebe- und Transportmaschinen (HTM) umfassen.

PTMs sind Maschinen, die dazu bestimmt sind, Fracht über relativ kurze Distanzen zu transportieren, ohne sie zu verarbeiten. PTMs werden eingesetzt, um Umladevorgänge zu erleichtern, zu beschleunigen und die Effizienz zu steigern.

1.2 Prinzipien und Arten der mathematischen Modellierung

Mathematische Modelle müssen die folgenden Eigenschaften haben:

Angemessenheit, Eigenschaft der Übereinstimmung zwischen Modell und Forschungsgegenstand;

Zuverlässigkeit, die die angegebene Wahrscheinlichkeit dafür gewährleistet, dass Modellierungsergebnisse in das Konfidenzintervall fallen,

Genauigkeit, unbedeutende (innerhalb des zulässigen Fehlers) Abweichung zwischen den Simulationsergebnissen und den Indikatoren realer Objekte (Prozesse);

Stabilität, die Eigenschaft der Übereinstimmung kleiner Änderungen der Ausgabeparameter mit kleinen Änderungen der Eingabeparameter;

Effizienz, die Fähigkeit, ein Ziel mit geringem Ressourcenaufwand zu erreichen;

Anpassungsfähigkeit, die Fähigkeit, sich leicht anzupassen, um verschiedene Probleme zu lösen.

Um diese Eigenschaften zu erreichen, gibt es einige Prinzipien (Regeln) der mathematischen Modellierung, von denen einige im Folgenden aufgeführt sind.

Das Prinzip der Zweckmäßigkeit besteht darin, dass das Modell die Erreichung streng definierter Ziele gewährleisten und vor allem diejenigen Eigenschaften des Originals widerspiegeln muss, die zur Zielerreichung notwendig sind.

Das Prinzip der Informationssuffizienz besteht darin, die Informationsmenge über ein Objekt bei der Erstellung seines Modells zu begrenzen und nach dem Optimum zwischen den Eingabeinformationen und den Modellierungsergebnissen zu suchen. Dies kann durch das folgende Diagramm veranschaulicht werden.

Alle mögliche Fälle Simulationen finden Sie in Spalte 2.

Machbarkeitsprinzip besteht darin, dass das Modell sicherstellen muss, dass das gesetzte Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit nahe 1 und in einer endlichen Zeit erreicht wird. Dieses Prinzip kann in zwei Begriffen ausgedrückt werden

Und
, (1)

Wo
- Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu erreichen, - Zeit bis zum Erreichen des Ziels,
und - akzeptable Werte der Wahrscheinlichkeit und des Zeitpunkts der Zielerreichung.

Aggregationsprinzip ist, dass das Modell aus Subsystemen der 1. Ebene bestehen sollte, die wiederum aus Subsystemen der 2. Ebene usw. bestehen sollten. Subsysteme müssen als separate unabhängige Blöcke konzipiert sein. Ein solcher Modellaufbau ermöglicht die Verwendung von Standardberechnungsverfahren und erleichtert darüber hinaus die Anpassung des Modells an die Lösung verschiedener Probleme.

Parametrisierungsprinzip besteht darin, bei der Modellierung bestimmte Parameter von Subsystemen zu ersetzen, die durch Funktionen beschrieben werden, die numerischen Eigenschaften entsprechen.

Der Modellierungsprozess unter Verwendung dieser Regeln besteht aus den folgenden 5 Schritten (Stufen).

Modellierungsziele definieren.

Entwicklung eines konzeptionellen Modells (Berechnungsschema).

Formalisierung.

Implementierung des Modells.

Analyse und Interpretation von Simulationsergebnissen.

Signifikante Unterschiede bei der Umsetzung der Stufen 3–5 lassen auf zwei Ansätze zum Aufbau eines Modells schließen.

Analytische Modellierung ist die Verwendung eines mathematischen Modells in Form von Gleichungen, ergänzt durch ein System von Randbedingungen, die Eingabevariablen mit Ausgabeparametern verbinden. Die analytische Modellierung kommt dann zum Einsatz, wenn eine vollständige Formulierung des Forschungsproblems vorliegt und es erforderlich ist, ein entsprechendes Endergebnis zu erhalten.

Simulationsmodellierung ist die Verwendung eines mathematischen Modells zur Beschreibung der Funktionsweise eines Systems im Zeitverlauf unter verschiedenen Kombinationen von Systemparametern und verschiedenen äußeren Einflüssen. Simulationsmodellierung wird verwendet, wenn keine endgültige Formulierung des Problems vorliegt und die im System ablaufenden Prozesse untersucht werden müssen. Die Simulationsmodellierung setzt die Einhaltung einer Zeitskala voraus. Diese. Ereignisse im Modell treten in Zeitintervallen auf, die proportional zu Ereignissen im Original sind, mit einem konstanten Proportionalitätskoeffizienten.

Basierend auf der Verwendung von Werkzeugen zur Implementierung des Modells kann eine weitere Art der Modellierung unterschieden werden, die Computermodellierung. Computermodellierung ist mathematische Modellierung mithilfe von Computertechnologie.

1.3 Klassifizierung mathematischer Modelle

Alle mathematischen Modelle können nach den folgenden Klassifizierungskriterien in mehrere Gruppen eingeteilt werden.

Abhängig von der Art des zu modellierenden Systems können Modelle statisch oder dynamisch sein. Statische Modelle werden zur Untersuchung statischer Systeme verwendet, dynamische Modelle werden zur Untersuchung dynamischer Systeme verwendet. Dynamische Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass sie mehrere Zustände haben, die sich im Laufe der Zeit ändern.

Je nach Modellierungszweck werden Modelle in Last-, Management- und Funktionsmodelle unterteilt. Lastmodelle werden verwendet, um die auf die Elemente des Systems wirkenden Lasten zu bestimmen, Managementmodelle werden verwendet, um die kinematischen Parameter des untersuchten Systems zu bestimmen, zu denen Geschwindigkeiten und Bewegungen von Systemelementen gehören, und Funktionsmodelle werden verwendet, um die Koordinaten des Systems zu bestimmen Modell im Raum möglicher Funktionszustände des Systems.

Basierend auf dem Grad der Diskretisierung werden Modelle in diskrete, gemischte und kontinuierliche Modelle unterteilt. Diskrete Modelle enthalten miteinander verbundene Elemente, deren Eigenschaften an Punkten konzentriert sind. Dabei kann es sich um punktuell konzentrierte Massen, Volumina, Kräfte und andere Einflüsse handeln. Kontinuumsmodelle enthalten Elemente, deren Parameter über die Länge, Fläche oder das Volumen des gesamten Elements verteilt sind. Gemischte Modelle enthalten Elemente beider Typen.

S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

SYSTEMMODELLIERUNG

Lernprogramm

Bundesbehörde der Bildung

Zustand Bildungseinrichtung höher Berufsausbildung

Staatliche Universität für Chemische Technologie Iwanowo

Internationale Universität für Wirtschaft und neue Technologien (Institut)

S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

SYSTEMMODELLIERUNG

Für Universitätsstudenten.

Bobkov S.P. Modellierung von Systemen: Lehrbuch. Zulage / S.P. Bobkow,

VOR. Bytev; Iwan. Zustand chemische Technologie univ. – Iwanowo, 2008. – 156 S. - ISBN

Ziel Lehrhilfe– an Studierende weitergeben Grund Ideeüber moderne Methoden der technischen und technischen Modellierung ökonomische Systeme und Objekte.

Das Handbuch behandelt allgemeine Fragen und moderne Methoden

Modellierungstechnologie, kontinuierliche und diskrete deterministische Modelle

Aufteilung von Objekten und Systemen, stochastische Modelle mit diskreter und kontinuierlicher Zeit. Besonderes Augenmerk wird auf Methoden der Simulationsmodellierung von Systemen mit probabilistischen Eigenschaften gelegt. Es wird ein Überblick über weitere Modellierungsansätze gegeben. komplexe Systeme, wie Informationsentropie, die Verwendung neuronaler Netze und Petri-Netze.

Das Lehrbuch richtet sich an Studierende der Fachrichtungen 080801 „Angewandte Informatik“ und 230201

« Informationssysteme und Technologie." Darüber hinaus kann das Handbuch für Studierende anderer Fachrichtungen und Bereiche nützlich sein.

Tabelle 7. Abb.92. Bibliographie: 10 Titel

Veröffentlicht durch Beschluss des Redaktions- und Verlagsrates Ivanov-

Russische Staatliche Universität für Chemische Technologie.

Rezensenten:

Abteilung für Angewandte Mathematik, Staatliche Energieuniversität Iwanowo; Doktor der physikalischen und mathematischen Wissenschaften V.A. Sokolov, (Staatliche Universität Jaroslawl).

ISBN 5-9616-0268-6 © Staatliche Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung, Staatliche Chemisch-Technische Universität Iwanowo“, 2008

1.5. Das Konzept eines mathematischen Modellierungsschemas. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Allgemeine Technik Erstellen mathematischer Modelle. . . . . . . . . . . 13

1.7. Grundlegendes Konzept systematischer Ansatz zur Schöpfung

Mathematische Modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. DETERMINISTISCHE MODELLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Mathematische Modelle technischer Objekte. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Komponentenfunktionsgleichungen von Objekten. . . . . 20

2.1.2. Phasenvariablen und ihre Analogien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Topologische Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Beispiele für die Erstellung von Modellen technischer Objekte. . . . . . . 25

2.1.5. Modelle technologischer Geräte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Endliche Zustandsmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Das Konzept einer endlichen Zustandsmaschine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Beschreibungsmethoden und Klassen endlicher Automaten. . . . . . . . 32

2.2.3. Andere Arten von endlichen Automaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Stochastische Modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Elemente der Markov-Theorie zufällige Prozesse. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Das Konzept eines zufälligen Prozesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Diskrete Markov-Ketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Kontinuierliche Markov-Ketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Gleichungen A.N. Kolmogorow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Ereignisströme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Grundlegende Theorie Schlange stehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Verallgemeinertes Blockdiagramm des QS. Optionen

und Eigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Offenes QS mit Warte- und Patientenwünschen. 58

3.2.3. Limitvarianten eines Open-Loop-QS. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4. Allgemeiner Fall eines Open-Loop-QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Geschlossenes QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Warteschlangennetzwerke

mit einfachen Ereignisflüssen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Wahrscheinlichkeitsautomaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. SIMULATIONSMODELLIERUNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Definition einer Simulationsmethode. . . . . . . . . .
4.2. Grundkonzepte der Simulationsmodellierung. . . . . . . . . . . .
4.3. Hauptphasen der Simulationsmodellierung. . . . . . . . . . . . . .
4.4. Zeit in Simulationsmodellen. Pseudoparallelität. . . . . . . . . .
4.5. Verallgemeinerte Simulationsalgorithmen. . . . . . .
4.6. Modellierung zufälliger Faktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Grundlegende Modellierung zufällige Variablen. . . . . . . . . . . .
4.6.2. Modellierung kontinuierlicher Zufallsvariablen
Mit Zufallsverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Modellierung diskreter Zufallsvariablen. . . . . . . . .
4.6.4. Modellierung zufälliger Ereignisse und ihrer Abläufe. . . . . . .
4.7 Modellierung zufälliger Prozesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Diskrete Markov-Ketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Kontinuierliche Markov-Ketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Aufbereitung und Analyse von Simulationsergebnissen.
4.8.1. Schätzung probabilistischer Parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Schätzung von Korrelationsparametern. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3. Berechnung zeitlich gemittelter QS-Parameter. . . . . . . . . . . .
4.9. Planungsexperimente mit Simulationsmodellen. . . . .
4.10. Allgemeine Probleme der Simulationsmodellierung. . . . . . . . . . . .
5. ÜBERPRÜFUNG ALTERNATIVER ANSÄTZE ZUR MODELLIERUNG
KOMPLEXE SYSTEME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Petri-Netze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Definition eines Petrinetzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Funktionsweise eines Petri-Netzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Analyse von Petri-Netzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Neuronale Netze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Das Konzept eines neuronalen Netzwerks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Künstliches Neuron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Hauptarten der Aktivierungsfunktionen von künstlichen
Neuronen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Arten einfacher neuronaler Netze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Wiederkehrende und selbstorganisierende neuronale Netze. . .
5.2.6. Allgemeine Hinweise zum Einsatz neuronaler Netze. . . .
5.3. Informations-Entropie-Ansatz zur Systemmodellierung
LISTE EMPFOHLENER LESUNGEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .

EINFÜHRUNG

Simulation ist universelle Methode Wissen über die Welt um uns herum zu erlangen und zu nutzen. Modellierung wird von einer Person immer für zielgerichtete Aktivitäten verwendet, insbesondere in der Forschung. Unter modernen Bedingungen nimmt die Rolle und Bedeutung der mathematischen Modellierung zu, die mit der Entwicklung der Computertechnologie oft als Computermodellierung bezeichnet wird.

Mathematische (Computer-)Modelle ermöglichen aufgrund ihrer Logik und strengen formalen Natur die Identifizierung der Hauptfaktoren, die die Eigenschaften der untersuchten Systeme bestimmen, und die Untersuchung ihrer Reaktionen darauf äußere Einflüsse und Parameteränderungen. Oftmals sind mathematische Modelle einfacher und bequemer zu verwenden als natürliche (physikalische) Modelle. Sie ermöglichen die Durchführung von Computerexperimenten, deren tatsächliche Umsetzung schwierig oder unmöglich ist.

Das Studium der Grundprinzipien der mathematischen Modellierung ist fester Bestandteil der Ausbildung von Fachkräften in technischen Tätigkeitsfeldern. Disziplinen, die sich auf das Studium der grundlegenden Aspekte der Modellierung von Objekten und Systemen beziehen, sind als Bestandteil der bundesstaatlichen Bildungsstandards zwingend in die entsprechenden Lehrpläne aufgenommen.

Der Zweck dieses Tutorials besteht darin, konsistent zu präsentieren moderne Methoden Modellieren. Das Handbuch richtet sich hauptsächlich an Studierende der Fachrichtungen und Bereiche „Informationssysteme“ und „Angewandte Informatik“ (nach Branchen). Angesichts der Erfahrungen mit der Lehre solcher Disziplinen an technischen Universitäten hielten es die Autoren jedoch für ratsam, sich nicht darauf zu beschränken Wir beschränken uns darauf, nur Informationen zu Systemen zu berücksichtigen, nehmen aber auch die Betrachtung technischer und technischer Aspekte in den Text auf technisch und wirtschaftlich Systeme und Objekte.

Das Handbuchmaterial ist wie folgt aufgebaut. Im ersten Kapitel werden allgemeine Fragen und moderne Modellierungsmethoden sowie die Verwendung eines Systemansatzes bei der Erstellung mathematischer Modelle erörtert. Das zweite Kapitel ist der Betrachtung kontinuierlicher und diskreter deterministischer Modelle von Objekten und Systemen gewidmet. Es wird vorgeschlagen, die Methode der Analogien bei der Synthese und Analyse von Modellen technischer Objekte unterschiedlicher physikalischer Natur zu verwenden. Das dritte Kapitel untersucht stochastische Modelle mit diskreten und kontinuierliche Zeit. Im Handbuch wird großen Wert auf Methoden zur Simulation von Systemen mit probabilistischen Eigenschaften gelegt, die den Inhalt des vierten Kapitels bilden. Das fünfte Kapitel gibt einen Überblick über weitere Ansätze zur Modellierung komplexer Systeme, wie z. B. Informationsentropie, den Einsatz neuronaler Netze und Petri-Netze.

ALLGEMEINE KONZEPTE DER MATHEMATISCHEN MODELLIERUNG