In diesem Abschnitt werden QSs besprochen, die sowohl einen Eingabefluss als auch einen Fluss bedienter Kunden haben. Es werden Strukturen erforscht, in denen sie parallel von Knoten (Geräten) aus betrieben werden, sodass sie gleichzeitig direkt von Clients bedient werden können. Dabei wird davon ausgegangen, dass alle Wartungsgeräte leistungsmäßig gleichwertig sind. Schematisch ist ein solches Bedienungssystem in Abb. 1 dargestellt. Beachten Sie, dass zu jedem (willkürlich gewählten) Zeitpunkt alle Kunden im System in diejenigen aufgeteilt werden sollten, die in der Warteschlange stehen und daher darauf warten, bedient zu werden, und diejenigen, die darauf warten, bedient zu werden die bereits bedient sind.

Bild 1

Die Bezeichnungen, die für QS mit parallel „verbundenen“ Geräten am besten geeignet sind, sind längst vereinheitlicht und haben folgenden Aufbau:

(a/b/c): (d/e/f),

wobei die Symbole a, b, c, d, e und f mit bestimmten, wesentlichsten Elementen der Modelldarstellung von Prozessen verknüpft sind Schlange stehen und werden wie folgt interpretiert:

a - Verteilung der Zeitpunkte des Eingangs von Serviceanfragen;

b- Verteilung der Servicezeit (oder Abgänge der betreuten Kunden)

c – Anzahl parallel betriebener Dienstknoten (c=1, 2...);

d – Warteschlangendisziplin;

e – die maximale Anzahl von Anforderungen, die in das System aufgenommen werden dürfen (Anzahl der Anforderungen in der Warteschlange + Anzahl der zur Bedienung akzeptierten Anforderungen);

f ist die Kapazität der Quelle, die Serviceanfragen generiert.

Zur Angabe von a und b wird die folgende Standardschreibweise verwendet:

M – Poisson-Verteilung der Zeitpunkte des Eingangs von Serviceanfragen oder betreuter Kunden, die das System verlassen (oder exponentielle Verteilung der Zeitintervalle zwischen den Zeitpunkten aufeinanderfolgender Ankünfte oder der Dauer der Kundenbetreuung);

D- festes (deterministisches) Zeitintervall zwischen den Zeitpunkten aufeinanderfolgender Eingänge von Serviceanfragen im System oder deterministische (feste) Servicedauer;

Ek – Erlang-Verteilung oder Gamma-Verteilung der Zeitintervalle zwischen den Zeitpunkten des aufeinanderfolgenden Eintreffens von Anfragen beim Servicesystem oder der Servicedauer (wobei k als Verteilungsparameter verstanden wird);

GI – Verteilung beliebiger Zeitpunkte des Empfangs von Serviceanfragen im System (oder Zeitintervalle zwischen aufeinanderfolgenden Anfrageneingängen);

G – Verteilung einer beliebigen Art von Zeitpunkten, zu denen die betreuten Kunden das System verlassen (oder die Dauer des Dienstes).

Betrachten Sie zur Veranschaulichung die Struktur (M/D/10):(GD/N/). In Übereinstimmung mit der akzeptierten Notation handelt es sich hier um ein QS mit einem Poisson-Eingangsfluss, einer festen Servicezeit und zehn parallel arbeitenden Serviceknoten. Die Warteschlangendisziplin ist nicht geregelt, was durch das GD-Symbolpaar hervorgehoben wird. Unabhängig davon, wie viele Anforderungen in den Eingang des Bereitstellungssystems eingehen, dieses System(Warteschlange + bediente Clients) kann nicht mehr als N Anfragen (Clients) verarbeiten, d. h. Klienten, die nicht im Warteblock enthalten sind, werden gezwungen, woanders bedient zu werden. Schließlich verfügt die Quelle, die Serviceanfragen generiert, über eine unbegrenzte (unendlich große) Kapazität.

Das ultimative Ziel der Analyse von Warteschlangensystemen und -prozessen ist die Entwicklung von Kriterien (oder Indikatoren) für die Wirksamkeit des QS-Betriebs. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, gleich einen wichtigen Umstand hervorzuheben: Da der Warteschlangenprozess über einen längeren Zeitraum abläuft, interessiert uns nur der stationäre Prozess.

Wenn die Bedingungen der Stationarität erfüllt sind, interessieren uns folgende Betriebseigenschaften des QS:

Pn ist die Wahrscheinlichkeit, dass es n Clients (Dienstanfragen) im System gibt;

Ls ist die durchschnittliche Anzahl der Clients (Serviceanfragen) im System;

Lq ist die durchschnittliche Anzahl der Clients in der Warteschlange für den Service;

Ws ist die durchschnittliche Verweildauer eines Kunden (Serviceanfrage) im System;

Wq ist die durchschnittliche Verweildauer eines Kunden (Serviceanfrage) in der Warteschlange.

A-Priorat

Es gibt eine strikte Beziehung zwischen Ls und Ws (sowie zwischen Lq und Wq), also Wissen numerische Werte Wenn Sie eine dieser Größen verwenden, können Sie leicht den Wert einer anderen Größe ermitteln. Insbesondere wenn die Häufigkeit der in das System eingehenden Serviceanfragen gleich (der Intensität der Anfragen) ist, dann gilt dies

Die obigen Beziehungen gelten auch unter viel weniger strengen Annahmen, die keine besonderen Beschränkungen für die Verteilung der Zeitpunkte aufeinanderfolgender Nachfrageeingänge oder für die Verteilung der Dienstdauern vorsehen. In Fällen, in denen die Häufigkeit des Eingangs von Zustellungsanfragen jedoch gleich ist, aber nicht alle Anfragen die Möglichkeit haben, in das Zustellungssystem zu gelangen (z. B. aufgrund der unzureichenden Kapazität des Warteblocks), müssen die Beziehungen (1) gelten Durch eine solche neue Definition des Parameters geändert, würden nur die Anforderungen berücksichtigt, die tatsächlich im System „erlaubt“ sind. Dann, Einführung in Betracht ziehen

werde haben

Allgemein

Dies bedeutet, dass nur ein Bruchteil der eingehenden Serviceanfragen tatsächlich in das System „eindringt“. Aber in jedem Fall können wir die Abhängigkeit des EFF von LS Lq wie folgt feststellen. A-Priorat

Wenn Durchschnittsgeschwindigkeit Service gleich ist und daher die durchschnittliche Servicedauer gleich 1/ ist, dann gilt folgende Beziehung:

Wenn wir die linke und rechte Seite dieser Beziehung mit multiplizieren, erhalten wir

Die letzte Relation bleibt auch dann gültig, wenn wir sie durch EFF ersetzen. In diesem Fall können wir für den EFF schreiben

Bei der Analyse aller im Folgenden betrachteten Modelle liegt das Hauptaugenmerk auf der Gewinnung von Formeln für pn, da es bei Kenntnis von pn nicht schwierig ist, den Wert aller für uns interessanten Hauptbetriebsmerkmale des Warteschlangenprozesses in der Reihenfolge zu bestimmen unten angegeben:

Beachten Sie, dass bei der Berechnung von pn-Werten im Rahmen des entsprechenden mathematischen Modells in den meisten Fällen keine besonderen Schwierigkeiten auftreten. Was die Verteilung der Wartezeiten betrifft, so ist ihre numerische Bewertung möglicherweise alles andere als einfach. Daher ist es in den meisten Fällen bequemer, WS und Wq anhand von LS und Lq zu berechnen.

Beispiel. Betrachten wir ein QS mit einem Serviergerät. Die durchschnittliche Anzahl der Anfragen, die pro Stunde in das System eingehen, sei drei() und die Servicerate sei 8()Anfragen pro Stunde. Die Wahrscheinlichkeit pn, dass es im System n Anforderungen gibt, wird auf der Grundlage von Daten ermittelt, die als Ergebnis von Beobachtungen der Funktionsweise des Systems gewonnen werden. Nehmen wir an, dass uns die folgenden statistischen Schätzungen vorliegen:

(Wie wir unten sehen, werden pn-Werte mithilfe von Formeln berechnet, die für jeden spezifischen Typ von Warteschlangenmodellen speziell abgeleitet werden müssen.)

Basierend auf den oben genannten Eingabedaten können LS, WS, Wq und Lq berechnet werden. Beginnen wir mit der Ermittlung der durchschnittlichen Anzahl der Anforderungen im Serviersystem:

Anforderungen. Da =3, für durchschnittliche Dauer Verbleib der Anforderung in dem System, das wir haben

Unter Berücksichtigung von =8 erhalten wir eine Schätzung der durchschnittlichen Verweildauer in der Warteschlange

Daraus folgt, dass die durchschnittliche Anzahl der „Kunden“ in der Warteschlange gleich ist

Unter Verwendung der im vorherigen Beispiel angegebenen Daten als Ausgangsdaten berechnen wir:

(a) Durchschnittliche Anzahl von Anfragen in der Warteschlange unter Verwendung direkt bekannter pn-Werte.

A-Priorat

Ersetzen Sie die entsprechenden Werte

(b) Durchschnittliche Anzahl der vom System bedienten Clients.

Per Definition beträgt die durchschnittliche Anzahl der vom System bedienten Clients LS-Lq. Aus den obigen Formeln finden wir

Wenn der Parameter zunimmt, nehmen LS und Lq zu, und wenn der Parameter zunimmt, nehmen WS und Wq ab.

SMO mit auf Englischübersetzt als Social-Media-Optimierung. Es verfolgt das Ziel, Besucher anzuziehen und zu binden in sozialen Netzwerken. Der CMO möchte außerdem an der Modernisierung der Website arbeiten.

CMO ist interne Werbung und CMM ist extern.

CMO optimiert nur die interne Komponente; es betrifft nicht die Website-Werbung in sozialen Netzwerken.

Jeder vielversprechende Unternehmer ist bestrebt, seine Website zu optimieren und zu bewerben. Neben der Suchmaschinenoptimierung gibt es aber auch die soziale Optimierung. Dies sind SMO und SMM. Durch soziale Optimierung kann der Traffic deutlich gesteigert werden Zielgruppe. Daher sollten Sie sich nicht nur auf die Werbung für Ihre Website beschränken. CMO und CMM unterscheiden sich geringfügig im Verfahren.

Wenn die Website-Werbung auf Roboteralgorithmen abzielt, arbeiten CMO und SMM an der Zielgruppenoptimierung.

Bestandteile der internen Optimierung eines QS

Mit QS können alle Arbeiten an der Website ohne Investitionen erledigt werden Geld. Zu den internen Optimierungsarbeiten gehören technische Komponenten und Site-Audit, Arbeiten zum Füllen und Ändern des Inhalts der Site, Arbeiten am Erscheinungsbild, Verlinkung, Installation von Schaltflächen, Sitemaps, Kommentaren aus sozialen Netzwerken und Bildung von Blöcken.

Das Audit umfasst die Analyse Schwächen Website und deren Korrekturen. Das Design wird überarbeitet, einleitende Wörter werden für eine einfache Suche und Wettbewerbsfähigkeit optimiert. Bei einem technischen Audit werden die Inhalte auf Lese- und Schreibfähigkeit, Linkfunktionalität und Ladegeschwindigkeit überprüft. Während des Audits werden auch viele andere Parameter überprüft, und all dies zielt auf den effektiven Betrieb der Seite ab.

Es ist kein Geheimnis, dass der Inhalt der Website ständig aktualisiert, geändert und Innovationen eingeführt werden müssen. Nach der Entwicklung einer vollwertigen Website ist die Änderung der Inhalte in der Regel ein kontinuierlicher Prozess. Kompetente und konsistente Artikel sind sehr wichtig. Die Verhaltensreaktion von Suchmaschinensystemen hängt maßgeblich davon ab.

Auch große Rolle Theaterstücke Aussehen Website, ihr Design. Es sollte schön sein, nicht mit kitschigen Farben überladen, sich von Konkurrenzseiten unterscheiden und korrekt platziert sein. Auch das visuelle Erlebnis zieht Besucher an. Wenn das Erscheinungsbild schön und solide ist, hinterlässt es beim Grundstückseigentümer einen positiven Eindruck, da es ästhetischen Genuss hervorruft. Es ist außerdem sehr wichtig, dass die Informationen übersichtlich und logisch angeordnet sind, damit Sie die benötigten Informationen schnell finden können.

Die Verlinkung einer Website wirkt sich auf die Navigation aus. Die Seite wird für Suchmaschinen und Benutzer verständlicher.

Es empfiehlt sich, eine Sitemap zu installieren, die Links zu allen Seiten enthält. Es ist besser, es auf einer separaten Seite zu erstellen. Dadurch werden die Navigation und die Benutzerfreundlichkeit verbessert.

Die Seite muss Platz für Kommentare aus sozialen Netzwerken bieten. Registrierte Benutzer in sozialen Netzwerken können Artikel und andere Textanwendungen auf Ihrer Website kommentieren. Diese Kommentare werden in sozialen Netzwerken angezeigt und dienen als Werbung für Sie.

Einer noch nützliches Ding ist die Bildung von Blöcken. Sie können eine Spalte (Seitenleiste) mit frischen und interessanten Artikeln am Rand der Website-Seite platzieren. Dies wird Leser anziehen, da die Leute gerne auf dem Laufenden bleiben möchten. Vielleicht ist das ein guter Anreiz, die Seite mehr als einmal zu besuchen.

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Bei der Recherche zu Betriebsabläufen stößt man häufig auf Systeme, die für den wiederverwendbaren Einsatz bei der Lösung ähnlicher Probleme konzipiert sind. Die dabei auftretenden Prozesse werden aufgerufen Serviceprozesse, und Systeme - Warteschlangensysteme (QS). Beispiele für solche Systeme sind Telefonanlagen, Reparaturwerkstätten, Computerkomplexe, Fahrkartenschalter, Geschäfte, Friseure usw.

Jedes QS besteht aus einer bestimmten Anzahl von Serviceeinheiten (Instrumente, Geräte, Punkte, Stationen), die wir nennen Servicekanäle. Kanäle können Kommunikationsleitungen, Arbeitspunkte, Computer, Verkäufer usw. sein. Basierend auf der Anzahl der Kanäle wird das QS unterteilt Ein-Kanal Und Mehrkanal.

Bewerbungen gehen beim CMO in der Regel nicht regelmäßig, sondern stichprobenartig ein und bilden das sogenannte Zufälliger Bewerbungsfluss (Anforderungen). Auch die Bearbeitung von Bewerbungen läuft im Allgemeinen noch einige Zeit weiter. zufällige Zeit. Die Zufälligkeit des Anfrageflusses und der Servicezeit führt dazu, dass das QS ungleichmäßig belastet ist: in manchen Zeiträumen sehr viele große Menge Anfragen (sie stehen entweder in der Warteschlange oder lassen das QS unbearbeitet); in anderen Zeiträumen arbeitet das QS mit Unterlast oder ist im Leerlauf.

Das Thema der Warteschlangentheorie ist die Konstruktion Mathematische Modelle, Verknüpfung der spezifizierten Betriebsbedingungen des QS (Anzahl der Kanäle, deren Produktivität, Art des Anfrageflusses usw.) mit Leistungsindikatoren des QS, die seine Fähigkeit beschreiben, den Anfragefluss zu bewältigen.

Als QS-Leistungsindikatoren verwendet: die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit bearbeiteten Anträge; durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange; durchschnittliche Wartezeit für den Service; die Möglichkeit einer Dienstverweigerung ohne Wartezeit; die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange einen bestimmten Wert überschreitet usw.

QSs werden in zwei Haupttypen (Klassen) unterteilt: QS mit Ausfällen Und QS mit Warten (Warteschlange). Bei einem QS mit Ablehnungen erhält ein Antrag, der zu einem Zeitpunkt eingeht, an dem alle Kanäle belegt sind, eine Absage, verlässt den QS und nimmt nicht am weiteren Serviceprozess teil (z. B. einer Anfrage nach einem Telefongespräch zu einem Zeitpunkt, an dem alle Kanäle belegt sind). beschäftigt, erhält eine Absage und verlässt das QS unversorgt). In einem wartenden QS wird eine Anfrage, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle Kanäle belegt sind, nicht verlassen, sondern zur Bearbeitung in die Warteschlange gestellt.

QS mit Erwartung sind unterteilt in verschiedene Typen je nachdem, wie die Warteschlange organisiert ist: mit begrenzter oder unbegrenzter Warteschlangenlänge, mit begrenzter Wartezeit usw.

Für die Klassifizierung von SMO ist es wichtig Servicedisziplin, das das Verfahren für die Auswahl der Bewerbungen aus den eingegangenen Bewerbungen und das Verfahren für deren Verteilung auf freie Kanäle festlegt. Auf dieser Grundlage kann die Bearbeitung einer Anwendung nach dem Prinzip „Wer zuerst kommt – mahlt zuerst“, „Zuletzt kommt – mahlt zuerst“ organisiert (diese Reihenfolge kann beispielsweise bei der Entnahme von Produkten aus einem Lager zur Wartung verwendet werden, da Letztere sind oft leichter zugänglich) oder Prioritätsdienst (wenn die wichtigsten Anfragen zuerst bearbeitet werden). Die Priorität kann entweder absolut sein, wenn eine wichtigere Anfrage eine reguläre Anfrage aus dem Dienst „verdrängt“ (z. B. wird im Notfall die geplante Arbeit der Reparaturteams unterbrochen, bis der Notfall behoben ist), oder relativ, wenn Eine wichtigere Anfrage erhält nur die „beste“ Platzwarteschlange.

Das Konzept eines Markov-Zufallsprozesses

Der Arbeitsprozess des QS ist zufälliger Prozess.

Unter zufälliger (probabilistischer oder stochastischer) Prozess bezieht sich auf den Prozess der Zustandsänderung eines Systems im Laufe der Zeit gemäß Wahrscheinlichkeitsgesetzen.

Der Vorgang wird aufgerufen Prozess mit diskreten Zuständen, wenn es mögliche Zustände gibt S_1,S_2,\ldots,S_n können im Voraus aufgelistet werden, und der Übergang des Systems von Zustand zu Zustand erfolgt sofort (in einem Sprung). Der Vorgang wird aufgerufen Prozess mit kontinuierliche Zeit , wenn die Zeitpunkte möglicher Übergänge des Systems von Zustand zu Zustand nicht im Voraus festgelegt, sondern zufällig sind.

Der QS-Betriebsprozess ist ein Zufallsprozess mit diskreten Zuständen und kontinuierlicher Zeit. Das bedeutet, dass sich der Zustand des QS schlagartig ändert zufällige Momente das Eintreten einiger Ereignisse (z. B. das Eintreffen einer neuen Anfrage, das Ende des Dienstes usw.).

Die mathematische Analyse der Operation eines QS wird erheblich vereinfacht, wenn der Prozess dieser Operation Markovianisch ist. Der Zufallsprozess wird aufgerufen Markovianer oder zufälliger Prozess ohne Konsequenzen, wenn für jeden Moment t_0 die probabilistischen Eigenschaften des Prozesses in der Zukunft nur von seinem Zustand in abhängen dieser Moment t_0 und hängen nicht davon ab, wann und wie das System diesen Zustand erreicht hat.

Ein Beispiel für einen Markov-Prozess: System S ist ein Taximeter. Der Zustand des Systems zum Zeitpunkt t wird durch die Anzahl der Kilometer (Zehntelkilometer) charakterisiert, die das Auto bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt hat. Lassen Sie den Zähler zum Zeitpunkt t_0 S_0 anzeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zähler zum Zeitpunkt t>t_0 diese oder jene Kilometerzahl (genauer gesagt die entsprechende Rubelzahl) S_1 anzeigt, hängt von S_0 ab, hängt jedoch nicht davon ab, zu welchen Zeitpunkten sich die Zählerstände vor dem geändert haben Moment t_0.

Viele Prozesse können näherungsweise als Markovian betrachtet werden. Zum Beispiel der Prozess des Schachspielens; System S ist eine Gruppe von Schachfiguren. Der Zustand des Systems wird durch die Anzahl der zum Zeitpunkt t_0 auf dem Brett verbliebenen gegnerischen Figuren charakterisiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Moment t>t_0 der materielle Vorteil auf der Seite eines der Gegner liegt, hängt in erster Linie vom Zustand ab, in dem sich das System im Moment t_0 befindet, und nicht davon, wann und in welcher Reihenfolge die Figuren vom Brett verschwunden sind zum Moment t_0 .

In manchen Fällen kann die Vorgeschichte der betrachteten Prozesse einfach vernachlässigt und Markov-Modelle zu ihrer Untersuchung herangezogen werden.

Beim Analysieren zufällige Prozesse Bei diskreten Zuständen ist es zweckmäßig, ein geometrisches Schema zu verwenden – das sogenannte Zustandsgraph. Typischerweise werden Systemzustände durch Rechtecke (Kreise) dargestellt und mögliche Übergänge von Zustand zu Zustand werden durch Pfeile (orientierte Bögen) dargestellt, die die Zustände verbinden.

Beispiel 1. Erstellen Sie einen Zustandsgraphen des folgenden Zufallsprozesses: Gerät S besteht aus zwei Knoten, von denen jeder zu einem zufälligen Zeitpunkt ausfallen kann. Anschließend beginnen Sie sofort mit der Reparatur des Knotens, die für eine unbekannte, zufällige Zeit fortgesetzt wird.

Lösung. Mögliche Zustände Systeme: S_0 – beide Knoten sind betriebsbereit; S_1 – die erste Einheit wird repariert, die zweite ist betriebsbereit; S_2 – die zweite Einheit wird repariert, die erste ist betriebsbereit; S_3 – beide Einheiten werden repariert. Das Systemdiagramm ist in Abb. dargestellt. 1.

Ein beispielsweise von S_0 nach S_1 gerichteter Pfeil bedeutet einen Übergang des Systems zum Zeitpunkt des Ausfalls des ersten Knotens, von S_1 nach S_0 einen Übergang zum Zeitpunkt des Abschlusses der Reparatur dieses Knotens.

Im Diagramm fehlen Pfeile von S_0 nach S_3 und von S_1 nach S_2. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass angenommen wird, dass Knotenausfälle unabhängig voneinander sind und beispielsweise die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Ausfalls zweier Knoten (Übergang von S_0 zu S_3) oder des gleichzeitigen Abschlusses von Reparaturen zweier Knoten (Übergang von S_3 zu S_0) kann vernachlässigt werden.

Für eine mathematische Beschreibung eines Markov-Zufallsprozesses mit diskreten Zuständen und kontinuierlich fließender Zeit in einem QS lernen wir eines der wichtigen Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen – das Konzept eines Ereignisflusses.

Event-Streams

Unter Strom der Ereignisse wird als Abfolge homogener Ereignisse verstanden, die zu zufälligen Zeitpunkten aufeinander folgen (z. B. eine Reihe von Anrufen in einer Telefonzentrale, eine Reihe von Computerausfällen, eine Reihe von Kunden usw.).

Die Strömung wird charakterisiert Intensität\lambda – die Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen oder die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen, die pro Zeiteinheit in das QS gelangen.

Der Ereignisstrom wird aufgerufen regulär, wenn Ereignisse in bestimmten gleichen Zeitabständen aufeinander folgen. Beispielsweise ist der Produktfluss am Fließband einer Montagehalle (mit konstanter Geschwindigkeit) regelmäßig.

Der Ereignisstrom wird aufgerufen stationär, wenn seine probabilistischen Eigenschaften nicht von der Zeit abhängen. Insbesondere ist die Intensität einer stationären Strömung ein konstanter Wert: \lambda(t)=\lambda. Beispielsweise ist der Autostrom auf einer Stadtstraße tagsüber nicht stationär, aber dieser Fluss kann tagsüber, beispielsweise während der Hauptverkehrszeiten, als stationär angesehen werden. Bitte beachten Sie, dass im letzteren Fall die tatsächliche Anzahl der pro Zeiteinheit (z. B. jede Minute) vorbeifahrenden Autos deutlich voneinander abweichen kann, ihre durchschnittliche Anzahl jedoch konstant ist und nicht von der Zeit abhängt.

Der Ereignisstrom wird aufgerufen fließen ohne Nachwirkung, wenn für zwei beliebige nicht überlappende Zeiträume \tau_1 und \tau_2 – die Anzahl der Ereignisse, die auf einen von ihnen fallen, nicht von der Anzahl der Ereignisse abhängt, die auf die anderen fallen. Beispielsweise hat der Zustrom von Fahrgästen, die die U-Bahn betreten, praktisch keine Auswirkungen. Und beispielsweise hat der Strom der Kunden, die mit Einkäufen die Theke verlassen, bereits Nachwirkungen (schon allein deshalb, weil der Zeitabstand zwischen einzelnen Kunden nicht kleiner sein darf als die Mindestbedienungszeit für jeden von ihnen).

Der Ereignisstrom wird aufgerufen normal, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Ereignisse in einem kleinen (elementaren) Zeitintervall \Updelta t auftreten, im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses vernachlässigbar ist. Mit anderen Worten: Ein Ereignisstrom ist gewöhnlich, wenn darin Ereignisse einzeln und nicht in Gruppen auftreten. Beispielsweise ist der Zustrom von Zügen, der sich einem Bahnhof nähert, normal, der Zustrom von Autos jedoch nicht.

Der Ablauf der Ereignisse wird als der einfachste (oder stationäres Poisson), wenn es gleichzeitig stationär und gewöhnlich ist und keine Nachwirkung hat. Der Name „einfachste“ erklärt sich aus der Tatsache, dass das QS mit den einfachsten Flüssen die einfachsten hat mathematische Beschreibung. Beachten Sie, dass ein regulärer Fluss nicht der „einfachste“ ist, da er eine Nachwirkung hat: Die Zeitpunkte des Auftretens von Ereignissen in einem solchen Fluss sind streng festgelegt.

Der einfachste Fluss als Grenzwert entsteht in der Theorie der Zufallsprozesse ebenso selbstverständlich wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie Normalverteilung erhält man als Grenzwert für die Summe der Zufallsvariablen: beim Überlagern (Superposition) genügt es große Zahl n unabhängige, stationäre und gewöhnliche Flüsse (in der Intensität miteinander vergleichbar). \lambda_i~(i=1,2,\ldots,n) das Ergebnis ist ein Fluss nahe dem einfachsten mit der Intensität \lambda, gleich dem Betrag Intensitäten der eingehenden Ströme, d.h. \textstyle(\lambda=\sum\limits_(i=1)^(n)\lambda_i). Betrachten wir auf der Zeitachse Ot (Abb. 1) den einfachsten Ereignisfluss als eine unbegrenzte Folge zufälliger Punkte.

Es kann gezeigt werden, dass für den einfachsten Fluss die Anzahl m der Ereignisse (Punkte), die auf einen beliebigen Zeitabschnitt \tau fallen, verteilt ist Poissonsches Gesetz

P_(m)(\tau)= \frac((\lambda\tau)^m)(m\,e^{-\lambda\tau}, !}

wofür erwarteter Wert zufällige Variable gleich seiner Varianz: a=\sigma^2=\lambda\tau.

Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Zeit \tau (m=0) kein Ereignis eintritt, gleich

P_0(\tau)=e^(-\lambda\tau).

Finden wir die Verteilung des Zeitintervalls T zwischen zwei beliebigen benachbarten Ereignissen des einfachsten Flusses.

Gemäß (2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall der Länge t keine weiteren Ereignisse auftreten, gleich

P(T\geqslant t)=e^(-\lambda t),

und die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses, d.h. Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen T, ist

F(t)=P(T

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen ist die Ableitung ihrer Verteilungsfunktion (Abb. 3), d.h.

\varphi(t)=F"(t)=\lambda e^(-\lambda t).

Die durch die Wahrscheinlichkeitsdichte (5) oder Verteilungsfunktion (4) angegebene Verteilung wird aufgerufen indikativ(oder exponentiell). Somit hat das Zeitintervall zwischen zwei benachbarten beliebigen Ereignissen eine Exponentialverteilung, für die der mathematische Erwartungswert gleich der Standardabweichung der Zufallsvariablen ist

A=\sigma=\frac(1)(\lambda)

Und umgekehrt entsprechend der Strömungsintensität \lambda.

Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialverteilung (die nur der Exponentialverteilung innewohnt) ist folgende: Wenn ein nach dem Exponentialgesetz verteilter Zeitraum bereits eine gewisse Zeit \tau gedauert hat, hat dies keinerlei Einfluss auf die Verteilung Gesetz des verbleibenden Teils des Intervalls (T-\tau): Es ist dasselbe wie das Verteilungsgesetz des gesamten Intervalls T.

Mit anderen Worten: Für ein Zeitintervall T zwischen zwei aufeinanderfolgenden benachbarten Ereignissen eines exponentiell verteilten Flusses haben Informationen darüber, wie lange dieses Intervall stattgefunden hat, keinen Einfluss auf das Verteilungsgesetz des verbleibenden Teils. Diese Eigenschaft des Exponentialgesetzes ist im Wesentlichen eine andere Formulierung für die „Abwesenheit von Nachwirkungen“ – die Haupteigenschaft des einfachsten Flusses.

Für die einfachste Strömung mit der Intensität \lambda ist die Trefferwahrscheinlichkeit elementar (klein) der Zeitabstand \Updelta t mindestens eines Strömungsereignisses ist nach (4) gleich

P_(\Delta t)= P(T<\Delta t)= 1-e^{-\lambda\Delta t}\approx\lambda\Delta t.

(Beachten Sie, dass diese Näherungsformel durch Ersetzen der Funktion erhalten wird e^(-\lambda\Delta t) nur die ersten beiden Terme seiner Entwicklung in Potenzen von \Updelta t, desto genauer, je kleiner \Updelta t).

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WARTESCHLANGE-THEORIE

Einführung

Die Warteschlangentheorie ist ein wichtiger Zweig der Systemanalyse und des Operations Research. Es ist reich an einer Vielzahl von Anwendungen: von Aufgaben bis hin zu Aufgaben. im Zusammenhang mit dem Betrieb von Telefonnetzen, mit der wissenschaftlichen Organisation der Produktion. Diese Theorie wird dort angewendet, wo es Anrufe und Kunden, Signale und Massenprodukte gibt, und auch dort, wo Produkte gewartet, verarbeitet und übertragen werden.

Die Ideen und Methoden der Warteschlangentheorie (QST) finden zunehmende Verbreitung. Viele Probleme in Technik, Wirtschaft, Militär und Naturwissenschaften können im Sinne von TMO gestellt und gelöst werden.

TMO verdankt seine Entstehung vor allem angewandten Fragen der Telefonie, bei der aufgrund einer Vielzahl unabhängiger oder schwach abhängiger Quellen (Telefonvermittlungsteilnehmer) die Anfragenströme (Anrufe) einen klar definierten Zufallscharakter haben. Zufällige Schwankungen (Schwankungen) um einen bestimmten Durchschnitt sind in diesem Fall nicht das Ergebnis einer Abweichung von der Norm, sondern ein dem gesamten Prozess innewohnendes Muster. Andererseits schufen die Stabilität der Telefonzentralen und die Möglichkeit, gute statistische Daten zu erhalten, die Voraussetzungen für die Identifizierung der Hauptmerkmale eines bestimmten Serviceprozesses.

Zum ersten Mal machte die dänische A.K. darauf aufmerksam und führte eine Untersuchung durch. Erlang. Seine Hauptwerke auf diesem Gebiet stammen aus den Jahren 1908 – 1921. Seitdem ist das Interesse an den von Erlang vorgebrachten Problemen enorm gestiegen. In den Jahren 1927 - 1928 erschienen Werke von Molina und Frey, später in den Jahren 1930 - 1932 - interessante Werke von Pollacek, A.N. Kolmogorova, A.Ya. Chinchin.

Es muss gesagt werden, dass die ersten Probleme von TMT recht einfach waren und es ermöglichten, endgültige analytische Abhängigkeiten zu erhalten. Oh, die Entwicklung verlief sowohl dahingehend, den Anwendungsbereich von TMO zu erweitern, als auch die damit verbundenen Aufgaben zu verkomplizieren. Es stellte sich heraus, dass Probleme wie Telefonanrufe in den unterschiedlichsten Forschungsbereichen auftreten: in den Naturwissenschaften. in Technik, Transport, Militär, Produktionsorganisation usw.

23. Warteschlangensysteme

In vielen Bereichen menschlichen Handelns stehen wir vor der Notwendigkeit, in einem Zustand der Vorfreude zu verharren. Ähnliche Situationen entstehen in Warteschlangen an Fahrkartenschaltern, auf großen Flughäfen, wenn das Wartungspersonal von Flugzeugen auf die Erlaubnis zum Starten oder Landen wartet, in Telefonzentralen, während es darauf wartet, dass der Teilnehmeranschluss frei wird, in Reparaturwerkstätten, während es auf die Reparatur von Maschinen wartet und Ausrüstung, in den Lagern von Liefer- und Vertriebsorganisationen, die auf das Entladen oder Beladen von Fahrzeugen warten. In allen oben genannten Fällen handelt es sich um Massenproduktion und Service. Die Warteschlangentheorie untersucht solche Situationen.

Warteschlangentheorie– ein Bereich der angewandten Mathematik, der sich mit der Analyse von Prozessen in Produktions-, Dienstleistungs- und Managementsystemen befasst, in denen sich homogene Ereignisse oft wiederholen, beispielsweise in Verbraucherdienstleistungsunternehmen; in Systemen zum Empfangen, Verarbeiten und Übertragen von Informationen; automatische Produktionslinien usw.

Ziel der Warteschlangentheorie ist es, Abhängigkeiten zwischen der Art des Anfrageflusses, der Anzahl der Servicekanäle, der Leistung eines einzelnen Kanals und dem effektiven Service festzustellen, um die besten Möglichkeiten zur Verwaltung dieser Prozesse zu finden.

23.1. Smo-Konzept

In der Theorie der Warteschlangensysteme (QS) wird das zu bedienende Objekt als Anforderung bezeichnet. Im Allgemeinen wird unter einer Anforderung eine Aufforderung zur Befriedigung eines Bedarfs verstanden, beispielsweise ein Gespräch mit einem Abonnenten, die Landung eines Flugzeugs, der Kauf eines Tickets oder der Erhalt von Materialien aus einem Lager.

Die Werkzeuge, die den Anforderungen dienen, werden aufgerufen Servicegeräte oder Servicekanäle . Dazu gehören beispielsweise Telefonkommunikationskanäle, Landebahnen, Mechaniker, Ticketkassierer, Be- und Entladestellen an Stützpunkten und Lagerhäusern.

Eine Reihe ähnlicher Servicegeräte wird aufgerufen Warteschlangensystem . Solche Systeme können Telefonzentralen, Flugplätze, Fahrkartenschalter, Reparaturwerkstätten, Lagerhäuser und Stützpunkte von Versorgungs- und Vertriebsorganisationen usw. sein.

Die Hauptaufgabe der QS-Theorie besteht darin, die Funktionsweise des Servicesystems zu untersuchen und die Phänomene zu untersuchen, die während des Serviceprozesses auftreten. Somit ist eine der Eigenschaften des Servicesystems die Zeit, die eine Anfrage in der Warteschlange bleibt. Offensichtlich lässt sich diese Zeit durch eine Erhöhung der Anzahl der Wartungsgeräte verkürzen. Allerdings erfordert jedes zusätzliche Gerät einen gewissen Materialaufwand und die Stillstandszeit des Wartungsgeräts erhöht sich aufgrund des fehlenden Wartungsaufwands, was ebenfalls ein negatives Phänomen ist. Folglich ergeben sich in der QS-Theorie Optimierungsprobleme: Wie kann ein bestimmtes Serviceniveau (maximale Reduzierung der Warteschlange oder Verlust von Anforderungen) mit minimalen Kosten erreicht werden, die mit Ausfallzeiten von Serviergeräten verbunden sind?

Quelle. Eine Quelle ist als Gerät oder Satz definiert, von dem Anforderungen zur Wartung in das System gelangen. Eine Quelle heißt unendlich oder endlich, je nachdem, ob sie unendlich oder endlich viele Anforderungen enthält. Wir gehen immer davon aus, dass die Quelle, die Anforderungen generiert, unerschöpflich ist. Obwohl es beispielsweise eine endliche Anzahl von Teilnehmern an einer bestimmten Telefonzentrale gibt, gehen wir davon aus, dass sie eine unendliche Quelle bilden.

Eingehender Fluss. Anforderungen, die von einer Servicequelle eingehen, bilden einen eingehenden Fluss. Die Anforderung selbst kann als Aufforderung zur Befriedigung eines Bedarfs betrachtet werden. Es gibt viele Beispiele für eingehende Ströme. Dies ist der Informationsfluss, der zur Verarbeitung in den Computer gelangt. Antragsfluss für automatische Telefonvermittlung; der Strom der Kunden, die ins Studio kommen, und der Patienten, die in die Klinik kommen, der Strom der Schiffe, die im Hafen ankommen; feindliche Flugzeuge und Raketen, die auf das Ziel fliegen usw.

Wartungssystem. Unter einem Servicesystem versteht man eine Reihe von technischen Mitteln oder Produktionspersonal (verschiedene Arten von Anlagen, Instrumenten, Geräten, Tunneln, Landebahnen, Kommunikationsleitungen, Verkäufern, Arbeiter- oder Angestelltenteams, Kassierern usw.), die Servicefunktionen ausführen. All dies wird, wie bereits erwähnt, unter einem Namen „Servicekanal“ (Servicegerät) vereint. Die Zusammensetzung des Systems wird durch die Anzahl der Kanäle (Geräte, Leitungen) bestimmt. Basierend auf der Anzahl der Kanäle können Systeme in Einkanal- und Mehrkanalsysteme unterteilt werden.

Ausgehender Stream. Der Egress-Flow ist der Fluss von Anforderungen, die das System nach der Wartung verlassen. Dazu können Anforderungen gehören, die das System ohne Wartung verlassen haben.

Der eingehende Fluss, die Funktionsweise des Dienstleistungssystems als Ergebnis des Dienstes und der ausgehende Fluss unterliegen einer quantitativen Beschreibung. Um eine mathematische Untersuchung des Warteschlangenprozesses durchzuführen, ist es notwendig, das Servicesystem vollständig zu definieren. Normalerweise bedeutet das:

- Angabe des eingehenden Flusses. Hier meinen wir sowohl die durchschnittliche Intensität des Anforderungseingangs als auch das statistische Modell ihres Eingangs (d. h. das Gesetz der Verteilung der Zeitpunkte des Anforderungseingangs im System);

- Einstellen des Servicemechanismus. Dies bedeutet, dass angegeben werden muss, wann ein Dienst akzeptabel ist, wie viele Anfragen gleichzeitig bearbeitet werden können und wie lange der Dienst dauert. Die letzte Eigenschaft wird üblicherweise durch die statistische Verteilung der Dienstzeit (Dienstzeitverteilungsgesetz) charakterisiert;

- Zuweisung der Dienstdisziplin. Dies bedeutet, dass die Methode angegeben wird, mit der eine Anforderung aus der Warteschlange (falls vorhanden) zur Bearbeitung ausgewählt wird. In seiner einfachsten Form besteht die Servicedisziplin darin, Anfragen in der Reihenfolge ihres Eingangs zu bearbeiten (das Fair-Prinzip), es gibt jedoch noch viele andere Möglichkeiten.

Die Spezifikation des Systems setzt auch eine bekannte Beschreibung des Zusammenspiels seiner einzelnen Teile voraus.

Wenn das System hinreichend vollständig definiert ist, besteht die Grundlage für die Konstruktion eines mathematischen Modells. Wenn ein mathematisches Modell ein reales System mehr oder weniger angemessen widerspiegelt, ermöglicht es die Ermittlung der Hauptmerkmale der Funktionsweise des Systems. Natürlich vereinfacht das Modell die praktische Situation erheblich, was jedoch den mathematischen Methoden der Warteschlangentheorie keinen Abbruch tut und die Sachlage nicht anders ist als die Sachlage in anderen Bereichen der angewandten Mathematik.

Jeder mehr oder weniger fortgeschrittene Internetnutzer ist immer wieder auf Begriffe wie SMO und SMM gestoßen. Sie sind für Eingeweihte leicht zu bedienen, aber die meisten Menschen haben eine etwas vage Vorstellung davon, was SMO und SMM eigentlich sind und noch mehr, was der Unterschied zwischen ihnen ist.

Definieren wir zunächst, dass SMO und SMM nicht dasselbe sind. Wir können sagen, dass SMO ein Teil von SMM ist, aber diese Konzepte sollten getrennt werden, um alle Informationen besser zu verstehen.

• Hierbei handelt es sich um Social-Media-Marketing, das darin besteht, eine Reihe von Veranstaltungen auf den Plattformen anderer Personen (Foren, Blogs, Websites, Chatrooms, Nachrichtenressourcen usw.) durchzuführen, um ein Produkt, eine Dienstleistung, Werbung für Dienstleistungen und Berichterstattung über Veranstaltungen zu machen.
• SMM ist keine offene Werbung. Hierbei handelt es sich um versteckte, unaufdringliche Werbung, die die Zielgruppe auf das beworbene Produkt aufmerksam macht. Der Nutzer soll nicht verstehen, dass ihm ein Produkt offen angeboten wird – er soll aufgrund der dargebotenen Informationen selbst den Wunsch haben, es zu erwerben/eine Dienstleistung zu bestellen.
• SMM fördert die Veröffentlichung beworbener Informationen in sozialen Netzwerken oder anderen Ressourcen durch andere Benutzer und Zielgruppen, die SMM-Angriffen ausgesetzt sind. Je kompetenter die Informationen präsentiert werden, desto mehr Menschen möchten ihren Freunden, also potenziellen Käufern, davon erzählen.
• SMM stellt der Zielgruppe Informationen über das beworbene Produkt in Form von Bewertungen, Kommunikation zwischen dem Nutzer und dem Teilen der eigenen Meinung zur Verfügung.
• Für den Erfolg von SMM ist es wichtig, eine vertrauensvolle Atmosphäre zwischen den Nutzern zu schaffen. Dadurch steigt das Vertrauen in unaufdringliche Werbung und der Nutzer beginnt, den Ratschlägen und Empfehlungen zu glauben.
• Provokative Schlagzeilen, helle Gedanken und Ideen lenken die Aufmerksamkeit des Publikums auf das beworbene Produkt und dadurch gewinnt SMM die Aufmerksamkeit des Publikums.
• Um Aufmerksamkeit zu erregen, geht es beim SMM darum, das Publikum zu vereinen. Dadurch entsteht eine Atmosphäre des Vertrauens und des Verständnisses, in der die Nutzer unvorsichtig werden und nicht merken, dass ihnen ein Produkt angeboten wird. Sie hören nur persönliche Meinungen und Erfahrungen, die mit ihnen geteilt werden. Und sie wissen es zu schätzen.

• SMO ist Social-Media-Optimierung, aber keine Social-Media-Arbeit. Bei SMO handelt es sich um die Arbeit an einer persönlichen Website mit den auf dieser Website veröffentlichten Inhalten.
• Das Ziel von SMO besteht darin, die Website für Benutzer sozialer Netzwerke attraktiv zu machen. Sie sollten daran interessiert sein, die Website zu besuchen und den Inhalt zu studieren.
• SMO geht vom Wunsch der Nutzer sozialer Netzwerke aus, einen Link zu einer beworbenen Ressource mit ihren Freunden zu teilen.
• SMO hilft dabei, Ihre Ressource so zu transformieren, dass der Inhalt und die technischen Eigenschaften für Benutzer sozialer Netzwerke interessant und praktisch sind.
• Ein wichtiger Teil von SMO ist die Website-Konvertierung. Es ist notwendig, dass der vorgeschlagene Inhalt mit interessantem Videomaterial und farbenfrohen Illustrationen für den Text gefüllt ist. Jeder Text sollte hell und attraktiv sein. Nur so können Sie den unwiderstehlichen Wunsch eines Benutzers eines sozialen Netzwerks erreichen, diese Website zu bookmarken und Freunden davon zu erzählen.
• Interessante Inhalte sind nicht die einzige Regel von SMO. Es ist sehr wichtig, dass die Website ihre Besucher mit einem angenehmen Farbschema, einer benutzerfreundlichen Oberfläche und gut ausgewählten Schriftarten begrüßt. Der Text soll Lust auf das Lesen machen – er sollte strukturiert sein. Es ist unwahrscheinlich, dass jemand „Textblätter“ ohne Strukturierung liest, und SMO-Spezialisten wissen das.
• SMO baut die Website-Infrastruktur auf. Inhalte sollten nicht nur leicht verständlich sein. Benutzer sozialer Netzwerke müssen in der Lage sein, diese bequem zu exportieren (eine „Teilen“-Schaltfläche für soziale Netzwerke, das Abonnieren eines E-Mail-Newsletters, das Hinzufügen einer Website zu Lesezeichen, das „Bewerten“ des Textes, die Möglichkeit des Benutzers, einen Link zu einer beworbenen Website zu platzieren Website auf ihrer Ressource).
• Eines der Ziele von SMO ist die Reduzierung der Benutzerabwanderung. Beim Besuch einer Website schließt der Benutzer diese nicht auf der ersten geöffneten Seite, sondern erkundet weiterhin andere Seiten der Website. Dies kann durch hochwertige Inhalte und eine benutzerfreundliche Oberfläche erreicht werden. Bequem platzierte Ankündigungen ermöglichen dem Benutzer eine einfache Navigation durch die Seiten der Website, was seine Aufmerksamkeit erregt. Eine Aufforderung zur Umstellung auf andere Seiten ist nicht ausgeschlossen.
• Die Möglichkeit, Kommentare abzugeben und Meinungen auszutauschen, ist ein besonderes Merkmal von SMO. Benutzer beteiligen sich gerne an Diskussionen, die auf der Website stattfinden. Dadurch erhöht sich der Traffic und es kommen neue Besucher hinzu. Wenn eine Website Anti-Spam-Schutz bietet und die besten Kommentatoren unterstützt, steigt die Popularität der Website erheblich.