Beispiel 1.5.1.

Lassen Sie eine bestimmte Wirtschaftsregion mehrere (n) Arten von Produkten ausschließlich in Eigenregie und nur für die Bevölkerung dieser Region produzieren. Es wird davon ausgegangen, dass der technologische Prozess ausgearbeitet ist und die Nachfrage der Bevölkerung nach diesen Gütern untersucht wurde. Es ist notwendig, die jährliche Produktproduktionsmenge zu bestimmen, wobei zu berücksichtigen ist, dass diese Menge sowohl den Endverbrauch als auch den Industrieverbrauch decken muss.

Lassen Sie uns ein mathematisches Modell dieses Problems erstellen. Entsprechend seinen Bedingungen sind Folgendes angegeben: Produktarten, Nachfrage danach und technologischer Prozess; Sie müssen das Ausgabevolumen jedes Produkttyps ermitteln.

Bezeichnen wir die bekannten Größen:

C ich– Bevölkerungsnachfrage nach ich Das Produkt ( ich=1,...,N); A ij- Menge ich-tes Produkt, das erforderlich ist, um eine Einheit des j-ten Produkts mit einer bestimmten Technologie herzustellen ( ich=1,...,N ; J=1,...,N);

X ich – Ausgangslautstärke ich-tes Produkt ( ich=1,...,N); Gesamtheit Mit =(C 1 ,..., C N ) nennt man den Nachfragevektor, Zahlen A ij– technologische Koeffizienten und die Gesamtheit X =(X 1 ,..., X N ) – Freisetzungsvektor.

Entsprechend den Problembedingungen ist der Vektor X in zwei Teile aufgeteilt: für den Endverbrauch (Vektor Mit ) und zur Reproduktion (Vektor x-s ). Berechnen wir diesen Teil des Vektors X was in die Reproduktion geht. Gemäß unseren Produktionsbezeichnungen X J Menge des j-ten Produkts geht A ij · X J Mengen ich-tes Produkt.

Dann der Betrag A i1 · X 1 +...+ A In · X N zeigt diesen Wert ich-tes Produkt, das für das gesamte Release benötigt wird X =(X 1 ,..., X N ).

Daher muss die Gleichheit erfüllt sein:

Wenn wir diese Überlegung auf alle Arten von Produkten übertragen, kommen wir zum gewünschten Modell:

Lösung dieses Systems von n lineare Gleichungen verhältnismäßig X 1 ,...,X N und finden Sie den erforderlichen Freisetzungsvektor.

Um dieses Modell in einer kompakteren (Vektor-)Form zu schreiben, führen wir die folgende Notation ein:

Quadrat (
) -Matrix A wird als Technologiematrix bezeichnet. Es ist leicht zu überprüfen, dass unser Modell jetzt wie folgt geschrieben wird: x-s=Ah oder

(1.6)

Wir bekamen klassisches Modell « Input-Output ", dessen Autor der berühmte amerikanische Ökonom V. Leontiev ist.

Beispiel 1.5.2.

Die Ölraffinerie verfügt über zwei Ölqualitäten: Klasse A in Höhe von 10 Einheiten, Note IN- 15 Einheiten. Beim Raffinieren von Öl werden zwei Materialien gewonnen: Benzin (wir bezeichnen B) und Heizöl ( M). Für den verarbeitungstechnischen Prozess gibt es drei Möglichkeiten:

ICH: 1 Einheit A+ 2 Einheiten IN ergibt 3 Einheiten. B+ 2 Einheiten M

II: 2 Einheiten. A+ 1 Einheit IN ergibt 1 Einheit. B+ 5 Einheiten M

III: 2 Einheiten A+ 2 Einheiten IN ergibt 1 Einheit. B+ 2 Einheiten M

Der Preis für Benzin beträgt 10 US-Dollar pro Einheit, für Heizöl 1 US-Dollar pro Einheit.

Es gilt, die vorteilhafteste Kombination zu ermitteln technologische Prozesse Verarbeitung der verfügbaren Ölmenge.

Lassen Sie uns vor der Modellierung die folgenden Punkte klären. Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass die „Rentabilität“ des technologischen Prozesses für die Anlage im Sinne der Erzielung maximaler Einnahmen aus dem Verkauf ihrer Fertigprodukte (Benzin und Heizöl) zu verstehen ist. In diesem Zusammenhang ist klar, dass die „Auswahlentscheidung“ der Anlage darin besteht, zu bestimmen, welche Technologie wie oft angewendet werden soll. Offensichtlich gibt es eine ganze Reihe solcher Möglichkeiten.

Bezeichnen wir die unbekannten Größen:

X ich– Umfang der Nutzung ich Der technologische Prozess (i=1,2,3). Weitere Modellparameter (Ölreserven, Benzin- und Heizölpreise) bekannt.

Nun kommt es bei einer bestimmten Pflanzenentscheidung darauf an, einen Vektor auszuwählen X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , wofür der Umsatz der Anlage gleich ist (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Hier sind 32 Dollar die Einnahmen aus einer Anwendung des ersten technologischen Prozesses (10 3 Einheiten). B+ 1 Dollar ·2 Einheiten. M= 32 $). Eine ähnliche Bedeutung haben die Koeffizienten 15 und 12 für den zweiten bzw. dritten technologischen Prozess. Die Bilanzierung von Ölreserven führt zu folgenden Bedingungen:

für Abwechslung A:

für Abwechslung IN:,

wobei in den ersten Ungleichheitskoeffizienten 1, 2, 2 die Verbrauchsraten von Öl der Klasse A für die einmalige Nutzung technologischer Prozesse sind ICH,II,III jeweils. Die Koeffizienten der zweiten Ungleichung haben für Öl der Klasse B eine ähnliche Bedeutung.

Das mathematische Modell als Ganzes hat die Form:

Finden Sie einen solchen Vektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) zu maximieren

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

unter folgenden Bedingungen:

Die Kurzform dieses Eintrags lautet:

unter Einschränkungen

(1.7)

Wir haben das sogenannte lineare Programmierproblem.

Modell (1.7.) ist ein Beispiel für ein Optimierungsmodell deterministischen Typs (mit wohldefinierten Elementen).

Beispiel 1.5.3.

Ein Anleger muss die beste Mischung aus Aktien, Anleihen und anderen Wertpapieren ermitteln, die er für einen bestimmten Betrag kaufen möchte, um einen bestimmten Gewinn bei minimalem Risiko für sich selbst zu erzielen. Gewinn pro Dollar, der in ein Wertpapier investiert wird J- Typ, wird durch zwei Indikatoren charakterisiert: erwarteter Gewinn und tatsächlicher Gewinn. Für einen Anleger ist es wünschenswert, dass der erwartete Gewinn pro investiertem Dollar nicht unter einem bestimmten Wert für die gesamte Wertpapiermenge liegt B.

Beachten Sie, dass ein Mathematiker zur korrekten Modellierung dieses Problems über bestimmte Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Portfoliotheorie von Wertpapieren verfügen muss.

Bezeichnen wir die bekannten Parameter des Problems:

N– Anzahl der Wertpapierarten; A J– tatsächlicher Gewinn (Zufallszahl) aus der j-ten Wertpapierart; – erwarteter Gewinn aus J-te Art der Sicherheit.

Bezeichnen wir die unbekannten Größen :

j J - Mittel, die für den Kauf von Wertpapieren dieser Art bereitgestellt werden J.

Mit unserer Notation wird der gesamte investierte Betrag ausgedrückt als . Um das Modell zu vereinfachen, führen wir neue Größen ein

.

Auf diese Weise, X ich- Dies ist der Anteil aller Mittel, die für den Erwerb von Wertpapieren dieser Art bereitgestellt werden J.

Es ist klar, dass

Aus den Bedingungen des Problems geht hervor, dass das Ziel des Anlegers darin besteht, mit minimalem Risiko einen bestimmten Gewinn zu erzielen. Im Wesentlichen ist das Risiko ein Maß für die Abweichung des tatsächlichen Gewinns vom erwarteten. Daher kann es mit der Kovarianz der Gewinne für Wertpapiere des Typs i und des Typs j identifiziert werden. Hier ist M die Bezeichnung der mathematischen Erwartung.

Das mathematische Modell des ursprünglichen Problems hat die Form:

unter Einschränkungen

,
,
,
. (1.8)

Wir haben das bekannte Markowitz-Modell zur Optimierung der Struktur eines Wertpapierportfolios erhalten.

Modell (1.8.) ist ein Beispiel für ein Optimierungsmodell vom stochastischen Typ (mit Zufälligkeitselementen).

Beispiel 1.5.4.

Auf der Grundlage einer Handelsorganisation gibt es n Arten eines der Mindestsortimentsprodukte. Es darf nur eine Sorte eines bestimmten Produkts in den Laden gebracht werden. Sie müssen die Art des Produkts auswählen, das Sie in den Laden bringen möchten. Wenn der Produkttyp J Wird gefragt sein, wird das Geschäft einen Gewinn aus seinem Verkauf erzielen R J, wenn es nicht gefragt ist - ein Verlust Q J .

Vor der Modellierung werden wir einige grundlegende Punkte besprechen. In diesem Problem ist der Entscheider (DM) der Laden. Das Ergebnis (maximaler Gewinn) hängt jedoch nicht nur von seiner Entscheidung ab, sondern auch davon, ob das importierte Produkt gefragt ist, d haben die Möglichkeit, die Nachfrage der Bevölkerung zu studieren). Daher kann die Bevölkerung als zweiter Entscheidungsträger betrachtet werden, der die Art des Produkts entsprechend seinen Präferenzen auswählt. Die schlimmste „Entscheidung“ der Bevölkerung für einen Laden ist: „Die importierten Waren sind nicht gefragt.“ Um alle möglichen Situationen zu berücksichtigen, muss das Geschäft die Bevölkerung (bedingt) als seinen „Feind“ betrachten und das gegenteilige Ziel verfolgen – den Gewinn des Geschäfts zu minimieren.

Wir haben also ein Entscheidungsproblem, wenn zwei Teilnehmer gegensätzliche Ziele verfolgen. Lassen Sie uns klarstellen, dass das Geschäft eine der zum Verkauf stehenden Warenarten auswählt (es gibt n Entscheidungsmöglichkeiten) und die Bevölkerung eine der am stärksten nachgefragten Warenarten wählt ( N Lösungsmöglichkeiten).

Um ein mathematisches Modell zu erstellen, zeichnen wir eine Tabelle mit N Linien und N Spalten (insgesamt N 2 Zellen) und stimmen darin überein, dass die Zeilen der Wahl des Geschäfts und die Spalten der Wahl der Bevölkerung entsprechen. Dann die Zelle (i, j) entspricht der Situation, wenn der Laden wählt ich Der Produkttyp ( ich-te Zeile) und die Bevölkerung wählt J Der Produkttyp ( J- Spalte). In jede Zelle schreiben wir eine numerische Einschätzung (Gewinn oder Verlust) der entsprechenden Situation aus Sicht der Filiale:

Zahlen Q ich mit einem Minus geschrieben, um den Verlust des Geschäfts widerzuspiegeln; In jeder Situation ist der „Gewinn“ der Bevölkerung (bedingt) gleich dem „Gewinn“ des Ladens, mit umgekehrtem Vorzeichen.

Eine Kurzform dieses Modells ist:

(1.9)

Wir haben das sogenannte Matrixspiel bekommen. Modell (1.9.) ist ein Beispiel für Spielentscheidungsmodelle.

Verfolgen Sie die Dynamik der Entwicklung des Objekts, innere Essenz Beziehungen seiner Elemente und verschiedene Zustände im Entwurfsprozess sind nur mit Hilfe von Modellen möglich, die das Prinzip der dynamischen Analogie nutzen, d.h. mit Hilfe Mathematische Modelle.

Mathematisches Modell ist ein System mathematischer Beziehungen, das den untersuchten Prozess oder das untersuchte Phänomen beschreibt. Um ein mathematisches Modell zu erstellen, können Sie alle mathematischen Mittel verwenden – Mengenlehre, mathematische Logik, die Sprache der Differential- oder Integralgleichungen. Der Prozess der Zusammenstellung eines mathematischen Modells wird aufgerufen mathematische Modellierung. Wie andere Modelltypen stellt ein mathematisches Modell ein Problem in vereinfachter Form dar und beschreibt nur die Eigenschaften und Muster, die für ein bestimmtes Objekt oder einen bestimmten Prozess am wichtigsten sind. Das mathematische Modell ermöglicht eine multilaterale quantitative Analyse. Durch die Änderung der Ausgangsdaten, Kriterien und Einschränkungen können Sie jeweils die optimale Lösung für die gegebenen Bedingungen erhalten und die weitere Richtung der Suche bestimmen.

Die Erstellung mathematischer Modelle erfordert von ihren Entwicklern neben Kenntnissen formal-logischer Methoden eine gründliche Analyse des Untersuchungsobjekts, um die Hauptideen und Regeln streng zu formulieren sowie eine ausreichende Menge verlässlicher Fakten zu ermitteln. statistische und regulatorische Daten.

Es ist zu beachten, dass sich alle derzeit verwendeten mathematischen Modelle darauf beziehen vorschreibend. Der Zweck der Entwicklung präskriptiver Modelle besteht darin, die Richtung der Lösungsfindung und den Zweck der Entwicklung anzugeben beschreibend Modelle spiegeln tatsächliche menschliche Denkprozesse wider.

Es gibt eine ziemlich weit verbreitete Ansicht, dass es mit Hilfe der Mathematik möglich ist, nur einige numerische Daten über das untersuchte Objekt oder den untersuchten Prozess zu erhalten. „Natürlich zielen viele mathematische Disziplinen darauf ab, ein endgültiges numerisches Ergebnis zu erhalten. Aber reduzieren mathematische Methoden Nur die Aufgabe, eine Zahl zu ermitteln, bedeutet, die Mathematik endlos zu verarmen, die Möglichkeit dieser mächtigen Waffe zu verarmen, die sich heute in den Händen der Forscher befindet ...

Ein in der einen oder anderen Privatsprache geschriebenes mathematisches Modell (z. B. Differentialgleichungen) spiegelt bestimmte Eigenschaften realer physikalischer Prozesse wider. Durch die Analyse mathematischer Modelle gewinnen wir zunächst qualitative Vorstellungen über die Merkmale der untersuchten Prozesse, legen Muster fest, die die dynamische Reihe aufeinanderfolgender Zustände bestimmen, und erhalten die Möglichkeit, den Verlauf des Prozesses vorherzusagen und bestimmen Sie seine quantitativen Eigenschaften.“

Mathematische Modelle werden in vielen Fällen verwendet bekannte Methoden Modellieren. Dazu gehört die Entwicklung von Modellen, die den statischen und dynamischen Zustand eines Objekts beschreiben, Optimierungsmodelle.

Ein Beispiel für mathematische Modelle, die den statischen und dynamischen Zustand eines Objekts beschreiben, können verschiedene Methoden traditioneller Strukturberechnungen sein. Der Berechnungsprozess, dargestellt in Form einer Folge mathematischer Operationen (Algorithmus), lässt uns sagen, dass ein mathematisches Modell erstellt wurde, um eine bestimmte Struktur zu berechnen.

IN Optimierung Modelle enthalten drei Elemente:

Zielfunktion, die das akzeptierte Qualitätskriterium widerspiegelt;

Einstellbare Parameter;

Auferlegte Einschränkungen.

Alle diese Elemente müssen mathematisch in Form von Gleichungen, logischen Bedingungen usw. beschrieben werden. Bei der Lösung eines Optimierungsproblems geht es darum, den minimalen (maximalen) Wert der Zielfunktion zu finden und dabei bestimmte Einschränkungen einzuhalten. Das Lösungsergebnis gilt als optimal, wenn die Zielfunktion ihren Extremwert erreicht.

Ein Beispiel für ein Optimierungsmodell ist eine mathematische Beschreibung des Kriteriums „Verbindungslänge“ in der Methode der alternativen Gestaltung von Industriegebäuden.

Die Zielfunktion spiegelt die gewichtete Gesamtlänge aller funktionalen Verbindungen wider, die zu einem Minimum tendieren sollte:

wo ist der Gewichtungswert der Verbindung des Elements mit ;

– Länge der Verbindung zwischen und-Elementen;

– Gesamtzahl platzierte Elemente.

Da die Flächen der platzierten Elemente der Räumlichkeiten in allen Varianten der Gestaltungslösung gleich sind, unterscheiden sich die Varianten voneinander nur durch die unterschiedlichen Abstände der Elemente und deren Lage zueinander. Daher sind die einstellbaren Parameter in diesem Fall Koordinaten von Elementen, die auf Grundrissen platziert sind.

Auferlegte Beschränkungen hinsichtlich der Position von Elementen (an einer vorab festgelegten Stelle im Plan, am Außenumfang, übereinander usw.) und hinsichtlich der Länge der Verbindungen (die Längen der Verbindungen zwischen Elementen sind streng festgelegt, minimal). oder maximale Wertegrenzen werden angegeben, Änderungsgrenzen sind festgelegte Werte) werden formal geschrieben.

Eine Option gilt als optimal (gemäß diesem Kriterium), wenn der Wert der für diese Option berechneten Zielfunktion minimal ist.

Eine Vielzahl mathematischer Modelle – Wirtschaftsmathematisches Modell– ist ein Modell der Beziehung zwischen wirtschaftlichen Merkmalen und Systemparametern.

Ein Beispiel für ökonomisch-mathematische Modelle ist die mathematische Beschreibung von Kostenkriterien in der oben genannten Methode der alternativen Gestaltung von Industriegebäuden. In mathematischen Modellen, die auf der Grundlage der Verwendung von Methoden gewonnen werden mathematische Statistik, spiegelt die Abhängigkeit der Kosten für Rahmen, Fundamente, Aushubarbeiten ein- und mehrstöckiger Industriegebäude und deren Höhe, Spannweite und Neigung der tragenden Strukturen wider.

Basierend auf der Methode zur Berücksichtigung des Einflusses zufälliger Faktoren auf die Entscheidungsfindung werden mathematische Modelle in deterministische und probabilistische Modelle unterteilt. Deterministisch Das Modell berücksichtigt nicht den Einfluss zufälliger Faktoren im Prozess des Systembetriebs und basiert auf einer analytischen Darstellung der Funktionsmuster. Probabilistisch (stochastisch) Das Modell berücksichtigt den Einfluss zufälliger Faktoren während des Betriebs des Systems und basiert auf statistischen, d.h. quantitative Bewertung von Massenphänomenen, die die Berücksichtigung ihrer Nichtlinearität, Dynamik und zufälligen Störungen ermöglicht, die durch verschiedene Verteilungsgesetze beschrieben werden.

Anhand der obigen Beispiele können wir sagen, dass sich das mathematische Modell, das das Kriterium „Verbindungslänge“ beschreibt, auf deterministische Modelle bezieht, und die mathematischen Modelle, die die Kriteriengruppe „Kosten“ beschreiben, sich auf probabilistische Modelle beziehen.

Sprach-, Semantik- und Informationsmodelle

Mathematische Modelle haben seitdem offensichtliche Vorteile Quantifizierung Aspekte der Aufgabe geben eine klare Vorstellung von den Prioritäten der Ziele. Es ist wichtig, dass ein Fachmann die Annahme einer bestimmten Entscheidung stets durch die Vorlage relevanter numerischer Daten begründen kann. Eine vollständige mathematische Beschreibung der Entwurfstätigkeit ist jedoch nicht möglich, daher beziehen sich die meisten Probleme, die in der Anfangsphase des Architektur- und Bauentwurfs gelöst werden, auf schlecht strukturiert.

Eines der Merkmale halbstrukturierter Probleme ist die verbale Beschreibung der darin verwendeten Kriterien. Einführung von in natürlicher Sprache beschriebenen Kriterien (solche Kriterien werden als „Kriterien“ bezeichnet). sprachlich) ermöglicht Ihnen die Verwendung weniger komplexer Methoden, um optimale Designlösungen zu finden. Unter Berücksichtigung dieser Kriterien trifft der Designer eine Entscheidung auf der Grundlage bekannter, unhinterfragbarer Zieläußerungen.

Eine aussagekräftige Beschreibung aller Aspekte des Problems führt einerseits zu einer Systematisierung des Lösungsprozesses und erleichtert andererseits die Arbeit von Spezialisten erheblich, die ohne Studium der relevanten Teilgebiete der Mathematik ihre beruflichen Probleme besser lösen können rational. In Abb. 5.2 ist gegeben Sprachmodell, beschreibt die Möglichkeiten, Bedingungen für eine natürliche Belüftung zu schaffen Verschiedene Optionen Planungslösungen für die Bäckerei.

Weitere Vorteile aussagekräftiger Problembeschreibungen sind:

Die Fähigkeit, alle Kriterien zu beschreiben, die die Wirksamkeit einer Designlösung bestimmen. Dabei ist es wichtig, dass komplexe Konzepte in die Beschreibung eingebracht werden können und neben quantitativen, messbaren Faktoren auch qualitative, nicht messbare Faktoren in den Blickwinkel des Spezialisten fallen. Somit werden zum Zeitpunkt der Entscheidungsfindung alle subjektiven und objektiven Informationen verwendet;

Reis. 5.2 Beschreibung des Inhalts des Kriteriums „Lüftung“ in Form eines sprachlichen Modells

Die Fähigkeit, den Grad der Zielerreichung in den Optionen dieses Kriteriums anhand der von Fachleuten akzeptierten Formulierungen eindeutig zu beurteilen, was die Verlässlichkeit der erhaltenen Informationen gewährleistet;

Die Fähigkeit, die mit der unvollständigen Kenntnis aller Konsequenzen getroffener Entscheidungen verbundenen Unsicherheiten sowie prädiktive Informationen zu berücksichtigen.

Zu den Modellen, die natürliche Sprache zur Beschreibung des Untersuchungsobjekts verwenden, gehören auch semantische Modelle.

Semantisches Modell- Es gibt eine solche Darstellung eines Objekts, die den Grad der Vernetzung (Nähe) zwischen den verschiedenen Komponenten, Aspekten und Eigenschaften des Objekts widerspiegelt. Unter Verbundenheit versteht man keine relative räumliche Anordnung, sondern eine Bedeutungsverbindung.

Somit wird im semantischen Sinne der Zusammenhang zwischen dem natürlichen Beleuchtungskoeffizienten und der Lichtfläche transparenter Zäune enger dargestellt als der Zusammenhang zwischen Fensteröffnungen und angrenzenden blinden Wandabschnitten.

Der Satz der Konnektivitätsbeziehungen zeigt, was jedes in einem Objekt ausgewählte Element und das Objekt als Ganzes darstellt. Gleichzeitig spiegelt das semantische Modell neben dem Vernetzungsgrad verschiedener Aspekte eines Objekts auch den Inhalt von Konzepten wider. Elementare Modelle sind Konzepte, die in natürlicher Sprache ausgedrückt werden.

Die Konstruktion semantischer Modelle basiert auf den Grundsätzen, dass sich Konzepte und Zusammenhänge während der gesamten Nutzungsdauer des Modells nicht ändern; der Inhalt eines Konzepts lässt sich nicht auf ein anderes übertragen; Verbindungen zwischen zwei Konzepten haben in Bezug auf sie eine gleichberechtigte und nicht orientierte Wechselwirkung.

Ziel jeder Modellanalyse ist es, Elemente des Modells auszuwählen, die eine bestimmte Qualität gemeinsam haben. Dies gibt Anlass für die Konstruktion eines Algorithmus, der nur direkte Verbindungen berücksichtigt. Beim Konvertieren eines Modells in einen ungerichteten Graphen wird ein Pfad zwischen zwei Elementen gefunden, der die Bewegung von einem Element zum anderen verfolgt, wobei jedes Element nur einmal verwendet wird. Die Reihenfolge, in der die Elemente erscheinen, wird als Reihenfolge der beiden Elemente bezeichnet. Sequenzen können unterschiedlich lang sein. Die kürzesten davon heißen Elementbeziehungen. Eine Folge zweier Elemente existiert auch dann, wenn zwischen ihnen eine direkte Verbindung besteht, in diesem Fall besteht jedoch keine Beziehung.

Als Beispiel für ein semantisches Modell beschreiben wir den Grundriss einer Wohnung sowie Kommunikationsverbindungen. Das Konzept sind die Räumlichkeiten einer Wohnung. Unter direkter Verbindung versteht man die funktionale Verbindung zweier Räume, beispielsweise durch eine Tür (siehe Tabelle 5.1).

Durch die Umwandlung des Modells in die Form eines ungerichteten Graphen erhalten wir eine Folge von Elementen (Abb. 5.3).

Beispiele für die Reihenfolge zwischen Element 2 (Badezimmer) und Element 6 (Speisekammer) sind in der Tabelle aufgeführt. 5.2. Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, stellt Sequenz 3 die Beziehung dieser beiden Elemente dar.

Tabelle 5.1

Beschreibung der Wohnungsaufteilung

Reis. 5.3 Beschreibung der Planungslösung in Form eines ungerichteten Graphen

Vorlesung 1.

METHODISCHE GRUNDLAGEN DER MODELLIERUNG

Aktueller Stand des Problems der Systemmodellierung

Modellierungs- und Simulationskonzepte

Modellieren kann als Ersatz des untersuchten Objekts (Original) durch sein herkömmliches Bild, seine Beschreibung oder ein anderes genanntes Objekt betrachtet werden Modell und Bereitstellung eines originalgetreuen Verhaltens im Rahmen bestimmter Annahmen und akzeptabler Fehler. Die Modellierung erfolgt in der Regel mit dem Ziel, die Eigenschaften des Originals durch die Untersuchung seines Modells und nicht des Objekts selbst zu verstehen. Natürlich ist die Modellierung dann gerechtfertigt, wenn sie einfacher ist als die Erstellung des Originals selbst, oder wenn es aus irgendeinem Grund besser ist, das Original überhaupt nicht zu erstellen.

Unter Modell Unter einem physikalischen oder abstrakten Objekt wird verstanden, dessen Eigenschaften in gewissem Sinne den Eigenschaften des untersuchten Objekts ähneln. Dabei werden die Anforderungen an das Modell durch das zu lösende Problem und die verfügbaren Mittel bestimmt. Es gibt eine Reihe allgemeiner Anforderungen an Modelle:

2) Vollständigkeit – Bereitstellung aller notwendigen Informationen für den Empfänger

über das Objekt;

3) Flexibilität – die Fähigkeit, unterschiedliche Situationen in allem zu reproduzieren

Umfang der Änderungen der Bedingungen und Parameter;

4) Die Komplexität der Entwicklung muss für das Bestehende akzeptabel sein

Zeit und Software.

Modellieren ist der Prozess der Konstruktion eines Modells eines Objekts und der Untersuchung seiner Eigenschaften durch Untersuchung des Modells.

Daher umfasst die Modellierung zwei Hauptphasen:

1) Entwicklung eines Modells;

2) Studium des Modells und Ziehen von Schlussfolgerungen.

Gleichzeitig werden in jeder Phase unterschiedliche Aufgaben gelöst und

grundsätzlich unterschiedliche Methoden und Mittel.

In der Praxis kommen verschiedene Modellierungsmethoden zum Einsatz. Abhängig von der Implementierungsmethode können alle Modelle in zwei große Klassen eingeteilt werden: physikalische und mathematische.

Mathematische Modellierung Es wird normalerweise als Mittel zur Untersuchung von Prozessen oder Phänomenen anhand ihrer mathematischen Modelle betrachtet.

Unter physikalische Modellierung bezieht sich auf die Untersuchung von Objekten und Phänomenen anhand physikalischer Modelle, wenn der untersuchte Prozess unter Beibehaltung seiner physikalischen Natur reproduziert wird oder ein anderes physikalisches Phänomen verwendet wird, das dem untersuchten ähnelt. Dabei physikalische Modelle Sie gehen in der Regel von der realen Verkörperung derjenigen physikalischen Eigenschaften des Originals aus, die in einer bestimmten Situation von Bedeutung sind. Beispielsweise wird beim Entwurf eines neuen Flugzeugs ein Modell erstellt, das die gleichen aerodynamischen Eigenschaften aufweist; Bei der Planung eines Bauvorhabens erstellen Architekten ein Modell, das die räumliche Anordnung seiner Elemente widerspiegelt. In diesem Zusammenhang wird auch physikalische Modellierung genannt Prototyp entwickeln.

Modellierung der Halbwertszeit ist eine Untersuchung steuerbarer Systeme zur Modellierung von Komplexen unter Einbeziehung realer Geräte in das Modell. Das geschlossene Modell umfasst neben realen Geräten Simulatoren von Einflüssen und Störungen, mathematische Modelle der äußeren Umgebung und Prozesse, für die eine ausreichend genaue mathematische Beschreibung unbekannt ist. Die Einbeziehung realer Geräte oder realer Systeme in den Kreislauf zur Modellierung komplexer Prozesse ermöglicht es, die Unsicherheit a priori zu reduzieren und Prozesse zu untersuchen, für die es keine genaue mathematische Beschreibung gibt. Mithilfe naturnaher Modellierung werden Untersuchungen unter Berücksichtigung kleiner Zeitkonstanten und Linearitäten durchgeführt, die realen Geräten innewohnen. Bei der Untersuchung von Modellen mit realer Ausrüstung wird das Konzept verwendet dynamische Simulation, während der Recherche komplexe Systeme und Phänomene - evolutionär, Nachahmung Und Kybernetische Modellierung.

Offensichtlich lässt sich der wahre Nutzen der Modellierung nur dann erzielen, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) Das Modell bietet eine korrekte (angemessene) Darstellung der Eigenschaften

das Original, bedeutsam aus Sicht der untersuchten Operation;

2) Mit dem Modell können Sie die oben aufgeführten inhärenten Probleme beseitigen

Durchführung von Forschungen an realen Objekten.

2. Grundkonzepte mathematische Modellierung

Die Lösung praktischer Probleme mit mathematischen Methoden erfolgt konsequent durch die Formulierung des Problems (Entwicklung eines mathematischen Modells), die Auswahl einer Methode zur Untersuchung des resultierenden mathematischen Modells und die Analyse des erhaltenen mathematischen Ergebnisses. Die mathematische Formulierung des Problems wird üblicherweise in Form von geometrischen Bildern, Funktionen, Gleichungssystemen usw. dargestellt. Die Beschreibung eines Objekts (Phänomens) kann durch kontinuierliche oder diskrete, deterministische oder stochastische und andere mathematische Formen dargestellt werden.

Theorie der mathematischen Modellierung gewährleistet die Identifizierung von Mustern des Auftretens verschiedener Phänomene in der umgebenden Welt oder des Betriebs von Systemen und Geräten durch deren mathematische Beschreibung und Modellierung, ohne dass umfassende Tests durchgeführt werden müssen. In diesem Fall werden die Bestimmungen und Gesetze der Mathematik verwendet, die die simulierten Phänomene, Systeme oder Geräte auf einer bestimmten Ebene ihrer Idealisierung beschreiben.

Mathematische Modell (MM) ist eine formalisierte Beschreibung eines Systems (oder einer Operation) in einer abstrakten Sprache, beispielsweise in Form einer Reihe mathematischer Beziehungen oder eines Algorithmusdiagramms, d. h. d. h. eine mathematische Beschreibung, die eine Simulation des Betriebs von Systemen oder Geräten auf einem Niveau liefert, das ihrem tatsächlichen Verhalten, das bei umfassenden Tests von Systemen oder Geräten erzielt wird, hinreichend nahe kommt.

Jedes MM beschreibt ein reales Objekt, Phänomen oder einen realen Prozess mit einer gewissen Annäherung an die Realität. Die Art des MM hängt sowohl von der Art des realen Objekts als auch von den Zielen der Studie ab.

Mathematische Modellierung Soziale, wirtschaftliche, biologische und physikalische Phänomene, Objekte, Systeme und verschiedene Geräte sind eines der wichtigsten Mittel, um die Natur zu verstehen und eine Vielzahl von Systemen und Geräten zu entwerfen. Es gibt bekannte Beispiele für den effektiven Einsatz der Modellierung bei der Entwicklung von Nukleartechnologien, Luft- und Raumfahrtsystemen, bei der Vorhersage atmosphärischer und ozeanischer Phänomene, des Wetters usw.

Allerdings erfordern solch schwerwiegende Bereiche der Modellierung oft Supercomputer und jahrelange Arbeit großer Wissenschaftlerteams, um Daten für die Modellierung und deren Fehlerbehebung aufzubereiten. Allerdings spart die mathematische Modellierung komplexer Systeme und Geräte in diesem Fall nicht nur Geld für Forschung und Tests, sondern kann auch Umweltkatastrophen verhindern – so können Sie beispielsweise auf die Erprobung nuklearer und thermonuklearer Waffen zugunsten deren mathematischer Modellierung verzichten oder Testen von Luft- und Raumfahrtsystemen vor ihren eigentlichen Flügen Zwischen Daher ist mittlerweile die mathematische Modellierung auf der Ebene der Lösung einfacherer Probleme, beispielsweise aus dem Bereich der Mechanik, Elektrotechnik, Elektronik, Funktechnik und vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und Technik, geworden für die Ausführung auf modernen PCs verfügbar. Und durch die Verwendung verallgemeinerter Modelle ist es möglich, recht komplexe Systeme zu simulieren, beispielsweise Telekommunikationssysteme und -netze, Radar- oder Funknavigationssysteme.

Der Zweck der mathematischen Modellierung ist die Analyse realer Prozesse (in der Natur oder Technik) mit mathematischen Methoden. Dies erfordert wiederum eine Formalisierung des zu untersuchenden MM-Prozesses. Das Modell kann ein mathematischer Ausdruck sein, der Variablen enthält, deren Verhalten dem Verhalten eines realen Systems ähnelt. Das Modell kann Zufallselemente enthalten, die die Wahrscheinlichkeiten möglicher Ereignisse berücksichtigen Aktionen von zwei oder mehr„Spieler“, etwa in der Spieltheorie; oder es kann reale Variablen miteinander verbundener Teile des Betriebssystems darstellen.

Die mathematische Modellierung zur Untersuchung der Eigenschaften von Systemen kann in analytische, simulative und kombinierte Modelle unterteilt werden. MMs werden wiederum in Simulation und Analyse unterteilt.

Analytische Modellierung

Für analytische Modellierung Charakteristisch ist, dass die Prozesse der Funktionsweise des Systems in Form bestimmter funktionaler Beziehungen (algebraische, Differential-, Integralgleichungen) geschrieben werden. Das analytische Modell kann mit folgenden Methoden untersucht werden:

1) analytisch, wenn sie danach streben, in allgemeiner Form explizite Abhängigkeiten für die Eigenschaften von Systemen zu erhalten;

2) numerisch, wenn es nicht möglich ist, eine Lösung für die Gleichungen in allgemeiner Form zu finden und sie für bestimmte Anfangsdaten gelöst werden;

3) qualitativ, wenn einige seiner Eigenschaften in Abwesenheit einer Lösung gefunden werden.

Analytische Modelle können nur für relativ einfache Systeme erhalten werden. Bei komplexen Systemen treten häufig große mathematische Probleme auf. Um die Analysemethode anzuwenden, gehen sie zu einer deutlichen Vereinfachung des ursprünglichen Modells. Allerdings führt die Forschung mit einem vereinfachten Modell nur zu indikativen Ergebnissen. Analytische Modelle spiegeln die Beziehung zwischen Eingabe- und Ausgabevariablen und -parametern mathematisch korrekt wider. Ihre Struktur spiegelt jedoch nicht die innere Struktur des Objekts wider.

Bei der analytischen Modellierung werden deren Ergebnisse in Form analytischer Ausdrücke dargestellt. Zum Beispiel durch Verbinden R.C.- Schaltung zu einer Konstantspannungsquelle E(R, C Und E- Komponenten dieses Modells) können wir einen analytischen Ausdruck für die Zeitabhängigkeit der Spannung erstellen u(T) am Kondensator C:

Diese lineare Differentialgleichung (DE) ist das analytische Modell dieser einfachen linearen Schaltung. Seine analytische Lösung unter der Anfangsbedingung u(0) = 0, was einen entladenen Kondensator bedeutet C ermöglicht es Ihnen, zu Beginn der Modellierung die gewünschte Abhängigkeit zu finden – in Form einer Formel:

u(T) = E(1− exP(- T/RC)). (2)

Allerdings sind selbst in diesem einfachsten Beispiel gewisse Anstrengungen erforderlich, um DE (1) zu lösen oder anzuwenden Computer-Mathematiksysteme(SCM) mit symbolischen Berechnungen – Computeralgebrasysteme. Für diesen völlig trivialen Fall wird das Problem der Modellierung einer linearen Gleichung gelöst R.C.-Circuit liefert den analytischen Ausdruck (2) in ziemlich allgemeiner Form – er eignet sich zur Beschreibung der Funktionsweise des Schaltkreises für beliebige Komponentennennwerte R, C Und E und beschreibt die exponentielle Ladung des Kondensators Cüber einen Widerstand R aus einer Konstantspannungsquelle E.

Natürlich erweist sich die Suche nach analytischen Lösungen bei der analytischen Modellierung als äußerst wertvoll für die Identifizierung allgemeiner theoretischer Muster einfacher linearer Schaltkreise, Systeme und Geräte. Allerdings nimmt ihre Komplexität stark zu, je komplexer die Einflüsse auf das Modell werden und je mehr Reihenfolge und Anzahl sie haben Zustandsgleichungen, die das modellierte Objekt beschreiben, nehmen zu. Bei der Modellierung von Objekten zweiter oder dritter Ordnung können mehr oder weniger sichtbare Ergebnisse erzielt werden, bei höherer Ordnung werden analytische Ausdrücke jedoch übermäßig umständlich, komplex und schwer verständlich. Selbst ein einfacher elektronischer Verstärker enthält beispielsweise oft Dutzende Komponenten. Allerdings sind viele moderne SCMs beispielsweise Systeme der symbolischen Mathematik Ahorn, Mathematica oder Umgebung MATLAB sind in der Lage, die Lösung komplexer analytischer Modellierungsprobleme weitgehend zu automatisieren.

Eine Art der Modellierung ist numerische Modellierung, Dies besteht darin, die erforderlichen quantitativen Daten über das Verhalten von Systemen oder Geräten mit einer geeigneten numerischen Methode zu erhalten, beispielsweise mit der Euler- oder Runge-Kutta-Methode. In der Praxis erweist sich die Modellierung nichtlinearer Systeme und Geräte mit numerischen Methoden als deutlich effektiver als die analytische Modellierung einzelner privater linearer Schaltkreise, Systeme oder Geräte. Zum Beispiel, um DE (1) oder DE-Systeme von mehr als zu lösen schwierige Fälle Eine Lösung kann nicht in analytischer Form erhalten werden, aber mithilfe numerischer Simulationsdaten kann man ziemlich vollständige Daten über das Verhalten der simulierten Systeme und Geräte erhalten und Diagramme von Abhängigkeiten erstellen, die dieses Verhalten beschreiben.

Simulationsmodellierung

Bei Nachahmung 10und Modellierung: Der Algorithmus, der das Modell implementiert, reproduziert den Prozess der Systemfunktion im Laufe der Zeit. Die elementaren Phänomene, aus denen sich der Prozess zusammensetzt, werden simuliert, wobei ihre logische Struktur und Abfolge der Ereignisse über die Zeit hinweg erhalten bleibt.

Der Hauptvorteil von Simulationsmodellen gegenüber analytischen Modellen ist die Fähigkeit, komplexere Probleme zu lösen.

Simulationsmodelle erleichtern die Berücksichtigung des Vorhandenseins diskreter oder kontinuierlicher Elemente, nichtlinearer Eigenschaften, zufälliger Einflüsse usw. Daher wird diese Methode häufig in der Entwurfsphase komplexer Systeme eingesetzt. Das Hauptmittel zur Umsetzung der Simulationsmodellierung ist ein Computer, der eine digitale Modellierung von Systemen und Signalen ermöglicht.

Definieren wir in diesem Zusammenhang den Ausdruck „ Computermodellierung“, das in der Literatur zunehmend verwendet wird. Nehmen wir das an Computermodellierung ist mathematische Modellierung mithilfe von Computertechnologie. Dementsprechend umfasst die Computermodellierungstechnologie die Durchführung der folgenden Aktionen:

1) Bestimmung des Zwecks der Modellierung;

2) Entwicklung eines konzeptionellen Modells;

3) Formalisierung des Modells;

4) Softwareimplementierung des Modells;

5) Planung von Modellversuchen;

6) Umsetzung des Versuchsplans;

7) Analyse und Interpretation der Simulationsergebnisse.

Bei Simulationsmodellierung Das verwendete MM reproduziert den Algorithmus („Logik“) der Funktionsweise des untersuchten Systems im Laufe der Zeit für verschiedene Kombinationen von Werten von Systemparametern und der externen Umgebung.

Ein Beispiel für das einfachste analytische Modell ist die Gleichung der geradlinigen gleichförmigen Bewegung. Bei der Untersuchung eines solchen Prozesses mithilfe eines Simulationsmodells sollte die Beobachtung von Änderungen des im Laufe der Zeit zurückgelegten Pfads durchgeführt werden. Offensichtlich ist in einigen Fällen eine analytische Modellierung vorzuziehen, in anderen eine Simulation (oder eine Kombination aus beidem). Um eine erfolgreiche Wahl zu treffen, müssen Sie zwei Fragen beantworten.

Was ist der Zweck der Modellierung?

In welche Klasse lässt sich das modellierte Phänomen einordnen?

Antworten auf diese beiden Fragen können in den ersten beiden Phasen der Modellierung erhalten werden.

Simulationsmodelle entsprechen nicht nur in ihren Eigenschaften, sondern auch in der Struktur dem modellierten Objekt. In diesem Fall besteht eine eindeutige und offensichtliche Übereinstimmung zwischen den am Modell erhaltenen Prozessen und den am Objekt ablaufenden Prozessen. Der Nachteil der Simulation besteht darin, dass die Lösung des Problems lange dauert, um eine gute Genauigkeit zu erreichen.

Die Ergebnisse der Simulationsmodellierung des Betriebs eines stochastischen Systems sind Implementierungen zufällige Variablen oder Prozesse. Um die Eigenschaften des Systems zu ermitteln, sind daher mehrere Wiederholungen und eine anschließende Datenverarbeitung erforderlich. Am häufigsten wird in diesem Fall eine Art Simulation verwendet - statistisch

Modellieren(oder Monte-Carlo-Methode), d.h. Reproduktion von Zufallsfaktoren, Ereignissen, Mengen, Prozessen, Feldern in Modellen.

Basierend auf den Ergebnissen der statistischen Modellierung werden Schätzungen allgemeiner und spezifischer probabilistischer Qualitätskriterien ermittelt, die die Funktionsweise und Effizienz des verwalteten Systems charakterisieren. Statistische Modellierung wird häufig zur Lösung wissenschaftlicher und angewandter Probleme in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie eingesetzt. Statistische Modellierungsmethoden werden häufig bei der Untersuchung komplexer dynamischer Systeme und zur Bewertung ihrer Funktionsweise und Effizienz eingesetzt.

Die letzte Stufe der statistischen Modellierung basiert auf der mathematischen Verarbeitung der erhaltenen Ergebnisse. Hierbei kommen Methoden der mathematischen Statistik zum Einsatz (parametrische und nichtparametrische Schätzung, Hypothesentest). Ein Beispiel für einen parametrischen Schätzer ist der Stichprobenmittelwert einer Leistungsmessung. Unter nichtparametrischen Methoden weit verbreitet Histogramm-Methode.

Das betrachtete Schema basiert auf wiederholten statistischen Tests des Systems und Methoden der Statistik unabhängiger Zufallsvariablen. Dieses Schema ist in der Praxis nicht immer natürlich und hinsichtlich der Kosten optimal. Durch den Einsatz genauerer Bewertungsmethoden kann die Systemtestzeit verkürzt werden. Wie aus der mathematischen Statistik bekannt ist, weisen effektive Schätzungen für eine gegebene Stichprobengröße die größte Genauigkeit auf. Optimale Filterung und die Maximum-Likelihood-Methode stellen eine allgemeine Methode zum Erhalten solcher Schätzungen dar. Bei statistischen Modellierungsproblemen ist die Verarbeitung von Implementierungen zufälliger Prozesse nicht nur für die Analyse von Ausgabeprozessen erforderlich.

Die Kontrolle der Eigenschaften der eingegebenen Zufallseinflüsse ist ebenfalls sehr wichtig. Die Kontrolle besteht darin, die Übereinstimmung der Verteilungen generierter Prozesse mit den vorgegebenen Verteilungen zu überprüfen. Dieses Problem wird oft wie folgt formuliert: Problem beim Hypothesentest.

Der allgemeine Trend bei der Computermodellierung komplexer gesteuerter Systeme ist der Wunsch, die Modellierungszeit zu verkürzen und Forschung in Echtzeit durchzuführen. Es ist praktisch, Rechenalgorithmen in einer wiederkehrenden Form darzustellen, was ihre Implementierung mit der Geschwindigkeit des Empfangs aktueller Informationen ermöglicht.

GRUNDSÄTZE EINES SYSTEMANSATZES IN DER MODELLIERUNG

Grundprinzipien der Systemtheorie

Die Grundprinzipien der Systemtheorie entstanden bei der Untersuchung dynamischer Systeme und ihrer Funktionselemente. Unter einem System versteht man eine Gruppe miteinander verbundener Elemente, die zusammenarbeiten, um eine vorgegebene Aufgabe zu erfüllen. Die Analyse von Systemen ermöglicht es uns, die realistischsten Möglichkeiten zur Ausführung einer bestimmten Aufgabe zu ermitteln und so die maximale Erfüllung der angegebenen Anforderungen sicherzustellen.

Die Elemente, die die Grundlage der Systemtheorie bilden, werden nicht durch Hypothesen geschaffen, sondern experimentell entdeckt. Um mit dem Aufbau eines Systems beginnen zu können, müssen allgemeine Merkmale technologischer Prozesse bekannt sein. Gleiches gilt im Hinblick auf die Prinzipien der Erstellung mathematisch formulierter Kriterien, denen ein Prozess oder seine theoretische Beschreibung genügen muss. Modellierung ist eine der wichtigsten Methoden wissenschaftlicher Forschung und Experimente.

Bei der Konstruktion von Objektmodellen wird ein Systemansatz verwendet, bei dem es sich um eine Methodik zur Lösung komplexer Probleme handelt, die darauf basiert, das Objekt als ein System zu betrachten, das in einer bestimmten Umgebung arbeitet. Ein systematischer Ansatz beinhaltet die Offenlegung der Integrität eines Objekts, die Identifizierung und Untersuchung seiner inneren Struktur sowie seiner Verbindungen zur äußeren Umgebung. In diesem Fall wird das Objekt als Teil der realen Welt dargestellt, der isoliert und im Zusammenhang mit dem Problem der Modellkonstruktion untersucht wird. Neben, Systemansatz beinhaltet einen konsequenten Übergang vom Allgemeinen zum Besonderen, wenn das Gestaltungsziel die Grundlage der Betrachtung ist und das Objekt im Zusammenhang mit der Umgebung betrachtet wird.

Ein komplexes Objekt kann in Subsysteme unterteilt werden, bei denen es sich um Teile des Objekts handelt, die die folgenden Anforderungen erfüllen:

1) Ein Subsystem ist ein funktional unabhängiger Teil eines Objekts. Es ist mit anderen Subsystemen verbunden, tauscht mit ihnen Informationen und Energie aus;

2) Für jedes Subsystem können Funktionen oder Eigenschaften definiert werden, die nicht mit den Eigenschaften des Gesamtsystems übereinstimmen;

3) Jedes der Subsysteme kann einer weiteren Unterteilung auf der Ebene der Elemente unterzogen werden.

Unter einem Element wird dabei ein untergeordnetes Teilsystem verstanden, dessen weitere Aufteilung aus Sicht des zu lösenden Problems unzweckmäßig ist.

Somit kann ein System als Darstellung eines Objekts in Form einer Reihe von Subsystemen, Elementen und Verbindungen zum Zweck seiner Erstellung, Forschung oder Verbesserung definiert werden. In diesem Fall wird eine vergrößerte Darstellung des Systems, einschließlich der wichtigsten Teilsysteme und Verbindungen zwischen ihnen, als Makrostruktur bezeichnet, und eine detaillierte Offenlegung der inneren Struktur des Systems bis auf die Ebene der Elemente wird als Mikrostruktur bezeichnet.

Neben dem System gibt es normalerweise ein Supersystem – ein System einer höheren Ebene, das das betreffende Objekt umfasst, und die Funktion eines jeden Systems kann nur durch das Supersystem bestimmt werden.

Es ist notwendig, das Konzept der Umwelt als eine Reihe von Objekten der Außenwelt hervorzuheben, die die Effizienz des Systems erheblich beeinflussen, aber nicht Teil des Systems und seines Supersystems sind.

Im Zusammenhang mit dem systemischen Ansatz zum Aufbau von Modellen wird der Begriff der Infrastruktur verwendet, der die Beziehung des Systems zu seiner Umgebung (Umgebung) beschreibt. In diesem Fall die Identifizierung, Beschreibung und Untersuchung der Eigenschaften eines Objekts, die wesentlich sind im Rahmen einer bestimmten Aufgabe nennt man Schichtung des Objekts, und jedes Modell des Objekts ist seine geschichtete Beschreibung.

Für einen Systemansatz ist es wichtig, die Struktur des Systems zu bestimmen, d.h. eine Reihe von Verbindungen zwischen Elementen des Systems, die deren Interaktion widerspiegeln. Dazu betrachten wir zunächst die strukturellen und funktionalen Ansätze der Modellierung.

Mit einem strukturellen Ansatz werden die Zusammensetzung der ausgewählten Elemente des Systems und die Verbindungen zwischen ihnen offengelegt. Die Menge der Elemente und Verbindungen ermöglicht es uns, die Struktur des Systems zu beurteilen. Die allgemeinste Beschreibung einer Struktur ist eine topologische Beschreibung. Es ermöglicht Ihnen, die Komponenten des Systems und ihre Verbindungen anhand von Diagrammen zu bestimmen. Weniger allgemein ist die funktionale Beschreibung, bei der einzelne Funktionen betrachtet werden, also Algorithmen für das Verhalten des Systems. In diesem Fall wird ein funktionaler Ansatz implementiert, der die Funktionen definiert, die das System ausführt.

Basierend auf dem Systemansatz kann eine Abfolge der Modellentwicklung vorgeschlagen werden, bei der zwei Hauptentwurfsphasen unterschieden werden: Makrodesign und Mikrodesign.

In der Makroentwurfsphase wird ein Modell der externen Umgebung erstellt, Ressourcen und Einschränkungen identifiziert, ein Systemmodell und Kriterien zur Beurteilung der Angemessenheit ausgewählt.

Die Phase des Mikrodesigns hängt weitgehend von der spezifischen Art des gewählten Modells ab. Im Allgemeinen handelt es sich dabei um die Erstellung von Informations-, Mathematik-, Technik- und Softwaremodellierungssystemen. In dieser Phase werden die wichtigsten technischen Merkmale des erstellten Modells festgelegt, die für die Arbeit damit erforderliche Zeit und die Ressourcenkosten zur Erzielung der angegebenen Qualität des Modells geschätzt.

Unabhängig von der Art des Modells ist es bei der Erstellung notwendig, sich an einer Reihe von Grundsätzen einer systematischen Vorgehensweise zu orientieren:

1) konsequenter Fortschritt durch die Phasen der Modellerstellung;

2) Koordination von Informationen, Ressourcen, Zuverlässigkeit und anderen Merkmalen;

3) die richtige Beziehung zwischen den verschiedenen Ebenen der Modellkonstruktion;

4) die Integrität der einzelnen Phasen des Modelldesigns.

Der Computer ist fest in unserem Leben verankert, und es gibt praktisch keinen solchen Bereich Menschliche Aktivität, wo kein Computer verwendet werden würde. Computer werden heute häufig bei der Entwicklung und Erforschung neuer Maschinen, neuer technologischer Prozesse und bei der Suche nach ihren optimalen Optionen eingesetzt. bei der Lösung wirtschaftlicher Probleme, bei der Lösung von Problemen der Planung und des Produktionsmanagements auf verschiedenen Ebenen. Die Herstellung großer Objekte in der Raketentechnik, im Flugzeugbau, im Schiffbau sowie beim Entwurf von Dämmen, Brücken usw. ist ohne den Einsatz von Computern im Allgemeinen nicht möglich.

Um einen Computer zur Lösung angewandter Probleme einzusetzen, muss das angewandte Problem zunächst in eine formale mathematische Sprache „übersetzt“ werden, d. h. Für ein reales Objekt, einen Prozess oder ein System muss ein mathematisches Modell erstellt werden.

Das Wort „Modell“ kommt vom lateinischen modus (Kopie, Bild, Umriss). Modellieren ist das Ersetzen eines Objekts A durch ein anderes Objekt B. Das ersetzte Objekt A wird als Original- oder Modellierungsobjekt bezeichnet, und das Ersatzobjekt B wird als Modell bezeichnet. Mit anderen Worten, ein Modell ist ein Ersatzobjekt für das Originalobjekt, das die Untersuchung einiger Eigenschaften des Originals ermöglicht.

Der Zweck der Modellierung besteht darin, Informationen über Objekte zu erhalten, zu verarbeiten, darzustellen und zu nutzen, die miteinander interagieren und Außenumgebung; und das Modell dient hier als Mittel zum Verständnis der Eigenschaften und Verhaltensmuster eines Objekts.

Mathematische Modellierung ist ein Mittel zur Untersuchung eines realen Objekts, Prozesses oder Systems, indem es durch ein mathematisches Modell ersetzt wird, das für experimentelle Forschung am Computer geeigneter ist.

Mathematische Modellierung ist der Prozess der Konstruktion und Untersuchung mathematischer Modelle realer Prozesse und Phänomene. Ganz natürlich und Sozialwissenschaften Wer mathematische Geräte verwendet, beschäftigt sich im Wesentlichen mit der mathematischen Modellierung: Er ersetzt ein reales Objekt durch sein Modell und untersucht dieses dann. Wie bei jeder Modellierung beschreibt ein mathematisches Modell das untersuchte Phänomen nicht vollständig, und Fragen nach der Anwendbarkeit der auf diese Weise erzielten Ergebnisse sind sehr aussagekräftig. Ein mathematisches Modell ist eine vereinfachte Beschreibung der Realität mithilfe mathematischer Konzepte.

Ein mathematisches Modell drückt die wesentlichen Merkmale eines Objekts oder Prozesses in der Sprache von Gleichungen und anderen mathematischen Werkzeugen aus. Tatsächlich verdankt die Mathematik selbst ihre Existenz dem, was sie widerzuspiegeln versucht, d. h. Modellieren Sie in Ihrer eigenen spezifischen Sprache die Muster der umgebenden Welt.

Bei mathematische Modellierung Die Untersuchung eines Objekts erfolgt anhand eines in der Sprache der Mathematik formulierten Modells unter Verwendung bestimmter mathematischer Methoden.

Der Weg der mathematischen Modellierung in unserer Zeit ist viel umfassender als die umfassende Modellierung. Einen enormen Impuls für die Entwicklung der mathematischen Modellierung gab das Aufkommen von Computern, obwohl die Methode selbst vor Tausenden von Jahren gleichzeitig mit der Mathematik entstand.

Mathematische Modellierung als solche erfordert nicht immer Computerunterstützung. Jeder Fachmann, der sich beruflich mit mathematischer Modellierung beschäftigt, tut sein Bestes, um das Modell analytisch zu untersuchen. Analytische Lösungen(d. h. dargestellt durch Formeln, die die Ergebnisse der Studie anhand der Originaldaten ausdrücken) sind in der Regel praktischer und informativer als numerische. Möglichkeiten analytischer Methoden zur Lösung komplexer mathematische Probleme Allerdings sind diese Methoden sehr begrenzt und in der Regel deutlich komplexer als numerische.

Ein mathematisches Modell ist eine ungefähre Darstellung realer Objekte, Prozesse oder Systeme, ausgedrückt in mathematischen Begriffen und unter Beibehaltung der wesentlichen Merkmale des Originals. Mathematische Modelle in quantitativer Form beschreiben unter Verwendung logischer und mathematischer Konstrukte die grundlegenden Eigenschaften eines Objekts, Prozesses oder Systems, seiner Parameter, internen und externe Beziehungen

Alle Modelle lassen sich in zwei Klassen einteilen:

1. real,
2. perfekt.

Reale Modelle lassen sich wiederum unterteilen in:

1. Vollmaßstab,
2. körperlich,
3. mathematisch.

Ideale Modelle können unterteilt werden in:

1. visuell,
2. ikonisch,
3. mathematisch.

Echte Modelle in Originalgröße sind reale Objekte, Prozesse und Systeme, an denen wissenschaftliche, technische und industrielle Experimente durchgeführt werden.

Echte physikalische Modelle sind Modelle, Dummies, die sich reproduzieren physikalische Eigenschaften Originale (kinematische, dynamische, hydraulische, thermische, elektrische, Beleuchtungsmodelle).

Echte mathematische Modelle sind analoge, strukturelle, geometrische, grafische, digitale und kybernetische Modelle.

Ideale visuelle Modelle sind Diagramme, Karten, Zeichnungen, Grafiken, Diagramme, Analoga, strukturelle und geometrische Modelle.

Ideale Zeichenmodelle sind Symbole, Alphabet, Programmiersprachen, geordnete Notation, topologische Notation, Netzwerkdarstellung.

Ideale mathematische Modelle sind analytische, funktionale, Simulations- und kombinierte Modelle.

In der obigen Klassifizierung haben einige Modelle eine doppelte Interpretation (z. B. analog). Alle Modelle, mit Ausnahme der Modelle im Originalmaßstab, können zu einer Klasse mentaler Modelle zusammengefasst werden, weil Sie sind ein Produkt menschlichen abstrakten Denkens.

Elemente der Spieltheorie

Im Allgemeinen ist das Lösen eines Spiels ein ziemlich schwieriges Problem, und die Komplexität des Problems und die Menge der zu seiner Lösung erforderlichen Berechnungen nehmen mit zunehmender Geschwindigkeit stark zu. Diese Schwierigkeiten sind jedoch nicht grundsätzlicher Natur und nur mit einem sehr großen Rechenaufwand verbunden, der sich in manchen Fällen als praktisch unmöglich erweisen kann. Der grundsätzliche Aspekt der Methode zur Lösungsfindung bleibt für jeden bestehen Das gleiche.

Lassen Sie uns dies am Beispiel eines Spiels veranschaulichen. Geben wir ihm eine geometrische Interpretation – schon eine räumliche. Unsere drei Strategien werden durch drei Punkte auf der Ebene dargestellt ; der erste liegt am Ursprung (Abb. 1). der zweite und dritte - auf den Achsen Oh Und OU im Abstand 1 vom Anfang.

Die Achsen I-I, II-II und III-III werden senkrecht zur Ebene durch die Punkte gezogen . Auf der I-I-Achse sind die Auszahlungen für die Strategie; auf den Achsen II-II und III-III sind die Auszahlungen für die Strategien. Jede feindliche Strategie wird durch ein abschneidendes Flugzeug dargestellt Achsen I-I, II-II und III-III, Segmente entsprechen den Gewinnen

mit entsprechender Strategie und Strategie . Nachdem wir auf diese Weise alle Strategien des Feindes konstruiert haben, erhalten wir eine Familie von Flugzeugen über dem Dreieck (Abb. 2).

Für diese Familie können Sie auch eine Untergrenze für die Auszahlung konstruieren, wie wir es im Fall getan haben, und auf dieser Grenze den Punkt N mit finden maximale Höhe Bargeldflugzeug . Diese Höhe wird der Preis des Spiels sein.

Die Häufigkeiten der Strategien in der optimalen Strategie werden durch die Koordinaten bestimmt (x, y) Punkte N, nämlich:

Allerdings ist eine solche geometrische Konstruktion, selbst für ein Gehäuse, nicht einfach umzusetzen und erfordert viel Zeit und Vorstellungskraft. Im allgemeinen Fall des Spiels wird es in den -dimensionalen Raum übertragen und verliert jegliche Klarheit, obwohl die Verwendung geometrischer Terminologie in einigen Fällen nützlich sein kann. Beim Lösen von Spielen in der Praxis ist es bequemer, nicht geometrische Analogien, sondern rechnerische Analysemethoden zu verwenden, zumal nur diese Methoden zur Lösung des Problems am Computer geeignet sind.

Bei all diesen Methoden geht es im Wesentlichen darum, ein Problem durch aufeinanderfolgende Versuche zu lösen. Durch die Reihenfolge der Versuche können Sie jedoch einen Algorithmus erstellen, der auf wirtschaftlichste Weise zu einer Lösung führt.

Hier werfen wir einen kurzen Blick auf eine Berechnungsmethode zum Lösen von Spielen - unter Verwendung der sogenannten linearen Programmiermethode.

Dazu formulieren wir zunächst allgemein das Problem, eine Lösung für das Spiel zu finden. Lass ein Spiel mit geben T Spielerstrategien A Und N Spielerstrategien IN und die Zahlungsmatrix ist angegeben

Es gilt, eine Lösung des Spiels zu finden, also zwei optimale gemischte Strategien der Spieler A und B

wobei (einige der Zahlen und möglicherweise gleich Null sind).

Unsere optimale Strategie S*A sollte uns einen Gewinn von mindestens , für jedes Verhalten des Feindes und einen Gewinn von , für sein optimales Verhalten (Strategie) verschaffen S*B).Ähnliche Strategie S*B sollte dem Feind für jedes unserer Verhaltensweisen einen Verlust von nicht mehr als , und für unser optimales Verhalten (Strategie) einen Verlust bescheren S*A).

Der Wert des Spiels ist uns in diesem Fall unbekannt; Wir gehen davon aus, dass es sich um eine positive Zahl handelt. Wenn wir auf diese Weise glauben, verletzen wir nicht die Allgemeingültigkeit der Argumentation; Damit es > 0 ist, reicht es offensichtlich aus, dass alle Elemente der Matrix nicht negativ sind. Dies kann immer dadurch erreicht werden, dass den Elementen ein ausreichend großer positiver Wert L hinzugefügt wird. In diesem Fall erhöht sich der Preis des Spiels um L, die Lösung ändert sich jedoch nicht.

Lassen Sie uns unsere optimale Strategie wählen S*A. Dann beträgt unsere durchschnittliche Auszahlung unter der Strategie des Gegners:

Unsere optimale Strategie S*A hat die Eigenschaft, dass es für jedes Verhalten des Feindes einen Gewinn von mindestens; Daher kann keine der Zahlen kleiner als sein. Wir erhalten eine Reihe von Bedingungen:

(1)

Teilen wir die Ungleichungen (1) durch einen positiven Wert und bezeichnen:

Dann wird Bedingung (1) geschrieben als

(2)

wo sind nichtnegative Zahlen. Als Die Mengen erfüllen die Bedingung

Wir möchten unsere garantierten Gewinne so hoch wie möglich gestalten; Offensichtlich nimmt in diesem Fall die rechte Seite der Gleichung (3) einen minimalen Wert an.

Das Problem, eine Lösung für das Spiel zu finden, läuft also auf das folgende mathematische Problem hinaus: Bestimmen Sie nichtnegative Größen , die Bedingungen (2) erfüllen, so dass ihre Summe

war minimal.

Normalerweise wird bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Suche nach Extremwerten (Maxima und Minima) die Funktion differenziert und die Ableitungen gleich Null gesetzt. Aber eine solche Technik ist in diesem Fall nutzlos, da die Funktion Ф, die müssen minimieren, ist linear und seine Ableitungen in Bezug auf alle Argumente sind gleich eins, d. h. sie verschwinden nirgendwo. Folglich wird das Maximum der Funktion irgendwo an der Grenze des Änderungsbereichs der Argumente erreicht, der durch die Anforderung der Nichtnegativität der Argumente und Bedingungen (2) bestimmt wird. Die Technik, Extremwerte mittels Differenzierung zu finden, ist auch dann ungeeignet, wenn zur Lösung des Spiels das Maximum der unteren (oder das Minimum der oberen) Gewinngrenze ermittelt wird, wie wir es getan haben. Zum Beispiel haben sie es getan, als sie Spiele gelöst haben. Tatsächlich besteht die untere Grenze aus Abschnitten gerader Linien, und das Maximum wird nicht an dem Punkt erreicht, an dem die Ableitung gleich Null ist (einen solchen Punkt gibt es überhaupt nicht). sondern an der Grenze des Intervalls oder am Schnittpunkt gerader Abschnitte.

Zur Lösung solcher in der Praxis recht häufig auftretenden Probleme wurde in der Mathematik ein spezieller Apparat entwickelt Lineares Programmieren.

Das lineare Programmierproblem wird wie folgt formuliert.

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem:

(4)

Es ist erforderlich, nichtnegative Werte von Größen zu finden, die die Bedingungen (4) erfüllen und gleichzeitig die gegebene Homogenität minimieren lineare Funktion Mengen (lineare Form):

Es ist leicht zu erkennen, dass das oben gestellte spieltheoretische Problem ein Sonderfall eines linearen Programmierproblems ist

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass Bedingungen (2) nicht äquivalent zu Bedingungen (4) sind, da sie anstelle von Gleichheitszeichen Ungleichheitszeichen enthalten. Es ist jedoch einfach, die Ungleichheitszeichen zu beseitigen, indem man neue nichtnegative Dummy-Variablen einführt und Bedingungen (2) in der Form schreibt:

(5)

Die zu minimierende Form Ф ist gleich

Der lineare Programmierapparat ermöglicht die Auswahl von Werten mithilfe einer relativ kleinen Anzahl aufeinanderfolgender Abtastwerte , die genannten Anforderungen erfüllen. Zur besseren Übersichtlichkeit demonstrieren wir hier die Verwendung dieses Geräts direkt am Material zum Lösen bestimmter Spiele.

MATHEMATISCHES MODELL – eine Darstellung eines Phänomens oder Prozesses, die in konkreten wissenschaftlichen Erkenntnissen in der Sprache mathematischer Konzepte untersucht wird. In diesem Fall wird erwartet, dass auf dem Weg der Forschung selbst eine Reihe von Eigenschaften des untersuchten Phänomens gewonnen werden. mathematische Eigenschaften Modelle. Bau von M.m. wird meist durch die Notwendigkeit einer quantitativen Analyse der untersuchten Phänomene und Prozesse bedingt, ohne die es wiederum unmöglich ist, experimentell überprüfbare Vorhersagen über deren Verlauf zu treffen.

Der Prozess der mathematischen Modellierung durchläuft in der Regel die folgenden Phasen. Im ersten Schritt werden Zusammenhänge zwischen den Hauptparametern des zukünftigen M.m. identifiziert. Es geht in erster Linie darum qualitative Analyse die untersuchten Phänomene und die Formulierung von Mustern, die die Hauptforschungsgegenstände verbinden. Auf dieser Grundlage werden quantitativ beschreibbare Objekte identifiziert. Die Phase endet mit der Konstruktion eines hypothetischen Modells, d. h. der Erfassung qualitativer Vorstellungen über die Beziehungen zwischen den Hauptobjekten des Modells, die quantitativ charakterisiert werden können, in der Sprache mathematischer Konzepte.

Im zweiten Schritt werden die tatsächlichen mathematischen Probleme untersucht, zu denen das konstruierte hypothetische Modell führt. In dieser Phase geht es vor allem darum, durch die mathematische Analyse des Modells empirisch überprüfbare theoretische Konsequenzen (Lösung des direkten Problems) zu erhalten. Gleichzeitig gibt es häufig Fälle, in denen zum Aufbau und Studium von M.m. in verschiedenen Bereichen speziell wissenschaftliches Wissen Es wird derselbe mathematische Apparat verwendet (z. B. Differentialgleichungen) und es entstehen mathematische Probleme der gleichen Art, wenn auch in jedem Einzelfall sehr nicht trivial. Darüber hinaus kommt in dieser Phase dem Einsatz von Hochgeschwindigkeitsrechnern (Rechnern) eine große Bedeutung zu, die es ermöglichen, Näherungslösungen für Probleme, die im Rahmen der reinen Mathematik oft unmöglich sind, mit einem bisher nicht erreichbaren Genauigkeitsgrad zu erhalten ( ohne die Verwendung eines Computers).

Die dritte Stufe ist durch Aktivitäten zur Ermittlung des Angemessenheitsgrads des konstruierten hypothetischen M.M. gekennzeichnet. jene Phänomene und Prozesse, die untersucht werden sollten. Wenn nämlich alle Parameter des Modells spezifiziert sind, versuchen Forscher herauszufinden, inwieweit ihre Ergebnisse im Rahmen der Beobachtungsgenauigkeit mit den theoretischen Konsequenzen des Modells übereinstimmen. Abweichungen außerhalb der Grenzen der Beobachtungsgenauigkeit weisen auf die Unzulänglichkeit des Modells hin. Es kommt jedoch häufig vor, dass bei der Erstellung eines Modells einige seiner Parameter erhalten bleiben

unsicher. Probleme, bei denen die parametrischen Eigenschaften des Modells so festgelegt werden, dass die theoretischen Konsequenzen im Rahmen der Beobachtungsgenauigkeit mit den Ergebnissen empirischer Tests vergleichbar sind, werden als inverse Probleme bezeichnet.

In der vierten Phase erfolgt unter Berücksichtigung der Ermittlung des Angemessenheitsgrades des konstruierten hypothetischen Modells und der Entstehung neuer experimenteller Daten zu den untersuchten Phänomenen eine anschließende Analyse und Modifikation des Modells. Die hier getroffene Entscheidung reicht von der bedingungslosen Ablehnung der angewandten mathematischen Werkzeuge bis hin zur Akzeptanz des konstruierten Modells als Grundlage für die Konstruktion einer grundlegend neuen wissenschaftlichen Theorie.

Erster M.m. erschien in der antiken Wissenschaft. Ja, zum Modellieren Sonnensystem Der griechische Mathematiker und Astronom Eudoxos gab jedem Planeten vier Kugeln, deren Bewegungen zusammen ein Nilpferd bildeten – eine mathematische Kurve, die der beobachteten Bewegung des Planeten ähnelt. Da dieses Modell jedoch nicht alle beobachteten Anomalien in der Planetenbewegung erklären konnte, wurde es später durch das epizyklische Modell des Apollonios von Perge ersetzt. Neuste Modell Hipparchos verwendete es in seinen Forschungen und dann, nachdem es einer gewissen Modifikation unterzogen worden war, von Ptolemaios. Dieses Modell basierte wie seine Vorgänger auf der Annahme, dass die Planeten gleichmäßige Kreisbewegungen durchlaufen, deren Überlappung die scheinbaren Unregelmäßigkeiten erklärt. Es ist zu beachten, dass das kopernikanische Modell nur im qualitativen Sinne (nicht jedoch als M.M.) grundsätzlich neu war. Und nur Kepler baute auf der Grundlage der Beobachtungen von Tycho Brahe ein neues M.M. Sonnensystem, was beweist, dass sich die Planeten nicht auf kreisförmigen, sondern auf elliptischen Bahnen bewegen.

Derzeit werden diejenigen als am geeignetsten angesehen, die zur Beschreibung mechanischer und physikalischer Phänomene entwickelt wurden. Zur Angemessenheit von M.m. Außerhalb der Physik kann man, von einigen Ausnahmen abgesehen, mit einiger Vorsicht sprechen. Dennoch ist die Behebung der hypothetischen Natur und oft einfach der Unzulänglichkeit von M.m. In verschiedenen Wissensgebieten ist ihre Rolle bei der Entwicklung der Wissenschaft nicht zu unterschätzen. Es gibt oft Fälle, in denen selbst Modelle, die bei weitem nicht ausreichend sind, die weitere Forschung erheblich organisiert und angeregt haben, zusammen mit falschen Schlussfolgerungen, die auch Körnchen Wahrheit enthielten, die die für die Entwicklung dieser Modelle aufgewendeten Anstrengungen voll und ganz rechtfertigten.

Literatur:

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Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Differentialgleichung in der Ökologie: historische und methodische Reflexion // Fragen der Naturwissenschafts- und Technikgeschichte. 1997. Nr. 3.

Wörterbuch philosophischer Begriffe. Wissenschaftliche Ausgabe von Professor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.