Der Online-Rechner ermöglicht es Ihnen, Differentialgleichungen online zu lösen. Es reicht aus, Ihre Gleichung in das entsprechende Feld einzugeben, die Ableitung der Funktion durch ein Apostroph zu kennzeichnen und auf die Schaltfläche „Gleichung lösen“ zu klicken. Und das auf der Grundlage der beliebten WolframAlpha-Website implementierte System liefert detaillierte Informationen Lösen einer Differentialgleichung absolut frei. Sie können das Cauchy-Problem auch so definieren, dass es aus der gesamten Menge besteht mögliche Lösungen Wählen Sie den Quotienten aus, der dem Gegebenen entspricht Anfangsbedingungen. Das Cauchy-Problem wird in einem separaten Feld eingetragen.

Differentialgleichung

Standardmäßig ist die Funktion in der Gleichung j ist eine Funktion einer Variablen X. Sie können jedoch eine eigene Bezeichnung für die Variable angeben; wenn Sie beispielsweise y(t) in die Gleichung schreiben, erkennt der Rechner dies automatisch j Es gibt eine Funktion aus einer Variablen T. Mit Hilfe eines Taschenrechners können Sie Differentialgleichungen lösen beliebiger Komplexität und Art: homogen und inhomogen, linear oder nichtlinear, erster Ordnung oder zweiter und höherer Ordnung, Gleichungen mit trennbaren oder nicht trennbaren Variablen usw. Lösungsunterschied. Gleichung wird in analytischer Form gegeben, hat detaillierte Beschreibung. Differentialgleichung kommt in der Physik und Mathematik sehr häufig vor. Ohne deren Berechnung ist es unmöglich, viele Probleme (insbesondere in der mathematischen Physik) zu lösen.

Einer der Schritte zur Lösung von Differentialgleichungen ist die Integration von Funktionen. Es gibt Standardmethoden zur Lösung von Differentialgleichungen. Es ist notwendig, die Gleichungen auf eine Form mit separierbaren Variablen y und x zu reduzieren und die separierten Funktionen separat zu integrieren. Dazu muss manchmal ein bestimmter Austausch vorgenommen werden.

6.1. GRUNDLEGENDE KONZEPTE UND DEFINITIONEN

Bei der Lösung verschiedener Probleme in Mathematik und Physik, Biologie und Medizin ist es häufig nicht möglich, sofort einen funktionalen Zusammenhang in Form einer Formel herzustellen, der die Variablen verbindet, die den untersuchten Prozess beschreiben. Normalerweise müssen Sie Gleichungen verwenden, die neben der unabhängigen Variablen und der unbekannten Funktion auch deren Ableitungen enthalten.

Definition. Eine Gleichung, die eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen verschiedener Ordnungen verbindet, wird aufgerufen Differential.

Normalerweise wird eine unbekannte Funktion bezeichnet y(x) oder einfach ja, und seine Derivate - y", y" usw.

Auch andere Bezeichnungen sind möglich, zum Beispiel: if j= x(t), dann x"(t), x""(t)- seine Derivate und T- unabhängige Variable.

Definition. Wenn eine Funktion von einer Variablen abhängt, heißt die Differentialgleichung gewöhnlich. Generelle Form gewöhnliche Differentialgleichung:

oder

Funktionen F Und F Möglicherweise sind einige Argumente nicht enthalten, aber damit die Gleichungen Differentialgleichungen sind, ist das Vorhandensein einer Ableitung unerlässlich.

Definition.Die Ordnung der Differentialgleichung heißt die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung.

Zum Beispiel, x 2 y"- j= 0, y" + sin X= 0 sind Gleichungen erster Ordnung und y"+ 2 y"+ 5 j= X- Gleichung zweiter Ordnung.

Bei der Lösung von Differentialgleichungen wird die Integrationsoperation verwendet, die mit dem Auftreten einer beliebigen Konstante verbunden ist. Wenn die Integrationsaktion angewendet wird N mal, dann wird die Lösung natürlich enthalten N beliebige Konstanten.

6.2. DIFFERENZGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG

Generelle Form Differentialgleichung erster Ordnung wird durch den Ausdruck bestimmt

Die Gleichung darf nicht explizit enthalten X Und ja, enthält aber notwendigerweise y".

Wenn die Gleichung geschrieben werden kann als

dann erhalten wir eine nach der Ableitung aufgelöste Differentialgleichung erster Ordnung.

Definition. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung (6.3) (oder (6.4)) ist die Menge der Lösungen , Wo MIT- Willkürliche Konstante.

Der Graph der Lösung einer Differentialgleichung heißt Integralkurve.

Angabe einer beliebigen Konstante MITunterschiedliche Bedeutungen, private Lösungen können erhalten werden. Auf der Oberfläche xOygemeinsame Entscheidung stellt eine Familie von Integralkurven dar, die jeder einzelnen Lösung entsprechen.

Wenn Sie einen Punkt setzen A (x 0 , y 0), durch die die Integralkurve verlaufen muss, also in der Regel aus einer Menge von Funktionen Eines kann man herausgreifen – eine private Lösung.

Definition.Private Entscheidung einer Differentialgleichung ist ihre Lösung, die keine beliebigen Konstanten enthält.

Wenn ist eine allgemeine Lösung, dann aus der Bedingung

Sie können eine Konstante finden MIT. Die Bedingung wird aufgerufen ausgangsbedingung.

Das Problem, eine bestimmte Lösung für die Differentialgleichung (6.3) oder (6.4) zu finden, die die Anfangsbedingung erfüllt bei angerufen Cauchy-Problem. Gibt es für dieses Problem immer eine Lösung? Die Antwort ist im folgenden Satz enthalten.

Satz von Cauchy(Theorem der Existenz und Einzigartigkeit einer Lösung). Lassen Sie die Differentialgleichung ein y"= f(x,y) Funktion f(x,y) und sie

partielle Ableitung in einigen Fällen definiert und kontinuierlich

Region D, einen Punkt enthalten Dann in der Gegend D existiert

einzige Entscheidung Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt bei

Der Satz von Cauchy besagt, dass es unter bestimmten Bedingungen eine eindeutige Integralkurve gibt j= f(x), durch einen Punkt gehen Punkte, an denen die Bedingungen des Satzes nicht erfüllt sind

Cauchies werden genannt besonders. An diesen Stellen bricht es F(x, y) oder.

Durch besonderer Punkt durchläuft entweder mehrere Integralkurven oder keine.

Definition. Wenn die Lösung (6.3), (6.4) in der Form gefunden wird F(x, y, C)= 0, relativ zu y nicht erlaubt, dann heißt es allgemeines Integral Differentialgleichung.

Der Satz von Cauchy garantiert nur, dass eine Lösung existiert. Da es keine einheitliche Methode zum Finden einer Lösung gibt, betrachten wir nur einige Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung, in die integriert werden kann Quadraturen

Definition. Die Differentialgleichung heißt in Quadraturen integrierbar, wenn es bei der Lösungsfindung auf die Integration von Funktionen ankommt.

6.2.1. Differentialgleichungen erster Ordnung mit separierbaren Variablen

Definition. Eine Differentialgleichung erster Ordnung heißt Gleichung mit trennbare Variablen,

Die rechte Seite der Gleichung (6.5) ist das Produkt zweier Funktionen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen.

Zum Beispiel die Gleichung ist eine Gleichung mit Trennfunktion

gemischt mit Variablen
und die Gleichung

kann nicht in der Form (6.5) dargestellt werden.

Bedenkt, dass , schreiben wir (6.5) in der Form um

Aus dieser Gleichung erhalten wir eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, in der die Differentiale Funktionen sind, die nur von der entsprechenden Variablen abhängen:

Wir haben Begriff für Begriff integriert

wobei C = C 2 - C 1 - beliebige Konstante. Ausdruck (6.6) ist das allgemeine Integral von Gleichung (6.5).

Indem wir beide Seiten der Gleichung (6.5) durch dividieren, können wir diejenigen Lösungen verlieren, für die In der Tat, wenn bei

Das ist offensichtlich eine Lösung für Gleichung (6.5).

Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung der Gleichung, die erfüllt

Zustand: j= 6 at X= 2 (j(2) = 6).

Lösung. Wir werden ersetzen y" Dann . Multiplizieren Sie beide Seiten mit

dx, denn während der weiteren Integration ist ein Weggehen nicht möglich dx im Nenner:

und dann beide Teile durch dividieren wir erhalten die Gleichung,

die integriert werden können. Integrieren wir:

Dann ; Potenzierend erhalten wir y = C. (x + 1) - ob-

Allgemeine Lösung.

Anhand der Ausgangsdaten bestimmen wir eine beliebige Konstante und setzen sie in die allgemeine Lösung ein

Endlich bekommen wir j= 2(x + 1) ist eine bestimmte Lösung. Schauen wir uns noch ein paar Beispiele für die Lösung von Gleichungen mit trennbaren Variablen an.

Beispiel 2. Finden Sie die Lösung der Gleichung

Lösung. Bedenkt, dass , wir bekommen .

Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, haben wir

Wo

Beispiel 3. Finden Sie die Lösung der Gleichung Lösung. Wir unterteilen beide Seiten der Gleichung in diejenigen Faktoren, die von einer Variablen abhängen, die nicht mit der Variablen unter dem Differentialvorzeichen übereinstimmt, d.h. und integrieren. Dann bekommen wir

und endlich,

Beispiel 4. Finden Sie die Lösung der Gleichung

Lösung. Wissen, was wir bekommen werden. Abschnitt

Lim-Variablen. Dann

Integrieren, verstehen wir

Kommentar. In den Beispielen 1 und 2 lautet die erforderliche Funktion j explizit ausgedrückt (allgemeine Lösung). In den Beispielen 3 und 4 - implizit (allgemeines Integral). Die Form der Entscheidung wird künftig nicht präzisiert.

Beispiel 5. Finden Sie die Lösung der Gleichung Lösung.

Beispiel 6. Finden Sie die Lösung der Gleichung , befriedigend

Zustand Ihr)= 1.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular

Beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren dx und weiter, wir bekommen

Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren (das Integral auf der rechten Seite wird in Teile genommen), erhalten wir

Aber je nach Zustand j= 1 bei X= e. Dann

Ersetzen wir die gefundenen Werte MIT zur allgemeinen Lösung:

Der resultierende Ausdruck wird Teillösung der Differentialgleichung genannt.

6.2.2. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung

Definition. Die Differentialgleichung erster Ordnung heißt homogen, wenn es in der Form dargestellt werden kann

Stellen wir einen Algorithmus zur Lösung einer homogenen Gleichung vor.

1.Stattdessen j Lassen Sie uns eine neue Funktion einführenDann und deshalb

2. In Bezug auf die Funktion u Gleichung (6.7) nimmt die Form an

das heißt, die Ersetzung reduziert eine homogene Gleichung auf eine Gleichung mit trennbaren Variablen.

3. Wenn wir Gleichung (6.8) lösen, finden wir zuerst u und dann j= ux.

Beispiel 1. Löse die Gleichung Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular

Wir führen die Substitution durch:
Dann

Wir werden ersetzen

Mit dx multiplizieren: Teilen durch X und weiter Dann

Nachdem wir beide Seiten der Gleichung über die entsprechenden Variablen integriert haben, haben wir

oder wenn wir zu den alten Variablen zurückkehren, erhalten wir endlich

Beispiel 2.Löse die Gleichung Lösung.Lassen Dann

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch x2: Öffnen wir die Klammern und ordnen wir die Begriffe neu an:

Wenn wir zu den alten Variablen übergehen, kommen wir zum Endergebnis:

Beispiel 3.Finden Sie die Lösung der Gleichung angesichts dessen

Lösung.Durchführen eines Standardaustauschs wir bekommen

oder

oder

Dies bedeutet, dass die jeweilige Lösung die Form hat Beispiel 4. Finden Sie die Lösung der Gleichung

Lösung.

Beispiel 5.Finden Sie die Lösung der Gleichung Lösung.

Selbstständige Arbeit

Finden Sie Lösungen für Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen (1-9).

Finden Sie eine Lösung für homogene Differentialgleichungen (9-18).

6.2.3. Einige Anwendungen von Differentialgleichungen erster Ordnung

Problem des radioaktiven Zerfalls

Die Zerfallsrate von Ra (Radium) ist zu jedem Zeitpunkt proportional zu seiner verfügbaren Masse. Finden Sie das Gesetz radioaktiver Zerfall Ra, wenn das bekannt ist Startmoment Es gab Ra und die Halbwertszeit von Ra beträgt 1590 Jahre.

Lösung. Sei im Moment die Masse Ra X= x(t) g, und Dann ist die Abklingrate Ra gleich

Je nach den Bedingungen des Problems

Wo k

Wenn wir die Variablen in der letzten Gleichung trennen und integrieren, erhalten wir

Wo

Zur Bestimmung C Wir verwenden die Anfangsbedingung: wann .

Dann und deshalb,

Proportionalitätsfaktor k ermittelt aus der Zusatzbedingung:

Wir haben

Von hier und die erforderliche Formel

Problem mit der bakteriellen Reproduktionsrate

Die Vermehrungsrate der Bakterien ist proportional zu ihrer Anzahl. Am Anfang waren es 100 Bakterien. Innerhalb von 3 Stunden verdoppelte sich ihre Zahl. Finden Sie die Abhängigkeit der Bakterienzahl von der Zeit. Wie oft wird die Anzahl der Bakterien innerhalb von 9 Stunden ansteigen?

Lösung. Lassen X- Anzahl der Bakterien gleichzeitig T. Dann, je nach Bedingung,

Wo k- Proportionalitätskoeffizient.

Von hier Aus der Bedingung ist das bekannt . Bedeutet,

Aus der Zusatzbedingung . Dann

Die Funktion, die Sie suchen:

Also, wann T= 9 X= 800, d.h. innerhalb von 9 Stunden erhöhte sich die Bakterienzahl um das 8-fache.

Das Problem der Erhöhung der Enzymmenge

In einer Bierhefekultur ist die Wachstumsrate des aktiven Enzyms proportional zu seiner Anfangsmenge X. Anfangsmenge an Enzym A innerhalb einer Stunde verdoppelt. Abhängigkeit finden

x(t).

Lösung. Unter der Bedingung hat die Differentialgleichung des Prozesses die Form

von hier

Aber . Bedeutet, C= A und dann

Das ist auch bekannt

Somit,

6.3. DIFFERENZGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG

6.3.1. Grundlegendes Konzept

Definition.Differentialgleichung zweiter Ordnung wird eine Beziehung genannt, die die unabhängige Variable, die gewünschte Funktion und ihre ersten und zweiten Ableitungen verbindet.

In besonderen Fällen kann x in der Gleichung fehlen, bei oder y". Allerdings muss eine Gleichung zweiter Ordnung notwendigerweise y enthalten." Im allgemeinen Fall wird eine Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt geschrieben:

oder, wenn möglich, in der bezüglich der zweiten Ableitung aufgelösten Form:

Wie bei einer Gleichung erster Ordnung kann es auch bei einer Gleichung zweiter Ordnung allgemeine und besondere Lösungen geben. Die allgemeine Lösung lautet:

Eine bestimmte Lösung finden

unter Anfangsbedingungen - gegeben

Zahlen) aufgerufen wird Cauchy-Problem. Geometrisch bedeutet das, dass wir die Integralkurve finden müssen bei= y(x), durchgehen angegebenen Punktund an diesem Punkt eine Tangente haben, die ist

richtet sich nach der positiven Achsenrichtung Ochse angegebenen Winkel. e. (Abb. 6.1). Das Cauchy-Problem hat eine eindeutige Lösung, wenn die rechte Seite der Gleichung (6.10) unaufhörlich

ist diskontinuierlich und hat stetige partielle Ableitungen nach äh, äh" in einer Gegend des Ausgangspunkts

Konstanten finden In einer privaten Lösung enthalten, muss das System aufgelöst werden

Reis. 6.1. Integralkurve

Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele für Lösungen.
Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Wörter erschrecken normalerweise den Durchschnittsmenschen. Differentialgleichungen scheinen für viele Studierende unerschwinglich und schwer zu beherrschen zu sein. Uuuuuu... Differentialgleichungen, wie kann ich das alles überleben?!

Diese Meinung und diese Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn tatsächlich DIFFERENZGLEICHUNGEN – ES IST EINFACH UND SOGAR SPASS. Was müssen Sie wissen und können, um das Lösen von Differentialgleichungen zu lernen? Um Diffuses erfolgreich zu studieren, müssen Sie gut in der Integration und Differenzierung sein. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen Und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr: Wenn Sie über mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten verfügen, ist das Thema fast gemeistert! Je mehr Integrale unterschiedlicher Art Sie lösen können, desto besser. Warum? Man muss viel integrieren. Und differenzieren. Auch sehr empfehlenswert lernen zu finden.

In 95 % der Fälle Tests Es gibt 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen was wir uns in dieser Lektion ansehen werden; homogene Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen. Für diejenigen, die anfangen, Diffusoren zu studieren, empfehle ich Ihnen, die Lektionen genau in dieser Reihenfolge zu lesen, und nach dem Studium der ersten beiden Artikel wird es nicht schaden, Ihre Fähigkeiten in einem zusätzlichen Workshop zu festigen – Gleichungen reduzieren sich auf homogen.

Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: totale Differentialgleichungen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Der wichtigste der letzten beiden Typen sind Gleichungen in totalen Differentialgleichungen, da ich zusätzlich zu dieser Differentialgleichung betrachte Neues Material – Teilintegration.

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Die Weichen sind also gestellt – los geht’s:

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet Finden Reihe von Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kindergleichung eine einzige Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß die gefundene Wurzel überprüfen und in unsere Gleichung einsetzen:

– Es liegt die richtige Gleichheit vor, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde.

Die Diffusoren sind ähnlich gestaltet!

Differentialgleichung erste Bestellung Im Algemeinen enthält:
1) unabhängige Variable;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In einigen Gleichungen erster Ordnung gibt es möglicherweise kein „x“ und/oder „y“, aber das ist nicht von Bedeutung – wichtig in den Kontrollraum gehen War erste Ableitung und hatte nicht Derivate höherer Ordnung – usw.

Was heißt ? Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet zu finden Menge aller Funktionen, die diese Gleichung erfüllen. Eine solche Menge von Funktionen hat oft die Form (– eine beliebige Konstante), die aufgerufen wird allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo soll ich anfangen? Lösung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Wir erinnern uns an die umständliche Bezeichnung, die vielen von Ihnen wahrscheinlich lächerlich und unnötig vorkam. Das ist es, was bei Diffusoren herrscht!

Im zweiten Schritt schauen wir, ob es möglich ist separate Variablen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen gehen nur „Griechen“, A auf der rechten Seite organisieren nur „X“. Die Aufteilung der Variablen erfolgt durch „schulische“ Manipulationen: Herausnehmen aus Klammern, Übertragen von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragen von Faktoren von Teil zu Teil nach der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind vollwertige Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. Im betrachteten Beispiel lassen sich die Variablen leicht trennen, indem man die Faktoren nach der Proportionsregel verwürfelt:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite gibt es nur „Y’s“, auf der rechten Seite nur „X’s“.

Nächste Stufe - Integration der Differentialgleichung. Es ist ganz einfach, wir setzen auf beiden Seiten Integrale:

Natürlich müssen wir Integrale nehmen. IN in diesem Fall sie sind tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird jeder Stammfunktion eine Konstante zugewiesen. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht aus, die Konstante einmal zu schreiben (da Konstante + Konstante immer noch gleich einer anderen Konstante ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach der Bildung der Integrale als gelöst. Das Einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, das heißt, die Lösung wird präsentiert implizit bilden. Die Lösung einer Differentialgleichung in impliziter Form heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, es handelt sich um ein allgemeines Integral.

Die Antwort in dieser Form ist durchaus akzeptabel, aber gibt es eine bessere Option? Versuchen wir es zu bekommen gemeinsame Entscheidung.

Bitte, Erinnern Sie sich an die erste Technik, es ist sehr verbreitet und wird oft in praktischen Aufgaben verwendet: Wenn nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus erscheint, dann empfiehlt es sich in vielen Fällen (aber nicht immer!) auch, die Konstante unter den Logarithmus zu schreiben.

Also, ANSTATT Einträge werden in der Regel geschrieben .

Warum ist das notwendig? Und um es einfacher zu machen, „Spiel“ auszudrücken. Nutzung der Eigenschaft von Logarithmen . In diesem Fall:

Jetzt können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Antwort: gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten auf viele Differentialgleichungen sind relativ einfach zu überprüfen. In unserem Fall geht das ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Dann setzen wir die Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

– Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass die allgemeine Lösung die Gleichung erfüllt, was überprüft werden musste.

Indem Sie einer Konstanten unterschiedliche Werte zuweisen, können Sie eine unendliche Anzahl erhalten private Lösungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass alle Funktionen , usw. erfüllt die Differentialgleichung.

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. IN in diesem Beispiel gemeinsame Entscheidung ist eine Familie linearer Funktionen, genauer gesagt eine Familie direkter Proportionalität.

Nach einer gründlichen Durchsicht des ersten Beispiels ist es angebracht, einige naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten:

1)In diesem Beispiel konnten wir die Variablen trennen. Kann das immer gemacht werden? Nein nicht immer. Und noch häufiger können Variablen nicht getrennt werden. Zum Beispiel in homogene Gleichungen erster Ordnung, müssen Sie es zuerst ersetzen. In anderen Gleichungstypen, beispielsweise in einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verwenden verschiedene Techniken und Methoden zum Finden einer allgemeinen Lösung. Gleichungen mit separierbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, eine Differentialgleichung zu integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, eine „ausgefallene“ Gleichung aufzustellen, die nicht integriert werden kann; außerdem gibt es Integrale, die nicht genommen werden können. Solche DEs können jedoch mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D’Alembert und Cauchy garantieren... ...ugh, lurkmore.um gerade viel zu lesen, hätte ich fast „aus der anderen Welt“ hinzugefügt.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus einem allgemeinen Integral eine allgemeine Lösung zu finden, also das „y“ explizit auszudrücken? Nein nicht immer. Zum Beispiel: . Wie kann man hier „Griechisch“ ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Darüber hinaus ist es manchmal möglich, eine allgemeine Lösung zu finden, diese ist jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

4) ...vielleicht reicht das für den Moment. Im ersten Beispiel sind wir darauf gestoßen noch eins wichtiger Punkt , aber um die „Dummies“ nicht mit einer Lawine neuer Informationen zu überschütten, belasse ich es bis zur nächsten Lektion.

Wir werden uns nicht beeilen. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Lösung: Je nach Zustand müssen Sie finden private Lösung DE, das eine gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Diese Formulierung der Frage wird auch genannt Cauchy-Problem.

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht verwirren, Hauptsache, sie hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in die erforderliche Form um:

Offensichtlich können die Variablen getrennt werden, Jungen auf der linken Seite, Mädchen auf der rechten Seite:

Integrieren wir die Gleichung:

Man erhält das allgemeine Integral. Hier habe ich eine Konstante mit einem Sternchen gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (drücken Sie das „y“ explizit aus). Erinnern wir uns an die guten alten Dinge aus der Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie unkoscher aus, daher wird sie normalerweise auf den Boden der Tatsachen zurückgeführt. Im Detail passiert es so. Unter Verwendung der Gradeigenschaft schreiben wir die Funktion wie folgt um:

Wenn es eine Konstante ist, dann gibt es auch eine Konstante. Bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben:

Denken Sie daran, dass das „Abreißen“ einer Konstante bedeutet zweite Technik, das häufig beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Die allgemeine Lösung lautet also: . Dies ist eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

Im letzten Schritt müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Ausgangsbedingung erfüllt. Auch das ist einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch den Wert der Konstante, sodass die Bedingung erfüllt ist.

Es kann auf unterschiedliche Weise formatiert werden, aber dies ist wahrscheinlich die übersichtlichste Methode. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle des „X“ eine Null und anstelle des „Y“ eine Zwei:



Also,

Standardausführung:

Nun setzen wir den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein:
– Das ist genau die Lösung, die wir brauchen.

Antwort: private Lösung:

Lass uns das Prüfen. Die Prüfung einer privaten Lösung umfasst zwei Phasen:

Zunächst muss geprüft werden, ob die jeweils gefundene Lösung die Ausgangsbedingung wirklich erfüllt? Anstelle des „X“ ersetzen wir eine Null und schauen, was passiert:
- Ja, tatsächlich wurde eine Zwei erhalten, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung ein:

– die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung wurde richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Lösung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Wir bewerten, ob es möglich ist, die Variablen zu trennen? Dürfen. Wir verschieben den zweiten Term mit einem Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir übertragen die Multiplikatoren nach der Proportionsregel:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Jüngsten Gerichts naht. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale Wenn Sie einige Beispiele gelöst haben, können Sie nirgendwo hingehen – Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden; wir behandeln das Integral des Kotangens mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Auf der rechten Seite haben wir einen Logarithmus, und laut meiner ersten technischen Empfehlung sollte die Konstante auch unter den Logarithmus geschrieben werden.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit Hilfe bekannte Eigenschaften Wir „packen“ die Logarithmen so weit wie möglich. Ich schreibe es ganz ausführlich auf:

Die Verpackung ist barbarisch zerfetzt:

Kann man „Spiel“ ausdrücken? Dürfen. Es ist notwendig, beide Teile auszurichten.

Aber Sie müssen das nicht tun.

Dritter technischer Tipp: Wenn es zur Erlangung einer allgemeinen Lösung notwendig ist, zur Macht aufzusteigen oder Wurzeln zu schlagen, dann in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals belassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung einfach schrecklich aussehen wird – mit großen Wurzeln, Schildern und anderem Müll.

Daher schreiben wir die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals. Auf eine gute Art und Weise Es wird davon ausgegangen, dass es in der Form dargestellt wird, das heißt, auf der rechten Seite, wenn möglich, nur eine Konstante zu belassen. Es ist nicht notwendig, dies zu tun, aber es ist immer von Vorteil, dem Professor eine Freude zu machen ;-)

Antwort: allgemeines Integral:

! Notiz: Das allgemeine Integral einer Gleichung kann auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn also Ihr Ergebnis nicht mit der zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet das nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral ist auch recht einfach zu überprüfen, die Hauptsache ist, es finden zu können Ableitung einer implizit angegebenen Funktion. Differenzieren wir die Antwort:

Wir multiplizieren beide Terme mit:

Und dividiere durch:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Algorithmus aus zwei Phasen besteht:
1) eine allgemeine Lösung finden;
2) Finden der erforderlichen Einzellösung.

Die Prüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie müssen:
1) Stellen Sie sicher, dass die jeweilige gefundene Lösung die Anfangsbedingung erfüllt;
2) Überprüfen Sie, ob eine bestimmte Lösung im Allgemeinen die Differentialgleichung erfüllt.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung , die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Lösung: Finden wir zunächst eine allgemeine Lösung. Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und daher ist die Lösung vereinfacht. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir die Gleichung:

Das Integral links ist tabellarisch, das Integral rechts wird genommen Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren:

Das allgemeine Integral wurde erhalten. Ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf. Da sie positiv sind, sind die Vorzeichen des Moduls nicht erforderlich:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „X“ Null und anstelle von „Y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein.

Antwort: private Lösung:

Prüfen: Zunächst prüfen wir, ob die Anfangsbedingung erfüllt ist:
- Alles ist gut.

Prüfen wir nun, ob die gefundene spezielle Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Finden der Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Setzen wir die gefundene Sonderlösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Man erhält die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wurde.

Die zweite Methode zur Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: aus der Gleichung Lassen Sie uns die Ableitung ausdrücken. Dazu dividieren wir alle Teile durch:

Und in das transformierte DE ersetzen wir die erhaltene Teillösung und die gefundene Ableitung. Durch Vereinfachungen soll auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Differentialgleichung lösen. Präsentieren Sie die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, eine vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten lauern beim Lösen von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere bei einer „Teekanne“), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten wir ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus Klammern herausnehmen: und die Wurzeln trennen: . Es ist klar, was als nächstes zu tun ist.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale sind oft nicht die einfachsten, und es gibt Mängel in den Findungskompetenzen unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik „Da die Differentialgleichung einfach ist, sollten die Integrale zumindest komplizierter sein“ bei Verfassern von Sammlungen und Schulungshandbüchern beliebt.

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, lässt sich die Konstante in Differentialgleichungen recht frei handhaben und einige Transformationen sind für einen Anfänger nicht immer klar. Schauen wir uns ein weiteres bedingtes Beispiel an: . Es empfiehlt sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist ebenfalls eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da auf der rechten Seite ein Logarithmus steht, empfiehlt es sich, die Konstante in Form einer anderen Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Als Ergebnis erfolgt die Entscheidungsaufzeichnung nächste Ansicht:

Was für eine Ketzerei? Da sind Fehler drin! Streng genommen ja. Aus inhaltlicher Sicht liegen jedoch keine Fehler vor, da durch die Transformation einer Variablenkonstante immer noch eine Variablenkonstante erhalten wird.

Oder ein anderes Beispiel: Nehmen wir an, dass im Zuge der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, das Vorzeichen jedes Begriffs zu ändern: . Formal liegt hier ein weiterer Fehler vor – er sollte rechts geschrieben werden. Aber informell wird impliziert, dass „minus ce“ immer noch eine Konstante ist ( was genauso gut jede Bedeutung annehmen kann!) Daher macht es keinen Sinn, ein „Minus“ zu setzen, und Sie können denselben Buchstaben verwenden.

Ich werde versuchen, eine nachlässige Vorgehensweise zu vermeiden und den Konstanten bei der Konvertierung dennoch unterschiedliche Indizes zuzuweisen.

Beispiel 7

Differentialgleichung lösen. Prüfung durchführen.

Lösung: Diese Gleichung ermöglicht die Trennung von Variablen. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir:

Es ist nicht notwendig, die Konstante hier als Logarithmus zu definieren, da dabei nichts Nützliches herauskommt.

Antwort: allgemeines Integral:

Prüfen: Differenzieren Sie die Antwort ( implizite Funktion):

Wir entfernen Brüche, indem wir beide Terme multiplizieren mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung des DE.
,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Der einzige Hinweis ist, dass Sie hier ein allgemeines Integral erhalten, und genauer gesagt, Sie müssen es schaffen, nicht eine bestimmte Lösung zu finden, sondern Teilintegral. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Erinnern wir uns an die Aufgabe, vor der wir bei der Suche nach bestimmten Integralen standen:

oder dy = f(x)dx. Ihre Lösung:

und es kommt darauf an, das unbestimmte Integral zu berechnen. In der Praxis trifft man häufiger auf eine komplexere Aufgabe: das Finden der Funktion j, wenn bekannt ist, dass es eine Relation der Form erfüllt

Diese Beziehung bezieht sich auf die unabhängige Variable X, unbekannte Funktion j und seine Ableitungen bis zur Ordnung N inklusive, heißen .

Eine Differentialgleichung enthält eine Funktion unter dem Vorzeichen von Ableitungen (oder Differentialen) der einen oder anderen Ordnung. Die höchste Ordnung heißt Ordnung (9.1) .

Differentialgleichung:

- erste Bestellung,

Zweite Bestellung

- fünfte Ordnung usw.

Die Funktion, die eine gegebene Differentialgleichung erfüllt, wird ihre Lösung genannt , oder Integral . Es zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden. Wenn für die gewünschte Funktion j Wenn es uns gelungen ist, eine Formel zu erhalten, die alle Lösungen angibt, dann sagen wir, dass wir ihre allgemeine Lösung gefunden haben , oder allgemeines Integral .

Gemeinsame Entscheidung enthält N beliebige Konstanten und sieht so aus

Wenn eine Beziehung erhalten wird, die sich bezieht x, y Und N beliebige Konstanten, in einer Form, die in Bezug auf nicht zulässig ist j -

dann heißt eine solche Beziehung das allgemeine Integral der Gleichung (9.1).

Cauchy-Problem

Jede spezifische Lösung, d. h. jede spezifische Funktion, die eine gegebene Differentialgleichung erfüllt und nicht von beliebigen Konstanten abhängt, wird als besondere Lösung bezeichnet , oder ein partielles Integral. Um aus allgemeinen Lösungen besondere Lösungen (Integrale) zu erhalten, ist die Angabe spezifischer Konstanten erforderlich numerische Werte.

Der Graph einer bestimmten Lösung wird als Integralkurve bezeichnet. Die allgemeine Lösung, die alle Teillösungen enthält, ist eine Familie von Integralkurven. Bei einer Gleichung erster Ordnung hängt diese Familie von einer beliebigen Konstante für die Gleichung ab N-te Bestellung - von N beliebige Konstanten.

Das Cauchy-Problem besteht darin, eine bestimmte Lösung für die Gleichung zu finden N-te Ordnung, befriedigend N Anfangsbedingungen:

durch die n Konstanten c 1, c 2,..., c n bestimmt werden.

Differentialgleichungen 1. Ordnung

Für eine Differentialgleichung 1. Ordnung, die bezüglich der Ableitung ungelöst ist, hat sie die Form

oder für relativ erlaubt

Beispiel 3.46. Finden Sie die allgemeine Lösung der Gleichung

Lösung. Integrieren, verstehen wir

wobei C eine beliebige Konstante ist. Wenn wir C bestimmte Zahlenwerte zuweisen, erhalten wir bestimmte Lösungen, zum Beispiel:

Beispiel 3.47. Betrachten Sie eine Erhöhung des bei der Bank eingezahlten Geldbetrags vorbehaltlich der Rückstellung von 100 R Zinseszins pro Jahr. Sei Yo der anfängliche Geldbetrag und Yx der Endbetrag X Jahre. Wenn die Zinsen einmal im Jahr berechnet werden, erhalten wir

wobei x = 0, 1, 2, 3,.... Wenn die Zinsen zweimal im Jahr berechnet werden, erhalten wir

wobei x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Bei der Zinsberechnung N einmal im Jahr und wenn x nimmt dann sequentielle Werte 0, 1/n, 2/n, 3/n,... an

Bezeichnen Sie 1/n = h, dann sieht die vorherige Gleichheit wie folgt aus:

Mit unbegrenzter Vergrößerung N(bei ) Im Grenzfall kommen wir zum Prozess der Geldmengenvermehrung bei kontinuierlicher Zinsabgrenzung:

Somit ist klar, dass es sich um einen kontinuierlichen Wandel handelt X Das Gesetz der Geldmengenänderung wird durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung ausgedrückt. Wobei Y x eine unbekannte Funktion ist, X- unabhängige Variable, R- konstant. Lösen wir diese Gleichung, dazu schreiben wir sie wie folgt um:

Wo , oder , wobei P e C bezeichnet.

Aus den Anfangsbedingungen Y(0) = Yo ergibt sich P: Yo = Pe o, woraus Yo = P. Daher hat die Lösung die Form:

Betrachten wir das zweite wirtschaftliche Problem. Makroökonomische Modelle werden auch durch lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung beschrieben, die Veränderungen des Einkommens oder Outputs Y als Funktionen der Zeit beschreiben.

Beispiel 3.48. Das Volkseinkommen Y soll proportional zu seinem Wert wachsen:

und das Defizit der Staatsausgaben sei mit dem Proportionalitätskoeffizienten direkt proportional zum Einkommen Y Q. Ein Ausgabendefizit führt zu einem Anstieg der Staatsverschuldung D:

Anfangsbedingungen Y = Yo und D = Do bei t = 0. Aus der ersten Gleichung Y= Yoe kt. Wenn wir Y ersetzen, erhalten wir dD/dt = qYoe kt . Die allgemeine Lösung hat die Form
D = (q/ k) Yoe kt +С, wobei С = const, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt wird. Wenn wir die Anfangsbedingungen ersetzen, erhalten wir Do = (q/ k)Yo + C. Also schließlich:

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

Dies zeigt, dass die Staatsverschuldung mit der gleichen relativen Rate steigt k, das gleiche wie das Nationaleinkommen.

Betrachten wir die einfachsten Differentialgleichungen N Ordnung, das sind Gleichungen der Form

Seine allgemeine Lösung kann mit erhalten werden N mal Integrationen.

Beispiel 3.49. Betrachten Sie das Beispiel y „““ = cos x.

Lösung. Integrieren, finden wir

Die allgemeine Lösung hat die Form

Lineare Differentialgleichungen

Sie werden in der Wirtschaftswissenschaft häufig verwendet. Betrachten wir die Lösung solcher Gleichungen. Wenn (9.1) die Form hat:

dann heißt es linear, wobei ðo(x), ð1(x),..., ðn(x), f(x) - spezifizierte Funktionen. Wenn f(x) = 0, dann heißt (9.2) homogen, andernfalls heißt es inhomogen. Die allgemeine Lösung der Gleichung (9.2) ist gleich der Summe aller ihrer speziellen Lösungen y(x) und die allgemeine Lösung der dazugehörigen homogenen Gleichung:

Wenn die Koeffizienten ð o (x), ð 1 (x),..., ð n (x) konstant sind, dann (9.2)

(9.4) heißt eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Ordnungskoeffizienten N .

Denn (9.4) hat die Form:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir p o = 1 setzen und (9.5) in die Form schreiben

Wir suchen nach einer Lösung (9.6) in der Form y = e kx, wobei k eine Konstante ist. Wir haben: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Wenn wir die resultierenden Ausdrücke in (9.6) einsetzen, erhalten wir:

(9.7) ja algebraische Gleichung, es ist unbekannt k, es heißt charakteristisch. Die charakteristische Gleichung hat Grad N Und N Wurzeln, unter denen es sowohl vielfältig als auch komplex sein kann. Dann seien k 1 , k 2 ,..., k n real und eindeutig - besondere Lösungen (9.7) und allgemeine

Betrachten Sie eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Seine charakteristische Gleichung hat die Form

(9.9)

seine Diskriminante D = p 2 - 4q, je nach Vorzeichen von D sind drei Fälle möglich.

1. Wenn D>0, dann sind die Wurzeln k 1 und k 2 (9.9) reell und unterschiedlich, und die allgemeine Lösung hat die Form:

Lösung. Charakteristische Gleichung: k 2 + 9 = 0, daher k = ± 3i, a = 0, b = 3, die allgemeine Lösung hat die Form:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung werden bei der Untersuchung eines webbasierten Wirtschaftsmodells mit Warenbeständen verwendet, bei dem die Preisänderungsrate P von der Größe des Lagerbestands abhängt (siehe Abschnitt 10). Falls Angebot und Nachfrage stimmen lineare Funktionen Preise, das heißt

a ist eine Konstante, die die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt, dann wird der Prozess der Preisänderung durch die Differentialgleichung beschrieben:

Für eine bestimmte Lösung können wir eine Konstante annehmen

sinnvoller Gleichgewichtspreis. Abweichung erfüllt die homogene Gleichung

(9.10)

Die charakteristische Gleichung lautet wie folgt:

Falls der Begriff positiv ist. Bezeichnen wir . Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung k 1,2 = ± i w, daher hat die allgemeine Lösung (9.10) die Form:

wobei C und beliebige Konstanten sind, sie werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Wir haben das Gesetz der Preisänderung im Laufe der Zeit erhalten:

Geben Sie Ihre Differentialgleichung ein. Mit dem Apostroa „“ geben Sie die Ableitung ein. Klicken Sie auf „Senden“, um die Lösung zu erhalten

I. Gewöhnliche Differentialgleichungen

1.1. Grundlegende Konzepte und Definitionen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unabhängige Variable in Beziehung setzt X, die erforderliche Funktion j und seine Ableitungen oder Differentiale.

Symbolisch wird die Differentialgleichung wie folgt geschrieben:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Eine Differentialgleichung heißt gewöhnlich, wenn die gesuchte Funktion von einer unabhängigen Variablen abhängt.

Lösen einer Differentialgleichung heißt eine Funktion, die diese Gleichung in eine Identität umwandelt.

Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten in dieser Gleichung enthaltenen Ableitung

Beispiele.

1. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion y = 5 ln x. In der Tat, ersetzen y" In die Gleichung erhalten wir die Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion y = 5 ln x– eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" - 5y" +6y = 0. Die Funktion ist die Lösung dieser Gleichung.

Wirklich, .

Wenn wir diese Ausdrücke in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: , – Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Integrieren von Differentialgleichungen ist der Prozess, Lösungen für Differentialgleichungen zu finden.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung eine Funktion der Form genannt , die so viele unabhängige beliebige Konstanten enthält, wie die Ordnung der Gleichung.

Teillösung der Differentialgleichung ist eine Lösung, die aus einer allgemeinen Lösung für verschiedene numerische Werte beliebiger Konstanten erhalten wird. Die Werte beliebiger Konstanten liegen bei bestimmten Anfangswerten des Arguments und der Funktion.

Der Graph einer bestimmten Lösung einer Differentialgleichung heißt Integralkurve.

Beispiele

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung erster Ordnung

xdx + ydy = 0, Wenn j= 4 bei X = 3.

Lösung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir

Kommentar. Eine durch Integration erhaltene beliebige Konstante C kann in jeder für weitere Transformationen geeigneten Form dargestellt werden. In diesem Fall ist es unter Berücksichtigung der kanonischen Kreisgleichung zweckmäßig, eine beliebige Konstante C in der Form darzustellen.

- allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Bestimmte Lösung der Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt j = 4 bei X = 3 ergibt sich aus der allgemeinen Lösung durch Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Wenn wir C=5 in die allgemeine Lösung einsetzen, erhalten wir x 2 +y 2 = 5 2 .

Dies ist eine spezielle Lösung einer Differentialgleichung, die aus einer allgemeinen Lösung unter gegebenen Anfangsbedingungen erhalten wird.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Funktion der Form, wobei C eine beliebige Konstante ist. Tatsächlich erhalten wir, wenn wir , in die Gleichungen einsetzen: , .

Folglich hat diese Differentialgleichung unendlich viele Lösungen, da für unterschiedliche Werte der Konstante C die Gleichheit unterschiedliche Lösungen der Gleichung bestimmt.

Durch direkte Substitution können Sie beispielsweise überprüfen, ob die Funktionen funktionieren sind Lösungen der Gleichung.

Ein Problem, bei dem Sie eine bestimmte Lösung für die Gleichung finden müssen y" = f(x,y) Erfüllung der Anfangsbedingung y(x 0) = y 0, wird Cauchy-Problem genannt.

Lösung der Gleichung y" = f(x,y), die Anfangsbedingung erfüllend, y(x 0) = y 0, wird als Lösung des Cauchy-Problems bezeichnet.

Die Lösung des Cauchy-Problems hat eine einfache geometrische Bedeutung. Tatsächlich, nach diesen Definitionen, um das Cauchy-Problem zu lösen y" = f(x,y) angesichts dessen y(x 0) = y 0 bedeutet, die Integralkurve der Gleichung zu finden y" = f(x,y) die durch einen gegebenen Punkt geht M 0 (x 0,y 0).

II. Differentialgleichungen erster Ordnung

2.1. Grundlegendes Konzept

Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form F(x,y,y") = 0.

Eine Differentialgleichung erster Ordnung umfasst die erste Ableitung und keine Ableitungen höherer Ordnung.

Die gleichung y" = f(x,y) heißt eine nach der Ableitung gelöste Gleichung erster Ordnung.

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Funktion der Form, die eine beliebige Konstante enthält.

Beispiel. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion.

Tatsächlich erhalten wir, wenn wir diese Gleichung durch ihren Wert ersetzen

also 3x=3x

Daher ist die Funktion eine allgemeine Lösung der Gleichung für jede Konstante C.

Finden Sie eine bestimmte Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt y(1)=1 Anfangsbedingungen ersetzen x = 1, y =1 In die allgemeine Lösung der Gleichung kommen wir von wo C=0.

Somit erhalten wir eine bestimmte Lösung aus der allgemeinen Lösung, indem wir den resultierenden Wert in diese Gleichung einsetzen C=0– private Lösung.

2.2. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen ist eine Gleichung der Form: y"=f(x)g(y) oder durch Differentiale, wo f(x) Und g(y)– spezifizierte Funktionen.

Für diejenigen j, für die die Gleichung y"=f(x)g(y) ist äquivalent zur Gleichung, in dem die Variable j ist nur auf der linken Seite vorhanden und die Variable x ist nur auf der rechten Seite vorhanden. Sie sagen: „In Gl. y"=f(x)g(y Trennen wir die Variablen.“

Gleichung des Formulars wird als Gleichung mit getrennten Variablen bezeichnet.

Integration beider Seiten der Gleichung Von X, wir bekommen G(y) = F(x) + C ist die allgemeine Lösung der Gleichung, wobei G(y) Und F(x)– einige Stammfunktionen jeweils von Funktionen und f(x), C Willkürliche Konstante.

Algorithmus zur Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung mit separierbaren Variablen

Beispiel 1

Löse die Gleichung y" = xy

Lösung. Ableitung einer Funktion y" Ersetzen Sie es durch

Trennen wir die Variablen

Integrieren wir beide Seiten der Gleichheit:

Beispiel 2

2yy" = 1- 3x 2, Wenn y 0 = 3 bei x 0 = 1

Dies ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Stellen wir es uns in Differentialen vor. Dazu schreiben wir diese Gleichung in der Form um Von hier

Wir finden, dass wir beide Seiten der letzten Gleichheit integrieren

Ersetzen der Anfangswerte x 0 = 1, y 0 = 3 wir werden finden MIT 9=1-1+C, d.h. C = 9.

Daher wird das erforderliche Teilintegral sein oder

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, die durch einen Punkt verläuft M(2;-3) und eine Tangente mit einem Winkelkoeffizienten haben

Lösung. Je nach Zustand

Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Durch Division der Variablen erhalten wir:

Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir:

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen x = 2 Und y = - 3 wir werden finden C:

Daher hat die erforderliche Gleichung die Form

2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form y" = f(x)y + g(x)

Wo f(x) Und g(x)- einige spezifizierte Funktionen.

Wenn g(x)=0 dann heißt die lineare Differentialgleichung homogen und hat die Form: y" = f(x)y

Wenn dann die Gleichung y" = f(x)y + g(x) heißt heterogen.

Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung y" = f(x)y wird durch die Formel gegeben: wo MIT- Willkürliche Konstante.

Insbesondere, wenn C = 0, dann ist die Lösung y = 0 Wenn eine lineare homogene Gleichung die Form hat y" = ky Wo k eine Konstante ist, dann hat ihre allgemeine Lösung die Form: .

Allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung y" = f(x)y + g(x) ergibt sich aus der Formel ,

diese. ist gleich der Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden linearen homogenen Gleichung und der besonderen Lösung dieser Gleichung.

Für eine lineare inhomogene Gleichung der Form y" = kx + b,

Wo k Und B- Einige Zahlen und eine bestimmte Lösung sind eine konstante Funktion. Daher hat die allgemeine Lösung die Form.

Beispiel. Löse die Gleichung y" + 2y +3 = 0

Lösung. Stellen wir die Gleichung im Formular dar y" = -2y - 3 Wo k = -2, b= -3 Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Formel.

Daher ist C eine beliebige Konstante.

2.4. Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung nach der Bernoulli-Methode

Finden einer allgemeinen Lösung für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y" = f(x)y + g(x) reduziert sich auf die Lösung zweier Differentialgleichungen mit getrennten Variablen mittels Substitution y=uv, Wo u Und v- unbekannte Funktionen von X. Diese Lösungsmethode wird Bernoulli-Methode genannt.

Algorithmus zur Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung

y" = f(x)y + g(x)

1. Geben Sie die Vertretung ein y=uv.

2. Differenzieren Sie diese Gleichheit y" = u"v + uv"

3. Ersatz j Und y" in diese Gleichung: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) oder u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Gruppieren Sie die Terme der Gleichung so u nimm es aus der Klammer:

5. Suchen Sie aus der Klammer, indem Sie sie mit Null gleichsetzen, die Funktion

Dies ist eine trennbare Gleichung:

Teilen wir die Variablen und erhalten:

Wo . .

6. Ersetzen Sie den resultierenden Wert v in die Gleichung ein (aus Schritt 4):

und finden Sie die Funktion Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen:

7. Schreiben Sie die allgemeine Lösung in das Formular: , d.h. .

Beispiel 1

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Gleichung y" = -2y +3 = 0 Wenn y =1 bei x = 0

Lösung. Lassen Sie es uns durch Substitution lösen y=uv,.y" = u"v + uv"

Ersetzen j Und y" in diese Gleichung erhalten wir

Indem wir den zweiten und dritten Term auf der linken Seite der Gleichung gruppieren, entfernen wir den gemeinsamen Faktor u außerhalb der Klammern

Wir setzen den Ausdruck in Klammern mit Null gleich und finden nach Lösung der resultierenden Gleichung die Funktion v = v(x)

Wir erhalten eine Gleichung mit getrennten Variablen. Integrieren wir beide Seiten dieser Gleichung: Finden Sie die Funktion v:

Ersetzen wir den resultierenden Wert v in die Gleichung erhalten wir:

Dies ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Integrieren wir beide Seiten der Gleichung: Finden wir die Funktion u = u(x,c) Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden: Finden wir eine bestimmte Lösung der Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt y = 1 bei x = 0:

III. Differentialgleichungen höherer Ordnung

3.1. Grundlegende Konzepte und Definitionen

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung, die Ableitungen nicht höherer als zweiter Ordnung enthält. Im allgemeinen Fall wird eine Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt geschrieben: F(x,y,y",y") = 0

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Funktion der Form, die zwei beliebige Konstanten enthält C 1 Und C 2.

Eine besondere Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Lösung, die aus einer allgemeinen Lösung für bestimmte Werte beliebiger Konstanten erhalten wird C 1 Und C 2.

3.2. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstante Koeffizienten.

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten wird als Gleichung der Form bezeichnet y" + py" +qy = 0, Wo P Und Q- konstante Werte.

Algorithmus zur Lösung homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

1. Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Form: y" + py" +qy = 0.

2. Erstellen Sie die charakteristische Gleichung und bezeichnen Sie sie y" durch r 2, y" durch R, j in 1: r 2 + pr +q = 0