Lineare Diff. Gleichungen n-ter Ordnung. Satz über die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung n-ter Ordnung

DifferentialgleichungN-te Ordnung.

Wenn die Gleichung nach der höchsten Ableitung lösbar ist, dann hat sie die Form (1). Eine Gleichung n-ter Ordnung kann auch als System von n Gleichungen erster Ordnung dargestellt werden.

(3)

Für eine Gleichung n-ter Ordnung sind die Bedingungen des Theorems über Existenz und Eindeutigkeit des Systems erfüllt, da (1)~(2)~(3).

Die einfachsten Fälle der Auftragsreduzierung.

Die Gleichung enthält nicht die erforderliche Funktion und deren Ableitung bis zur Ordnung k -1 inklusive , also

In diesem Fall kann die Bestellung auf reduziert werden
Ersatz. Wenn wir diese Gleichung ausdrücken, kann die Lösung y durch die k-fach integrierbare Funktion bestimmt werden P.

Beispiel.
.

Gleichung, die keine unbekannte Variable enthält

(5)

In diesem Fall kann die Reihenfolge durch Substitution um eins gesenkt werden.

Beispiel.
.

Linke Seite der Gleichung

(6)

ist die Ableitung eines Differentialausdrucks ( N -1)te Ordnung .
. Wenn
- Es existiert also eine Lösung der letzten Gleichung. Wir haben das erste Integral von Gleichung (6) erhalten und den Grad der Lösung der Gleichung um eins verringert.

Kommentar. Manchmal wird die linke Seite von (6) nur dann zur Ableitung einer Differentialgleichung (n-1)-ter Ordnung, wenn sie mit multipliziert wird
Daher können hier unnötige Lösungen auftauchen (umgekehrt). auf Null) oder wir verlieren möglicherweise die Lösung, wenn diskontinuierliche Funktion.

Beispiel.

Die gleichung

(7)

homogen relativ zu und seine Derivate .

Oder wo ist der Indikator?
wird aus den Bedingungen der Homogenität bestimmt.

Die Reihenfolge dieser Gleichung kann um eins verringert werden, indem Folgendes ersetzt wird: .

Wenn wir diese Beziehungen in (7) einsetzen und die Homogenität der Funktion berücksichtigen F , dann erhalten wir am Ende: .

Beispiel.
.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung,

eine Reduzierung der Ordnung ermöglichen.

Auswechslung
.

Wenn Gleichung (8) in Bezug auf die höchste Ableitung aufgelöst werden kann, dann ist Gl.
zweimal über die Variable integriert X.

Sie können einen Parameter einführen und Gleichung (8) durch seine parametrische Darstellung ersetzen:
. Verwendung der Beziehung für Differentiale:
, wir bekommen: und

II .
(9)

Verwenden wir die parametrische Darstellung:

III.
. (10)

Sie können die Reihenfolge verringern, indem Sie Folgendes ersetzen:
.

Wenn Gleichung (10) nach der höchsten Ableitung lösbar ist
, dann multiplizieren Sie die rechte und linke Seite mit
. Wir erhalten: Dies ist eine Gleichung mit separierbaren Variablen:
.

Gleichung (10) kann durch ihre parametrische Darstellung ersetzt werden: . Nutzen wir die Eigenschaften des Differentials:.

Beispiel.
.

Lineare DifferentialgleichungenN-te Ordnung.

Definition. Lineare Differentialgleichungen N -te Ordnung heißen Gleichungen der Form:
. (1)

Wenn die Chancen kontinuierlich für
, dann in der Nähe aller Anfangswerte der Form:, wo zum Intervall gehört, dann sind in der Nähe dieser Anfangswerte die Bedingungen erfüllt Existenz- und Einzigartigkeitssätze. Die Linearität und Homogenität der Gleichung (1) bleibt bei jeder Transformation erhalten
, Wo ist eine beliebige n-mal differenzierbare Funktion. Darüber hinaus
. Linearität und Homogenität bleiben erhalten, wenn die unbekannte Funktion linear und homogen transformiert wird.

Lassen Sie uns einen linearen Differentialoperator einführen: Dann kann (1) wie folgt geschrieben werden:
. Wronskis Determinante für
wird aussehen wie:

, Wo - linear unabhängige Lösungen der Gleichung (1).

Satz 1. Wenn linear unabhängige Funktionen
ist eine Lösung einer linearen homogenen Gleichung (1) mit stetiger
Koeffizienten
, dann die Wronski-Determinante
verschwindet an keinem Punkt des Segments
.

Satz 2. Die allgemeine Lösung der linearen homogenen Gleichung (1) mit kontinuierlicher
Koeffizienten
Es wird eine lineare Kombination von Lösungen geben , also
(2), wo
linear unabhängig vom Segment
private Lösungen (1).

(ähnlich bewiesen wie im Fall eines Systems linearer Differentialgleichungen)

Folge. Die maximale Anzahl ist linear unabhängige Entscheidungen(1) ist gleich seiner Ordnung.

Eine nicht-triviale Sonderlösung für Gleichung (1) kennen –
, können Sie eine Substitution vornehmen
und die Ordnung der Gleichung verringern, während ihre Linearität und Heterogenität erhalten bleiben. Normalerweise ist diese Substitution zweigeteilt. Da es sich um eine linear homogene Darstellung handelt, bleibt die Linearität und Homogenität von (1) erhalten, was bedeutet, dass (1) auf die Form reduziert werden muss. Die Entscheidung
aufgrund
entspricht der Lösung
, und deshalb
. Einen Ersatz gemacht haben
, erhalten wir eine Gleichung mit der Ordnung
.

Lemma. (3)

Zwei Gleichungen der Form (3) und (4), wobei Q i und P i stetige Funktionen sind, die ein gemeinsames fundamentales Lösungssystem haben, fallen zusammen, d.h. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Basierend auf dem Lemma können wir schließen, dass das fundamentale Lösungssystem y 1 y 2 …y n die lineare homogene Gleichung (3) vollständig bestimmt.

Finden wir die Form der Gleichung (3), die ein grundlegendes Lösungssystem y 1 y 2 …y n hat. Irgendeine Lösung j(X) Gleichung (3) hängt linear vom fundamentalen Lösungssystem ab, was bedeutet, dass W=0. Erweitern wir die Wronski-Determinante W über die letzte Spalte.

Gleichung (5) ist die gewünschte lineare Differentialgleichung mit dieses System grundlegende Entscheidungen. Wir können (5) durch W dividieren, weil er ist nicht gleich Null x. Dann:

(*)

Gemäß der Differenzierungsregel der Determinante ist die Ableitung der Determinante gleich der Summe von i=1,2...n Determinanten, deren i-te Zeile jeweils gleich der Ableitung der i- ist. Zeile der ursprünglichen Determinante. In dieser Summe sind alle Determinanten außer der letzten gleich Null (da sie zwei identische Geraden haben) und die letzte ist gleich (*). Somit erhalten wir:

, Dann:
(6)

(7)

Definition. Die Formeln (6) und (7) werden aufgerufen Ostrogradsky-Liouville-Formeln.

Wir verwenden (7), um eine lineare homogene Gleichung zweiter Ordnung zu integrieren. Und teilen Sie uns eine der Lösungen y 1 von Gleichung (8) mit.

Gemäß (7) muss jede Lösung (8) die folgende Beziehung erfüllen:

(9)

Lassen Sie uns die Methode des integrierenden Faktors verwenden.

Lineare homogene Gleichungen mit

konstante Koeffizienten.

Wenn in einer linearen homogenen Gleichung alle Koeffizienten konstant sind,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

dann können bestimmte Lösungen (1) definiert werden als: y=e kx, wobei k eine Konstante ist.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Definition. (3) - charakteristische Gleichung.

Die Art der Lösung (1) wird durch die Wurzeln der charakteristischen Gleichung (3) bestimmt.

1). Alle Wurzeln sind real und eindeutig , Dann:

2). Wenn alle Koeffizienten reell sind, können die Wurzeln komplex konjugiert sein .

k 1 =+i k 2 =-i

Dann haben die Lösungen die Form:

Nach dem Satz: Wenn ein Operator mit reellen Koeffizienten komplex konjugierte Lösungen hat, dann sind auch ihre Real- und Imaginärteile Lösungen. Dann:

Beispiel.

Lassen Sie uns die Lösung im Formular präsentieren
, dann hat die charakteristische Gleichung die Form:

erhalten wir zwei Lösungen:

dann ist die erforderliche Funktion:

3). Es gibt mehrere Wurzeln: k ich mit Vielfältigkeit  ich . In diesem Fall die Anzahl der unterschiedlichen Lösungen
wird kleiner sein, daher müssen Sie nach den fehlenden linear unabhängigen Lösungen in einer anderen Form suchen. Zum Beispiel:

Nachweisen:

Nehmen wir an, k i =0, wenn wir es in (3) einsetzen, erhalten wir Folgendes:

- besondere Lösungen (3).

Sei k i 0, machen wir den Ersatz
(6)

Setzt man (6) in (1) ein, erhält man bezüglich z eine lineare homogene Gleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (7).

Die Wurzeln (3) unterscheiden sich von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung (7) durch den Term k i .

(8)

Wenn k=k i , dann entspricht dieses k der Lösung von Gleichung (7) mit Wurzel p=0, d.h. entsprechen Lösungen der Form z=
, dann ist y= die Lösung von Gleichung (1). Und die allgemeine Lösung sieht so aus:

Lösung für k i



Eulers Gleichung.

Definition. Gleichung der Form:

a i sind konstante Koeffizienten, genannt Eulers Gleichung.

Die Euler-Gleichung wird durch Ersetzen von x=e t auf eine lineare homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten reduziert.

Sie können nach Lösungen in der Form y=x k suchen, dann haben sie die Form:

Lineare inhomogene Gleichungen.

Wenn a 0 (x)0, dann dividieren wir Gleichung (1) durch diesen Koeffizienten und erhalten:

Wenn i und f auf b stetig sind, dann hat (2) eine eindeutige Lösung, die die entsprechenden Anfangsbedingungen erfüllt. Wenn wir die höchsten Ableitungen von (2) explizit ausdrücken, erhalten wir eine Gleichung, deren rechte Seite den Existenz- und Eindeutigkeitssatz erfüllt. Da der Operator L linear ist, bedeutet dies, dass für (2) gilt:

1).
- Lösung (2), wenn - Lösung der inhomogenen Gleichung (2) und - Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung.

2). Wenn - Lösungen
, Das
Lösung der Gleichung
.

Eigenschaft 2 ist das Superpositionsprinzip, es gilt, wenn
, wenn die Serie
- konvergiert und gibt zu M-mehrfache Term-für-Term-Differenzierung.

3) Die Operatorgleichung sei gegeben
, wobei L ein Operator mit Koeffizienten ist , Alle - real. Auch die Funktionen U und V sind reell. Dann, wenn diese Gleichung eine Lösung hat
, dann wird die Lösung derselben Gleichung sowohl der Imaginär- als auch der Realteil sein:
Und
. Darüber hinaus entspricht jeder von ihnen der Lösung.

Satz. Allgemeine Lösung der inhomogenen GleichungN- um
auf dem Segment [A, B] vorausgesetzt, dass alle Koeffizienten
und rechte Seite
- stetige Funktionen, können als Summe der allgemeinen Lösung dargestellt werden, die einem homogenen System entspricht
und eine besondere Lösung für das Inhomogene -
.

Diese. Lösung
.

Wenn es nicht möglich ist, bestimmte Lösungen eines inhomogenen Systems explizit auszuwählen, können Sie die Methode verwenden Variationen der Konstante . Wir werden nach einer Lösung in der Form suchen:

(3)

Wo
Lösungen für ein homogenes System,
- unbekannte Funktionen.

Insgesamt unbekannte Funktionen
- N. Sie müssen die ursprüngliche Gleichung (2) erfüllen.

Wenn wir den Ausdruck y(x) in Gleichung (2) einsetzen, erhalten wir Bedingungen für die Bestimmung nur einer unbekannten Funktion. Um die verbleibenden (n-1)-Well-Funktionen zu bestimmen, ist eine weitere (n-1)-Zusatzbedingung erforderlich, die beliebig gewählt werden kann. Wählen wir sie so, dass die Lösung (2) - y(x) die gleiche Form hat wie wenn
waren Konstanten.

Weil
verhalten sich dann wie Konstanten
, was bedeutet
.

Das. wir erhalten die (n-1)-aber-Bedingung zusätzlich zu Gleichung (1). Wenn wir den Ausdruck für Ableitungen in Gleichung (1) einsetzen und alle erhaltenen Bedingungen sowie die Tatsache berücksichtigen, dass y i die Lösung des entsprechenden homogenen Systems ist, erhalten wir die letzte Bedingung für
.

Kommen wir zum System:

(3)

Die Determinante von System (3) ist (W) Wronskis Determinante, und weil y i sind also Lösungen eines homogenen Systems W0 auf .

Beispiel. Inhomogene Gleichung

, die entsprechende homogene Gleichung

Wir suchen nach einer Lösung im Formularj= e kx . Charakteristische Gleichungk 2 +1=0, d.h.k 1,2 =  ich

j= e ix = cos X + ich Sünde X, gemeinsame Entscheidung -

Verwenden wir die konstante Variationsmethode:

Bedingungen für
:

, was dem Schreiben entspricht:

Von hier:

N-te Ordnung

Satz. Wenn y 0- Lösung einer homogenen Gleichung L[y]=0, Jahr 1- Lösung der entsprechenden inhomogenen Gleichung L[y] = f(x), dann die Summe y 0 +y 1 ist die Lösung dieser inhomogenen Gleichung.

Die Struktur der allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung wird durch den folgenden Satz bestimmt.

Satz. Wenn Y- besondere Lösung der Gleichung L[y] = f(x) mit kontinuierlichen Koeffizienten, - allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung L[y] = 0, dann wird die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Gleichung durch die Formel bestimmt

Kommentar. Um die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung aufzuschreiben, ist es notwendig, eine bestimmte Lösung dieser Gleichung und eine allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung zu finden.

Lineare inhomogene Gleichungen N

Betrachten Sie die lineare inhomogene Gleichung N-te Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Wo eine 1, eine 2, …, ein- reale Nummern. Schreiben wir die entsprechende homogene Gleichung

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung wird durch die Formel bestimmt

Allgemeine Lösung einer homogenen Gleichung y 0 Wir können eine bestimmte Lösung finden Y kann gefunden werden von unsichere Koeffizienten in folgenden einfachen Fällen:

Im allgemeinen Fall wird die Methode der Variation beliebiger Konstanten verwendet.

Methode zur Variation beliebiger Konstanten

Betrachten Sie die lineare inhomogene Gleichung N-te Ordnung mit variablen Koeffizienten

Wenn sich herausstellt, dass es schwierig ist, eine bestimmte Lösung für diese Gleichung zu finden, aber die allgemeine Lösung für die entsprechende homogene Gleichung bekannt ist, kann die allgemeine Lösung für die inhomogene Gleichung gefunden werden Methode zur Variation beliebiger Konstanten.

Lassen Sie die entsprechende homogene Gleichung

hat eine allgemeine Lösung

Wir werden nach einer allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung in der Form suchen

Wo y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x) sind linear unabhängige Lösungen einer homogenen Gleichung, die in ihrer allgemeinen Lösung enthalten sind, und C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- unbekannte Funktionen. Um diese Funktionen zu finden, unterwerfen wir sie einigen Bedingungen.

Finden wir die Ableitung

Wir verlangen, dass die Summe in der zweiten Klammer gleich Null ist

Finden wir die zweite Ableitung

und das werden wir fordern

Wenn wir einen ähnlichen Prozess fortsetzen, erhalten wir

In diesem Fall kann man nicht verlangen, dass die Summe in der zweiten Klammer verschwindet, da die Funktionen C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) bereits untergeordnet n-1 Bedingungen, aber Sie müssen immer noch die ursprüngliche inhomogene Gleichung erfüllen.

Lineare Differentialsysteme Gleichungen.

Das System der Differentialgleichungen heißt linear, wenn es bezüglich unbekannter Funktionen und ihrer Ableitungen linear ist. System N-lineare Gleichungen 1. Ordnung werden in der Form geschrieben:

Die Systemkoeffizienten sind konstant.

Es ist praktisch, dieses System in Matrixform zu schreiben: ,

wobei ein Spaltenvektor unbekannter Funktionen abhängig von einem Argument ist.

Spaltenvektor der Ableitungen dieser Funktionen.

Spaltenvektor freier Mitglieder.

Koeffizientenmatrix.

Satz 1: Wenn alle Matrixkoeffizienten A sind in einem bestimmten Intervall und dann in einer bestimmten Umgebung jedes m kontinuierlich. Die TS&E-Bedingungen sind erfüllt. Folglich verläuft durch jeden dieser Punkte eine einzelne Integralkurve.

Tatsächlich sind in diesem Fall die rechten Seiten des Systems in Bezug auf die Menge der Argumente stetig und ihre partiellen Ableitungen in Bezug auf (gleich den Koeffizienten der Matrix A) sind aufgrund der Stetigkeit auf einem geschlossenen Intervall begrenzt.

Methoden zur Lösung von SLDs

1. Ein System von Differentialgleichungen kann durch Eliminierung der Unbekannten auf eine Gleichung reduziert werden.

Beispiel: Lösen Sie das Gleichungssystem: (1)

Lösung: ausschließen z aus diesen Gleichungen. Aus der ersten Gleichung ergibt sich . Einsetzen in die zweite Gleichung: nach der Vereinfachung erhalten wir: .

Dieses Gleichungssystem (1) auf eine einzige Gleichung zweiter Ordnung reduziert. Nach dem Finden aus dieser Gleichung j, sollte gefunden werden z, unter Verwendung von Gleichheit.

2. Wenn man ein Gleichungssystem durch Eliminieren von Unbekannten löst, erhält man normalerweise eine Gleichung mehr hoher Auftrag Daher ist es in vielen Fällen bequemer, das System durch Finden zu lösen Integrierte Kombinationen.

Fortsetzung 27b

Beispiel: Lösen Sie das System

Lösung:

Lösen wir dieses System mit der Euler-Methode. Schreiben wir die Determinante für die Ermittlung des Merkmals auf

Gleichung: , (da das System homogen ist, muss diese Determinante gleich Null sein, damit es eine nicht triviale Lösung hat). Wir erhalten eine charakteristische Gleichung und finden ihre Wurzeln:

Die allgemeine Lösung lautet: ;

- Eigenvektor.

Wir schreiben die Lösung auf für: ;

- Eigenvektor.

Wir schreiben die Lösung auf für: ;

Wir erhalten die allgemeine Lösung: .

Lass uns das Prüfen:

Finden wir : und setzen wir es in die erste Gleichung dieses Systems ein, d. h. .

Wir bekommen:

- wahre Gleichheit.

Lineare Diff. Gleichungen n-ter Ordnung. Satz über allgemeine Entscheidung heterogen Lineargleichung n-te Ordnung.

Eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung ist eine Gleichung der Form: (1)

Wenn diese Gleichung einen Koeffizienten hat, erhalten wir durch Division durch diesen die Gleichung: (2) .

Normalerweise Gleichungen des Typs (2). Nehmen wir an, dass in ur-i (2) alle Chancen, sowie f(x) kontinuierlich in einem bestimmten Intervall (a,b). Dann gilt laut TS&E die Gleichung (2) Es hat einzige Entscheidung, die die Anfangsbedingungen erfüllen: , , …, mit . Hier - jeder Punkt aus dem Intervall (a,b), und alles - beliebige Zahlen. Die gleichung (2) erfüllt TC&E , deshalb nicht Sonderlösungen.

Def.: speziell die Punkte sind diejenigen, an denen =0.

Eigenschaften einer linearen Gleichung:

Eine lineare Gleichung bleibt linear, unabhängig davon, wie die unabhängige Variable geändert wird.
Eine lineare Gleichung bleibt dies für jede lineare Änderung der gewünschten Funktion.

Def: wenn in der Gleichung (2) setzen f(x)=0, dann erhalten wir eine Gleichung der Form: (3) , Was heisst homogene Gleichung relativ zur inhomogenen Gleichung (2).

Lassen Sie uns den linearen Differentialoperator einführen: (4). Mit diesem Operator können Sie es umschreiben Kurzform Gleichungen (2) Und (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4) hat die folgenden einfachen Eigenschaften:

Aus diesen beiden Eigenschaften lässt sich eine Folgerung ableiten: .

Funktion y=y(x) ist eine Lösung der inhomogenen Gleichung (2), Wenn L(y(x))=f(x), Dann f(x) nannte man die Lösung der Gleichung. Also die Lösung der Gleichung (3) die Funktion aufgerufen y(x), Wenn L(y(x))=0 in den betrachteten Intervallen.

In Betracht ziehen inhomogene lineare Gleichung: , L(y)=f(x).

Angenommen, wir haben auf irgendeine Weise eine bestimmte Lösung gefunden.

Lassen Sie uns eine neue unbekannte Funktion einführen z nach der Formel: , wo ist eine bestimmte Lösung.

Setzen wir es in die Gleichung ein: , öffnen Sie die Klammern und erhalten Sie: .

Die resultierende Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden:

Da es sich um eine bestimmte Lösung der ursprünglichen Gleichung handelt, dann , dann .

Somit haben wir eine homogene Gleichung bezüglich erhalten z. Die allgemeine Lösung dieser homogenen Gleichung ist eine Linearkombination: , wobei die Funktionen das grundlegende Lösungssystem der homogenen Gleichung bilden. Ersetzen z in die Ersatzformel erhalten wir: (*) für Funktion j– unbekannte Funktion der ursprünglichen Gleichung. Alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind in (*) enthalten.

Somit ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Linie. Gleichung wird als Summe einer allgemeinen Lösung einer homogenen linearen Gleichung und einer bestimmten Lösung einer inhomogenen Gleichung dargestellt.

(Fortsetzung auf der anderen Seite)

30. Satz der Existenz und Einzigartigkeit der Lösung des Differentials. Gleichungen

Satz: Wenn die rechte Seite der Gleichung im Rechteck stetig ist und begrenzt ist und auch die Lipschitz-Bedingung erfüllt: , N=const, dann gibt es eine eindeutige Lösung, die die Anfangsbedingungen erfüllt und auf dem Segment definiert ist , Wo .

Nachweisen:

Betrachten Sie den gesamten metrischen Raum MIT, deren Punkte alle möglichen stetigen Funktionen y(x) sind, die auf dem Intervall definiert sind , deren Graphen innerhalb des Rechtecks liegen und deren Abstand durch die Gleichheit bestimmt wird: . Dieser Raum wird häufig in der mathematischen Analyse verwendet und heißt Raum gleichmäßiger Konvergenz, da die Konvergenz in der Metrik dieses Raums gleichmäßig ist.

Ersetzen wir das Differential. Gleichung mit Daten Anfangsbedingungen zu einer äquivalenten Integralgleichung: und berücksichtigen Sie den Operator A(y), gleich der rechten Seite dieser Gleichung: . Dieser Operator passt zu jedem kontinuierliche Funktion

Mit der Lipschitzschen Ungleichung können wir schreiben, dass der Abstand . Wählen wir nun eine aus, für die die folgende Ungleichung gelten würde: .

Das solltest du dann so wählen. Damit haben wir das gezeigt.

Nach dem Prinzip der Kontraktionsabbildungen gibt es einen einzelnen Punkt oder, was dasselbe ist, eine einzelne Funktion – eine Lösung einer Differentialgleichung, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt.