Gleichungen höherer Ordnung, die der Reihe nach reduziert werden können. Methoden zur Reduzierung der Ordnung einer Gleichung

Daher besteht ein natürlicher Wunsch, eine Gleichung höherer Ordnung als die erste auf eine Gleichung niedrigerer Ordnung zu reduzieren. In einigen Fällen ist dies möglich. Schauen wir sie uns an.

1. Gleichungen der Form y (n) =f(x) werden durch sequentielle Integration n-mal gelöst
, ,… .
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung xy""=1. Wir können daher schreiben: y"=ln|x| + C 1 und durch erneute Integration erhalten wir schließlich y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. In Gleichungen der Form F(x,y (k),y (k +1) ,..,y (n))=0 (das heißt, sie enthalten nicht explizit eine unbekannte Funktion und einige ihrer Ableitungen), die Ordnung wird durch Änderung der Variablen y (k) = z(x) reduziert. Dann ist y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) und wir erhalten die Gleichung F(x,z,z",..,z (n - k)) Ordnung n-k. Seine Lösung ist die Funktion z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) oder wenn wir uns daran erinnern, was z ist, erhalten wir die Gleichung y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) im Fall von Typ 1 berücksichtigt.
Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung x 2 y"" = (y") 2. Ersetzen Sie y"=z(x) . Dann ist y""=z"(x). Wenn wir es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir x 2 z"=z 2. Wenn wir die Variablen trennen, erhalten wir . Wir integrieren , oder, was dasselbe ist, . Die letzte Relation wird in der Form geschrieben, von wo aus. Integration bekommen wir endlich
Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung x 3 y"" +x 2 y"=1. Wir nehmen eine Variablenänderung vor: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Wir nehmen eine Variablenänderung vor: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 oder u"x 2 -xu+xu=1 oder u"x^2=1. Von: u"=1/x 2 oder du/ dx=1/x 2 oder u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Da z=u/x, dann ist z = -1/x 2 +c 1 /x. Da y"=z, dann ist dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Antwort: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Die nächste Gleichung, die der Reihe nach reduziert werden kann, ist eine Gleichung der Form F(y,y",y"",…,y (n))=0, die nicht explizit eine unabhängige Variable enthält. Die Reihenfolge von Die Gleichung wird reduziert, indem die Variable y" =p(y) ersetzt wird, wobei p die neue gewünschte Funktion in Abhängigkeit von y ist. Dann
= und so weiter. Durch Induktion gilt y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung verringern wir deren Ordnung um eins.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung (y") 2 +2yy""=0. Wir führen die Standardersetzung y"=p(y) durch, dann ist y″=p′·p. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir Wenn wir die Variablen trennen, gilt für p≠0. Durch Integrieren erhalten wir oder, was dasselbe ist, . Dann oder. Wenn wir die letzte Gleichung integrieren, erhalten wir schließlich Bei der Trennung von Variablen könnten wir die Lösung y=C verlieren, die wir für p=0 erhalten, oder, was dasselbe ist, für y"=0, aber sie ist in der oben erhaltenen Lösung enthalten.

4. Manchmal ist es möglich, eine Funktion zu bemerken, die es Ihnen ermöglicht, die Ordnung der Gleichung auf andere Weise als die oben besprochenen zu verringern. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen zeigen.

Beispiele.
1. Wenn beide Seiten der Gleichung yy"""=y′y″ durch yy″ dividiert werden, erhalten wir eine Gleichung, die als (lny″)′=(lny)′ umgeschrieben werden kann. Aus der letzten Beziehung folgt Folgendes lny″=lny +lnC, oder, was dasselbe ist, y″=Cy... Das Ergebnis ist eine um eine Größenordnung niedrigere Gleichung und von der zuvor diskutierten Art.
2. Ebenso gilt für die Gleichung yy″=y′(y′+1) oder (ln(y“+1))“ = (lny)“. Aus der letzten Beziehung folgt, dass ln(y“+ 1) = lny + lnC 1, oder y"=C 1 y-1. Wenn wir die Variablen trennen und integrieren, erhalten wir ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Entscheiden Gleichungen, die der Reihe nach reduziert werden könnenüber einen speziellen Service möglich

Die Differentialgleichung 2. Ordnung hat die Form:

Die allgemeine Lösung der Gleichung ist eine Familie von Funktionen, die von zwei beliebigen Konstanten und: (oder - dem allgemeinen Integral) abhängig sind Differentialgleichung 2. Ordnung). Das Cauchy-Problem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung (1.1) besteht darin, eine bestimmte Lösung der Gleichung zu finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt: für: , . Es ist zu beachten, dass sich die Lösungsgraphen einer Gleichung 2. Ordnung im Gegensatz zu den Lösungsgraphen einer Gleichung 1. Ordnung überschneiden können. Allerdings ist die Lösung des Cauchy-Problems für Gleichungen zweiter Ordnung (1.1) unter relativ breiten Annahmen für die in der Gleichung enthaltenen Funktionen eindeutig, d. h. zwei beliebige Lösungen mit einer gemeinsamen Anfangsbedingung fallen im Schnittpunkt der Definitionsintervalle zusammen.

Es ist nicht immer möglich, eine allgemeine Lösung zu erhalten oder das Cauchy-Problem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung analytisch zu lösen. In einigen Fällen ist es jedoch möglich, die Ordnung der Gleichung durch die Einführung verschiedener Substitutionen zu verringern. Schauen wir uns diese Fälle an.

1. Gleichungen, die nicht explizit eine unabhängige Variable enthalten.

Die Differentialgleichung 2. Ordnung soll die Form haben: , d.h. In Gleichung (1.1) gibt es offensichtlich keine unabhängige Variable. Dies ermöglicht es uns, es als neues Argument und die Ableitung 1. Ordnung als neue Funktion zu verwenden. Dann.

Somit wurde eine Gleichung 2. Ordnung für eine Funktion, die nicht explizit enthalten ist, auf eine Gleichung 1. Ordnung für eine Funktion reduziert. Durch die Integration dieser Gleichung erhalten wir das allgemeine Integral oder, und dies ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung für die Funktion. Wenn wir es lösen, erhalten wir das allgemeine Integral der ursprünglichen Differentialgleichung, abhängig von zwei willkürlichen Konstanten: .

Beispiel 1. Lösen Sie eine Differentialgleichung für gegebene Anfangsbedingungen: , .

Da es in der ursprünglichen Gleichung kein explizites Argument gibt, nehmen wir a als neue unabhängige Variable und - as. Dann lautet die Gleichung nächste Ansicht für Funktion: .

Dies ist eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen: . Wo folgt es, d.h. .

Da für und dann die Anfangsbedingungen in die letzte Gleichheit eingesetzt werden, erhalten wir das und, was äquivalent ist. Als Ergebnis haben wir für die Funktion eine Gleichung mit trennbaren Variablen, deren Lösung wir erhalten. Unter Verwendung der Anfangsbedingungen erhalten wir das. Folglich hat das Teilintegral der Gleichung, das die Anfangsbedingungen erfüllt, die Form: .

2. Gleichungen, die die gewünschte Funktion nicht explizit enthalten.

Die Differentialgleichung 2. Ordnung soll die Form haben: , d.h. Die Gleichung enthält offensichtlich nicht die gewünschte Funktion. In diesem Fall wird eine Anweisung eingeführt. Dann wird die Gleichung 2. Ordnung für die Funktion in eine Gleichung 1. Ordnung für die Funktion umgewandelt. Nach der Integration erhalten wir eine Differentialgleichung 1. Ordnung für die Funktion: . Wenn wir die letzte Gleichung lösen, erhalten wir das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung, abhängig von zwei willkürlichen Konstanten: .

Eine der Methoden zur Integration von DEs höherer Ordnung ist die Ordnungsreduktionsmethode. Der Kern der Methode besteht darin, dass durch Ersetzen einer Variablen (Substitution) diese DE auf eine Gleichung niedrigerer Ordnung reduziert wird.

Betrachten wir drei Arten von Gleichungen, die eine Reduktion der Ordnung ermöglichen.

I. Die Gleichung sei gegeben

Die Ordnung kann gesenkt werden, indem eine neue Funktion p(x) eingeführt wird, indem y " =p(x) gesetzt wird. Dann y "" =p " (x) und wir erhalten ein DE erster Ordnung: p " =ƒ(x). Nachdem wir es gelöst haben, d.h. nachdem wir die Funktion p = p (x) gefunden haben, lösen wir die Gleichung y " = p (x). Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden gegebene Gleichung (3.6).

In der Praxis verhalten sie sich anders: Die Ordnung wird direkt durch sequentielle Integration der Gleichung reduziert.

Als Gleichung (3.6) kann in der Form dy " =ƒ(x) dx geschrieben werden. Wenn wir dann die Gleichung y "" =ƒ(x) integrieren, erhalten wir: y " = oder y " =j1 (x) + с 1 . Wenn wir die resultierende Gleichung weiter in x integrieren, finden wir: - die allgemeine Lösung dieser Gleichung. Wenn die Gleichung gegeben ist dann finden wir nach n-maliger Integration die allgemeine Lösung der Gleichung:

Beispiel 3.1. Löse die Gleichung

Lösung: Wenn wir diese Gleichung viermal konsequent integrieren, erhalten wir

Die Gleichung sei gegeben

Bezeichnen wir y " =ð, wobei ð=ð(х) eine neue unbekannte Funktion ist. Dann y "" =p " und Gleichung (3.7) nimmt die Form p " =ƒ(Ç;ð) an. Sei ð=j (х;с 1) ist die allgemeine Lösung des resultierenden DE erster Ordnung. Ersetzen wir die Funktion p durch y ", erhalten wir das DE: y " = j(x;c 1). Es hat die Form (3.6). Um y zu finden, genügt es, die letzte Gleichung zu integrieren. Die allgemeine Lösung der Gleichung ( 3.7) hat die Form

Ein Sonderfall der Gleichung (3.7) ist die Gleichung

die auch nicht explizit die gewünschte Funktion enthält, kann ihre Ordnung um k Einheiten verringert werden, indem y (k) = p (x) gesetzt wird. Dann ist y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) und Gleichung (3.9) nimmt die Form F(x;p;p " ;... ;p (n-κ) an ) )=0. Ein Sonderfall der Gleichung (3.9) ist die Gleichung

Mit der Ersetzung y (n-1) =p(x), y (n) =p " wird diese Gleichung auf ein DE erster Ordnung reduziert.

Beispiel 3.2. Löse die Gleichung

Lösung: Wir nehmen y"=p an, wobei Dann Dies ist eine trennbare Gleichung: Wenn wir integrieren, erhalten wir. Zurück zur ursprünglichen Variablen erhalten wir y"=c 1 x,

- allgemeine Lösung der Gleichung.

III. Betrachten Sie die Gleichung

die die unabhängige Variable x nicht explizit enthält.

Um die Ordnung der Gleichung zu reduzieren, führen wir abhängig von der Variablen y eine neue Funktion p=p(y) ein und setzen y"=p. Wir differenzieren diese Gleichheit nach x und berücksichtigen dabei, dass p =p(y (X)):

d.h. Nun wird Gleichung (3.10) in die Form geschrieben

Sei p=j(y;c 1). allgemeine Entscheidung dieser ersten Ordnung DE. Wenn wir die Funktion p(y) durch y" ersetzen, erhalten wir y"=j(y;c 1) - DE mit separierbaren Variablen. Durch die Integration finden wir das allgemeine Integral der Gleichung (3.10):

Ein Sonderfall der Gleichung (3.10) ist die Differentialgleichung

Diese Gleichung kann mit einer ähnlichen Substitution gelöst werden: y " =p(y),

Dasselbe machen wir, wenn wir die Gleichung F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0 lösen. Ihre Ordnung kann um eins verringert werden, indem y"=p gesetzt wird, wobei p=p(y ). Unter Verwendung der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion finden wir. Dann finden wir

p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, oder p=c 1 ey+y. Wenn wir p durch y "ersetzen, erhalten wir: y"=c 1 -e y +y. Wenn wir y"=2 und y=2 in diese Gleichung einsetzen, finden wir mit 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

Wir haben y"=y. Daher ist y=c 2 e x. Finden Sie c 2 aus Anfangsbedingungen: 2=с 2 e°, с 2 =2. Somit ist y=2e x eine besondere Lösung hierfür