Online-Rechner. Gleichung einer geraden Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Tangentengleichung und Normalgleichung an den Graphen einer Funktion

Gegeben sei eine Funktion f, die irgendwann x 0 eine endliche Ableitung f (x 0) hat. Dann wird die durch den Punkt (x 0 ; f (x 0)) verlaufende Gerade mit einem Winkelkoeffizienten f ’(x 0) Tangente genannt.

Was passiert, wenn die Ableitung am Punkt x 0 nicht existiert? Es gibt zwei Möglichkeiten:

Es gibt auch keine Tangente an den Graphen. Ein klassisches Beispiel ist die Funktion y = |x | am Punkt (0; 0).
Die Tangente wird vertikal. Dies gilt beispielsweise für die Funktion y = arcsin x im Punkt (1; π /2).

Tangentengleichung

Jede nicht vertikale gerade Linie wird durch eine Gleichung der Form y = kx + b gegeben, wobei k die Steigung ist. Der Tangens ist keine Ausnahme, und um seine Gleichung an einem Punkt x 0 zu erstellen, reicht es aus, den Wert der Funktion und der Ableitung an diesem Punkt zu kennen.

Es sei also eine Funktion y = f (x) gegeben, die eine Ableitung y = f ’(x) auf dem Segment hat. Dann kann an jedem Punkt x 0 ∈ (a ; b) eine Tangente an den Graphen dieser Funktion gezogen werden, der durch die Gleichung gegeben ist:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Hier ist f ’(x 0) der Wert der Ableitung am Punkt x 0 und f (x 0) der Wert der Funktion selbst.

Aufgabe. Gegeben sei die Funktion y = x 3 . Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen dieser Funktion am Punkt x 0 = 2.

Tangentengleichung: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Der Punkt x 0 = 2 ist uns gegeben, aber die Werte f (x 0) und f ’(x 0) müssen berechnet werden.

Lassen Sie uns zunächst den Wert der Funktion ermitteln. Hier ist alles einfach: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Finden wir nun die Ableitung: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Wir setzen x 0 = 2 in die Ableitung ein: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Insgesamt erhalten wir: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dies ist die Tangentengleichung.

Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = 2sin x + 5 am Punkt x 0 = π /2.

Dieses Mal werden wir nicht jede Aktion im Detail beschreiben, sondern nur die wichtigsten Schritte angeben. Wir haben:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentengleichung:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Im letzteren Fall stellte sich heraus, dass die Gerade horizontal war, weil sein Winkelkoeffizient k = 0. Daran ist nichts auszusetzen – wir sind gerade auf einen Extrempunkt gestoßen.

Zeigt den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Art der Monotonie der Funktion.

Bitte seien Sie bei den folgenden Punkten äußerst vorsichtig. Schauen Sie, der Zeitplan dessen, WAS Ihnen gegeben wird! Funktion oder ihre Ableitung

Wenn ein Diagramm der Ableitung gegeben ist, dann interessieren uns nur die Funktionszeichen und Nullstellen. An irgendwelchen „Hügeln“ oder „Senken“ sind wir grundsätzlich nicht interessiert!

Aufgabe 1.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.

Lösung:

In der Abbildung sind die Bereiche abnehmender Funktion farblich hervorgehoben:

Diese abnehmenden Bereiche der Funktion enthalten 4 ganzzahlige Werte.

Aufgabe 2.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Lösung:

Sobald die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden (oder, was dasselbe ist) ist (oder mit ihr zusammenfällt), hat Neigung , gleich Null, dann hat die Tangente auch einen Winkelkoeffizienten.

Dies bedeutet wiederum, dass die Tangente parallel zur Achse verläuft, da die Steigung der Tangens des Neigungswinkels der Tangente zur Achse ist.

Daher finden wir Extrempunkte (Maximum- und Minimumpunkte) im Diagramm – an diesen Punkten verlaufen die tangentialen Funktionen zum Diagramm parallel zur Achse.

Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 3.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Lösung:

Da die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden mit Steigung ist (oder mit dieser übereinstimmt), hat auch die Tangente eine Steigung.

Das bedeutet wiederum, dass an den Berührungspunkten.

Daher schauen wir uns an, wie viele Punkte im Diagramm eine Ordinate haben, die gleich ist.

Wie Sie sehen, gibt es vier solcher Punkte.

Aufgabe 4.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist.

Lösung:

An Extrempunkten ist die Ableitung gleich Null. Wir haben 4 davon:

Aufgabe 5.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion und elf Punkte auf der x-Achse:. An wie vielen dieser Punkte ist die Ableitung der Funktion negativ?

Lösung:

Auf Intervallen mit abnehmender Funktion erfolgt die Ableitung negative Werte. Und die Funktion nimmt punktuell ab. Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 6.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion.

Lösung:

Extremumpunkte– Dies sind die Höchstpunkte (-3, -1, 1) und Mindestpunkte (-2, 0, 3).

Summe der Extrempunkte: -3-1+1-2+0+3=-2.

Aufgabe 7.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Lösung:

Die Abbildung hebt die Intervalle hervor, in denen die Ableitung der Funktion nicht negativ ist.

Auf dem kleinen ansteigenden Intervall gibt es keine ganzzahligen Punkte; auf dem ansteigenden Intervall gibt es vier ganzzahlige Werte: , , und .

Ihre Summe:

Aufgabe 8.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lösung:

In der Abbildung sind alle Intervalle, in denen die Ableitung positiv ist, farblich hervorgehoben, was bedeutet, dass die Funktion selbst in diesen Intervallen zunimmt.

Die Länge des größten von ihnen beträgt 6.

Aufgabe 9.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. An welchem Punkt des Segments nimmt es den größten Wert an?

Lösung:

Sehen wir uns an, wie sich der Graph auf dem Segment verhält, was uns interessiert nur das Vorzeichen der Ableitung .

Das Vorzeichen der Ableitung ist negativ, da der Graph auf diesem Segment unterhalb der Achse liegt.

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer und Ihrer Adresse Email usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, mit Ihnen in Kontakt zu treten und Sie darüber zu informieren einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen sowie bevorstehende Veranstaltungen.
Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

Bei Bedarf – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, dem Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden auf dem Territorium der Russischen Föderation - Ihre persönlichen Daten offenlegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Im gegenwärtigen Entwicklungsstadium der Bildung besteht eine ihrer Hauptaufgaben in der Bildung kreativer Fähigkeiten denkende Persönlichkeit. Die Kreativitätsfähigkeit der Studierenden kann nur dann entwickelt werden, wenn sie sich systematisch für das Wesentliche begeistern Forschungstätigkeit. Die Grundlage dafür, dass die Studierenden ihre kreativen Kräfte, Fähigkeiten und Talente nutzen können, ist die Ausbildung umfassender Kenntnisse und Fähigkeiten. In diesem Zusammenhang ist das Problem der Bildung eines Systems grundlegender Kenntnisse und Fähigkeiten für jedes Thema des schulischen Mathematikunterrichts von nicht geringer Bedeutung. Dabei sollte die Vermittlung vollwertiger Kompetenzen nicht das didaktische Ziel einzelner Aufgaben, sondern eines durchdachten Systems davon sein. Im weitesten Sinne wird ein System als eine Menge miteinander verbundener, interagierender Elemente verstanden, die Integrität und eine stabile Struktur aufweisen.

Betrachten wir eine Technik, mit der Schüler lernen können, eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu schreiben. Im Wesentlichen beruhen alle Probleme beim Finden der Tangentengleichung auf der Notwendigkeit, aus einer Menge (Bündel, Familie) von Geraden diejenigen auszuwählen, die eine bestimmte Anforderung erfüllen – sie sind tangential zum Graphen einer bestimmten Funktion. In diesem Fall kann die Menge der Zeilen, aus denen ausgewählt wird, auf zwei Arten angegeben werden:

a) ein Punkt, der auf der xOy-Ebene liegt (zentrales Linienbündel);
b) Winkelkoeffizient (paralleler Strahl gerader Linien).

In diesem Zusammenhang haben wir bei der Untersuchung des Themas „Tangente an den Graphen einer Funktion“ zur Isolierung der Elemente des Systems zwei Arten von Problemen identifiziert:

1) Probleme an einer Tangente, die durch den Punkt gegeben ist, durch den sie verläuft;
2) Probleme an einer Tangente, die durch ihre Steigung gegeben ist.

Das Training zur Lösung von Tangentenproblemen wurde mit dem von A.G. vorgeschlagenen Algorithmus durchgeführt. Mordkowitsch. Sein grundlegender Unterschied Von den bereits bekannten ist, dass die Abszisse des Tangentialpunktes mit dem Buchstaben a (anstelle von x0) bezeichnet wird und daher die Tangentengleichung die Form annimmt

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(vergleiche mit y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Diese methodische Technik ermöglicht es den Schülern unserer Meinung nach, schnell und einfach zu verstehen, wo die Koordinaten des aktuellen Punktes eingeschrieben sind die allgemeine Tangentengleichung und wo liegen die Berührungspunkte?

Algorithmus zum Zusammenstellen der Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f(x)

1. Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben a.
2. Finden Sie f(a).
3. Finden Sie f "(x) und f "(a).
4. Ersetzen Sie die gefundenen Zahlen ein, f(ein), f "(ein) in allgemeine Gleichung Tangente y = f(a) = f "(a)(x – a).

Dieser Algorithmus kann auf der Grundlage der unabhängigen Identifizierung von Operationen durch die Studierenden und der Reihenfolge ihrer Implementierung erstellt werden.

Die Praxis hat gezeigt, dass Sie durch die sequentielle Lösung jedes der Schlüsselprobleme mithilfe eines Algorithmus die Fähigkeit entwickeln können, die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion schrittweise zu schreiben, und die Schritte des Algorithmus als Bezugspunkte für Aktionen dienen . Dieser Ansatz entspricht der von P.Ya. entwickelten Theorie der allmählichen Bildung geistiger Handlungen. Galperin und N.F. Talyzina.

Im ersten Aufgabentyp wurden zwei Schlüsselaufgaben identifiziert:

die Tangente verläuft durch einen auf der Kurve liegenden Punkt (Aufgabe 1);
die Tangente geht durch einen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt (Aufgabe 2).

Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen am Punkt M(3; – 2).

Lösung. Punkt M(3; – 2) ist ein Tangentenpunkt, da

1. a = 3 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – Tangensgleichung.

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = – x 2 – 4x + 2, die durch den Punkt M(– 3; 6) verläuft.

Lösung. Punkt M(– 3; 6) ist kein Tangentenpunkt, da f(– 3) 6 (Abb. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – Tangentengleichung.

Die Tangente verläuft durch den Punkt M(– 3; 6), daher erfüllen seine Koordinaten die Tangentengleichung.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Wenn a = – 4, dann lautet die Tangentengleichung y = 4x + 18.

Wenn a = – 2, dann hat die Tangentengleichung die Form y = 6.

Beim zweiten Typ sind die Hauptaufgaben folgende:

die Tangente verläuft parallel zu einer Geraden (Aufgabe 3);
die Tangente verläuft in einem bestimmten Winkel zur gegebenen Geraden (Aufgabe 4).

Aufgabe 3. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel zur Geraden y = 9x + 1.

1. a – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Aber andererseits ist f "(a) = 9 (Parallelitätsbedingung). Das bedeutet, dass wir die Gleichung 3a 2 – 6a = 9 lösen müssen. Ihre Wurzeln sind a = – 1, a = 3 (Abb. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – Tangentengleichung;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – Tangentengleichung.

Aufgabe 4. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = 0,5x 2 – 3x + 1, die in einem Winkel von 45° zur Geraden y = 0 verläuft (Abb. 4).

Lösung. Aus der Bedingung f "(a) = tan 45° ergibt sich a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – Tangentengleichung.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Lösung jedes anderen Problems darin besteht, ein oder mehrere Schlüsselprobleme zu lösen. Betrachten Sie als Beispiel die folgenden zwei Probleme.

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten an die Parabel y = 2x 2 – 5x – 2, wenn sich die Tangenten im rechten Winkel schneiden und eine von ihnen die Parabel im Punkt mit Abszisse 3 berührt (Abb. 5).

Lösung. Da die Abszisse des Tangentenpunktes gegeben ist, reduziert sich der erste Teil der Lösung auf Kernproblem 1.

1. a = 3 – Abszisse des Tangentialpunktes einer der Seiten rechter Winkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – Gleichung der ersten Tangente.

Sei a der Neigungswinkel der ersten Tangente. Da die Tangenten senkrecht zueinander stehen, gilt auch der Neigungswinkel der zweiten Tangente. Aus der Gleichung y = 7x – 20 der ersten Tangente ergibt sich tg a = 7. Finden wir

Das bedeutet, dass die Steigung der zweiten Tangente gleich ist.

Die weitere Lösung ergibt sich aus Kernaufgabe 3.

Sei dann B(c; f(c)) der Tangentialpunkt der zweiten Geraden

1. – Abszisse des zweiten Tangentialpunktes.
2.
3.
4.
– Gleichung der zweiten Tangente.

Notiz. Steigungsfaktor Die Tangente kann leichter gefunden werden, wenn die Schüler das Verhältnis der Koeffizienten senkrechter Linien k 1 k 2 = – 1 kennen.

2. Schreiben Sie die Gleichungen aller gemeinsamen Tangenten an die Funktionsgraphen

Lösung. Die Aufgabe besteht darin, die Abszisse der Tangentenpunkte gemeinsamer Tangenten zu finden, also das Schlüsselproblem 1 in allgemeiner Form zu lösen, ein Gleichungssystem aufzustellen und es dann zu lösen (Abb. 6).

1. Sei a die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Graphen der Funktion y = x 2 + x + 1 liegt.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Sei c die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Funktionsgraphen liegt
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da Tangenten also allgemein sind

Also sind y = x + 1 und y = – 3x – 3 gemeinsame Tangenten.

Das Hauptziel der betrachteten Aufgaben besteht darin, die Studierenden darauf vorzubereiten, die Art des Schlüsselproblems bei der Lösung komplexerer Probleme, die bestimmte Forschungskompetenzen erfordern (Analysefähigkeit, Vergleichsfähigkeit, Verallgemeinerungsfähigkeit, Hypothesenaufstellung usw.), selbstständig zu erkennen. Zu diesen Aufgaben zählen alle Aufgaben, in denen die Schlüsselaufgabe als Komponente enthalten ist. Betrachten wir als Beispiel das Problem (invers zu Problem 1), eine Funktion aus der Familie ihrer Tangenten zu finden.

3. Für welche b und c sind die Geraden y = x und y = – 2x tangential zum Graphen der Funktion y = x 2 + bx + c?

Sei t die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = x mit der Parabel y = x 2 + bx + c; p ist die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = – 2x mit der Parabel y = x 2 + bx + c. Dann nimmt die Tangentengleichung y = x die Form y = (2t + b)x + c – t 2 an, und die Tangentengleichung y = – 2x nimmt die Form y = (2p + b)x + c – p 2 an .

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem aufstellen und lösen

Antwort:

In diesem Artikel werden wir alle Arten von Problemen analysieren, die es zu finden gilt

Lass uns erinnern geometrische Bedeutung Derivat: Wenn an einem Punkt eine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen wird, dann ist der Steigungskoeffizient der Tangente (gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse) gleich der Ableitung der Funktion am Punkt.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf der Tangente mit Koordinaten:

Und betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck:

In diesem Dreieck

Von hier

Dies ist die Gleichung der Tangente, die am Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

Um die Tangentengleichung zu schreiben, müssen wir nur die Funktionsgleichung und den Punkt kennen, an dem die Tangente gezogen wird. Dann können wir finden und .

Es gibt drei Haupttypen von Tangentengleichungsproblemen.

1. Einen Ansprechpartner angeben

2. Gegeben ist der Tangentensteigungskoeffizient, also der Wert der Ableitung der Funktion am Punkt.

3. Gegeben sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Tangente gezogen wird, der aber nicht der Tangentialpunkt ist.

Schauen wir uns jede Art von Aufgabe an.

1 . Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen am Punkt .

b) Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln

Setzen wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung ein:

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Antwort: .

2. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Funktionen den Graphen tangieren parallel zur x-Achse.

Wenn die Tangente parallel zur x-Achse ist, ist der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse Null, daher ist die Tangente des Tangentenwinkels Null. Dies bedeutet, dass der Wert der Ableitung der Funktion ist an den Berührungspunkten ist Null.

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion .

b) Setzen wir die Ableitung mit Null gleich und ermitteln die Werte, bei denen die Tangente parallel zur Achse verläuft:

Wenn wir jeden Faktor mit Null gleichsetzen, erhalten wir:

Antwort: 0;3;5

3. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an den Graphen einer Funktion , parallel gerade .

Eine Tangente ist parallel zu einer Geraden. Die Steigung dieser Linie beträgt -1. Da die Tangente parallel zu dieser Linie verläuft, beträgt die Steigung der Tangente ebenfalls -1. Also Wir kennen die Steigung der Tangente, und dadurch, Ableitungswert am Tangentialpunkt.

Dies ist die zweite Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden.

Wir erhalten also die Funktion und den Wert der Ableitung am Tangentenpunkt.

a) Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich -1 ist.

Finden wir zunächst die Ableitungsgleichung.

Setzen wir die Ableitung mit der Zahl -1 gleich.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung)

b) Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung).

Setzen wir diese Werte in die Tangentengleichung ein:

Antwort:

4 . Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve , durch einen Punkt gehen

Überprüfen wir zunächst, ob der Punkt ein Tangentenpunkt ist. Wenn ein Punkt ein Tangentenpunkt ist, dann gehört er zum Graphen der Funktion und seine Koordinaten müssen die Gleichung der Funktion erfüllen. Setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} eine negative Zahl, die Gleichheit ist nicht wahr und der Punkt gehört nicht zum Graphen der Funktion und ist kein Ansprechpartner.

Dies ist die letzte Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden. Erste Sache Wir müssen die Abszisse des Tangentenpunkts finden.

Finden wir den Wert.

Seien Sie der Ansprechpartner. Der Punkt gehört zur Tangente an den Funktionsgraphen. Wenn wir die Koordinaten dieses Punktes in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichung:

Der Wert der Funktion an einem Punkt ist .

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln. Das .

Die Ableitung an einem Punkt ist gleich .

Ersetzen wir die Ausdrücke für und in der Tangentengleichung. Wir erhalten die Gleichung für:

Lassen Sie uns diese Gleichung lösen.

Reduzieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs um 2:

Bringen wir die rechte Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner. Wir bekommen:

Vereinfachen wir den Zähler des Bruchs und multiplizieren wir beide Seiten mit – dieser Ausdruck ist streng genommen größer als Null.

Wir erhalten die Gleichung

Lass es uns lösen. Dazu quadrieren wir beide Teile und fahren mit dem System fort.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lösen wir die erste Gleichung.

Lass uns entscheiden quadratische Gleichung, wir bekommen

Die zweite Wurzel erfüllt nicht die Bedingung title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Schreiben wir die Gleichung der Tangente an die Kurve am Punkt. Setzen Sie dazu den Wert in die Gleichung ein - Wir haben es bereits aufgenommen.

Antwort:
.