Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl m der Testergebnisse, die für das Eintreten des Ereignisses A günstig sind, zu Gesamtzahl n aller gleich möglichen inkonsistenten Ergebnisse: P(A)=m/n.

Bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A (oder die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eintritt) ist die Zahl P B (A) = P (AB) / P (B), wobei A und B zwei zufällige Ereignisse desselben Tests sind.

Die Summe einer endlichen Anzahl von Ereignissen Ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines von ihnen besteht, wird aufgerufen. Die Summe zweier Ereignisse wird mit A+B bezeichnet.

Regeln zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten :

• gemeinsame Veranstaltungen A und B:
  P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), wobei P(A) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist, P(B) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist, P(A+B). ) ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mindestens eines von zwei Ereignissen, P(AB) ist die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens zweier Ereignisse.
• Regel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten inkompatible Ereignisse A und B:
  P(A+B) = P(A)+P(B), wobei P(A) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und P(B) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist.

Das Produkt einer endlichen Anzahl von Ereignissen Das Ereignis, bei dem jedes dieser Ereignisse eintritt, wird aufgerufen. Das Produkt zweier Ereignisse wird mit AB bezeichnet.

Regeln zur Wahrscheinlichkeitsmultiplikation :

• abhängige Ereignisse A und B:
  P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A), wobei P A (B) die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B ist, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist, P B ( A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist;
• Wahrschunabhängige Veranstaltungen A und B:
  P(AB) = P(A)*P(B), wobei P(A) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und P(B) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist.

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Operationen bei Ereignissen. Regeln zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten“

Problem 1 . Die Box enthält 250 Glühbirnen, davon 100 mit 90 W, 50 mit 60 W, 50 mit 25 W und 50 mit 15 W. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Leistung einer zufällig ausgewählten Glühbirne 60 W nicht überschreitet.

Lösung.

A = (Glühlampenleistung beträgt 90 W), Wahrscheinlichkeit P(A) = 100/250 = 0,4;
B = (Lampenleistung beträgt 60 W);
C = (Lampenleistung beträgt 25 W);
D = (Lampenleistung beträgt 15 W).

2. Ereignisse A, B, C, D-Formular Vollständiges System , da sie alle inkompatibel sind und einer von ihnen in diesem Experiment (Auswahl einer Glühbirne) definitiv vorkommen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen eintritt, ist ein bestimmtes Ereignis, dann ist P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. Ereignisse (Glühlampenleistung beträgt nicht mehr als 60 W) (d. h. weniger als oder gleich 60 W) und (Glühlampenleistung beträgt mehr als 60 W) (in in diesem Fall– 90W) sind entgegengesetzt. Gemäß der Eigenschaft der entgegengesetzten Zahlen gilt P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Unter Berücksichtigung von P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D) erhalten wir P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Problem 2 . Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,7 und für den zweiten Schützen 0,9. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür
a) das Ziel wird nur von einem Schützen getroffen;
b) das Ziel wird von mindestens einem Schützen getroffen.

Lösung.
1. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:
A1 = (der erste Schütze trifft das Ziel), P(A1) = 0,7 aus den Problembedingungen;
Ā1 = (der erste Schütze verfehlt), während P(A1)+P(Ā1) = 1, da A1 und Ā1 entgegengesetzte Ereignisse sind. Daher P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (der zweite Schütze trifft das Ziel), P(A2) = 0,9 aus den Problembedingungen;
Ā2 = (der zweite Schütze verfehlte), während P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1.

2. Ereignis A=(Ziel von nur einem Schützen getroffen) bedeutet, dass einer von zwei Fehlschlägen aufgetreten ist gemeinsame Veranstaltungen: entweder A1A2 oder A1A2.
Nach der Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten P(A)= P(A1A2)+P(A1A2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0,3*0,9=0,27.
Dann ist P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)=0,07+0,27=0,34.

3. Ereignis B=(Ziel von mindestens einem Schützen getroffen) bedeutet, dass entweder das Ziel vom ersten Schützen getroffen wurde, oder das Ziel vom zweiten Schützen getroffen wurde, oder dass das Ziel von beiden Schützen getroffen wurde.

Ereignis B̄=(das Ziel wird von keinem Schützen getroffen) ist das Gegenteil von Ereignis B, was P(B)=1-P(B̄) bedeutet.
Ereignis B bedeutet das gleichzeitige Eintreten von abhängige EreignisseĀ1 und Ā2, also Р(B̄)=Р(Ā1Ā2)= Р(Ā1)*Р(Ā2)=0.3*0.1=0.3.
Dann ist P(B)= 1-P(B̄)=1-0,3=0,7.

Problem 3 . Das Prüfungsticket besteht aus drei Fragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die erste Frage beantwortet, beträgt 0,7; am zweiten – 0,9; am dritten – 0,6. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student, der ein Ticket ausgewählt hat, antwortet:
a) zu allen Fragen;
d) mindestens zwei Fragen.

Lösung. 1. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:
A1 = (Schüler beantwortete die erste Frage), P(A1) = 0,7 aus den Problembedingungen;
Ā1 = (der Schüler hat die erste Frage nicht beantwortet), während P(A1)+P(Ā1) = 1, da A1 und Ā1 entgegengesetzte Ereignisse sind. Daher P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (Schüler beantwortete die zweite Frage), P(A2) = 0,9 aus den Problembedingungen;
Ā2 = (der Schüler hat die zweite Frage nicht beantwortet), während P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1;
A3 = (Schüler beantwortete die dritte Frage), P(A3) = 0,6 aus den Problembedingungen;
Ā3 = (der Schüler hat die dritte Frage nicht beantwortet), während P(Ā3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Ereignis A = (der Schüler hat alle Fragen beantwortet) bedeutet das gleichzeitige Auftreten unabhängiger Ereignisse A1, A2 und A3, d.h. P(A)= P(A1A2A3) Nach der Regel der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Dann ist P(A)= P(A1A2A3)=0,378.

3. Ereignis D = (der Student hat mindestens zwei Fragen beantwortet) bedeutet, dass zwei beliebige Fragen oder alle drei beantwortet wurden, d. h. Eines von vier inkompatiblen Ereignissen ist aufgetreten: entweder A1A2Ā3 oder A1Ā2A3 oder Ā1A2A3 oder A1A2A3.
Gemäß der Regel zur Addition der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Nach der Regel der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Dann ist P(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Bei Bei der Beurteilung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist es sehr wichtig, gut zu verstehen, ob die Wahrscheinlichkeit () des Eintritts des Ereignisses, an dem wir interessiert sind, davon abhängt, wie sich andere Ereignisse entwickeln.

Beim klassischen Schema, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, können wir die Wahrscheinlichkeitswerte des einzelnen für uns interessanten Ereignisses bereits unabhängig abschätzen. Wir können dies auch dann tun, wenn das Ereignis eine komplexe Ansammlung mehrerer elementarer Ergebnisse ist. Was passiert, wenn mehrere zufällige Ereignisse gleichzeitig oder nacheinander auftreten? Wie wirkt sich dies auf die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses aus, an dem wir interessiert sind?

Wenn ich mehrmals würfele und möchte, dass eine Sechs erscheint, und ich immer wieder Pech habe, heißt das, dass ich meinen Einsatz erhöhen sollte, weil ich laut Wahrscheinlichkeitstheorie kurz davor bin, Glück zu haben? Leider sagt die Wahrscheinlichkeitstheorie so etwas nicht aus. Keine Würfel, keine Karten, keine Münzen Ich kann mich nicht erinnern was sie uns letztes Mal gezeigt haben. Es ist ihnen völlig egal, ob ich heute zum ersten Mal oder zum zehnten Mal mein Glück auf die Probe stelle. Jedes Mal, wenn ich den Wurf wiederhole, weiß ich nur eines: Und dieses Mal beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu bekommen, wieder ein Sechstel. Das bedeutet natürlich nicht, dass die Nummer, die ich brauche, nie auftauchen wird. Das bedeutet nur, dass mein Verlust nach dem ersten Wurf und nach jedem anderen Wurf unabhängige Ereignisse sind.

Die Ereignisse A und B werden aufgerufen unabhängig, wenn die Umsetzung eines von ihnen die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses in keiner Weise beeinflusst. Beispielsweise hängen die Wahrscheinlichkeiten, ein Ziel mit der ersten von zwei Waffen zu treffen, nicht davon ab, ob das Ziel von der anderen Waffe getroffen wurde, so dass die Ereignisse „die erste Waffe hat das Ziel getroffen“ und „die zweite Waffe hat das Ziel getroffen“ sind unabhängig.

Wenn zwei Ereignisse A und B unabhängig sind und die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen von ihnen bekannt ist, kann die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens von Ereignis A und Ereignis B (bezeichnet mit AB) mithilfe des folgenden Satzes berechnet werden.

Wahrscfür unabhängige Ereignisse

P(AB) = P(A)*P(B)- Wahrscheinlichkeit gleichzeitig der Beginn von zwei unabhängig Ereignisse ist gleich arbeiten die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Beispiel.Die Trefferwahrscheinlichkeiten beim Abfeuern des ersten und zweiten Geschützes sind jeweils gleich: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit eines Treffers mit einer Salve durch beide Geschütze gleichzeitig.

Lösung: Wie wir bereits gesehen haben, sind die Ereignisse A (Treffer durch die erste Waffe) und B (Treffer durch die zweite Waffe) unabhängig, d. h. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Was passiert mit unseren Schätzungen, wenn die anfänglichen Ereignisse nicht unabhängig sind? Lassen Sie uns das vorherige Beispiel ein wenig ändern.

Beispiel.Bei einem Wettkampf schießen zwei Schützen auf Ziele, und wenn einer von ihnen genau schießt, wird der Gegner nervös und seine Ergebnisse verschlechtern sich. Wie man aus dieser Alltagssituation umgeht Matheproblem und Möglichkeiten zur Lösung skizzieren? Es ist intuitiv klar, dass es notwendig ist, die beiden Optionen für die Entwicklung von Ereignissen irgendwie zu trennen, um im Wesentlichen zwei Szenarien, zwei unterschiedliche Aufgaben zu schaffen. Im ersten Fall, wenn der Gegner verfehlt, ist das Szenario für den nervösen Athleten günstiger und seine Genauigkeit wird höher sein. Im zweiten Fall, wenn der Gegner seine Chance anständig nutzt, sinkt die Wahrscheinlichkeit, das Ziel für den zweiten Athleten zu treffen.

Um mögliche Szenarien (oft als Hypothesen bezeichnet) für die Entwicklung von Ereignissen zu trennen, verwenden wir häufig ein „Wahrscheinlichkeitsbaumdiagramm“. Dieses Diagramm hat eine ähnliche Bedeutung wie der Entscheidungsbaum, mit dem Sie sich wahrscheinlich bereits befasst haben. Jeder Zweig stellt ein eigenes Szenario für die Entwicklung von Ereignissen dar, nur hat er jetzt seine eigene Bedeutung des sogenannten bedingt Wahrscheinlichkeiten (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Dieses Schema ist sehr praktisch für die Analyse aufeinanderfolgender Zufallsereignisse.

Es bleibt noch eine weitere wichtige Frage zu klären: Woher kommen die Anfangswerte der Wahrscheinlichkeiten? reale Situationen ? Schließlich funktioniert die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht nur mit Münzen und Würfeln? Normalerweise basieren diese Schätzungen auf Statistiken. Wenn keine statistischen Informationen verfügbar sind, führen wir unsere eigenen Untersuchungen durch. Und oft müssen wir nicht mit dem Sammeln von Daten beginnen, sondern mit der Frage, welche Informationen wir tatsächlich benötigen.

Beispiel.Nehmen wir an, wir müssen in einer Stadt mit hunderttausend Einwohnern das Marktvolumen für ein neues Produkt abschätzen, das kein wesentlicher Bestandteil ist, beispielsweise für einen Balsam zur Pflege gefärbter Haare. Betrachten wir das Diagramm „Wahrscheinlichkeitsbaum“. In diesem Fall müssen wir den Wahrscheinlichkeitswert für jeden „Zweig“ ungefähr schätzen. Unsere Schätzungen der Marktkapazität:

1) 50 % aller Stadtbewohner sind Frauen,

2) Von allen Frauen färben sich nur 30 % häufig die Haare,

3) von ihnen verwenden nur 10 % Balsame für gefärbtes Haar,

4) von ihnen können nur 10 % den Mut aufbringen, ein neues Produkt auszuprobieren,

5) 70 % von ihnen kaufen in der Regel alles nicht bei uns, sondern bei unseren Konkurrenten.

Lösung: Nach dem Gesetz der Wermitteln wir die Wahrscheinlichkeit des für uns interessanten Ereignisses A = (ein Stadtbewohner kauft diesen neuen Balsam bei uns) = 0,00045.

Multiplizieren wir diesen Wahrscheinlichkeitswert mit der Anzahl der Stadtbewohner. Dadurch haben wir nur 45 potenzielle Kunden und wenn man bedenkt, dass eine Flasche dieses Produkts mehrere Monate reicht, ist der Handel nicht sehr lebhaft.

Dennoch gibt es einen gewissen Nutzen aus unseren Einschätzungen.

Erstens können wir Prognosen verschiedener Geschäftsideen vergleichen; sie werden in den Diagrammen unterschiedliche „Forks“ haben, und natürlich werden auch die Wahrscheinlichkeitswerte unterschiedlich sein.

Zweitens, wie wir bereits gesagt haben, Zufallswert Man nennt es nicht zufällig, weil es von überhaupt nichts abhängt. Nur sie genau Die Bedeutung ist nicht im Voraus bekannt. Wir wissen, dass die durchschnittliche Käuferzahl erhöht werden kann (z. B. durch Werbung für ein neues Produkt). Deshalb ist es sinnvoll, unsere Bemühungen auf die „Forks“ zu konzentrieren, bei denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht besonders zu uns passt, auf die Faktoren, die wir beeinflussen können.

Schauen wir uns ein weiteres quantitatives Beispiel der Verbraucherverhaltensforschung an.

Beispiel. Durchschnittlich besuchen 10.000 Menschen pro Tag den Lebensmittelmarkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Marktbesucher den Milchprodukte-Pavillon betritt, beträgt 1/2. Es ist bekannt, dass in diesem Pavillon täglich durchschnittlich 500 kg verschiedener Produkte verkauft werden.

Können wir sagen, dass der durchschnittliche Einkauf im Pavillon nur 100 g wiegt?

Diskussion. Natürlich nicht. Es ist klar, dass nicht jeder, der den Pavillon betrat, dort auch etwas kaufte.

Wie im Diagramm dargestellt, müssen wir zur Beantwortung der Frage nach dem durchschnittlichen Gewicht eines Einkaufs eine Antwort auf die Frage finden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Person, die den Pavillon betritt, dort etwas kauft. Wenn uns solche Daten nicht zur Verfügung stehen, wir sie aber benötigen, müssen wir sie selbst beschaffen, indem wir die Besucher des Pavillons eine Zeit lang beobachten. Nehmen wir an, unsere Beobachtungen hätten ergeben, dass nur ein Fünftel der Pavillonbesucher etwas kauft.

Sobald wir diese Schätzungen erhalten haben, wird die Aufgabe einfach. Von 10.000 Menschen, die auf den Markt kommen, gehen 5.000 in den Pavillon für Milchprodukte; das durchschnittliche Einkaufsgewicht beträgt 500 Gramm. Es ist interessant festzustellen, dass die Logik der bedingten „Verzweigung“ in jeder Phase unserer Argumentation so klar definiert werden muss, als ob wir mit einer „spezifischen“ Situation arbeiten würden, und nicht, um ein vollständiges Bild des Geschehens zu erstellen mit Wahrscheinlichkeiten.

Selbsttestaufgaben

1. Lass es sein Stromkreis, bestehend aus n in Reihe geschalteten Elementen, die jeweils unabhängig voneinander arbeiten.

Die Ausfallwahrscheinlichkeit p jedes Elements ist bekannt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des ordnungsgemäßen Betriebs des gesamten Abschnitts der Schaltung (Ereignis A).

2. Der Student kennt 20 von 25 Prüfungsfragen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student die drei ihm vom Prüfer gestellten Fragen kennt.

3. Die Produktion besteht aus vier aufeinanderfolgenden Phasen, in denen jeweils Geräte betrieben werden, für die die Ausfallwahrscheinlichkeiten im nächsten Monat gleich P 1, P 2, P 3 bzw. P 4 sind. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Monat zu keinen Produktionsausfällen aufgrund von Geräteausfällen kommt.

Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze.

Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten zweier inkompatibler Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Beispiel 2.16. Der Schütze schießt auf ein Ziel, das in 3 Bereiche unterteilt ist. Die Wahrscheinlichkeit, den ersten Bereich zu treffen, beträgt 0,45, der zweite - 0,35. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze mit einem Schuss entweder den ersten oder den zweiten Bereich trifft.

Lösung.

Veranstaltungen A- „Der Schütze hat den ersten Bereich getroffen“ und IN- „Der Schütze hat den zweiten Bereich getroffen“ – sind inkonsistent (ein Treffer in einem Bereich schließt einen Treffer in einem anderen aus), daher ist der Additionssatz anwendbar.

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Wahrscheinlichkeitsadditionssatz P inkompatible Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit einer Summe von n inkompatiblen Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ist gleich eins:

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses IN vorausgesetzt, dass das Ereignis eingetreten ist A wird als bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet IN und wird wie folgt bezeichnet: P(V/A), oder R A (B).

. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens zweier Ereignisse ist gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit des einen und der bedingten Wahrscheinlichkeit des anderen, vorausgesetzt, das erste Ereignis ist eingetreten:

P(AB)=P(A)P A (B).

Ereignis IN kommt nicht auf die Veranstaltung an A, Wenn

R A (V) = R (V),

diese. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses IN hängt nicht davon ab, ob das Ereignis eingetreten ist A.

Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten zweier unabhängiger Ereignisse.Die Wahrscheinlichkeit des Produkts zweier unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(AB)=P(A)P(B).

Beispiel 2.17. Die Wahrscheinlichkeiten, das Ziel beim Abfeuern der ersten und zweiten Kanone zu treffen, sind jeweils gleich: S. 1 = 0,7; S. 2= 0,8. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Treffers mit einer Salve (von beiden Geschützen) durch mindestens eines der Geschütze.

Lösung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jede Waffe das Ziel trifft, hängt nicht vom Ergebnis des Schusses der anderen Waffe ab, also von den Ereignissen A– „von der ersten Waffe getroffen“ und IN– „Treffer mit zweiter Waffe“ sind unabhängig.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses AB- „beide Waffen getroffen“:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

WahrscP Veranstaltungen.Die Wahrscheinlichkeit eines Produkts von n Ereignissen ist gleich dem Produkt eines von ihnen mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten aller anderen, berechnet unter der Annahme, dass alle vorherigen Ereignisse aufgetreten sind:

Beispiel 2.18. In der Urne befinden sich 5 weiße, 4 schwarze und 3 blaue Kugeln. Jeder Test besteht darin, einen Ball nach dem Zufallsprinzip zu entfernen, ohne ihn zurückzulegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Versuch ein weißer Ball erscheint (Ereignis A), beim zweiten ein schwarzer Ball (Ereignis B) und beim dritten ein blauer Ball (Ereignis C).

Lösung.

Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Versuch ein weißer Ball erscheint:

Die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Versuch ein schwarzer Ball erscheint, berechnet unter der Annahme, dass im ersten Versuch ein weißer Ball auftauchte, d. h. bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit, dass im dritten Versuch ein blauer Ball erscheint, berechnet unter der Annahme, dass im ersten Versuch ein weißer Ball und im zweiten ein schwarzer Ball auftauchte, d. h. bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist:

WahrscP unabhängige Veranstaltungen.Die Wahrscheinlichkeit eines Produkts von n unabhängigen Ereignissen ist gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse eintritt. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines der im Aggregat unabhängigen Ereignisse A 1, A 2, ..., A n ist gleich der Differenz zwischen Eins und dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse:

.

Beispiel 2.19. Die Wahrscheinlichkeiten, das Ziel zu treffen, wenn mit drei Geschützen geschossen wird, sind wie folgt: S. 1 = 0,8; S. 2 = 0,7;S. 3= 0,9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer (Ereignis). A) mit einer Salve aus allen Geschützen.

Lösung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jede Waffe das Ziel trifft, hängt nicht von den Ergebnissen des Schießens mit anderen Waffen ab, also von den betrachteten Ereignissen Eine 1(von der ersten Waffe getroffen), Eine 2(von der zweiten Waffe getroffen) und Eine 3(von der dritten Waffe getroffen) sind insgesamt unabhängig.

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen im Gegensatz zu Ereignissen Eine 1, Eine 2 Und Eine 3(d. h. die Wahrscheinlichkeit von Fehlschlägen) sind jeweils gleich:

, , .

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist:

Wenn unabhängige Ereignisse A 1, A 2, …, A p die gleiche Wahrscheinlichkeit haben R, dann wird die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines dieser Ereignisse durch die Formel ausgedrückt:

Р(А)= 1 – q n ,

Wo q=1- p

2.7. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Bayes-Formel.

Lassen Sie die Veranstaltung A kann eintreten, sofern eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt N 1, N 2, …, N p, eine komplette Veranstaltungsgruppe bildend. Da nicht im Voraus bekannt ist, welches dieser Ereignisse eintreten wird, werden sie aufgerufen Hypothesen.

Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A berechnet von Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Gehen Sie davon aus, dass ein Experiment durchgeführt wurde, das zu dem Ereignis geführt hat A passiert. Bedingte Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen N 1, N 2, …, N p bezüglich der Veranstaltung A werden bestimmt Bayes-Formeln:

,

Beispiel 2.20. Von einer Gruppe von 20 Studenten, die zur Prüfung kamen, waren 6 hervorragend vorbereitet, 8 gut vorbereitet, 4 zufriedenstellend und 2 schlecht vorbereitet. Die Prüfungsunterlagen umfassen 30 Fragen. Ein hervorragend vorbereiteter Student kann alle 30 Fragen beantworten, ein gut vorbereiteter Student kann 24 beantworten, ein zufriedenstellend vorbereiteter Student kann 15 beantworten und ein schlecht vorbereiteter Student kann 7 beantworten.

Ein zufällig angerufener Student antwortete drei zufällig. Fragen gestellt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler vorbereitet ist: a) ausgezeichnet; b) schlecht.

Lösung.

Hypothesen – „Der Schüler ist gut vorbereitet“;

– „Der Student ist gut vorbereitet“;

– „Der Student ist zufriedenstellend vorbereitet“;

– „Der Schüler ist schlecht vorbereitet.“

Vor Erfahrung:

; ; ; ;

7. Was nennt man eine vollständige Gruppe von Ereignissen?

8. Welche Ereignisse werden als gleichermaßen möglich bezeichnet? Nennen Sie Beispiele für solche Ereignisse.

9. Was nennt man ein elementares Ergebnis?

10. Welche Ergebnisse halte ich für günstig für diese Veranstaltung?

11. Welche Operationen können für Ereignisse durchgeführt werden? Definieren Sie sie. Wie werden sie bezeichnet? Nenne Beispiele.

12. Was nennt man Wahrscheinlichkeit?

13. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses?

14. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses?

15. Wo liegen die Grenzen der Wahrscheinlichkeit?

16. Wie wird es bestimmt? geometrische Wahrscheinlichkeit auf der Oberfläche?

17. Wie wird die Wahrscheinlichkeit im Raum bestimmt?

18. Wie wird die Wahrscheinlichkeit auf einer Geraden bestimmt?

19. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse?

20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse?

21. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Summe von n inkompatiblen Ereignissen?

22. Welche Wahrscheinlichkeit wird als bedingt bezeichnet? Gib ein Beispiel.

23. Geben Sie den Wahrscan.

24. Wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines der Ereignisse?

25. Welche Ereignisse werden Hypothesen genannt?

26. Wann werden die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und die Bayes-Formel verwendet?

In Fällen, in denen das interessierende Ereignis die Summe anderer Ereignisse ist, wird die Additionsformel verwendet, um seine Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Die Additionsformel hat zwei Hauptvarianten – für kompatible und inkompatible Ereignisse. Diese Formeln können mit Venn-Diagrammen begründet werden (Abb. 21). Erinnern wir uns daran, dass in diesen Diagrammen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen numerisch gleich den Flächen der Zonen sind, die diesen Ereignissen entsprechen.

Für zwei inkompatible Ereignisse :

P(A+B) = P(A) + P(B).(8, a)

Für N inkompatible Ereignisse , die Wahrscheinlichkeit ihrer Summe ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

= .(8b)

Aus der Formel für das Hinzufügen inkompatibler Ereignisse ergeben sich zwei wichtige Konsequenzen .

Folgerung 1.Für Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins:

= 1.

Dies wird wie folgt erklärt. Für Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, steht auf der linken Seite des Ausdrucks (8b) die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Ereignisse eintritt A i, Da aber die gesamte Gruppe die gesamte Liste möglicher Ereignisse ausschöpft, wird zwangsläufig eines dieser Ereignisse eintreten. Auf der linken Seite steht also die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das definitiv eintreten wird – ein verlässliches Ereignis. Seine Wahrscheinlichkeit ist gleich eins.

Folgerung 2.Die Summe der Wahrscheinlichkeiten zweier gegensätzlicher Ereignisse ist gleich eins:

P(A) + P(Ā)= 1.

Diese Konsequenz ergibt sich aus der vorherigen, da gegensätzliche Ereignisse immer eine vollständige Gruppe bilden.

Beispiel 15

IN Wahrscheinlichkeit des Arbeitszustands technisches Gerät gleich 0,8. Ermitteln Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit dieses Geräts im gleichen Beobachtungszeitraum.

R Entscheidung.

Wichtiger Hinweis. In der Zuverlässigkeitstheorie ist es üblich, die Wahrscheinlichkeit eines Betriebszustandes mit dem Buchstaben zu bezeichnenR, und die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns ist der Buchstabe Q. Im Folgenden werden wir diese Notationen verwenden. Beide Wahrscheinlichkeiten sind Funktionen der Zeit. Ja für lange Zeiträume Mit der Zeit geht die Wahrscheinlichkeit des Betriebszustands eines Objekts gegen Null. Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Objekts liegt für kurze Zeiträume nahe bei Null. In den Fällen, in denen der Beobachtungszeitraum in den Aufgaben nicht angegeben ist, wird davon ausgegangen, dass er für alle betrachteten Objekte gleich ist.

Das Auffinden eines Geräts im Betriebszustand und im Fehlerzustand sind gegensätzliche Ereignisse. Mithilfe von Korollar 2 erhalten wir die Wahrscheinlichkeit eines Geräteausfalls:

q = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.

Für zwei gemeinsame Veranstaltungen Wahrscheinlichkeitsadditionsformel hat die Form:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB), (9)

wie im Venn-Diagramm dargestellt (Abb. 22).

Um tatsächlich die gesamte schattierte Fläche zu finden (sie entspricht der Summe der Ereignisse A + B), müssen Sie die Fläche von der Summe der Flächen der Abbildungen A und B subtrahieren Gemeinschaftsraum(es entspricht dem Produkt der Ereignisse AB), da es sonst doppelt gezählt wird.

Für drei gemeinsame Veranstaltungen lautet die Additionsformel Wahrscheinlichkeiten wird komplizierter:

P(A+B+C)=P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).(10)

Im Venn-Diagramm (Abb. 23) ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit numerisch gleich Gesamtfläche Zone, die durch die Ereignisse A, B und C gebildet wird (zur Vereinfachung der Abbildung ist das Einheitsquadrat nicht dargestellt).

Nachdem die Flächen der Zonen AB, AC und CB von der Summe der Flächen der Zonen A, B und C abgezogen wurden, stellte sich heraus, dass die Fläche der Zone ABC dreimal summiert und dreimal subtrahiert wurde. Um diesen Bereich zu berücksichtigen, muss er daher zum endgültigen Ausdruck hinzugefügt werden.

Mit zunehmender Anzahl der Terme wird die Additionsformel immer umständlicher, das Prinzip ihrer Konstruktion bleibt jedoch gleich: Zuerst werden die Wahrscheinlichkeiten der einzeln betrachteten Ereignisse aufsummiert, dann werden die Wahrscheinlichkeiten aller paarweisen Kombinationen von Ereignissen subtrahiert, Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Dreiergruppen werden addiert, die Wahrscheinlichkeiten von Ereigniskombinationen in Vierergruppen werden subtrahiert usw.

Abschließend sollte es betont werden : Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten gemeinsam Ereignisse mit einer Anzahl von Begriffen von drei oder mehr sind umständlich und unpraktisch in der Anwendung; ihre Verwendung zur Lösung von Problemen ist unpraktisch.

Beispiel 16

Bestimmen Sie für das Stromversorgungsdiagramm unten (Abb. 24) die Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems Q C nach Ausfallwahrscheinlichkeiten q ich einzelne Elemente (Generator, Transformatoren und Leitungen).

Fehlerbedingungen einzelne Elemente des Stromversorgungssystems sowie und Gesundheitszustände sind immer paarweise gemeinsame Ereignisse, da der gleichzeitigen Durchführung von Reparaturen beispielsweise einer Leitung und eines Transformators grundsätzlich nichts im Wege steht. Ein Systemausfall liegt vor, wenn eines seiner Elemente ausfällt: entweder ein Generator, der 1. Transformator, eine Leitung oder der 2. Transformator, oder wenn ein Paar, drei oder alle vier Elemente ausfallen. Folglich ist das gewünschte Ereignis – Systemausfall – die Summe der Ausfälle einzelner Elemente. Um das Problem zu lösen, kann die Formel zum Hinzufügen gemeinsamer Ereignisse verwendet werden:

Q c = q g + q t1 + q l + q t2 – q g q t1 – q g q l – q g q t2 – q t1 q l – q t1 q t2 – q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l – q g q t1 q l q t2.

Diese Lösung überzeugt uns einmal mehr von der Umständlichkeit der Additionsformel für gemeinsame Veranstaltungen. In Zukunft wird über einen anderen, rationelleren Weg zur Lösung dieses Problems nachgedacht.

Die oben erhaltene Lösung kann unter Berücksichtigung der Tatsache vereinfacht werden, dass die Ausfallwahrscheinlichkeiten einzelner Elemente des Stromversorgungssystems für den in Zuverlässigkeitsberechnungen üblicherweise verwendeten Zeitraum von einem Jahr recht gering sind (ca. 10 -2). Daher können alle Terme außer den ersten vier verworfen werden, was praktisch keinen Einfluss auf das numerische Ergebnis hat. Dann können wir schreiben:

Q mit≈q g + q t1 + q l + q t2.

Solche Vereinfachungen sind jedoch mit Vorsicht zu genießen und ihre Konsequenzen sorgfältig zu prüfen, da sich herausstellen kann, dass häufig verworfene Begriffe mit den ersten vergleichbar sind.

Beispiel 17

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das System betriebsbereit ist R S, bestehend aus drei Elementen, die sich gegenseitig reservieren.

Lösung. Elemente, die sich im logischen Diagramm der Zuverlässigkeitsanalyse gegenseitig unterstützen, sind parallel geschaltet dargestellt (Abb. 25):

Ein redundantes System ist betriebsbereit, wenn entweder das 1., 2. oder 3. Element betriebsbereit ist, oder ein beliebiges Paar betriebsbereit ist oder alle drei Elemente zusammen. Folglich ist der Betriebszustand des Systems die Summe der Betriebszustände einzelner Elemente. Verwendung der Additionsformel für gemeinsame Veranstaltungen Р с = Р 1 + Р 2 + Р 3 – Р 1 Р 2 – Р 1 Р 3 – Р 2 Р 3 + Р 1 Р 2 Р 3. , Wo R 1, R 2 Und R 3– Wahrscheinlichkeiten des Betriebszustands der Elemente 1, 2 bzw. 3.

In diesem Fall ist es unmöglich, die Lösung durch Verwerfen gepaarter Produkte zu vereinfachen, da eine solche Näherung einen erheblichen Fehler ergibt (diese Produkte liegen normalerweise numerisch nahe an den ersten drei Termen). Wie in Beispiel 16 gibt es für dieses Problem eine andere, kompaktere Lösung.

Beispiel 18

Für eine Stromleitung mit zwei Stromkreisen (Abb. 26) ist die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Stromkreises bekannt: q 1 = q 2= 0,001. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Linie einhundert Prozent hat Durchsatz– P(R 100), fünfzig Prozent Durchsatz – P(R 50) und die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt – Q.

Die Leitung hat einen Durchsatz von 100 %, wenn sowohl der 1. als auch der 2. Kreis in Betrieb sind:

Р(100%) = ð 1 ð 2 = (1 – q 1)(1 – q 2) =

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Die Leitung fällt aus, wenn sowohl der 1. als auch der 2. Stromkreis ausfallen:

P(0%) = q 1 q 2 =0,001∙0,001 = 10 -6.

Die Leitung hat eine Kapazität von fünfzig Prozent, wenn der 1. Stromkreis in Betrieb ist und der 2. Stromkreis ausgefallen ist, oder wenn der 2. Stromkreis in Betrieb ist und der 1. Stromkreis ausgefallen ist:

P(50%) = p 1 q 2 + p 2 q 1 = 2∙0,999∙10 -3 = 0,001998.

Der letzte Ausdruck verwendet die Additionsformel für inkompatible Ereignisse, die sie sind.

Die in diesem Problem betrachteten Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe, sodass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten eins ist.

Bildungseinrichtung „Belarussischer Staat“.

Agrarakademie"

Abteilung für Höhere Mathematik

Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten. WIEDERHOLTE UNABHÄNGIGE TESTS

Vorlesung für Studierende der Fakultät für Landmanagement

Fernkurse

Gorki, 2012

Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten. Wiederholt

unabhängige Tests

Addition von Wahrscheinlichkeiten

Die Summe zweier gemeinsamer Veranstaltungen A Und IN Ereignis genannt MIT, bestehend aus dem Eintreten mindestens eines der Ereignisse A oder IN. Ebenso ist die Summe mehrerer gemeinsamer Ereignisse ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse besteht.

Die Summe zweier inkompatibler Ereignisse A Und IN Ereignis genannt MIT bestehend aus einem Ereignis oder Ereignis A, oder Ereignisse IN. Ebenso ist die Summe mehrerer inkompatibler Ereignisse ein Ereignis, das aus dem Eintreten eines dieser Ereignisse besteht.

Es gilt der Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse , d.h. . Dieser Satz kann auf jede endliche Anzahl inkompatibler Ereignisse erweitert werden.

Aus diesem Satz folgt:

die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins;

die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ist gleich eins, d.h.
.

Beispiel 1 . Die Box enthält 2 weiße, 3 rote und 5 blaue Kugeln. Die Kugeln werden gemischt und eine wird zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball gefärbt wird?

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(farbiger Ball gezogen);

B=(weißer Ball gezogen);

C=(roter Ball gezogen);

D=(blauer Ball gezogen).

Dann A= C+ D. Seit Ereignissen C, D inkonsistent sind, verwenden wir den Satz zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse: .

Beispiel 2 . Die Urne enthält 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Aus der Urne werden zufällig 3 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie alle die gleiche Farbe haben?

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(Bälle der gleichen Farbe werden gezogen);

B=(weiße Kugeln werden herausgenommen);

C=(Schwarze Kugeln werden herausgenommen).

Als A= B+ C und Veranstaltungen IN Und MIT inkonsistent sind, dann nach dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse
. Wahrscheinlichkeit des Ereignisses IN gleich
, Wo
4,

. Lasst uns ersetzen k Und N in die Formel und wir bekommen
Ebenso ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses MIT:
, Wo
,
, d.h.
. Dann
.

Beispiel 3 . Aus einem Stapel mit 36 ​​Karten werden 4 Karten nach dem Zufallsprinzip gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens drei Asse befinden.

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(Unter den herausgenommenen Karten befinden sich mindestens drei Asse);

B=(unter den herausgenommenen Karten befinden sich drei Asse);

C=(Unter den herausgenommenen Karten befinden sich vier Asse).

Als A= B+ C, und Veranstaltungen IN Und MIT sind also nicht kompatibel
. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ermitteln IN Und MIT:

,
. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den gezogenen Karten mindestens drei Asse befinden, gleich

0.0022.

Wahrscheinlichkeiten multiplizieren

Die Arbeit zwei Veranstaltungen A Und IN Ereignis genannt MIT, bestehend aus dem gemeinsamen Auftreten dieser Ereignisse:
. Diese Definition gilt für eine beliebige endliche Anzahl von Ereignissen.

Die beiden Ereignisse werden aufgerufen unabhängig , wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines dieser Ereignisse nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eingetreten ist oder nicht. Veranstaltungen ,, … ,werden genannt kollektiv unabhängig , wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse nicht davon abhängt, ob andere Ereignisse eingetreten sind oder nicht.

Beispiel 4 . Zwei Schützen schießen auf ein Ziel. Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(der erste Schütze hat das Ziel getroffen);

B=(der zweite Schütze hat das Ziel getroffen).

Offensichtlich hängt die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze das Ziel trifft, nicht davon ab, ob der zweite Schütze getroffen oder verfehlt hat und umgekehrt. Daher Ereignisse A Und IN unabhängig.

Es gilt der Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit des Produkts zweier unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse : .

Dieser Satz gilt auch für N kollektiv unabhängige Ereignisse: .

Beispiel 5 . Zwei Schützen schießen auf dasselbe Ziel. Die Wahrscheinlichkeit, den ersten Schützen zu treffen, beträgt 0,9, die des zweiten 0,7. Beide Schützen geben jeweils einen Schuss ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Treffer auf das Ziel geben wird.

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A

B

C=(beide Schützen treffen das Ziel).

Als
, und Veranstaltungen A Und IN sind also unabhängig
, d.h..

Veranstaltungen A Und IN werden genannt abhängig , wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines dieser Ereignisse davon abhängt, ob ein anderes Ereignis eingetreten ist oder nicht. Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt A vorausgesetzt, dass die Veranstaltung IN es ist schon angekommen, es heißt bedingte Wahrscheinlichkeit und ist bezeichnet
oder
.

Beispiel 6 . Die Urne enthält 4 weiße und 7 schwarze Kugeln. Aus der Urne werden Kugeln gezogen. Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(weißer Ball gezogen) ;

B=(schwarzer Ball gezogen).

Bevor Sie beginnen, Kugeln aus der Urne zu entfernen
. Eine Kugel wurde aus der Urne genommen und es stellte sich heraus, dass sie schwarz war. Dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A nach dem Ereignis IN es wird einen anderen geben, gleich . Damit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gemeint A hängt von der Veranstaltung ab IN, d.h. Diese Ereignisse werden abhängig sein.

Es gilt der Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens zweier abhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit des einen und der bedingten Wahrscheinlichkeit des anderen, berechnet unter der Annahme, dass das erste Ereignis bereits eingetreten ist, d.h. oder.

Beispiel 7 . In der Urne befinden sich 4 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Daraus werden nacheinander zwei Kugeln nach dem Zufallsprinzip gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln schwarz sind.

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(schwarzer Ball wird zuerst gezogen);

B=(die zweite schwarze Kugel wird gezogen).

Veranstaltungen A Und IN abhängig, weil
, A
. Dann
.

Beispiel 8 . Drei Schützen schießen unabhängig voneinander auf das Ziel. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,5, für den zweiten 0,6 und für den dritten 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Treffer auf das Ziel gibt, wenn jeder Schütze einen Schuss abfeuert.

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(es wird zwei Treffer auf das Ziel geben);

B=(der erste Schütze trifft das Ziel);

C=(der zweite Schütze trifft das Ziel);

D=(der dritte Schütze trifft das Ziel);

=(der erste Schütze trifft das Ziel nicht);

=(der zweite Schütze trifft das Ziel nicht);

=(der dritte Schütze trifft das Ziel nicht).

Nach dem Beispiel
,
,
,

,
,
. Da wir den Satz der Addition der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse und den Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse verwenden, erhalten wir:

Lassen Sie Ereignisse
Bilden Sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen eines Tests und der Ereignisse A kann nur bei einem dieser Ereignisse auftreten. Wenn die Wahrscheinlichkeiten und bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses bekannt sind A, dann wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A nach der Formel berechnet:

oder
. Diese Formel heißt Gesamtwahrscheinlichkeitsformel , und Veranstaltungen
Hypothesen .

Beispiel 9 . Die Montagelinie erhält 700 Teile von der ersten Maschine und 300 Teile ab der zweiten. Die erste Maschine produziert 0,5 % Schrott und die zweite 0,7 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das entnommene Teil defekt ist.

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(das entnommene Teil wird defekt sein);

=(das Teil wurde auf der ersten Maschine hergestellt);

=(das Teil wird auf der zweiten Maschine hergestellt).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil auf der ersten Maschine hergestellt wird, ist gleich
. Für die zweite Maschine
. Je nach Bedingung ist die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Teil zu erhalten, das auf der ersten Maschine hergestellt wurde, gleich
. Für die zweite Maschine ist diese Wahrscheinlichkeit gleich
. Anschließend wird mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass das entnommene Teil fehlerhaft sein wird

Wenn bekannt ist, dass als Ergebnis des Tests ein Ereignis aufgetreten ist A, dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis mit der Hypothese eingetreten ist
, ist gleich
, Wo
- Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. Diese Formel heißt Bayes-Formel und ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
nachdem bekannt wurde, dass das Ereignis A ist schon angekommen.

Beispiel 10 . In zwei Fabriken werden gleichartige Autoteile hergestellt und an die Filialen geliefert. Die erste Anlage produziert 80 % der Gesamtzahl der Teile, die zweite 20 %. Die Produkte des ersten Werks enthalten 90 % Standardteile, die des zweiten Werks 95 %. Der Käufer kaufte ein Teil und es stellte sich heraus, dass es Standard war. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Teil im zweiten Werk hergestellt wurde.

Lösung . Bezeichnen wir die Ereignisse:

A=(Standardteil gekauft);

=(das Teil wurde im ersten Werk hergestellt);

=(das Teil wurde im zweiten Werk hergestellt).

Nach dem Beispiel
,
,
Und
. Rechnen wir volle Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen A: 0,91. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil im zweiten Werk hergestellt wurde, berechnen wir anhand der Bayes-Formel:

.

Aufgaben für selbständiges Arbeiten

Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten 0,7 und für den dritten 0,9. Die Schützen gaben jeweils einen Schuss ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens zwei Treffer auf das Ziel gibt.

Die Reparaturwerkstatt erhielt 15 Traktoren. Es ist bekannt, dass bei sechs von ihnen der Motor ausgetauscht werden muss und bei den übrigen einzelne Komponenten ausgetauscht werden müssen. Drei Traktoren werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motorwechsel für nicht mehr als zwei ausgewählte Traktoren erforderlich ist.

Das Stahlbetonwerk produziert Platten, die zu 80 % von höchster Qualität sind. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von drei zufällig ausgewählten Panels mindestens zwei die höchste Note haben.

Drei Arbeiter montieren Lager. Die Wahrscheinlichkeit, dass das vom ersten Arbeiter zusammengebaute Lager von höchster Qualität ist, beträgt 0,7, beim zweiten – 0,8 und beim dritten – 0,6. Zur Kontrolle wurde aus den von jedem Arbeiter zusammengebauten Lagern zufällig ein Lager entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei davon von höchster Qualität sind.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Lottoschein der ersten Ausgabe beträgt 0,2, beim zweiten – 0,3 und beim dritten – 0,25. Für jede Ausgabe gibt es ein Ticket. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Tickets gewinnen.

Der Buchhalter führt Berechnungen anhand von drei Nachschlagewerken durch. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Daten, an denen er interessiert ist, im ersten Verzeichnis befinden, beträgt 0,6, im zweiten - 0,7 und im dritten - 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Daten, an denen der Buchhalter interessiert ist, in nicht mehr als zwei Verzeichnissen enthalten sind.

Drei Maschinen produzieren Teile. Die erste Maschine produziert ein Teil höchster Qualität mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9, die zweite mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 und die dritte mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Von jeder Maschine wird nach dem Zufallsprinzip ein Teil entnommen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei davon von höchster Qualität sind.

Auf zwei Maschinen werden gleichartige Teile bearbeitet. Die Wahrscheinlichkeit, ein nicht standardmäßiges Teil zu produzieren, beträgt für die erste Maschine 0,03, für die zweite 0,02. Die bearbeiteten Teile werden an einem Ort gelagert. Davon stammen 67 % von der ersten Maschine und der Rest von der zweiten. Das zufällig entnommene Teil erwies sich als Standardteil. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es auf der ersten Maschine erstellt wurde.

Die Werkstatt erhielt zwei Kartons mit Kondensatoren des gleichen Typs. Der erste Karton enthielt 20 Kondensatoren, von denen 2 defekt waren. Der zweite Karton enthält 10 Kondensatoren, von denen 3 defekt sind. Die Kondensatoren wurden in einer Box untergebracht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus einer Kiste entnommener Kondensator in gutem Zustand ist.

Drei Maschinen produzieren gleichartige Teile, die einem gemeinsamen Förderband zugeführt werden. Von allen Teilen stammen 20 % von der ersten Maschine, 30 % von der zweiten und 505 von der dritten. Die Wahrscheinlichkeit, auf der ersten Maschine ein Standardteil zu produzieren, beträgt 0,8, auf der zweiten – 0,6 und auf der dritten – 0,7. Das entnommene Teil erwies sich als Standard. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Teil auf der dritten Maschine hergestellt wurde.

Der Monteur erhält 40 % der Teile vom Werk zur Montage A und der Rest - ab Werk IN. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil aus der Fabrik stammt A– höchste Qualität, gleich 0,8, und ab Werk IN– 0,9. Der Monteur wählte zufällig ein Teil aus und es stellte sich heraus, dass es von schlechter Qualität war. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Teil aus der Fabrik stammt IN.

10 Schüler aus der ersten Gruppe und 8 aus der zweiten Gruppe wurden zur Teilnahme an studentischen Sportwettkämpfen zugeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student aus der ersten Gruppe in das Akademieteam aufgenommen wird, beträgt 0,8 und aus der zweiten Gruppe 0,7. Ein zufällig ausgewählter Student wurde in das Team aufgenommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er zur ersten Gruppe gehört.

Bernoullis Formel

Die Tests werden aufgerufen unabhängig , wenn für jeden von ihnen das Ereignis A tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf
, unabhängig davon, ob dieses Ereignis in anderen Gerichtsverfahren aufgetreten ist oder nicht. Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses in diesem Fall gleich
.

Beispiel 11 . Würfel werden geworfen N einmal. Bezeichnen wir das Ereignis A=(drei Punkte würfeln). Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt A in jedem Versuch ist gleich und hängt nicht davon ab, ob dieses Ereignis in anderen Versuchen aufgetreten ist oder nicht. Daher sind diese Tests unabhängig. Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses
(nicht drei Punkte würfeln) ist gleich
.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in N unabhängige Versuche, in denen jeweils die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ermittelt wird A gleich P, wird das Ereignis genau eintreten k mal (egal in welcher Reihenfolge), berechnet nach der Formel
, Wo
. Diese Formel heißt Bernoullis Formel und es ist praktisch, wenn die Anzahl der Tests n nicht zu groß ist.

Beispiel 12 . Der Anteil der Früchte, die latent mit der Krankheit infiziert sind, beträgt 25 %. 6 Früchte werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Früchten Folgendes vorhanden sein wird: a) genau 3 infizierte Früchte; b) nicht mehr als zwei infizierte Früchte.

Lösung . Gemäß den Bedingungen des Beispiels.

a) Nach der Formel von Bernoulli ist die Wahrscheinlichkeit, dass von sechs ausgewählten Früchten genau drei infiziert werden, gleich

0.132.

b) Bezeichnen wir das Ereignis A=(nicht mehr als zwei Früchte werden infiziert). Dann . Nach Bernoullis Formel:

0.297.

Somit,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Sätze von Laplace und Poisson

Die Formel von Bernoulli wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln A wird kommen k einmal alle N unabhängige Versuche und in jedem Versuch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist konstant. Bei großen Werten von n werden Berechnungen mit der Bernoulli-Formel mühsam. In diesem Fall um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen A Es wäre besser, eine andere Formel zu verwenden.

Lokaler Laplace-Satz . Lassen Sie die Wahrscheinlichkeit P Eintreten eines Ereignisses A in jedem Versuch ist konstant und von Null und Eins verschieden. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A wird genau kommen k Mal mit genug große Zahl n Tests, berechnet nach der Formel

, Wo
, und die Funktionswerte
sind in der Tabelle angegeben.

Haupteigenschaften der Funktion
Sind:

Funktion
definiert und kontinuierlich im Intervall
.

Funktion
ist positiv, d.h.
>0.

Funktion
sogar, d.h.
.

Da die Funktion
gerade ist, dann zeigt die Tabelle ihre Werte nur für positive Werte an X.

Beispiel 13 . Die Keimrate von Weizensamen beträgt 80 %. Für das Experiment werden 100 Samen ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 90 der ausgewählten Samen sprießen.

Lösung . Nach dem Beispiel N=100, k=90, P=0.8, Q=1-0,8=0,2. Dann
. Anhand der Tabelle ermitteln wir den Wert der Funktion
:
. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 90 der ausgewählten Samen sprießen, ist gleich
0.0044.

Bei der Lösung praktischer Probleme ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu ermitteln A bei N unabhängige Tests nicht weniger einmal und nicht mehr einmal. Dieses Problem wird mit gelöst Integralsatz von Laplace : Lassen Sie die Wahrscheinlichkeit P Eintreten eines Ereignisses A in jedem N Unabhängige Tests sind konstant und von Null und Eins verschieden. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, mindestens einmal und nicht mehr Zeiten mit einer ausreichend großen Anzahl von Tests, wird durch die Formel berechnet

Wo
,
.

Funktion
angerufen Laplace-Funktion und wird nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Die Werte dieser Funktion werden in speziellen Tabellen angegeben.

Haupteigenschaften der Funktion
Sind:

.

Funktion
nimmt im Intervall zu
.

bei
.

Funktion
seltsam, d.h.
.

Beispiel 14 . Das Unternehmen stellt Produkte her, von denen 13 % nicht von höchster Qualität sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer ungetesteten Charge von 150 Einheiten des hochwertigsten Produkts nicht weniger als 125 und nicht mehr als 135 vorhanden sein werden.

Lösung . Bezeichnen wir. Rechnen wir
,